Графы в архитектуре научно исследовательская работа. Исследовательская работа "поиск кратчайшего пути"

Содержание:

I. Введение……………………………………………………………………2

II. Основная часть.

1.История возникновения теории графов…………………………………….4

2.Основные понятия теории графов…………………………………………..5

3.Некоторые задачи теории графов…………………………………………...6

3.1 Задачи о вычерчивании фигур одним росчерком………………………..8

3.2 Задачи с лабиринтами……………………………………………………..10

3.3 Логические задачи…………………………………………………………12

4.Применение теории графов в различных сферах деятельности…………..15

4.1.Графы и история……………………………………………………………17

4.2.Графы и химия……………………………………………………………...18

4.3. Графы и физика…………………………………………………………….19

III . Заключение………………………………………………………………..20

IV . Список литературы………………………………………………………21

Приложение 1………………………………………………………………….22

Приложение 2………………………………………………………………….25

Приложение 3…………………………………………………………………..26

I Введение

Всем известна занимательная задачка про открытый конверт: «Начертите фигуру, не отрывая карандаша от бумаги и не проводя никакую линию дважды».

В этом году я был участником дистанционной олимпиады по математике. В ней была предложена такая задача:

«Почтальон Печкин разнёс почту во все дома деревни, после чего зашёл к дяде Фёдору выпить молока. На рисунке показаны все тропинки, которые проходил Печкин, причём как оказалось, ни одной из них он не проходил дважды. Каким маршрутом шёл почтальон Печкин? В каком доме живёт дядя Фёдор?»

Разбирая решение этой задачи, я задался вопросом: «Можно ли решить эти задачи не перебором, а другим, более быстрым, способом?»

После этого я обратился к своему учителю, и мне объяснили, что решить эту задачу я могу, изучив теорию графов. Но прежде, чем найти ответ на свой вопрос, я увидел, что теория графов помогает упростить решение многих задач. Графы заинтересовали меня своей возможностью помогать в решении различных головоломок, математических и логических задач.

Цель:

показать применение теории графов для решения различных видов задач.

Задачи:

Изучить элементы теории графов.

Разобрать решение различных видов задач.

Узнать о применении графов в науке и в различных сферах деятельности.

Методы исследования:

Поиск и анализ информации в литературе.

Поиск и изучение информации в интернет – ресурсах.

Моделирование.

II Основная часть

1. История возникновения теории графов.

Датой рождения теории графов принято считать 1736 год, когда Леонард Эйлер решил задачу о кенигсбергских мостах (Приложение 1.) .

Р
укава реки Прегель, на берегу которой расположен город Кенигсберг, образовывали два острова. В эту эпоху четыре образовавшихся участка суши (правый и левый берег и два острова) соединяло семь мостов так, как это показано на рисунке. Горожане, гуляя по городу, пытались составить маршрут, чтобы он проходил по каждому мосту ровно один раз. Это им не удавалось, а Эйлер доказал, что это принципиально невозможно.

Термин «граф» впервые ввел в 1936 году венгерский математик Денеш Кениг. Широкое развитие теория графов получила в 50-х годах 20 века в связи со становлением кибернетики и развитием вычислительной техники.

Слово «граф» в математике означает картинку, где нарисовано несколько точек, некоторые из которых соединены линиями. С дворянским титулом «граф» их связывает общее происхождение от латинского слова «графио» - пишу.

2. Основные понятия теории графов.

В математике определение графа дается так: «графом называется конечное множество точек, некоторые из которых соединены линиями. Точки называются вершинами графа, а соединяющие линии – рёбрами».

Схема графа, состоящая из «изолированных» вершин, называется нулевым графом. (рис.2)

Графы, в которых не построены все возможные ребра, называются неполными графами. (рис.3)

Графы, в которых построены все возможные ребра, называются полными графами. (рис.4)

Количество рёбер, выходящих из вершины графа, называется степенью вершины . Вершина графа, имеющая нечётную степень, называется нечетной , а чётную степень – чётной .

Если степени всех вершин графа равны, то граф называется однородным . Таким образом, любой полный граф - однородный.

На рисунке 5 изображен граф с пятью вершинами. Степень вершины А обозначим Ст.А.

На рисунке 5: Ст.А = 1, Ст.Б = 2, Ст.В = 3, Ст.Г= 2, Ст.Д= 0.

рис.5

3. Некоторые задачи теории графов.

Эйлеров путь - путь в графе, проходящий через каждое ребро ровно один раз.

Граф, который можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги, называется эйлеровым. (рис.6) Такими графы названы в честь учёного Леонарда Эйлера.

рис.6 (эйлеровы графы)

Закономерность 1 .

Если все вершины графа четные, то можно не отрывая карандаш от бумаги («одним росчерком»), проводя по каждому ребру только один раз, начертить этот граф. Движение можно начать с любой вершины и закончить его в той же вершине.
Закономерность 2.

Граф, имеющий всего две нечетные вершины, можно начертить, не отрывая карандаш от бумаги, при этом движение нужно начать с одной из этих нечетных вершин и закончить во второй из них.
Закономерность 3 .

Граф, имеющий более двух нечетных вершин, невозможно начертить «одним росчерком».

Фигура (граф), которую можно начертить, не отрывая карандаш от бумаги, называется уникурсальной .

Алгоритм решения

Из предыдущих рассуждений мы получаем общий прием решения каждой подобной задачи о мостах:

преобразовать рисунок в граф (определить его вершины и рёбра);

определить степень каждой вершины;

сделать выводы:

а) заданный обход возможен, если

Все вершины чётные (его можно начать с любой вершины);

Две вершины нечётные (его нужно начать с одной из нечётных вершин);

б) заданный обход невозможен, если нечётных вершин больше двух;

указать начало и конец пути.

Я, изучив эти выводы, решил проверить их на примерах задач из раздела теории графов.

3.1. Решение задач о вычерчивании фигур одним росчерком

Задача №1 (О кенигсбергских мостах).

Четыре образовавшихся участка суши (правый и левый берег и два острова) соединяло семь мостов так, как это показано на рисунке. Горожане пытались составить маршрут, чтобы он проходил по каждому мосту ровно один раз.

Решение.

Эту задачу решил Леонард Эйлер. Он построил следующий граф и получил, что все четыре вершины нечетные, то есть нельзя пройти по всем мостам один раз и закончить путь там, где он был начат.

Задача №2.

Можно ли нарисовать графы, изображенные на рисунках, не отрывая карандаш от бумаги и проводя каждое ребро ровно один раз?

Решение:

Можно, т. к. только 2 нечетные вершины.

Нельзя, т. к. 4 нечетные вершины.

Задача №3.

Говорят, что Магомет вместо подписи (он был неграмотен) описывал одним росчерком состоящий из двух рогов луны знак, представленный на рисунке. Возможно ли это?

Решение. Да, потому что в данном случае мы имеем дело с вершинами четного порядка.

Задача №4. (Муха в банке).

Муха забралась в банку из-под сахара. Банка имеет форму куба. Сможет ли муха последовательно обойти все 12 ребер куба, не проходя дважды по одному ребру? Подпрыгивать и перелетать с места на место не разрешается.

Решение.

Ребра и вершины образуют граф, все 8 вершин которого имеют 3 степень, и, следовательно, требуемый обход невозможен.

Задача №5. (Путь Печкина)

Решение. Нечётных вершин в условии задачи две – почта и дом, поэтому начинаться и заканчиваться маршрут может только в этих узлах. Почтальон Печкин начинает разнос писем с почты, поэтому его маршрут может заканчиваться в доме 5, там и живёт дядя Фёдор. Например, маршрут может быть таким: почта-1-3-2-1-7-почта-3-4-5-7-6-5.

1. 1. Задачи с лабиринтами

Кроме задач вида «одним росчерком» полученным способом можно решать задачи с лабиринтом.

Происхождение задач о лабиринтах относится к глубокой древности и теряется во мраке времен. Слово «лабиринт» (греческое) означает «ходы в подземельях». Решению задачи о лабиринтах предпосылаются исторические справки – чтобы показать интерес к этой задаче и дать наглядное представление о существовавших и существующих лабиринтах.

Задача о прохождении лабиринта приобретает практический интерес, поскольку устройство линий электропередач, канализации, сетей дорог, каналов и т.д. – все это более или менее сложные лабиринты. Начало решению вопроса о существовании безвыходных лабиринтов положено Эйлером.

Нарисовав соответствующий лабиринту граф, используют способ обхода всех ребер для нахождения выхода.

Решение (т.е. маршрут, ведущий к цели) каждого лабиринта может быть найдено одним их трех сравнительно простых методов.

Первый метод – МЕТОД ПРОБ И ОШИБОК. Выбирайте любой путь, а если он заведет вас в тупик, то возвращайтесь назад и начинайте все сначала.

Второй метод – МЕТОД ЗАЧЕРКИВАНИЯ ТУПИКОВ. Начнем последовательно зачеркивать тупики, т.е. маршруты, не имеющие ответвлений и заканчивающиеся перегородкой. Незачеркнутая часть коридоров будет выходом или маршрутом от входа к выходу или к центру.

Третий метод – ПРАВИЛО ОДНОЙ РУКИ. Оно состоит в том, что по лабиринту надо двигаться, не отрывая одной руки (правой или левой) от стены.

Рассмотрим задачу общего вида:

М
ожно ли обойти все данные комнаты, пройдя через каждую дверь ровно один раз и выйти на улицу через комнату 1 или 10? С какой комнаты надо начинать?

Решение:

Аналогично рассуждая, можно решать любые задачи с лабиринтами, входами и выходами, подземельями и т.п.

3.3 Логические задачи

Задача №1.

Аркадий, Борис. Владимир, Григорий и Дмитрий при встрече обменялись рукопожатиями (каждый пожал руку каждому по одному разу). Сколько всего рукопожатий было сделано?

Решение:

Пусть каждому из пяти молодых людей соответствует определенная точка на плоскости, названная первой буквой его имени, а производимому рукопожатию - отрезок или часть кривой, соединяющая конкретные точки - имена.

Задача №2.

В
деревне 10 домов, и из каждого выходит по 7 тропинок, идущих к другим домам. Сколько всего тропинок приходит между домами?

Решение.

Пусть дома- вершины графа, тропинки- рёбра. По условию из каждого дома (вершины) выходит 7 тропинок (рёбер), тогда степень каждой вершины 7, сумма степеней вершин 7×10=70, а число рёбер 70: 2= 35. Таким образом, между домами проходит 35 тропинок.

Ответ. 35 тропинок

Задача №3.

В одном дворе живут четыре друга. Вадим и шофер старше Сергея, Николай и слесарь занимаются боксом, электрик-младший из друзей.

По вечерам Андрей и токарь играют в домино против Сергея и электрика.

Определите профессию каждого из друзей.

Решение.

Составим граф из 4 друзей и 4 профессий. Пунктирными линиями отметим невозможные связи, а сплошной - соответствие имени и профессии. Если от каждой вершины выходить 3 пунктирных линии, то четвертая линия должна быть сплошной.

В С Н А

Ш С Т Э

Задача №4.

В небольшом городке живут пять друзей: Иванов, Петренко, Сидорчук, Гришин и Капустин. Профессии у них разные: один из них маляр, другой- мельник, третий- плотник, четвертый-почтальон, а пятый- парикмахер.

Петренко и Гришин никогда не держали в руках малярной кисти.

