Z şeklindeki bir şeklin alanı nasıl bulunur? Belirli integral

Geometride bir şeklin alanı, düz bir cismin temel sayısal özelliklerinden biridir. Alan nedir, çeşitli şekillere göre nasıl belirleneceği ve hangi özelliklere sahip olduğu - bu yazıda tüm bu soruları ele alacağız.

Alan nedir: tanım

Bir şeklin alanı o şekildeki birim karelerin sayısıdır; Gayri resmi olarak konuşursak, bu rakamın boyutudur. Çoğu zaman şeklin alanı “S” olarak gösterilir. Bir palet veya planimetre kullanılarak ölçülebilir. Ayrıca bir şeklin alanı, temel boyutları bilinerek hesaplanabilir. Örneğin bir üçgenin alanı üç farklı formül kullanılarak hesaplanabilir:

Bir dikdörtgenin alanı, genişliğinin uzunluğuna çarpımına eşittir ve bir dairenin alanı, yarıçapın karesi ile π = 3,14 sayısının çarpımına eşittir.

Bir şeklin alanının özellikleri

• alan eşit rakamlar için eşittir;
• alan her zaman negatif değildir;
• Alan için ölçü birimi, bir kenarı 1 birim uzunluğa eşit olan bir karenin alanıdır;
• bir şekil iki parçaya bölünmüşse, şeklin toplam alanı, onu oluşturan parçaların alanlarının toplamına eşittir;
• Alan olarak eşit rakamlara alan olarak eşit denir;
• bir şekil başka bir şekle aitse, birincinin alanı ikincinin alanını aşamaz.

Bir şeklin alanı nasıl bulunur?

Çeşitli şekillerin alanlarını bilmek ve hesaplayabilmek sadece basit problemleri çözmek için gerekli değildir. geometrik problemler. Binaların onarımı için tahminleri hazırlarken veya kontrol ederken, gerekli sayısını hesaplarken bu bilgi olmadan yapamazsınız. sarf malzemeleri. Şimdi farklı şekillerin alanlarını nasıl bulacağımızı bulalım.

Düzlemin kapalı bir kontur içinde yer alan kısmına bu düzlemin alanı denir. Alan, içerdiği birim karelerin sayısıyla ifade edilir.

Ana alanı hesaplamak için geometrik şekiller, doğru formülü kullanmalısınız.

Bir üçgenin alanı

Tanımlar:

1. Eğer h, a biliniyorsa, gerekli üçgenin alanı, kenarın uzunlukları ile bu tarafa indirilen üçgenin yüksekliğinin çarpımı olarak ikiye bölünerek belirlenir: S=(a h)/2
2. a, b, c biliniyorsa, gerekli alan Heron formülü kullanılarak hesaplanır: üçgenin çevresinin yarısı ile çevrenin yarısının ve üçgenin her iki tarafının üç farkının çarpımından alınan karekök: S = √ (p (p - a) (p - b)·(p - c))).
3. a, b, γ biliniyorsa, üçgenin alanı 2 tarafın çarpımının yarısı ile bu kenarlar arasındaki açının sinüsünün değeriyle çarpılarak belirlenir: S=(a b sin γ)/2
4. a, b, c, R biliniyorsa gerekli alan, üçgenin tüm kenarlarının uzunluklarının çarpımının çevrelenen dairenin dört yarıçapına bölünmesiyle belirlenir: S=(a b c)/4R
5. P, r biliniyorsa, üçgenin gerekli alanı, çevrenin yarısının içine yazılan dairenin yarıçapı ile çarpılmasıyla belirlenir: S=p·r

Kare alan

Tanımlar:

1. Kenar biliniyorsa bu şeklin alanı, kenar uzunluğunun karesi olarak belirlenir: S=a 2
2. Eğer d biliniyorsa, karenin alanı köşegen uzunluğunun karesinin yarısı kadar belirlenir: S=d 2 /2

Dikdörtgenin alanı

Tanımlar:

• S - belirlenen alan,
• a, b - dikdörtgenin kenarlarının uzunlukları.

