İkizkenar üçgen. Örneklerle ayrıntılı teori (2020)
Bir ikizkenar üçgenin özellikleri aşağıdaki teoremleri ifade eder.
Teorem 1. Bir ikizkenar üçgende tabandaki açılar eşittir.
Teorem 2. Bir ikizkenar üçgende, tabana göre açıortay medyan ve yüksekliktir.
Teorem 3. Bir ikizkenar üçgende, tabana çizilen medyan açıortay ve yüksekliktir.
Teorem 4. Bir ikizkenar üçgende, tabana çizilen yükseklik açıortay ve medyandır.
Bunlardan birini ispatlayalım, örneğin Teorem 2.5.
Kanıt. Tabanı BC olan bir ABC ikizkenar üçgeni düşünün ve ∠ B = ∠ C olduğunu kanıtlayın. AD ABC üçgeninin açıortayı olsun (Şekil 1). ABD ve ACD üçgenleri, üçgenlerin eşitliğinin ilk işaretiyle eşittir (AB = AC koşula göre, AD ortak bir taraftır, ∠ 1 = ∠ 2, çünkü AD bir açıortaydır). Bu üçgenlerin eşitliğinden ∠ B = ∠ C çıkar. Teorem kanıtlanmıştır.
Teorem 1 kullanılarak aşağıdaki teorem kurulur.
Teorem 5. Üçgenlerin eşitliği için üçüncü kriter. Bir üçgenin üç kenarı sırasıyla başka bir üçgenin üç kenarına eşitse, bu üçgenler eşittir (Şekil 2).
Yorum Yap. Örnek 1 ve 2'de verilen cümleler, doğru parçasına dik olan orta noktanın özelliklerini ifade etmektedir. Bu cümlelerden anlaşılacağı üçgenin kenarlarına orta dikler bir noktada kesişir.
Örnek 1. Düzlemin doğru parçasının uçlarından eşit uzaklıkta olan noktasının bu doğru parçasına dik olduğunu kanıtlayın.
Çözüm. M noktası AB segmentinin uçlarından eşit uzaklıkta olsun (Şekil 3), yani AM = BM.
O halde Δ AMB ikizkenardır. M noktasından ve AB doğru parçasının O ortasından geçen bir p düz çizgisi çizelim. Yapısal olarak MO segmenti, AMB ikizkenar üçgeninin medyanıdır ve bu nedenle (Teorem 3) ve yükseklik, yani MO düz çizgisi, AB segmentine dik medyanıdır.
Örnek 2. Parçaya dik olan her noktanın uçlarından eşit uzaklıkta olduğunu kanıtlayın.
Çözüm. p AB parçasına dik orta nokta ve O noktası - AB parçasının orta noktası olsun (bkz. Şekil 3).
p doğrusu üzerinde uzanan keyfi bir M noktası düşünün. AM ve VM segmentlerini çizelim. AOM ve PTO üçgenleri eşittir, çünkü onlar apeks O'da düz açılara sahiptirler, bacak OM ortaktır ve bacak OA, bacak OB'ye koşul olarak eşittir. AOM ve PTO üçgenlerinin eşitliğinden AM = BM olduğu çıkar.
Örnek 3. ABC üçgeninde (bkz. Şekil 4) AB = 10 cm, BC = 9 cm, AC = 7 cm; bir üçgende DEF DE = 7 cm, EF = 10 cm, FD = 9 cm.
ABC ve DEF üçgenlerini karşılaştırın. Buna göre bulun eşit açılar.
Çözüm. Bu üçgenler üçüncü öznitelikte eşittir. Buna göre, eşit açılar: A ve E (eşit BC ve FD kenarlarının karşısındadır), B ve F (eşit AC ve DE kenarlarının karşısındadır), C ve D (eşit AB ve EF kenarlarının karşısındadır).
Örnek 4.Şekil 5'te AB = DC, BC = AD, ∠B = 100 °.
D açısını bulun.
Çözüm. ABC ve ADC üçgenlerini ele alalım. Üçüncü kriterde eşittirler (AB = DC, BC = AD koşula göre ve AC tarafı ortaktır). Bu üçgenlerin eşitliğinden ∠ В = ∠ D, ancak В açısı 100 ° 'ye eşittir, bu da D açısının 100 ° 'ye eşit olduğu anlamına gelir.
Örnek 5. Tabanı AC olan bir ABC ikizkenar üçgeninde, C tepe noktasındaki dış açı 123°'dir. ABC açısını bulun. Cevabınızı derece cinsinden verin.
Video çözümü.