Иванов и Гришин собираются посетить мельницу, на которой работает их товарищ. Петренко и Капустин живут в одном доме с почтальоном.

Сидорчук был недавно в ЗАГСе одним из свидетелей, когда Петренко и дочь парикмахера сочетались законным браком. Иванов и Петренко каждое воскресенье играют в городки с плотником и маляром.

Гришин и Капустин по субботам обязательно встречаются в парикмахерской, где работает их друг. Почтальон предпочитает бриться сам. Кто есть кто?

Решение.

Иванов Петренко Сидорчук Гришин Капустин

маляр мельник плотник почтальон парикмахер

4.Применение теории графов в различных сферах деятельности.

Ч

ем больше я изучал теорию графов, тем больше поражалась разнообразию применения этой теории.

Т
ипичными графами на картах города являются схемы движения городского транспорта, изображения железных дорог, схемы авиалиний, которые часто вывешивается в аэропортах. Графом является и система улиц города. Его вершины – площади и перекрестки, а ребра – улицы.Графы есть и на картах звездного неба.

С помощью графов часто упрощается решение задач, сформулированных в различных областях знаний: в автоматике, электронике, физике, химии. Помогают графы в решении математических и экономических задач.

Теория графов сейчас одна из самых развиваемых частей математики, так как современная жизнь требует появление новых профессий. Одна из них – специалист по логистике . (Приложение 3.) Менеджер по логистике занимается доставкой товаров, грузов, планирует транспортные маршруты, рассчитывает стоимость перевозок, организует хранение товаров, грузов и т.д. Одна из главных задач специалиста по логистике - анализ ситуации, поэтому он должен уметь хорошо считать, владеть теорией графов.

Инженер чертит схемы электрических цепей.

Химик рисует структурные формулы, чтобы показать, как в сложной молекуле с помощью валентных связей соединяются друг с другом атомы.

Историк прослеживает родословные связи по генеалогическому дереву.

Военачальник наносит на карту сеть коммуникаций, по которым из тыла к передовым частям доставляется подкрепление.

Социолог по сложнейшей диаграмме показывает, как подчиняются друг другу различные отделы одной огромной корпораций.

Графы применяются в различных отраслях науки. В последние десятилетия теория графов находит все новые области применения (физика, химия, генетика, психология, социология, экономика, лингвистика, электроника, теория планирования и управления). Именно запросы практики способствуют интенсивному развитию теории графов.

4.1.Графы и история .

Использует графы и история. Например, в генеалогическом дереве, вершины – члены рода, а связывающие их отрезки – отношения родственности.

Генеалогическое дерево А.С. Пушкина.

Моё генеалогическое дерево

4.1.Графы и химия .

Теория графов в химии применяется для решения различных теоретических и прикладных задач. Применение графов теории базируется на построении и анализе различных классов химических и химико-технологических графов, которые называются также топология, т.е. модели, учитывающие только характер связи вершин. Ребра и вершины этих графов отображают химические и химико-технологические понятия, явления, процессы или объекты и соответственно качественные и количественные взаимосвязи либо определенные отношения между ними.

При графическом изображении формул веществ указывается последовательность расположения атомов в молекуле с помощью, так называемых валентных штрихов (термин «валентный штрих» предложил в 1858 г. А. Купер для обозначения химических сил сцепления атомов), иначе называемых валентной чертой (каждая валентная черта, или валентный штрих, эквивалентны одной паре электронов в ковалентных соединениях или одному электрону, участвующему в образовании ионной связи).

Химические графы дают возможность прогнозировать химические превращения, пояснять сущность и систематизировать некоторые основные понятия химии.

Молекулярные графы, применяемые в стереохимии и структурной топологии, химии кластеров, полимеров и др., представляют собой неориентированные графы, отображающие строение молекул. Вершины и ребра этих графов отвечают соответственно атомам и химическим связям между ними.

М
олекулярные графы и деревья: а, б - мультиграфы этилена и формальдегида; в-молекулы изомеров пентана.

4.3.Графы и физика

Е

ще недавно одной из наиболее сложных и утомительных задач для радиолюбителей было конструирование печатных схем.

Печатной схемой называют пластинку из какого-либо диэлектрика (изолирующего материала), на которой в виде металлических полосок.

вытравлены дорожки. Пересекаться дорожки могут только в определенных точках, куда устанавливаются необходимые элементы, их пересечение в других местах вызовет замыкание электрической цепи.

В ходе решения этой задачи необходимо вычертить плоский граф, с вершинами в указанных точках.

Изучая этот материал, я узнала области применения теории графов и сделала вывод, что этот раздел математики является одним из важнейших, который используется в нашей повседневной жизни часто незаметно для нас.

III Заключение.

Чтобы найти ответ на интересующую меня задачу, мне пришлось познакомиться с новым разделом математики «Теорией графов», который не изучается в школьном курсе, но облегчает решение многих задач, я узнал много нового, понял, что математика интересна, но и трудна.

Изучая этот материал, я узнал области применения теории графов и сделал вывод, что этот раздел математики является одним из важнейших, который используется в нашей повседневной жизни часто незаметно для нас.

Графы – это замечательные математические объекты, с помощью, которых можно решать математические, логические и экономические задачи. Решение многих математических задач упрощается, если удается использовать графы. Представление данных в виде графа придает им наглядность и простоту. Многие математические доказательства также упрощаются, приобретают убедительность, если пользоваться графами. Также можно решать различные головоломки и упрощать условия задач по физике, химии, электронике, автоматике. Графы используются при составлении карт и генеалогических древ.

IV . Литература.

1. Альхова З.Н., Макеева А.В. Внеклассная работа по математике. – Саратов: «Лицей», 2002 г.

2. Перельман Я.И. Одним росчерком. – Ленинград, 1940

3. Башмаков М. И. Математика в кармане «Кенгуру». - М.: Дрофа, 2010г.

4. Игнатьев Е. И. Математическая смекалка. - М.: «Омега», 1994г.

5. Подготовка школьников к олимпиадам по математике. 5-6 классы./сост. Григорьева Г.И. – М. : «Глобус», 2009 г.

Приложение 1.

Леонард Эйлер и мосты Кёнигсберга

Леонард Эйлер родился в швейцарском городе Базеле, где в 15 лет окончил университет, а в 17 лет получил степень магистра. Во время обучения в университете Эйлер брал уроки у одного из самых известных математиков того времени Иоганна Бернулли и подружился с его сыновьями Даниилом и Николаем, которые были приглашены для работы в только что созданную Петербургскую академию наук. Через год по их рекомендации туда же был приглашен и двадцатилетний Эйлер. Этот выбор оказался одним из самых удачных для России. Нет такой области математики, где Эйлер не сказал своего слова. Работал он сутками напролет в любой обстановке, опубликовал примерно 850 работ. Он легко обнаруживал новые задачи и методы их решения. Даже историю возникновения теории графов можно проследить по переписке великого ученого.

Вот перевод латинского текста, который взят из письма Эйлера к итальянскому математику и инженеру Маринони, отправленного из Петербурга 13 марта 1736 года:

"Некогда мне была предложена задача об острове, расположенном в городе Кенигсберге и окруженном рекой, через которую перекинуто семь мостов. Спрашивается, может ли кто-нибудь непрерывно обойти их, проходя только однажды через каждый мост. И тут же мне было сообщено, что никто еще до сих пор не мог это проделать, но никто и не доказал, что это невозможно. Вопрос этот, хотя и банальный, показался мне, однако, достойным внимания тем, что для его решения недостаточны ни геометрия, ни алгебра, ни комбинаторное искусство... После долгих размышлений я нашел легкое правило, основанное на вполне убедительном доказательстве, с помощью которого можно во всех задачах такого рода тотчас же определить, может ли быть совершен такой обход через какое угодно число и как угодно расположенных мостов или не может".

В своём письме к Маринони Эйлер подробно описал ход своих рассуждений:

"Кенигсбергские же мосты расположены так, что их можно представить на рисунке, где A обозначает остров, а B, C и D – части континента, отделенные друг от друга рукавами реки. Семь мостов обозначены буквами a, b, c, d, e, f, g ".

Так можно ли обойти все Кенигсбергские мосты, проходя только один раз через каждый из этих мостов?

Простой путь решения задачи, казалось бы, такой: сделать все возможные пробы таких переходов, т. е. перечислить все возможные пути, и затем рассмотреть, какой или какие из них удовлетворяют условиям вопроса. Но, очевидно, что даже в случае только семи мостов приходится делать слишком много таких проб. А при увеличении числа мостов такой способ решения практически совершенно немыслим. Да, кроме того, при одном и том же числе мостов задача изменяется в зависимости еще от расположения этих мостов.

Поэтому, чтобы найти ответ, продолжим письмо Эйлера и посмотрим, какое же правило он нашел. Итак,

"Вопрос состоит в том, чтобы определить, можно ли обойти все эти семь мостов, проходя через каждый только однажды, или нельзя. Мое правило приводит к следующему решению этого вопроса. Прежде всего, нужно смотреть, сколько есть участков, разделенных водой, – таких, у которых нет другого перехода с одного на другой, кроме как через мост. В данном примере таких участков четыре – A, B, C, D."

Ход решения задачи будем представлять в виде графа , где вершины – острова и берега, а ребра – мосты.

"Далее нужно различать, является ли число мостов, ведущих к этим отдельным участкам, четным или нечетным. Так, в нашем случае к участку A ведут пять мостов, а к остальным – по три моста".

То есть нам нужно определить степень каждой вершины (количество рёбер, сходящихся в вершине) и узнать, какие вершины четные , а какие нечетные . Подпишем степени вершин в кружочках. И посчитаем количество нечетных вершин. Нечетные вершины: А, B, C, D.

"Когда это определено, применяем следующее правило: если все вершины имеют четную степень, то тогда обход, о котором идет речь, возможен, и начать этот обход можно с любого участка. Если же из этих вершин две нечетные, то и тогда можно совершить переход, как это предписано, но только начало обхода непременно должно быть взято в одной из этих двух вершин, а конец обхода непременно должен быть во второй нечетной вершине. Если, наконец, больше двух нечетных вершин, то тогда такое движение вообще невозможно...".

Приложение 2

Разные задачи на вычерчивание одним росчерком

Приложение 3

Профессия логист

О
писание профессии:

Это специалист, который координирует движение товаров на пути от производства до точек реализации.

Название профессии происходит от английского слова logistics - снабжение, материально-техническое обеспечение.

В современных условиях любой товар, прежде чем попасть к потребителю, преодолевает довольно сложный путь, включающий много звеньев (особенно если речь идет о поставках из-за рубежа).

Цепочка может выглядеть, например, так: закупка товаров у иностранного поставщика - их страхование - перевозка - растаможивание (прохождение таможенного контроля, уплата пошлин) - складирование - упаковка и/или снабжение русскоязычными этикетками и документацией - распределение по оптовым торговым базам - продажа в розничной сети.

Чтобы товар своевременно доходил до потребителя и приносил прибыль, все звенья этой цепочки должны работать как хорошо отлаженный единый механизм. А когда количество наименований поставляемых товаров измеряется десятками тысяч (например, в сети супермаркетов), отладить такие цепочки представляет собой очень сложную задачу, и любой сбой чреват убытками.

Например, завезли слишком много какого-то товара - он попусту загромождает складские помещения и может прийти в негодность. А какой-нибудь другой товар, который следует привезти к вполне определенному сроку (например, елки к Новому году или цветы к 8 Марта), из-за неправильно оформленных сопроводительных документов застрянет на таможенном складе и поступит в продажу слишком поздно, когда уже окажется никому не нужен.