1. a, b biliniyorsa, belirli bir dikdörtgenin alanı iki kenarının uzunluklarının çarpımı ile belirlenir: S=a b
2. Kenar uzunlukları bilinmiyorsa dikdörtgenin alanı üçgenlere bölünmelidir. Bu durumda bir dikdörtgenin alanı, kendisini oluşturan üçgenlerin alanlarının toplamı olarak belirlenir.

Paralelkenarın alanı

Tanımlar:

• S gerekli alandır,
• a, b - kenar uzunlukları,
• H- yükseklik uzunluğu bu paralelkenarın,
• d1, d2 - iki köşegenin uzunlukları,
• α kenarlar arasındaki açıdır,
• γ köşegenler arasındaki açıdır.

1. a, h biliniyorsa kenar uzunlukları ile bu kenara indirilen yükseklik çarpılarak gerekli alan belirlenir: S=a h
2. a, b, α biliniyorsa, paralelkenarın alanı, paralelkenarın kenarlarının uzunlukları ve bu kenarlar arasındaki açının sinüsü çarpılarak belirlenir: S=a b sin α
3. Eğer d 1 , d 2 , γ biliniyorsa, paralelkenarın alanı köşegenlerin uzunluklarının çarpımının yarısı ve bu köşegenler arasındaki açının sinüsü olarak belirlenir: S=(d 1 d 2 sinγ) /2

Bir eşkenar dörtgenin alanı

Tanımlar:

• S gerekli alandır,
• a - kenar uzunluğu,
• h - yükseklik uzunluğu,
• α iki taraf arasındaki daha küçük açıdır,
• d1, d2 - iki köşegenin uzunlukları.

1. a, h biliniyorsa, eşkenar dörtgenin alanı, kenar uzunluğunun bu tarafa indirilen yüksekliğin uzunluğuyla çarpılmasıyla belirlenir: S=a h
2. Eğer a, α biliniyorsa, eşkenar dörtgenin alanı, kenar uzunluğunun karesinin kenarlar arasındaki açının sinüsüyle çarpılmasıyla belirlenir: S=a 2 sin α
3. Eğer d 1 ve d 2 biliniyorsa, gerekli alan eşkenar dörtgenin köşegen uzunluklarının çarpımının yarısı kadar belirlenir: S=(d 1 d 2)/2

Yamuk alanı

Tanımlar:

1. a, b, c, d biliniyorsa gerekli alan şu formülle belirlenir: S= (a+b) /2 *√.
2. Bilinen a, b, h ile gerekli alan, tabanların toplamının yarısı ile yamuğun yüksekliğinin çarpımı olarak belirlenir: S=(a+b)/2 h

Dışbükey bir dörtgenin alanı

Tanımlar:

1. Eğer d 1 , d 2 , α biliniyorsa, o zaman dışbükey bir dörtgenin alanı, dörtgenin köşegenlerinin çarpımının yarısı olarak bu köşegenler arasındaki açının sinüsü ile çarpılarak belirlenir: S=(d 1 · d 2 · günah α)/2
2. Bilinen p, r için, dışbükey bir dörtgenin alanı, dörtgenin yarı çevresinin ve bu dörtgende yazılı dairenin yarıçapının çarpımı olarak belirlenir: S=p r
3. Eğer a, b, c, d, θ biliniyorsa, dışbükey bir dörtgenin alanı, yarı çevre farkının çarpımının karekökü ile her bir tarafın uzunluğunun eksi çarpımı olarak belirlenir. tüm kenarların uzunlukları ve ikisinin toplamının yarısının kosinüsünün karesi zıt köşeler: S 2 = (p - a)(p - b)(p - c)(p - d) - abcd cos 2 ((α+β)/2)

Bir dairenin alanı

Tanımlar:

Eğer r biliniyorsa, gerekli alan π sayısı ile yarıçapın karesinin çarpımı olarak belirlenir: S=π r 2

Eğer d biliniyorsa, dairenin alanı π sayısının çapın karesinin dörde bölünmesiyle elde edilen çarpım olarak belirlenir: S=(π d 2)/4

Karmaşık bir şeklin alanı

Karmaşık olanlar basit geometrik şekillere ayrılabilir. Karmaşık bir şeklin alanı, bileşen alanlarının toplamı veya farkı olarak tanımlanır. Örneğin bir yüzük düşünün.

