Задачи c2 единого государственного экзамена по математике на нахождение расстояния от точки до плоскости. Определение расстояния между точкой и плоскостью, прямой и плоскостью, между плоскостями и скрещивающимися прямыми Найти кратчайшее расстояние от точ
- Плоскость в пространстве задана уравнением 3x-4y+2z+5=0, найдите расстояние от нее до точки M(3;-2;6).
Дано:
$$ x_0 = 3, \quad y_0 = -2, \quad z_0 = 6 $$
$$ A = 3, \quad B = -4, \quad C = 2, \quad D = 5 $$
Решение:Для решения задачи воспользуемся формулой для нахождения расстояния от точки до плоскости, которое равно длине перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость:
$$ p = {| A \cdot x_0 + B \cdot y_0 + C \cdot z_0 + D|} \over \sqrt{(A^2 + B^2 + C^2)} $$
где A, B, C, D – коэффициенты уравнения плоскости, а x0, y0, z0 – координаты точки.
Произведем подстановку:
$$ \frac{|3 \cdot 3 + (-4) \cdot (-2)+2 \cdot 6 + 5 |}{ \sqrt{(3^2 + (-4)^2 + 2^2)} } = \frac{|9+8+12+5|}{\sqrt{(9+16+4)}} =6,314$$ (линейных единиц)
Ответ: - Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром равным 1 см. Вычислите расстояние от точки А1 до плоскости, определяемой точками В, D и C1.
Решение:
Для решения задачи применим координатный метод. Начало системы координат расположим в точке А. Ось x совместим с ребром AD, ось у – с ребром АВ, ось z – с ребром АА1.
Тогда координаты точки А1 (0;0;1), точек В (0; 1; 0), D (1; 0; 0), C1(1; 1; 1). Поставив в общее уравнение для плоскости A·x+B·y+C·z+D=0 координаты каждой из точек, получим систему из трех уравнений, решив которую найдем коэффициенты и уравнение плоскости x+y-z-1=0.
$$ p = \frac{ |A \cdot x_0 + B \cdot y_0 + C \cdot z_0 + D| }{ \sqrt{(A^2 + B^2 + C^2)} } $$, произведем подстановку:
$$ p = \frac{ |1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 - 1 \cdot 1 - 1| }{ \sqrt{(1+1+1)} } = 1,155 см$$
Ответ:$$ R = 1,155 см $$
- Найдите расстояние то точки М (2;4;-7) до плоскости XOY.
Решение:
Уравнение плоскости XOY представляет собой частный случай, ее уравнение z=0. Применим формулу:
$$ p = \frac{ | A \cdot x_0 + B \cdot y_0 + C \cdot z_0 + D| }{ (A^2 + B^2 + C^2) } $$ , где A=0, B=0, С=1, D=0, x0=2, y0=4, z0=-7.
Произведем подстановку:
$$ p = \frac{ |0 \cdot 2 + 0 \cdot 4 + 1 \cdot (-7)) + 0| }{ \sqrt{(0^2 + 0^2 + 1^2)} } = 7$$
Ответ: - Плоскость определяется репером из трех точек с координатами в прямоугольной системе А1 (0;2;1), В1(2;6;1), С1(4;0;-1). Определите, на каком расстоянии от нее находится точка с координатами М (5;-3;10).
Решение:
Для того чтобы определить расстояние от точки до плоскости воспользуемся формулой
$$ p= \frac{ |A \cdot x_0 + B \cdot y_0 + C \cdot z_0 + D| }{ sqrt{ (A^2 + B^2 + C^2) } } $$
Чтобы воспользоваться нею, необходимо вывести уравнение плоскости, определенной точками А1, В1 и С1. Общий вид этого уравнения A·x+B·y+C·z+D=0. Воспользовавшись одним из методов выведения уравнения плоскости (система уравнений с координатами точек или определитель) находим уравнение плоскости, получим $$2x-y+5z-3=0$$.