Задача логиста - исключить подобные казусы и организовать систему поставки и распределения товаров таким образом, чтобы все поставлялось куда требуется, в нужном количестве и в срок, и при этом свести к минимуму накладные расходы, связанные с транспортировкой и хранением. Соответственно такие специалисты нужны во всех организациях, деятельность которых связана с поставками товаров: в специализированных фирмах, оказывающих услуги в области транспортировки товаров, в крупных торговых сетях, на тех производствах, куда поставляется большое количество сырья и комплектующих, и т. д.

Содержание работы логистика весьма разнообразно: он анализирует информацию и на ее основе продумывает пути и сроки поставки товаров, рассчитывает стоимость транспортировки, координирует работу перевозчиков, взаимодействует с поставщиками, работниками складов, таможенными службами и т. д.

Муниципальное общеобразовательное бюджетное учреждение -

средняя общеобразовательная школа № 51

г. Оренбург.

Проект на тему:

учитель математики

Егорчева Виктория Андреевна

2017

Гипотеза : Если теорию графов сблизить с практикой, то можно получить самые благотворные результаты.

Цель: Ознакомится с понятием графы и научиться применять их при решении различных задач.

Задачи:

1)Расширить знания о способах построения графов.

2)Выделить типы задач, решение которых требует применения теории графов.

3) Исследовать использование графов в математике.

« Эйлер вычислял без всякого видимого усилия, как человек дышит или как орёл парит над землёй ».

Доминик Араго.

I . Введение. стр.

II . Основная часть.

1. Понятие графа. Задача о Кенигсбергских мостах. стр.

2. Свойства графов. стр.

3. Задачи с применением теории графов. стр.

Ш. Заключение.

Значение графов. стр.

IV . Список используемой литературы. стр.

I . ВВЕДЕНИЕ.

Теория графов - наука сравнительно молодая. «Графы» имеют корень греческого слова «графо», что значит «пишу». Тот же корень в словах «график», «биография».

В своей работе я рассматриваю, каким образом используется теория графов в различных областях жизни людей. Каждый учитель математики и практически каждый ученик знает, сколько трудностей доставляет решение геометрических задач, а также текстовых задач по алгебре. Исследовав возможность применения теории графов в школьном курсе математики, я пришла к выводу, что эта теория значительно упрощает понимание и решение задач.

II . ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ.

1. Понятие графа.

Первая работа по теории графов принадлежит Леонарду Эйлеру. Она появилась в 1736 году в публикациях Петербургской Академии Наук и начиналась с рассмотрения задачи о кенигсбергских мостах.

Вы наверное, знаете, что есть такой город Калининград, раньше он назывался Кенигсберг. Через город протекает река Преголя. Она делится на два рукава и огибает остров. В 17 веке в городе было семь мостов, расположенных так, как показано на рисунке.

Рассказывают, что однажды житель города спросил у своего знакомого, сможет ли он пройти по всем мостам так, чтобы на каждом из них побывать только один раз и вернуться к тому месту, откуда началась прогулка. Многие горожане заинтересовались этой задачей, однако придумать решение никто не смог. Этот вопрос привлек внимание ученых из многих стран. Разрешить проблему удалось известному математику Леонарду Эйлеру. Леонард Эйлер, уроженец города Базеля родился 15 апреля, 1707 года. Научные заслуги Эйлера огромны. Он оказал влияние на развитие почти всех разделов математики и механики как в области фундаментальных исследований, так и в их приложениях. Леонард Эйлер не только решил эту конкретную задачу, но и придумал общий метод решения этих задач. Эйлер поступил следующим образом: он «сжал» сушу в точки, а мосты «вытянул» в линии. В результате получилась фигура, изображенная на рисунке.

Такую фигуру, состоящую из точек и линий, связывающих эти точки, называют графом . Точки A , B , C , D называют вершинами графа, а линии, которые соединяют вершины - ребра графа. На рисунке из вершин B , C , D выходят по 3 ребра, а из вершины A - 5 ребер. Вершины, из которых выходит нечетное число ребер, называют нечетными вершинами, а вершины, из которых выходит четное количество ребер, - четными.

2.Свойства графа.

Решая задачу про кенигсбергские мосты, Эйлер установил, в частности, свойства графа:

1.Если все вершины графа четные, то можно одним росчерком (т.е. не отрывая карандаша от бумаги и не проводя дважды по одной и той же линии) начертить граф. При этом движение можно начать с любой вершины и окончить в той же вершине.

2.Граф с двумя нечетными вершинами тоже можно начертить одним росчерком. Движение нужно начинать от любой нечетной вершины, а заканчивать на другой нечетной вершине.

3.Граф с более чем двумя нечетными вершинами невозможно начертить одним росчерком.

4.Число нечетных вершин графа всегда четное.

5.Если в графе имеются нечетные вершины, то наименьшее число росчерков, которыми можно нарисовать граф будет равно половине числа нечетных вершин этого графа.

Например, если фигура имеет четыре нечетные, то её можно начертить, самое меньшее, двумя росчерками.

В задаче о семи кенигсбергских мостах все четыре вершины соответствующего графа нечетные, т.е. нельзя пройти по всем мостам один раз и закончить путь там, где он был начат.

3.Решение задач с помощью графов.

1. Задачи на вычерчивание фигур одним росчерком.

Попытки нарисовать одним росчерком пера каждую из следующих фигур приводят к неодинаковым результатам.

Если нечетных точек в фигуре нет, то она всегда поддается вырисовыванию одним росчерком пера, безразлично, с какого места ни начинать черчение. Таковы фигуры 1 и 5.

Если в фигуре имеется только одна пара нечетных точек, то такую фигуру можно нарисовать одним росчерком, начав черчение в одной из нечетных точек (безразлично в какой). Легко сообразить, что вычерчивание должно оканчиваться во второй нечетной точке. Таковы фигуры 2, 3, 6. В фигуре 6, например, вычерчивание надо начинать либо из точки А, либо из точки В.

Если фигура имеет более одной пары нечетных точек, то она вовсе не может быть нарисована одним росчерком. Таковы фигуры 4 и 7, содержащие по две пары нечетных точек. Сказанного достаточно, чтобы безошибочно распознавать, какие фигуры нельзя нарисовать одним росчерком и какие можно, а также, с какой точки надо начинать вычерчивание.

Предлагаю начертить одним росчерком следующие фигуры.

2. Решение логических задач.

ЗАДАЧА №1.

В первенстве класса по настольному теннису 6 участников: Андрей, Борис, Виктор, Галина, Дмитрий и Елена. Первенство проводят по круговой системе - каждый из участников играет с каждым из остальных один раз. К настоящему моменту некоторые игры уже проведены: Андрей сыграл с Борисом, Галиной, Еленой; Борис - с Андреем, Галиной; Виктор - с Галиной, Дмитрием, Еленой; Галина - с Андреем, Виктором и Борисом. Сколько игр проведено к настоящему моменту и сколько ещё осталось?

РЕШЕНИЕ:

Построим граф как показано на рисунке.

Сыграно 7 игр.

На этом рисунке граф имеет 8 ребер, следовательно, осталось провести 8 игр.

ЗАДАЧА №2

Во дворе, который окружен высоким забором, находятся три домика: красный, желтый и синий. В заборе есть три калитки: красная, желтая и синяя. От красного домика проведите дорожку к красной калитке, от желтого домика - к желтой калитке, от синего - к синей так, чтобы эти дорожки не пересекались.

РЕШЕНИЕ:

Решение задачи приведено на рисунке.

3. Решение текстовых задач.

Для решения задач методом графов надо знать следующий алгоритм:

1.О каком процессе идет речь в задаче? 2.Какие величины характеризуют этот процесс? 3.Каким соотношением связаны эти величины? 4.Сколько различных процессов описывается в задаче? 5.Есть ли связь между элементами?

Отвечая на эти вопросы, анализируем условие задачи и записываем его схематично.

Например . Автобус шёл 2 ч со скоростью 45 км/ч и 3 ч со скоростью 60 км/ч. Какой путь прошёл автобус за эти 5 часов?

S
¹=90 км V ¹=45 км/ч t ¹=2ч

S = VT

S ²=180 км V ²=60 км/ч t ²=3 ч

S ¹ + S ² = 90 + 180

Решение:

1)45 x 2 = 90 (км) - прошёл автобус за 2 ч.

2)60 x 3 = 180 (км) - прошёл автобус за 3 ч.

3)90 + 180 = 270 (км) -прошёл автобус за 5 ч.

Ответ: 270 км.

III . ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

В результате работы над проектом я узнала, что Леонард Эйлер был основоположником теории графов, решил задачи с применением теории графов. Для себя сделала вывод, что теория графов находит применение в различных областях современной математики и её многочисленных приложений. Не приходится сомневаться в полезности ознакомления нас, учащихся, с основными понятиями теории графов. Решение многих математических задач упрощается, если удается использовать графы. Представление данных в виде графа придает им наглядность. Многие доказательства также упрощаются, приобретают убедительность, если воспользоваться графами. В особенности это относится к таким областям математики, как математическая логика, комбинаторика.

Таким образом, изучение этой темы имеет большое общеобразовательное, общекультурное и общематематическое значение. В повседневной жизни все большее применение находят графические иллюстрации, геометрические представления и другие приемы и методы наглядности. С этой целью изучения элементов теории графов полезно ввести в начальном и среднем звене школы, хотя бы во внеклассной работе, так как в программу по математике эта тема не включена.

V . СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

2008г.

Рецензия.

Проект на тему «Графы вокруг нас» выполнил ученик 7 «А» класса МОУ-сош №3г.Красный Кут Зайцев Никита.

Отличительной особенностью работы Зайцева Никиты является её актуальность, практическая направленность, глубина раскрытия темы, возможность использования её в дальнейшем.

Работа является творческой, в виде информационного проекта. Ученик выбрал эту тему, чтобы показать взаимосвязь теории графов с практикой на примере маршрута школьного автобуса, показать, что теория графов находит применение в различных областях современной математики и её многочисленных приложений, в особенности это относится к экономике, математической логике, комбинаторике. Он показал, что решение задач значительно упрощается, если удается использовать графы, представление данных в виде графа придает им наглядность, многие доказательства также упрощаются, приобретают убедительность.

В работе рассматриваются такие вопросы как:

1. Понятие графа. Задача о Кенигсбергских мостах.

2. Свойства графов.

3. Задачи с применением теории графов.

4. Значение графов.

5. Вариант маршрута школьного автобуса.

При выполнении своей работы Зайцев Н. использовал:

1. Альхова З.Н., Макеева А.В. «Внеклассная работа по математике».

2. Журнал «Математика в школе». Приложение «Первое сентября» № 13

2008г.

3. Я.И.Перельман «Занимательные задачи и опыты».- Москва: Просвещение, 2000 г.

Работа выполнена грамотно, материал соответствует требованиям данной темы, соответствующие рисунки прилагаются.

Цель исследования :

Рассмотреть возможности применения графового аппарата для решения логических и комбинаторных задач.

Задачи исследования:

рассмотреть решение задач при помощи графов;

научиться переводить задачи на язык графов;

сравнить традиционные методы решения задач с методами теории графов.