Tanım:

• S - halka alanı,
• R, r - sırasıyla dış dairenin ve iç dairenin yarıçapları,
• D, d sırasıyla dış ve iç dairelerin çaplarıdır.

Halkanın alanını bulmak için alanı büyük dairenin alanından çıkarmanız gerekir. daha küçük daire. S = S1-S2 = πR 2 -πr 2 = π (R 2 -r 2).

Dolayısıyla, eğer R ve r biliniyorsa, halkanın alanı, dış ve iç dairelerin yarıçaplarının kareleri arasındaki farkın pi ile çarpılmasıyla belirlenir: S=π(R 2 -r 2).

D ve d biliniyorsa, halkanın alanı, dış ve iç dairelerin çaplarının kareleri arasındaki farkın dörtte biri ile pi ile çarpılarak belirlenir: S= (1/4)(D 2) -d 2) π.

Yama alanı

Bir karenin (A) içinde başka bir (B) (daha küçük boyutta) olduğunu varsayalım ve "A" ve "B" şekilleri arasındaki gölgeli boşluğu bulmamız gerekiyor. Sadece "çerçeve" diyelim küçük kare. Bunu yapmak için:

1. "A" şeklinin alanını bulun (bir karenin alanını bulma formülü kullanılarak hesaplanır).
2. Benzer şekilde "B" şeklinin alanını da buluyoruz.
3. "B" alanını "A" alanından çıkarın. Ve böylece gölgeli şeklin alanını elde ederiz.

Artık farklı şekillerin alanlarını nasıl bulacağınızı biliyorsunuz.

Geometrik şekillerin alanları, iki boyutlu uzayda boyutlarını karakterize eden sayısal değerlerdir. Bu değer sistem ve sistem dışı birimlerde ölçülebilir. Yani, örneğin, sistemik olmayan bir alan birimi yüzüncü hektardır. Ölçülen yüzeyin bir arazi parçası olması durumunda durum böyledir. Sistemin alan birimi uzunluğun karesidir. SI sisteminde genel olarak düz bir yüzeyin alan biriminin olduğu kabul edilir. metrekare. GHS'de alan birimi santimetre kare olarak ifade edilir.

Geometri ve alan formülleri ayrılmaz bir şekilde bağlantılıdır. Bu bağlantı, alanların hesaplanmasında yatmaktadır. düz rakamlar tamamen onların uygulamasına dayanmaktadır. Birçok şekil için, kare boyutlarının hesaplandığı çeşitli seçenekler türetilmiştir. Sorun tanımındaki verilere dayanarak mümkün olan en basit çözümü belirleyebiliriz. Bu, hesaplamayı kolaylaştıracak ve hesaplama hatası olasılığını en aza indirecektir. Bunu yapmak için geometrideki şekillerin ana alanlarını göz önünde bulundurun.

Herhangi bir üçgenin alanını bulmak için kullanılan formüller çeşitli seçeneklerle sunulmaktadır:

1) Bir üçgenin alanı a tabanından ve h yüksekliğinden hesaplanır. Taban, şeklin yüksekliğin alçaltıldığı tarafı olarak kabul edilir. O zaman üçgenin alanı:

2) Hipotenüs taban olarak kabul edilirse dik üçgenin alanı aynı şekilde hesaplanır. Bacağını taban olarak alırsak, sağ üçgenin alanı bacakların yarıya bölünmesine eşit olacaktır.