Подставим полученные коэффициенты уравнения и координаты точки в формулу:
$$ p = \frac{ |A \cdot x_0 + B \cdot y_0 + C \cdot z_0 + D| }{ \sqrt{ (A^2 + B^2 + C^2) } } = \frac{ |2 \cdot 5 - (-3) + 5 \cdot 10 - 3|}{ \sqrt{ (2^2 + (-1)^2 + 5^2) } } = 10,95 $$
Ответ: - Найдите расстояние от плоскости 4x-6y-4z+7=0 до начала системы координат точки О.
Дано:
$$ x_0 = 0, \quad y_0 = 0, \quad z_0 = 0 $$
$$ A = 4, \quad B = -6, \quad C = -4, \quad D = 7 $$
Решение:Координаты начала системы координат О(0;0;0). Воспользуемся формулой:
$$ p= \frac{ |A \cdot x_0 + B \cdot y_0 + C \cdot z_0 + D| }{ sqrt{ (A^2 + B^2 + C^2) } } $$ Для плоскости $$4x-6y-4z+7=0$$,
$$ A=4, $$
$$ B=-6, $$
$$ C=-4, $$
$$ D=7. $$Подставим значения:
$$ p = \frac{ |A \cdot x_0 + B \cdot y_0 + C \cdot z_0 + D| }{ \sqrt{ (A^2 + B^2 + C^2) } } = \frac{ |4 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - 4 \cdot 0 + 7|}{ \sqrt{ (4^2 + (-6)^2 + (-4)^2) } } = 0,85 $$
Ответ:
Данная статья рассказывает об определении расстояния от точки до плоскости. произведем разбор методом координат, который позволит находить расстояние от заданной точки трехмерного пространства. Для закрепления рассмотрим примеры нескольких задач.
Расстояние от точки до плоскости находится посредством известного расстояния от точки до точки, где одна из них заданная, а другая – проекция на заданную плоскость.
Когда в пространстве задается точка М 1 с плоскостью χ , то через точку можно провести перпендикулярную плоскости прямую. Н 1 является общей точкой их пересечения. Отсюда получаем, что отрезок М 1 Н 1 – это перпендикуляр,который провели из точки М 1 к плоскости χ , где точка Н 1 – основание перпендикуляра.
Определение 1
Называют расстояние от заданной точки к основанию перпендикуляра, который провели из заданной точки к заданной плоскости.
Определение может быть записано разными формулировками.
Определение 2
Расстоянием от точки до плоскости называют длину перпендикуляра, который провели из заданной точки к заданной плоскости.
Расстояние от точки М 1 к плоскости χ определяется так: расстояние от точки М 1 до плоскости χ будет являться наименьшим от заданной точки до любой точки плоскости. Если точка Н 2 располагается в плоскости χ и не равна точке Н 2 , тогда получаем прямоугольный треугольник вида М 2 H 1 H 2 , который является прямоугольным, где имеется катет М 2 H 1 , М 2 H 2 – гипотенуза. Значит, отсюда следует, что M 1 H 1 < M 1 H 2 . Тогда отрезок М 2 H 1 считается наклонной, которая проводится из точки М 1 до плоскости χ . Мы имеем, что перпендикуляр, проведенный из заданной точки к плоскости, меньше наклонной, которую проводят из точки к заданной плоскости. Рассмотрим этот случай на рисунке, приведенном ниже.
Расстояние от точки до плоскости – теория, примеры, решения
Существует ряд геометрических задач, решения которых должны содержать расстояние от точки до плоскости. Способы выявления этого могут быть разными. Для разрешения применяют теорему Пифагора или подобия треугольников. Когда по условию необходимо рассчитать расстояние от точки до плоскости, заданные в прямоугольной системе координат трехмерного пространства, решают методом координат. Данный пункт рассматривает этот метод.
По условию задачи имеем, что задана точка трехмерного пространства с координатами M 1 (x 1 , y 1 , z 1) с плоскостью χ , необходимо определить расстояние от М 1 к плоскости χ . Для решения применяется несколько способов решения.
Первый способ
Данный способ основывается на нахождении расстояния от точки до плоскости при помощи координат точки Н 1 , которые являются основанием перпендикуляра из точки М 1 к плоскости χ . Далее необходимо вычислить расстояние между М 1 и Н 1 .