Актуальность исследования:

Графы используют во всех отраслях нашей жизни. Знание основ теории графов необходимо в различных областях, связанных с управлением производством, бизнесом (например, сетевой график строительства, графики доставки почты), построении путей транспортировки и доставки, решении задач. Графы используют в связи с развитием теории вероятностей, математической логики и информационных технологий.

Гипотеза:

Использование теории графов делает решение многих логических и комбинаторных задач будет менее трудоемким.

Содержание:

Введение. Понятие графа.

Основные свойства графа.

Основные понятия теории графов и их доказательства.

Избранные задачи.

Хроматическое число графа.

Литература.

Введение. Понятие графа.

Любой из нас, конечно, прав,

Найдя без проволочек,

Что он…обыкновенный граф

Из палочек и точек.

Теория графов в настоящее время является интенсивно развивающимся разделом дискретной математики. Графы и связанные с ним методы исследований органически пронизывают на разных уровнях едва ли не всю современную математику. Язык графов прост, понятен и нагляден. Графовые задачи обладают рядом достоинств, позволяющих использовать их для развития соображения, улучшения логического мышления, применения смекалки. Графы – замечательные математические объекты, с их помощью можно решать очень много различных, внешне не похожих друг на друга задач.

В математике существует целый раздел – теория графов, который изучает графы, их свойства и применение. Математические графы с дворянским титулом «граф» связывает общее происхождение от латинского слова «графио» - пишу. Типичными графами являются схемы авиалиний, которые часто вывешивается в аэропортах, схемы метро, а на географических картах – изображение железных дорог. Выбранные точки графа называются его вершинами, а соединяющие их линии – ребрами. Один из графов хорошо знаком москвичам и гостям столицы – это схема московского метрополитена: вершины – конечные станции и станции пересадок, рёбра – пути, соединяющие эти станции. Генеалогическое древо графа Л. Н. Толстого – ещё один граф. Здесь вершины – предки писателя, а рёбра показывают родственные связи между ними.

рис.1 рис. 2

Слово «граф» в математике означает картинку, где нарисовано несколько точек, некоторые из которых соединены линиями.При изображении графа не имеет значения расположение вершин на плоскости, кривизна и длина рёбер (рис.3).Вершины графов обозначаются буквами или натуральными числами. Ребра графа – пары чисел.

рис. 3

Графами являются блок – схемы программ для ЭВМ, сетевые графики строительства, где вершины – события, означающие окончания работ на некотором участке, а ребра, связывающие эти вершины, - работы, которые возможно начать по совершении одного события и необходимо выполнить для совершения следующего. Свойства графов, как и их изображения, не будут зависеть и не изменятся от того, соединены вершины отрезками или кривыми линиями. Это дает возможность изучения их свойств с помощью одной из молодых наук – топологии, хотя сами задачи теории графов являются типичными задачами комбинаторики.

Что же связывает топологию и комбинаторику? Теория графов является частью как топологии, так и комбинаторики. То, что это топологическая теория, следует из независимости свойств графа от расположения вершин и вида соединяющих их линий. А удобство формулировок комбинаторных задач в терминах графов привело к тому, что теория графов стала одним из мощнейших аппаратов комбинаторики.

Но кто придумал эти графы? Где они применяются? Все ли они одинаковые или есть разновидности?

История возникновения теории графов. Классическая задача о кёнигсбергских мостах.

Основы теории графов как математической науки заложил в 1736 году Леонард Эйлер, рассматривая задачу о кёнигсбергских мостах. «Мне была предложена задача об острове, расположенном в городе Кёнигсберге и окружённом рекой, через которую перекинуто 7 мостов. Спрашивается, может ли кто – нибудь непрерывно обойти их, проходя только однажды через каждый мост…» (Из письма Л. Эйлера итальянскому математику и инженеру Маринони от 13 марта 1736 года)

Бывший Кенигсберг (ныне Калининград) расположен на реке Прегель. В пределах города река омывает два острова. С берегов на острова были перекинуты мосты. Старые мосты не сохранились, но осталась карта города, где они изображены (рис.4). Кенигсбергцы предлагали приезжим следующую задачу: пройти по всем мостам и вернуться в начальный пункт, причём на каждом мосту следовало побывать только один раз. Прогуляться по городским мостам предложили и Эйлеру. После безуспешной попытки совершить нужный обход, он начертил упрощённую схему мостов. Получился граф, вершины которого – части города, разделённые рекой, а рёбра – мосты (рис.5).

рис. 4 рис. 5

Прежде, чем обосновать возможность требуемого маршрута, Эйлер рассмотрел и другие, более сложные карты. В итоге он доказал общее утверждение для того чтобы можно было обойти все рёбра графа по одному разу и вернуться в исходную вершину, необходимо и достаточно выполнение следующих двух условий:

из любой вершины графа должен существовать путь по его рёбрам в любую другую вершину (графы, удовлетворяющие этому требованию, называются связными);

из каждой вершины должно выходить чётное количество рёбер.

«Следовательно, надо держаться следующего правила: если на каком-либо рисунке число мостов, ведущих в некоторую область, будет нечетным, тогда желаемый переход через все мосты одновременно не может быть осуществлен иначе, как если переход или начинается, или заканчивается в этой области. А если число мостов четное, отсюда не может возникнуть никакого затруднения, так как ни начало, ни конец перехода при этом не фиксируются. Отсюда следует такое общее правило: если будет больше чем две области, к которым ведет нечетное количество мостов, тогда желательный переход вообще не может быть совершен. Ибо представляется совершенно невозможным, чтобы переход и начинался, и заканчивался в какой-нибудь одной из этих областей. А если будут только две области такого рода (так как не могут быть даны одна область этого рода или нечетное число областей), тогда может быть совершен переход через все мосты, но с таким условием, чтобы начало перехода было в одной, а конец в другой из этих областей. Когда в предложенной фигуре А и В есть области, к которым ведет нечетное число мостов, а число мостов, ведущих к С, является четным, то я считаю, что переход или построение мостов может иметь место, если переход начинается или из А, или из В, а если же кто-нибудь пожелает начать переход из С, то он никогда не сможет достигнуть цели. В расположении кенигсбергских мостов я имею четыре области А, В, С, D, взаимно отделенные друг от друга водой, к каждой из которых ведет нечетное число мостов (рис.6).

рис. 6

Следовательно, ты можешь убедиться, славнейший муж, что это решение по своему характеру, по-видимому, имеет мало отношения к математике, и мне непонятно, почему следует скорее от математика ожидать этого решения, нежели от какого-нибудь другого человека, ибо это решение подкрепляется одним только рассуждением и нет необходимости привлекать для нахождения этого решения какие-либо законы, свойственные математике. Итак, я не знаю, каким образом получается, что вопросы, имеющие совсем мало отношения к математике, скорее разрешаются математиками, чем другими [учеными]. Между тем ты, славнейший муж, определяешь место этого вопроса в геометрии положения, и что касается этой новой науки, то, признаюсь, мне неизвестно, какого рода относящиеся сюда задачи желательны были Лейбницу и Вольфу. Итак, я прошу тебя, если ты считаешь, что я способен нечто создать в этой новой науке, чтобы ты соблаговолил мне прислать несколько определенных, относящихся к ней задач...»

Основные свойства графа.

Решая задачу про Кенигсбергские мосты, Эйлер установил следующие свойства графа:

Если все вершины графа чётные, то можно одним росчерком (т.е. не отрывая карандаша от бумаги и не проводя дважды по одной и той же линии) начертить граф.

Граф с двумя нечётными вершинами тоже можно начертить одним росчерком. Движение нужно начинать от любой нечётной вершины, а заканчивать на другой нечётной вершине.

Граф с более чем двумя нечётными вершинами, невозможно начертить одним росчерком.

Понятие эйлерова и гамильтонова циклов.

Замкнутый путь, проходящий по одному разу по всем рёбрам, до сих пор называют эйлеровым циклом.

Если отбросить условие возвращения в исходную вершину, то можно допустить наличие двух вершин, из которых выходит нечётное количество рёбер. В этом случае начинать движение следует из одной из этих вершин, а заканчивать в другой.

В задаче о Кенигсбергских мостах все четыре вершины соответствующего графа – нечётные, значит, нельзя пройти по всем мостам ровно один раз и закончить путь там же.

Граф получить на листе бумаги очень просто. Надо взять карандаш и нарисовать на этом листке, не отрывая карандаша от бумаги и не проводя дважды по одной линии, что угодно. Отметить точками «перекрёстки» и начальную и конечную точки, если они не совпадают с «перекрёстками». Получившуюся фигуру можно назвать графом. Если начальная и конечная точки рисунка совпадают, то все вершины окажутся чётными, если же начальная и конечная точки не совпадают, то они окажутся нечётными вершинами, а все остальные будут чётными. Решение многих логических задач с помощью графов вполне доступно уже младшим школьникам. Для этого им достаточно иметь лишь интуитивные представления о графах и самых очевидных их свойствах. Во многих детских головоломках можно встретить такие задания: начертить фигуру, не отрывая карандаша от бумаги и не проводя дважды по одной линии.

рис. 7 а) б)

Рисунок 7 (а) имеет две вершины (нижние), из которых выходит нечётное количество рёбер. Поэтому рисунок нужно начинать с одной из них, а в другой заканчивать. В рисунке 7(б) существует эйлеров цикл, так как из шести вершин графа выходит чётное число рёбер.

В 1859 г. сэр Вильям Гамильтон, знаменитый ирландский математик, давший миру теорию комплексного числа и кватерниона, предложил необычную детскую головоломку, в которой предлагалось совершить «кругосветное путешествие» по 20 городам, расположенным в различных частях земного шара (рис. 8). В каждую вершину деревянного додекаэдра, помеченную названием одного из известных городов (Брюссель, Дели, Франкфурт и т. д.), был вбит гвоздик и к одному из них была привязана нить.Требовалось соединить вершины додекаэдра этой нитью так, чтобы она проходила вдоль его ребер, обвивая каждый гвоздик ровно один раз, и чтобы полученный в результате ниточный маршрут был замкнутым (циклом).Каждый город соединялся дорогами с тремя соседними так, что дорожная сеть образовывала 30 ребер додекаэдра, в вершинах которого находились города a, b ... t. Обязательным условием было требование посетить каждый город, за исключением первого, лишь один раз.

рис. 8 рис. 9

Если путешествие начать из города a, то последними должны быть города b, e или h, иначе мы не сможем вернуться в первоначальный пункт a. Непосредственное исчисление показывает, что число таких замкнутых маршрутов равно 60.Можно потребовать посещения всех городов строго по одному разу, включая и первый, т.е. допускается окончание путешествия в любом городе (например, предполагается, что в начальный пункт можно будет вернуться самолетом). Тогда общее число цепных маршрутов увеличится до 162 (рис.9).

В этом же, 1859 году Гамильтон предложил владельцу фабрики игрушек в Дублине запустить её в производство. Владелец фабрики принял предложение Гамильтона и выплатил ему 25 гиней. Игрушка напоминала «кубик Рубик», ещё не так давно пользующегося огромной популярностью, и оставила заметный след в математике. Замкнутый путь по рёбрам графа, проходящий по одному разу через все вершины, называется гамильтоновым циклом. В отличие от эйлерова цикла условия существования на произвольном графе гамильтонова цикла до сих пор не установлены.

Понятие полного графа. Свойства плоских графов.

А всегда ли граф можно изобразить на плоскости так, чтобы его рёбра не пересекались? Оказывается, нет. Графы, для которых это возможно, называются плоскими. Графы, в которых не построены все возможные ребра, называются неполными графами, а тот граф, в котором соединены все вершины всеми возможными способами, называется полным графом.