Herhangi bir üçgenin alanını hesaplamak için kullanılan formüller burada bitmiyor. Başka bir ifade şunları içerir: a,b kenarları ve a ile b arasındaki γ açısının sinüzoidal bir fonksiyonu. Sinüs değeri tablolarda bulunur. Bunu hesap makinesi kullanarak da öğrenebilirsiniz. O zaman üçgenin alanı:

Bu eşitliği kullanarak bir dik üçgenin alanının bacakların uzunluklarına göre belirlendiğini de doğrulayabilirsiniz. Çünkü γ açısı dik açıdır, dolayısıyla dik üçgenin alanı sinüs fonksiyonuyla çarpılmadan hesaplanır.

3) Düşünün özel durum- a kenarı koşulla bilinen veya uzunluğu çözüm sırasında bulunabilen normal bir üçgen. Geometri problemindeki şekil hakkında daha fazla bir şey bilinmiyor. Peki bu koşul altındaki alan nasıl bulunur? Bu durumda normal üçgenin alanı formülü uygulanır:

Dikdörtgen

Bir dikdörtgenin alanı nasıl bulunur ve ortak köşe noktası olan kenarların boyutları nasıl kullanılır? Hesaplama için ifade şu şekildedir:

Bir dikdörtgenin alanını hesaplamak için köşegenlerin uzunluklarını kullanmanız gerekiyorsa, kesiştiklerinde oluşan açının sinüsünün bir fonksiyonuna ihtiyacınız olacaktır. Bir dikdörtgenin alanı için bu formül:

Kare

Bir karenin alanı, kenar uzunluğunun ikinci kuvveti olarak belirlenir:

Kanıt, karenin dikdörtgen olduğu tanımından çıkar. Kareyi oluşturan tüm kenarlar aynı boyutlara sahiptir. Bu nedenle, böyle bir dikdörtgenin alanının hesaplanması, birinin diğeriyle, yani tarafın ikinci kuvvetiyle çarpılmasına indirgenir. Ve karenin alanını hesaplama formülü istenilen şekli alacaktır.

Bir karenin alanı başka bir şekilde de bulunabilir, örneğin köşegeni kullanırsanız:

Bir daire ile sınırlanan bir düzlemin bir kısmının oluşturduğu bir şeklin alanı nasıl hesaplanır? Alanı hesaplamak için formüller şunlardır:

Paralelkenar

Bir paralelkenar için formül, kenarın doğrusal boyutlarını, yüksekliği ve matematiksel işlemi - çarpmayı içerir. Yükseklik bilinmiyorsa paralelkenarın alanı nasıl bulunur? Hesaplamanın başka bir yolu var. Belirli bir değer gerekli olacak ve bu da trigonometrik fonksiyon bitişik kenarların oluşturduğu açı ve uzunlukları.

Paralelkenarın alanı için formüller şunlardır:

Eşkenar dörtgen

Eşkenar dörtgen adı verilen bir dörtgenin alanı nasıl bulunur? Bir eşkenar dörtgenin alanı basit bir şekilde belirlenir matematiksel işlemler köşegenlerle. Kanıt, d1 ve d2'deki köşegen parçalarının dik açılarla kesiştiği gerçeğine dayanmaktadır. Sinüs tablosundan şunu görebiliriz: dik açı bu fonksiyon bire eşittir. Bu nedenle eşkenar dörtgenin alanı şu şekilde hesaplanır:

Eşkenar dörtgenin alanı başka bir şekilde de bulunabilir. Kenar uzunluklarının aynı olduğu göz önüne alındığında bunu kanıtlamak da zor değildir. Daha sonra çarpımlarını paralelkenar için benzer bir ifadeyle değiştirin. Sonuçta, bu özel figürün özel bir durumu eşkenar dörtgendir. Burada γ eşkenar dörtgenin iç açısıdır. Bir eşkenar dörtgenin alanı şu şekilde belirlenir:

Yamuk

Sorun uzunluklarını gösteriyorsa, yamuğun alanını tabanlardan (a ve b) nasıl bulabilirim? Burada h yüksekliğinin uzunluğunun bilinen bir değeri olmadan böyle bir yamuğun alanını hesaplamak mümkün olmayacaktır. Çünkü bu değer hesaplamaya yönelik ifadeyi içerir:

Dikdörtgen bir yamuğun kare boyutu da aynı şekilde hesaplanabilir. Dikdörtgen bir yamukta yükseklik ve kenar kavramlarının birleştirildiği dikkate alınır. Bu nedenle dikdörtgen bir yamuk için yükseklik yerine yan tarafın uzunluğunu belirtmeniz gerekir.