Для решения задачи вторым способом применяют нормальное уравнение заданной плоскости.
Второй способ
По условию имеем, что Н 1 является основанием перпендикуляра, который опустили из точки М 1 на плоскость χ . Тогда определяем координаты (x 2 , y 2 , z 2) точки Н 1 . Искомое расстояние от М 1 к плоскости χ находится по формуле M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2 , где M 1 (x 1 , y 1 , z 1) и H 1 (x 2 , y 2 , z 2) . Для решения необходимо узнать координаты точки Н 1 .
Имеем, что Н 1 является точкой пересечения плоскости χ с прямой a , которая проходит через точку М 1 , расположенную перпендикулярно плоскости χ . Отсюда следует, что необходимо составление уравнения прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданной плоскости. Именно тогда сможем определить координаты точки Н 1 . Необходимо произвести вычисление координат точки пересечения прямой и плоскости.
Алгоритм нахождения расстояния от точки с координатами M 1 (x 1 , y 1 , z 1) к плоскости χ :
Определение 3
- составить уравнение прямой а, проходящей через точку М 1 и одновременно
- перпендикулярной к плоскости χ ;
- найти и вычислить координаты (x 2 , y 2 , z 2) точки Н 1 , являющимися точками
- пересечения прямой a с плоскостью χ ;
- вычислить расстояние от М 1 до χ , используя формулу M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + z 2 - z 1 2 .
Третий способ
В заданной прямоугольной системе координат О х у z имеется плоскость χ , тогда получаем нормальное уравнение плоскости вида cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0 . Отсюда получаем, что расстояние M 1 H 1 с точкой M 1 (x 1 , y 1 , z 1) , проведенной на плоскость χ , вычисляемое по формуле M 1 H 1 = cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p . Эта формула справедлива, так как это установлено благодаря теореме.
Теорема
Если задана точка M 1 (x 1 , y 1 , z 1) в трехмерном пространстве, имеющая нормальное уравнение плоскости χ вида cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0 , тогда вычисление расстояния от точки до плоскости M 1 H 1 производится из формулы M 1 H 1 = cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p , так как x = x 1 , y = y 1 , z = z 1 .
Доказательство
Доказательство теоремы сводится к нахождению расстояния от точки до прямой. Отсюда получаем, что расстояние от M 1 до плоскости χ - это и есть модуль разности числовой проекции радиус-вектора M 1 с расстоянием от начала координат к плоскости χ . Тогда получаем выражение M 1 H 1 = n p n → O M → - p . Нормальный вектор плоскости χ имеет вид n → = cos α , cos β , cos γ , а его длина равняется единице, n p n → O M → - числовая проекция вектора O M → = (x 1 , y 1 , z 1) по направлению, определяемым вектором n → .
Применим формулу вычисления скалярных векторов. Тогда получаем выражение для нахождения вектора вида n → , O M → = n → · n p n → O M → = 1 · n p n → O M → = n p n → O M → , так как n → = cos α , cos β , cos γ · z и O M → = (x 1 , y 1 , z 1) . Координатная форма записи примет вид n → , O M → = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 , тогда M 1 H 1 = n p n → O M → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p . Теорема доказана.
Отсюда получаем, что расстояние от точки M 1 (x 1 , y 1 , z 1) к плоскости χ вычисляется при помощи подстановки в левую часть нормального уравнения плоскости cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0 вместо х, у, z координаты x 1 , y 1 и z 1 ,относящиеся к точке М 1 , взяв абсолютную величину полученного значения.
Рассмотрим примеры нахождения расстояния от точки с координатами до заданной плоскости.
Пример 1
Вычислить расстояние от точки с координатами M 1 (5 , - 3 , 10) к плоскости 2 x - y + 5 z - 3 = 0 .
Решение
Решим задачу двумя способами.