рис. 10 рис. 11

На рисунке 10 изображён граф с пятью вершинами, который не укладывается на плоскость без пересечения рёбер. Каждые две вершины этого графа соединены ребром. Это полный граф. На рисунке 11 – граф с шестью вершинами и девятью рёбрами. Он носит название «домики – колодцы». Оно произошло от старинной задачи – головоломки. В трёх избушках жили трое друзей. Около их домиков находились три колодца: один с солёной водой, второй – со сладкой, третий – с пресной. Но однажды друзья поссорились, да так, что и видеть друг друга не хотели. И решили они по- новому проложить тропинки от домов к колодцам, чтобы их пути не пересекались. Как это сделать? На рисунке 12 проведено восемь из девяти тропинок, но провести девятую уже не удаётся.

рис.12

Польский математик Казимеж Куратовский установил, что никаких принципиально иных не плоских графов не существует. Точнее, если граф «не укладывается» на плоскость, то в нём «сидит» по крайней мере один из этих двух графов (полный граф с пятью вершинами или «домики – колодцы»), быть может с дополнительными вершинами на рёбрах.

Льюис Кэрролл, автор книги «Алиса в стране чудес», любил давать своим знакомым следующую головоломку. Он просил обвести фигуру, изображённую на рисунке, не отрывая карандаша от бумаги и не проводя дважды по одной линии. Подсчитав чётность вершин, убеждаемся, что эта задача легко решается, причём начинать обход можно с любой вершины, так как они все чётные. Однако, он усложнял задачу тем, что требовал, чтобы при обводке линии не пересекались. Справиться с этой проблемой можно следующим способом. Раскрасим фигуру так, чтобы её граничащие части оказались разного цвета. Затем разъединим пересекающиеся линии таким образом, чтобы закрашенная часть представляла из себя единый кусок. Теперь остаётся обвести по краю одним росчерком закрашенную область – это и будет искомая линия (рис. 13).

рис. 13

Основные понятия теории графов и их доказательства .

Плоские графы обладают многими интересными свойствами. Так, Эйлер обнаружил простую связь между количеством вершин (B), количеством рёбер (Р),количеством частей (Г) на которые граф разделяет плоскость

В – P + Г = 2.

1. Определение . Число рёбер, выходящих из одной вершины, называют степенью этой вершины.

Лемма1. Число рёбер в графе ровно в 2 раза меньше, чем сумма степеней вершин.

Доказательство. Любое ребро графа связывают 2 вершины. Значит, если будем складывать число степеней всех вершин графа, то получим удвоенное число рёбер, т.к. каждое ребро было подсчитано дважды.

Лемма2 . Сумма степеней вершин графа чётна .

Доказательство. По лемме1 число рёбер в графе в 2 раза меньше суммы степеней вершин, значит сумма степеней вершин чётна (делится на 2).

2. Определение . Если степень вершины чётная, то вершина называется чётной, если степень не чётная, то вершина нечётная.

Лемма3 . Число нечётных вершин графа чётно.

Доказательство. Если в графе есть n чётных и k нечётных вершин, то сумма степеней чётных вершин чётна. Сумма степеней нечётных вершин нечётна, если количество этих вершин нечётна. Но тогда общее число степеней вершин тоже нечётна, чего не может быть. Значит, k чётно.

Лемма 4. Если полный граф имеет n вершин, то количество ребер будет равно

Доказательство. В полном графе с n вершинами из каждой вершины выходит по n -1 рёбер. Значит, сумма степеней вершин равна n ( n -1). Число рёбер в 2 раза меньше, то есть .

Избранные задачи.

Зная свойства графа, полученные Эйлером, теперь легко можно решить такие задачи:

Задача 1. Из трех человек, стоящих рядом, один всегда говорит правду (правдолюб), другой всегда лжет (лжец), а третий, смотря по обстоятельствам, говорит либо правду, либо ложь (дипломат). У стоящего слева спросили: "Кто стоит рядом с тобой?". Он ответил: "Правдолюб". Стоящему в центре задали вопрос: "Кто ты?", и он ответил: "Я дипломат". Когда у стоящего справа спросили: "Кто стоит рядом с тобой?", он сказал: "Лжец". Кто где стоял?

Решение: Если в данной задаче ребро графа будет соответствовать месту,занимаемому тем или иным человеком, то нам могут представиться следующие возможности.

Рассмотрим первую возможность. Если "правдолюб" стоит слева, то рядом с ним, судя по его ответу, также стоит "правдолюб". У нас же стоит "лжец". Следовательно, эта расстановка не удовлетворяет условию задачи. Рассмотрев таким образом все остальные возможности, мы придем к выводу, что позиция "дипломат", "лжец", "правдолюб" удовлетворяет задаче. Действительно, если "правдолюб" стоит справа, то, по его ответу, рядом с ним стоит "лжец", что выполняется. Стоящий в центре заявляет, что он "дипломат", и, следовательно, лжет (что возможно из условия), а стоящий справа также лжет. Таким образом, все условия задачи выполнены.

Задача 2. В 10-значном числе каждые две подряд идущие цифры образуют двузначное число, которое делится на 13. Докажите, что среди этих цифр нет цифры 8.

Решение. Существует 7 двузначных чисел, которые делятся на 13. Обозначим эти числа точками и применим определение графа. По условию каждые 2 подряд идущие цифры образуют двузначное число, которые делятся на 13, значит цифры, из которых состоит 10-значное число, повторяются. Соединим вершины графа рёбрами так, чтобы цифры, входящие в этот граф повторялись.

13 65

91 39 52

Из построенных графов видно, что среди цифр 10-значного числа цифры 8 быть не может.

Задача 3. В деревне 10 домов, и из каждого выходит по 7 тропинок, идущих к другим домам. Сколько всего тропинок приходит между домами?

Решение. Пусть дома - вершины графа, тропинки - рёбра. По условию из каждого дома (вершины) выходит 7 тропинок (рёбер), тогда степень каждой вершины 7, сумма степеней вершин 7×10=70, а число рёбер 70: 2= 35. Таким образом между домами проходит 35 тропинок.

Задача 4: Между 9 планетами Солнечной системы введено космическое сообщение. Ракеты летают по следующим маршрутам: Земля-Меркурий, Плутон-Венера, Земля-Плутон, Плутон-Меркурий, Меркурий-Венера, Уран-Нептун, Нептун-Сатурн, Сатурн-Юпитер, Юпитер-Марс и Марс-Уран. Можно ли добраться с Земли до Марса?

Решение. Нарисуем схему: планетам будут соответствовать точки, а соединяющим их маршрутам - непересекающиеся между собой линии.

Сделав набросок рисунка маршрутов, мы нарисовали граф, соответствующий условию задачи. Видно, что все планеты Солнечной системы разделились на две не связанных между собой группы. Земля принадлежит одной группе, а Марс - второй. Долететь с Земли до Марса нельзя.

Классическая «задача коммивояжёра». «Жадные» алгоритмы.

Одна из классических задач теории графов называется «задачей коммивояжёра» или «задачей о бродячем торговце». Представим себе торгового агента, который должен побывать в нескольких городах и вернуться обратно. Известно, какие дороги соединяют эти города и каковы расстояния между этими городами по данным дорогам. Нужно выбрать самый короткий маршрут. Это же не «игрушечная» задача. Например, водитель почтового автомобиля, вынимающий письма из почтовых ящиков, очень хотел бы знать кратчайший маршрут, как и водитель грузовика, развозящий товары по киоскам. А решить эту задачу довольно – таки сложно, потому что число вершин графа очень велико. А вот другая задача, в некотором смысле противоположная задаче коммивояжёра. Предполагается проложить железную дорогу, которая соединит несколько крупных городов. Для любой пары городов известна стоимость прокладки пути между ними. Требуется найти наиболее дешёвый вариант строительства. На самом деле алгоритм нахождения оптимального варианта строительства довольно прост. Продемонстрируем его на примере дороги, соединяющей пять городов А, В, С, D и Е. Стоимость прокладки пути между каждой парой городов указана в таблице (рис.14), а расположение городов на карте (рис.15)

1,5

2,5

1,5

1,2

0,8

1,2

1,1

0,9

1,1

2,7

2,5 5

ис.е, а расположеие городов аждой паройдов А, В С тагрузовика, разво

0,8

0,9

2,7

В

А А

D D

Е

С

рис.14 рис. 15

Сначала строим ту дорогу, которая имеет наименьшую стоимость. Это маршрут В →Е. Теперь найдём самую дешёвую линию, соединяющую В или Е с каким-нибудь из городов. Это путь между Е и С. Включаем его в схему. Далее поступаем аналогично – ищем самый дешёвый из путей, соединяющих один из городов В, С, Е с одним из оставшихся – А или D . Это дорога между С и А. Осталось подключить к железнодорожной сети город D .

Дешевле всего соединить его с С. Получим сеть железнодорожных путей (рис. 16).

рис. 16

Этот алгоритм нахождения оптимального варианта строительства железной дороги относится к категории «жадных»: на каждом шаге решения этой задачи мы выбираем самое дешёвое продолжение пути. Для данной задачи он подходит как нельзя лучше. Но в задаче о коммивояжёре «жадный» алгоритм не даст оптимального решения. Если с самого начала выбирать самые «дешёвые» элементы, т.е. кратчайшие расстояния, то не исключено, что в конце концов придётся воспользоваться очень «дорогими» - длинными, и общая длина маршрута окажется существенно выше оптимальной.

Итак, для решения некоторых задач можно использовать метод или алгоритм, который называется «жадным». «Жадный» алгоритм – алгоритм нахождения наикратчайшего расстояния путём выбора самого короткого, ещё не выбранного ребра, при условии, что оно не образует цикла с уже выбранными рёбрами. «Жадным» этот алгоритм назван потому, что на последних шагах приходится жестоко расплачиваться за жадность. Посмотрим, как поведет себя при решении задачи о коммивояжёре «жадный» алгоритм. Здесь он превратится в стратегию «иди в ближайший (в который еще не входил) город». Жадный алгоритм, очевидно, бессилен в этой задаче. Рассмотрим для примера сеть на рисунке 17, представляющую узкий ромб. Пусть коммивояжер стартует из города 1. Алгоритм «иди в ближайший город» выведет его в город 2, затем 3, затем 4; на последнем шаге придется платить за жадность, возвращаясь по длинной диагонали ромба. В результате получится не кратчайший, а длиннейший тур. Однако в некоторых ситуациях «жадный» алгоритм определяет-таки кратчайший путь.

2

4

1

4 3

3

рис. 17

Есть ещё один метод для решения подобных задач - метод полного перебора (иногда говорят Метод перебора, подразумевая при этом полный перебор - это не совсем правильно, так как перебор может быть и не полным), который заключается в том, что выполняется перебор всех возможных комбинаций точек (пунктов назначения). Как известно из математики, число таких перестановок равно n!, где n – количество точек. Так как в задаче коммивояжера исходный пункт обычно принимается одним и тем же (первая точка), то нам достаточно перебрать оставшиеся, т.е. количество перестановок будет равно (n–1)!. Этот алгоритм почти всегда дает точное решение задачи коммивояжера, однако продолжительность таких вычислений может занять непозволительно много времени. Известно, что при значениях n > 12, современный компьютер не смог бы решить задачу коммивояжера даже за все время существования вселенной. Существуют и другие алгоритмы для решения задачи коммивояжера, которые значительно точнее «жадного» алгоритма и значительно быстрее метода полного перебора. Однако мы рассматриваем графы, а эти методы не связаны с теорией графов.