Silindir ve paralel borulu

Tüm silindirin yüzeyini hesaplamak için neyin gerekli olduğunu düşünelim. Belirli bir şeklin alanı, taban adı verilen bir çift dairedir ve yan yüzey. Daireleri oluşturan dairelerin yarıçap uzunlukları r'ye eşittir. Bir silindirin alanı için aşağıdaki hesaplama yapılır:

Üç çift yüzden oluşan bir paralelyüzün alanı nasıl bulunur? Ölçümleri belirli bir çiftle eşleşiyor. Karşıt yüzler aynı parametrelere sahiptir. Öncelikle S(1), S(2), S(3) - eşit olmayan yüzlerin kare boyutlarını bulun. Daha sonra paralel borunun yüzey alanı:

Yüzük

Merkezi ortak olan iki daire bir halka oluşturur. Ayrıca halkanın alanını da sınırlandırırlar. Bu durumda her iki hesaplama formülü de her dairenin boyutlarını dikkate alır. Bunlardan ilki, halkanın alanını hesaplayan, daha büyük R ve daha küçük r yarıçaplarını içerir. Daha sıklıkla dış ve iç olarak adlandırılırlar. İkinci ifadede halkanın alanı büyük D ve küçük d çapları üzerinden hesaplanır. Böylece halkanın bilinen yarıçaplara göre alanı şu şekilde hesaplanır:

Çapların uzunlukları kullanılarak halkanın alanı şu şekilde belirlenir:

Çokgen

Şekli düzgün olmayan çokgenin alanı nasıl bulunur? Genel formül Bölge için böyle bir rakam yok. Ancak bir koordinat düzleminde tasvir edilmişse, örneğin kareli kağıt olabilir, o zaman bu durumda yüzey alanı nasıl bulunur? Burada şeklin yaklaşık olarak ölçülmesini gerektirmeyen bir yöntem kullanıyorlar. Bunu yaparlar: Hücrenin köşesine düşen veya tam koordinatlara sahip noktalar bulurlarsa, yalnızca bunlar dikkate alınır. Daha sonra alanın ne olduğunu bulmak için Peake tarafından kanıtlanan formülü kullanın. Noktaların yarısı üzerinde olacak şekilde kesikli çizginin içinde bulunan noktaların sayısını eklemek ve bir çıkarmak gerekir, yani. şu şekilde hesaplanır:

burada B, G sırasıyla kesikli çizginin içinde ve tamamında bulunan noktaların sayısıdır.

Teorem 1.

Bir karenin alanı, bir kenarının karesine eşittir.

Kenarı a olan karenin alanının S'nin 2'ye eşit olduğunu kanıtlayalım. Kenarı 1 olan bir kareyi Şekil 1'de gösterildiği gibi n eşit kareye bölelim. geometri alanı şekil teoremi

Şekil 1.

Karenin bir kenarı 1 olduğundan her küçük karenin alanı eşittir. Her küçük karenin kenarı eşittir, yani. a'ya eşit. Bundan şu sonuç çıkıyor. Teorem kanıtlandı.

Teorem 2.

Paralelkenarın alanı, kendi tarafının çarpımına ve bu tarafa çizilen yüksekliğe eşittir (Şekil 2.):

S = a * h.

Verilen paralelkenar ABCD olsun. Dikdörtgen değilse A veya B köşelerinden biri dardır. Kesinlik sağlamak için A açısının dar olmasına izin verin (Şekil 2).

Şekil 2.