Первый способ начнется с вычисления направляющего вектора прямой a . По условию имеем, что заданное уравнение 2 x - y + 5 z - 3 = 0 является уравнением плоскости общего вида, а n → = (2 , - 1 , 5) является нормальным вектором заданной плоскости. Его применяют в качестве направляющего вектора прямой a , которая перпендикулярна относительно заданной плоскости. Следует записать каноническое уравнение прямой в пространстве, проходящее через M 1 (5 , - 3 , 10) с направляющим вектором с координатами 2 , - 1 , 5 .
Уравнение получит вид x - 5 2 = y - (- 3) - 1 = z - 10 5 ⇔ x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5 .
Следует определить точки пересечения. Для этого нежно объединить уравнения в систему для перехода от канонического к уравнениям двух пересекающихся прямых. Данную точку примем за Н 1 . Получим, что
x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5 ⇔ - 1 · (x - 5) = 2 · (y + 3) 5 · (x - 5) = 2 · (z - 10) 5 · (y + 3) = - 1 · (z - 10) ⇔ ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0
После чего необходимо разрешить систему
x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3
Обратимся к правилу решения системы по Гауссу:
1 2 0 - 1 5 0 - 2 5 2 - 1 5 3 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 - 5 5 5 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 0 6 0 ⇒ ⇒ z = 0 6 = 0 , y = - 1 10 · 10 + 2 · z = - 1 , x = - 1 - 2 · y = 1
Получаем, что H 1 (1 , - 1 , 0) .
Производим вычисления расстояния от заданной точки до плоскости. Берем точки M 1 (5 , - 3 , 10) и H 1 (1 , - 1 , 0) и получаем
M 1 H 1 = (1 - 5) 2 + (- 1 - (- 3)) 2 + (0 - 10) 2 = 2 30
Второй способ решения заключается в том, чтобы для начала привести заданное уравнение 2 x - y + 5 z - 3 = 0 к нормальному виду. Определяем нормирующий множитель и получаем 1 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 1 30 . Отсюда выводим уравнение плоскости 2 30 · x - 1 30 · y + 5 30 · z - 3 30 = 0 . Вычисление левой части уравнения производится посредствам подстановки x = 5 , y = - 3 , z = 10 , причем нужно взять расстояние от M 1 (5 , - 3 , 10) до 2 x - y + 5 z - 3 = 0 по модулю. Получаем выражение:
M 1 H 1 = 2 30 · 5 - 1 30 · - 3 + 5 30 · 10 - 3 30 = 60 30 = 2 30
Ответ: 2 30 .
Когда плоскость χ задается одним из способов раздела способы задания плоскости, тогда нужно для начала получить уравнение плоскости χ и вычислять искомое расстояние при помощи любого метода.
Пример 2
В трехмерном пространстве задаются точки с координатами M 1 (5 , - 3 , 10) , A (0 , 2 , 1) , B (2 , 6 , 1) , C (4 , 0 , - 1) . Вычислить расстяние от М 1 к плоскости А В С.
Решение
Для начала необходимо записать уравнение плоскости, проходящее через заданные три точки с координатами M 1 (5 , - 3 , 10) , A (0 , 2 , 1) , B (2 , 6 , 1) , C (4 , 0 , - 1) .
x - 0 y - 2 z - 1 2 - 0 6 - 2 1 - 1 4 - 0 0 - 2 - 1 - 1 = 0 ⇔ x y - 2 z - 1 2 4 0 4 - 2 - 2 = 0 ⇔ ⇔ - 8 x + 4 y - 20 z + 12 = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0
Отсюда следует, что задача имеет аналогичное предыдущему решение. Значит, расстояние от точки М 1 к плоскости А В С имеет значение 2 30 .
Ответ: 2 30 .
Нахождение расстояния от заданной точки на плоскости или к плоскости, которым они параллельны, удобнее, применив формулу M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p . Отсюда получим, что нормальные уравнения плоскостей получают в несколько действий.
Пример 3
Найти расстояние от заданной точки с координатами M 1 (- 3 , 2 , - 7) к координатной плоскости О х у z и плоскости, заданной уравнением 2 y - 5 = 0 .
Решение
Координатная плоскость О у z соответствует уравнению вида х = 0 . Для плоскости О у z оно является нормальным. Поэтому необходимо подставить в левую часть выражения значения х = - 3 и взять модуль значения расстояния от точки с координатами M 1 (- 3 , 2 , - 7) к плоскости. Получаем значение, равное - 3 = 3 .