Хроматическое число графа.

Задача о раскраске географической карты

Дана географическая карта, на которой изображены страны, разделяемые границами. Требуется раскрасить карту так, чтобы страны, имеющие общие участки границы, были окрашены в разные цвета, и чтобы при этом было использовано минимальное количество цветов.

По данной карте построим граф следующим образом. Поставим в соответствие странам карты вершины графа. Если какие-то две страны имеют общий участок границы, то соответствующие им вершины соединим ребром, в противном случае – нет.Легко видеть, что раскраске карты соответствует правильная раскраска вершин полученного графа, а минимальное количество необходимых красок равно хроматическому числу этого графа.

Хроматическим числом графа называется наименьшее количество красок, с помощью которых можно так раскрасить вершины графа, что любые две вершины, соединенные ребром, окрашиваются при этом в разные цвета. Долгое время математики не могли решить такую проблему: достаточно ли четырех красок, для того чтобы раскрасить произвольную географическую карту так, чтобы любые две страны, имеющие общую границу, были окрашены разными красками? Если изобразить страны точками – вершинами графа, соединив ребрами те вершины, для которых соответствующие им страны граничат (рис.18), то задача сведется к следующей: верно ли, что хроматическое число любого графа, расположенного на плоскости не больше четырех? Положительный ответ на этот вопрос был лишь недавно получен с помощью ЭВМ.

рис. 18

Игра «четыре краски»

Стивен Барр предложил логическую игру на бумаге для двух игроков, названную «Четыре краски». По словам Мартина Гарднера - «Я не знаю лучшего способа понять трудности, которые встречаются на пути решения проблемы четырёх красок, чем просто поиграть в эту любопытную игру»

Для этой игры нужны четыре цветных карандаша. Первый игрок начинает игру, рисуя произвольную пустую область. Второй игрок закрашивает её любым из четырёх цветов и в свою очередь рисует свою пустую область. Первый игрок закрашивает область второго игрока и добавляет новую область, и так далее - каждый игрок раскрашивает область соперника и добавляет свою. При этом области, имеющие общую границу, должны быть раскрашены в разные цвета. Проигрывает тот, кто на своём ходу вынужден будет взять пятую краску.

Комбинаторные и логические задачи.

В 1936 году немецкий математик Д. Кёниг впервые провёл исследование подобных схем и предложил называть такие схемы «графами» и систематически изучать их свойства. Итак, как отдельная математическая дисциплина теория графов была представлена лишь в 30 – е годы ХХ столетия в связи с тем, что в обиход вошли так называемые «большие системы», т.е. системы с большим числом объектов, связанных между собой разнообразными соотношениями: сети железных дорог и авиалиний, телефонные узлы на много тысяч абонентов, системы заводов – потребителей и предприятий – поставщиков, радиосхемы, большие молекулы и т.д. и т. п. Стало ясно, что разобраться в функционировании таких систем невозможно без изучения их конструкции, их структуры. Здесь и пригодилась теория графов. В середине XX века задачи теории графов стали возникать также и в чистой математике (в алгебре, топологии, теории множеств). Чтобы можно было применять теорию графов в столь разнообразных областях, она должна быть в высшей степени абстрактной и формализованной. Ныне она переживает эпоху бурного возрождения.Графы используются: 1) в теории планирования и управления, 2) в теории расписаний, 3) в социологии, 4) в математической лингвистике, 5) экономике, 6) биологии, 7) химии, 8) медицине, 9) в областях прикладной математики таких, как теория автоматов, электроника, 10) в решении вероятностных и комбинаторных задач и т.д. Наиболее близки к графам – топология и комбинаторика.

Комбинато́рика (Комбинаторный анализ) - раздел математики, изучающий дискретные объекты, множества (сочетания, перестановки, размещения и перечисления элементов) и отношения на них (например, частичного порядка). Комбинаторика связана со многими другими областями математики - алгеброй, геометрией, теорией вероятностей и имеет широкий спектр применения в различных областях знаний (например в генетике, информатике, статистической физике). Термин «комбинаторика» был введён в математический обиход Лейбницем, который в 1666 году опубликовал свой труд «Рассуждения о комбинаторном искусстве».Иногда под комбинаторикой понимают более обширный раздел дискретной математики, включающий, в частности, теорию графов.

Широкое развитие теория графов получила с 50-х гг. 20 в. в связи со становлением кибернетики и развитием вычислительной техники. И з современных математиков над графами работали - К. Берж, О. Оре, А. Зыков.

Графы часто используют для решения логических проблем, связанных с перебором вариантов. Для примера рассмотрим такую задачу. В ведре 8 л воды, и имеется две кастрюли емкостью 5 и 3 л. требуется отлить в пятилитровую кастрюлю 4 л воды и оставить в ведре 4 л, т. е. разлить воду поровну в ведро и большую кастрюлю. Ситуацию в каждый момент можно описать тремя числами, где А-количество литров воды в ведре, Б- в большой кастрюле, В - в меньшей. В начальный момент ситуация описывалась тройкой чисел (8, 0, 0), от нее мы можем перейти в одну из двух ситуаций: (3, 5, 0),если наполним водой большую кастрюлю, или (5,0, 3), если наполним меньшую кастрюлю. В результате получаем два решения: одно в 7 ходов, другое в 8 ходов.

Рассмотрим задачи, которые можно легко решить, начертив граф.

Задача №1. Андрей, Борис, Виктор и Григорий играли в шахматы. Каждый сыграл с каждым по одной партии. Сколько партий было сыграно?

Задача решается с помощью полного графа с четырьмя вершинами А, Б, В, Г, обозначенными по первым буквам имён каждого из мальчиков. В полном графе проводятся всевозможные рёбра. В данном случае отрезки-рёбра обозначают сыгранные шахматные партии. Из рисунка видно, что граф имеет 6 рёбер, значит, и партий сыграно 6 партий.

Ответ: 6 партий.

Задача №2. Андрей, Борис, Виктор и Григорий подарили на память друг другу свои фотографии. Причём каждый мальчик подарил каждому из своих друзей по одной фотографии. Сколько всего фотографий было подарено?

Решение найдётся легко, если начертить граф:

1 способ. С помощью стрелок на рёбрах полного графа показан процесс обмена фотографиями. Очевидно, что стрелок в 2 раза больше, чем рёбер, т.е. 12.

2 способ. Каждый из 4 мальчиков подарил друзьям 3 фотографии, следовательно, всего было подарено 3 4=12 фотографий.

Ответ: 12 фотографий.

Задача № 3. Известно, что у каждой из трех девочек фамилия начинается с той же буквы, что и имя. У Ани фамилия Анисимова. У Кати фамилия не Карева, а у Киры – не Краснова. Какая фамилия у каждой из девочек?

Решение:По условию задачи составим граф, у которого вершины – имена и фамилии девочек. Сплошная линия будет обозначать, что девочке соответствует данная фамилия, а пунктирная – что не соответствует. Из условия задачи видно, что у Ани фамилия Анисимова (соединяем сплошной линией две соответствующие точки). Из этого следует, что у Кати и у Киры фамилия не Анисимова. Так как Катя – не Анисимова и не Карева, значит она Краснова. Остается, что у Киры фамилия Карева. Ответ: Аня Анисимова, Катя Краснова, Кира Карева.

Граф - это совокупность объектов со связями между ними. Объекты представляются как вершины, или узлы графа (они обозначаются точками), а связи - как дуги, или рёбра. Если связь однонаправленная обозначается на схеме линиями со стрелками, если связь между объектами двусторонняя обозначается на схеме линиями без стрелок. Основное направление работы с комбинаторными задачами – это переход от осуществления случайного перебора вариантов к проведению системного перебора. Задачи данного вида нагляднее решать при помощи графа.

Многие логические задачи легче решать при помощи графов. Графы позволяют наглядно представить условие задачи, а значит, значительно упростить её решение.

Задача № 4.Поступающий на физмат должен сдать три вступительных экзамена по десятибалльной системе. Сколькими способами он может сдать экзамены, чтобы быть принятым в университет, если проходной балл в тот год составил 28 баллов?

Решение. Для решения этой задачи, как и во многих других комбинаторных и вероятностных задачах, эффективным оказывается организация элементов анализируемого множества в виде дерева. От одной выделенной вершины проводятся ребра, соответствующие оценке на первом экзамене, а затем к их концам добавляются новые ребра, соответствующие возможным результатам второго экзамена, а затем и третьего.

Таким образом, для поступления на физмат можно сдать вступительные экзамены 10 различными способами.

Граф-дерево назван так за внешнее сходство с деревом. С помощью графа-дерева подсчет вариантов гораздо легче производить. Также вычерчивать дерево вариантов полезно, когда требуется записать все существующие комбинации элементов.

Задача № 5. На одном далеком острове живут два племени: рыцарей (которые всегда говорят правду) и плутов (которые всегда лгут). Один мудрец-путешественник рассказал такую историю. «Приплыв на остров, я встретил двух местных жителей и захотел узнать, из какого они племени. Я спросил первого: «Вы оба рыцари?». Не помню, ответил он «да» или «нет», но по его ответу я не смог однозначно определить кто из них кто. Тогда я спросил у того же жителя: «Вы из одного племени?». Опять-таки, не помню, ответил он «да» или «нет», но после этого ответа я сразу догадался, кто из них кто». Кого же встретил мудрец?

П

Решение:

Р

Р

нет

да

да

да

да

да

нет

нет

да

да

да

2

Ответ: первый ответ - "да", второй ответ - "нет" - мудрец встретил двух плутов.

Заключение. Приложение теории графов в различных областях науки и техники.

Инженер чертит схемы электрических цепей.

Химик рисует структурные формулы, чтобы показать, как в сложной молекуле с помощью валентных связей соединяются друг с другом атомы. Историк прослеживает родословные связи по генеалогическому дереву. Военачальник наносит на карту сеть коммуникаций, по которым из тыла к передовым частям доставляется подкрепление.

Социолог по сложнейшей диаграмме показывает, как подчиняются друг другу различные отделы одной огромной корпораций.

Что общего во всех этих примерах? В каждом из них фигурирует граф.

На языке теории графов формируются и решаются многие технические задачи, задачи из области экономики, социологии, менеджмента и т.д. Графы используются для наглядного представления объектов и связи между ними

К теории графов также относится целый ряд математических проблем, не решенных на сегодняшний день.

Литература.

«Энциклопедия для детей. Т.11. Математика» /Глав.ред. М.Д.Аксёнова/ Издательский центр «Аванта+», 1998.

«За страницами учебника математики» Сост. С. А. Литвинова. -2-е изд., дополненное. – М.:Глобус, Волгоград: Панорама, 2008.

Графы // Квант. -1994.- № 6.

Математические головоломки и развлечения. М. Гарднер. – М.: «Мир», 1971.

Зыков А.А. Основы теории графов М.: Вузовская книга, 2004.

Мельников О.И. Занимательные задачи по теории графов Издательство: ТетраСистемс, 2001.

Берж К. Теория графов и ее приложения. М.: ИЛ, 1962.

Материалы из Википедии - свободной энциклопедии.