A köşesinden CB çizgisine dik bir AE bırakalım. AECD yamuğunun alanı, ABCD paralelkenarı ile AEB üçgeninin alanlarının toplamına eşittir. D köşesinden CD çizgisine dik bir DF bırakalım. Daha sonra yamuk AECD'nin alanı, AEFD dikdörtgeninin ve DFC üçgeninin alanlarının toplamına eşittir. Sağ Üçgenler AEB ve DFC eşittir, yani eşit alanlar. ABCD paralelkenarının alanının AEFD dikdörtgeninin alanına eşit olduğu sonucu çıkar, yani. AE * AD'ye eşittir. AE doğru parçası AD kenarına indirilen paralelkenarın yüksekliğidir ve bu nedenle S = a * h. Teorem kanıtlandı.

Teorem 3

Bir üçgenin alanı, kenarı ile yüksekliğinin çarpımının yarısına eşittir(Şekil 3.):

Şekil 3.

Kanıt.

Verilen üçgen ABC olsun. Şekilde gösterildiği gibi ABCD paralelkenarına ekleyelim (Şekil 3.1.).

Şekil 3.1.

Paralelkenarın alanı ABC ve CDA üçgenlerinin alanlarının toplamına eşittir. Bu üçgenler eşit olduğundan paralelkenarın alanı alanın iki katına eşittir. ABC üçgeni. CB kenarına karşılık gelen paralelkenarın yüksekliği, CB kenarına çizilen üçgenin yüksekliğine eşittir. Bu, teoremin ispatlandığı anlamına gelir.

Teorem 3.1.

Bir üçgenin alanı, iki kenarının çarpımının yarısına ve aralarındaki açının sinüsüne eşittir(Şekil 3.2.).

Şekil 3.2.

Kanıt.

B'nin pozitif yarı eksen C x üzerinde yer alması ve A noktasının pozitif ordinatına sahip olması için, orijini C noktasında olan bir koordinat sistemi tanıtalım. Belirli bir üçgenin alanı, h'nin üçgenin yüksekliği olduğu formül kullanılarak hesaplanabilir. Ancak h, A noktasının ordinatına eşittir, yani. h=b sin C. Bu nedenle . Teorem kanıtlandı.

Teorem 4.

Bir yamuğun alanı, tabanları ile yüksekliğinin toplamının yarısına eşittir(Şekil 4.).

Şekil 4.

Kanıt.

Verilen yamuk ABCD olsun (Şekil 4.1.).

Şekil 4.1.

Bir yamuğun köşegen AC'si onu iki üçgene böler: ABC ve CDA.

Dolayısıyla yamuğun alanı bu üçgenlerin alanlarının toplamına eşittir.

ACD üçgeninin alanı ABC üçgeninin alanına eşittir. Bu üçgenlerin AF ve CE yükseklikleri, BC ve AD paralel çizgileri arasındaki h mesafesine eşittir; yamuğun yüksekliği. Buradan, . Teorem kanıtlandı.

Şekillerin alanları bilimde olduğu gibi geometride de büyük önem taşımaktadır. Sonuçta alan geometrideki en önemli niceliklerden biridir. Alan bilgisi olmadan birçok geometrik problemi çözmek, teoremleri kanıtlamak ve aksiyomları doğrulamak mümkün değildir. Figür alanları yüzyıllar önce büyük önem taşıyordu ancak günümüzde önemini kaybetmedi. modern dünya. Alan kavramları birçok meslekte kullanılmaktadır. İnşaatta, tasarımda ve diğer birçok insan faaliyetinde kullanılırlar. Buradan, geometrinin, özellikle de alan kavramlarının gelişmesi olmasaydı, insanlığın bilim ve teknoloji alanında bu kadar büyük bir atılım yapamayacağı sonucuna varabiliriz.

Var sonsuz sayı düz rakamlar farklı şekiller, hem doğru, hem yanlış. Genel özellik tüm rakamlar - herhangi birinin bir alanı vardır. Şekillerin alanları, bu şekillerin kapladığı düzlem kısmının belirli birimlerle ifade edilen boyutlarıdır. Bu değer her zaman pozitif bir sayı olarak ifade edilir. Ölçü birimi, kenarı bir uzunluk birimine (örneğin bir metre veya bir santimetre) eşit olan bir karenin alanıdır. Herhangi bir şeklin yaklaşık alanı, bölündüğü birim karelerin sayısı bir karenin alanıyla çarpılarak hesaplanabilir.