Medeniyetimizin ilk tarihçileri - eski Yunanlılar - Mısır'dan geometrinin doğduğu yer olarak bahseder. Firavunların dev mezarlarının ne kadar çarpıcı bir hassasiyetle dikildiğini bilerek, onlarla aynı fikirde olmak zor. Piramitlerin düzlemlerinin karşılıklı düzenlenmesi, oranları, ana noktalara yönelim - böyle bir mükemmelliğe ulaşmak, geometrinin temellerini bilmeden düşünülemezdi.
"Geometri" kelimesinin kendisi "dünyanın ölçümü" olarak tercüme edilebilir. Ayrıca, "dünya" kelimesi bir gezegen olarak görünmüyor - kısmen Güneş Sistemi, ama bir uçak olarak. Bakım alanlarının işaretlenmesi Tarım, büyük olasılıkla, geometrik şekiller biliminin, türlerinin ve özelliklerinin çok orijinal temelidir.
Üçgen, sadece üç nokta içeren planimetrinin en basit uzamsal figürüdür - köşeler (asla daha azı yoktur). Temellerin temeli, belki de, onda gizemli ve eski bir şeyin görünmesinin nedenidir. Üçgenin içindeki her şeyi gören göz, bilinen en eski okült işaretlerden biridir ve dağılımının coğrafyası ve zaman çerçevesi tek kelimeyle şaşırtıcıdır. Eski Mısır, Sümer, Aztek ve diğer uygarlıklardan dünyaya dağılmış daha modern okült topluluklara kadar.
üçgenler nelerdir
Sıradan bir çok yönlü üçgen kapalı geometrik şekil, hiçbiri düz olmayan farklı uzunluklarda ve üç açıda üç parçadan oluşan. Ona ek olarak, birkaç özel tip var.
Dar açılı bir üçgenin tüm açıları 90 dereceden küçüktür. Başka bir deyişle, böyle bir üçgenin tüm köşeleri keskindir.
Okul çocuklarının her zaman teoremlerin bolluğu nedeniyle ağladığı dik açılı üçgen, 90 derece büyüklüğünde bir açıya veya aynı zamanda düz bir çizgiye sahiptir.
Geniş bir üçgen, köşelerinden birinin geniş olması, yani büyüklüğünün 90 dereceden fazla olması bakımından farklılık gösterir.
Eşkenar üçgenin üç kenarı aynı uzunluktadır. Böyle bir şekil için tüm açılar da eşittir.
Ve son olarak, bir ikizkenar üçgende üç taraf ikisi eşittir.
Ayırt edici özellikleri
Bir ikizkenar üçgenin özellikleri, ana, ana farkını da belirler - iki tarafın eşitliği. Bu eşit kenarlara genellikle kalçalar (veya daha sık olarak kenarlar) denir, ancak üçüncü kenara "taban" denir.
İncelenen şekilde, a = b.
Bir ikizkenar üçgen için ikinci kriter sinüs teoreminden gelir. a ve b kenarları eşit olduğundan, karşılıklı açılarının sinüsleri de eşittir:
a / sin γ = b / sin α, buradan: sin γ = sin α.
Sinüslerin eşitliği, açıların eşitliğini ifade eder: γ = α.
Yani, bir ikizkenar üçgenin ikinci işareti, tabana bitişik iki açının eşitliğidir.
Üçüncü işaret. Bir üçgende yükseklik, bisektör ve medyan gibi öğeler ayırt edilir.
Sorunu çözme sürecinde, dikkate alınan üçgende bu unsurlardan herhangi ikisinin çakıştığı ortaya çıkar: açıortay ile yükseklik; medyan ile bisektör; ortanca yükseklik - üçgenin ikizkenar olduğu sonucuna kesinlikle varabiliriz.
Figürün geometrik özellikleri
1. Bir ikizkenar üçgenin özellikleri. Şeklin ayırt edici özelliklerinden biri, tabana bitişik açıların eşitliğidir:
<ВАС = <ВСА.
2. Yukarıda bir özellik daha ele alındı: Bir ikizkenar üçgende ortanca, açıortay ve yükseklik, eğer tepeden tabana doğru inşa edilmişlerse çakışır.
3. Tabandaki köşelerden çizilen açıortayların eşitliği:
AE, BAC açısının açıortayı ise ve CD, BCA açısının açıortayı ise, o zaman: AE = DC.
4. Bir ikizkenar üçgenin özellikleri, tabandaki köşelerden çizilen yüksekliklerin eşitliğini de sağlar.
ABC üçgeninin (AB = BC olduğu yerde) A ve C köşelerinden yüksekliklerini oluşturursak, elde edilen CD ve AE doğru parçaları eşit olacaktır.