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

ВВЕДЕНИЕ

«В математике следует помнить не формулы, а процесс мышления…»

Е. И. Игнатьев

Теория графов в настоящее время является интенсивно развивающимся разделом математики. Это объясняется тем, что в виде графовых моделей описываются многие объекты и ситуации, что очень важно для нормального функционирования общественной жизни. Именно этот фактор определяет актуальность их более подробного изучения. Поэтому тематика данной работы достаточно актуальна.

Цель исследовательской работы: выяснить особенности применения теории графов в различных областях знаний и при решении логических задач.

Цель определила следующие задачи:

познакомиться с историей теории графов;

изучить основные понятия теории графов и основные характеристики графов;

показать практическое применение теории графов в различных областях знаний;

рассмотреть способы решения задач с помощью графов и составить собственные задачи.

Объект исследования: сфера деятельности человека на предмет применения метода графов.

Предмет исследования: раздел математики «Теория графов».

Гипотеза. Мы предполагаем, что изучение теории графов может помочь учащимся решать логические задачи по математике, что определит их дальнейшие интересы.

Методы исследовательской работы:

В ходе нашего исследования были использованы такие методы, как:

1) Работа с различными источниками информации.

2) Описание, сбор, систематизация материала.

3) Наблюдение, анализ и сравнение.

4) Составление задач.

Теоретическая и практическая значимость данной работы определяется тем, что результаты могут быть использованы на информатике, математике, геометрии, черчении и классных часах, а также для широкого круга читателей, заинтересованных данной темой. Исследовательская работа имеет выраженную практическую направленность, так как в работе автором представлены многочисленные примеры применения графов во многих областях знаний, составлены свои задачи. Данный материал можно использовать на факультативных занятиях по математике.

ГЛАВА I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ ОБЗОР МАТЕРИАЛА ПО ТЕМЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

1. Теория графов. Основные понятия

В математике «граф» можно изобразить в виде картинки, которая представляет собой некоторое количество точек, соединенных линиями. «Граф» происходит от латинского слова «графио» - пишу, как и известный дворянский титул.

В математике определение графа дается так:

Термин «граф» в математике определяется следующим образом:

Граф - это конечное множество точек - вершин , которые могут быть соединены линиями - ребрами .

В качестве примеров графов могут выступать чертежи многоугольников, электросхемы, схематичное изображение авиалиний, метро, дорог и т.п. Генеалогическое дерево также является графом, где вершинами служат члены рода, а родственные связи выступают в качестве ребер графа.

Рис. 1 Примеры графов

Число ребер, которое принадлежит одной вершине, называется степенью вершины графа . Если степень вершины нечетное число, вершина называется - нечетной . Если степень вершины число четное, то и вершина называется четной .

Рис. 2 Вершина графа

Нуль-граф - это граф, состоящий только из изолированных вершин, не соединенных ребрами.

Полный граф - это граф, каждая пара вершин которого соединена ребром. N-угольник, в котором проведены все диагонали, может служить примеров полного графа.

Если в графе выбрать такой путь, когда начальная и конечная точка совпадают, то такой путь называется циклом графа . Если прохождение через каждую вершину графа происходит не более одного раза, то цикл называется простым .

Если в графе каждые две вершины связаны ребром, то это связанный граф. Граф называется несвязанным , если в нем есть хотя бы одна пара несвязанных вершин.

Если граф связанный, но не содержит циклов, то такой граф называетсядеревом .

1. Характеристики графов

Путь графа - это такая последовательность, в которой каждые два соседних ребра, имеющих одну общую вершину, встречаются только один раз.

Длина кратчайшей цепи из вершин a и b называется расстоянием между вершинами a и b.

Вершина а называется центром графа, если расстояние между вершиной а и любой другой вершиной является наименьшим и из возможных. Такое расстояние есть радиус графа.

Максимально возможное расстояние между двумя любыми вершинами графа называется диаметром графа.

Раскраска графов и применение.

Если внимательно посмотреть на географическую карту, то можно увидеть железные или шоссейные дороги, которые являются графами. Кроме этого на катре есть граф, который состоит из границ между странами (районами, областями).

В 1852 году английскому студенту Френсису Гутри поставили задачу раскрасить карту Великобритани, выделив каждое графство отдельным цветом. Из-за небольшого выбора красок Гутри использовал их повторно. Он подбирал цвета так, чтобы те графства, которые имеют общий участок границы, обязательно окрашивались в разные цвета. Возник вопрос, какое наименьшее количество красок необходимо для раскрашивания различных карт. Френсис Гутри предположил, хотя и не смог доказать, что четырех цветов будет достаточно. Эта проблема бурно обсуждалась в студенческих кругах, но позже была забыта.

«Проблема четырех красок» вызывала все больший интерес, но так и не была решена, даже выдающимися математиками. В 1890 году английским математиком Перси Хивудом было доказано, что для раскрашивания любой карты будет достаточно пяти красок. А только 1968 году смогли доказать, что для раскрашивания карты, на которой изображено меньше сорока стран, будет достаточно 4 цветов.

В 1976 году эта задача была решена при использовании компьютера двумя американскими математиками Кеннетом Аппелем и Вольфгантом Хакеном. Для ее решения все карты были поделены на 2000 типов. Для компьютера была создана программа, которая исследовала все типы с целью выяления таких карт, для раскрашивания которых будет недостаточно четырех красок. Только три типа карт компьютер исследовать не смог, поэтому математики изучали их самостоятельно. В результате было установлено, что для раскрашивания всех 2000 типов карт будет достаточно 4 красок. Им было объявлено о решении проблемы четырех красок. В этот день почтовое отделение при университете, в котором работали Аппель и Хакен на всех марках ставило штемпель со словами: «Четырех красок достаточно».

Можно представить задачу о четырех красках несколько иначе.

Для этого рассмотрим произвольную карту, представив ее виде графа: столицы государств являются вершинами графа, а ребра графа связывают те вершины (столицы), государства которых имеют общую границу. Для получения такого графа формулируется следующая задача - необходимо раскрасить граф с помощью четырех цветов так, чтобы вершины, имеющие общее ребро были раскрашены разными цветами.

Эйлеровы и Гамильтоновы графы

В 1859 году английским математиком Уильямом Гамильтоном была выпущена в продажу головоломка - деревянный додекаэдр (двенадцатигранник), двадцать вершин которого были обозначены гвоздиками. Каждая вершина имела название одного из крупнейших городов мира - Кантон, Дели, Брюссель, и т.д. Задача заключалась в нахождении замкнутого пути, который проходит по ребрам многогранника, побывав в каждой вершине только один раз. Для отмечания пути использовался шнур, который цепляли за гвоздики.

Гамильтоновым циклом называется граф, путь которого является простым циклом, который проходит через все вершины графа по одному разу.

На реке Прегель расположен город Калининград (бывший Кенигсберг). Река омывала два острова, которые между собой и с берегами были соединены мостами. Старых мостов сейчас уже нет. Память о них осталась только на карте города.

Однажды один житель города спросил у своего знакомого, можно ли пройти по всем мостам, побывать на каждом только один раз и вернуться к тому месту откуда началась прогулка. Эта задача заинтересовала многих горожан, но решить ее никто не смог. Этот вопрос вызвал заинтересованность ученных многих стран. Решение проблемы получил математик Леонард Эйлер. Кроме этого он сформулировал общий подход к решению таких задач. Для этого он превратил карту в граф. Вершинами этого графа стала суша, а ребрами - мосты, ее соединяющие.

При решении задачи про мосты Кенигсберга Эйлеру удалось сформулировать свойства графов.

Начертить граф, начав движение с одной вершины и окончив в той же вершине одним росчерком (дважды не проводя по одной и той же линии и не отрывая карандаша от бумаги) возможно в том случае, если все вершины графа четные.

Если есть граф с двумя нечетными вершинами, то его вершины тоже можно соединить одним росчерком. Для этого нужно начать с одной, а закончить на другой любой нечетной вершине.

Если есть граф с числом нечетных вершин больше двух, то граф невозможно начертить одним росчерком.

Если применять эти свойства на задачу о мостах, то можно увидеть, что все вершины исследуемого графа нечетные, значит, этот граф нельзя соединить одним росчерком, т.е. невозможно пройти по всем мостам один раз и закончить путь в том месте, где он был начат.

Если граф имеет цикл (не обязательно простой), содержащий все рѐбра графа по одному разу, то такой цикл называется Эйлеровым циклом . Эйлерова цепь (путь, цикл, контур) — цепь (путь, цикл, контур), содержащая все рѐбра (дуги) графа по одному разу.

ГЛАВА II. ОПИСАНИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ И ЕГО РЕЗУЛЬТАТЫ

2.1. Этапы проведения исследования

Для проверки гипотезы исследование включало три этапа (таблица 1):

Этапы исследования

Таблица 1.

		Используемые методы
Теоретическое исследование проблемы	Изучить и проанализировать познавательную и научную литературу.	 самостоятельное размышление;  изучение информационных источников;  поиск необходимой литературы.
Практическое исследование проблемы	Рассмотреть и проанализировать области практического применения графов;	 наблюдение;  анализ;  сравнение;  анкетирование.
3 этап. Практическое использование результатов	Обобщить изученную информацию;	 систематизация;  отчет (устный, письменный, с демонстрацией материалов)	сентябрь 2017 г.

2.2. Области практического применения графов

Графы и информация

Теория информации широко использует свойства двоичных деревьев.

Например, если нужно закодировать некоторое число сообщений в виде определенных последовательностей нулей и единиц различной длины. Код считается наилучшим, для заданной вероятности кодовых слов, если средняя длина слов наименьшая в сравнении другими распределениями вероятности. Для решения такой задачи Хаффман предложил алгоритм, в котором, код представляется деревом-графом в рамках теории поиска. Для каждой вершины предлагается вопрос, ответом на который может быть либо, «да», либо «нет» - что соответствует двум ребрам, выходящим из вершины. Построение такого дерева завершается после установления того, что требовалось. Это может применяться в интервьюировании нескольких человек, когда заранее неизвестен ответ на предыдущий вопрос, план интервью представляется в виде двоичного дерева.

Графы и химия

Еще А. Кэли рассмотрел задачу о возможных структурах насыщенных (или предельных) углеводородов, молекулы которых задаются формулой:

CnH 2n+2

Все атомы углеводорода 4-хвалентны, все атомы водорода 1-валентны. Структурные формулы простейших углеводородов показаны на рисунке.

Каждую молекулу предельного углеводорода можно представить в виде дерева. При удалении всех атомов водорода, атомы углеводорода, которые остались, образуют дерево с вершинами, степень которых не выше четырех. Значит, количество возможных искомых структур (гомологов данного вещества) равняется числу деревьев, степени вершин которых, не больше 4. Это задача сводится к задаче о перечислении деревьев отдельного вида. Д. Пойа рассмотрел эту задачу и ее обобщения.

Графы и биология

Процесс размножения бактерий - это одна из разновидностей ветвящихся процессов, встречающихся в биологической теории. Пусть каждая бактерия по истечению определенного времени или погибает, или делится на две. Следовательно, для одной бактерии мы получим двоичное дерево размножения ее потомства. Вопрос задачи заключается в следующем, какое количество случаев содержит k потомков в n-м поколение одной бактерии? Данное соотношение в биологии носит название процесс Гальтона-Ватсона, которое обозначает необходимое количество нужных случаев.