Bu kavramın diğer tanımları ise şu şekildedir:

1. Basit şekillerin alanları, koşulları sağlayan skaler pozitif niceliklerdir:

Eşit rakamların alanları eşittir;

Bir şekil parçalara (basit şekiller) bölünmüşse, alanı bu şekillerin alanlarının toplamıdır;

Bir kenarı ölçü birimi olan kare, alan birimi görevi görür.

2. Karmaşık şekilli şekillerin (çokgenler) alanları, aşağıdaki özelliklere sahip pozitif niceliklerdir:

Eşit çokgenler aynı alan boyutlarına sahiptir;

Bir çokgen birden fazla çokgenden oluşuyorsa, alanı ikincisinin alanlarının toplamına eşittir. Bu kural örtüşmeyen çokgenler için geçerlidir.

Şekillerin (çokgenlerin) alanlarının pozitif büyüklükler olduğu aksiyom olarak kabul edilmektedir.

Bir dairenin alanının tanımı, bir dairenin içine yazılan belirli bir dairenin alanının, kenarlarının sayısının sonsuz olma eğiliminde olmasına rağmen, eğilim gösterdiği değer olarak ayrı ayrı verilir.

Rakamların alanları düzensiz şekil(rastgele rakamların) bir tanımı yoktur; yalnızca bunları hesaplama yöntemleri belirlenir.

Zaten eski zamanlarda, arazilerin boyutunun belirlenmesinde alanların hesaplanması önemli bir pratik görevdi. Birkaç yüzyıl boyunca alan hesaplama kuralları Yunan bilim adamları tarafından formüle edilmiş ve Öklid'in Elementleri'nde teoremler olarak ortaya konmuştur. İçlerindeki basit figürlerin alanlarını belirleme kurallarının şimdikiyle aynı olması ilginçtir. Sınıra geçiş kullanılarak kavisli konturlu alanlar hesaplandı.

Okuldaki herkesin bildiği basit bir dikdörtgen veya karenin alanlarını hesaplamak oldukça basittir. Şekillerin harf sembolleri içeren alanları için formülleri ezberlemeye bile gerek yoktur. Birkaçını hatırlamak yeterli basit kurallar:

2. Bir dikdörtgenin alanı, uzunluğunun genişliğiyle çarpılmasıyla hesaplanır. Uzunluk ve genişliğin aynı ölçü birimleriyle ifade edilmesi gerekmektedir.

3. Karmaşık bir şeklin alanını, onu birkaç basit parçaya bölerek ve elde edilen alanları toplayarak hesaplıyoruz.

4. Bir dikdörtgenin köşegeni, onu alanları eşit ve alanının yarısına eşit olan iki üçgene böler.

5. Bir üçgenin alanı, yüksekliğinin ve tabanının çarpımının yarısı kadar hesaplanır.

6. Bir dairenin alanı, yarıçapın karesi ile iyi bilinen “π” sayısının çarpımına eşittir.

7. Paralelkenarın alanını, bitişik kenarların çarpımı ve aralarındaki açının sinüsü olarak hesaplıyoruz.

8. Eşkenar dörtgenin alanı, köşegenlerin iç açının sinüsüyle çarpılmasının sonucudur.

9. Yüksekliğini uzunluğuyla çarparak yamuğun alanını bulun orta hat tabanların aritmetik ortalamasına eşittir. Bir yamuğun alanını belirlemek için başka bir seçenek de köşegenlerini ve aralarındaki açının sinüsünü çarpmaktır.

Çocuklar ilkokul Açıklık sağlamak için, görevler sıklıkla verilir: karelere bölünmüş bir palet veya şeffaf bir kağıt kullanarak kağıda çizilen bir şeklin alanını bulun. Böyle bir kağıt, ölçülen şeklin üzerine yerleştirilir, taslağına uyan tam hücrelerin sayısı (alan birimleri) sayılır, ardından yarıya bölünen eksik olanların sayısı sayılır.