5. Tabandaki köşelerden çizilen medyanlar da eşit olacaktır.
Dolayısıyla, AE ve DC medyan ise, yani AD = DB ve BE = EC, o zaman AE = DC.
Bir ikizkenar üçgenin yüksekliği
Kenarların ve açıların eşitliği, söz konusu şeklin elemanlarının uzunluklarının hesaplanmasında bazı özellikler ortaya koymaktadır.
Bir ikizkenar üçgendeki yükseklik, şekli, kenarları hipotenüslerle çıkıntı yapan 2 simetrik dik üçgene böler. Bu durumda yükseklik, bir bacak gibi Pisagor teoremine göre belirlenir.
Bir üçgenin üç kenarı da eşit olabilir, o zaman eşkenar olarak adlandırılır. Eşkenar üçgendeki yükseklik aynı şekilde belirlenir, sadece hesaplamalar için sadece bir değeri bilmek yeterlidir - bu üçgenin kenarının uzunluğu.
Yüksekliği, örneğin tabanı ve ona bitişik açıyı bilerek başka bir şekilde belirleyebilirsiniz.
Bir ikizkenar üçgenin medyanı
Göz önüne alınan üçgen türü, geometrik özellikleri nedeniyle, minimum başlangıç verisi seti ile oldukça basit bir şekilde çözülür. Bir ikizkenar üçgendeki medyan, hem yüksekliğine hem de açıortayına eşit olduğundan, belirleme algoritması bu öğelerin hesaplanma sırasından farklı değildir.
Örneğin, bilinen yan kenar ve tepe açısının değeri ile medyanın uzunluğunu belirleyebilirsiniz.
Çevre nasıl belirlenir
Ele alınan planimetrik şeklin iki kenarı her zaman eşit olduğundan, çevreyi belirlemek için tabanın uzunluğunu ve kenarlardan birinin uzunluğunu bilmek yeterlidir.
Bilinen bir taban ve yükseklikten bir üçgenin çevresini belirlemeniz gerektiğinde bir örnek düşünün.
Çevre, tabanın toplamına ve kenar uzunluğunun iki katına eşittir. Yan taraf ise Pisagor teoremi kullanılarak bir dik üçgenin hipotenüsü olarak tanımlanır. Uzunluğu, yüksekliğin karesi ile tabanın yarısının karesinin toplamının kareköküne eşittir.
Bir ikizkenar üçgenin alanı
Kural olarak, bir ikizkenar üçgenin alanını hesaplamak zor değildir. Bir üçgenin alanını, tabanın çarpımının yarısı ve yüksekliği olarak belirlemek için evrensel kural, elbette bizim durumumuzda geçerlidir. Bununla birlikte, bir ikizkenar üçgenin özellikleri, görevi yeniden kolaylaştırır.
Tabana bitişik yükseklik ve açının bilindiğini varsayalım. Şeklin alanını belirlemek gereklidir. Bu şekilde yapabilirsiniz.
Herhangi bir üçgenin açıları toplamı 180° olduğundan açının değerini belirlemek zor değildir. Daha sonra sinüs teoremine göre oluşan orantı kullanılarak üçgenin tabanının uzunluğu belirlenir. Her şey, taban ve yükseklik - alanı belirlemek için yeterli veri - mevcuttur.
İkizkenar üçgenin diğer özellikleri
Bir ikizkenar üçgenin çevresinde çevrelenmiş bir dairenin merkezinin konumu, tepe açısının büyüklüğüne bağlıdır. Dolayısıyla, bir ikizkenar üçgen dar açılıysa, dairenin merkezi şeklin içindedir.
Geniş bir ikizkenar üçgenin çevrelediği dairenin merkezi, onun dışında yer alır. Ve son olarak, tepe noktasındaki açı 90 ° ise, merkez tam olarak tabanın ortasında yer alır ve dairenin çapı tabanın içinden geçer.
Bir ikizkenar üçgenin çevresinde çevrelenmiş bir dairenin yarıçapını belirlemek için, yan kenarın uzunluğunu, tepe açısının değerinin yarısının kosinüsünün iki katına bölmek yeterlidir.