После преобразования нормальное уравнение плоскости 2 y - 5 = 0 получит вид y - 5 2 = 0 . Тогда можно найти искомое расстояние от точки с координатами M 1 (- 3 , 2 , - 7) к плоскости 2 y - 5 = 0 . Подставив и вычислив, получаем 2 - 5 2 = 5 2 - 2 .
Ответ: Искомое расстояние от M 1 (- 3 , 2 , - 7) до О у z имеет значение 3 , а до 2 y - 5 = 0 имеет значение 5 2 - 2 .
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.
Сбор и использование персональной информации
Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.
От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.
Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.
Какую персональную информацию мы собираем:
- Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.
Как мы используем вашу персональную информацию:
- Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
- Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
- Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
- Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.
Раскрытие информации третьим лицам
Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.
Исключения:
- В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
- В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.
Защита персональной информации
Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.
Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании
Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.
Поиск расстояния от точки до плоскости - частая задача, возникающая при решении различных задач аналитической геометрии, например, к этой задаче можно свести нахождение расстояния между двумя скрещивающимися прямыми или между прямой и параллельной ей плоскостью.
Рассмотрим плоскость $β$ и точку $M_0$ с координатами $(x_0;y_0; z_0)$, не принадлежащую плоскости $β$.
Определение 1
Кратчайшим расстоянием между точкой и плоскостью будет перпендикуляр, опущенный из точки $М_0$ на плоскость $β$.
Рисунок 1. Расстояние от точки, до плоскости. Автор24 - интернет-биржа студенческих работ
Ниже рассмотрено как найти расстояние от точки до плоскости координатным методом.
Вывод формулы для координатного метода поиска расстояния от точки до плоскости в пространстве
Перпендикуляр из точки $M_0$, пересекающийся с плоскостью $β$ в точке $M_1$ с координатами $(x_1;y_1; z_1)$, лежит на прямой, направляющим вектором которой является нормальный вектор плоскости $β$. При этом длина единичного вектора $n$ равна единице. Соответственно этому, расстояние от $β$ до точки $M_0$ составит:
$ρ= |\vec{n} \cdot \vec{M_1M_0}|\left(1\right)$, где $\vec{M_1M_0}$ - нормальный вектор плоскости $β$, а $\vec{n}$ - единичный нормальный вектор рассматриваемой плоскости.
В случае, когда уравнение плоскости задано в общем виде $Ax+ By + Cz + D=0$, координаты нормального вектора плоскости представляют собой коэффициенты уравнения $\{A;B;C\}$, а единичный нормальный вектор в этом случае имеет координаты, вычисляемые по следующему уравнению:
$\vec{n}= \frac{\{A;B;C\}}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}\left(2\right)$.
Теперь можно найти координаты нормального вектора $\vec{M_1M_0}$:
$\vec{M_0M_1}= \{x_0 – x_1;y_0-y_1;z_0-z_1\}\left(3\right)$.
Также выразим коэффициент $D$, используя координаты точки, лежащей в плоскости $β$:
$D= Ax_1+By_1+Cz_1$
Координаты единичного нормального вектора из равенства $(2)$ можно подставить в уравнение плоскости $β$, тогда мы имеем:
$ρ= \frac{|A(x_0 -x_1) + B(y_0-y_1)+C(z_0-z_1)|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}= \frac{|Ax_0+ By_0 + Cz_0-(Ax_1+By_1+Cz_1)|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} = \frac{Ax_0+ By_0 + Cz_0 + D}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\left(4\right)$
Равенство $(4)$ является формулой для нахождения расстояния от точки до плоскости в пространстве.
Общий алгоритм для нахождения расстояния от точки $M_0$ до плоскости
- Если уравнение плоскости задано не в общей форме, для начала необходимо привести его к общей.
- После этого необходимо выразить из общего уравнения плоскости нормальный вектор данной плоскости через точку $M_0$ и точку, принадлежащую заданной плоскости, для этого нужно воспользоваться равенством $(3)$.