Графы и физика

Сложная утомительная задача для любого радиолюбителя - создание печатных схем (пластина диэлектрика - изолирующего материала и вытравленные дорожки в виде металлических полосок). Пересечение дорожек происходит только в определенных точках (местах установления триодов, резисторов, диодов и пр.) по определенным правилам. В результате перед ученым стоит задача вычертить плоский граф, с вершинами в

Итак, все выше сказанное подтверждает практическую ценность графов.

Математика интернета

Интернет - всемирная система объединенных компьютерных сетей для хранения и передачи информации.

Сеть интернет можно представить в виде графа, где вершины графа - это интернет сайты, а ребра - это ссылки (гиперссылки), идущие с одних сайтов на другие.

Веб-граф (Интернет), имеющий миллиарды вершин и ребер, постоянно меняется - спонтанно добавляются и исчезают сайты, пропадают и добавляются ссылки. Однако, Интернет имеет математическую структуру, подчиняется теории графов и имеет несколько «устойчивых» свойств.

Веб-граф разрежен. Он содержит всего лишь в несколько раз больше ребер, чем вершин.

Несмотря на разреженность, интернет очень тесен. От одного сайта до другого по ссылкам, можно перейти за 5 - 6 кликов (знаменитая теория «шести рукопожатий»).

Как мы знаем, степень графа - это число ребер, которым принадлежит вершина. Степени вершин веб-графа распределены по определенному закону: доля сайтов (вершин) с большим количеством ссылок (ребер) мала, а сайтов с малым количеством ссылок - велика. Математически это можно записать так:

где - доля вершин определенной степени, - степень вершины, - постоянная, независящая от числа вершин веб-графа, т.е. не меняется в процессе добавления или удаления сайтов (вершин).

Этот степенной закон является универсальным для сложных сетей - от биологических до межбанковских.

Интернет как целое устойчив к случайным атакам на сайты.

Так как уничтожение и создание сайтов происходит независимо и с одинаковой вероятностью, то и веб-граф, с вероятность близкой к 1, сохраняет свою целостность и не разрушается.

Для изучения интернета необходимо строить модель случайного графа. Эта модель должна обладать свойствами реального интернета и не должна быть слишком сложной.

Эта задача пока полностью не решена! Решение этой задачи - построения качественной модели интернета - позволит разработать новые инструменты для улучшения поиска информации, выявления спама, распространения информации.

Построение биологических и экономических моделей началось значительно раньше, чем возникла задача построения математической модели интернета. Однако достижения в развитии и изучении интернета, позволили ответить на многие вопросы, касающиеся всех этих моделей.

Математика интернета востребована многими специалистами: биологами (предсказание роста популяций бактерий), финансистами (риски возникновения кризисов) и т.п. Изучение подобных систем - один из центральных разделов прикладной математики и информатики.

г. Мурманск с помощью графа.

Когда человек приезжает в новый для него город, как правило, первое желание - это посетить главные достопримечательности. Но при этом запас времени зачастую ограничен, а в случае деловой поездки, совсем мал. Следовательно, необходимо планировать знакомство с достопримечательностями заранее. И в построении маршрута отлично помогут графы!

В качестве примера рассмотрим типичный случай прибытия в Мурманск из аэропорта в первый раз. Планируется посетить следующие достопримечательности:

1. Морской православный храм Спас-на-водах;

2. Свято-Никольский собор;

3. Океанариум;

4. Памятник коту Семену;

5. Атомный ледокол Ленин;

6. Парк Огни Мурманска;

7. Парк Долина Уюта;

8. Кольский мост;

9. Музей истории Мурманского морского пароходства;

10. Площадь Пяти углов;

11. Морской торговый порт

Вначале расположим эти места на карте и получим наглядное представление о местоположении и расстоянии между достопримечательностями. Сеть дорог достаточно развита, и перемещение на автомобиле не будет затруднительным.

Достопримечательности на карте (слева) и полученный граф (справа) показаны на соответствующем рисунке ПРИЛОЖЕНИЯ №1. Таким образом, новоприбывший вначале проедет около Кольского моста(и, при желании может пересечь его туда - обратно); затем отдохнет в Парке Огни Мурманска и Долине Уюта и отправится дальше. В итоге оптимальный маршрут составит:

С помощью графа можно также визуализировать схему проведения соцопросов. Примеры представлены в ПРИЛОЖЕНИИ №2. В зависимости от данных ответов опрашиваемому задают разные вопросы. Например, если в социологическом опросе №1 опрашиваемый считает математику важнейшей из наук, у него спросят, уверенно ли он чувствует себя на уроках физики; если же он считает иначе, второй вопрос будет касаться востребованности гуманитарных наук. Вершинами такого графа являются вопросы, а ребрами - варианты ответов.

2.3. Применение теории графов при решении задач

Теория графов применяется при решении задач из многих предметных областей: математика, биология, информатика. Мы изучили принцип решения задач с помощью теории графов и составили собственные задачи по теме исследования.

Задача №1.

Пятеро одноклассников, на встрече выпускников, обменялись рукопожатиями. Сколько всего было сделано рукопожатий?

Решение: Обозначим одноклассников вершинами графа. Соединим каждую вершину линиями, с четырьмя другими вершинам. Получаем 10 линий, это и есть рукопожатиями.

Ответ: 10 рукопожатий (каждая линия означает одно рукопожатие).

Задача №2.

У моей бабушке в деревне, возле дома растут 8 деревьев: тополь, дуб, клен, яблоня, лиственница, береза, рябина и сосна. Рябина выше лиственницы, яблоня выше клена, дуб ниже березы, но выше сосны, сосна выше рябины, береза ниже тополя, а лиственница выше яблони. В какой последовательности расположатся деревья по высоте от самого высокого к самому низкому.

Решение:

Деревья - это вершины графа. Обозначим их первой буквой в кружочке. Проведем стрелки от низкого дерева к более высокому. Сказано, что рябина выше лиственницы, то стрелку ставим от лиственницы к рябине, берёза ниже тополя, то стрелку ставим от тополя к берёзе и т.п. Получаем граф, где видно, что самое низкое дерево - клен, потом яблоня, лиственница, рябина, сосна, дуб, береза и тополь.

Ответ: клен, яблоня, лиственница, рябина, сосна, дуб, береза и тополь.

Задача №3.

У Мамы есть 2 конверта: обычный и авиа, и 3 марки: квадратная, прямоугольная и треугольная. Сколькими способами Мама может выбрать конверт и марку, чтобы отправить письмо Папе?

Ответ: 6 способов

Задача №4.

Между населенными пунктами A, B, C, D, E построены дороги. Нужно определить длину кратчайшего пути между пунктами А и Е. Передвигаться можно только по дорогам, длина которых указана на рисунке.

Задача №5.

Тремя одноклассника - Максим, Кирилл и Вова решили заняться спортом и прошли отбор спортивные секции. Известно, что в баскетбольную секцию претендовал 1 мальчик, а в хоккей хотели играть трое. Максим пробовался только в 1 секцию, Кирилл отбирался во все три секции, а Вова в 2. Кого из мальчиков в какую спортивную секцию отобрали?

Решение: Для решения задачи применим графы

Баскетбол Максим

Футбол Кирилл

Хоккей Вова

Так как к баскетболу идет лишь одна стрелка, то Кирилла отобрали в сецию баскетбола . Тогда Кирилл не будет играть в хоккей , а значит, в хоккейную секцию отобрали Максима, который пробовался только в эту секцию, тогда Вова будет футболистом .

Задача №6.

Из-за болезни некоторых преподавателей, завучу школы, требуется составить фрагмент расписания занятий в школе хотя бы на один день, с учетом следующих обстоятельств:

1. Преподаватель ОБЖ согласен дать только последний урок;

2. Преподаватель географии может дать либо второй, либо третий урок;

3. Математик готов дать либо только первый, либо только второй урок;

4. Преподаватель физики может дать либо первый, либо второй, либо третий уроки, но только в одном классе.

Какое расписание может составить завуч школы, чтобы оно удовлетворяло всем преподавателей?

Решение: Эту задачу можно решить перебирая все возможные варианты, но проще, если начертить граф.

1. 1) физика 2. 1) математика 3. 1) математика

2) математика 2) физика 2) география

3) география 3) география 3) физика

4) ОБЖ 4) ОБЖ 4) ОБЖ

Заключение

В данной исследовательской работе была подробно изучена теория графов, доказана гипотеза, что изучение графов может помочь в решении логических задач, кроме того, рассмотрена теорию графов в разных областях науки и составлены свои 7 задач.

Использование графов при обучении обучающихся поиску решения задач позволяет совершенствовать графические умения учащихся и связывать рассуждения специальным языком конечного множества точек, некоторые из которых соединены линиями. Все это способствует проведению работы по обучению учащихся мышлению.

Эффективность учебной деятельности по развитию мышления во многом зависит от степени творческой активности учащихся при решении математических задач. Следовательно, необходимы математические задачи и упражнения, которые бы активизировали мыслительную деятельность школьников.

Применение задач и использованием элементов теории графов на факультативных занятиях в школе как раз и преследует цель активизации мыслительной деятельности учащихся. Мы считаем, что практический материал по нашему исследованию может быть полезен на факультативных занятиях по математике.

Таким образом, цель исследовательской работы достигнута, задачи решены. В перспективе мы планируем продолжить изучение теории графов и разработать свои маршруты, например, с помощью графа создать экскурсионный маршрут для школьного автобуса ЗАТО Александровск по музеям и памятным местам г. Мурманска.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Березина Л. Ю. «Графы и их применение» - М.: «Просвещение», 1979

Гарднер М. «Математические досуги», М. «Мир», 1972

Гарднер М. «Математические головоломки и развлечения», М. «Мир», 1971

Горбачев А. «Сборник олимпиадных задач» - М. МЦНМО, 2005

Зыков А. А. Основы теории графов. — М.: «Вузовская книга», 2004. — С. 664

Касаткин В. Н. «Необычные задачи математики», Киев, «Радяньска школа», 1987

Математическая составляющая / Редакторы-составители Н.Н. Андреев, С.П. Коновалов, Н.М. Панюшкин. - М.: Фонд «Математические этюды» 2015 г. - 151 с.

Мельников О. И. «Занимательные задачи по теории графов», Мн. «ТетраСистемс»,2001

Мельников О.И. Незнайка в стране графов: Пособие для учащихся. Изд. 3-е, стереотипное. М.: КомКнига, 2007. — 160 с.

Олехник С. Н., Нестеренко Ю. В., Потапов М. К. «Старинные занимательные задачи», М. «Наука», 1988

Оре О. «Графы и их применения», М. «Мир», 1965

Харари Ф. Теория графов / Пер.с англ. и предисл. В. П. Козырева. Под ред. Г. П. Гаврилова. Изд. 2-е. - М.: Едиториал УРСС, 2003. - 296 с.

ПРИЛОЖЕНИЕ №1

Составление оптимального маршрута посещения главных достопримечательностей

г. Мурманск с помощью графа.

Оптимальный маршрут составит:

8. Кольский мост6. Парк Огни Мурманска7. Парк Долина Уюта2. Свято-Никольский собор10. Площадь Пяти углов5. Атомный ледокол Ленин9. Музей истории Мурманского морского пароходства11. Морской торговый порт1. Морской православный храм Спас-на-водах4. Памятник коту Семену3. Океанариум.

ПУТЕВОДИТЕЛЬ ПО ДОСТОПРИМЕЧАТЕЛЬНОСТЯМ МУРМАНСКА

ПРИЛОЖЕНИЕ №2

Социологические опросы № 1, 2