Tüm üçgenler arasında iki özel tür vardır: dik açılı üçgenler ve ikizkenar üçgenler. Bu tür üçgenler neden bu kadar özel? İlk olarak, bu tür üçgenler genellikle ilk bölümdeki KULLANIM görevlerinin ana karakterleri olarak ortaya çıkıyor. İkincisi, dik açılı ve ikizkenar üçgenlerle ilgili problemlerin çözümü, geometrideki diğer problemlerden çok daha kolaydır. Sadece birkaç kural ve özelliği bilmeniz gerekiyor. En ilginç olanı ilgili konuda tartışılıyor, ancak şimdi ikizkenar üçgenleri ele alacağız. Ve hepsinden önemlisi, bir ikizkenar üçgen nedir. Veya matematikçilerin dediği gibi ikizkenar üçgenin tanımı nedir?
Nasıl göründüğüne bakın:
Dik açılı bir üçgen gibi, ikizkenar üçgenin kenarları için özel adları vardır. İki eşit kenar denir yan taraflar ve üçüncü taraf temel.
Ve yine resme dikkat edin:
Tabii ki, şöyle olabilir:
Yani dikkatli ol: taraf - iki eşit taraftan biri bir ikizkenar üçgende ve baz üçüncü bir taraftır.
Bir ikizkenar üçgen neden bu kadar iyi? Bunu anlamak için, yüksekliği tabana çizelim. Yüksekliğin ne olduğunu hatırlıyor musun?
Peki ne oldu? Bir ikizkenar üçgenden iki dikdörtgen çıktı.
Bu zaten iyi, ancak herhangi bir, en "coosbral" üçgende bu şekilde ortaya çıkacak.
Bir ikizkenar üçgen için resim arasındaki fark nedir? Tekrar bak:
Eh, her şeyden önce, elbette, bu garip matematikçilerin sadece görmeleri yeterli değil - kesinlikle kanıtlamaları gerekiyor. Ve sonra aniden bu üçgenler biraz farklı ve biz onları aynı kabul edeceğiz.
Ama merak etmeyin: Bu durumda kanıtlamak neredeyse görmek kadar kolay.
Hadi başlayalım? Dikkatlice bakın, elimizde:
Ve bu demek ki! Niye ya? Evet, sadece ve ve Pisagor teoreminden buluyoruz (aynı zamanda bunu hatırlayarak)
emin oldun mu? Eh, şimdi elimizde
Ve üç tarafta - üçgenlerin eşitliğinin en kolay (üçüncü) işareti.
Eh, ikizkenar üçgenimiz iki özdeş dikdörtgene bölünmüştür.
Ne kadar ilginç olduğunu görüyor musun? Şu ortaya çıktı:
Matematikçiler arasında bunun hakkında konuşmak nasıl bir gelenektir? Sırayla gidelim:
(Burada medyanın, kenarı ikiye bölen tepe noktasından çizilen çizgi olduğunu ve açıortanın da açı olduğunu unutmayın.)
Pekala, burada bir ikizkenar üçgen verildiğinde nelerin iyi görülebileceğini tartıştık. Bir ikizkenar üçgenin tabanındaki açıların eşit olduğunu ve tabana çizilen yükseklik, açıortay ve medyanın çakıştığını çıkardık.
Ve şimdi başka bir soru ortaya çıkıyor: bir ikizkenar üçgen nasıl tanınır? Yani, matematikçilerin dediği gibi, ne ikizkenar üçgenin işaretleri?
Ve tüm ifadeleri tam tersine "çevirmeniz" gerektiği ortaya çıktı. Bu, elbette, her zaman böyle değildir, ancak bir ikizkenar üçgen yine de harika bir şeydir! "Döndükten" sonra ne olur?
Bakın:
Yükseklik ve medyan çakışırsa, o zaman:
Yükseklik ve açıortay çakışırsa, o zaman: 
Bisektör ve medyan çakışırsa, o zaman:
Peki, unutmayın ve kullanın:
- Size bir ikizkenar üçgen verilirse, yüksekliği çizmekten çekinmeyin, iki dik üçgen alın ve bir dik üçgenle ilgili problemi çözün.
- eğer verilirse iki açı eşittir sonra üçgen Kesinlikle ikizkenar ve yüksekliği tutabilirsiniz ve .... (Jack'in inşa ettiği ev ...).
- Yan tarafta yüksekliğin yarıya indiği ortaya çıkarsa, üçgen sonraki tüm bonuslarla ikizkenardır.
- Yüksekliğin açıyı katlara böldüğü ortaya çıkarsa - ikizkenar da!
- Bisektör tarafı ikiye bölerse veya medyan açıysa, bu da olur. bir tek ikizkenar üçgende
Bakalım görevlerde nasıl görünüyor.
1. sorun(en basit)
Bir üçgende, kenarlar ve taraflar eşittir ve. Bulmak.