- Следующий этап - поиск координат единичного нормального вектора плоскости по формуле $(2)$.
- Наконец, можно приступить к поиску расстояния от точки до плоскости, это осуществляется с помощью вычисления скалярного произведения векторов $\vec{n}$ и $\vec{M_1M_0}$.
, Конкурс «Презентация к уроку»
Класс: 11
Презентация к уроку
Назад
Вперёд
Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.
Цели:
- обобщение и систематизация знаний и умений учащихся;
- развитие умений анализировать, сравнивать, делать выводы.
Оборудование:
- мультимедийный проектор;
- компьютер;
- листы с текстами задач
ХОД ЗАНЯТИЯ
I. Организационный момент
II. Этап актуализации знаний (слайд 2)
Повторяем как определяется расстояние от точки до плоскости
III. Лекция (cлайды 3-15)
На занятии мы рассмотрим различные способы нахождения расстояния от точки до плоскости.
Первый метод: поэтапно-вычислительный
Расстояние от точки М до плоскости α:
– равно расстоянию до плоскости α от
произвольной точки Р, лежащей на прямой a,
которая проходит через точку М и параллельна
плоскости α;
– равно расстоянию до плоскости α от
произвольной точки Р, лежащей на плоскости β,
которая проходит через точку М и параллельна
плоскости α.
Решим следующие задачи:
№1. В кубе А…D 1 найти расстояние от точки С 1 до плоскости АВ 1 С.
Осталось вычислить значение длины отрезка О 1 Н.
№2. В правильной шестиугольной призме А…F 1 , все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки А до плоскости DEA 1 .
Следующий метод: метод объемов .
Если объем пирамиды АВСМ равен V, то
расстояние от точки М до плоскости α, содержащей ∆АВС вычисляется по формуле ρ(М; α) = ρ(М; АВС) =
При решении задач мы используем равенство
объемов одной фигуры, выраженные двумя
различными способами.
Решим следующую задачу:
№3. Ребро AD пирамиды DABC перпендикулярно плоскости основания АВС. Найдите расстояние от А до плоскости, проходящей через середины ребер АВ, АС и АD, если.
При решении задач координатным методом
расстояние от точки М до плоскости α можно
вычислить по формуле ρ(М; α) = 
, где М(х 0 ; у 0 ; z 0), а
плоскость задана уравнением ax + by + cz + d = 0
Решим следующую задачу:
№4. В единичном кубе A…D 1 найдите расстояние от точки А 1 до плоскости ВDC 1 .
Введем систему координат с началом в точке А,
ось у пройдет по ребру АВ, ось х – по ребру АD, ось z
– по ребру АА 1 . Тогда координаты точек В
(0; 1; 0) D (1; 0; 0;) C 1 (1; 1; 1)
Составим уравнение плоскости, проходящей через
точки В, D, C 1 .
Тогда – dx – dy + dz + d = 0 x + y – z – 1=
0. Следовательно, ρ = 
Следующий метод, который можно использовать при решении задач данного типа – метод опорных задач.
Применение данного метода состоит в применении известных опорных задач, которые формулируются как теоремы.
Решим следующую задачу:
№5. В единичном кубе А…D 1 найдите расстояние от точки D 1 до плоскости АВ 1 С.
Рассмотрим применение векторного метода.
№6. В единичном кубе А…D 1 найдите расстояние от точки А 1 до плоскости ВDС 1 .
Итак, мы рассмотрели различные способы, которые можно использовать при решении данного типа задач. Выбор того или иного метода зависит от конкретной задачи и ваших предпочтений.
IV. Работа в группах
Попробуйте решить задачу разными способами.
№1. Ребро куба А…D 1 равно . Найдите расстояние от вершины С до плоскости BDC 1 .
№2. В правильном тетраэдре АВСD с ребром найдите расстояние от точки А до плоскости BDC
№3. В правильной треугольной призме АВСА 1 В 1 С 1 все ребра которой равны 1, найдите расстояние от А до плоскости ВСА 1 .
№4. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от А до плоскости SCD.
V. Итог урока, домашнее задание, рефлексия