Karar veriyoruz:
Önce bir çizim.
Buradaki temel nedir? Kesinlikle, .
Eğer, o zaman ve olduğunu hatırlıyoruz.
Güncellenmiş çizim:
ile belirtelim. Oradaki üçgenin iç açıları toplamı kaçtır? ?
Kullanırız:
bu Cevap: .
Zor değil, değil mi? Yükseklik bile gerekli değildi.
Görev 2(Ayrıca çok zor değil ama konuyu tekrar etmeniz gerekiyor)
Bir üçgende,. Bulmak.
Karar veriyoruz:
Üçgen ikizkenardır! Yüksekliği çiziyoruz (bu, şimdi her şeyin çözüleceği hiledir).
Şimdi "hayattan siliyoruz", sadece dikkate alacağız.
Yani, bizde var:
Kosinüslerin tablo değerlerini hatırlamak (iyi, ya da hile sayfasına bakmak ...)
Bulmak için kalır:.
Yanıt vermek: .
Burada sahip olduğumuza dikkat edin çok bir dik açılı üçgen ve "tablo" sinüsler ve kosinüsler hakkında gerekli bilgi. Çok sık olur: konular, "ikizkenar üçgen" ve bulmacalardaki demetler halinde gider, ancak diğer konularda çok kolay değiller.
İkizkenar üçgen. Ortalama seviye.
Bunlar iki eşit kenar arandı yan taraflar, a üçüncü kenar bir ikizkenar üçgenin tabanıdır.
Resme bakın: ve - kenarlar, - ikizkenar üçgenin tabanı.
Bunun neden böyle olduğunu bir resimde anlayalım. Noktadan yüksekliği çizelim.
Bu, karşılık gelen tüm öğelere eşit oldukları anlamına gelir.
Her şey! Bir çırpıda (yükseklik) tüm ifadeleri bir kerede kanıtladılar.
Ve unutmayın: ikizkenar üçgen problemini çözmek için, yüksekliği ikizkenar üçgenin tabanına indirmek ve onu iki eşit dik açılı üçgene bölmek genellikle çok yararlıdır.
Bir ikizkenar üçgenin belirtileri
Ters ifadeler de doğrudur:
Bu ifadelerin neredeyse tamamı "bir çırpıda" tekrar kanıtlanabilir.
1. Yani, let içeri eşitti ve.
Yüksekliği çizelim. O zamanlar
2.a) Şimdi bir üçgen girelim yükseklik ve bisektör eşleşmesi.
2.b) Ve eğer yükseklik ve medyan çakışırsa? Her şey neredeyse aynı, artık karmaşık değil!
 |
- iki ayak üzerinde |
2.c) Ama yükseklik yoksa bir ikizkenar üçgenin tabanına indirilen , o zaman başlangıçta dik açılı üçgen yoktur. Kötü!
Ancak bir çıkış yolu var - bir sonraki teori düzeyinde okuyun, çünkü burada ispat daha karmaşıktır, ancak şimdilik, medyan ve bisektör çakışırsa, üçgenin de ikizkenar olacağını ve yüksekliğin olacağını unutmayın. hala bu bisektör ve medyan ile çakışıyor.
Özetleyelim:
- Üçgen ikizkenar ise, tabandaki açılar eşittir ve tabana çizilen yükseklik, açıortay ve medyan çakışır.
- Bir üçgende iki eşit açı varsa veya üç çizgiden ikisi (ortay, medyan, yükseklik) çakışıyorsa, böyle bir üçgen ikizkenardır.
İkizkenar üçgen. Kısa açıklama ve temel formüller
İkizkenar üçgen, iki eşit kenarı olan bir üçgendir.
Bir ikizkenar üçgenin belirtileri:
- Bazı üçgenlerde iki açı eşitse, o zaman ikizkenardır.
- Bazı üçgenlerde çakışıyorsa:
a) yükseklik ve bisektör veya
B) yükseklik ve ortanca veya
v) medyan ve bisektör,
bir tarafa çizilirse, böyle bir üçgen ikizkenardır.
KALAN 2/3 MAKALELER SADECE SİZ ZEKİ ÖĞRENCİLERE ULAŞABİLİR!
YouClever öğrencisi olun,
"Ayda bir fincan kahve" fiyatına matematikte OGE veya USE için hazırlanın,
Ayrıca "YouClever" ders kitabına, "100gia" eğitim programına (reshebnik), sınırsız deneme USE ve OGE'ye, çözüm analizi ile 6000 soruna ve diğer YouClever ve 100gia hizmetlerine sınırsız erişim elde edin.
