منطقة جنبًا إلى جنب. كيفية إيجاد مساحة السطح الجانبية للهرم

عند التحضير لامتحان الرياضيات ، يتعين على الطلاب تنظيم معرفتهم بالجبر والهندسة. أود أن أجمع كل المعلومات المعروفة ، على سبيل المثال ، كيفية حساب مساحة الهرم. علاوة على ذلك ، بدءًا من القاعدة والجوانب الجانبية إلى مساحة السطح بأكملها. إذا كان الموقف مع الوجوه الجانبية واضحًا ، نظرًا لأنها مثلثات ، فإن القاعدة تكون مختلفة دائمًا.

ماذا تفعل عند إيجاد مساحة قاعدة الهرم؟

يمكن أن يكون أي شكل على الإطلاق: من مثلث عشوائي إلى n-gon. وهذه القاعدة ، بالإضافة إلى الاختلاف في عدد الزوايا ، يمكن أن تكون شكلًا صحيحًا أو غير صحيح. في مهام الاستخدام التي تهم تلاميذ المدارس ، تتم مصادفة المهام ذات الأرقام الصحيحة في القاعدة فقط. لذلك ، سنتحدث عنها فقط.

مثلث منتظم

هذا هو متساوي الأضلاع. الشخص الذي تتساوى فيه جميع الأطراف ويتم تمييزه بالحرف "أ". في هذه الحالة ، يتم حساب مساحة قاعدة الهرم بالصيغة التالية:

S = (أ 2 * √3) / 4.

ميدان

معادلة حساب مساحتها هي الأبسط ، وهنا "أ" هو الضلع مرة أخرى:

العادية التعسفية n-gon

جانب المضلع له نفس الرمز. لعدد الزوايا ، يتم استخدام الحرف اللاتيني n.

S = (n * a 2) / (4 * tg (180º / n)).

ماذا تفعل عند حساب مساحة السطح الجانبية والإجمالية؟

منذ الأساس يكمن الرقم الصحيحفكل وجوه الهرم متساوية. علاوة على ذلك ، كل واحد منهم هو مثلث متساوي الساقين ، لأن الحواف الجانبية متساوية. بعد ذلك ، لحساب المساحة الجانبية للهرم ، تحتاج إلى صيغة تتكون من مجموع المونوميرات المتطابقة. يتم تحديد عدد المصطلحات من خلال عدد جوانب القاعدة.

ميدان مثلث متساوي الساقينمحسوبة بصيغة يتم فيها ضرب نصف حاصل ضرب القاعدة في الارتفاع. هذا الارتفاع في الهرم يسمى apothem. تعيينها هو "أ". تبدو الصيغة العامة لمساحة السطح الجانبية كما يلي:

S = ½ P * A ، حيث P هو محيط قاعدة الهرم.

هناك حالات عندما تكون جوانب القاعدة غير معروفة ، ولكن يتم إعطاء الحواف الجانبية (ج) وزاوية المستوى عند قمتها (α). ثم من المفترض استخدام الصيغة التالية لحساب المساحة الجانبية للهرم:

S = n / 2 * في 2 sin α .

رقم المشكلة 1

شرط.أوجد المساحة الكلية للهرم إذا كان ضلعًا يبلغ طوله 4 سم في قاعدته ، وكانت قيمة العمود الفقري 3 سم.

حل.عليك أن تبدأ بحساب محيط القاعدة. بما أن هذا مثلث منتظم ، P = 3 * 4 = 12 سم ، وبما أن الصورة الرئيسية معروفة ، يمكننا على الفور حساب مساحة السطح الجانبي بالكامل: ½ * 12 * √3 = 6√3 سم 2.

بالنسبة للمثلث الموجود في القاعدة ، تحصل على قيمة المساحة التالية: (4 2 * √3) / 4 = 4√3 سم 2.

لتحديد المساحة بأكملها ، تحتاج إلى إضافة القيمتين الناتجتين: 6√3 + 4√3 = 10√3 سم 2.

إجابة. 10√3 سم 2.

رقم المشكلة 2

شرط... يوجد هرم رباعي الزوايا منتظم. طول جانب القاعدة 7 مم ، الضلع الجانبي 16 مم. من الضروري معرفة مساحة سطحه.

حل.نظرًا لأن متعدد الوجوه رباعي الزوايا ومنتظم ، يوجد مربع في قاعدته. بعد معرفة مناطق القاعدة والجوانب الجانبية ، سيكون من الممكن حساب مساحة الهرم. تم إعطاء صيغة المربع أعلاه. وفي الوجوه الجانبية ، جميع جوانب المثلث معروفة. لذلك ، يمكنك استخدام صيغة هيرون لحساب مساحتها.

الحسابات الأولى بسيطة وتؤدي إلى هذا الرقم: 49 مم 2. بالنسبة للقيمة الثانية ، تحتاج إلى حساب نصف المحيط: (7 + 16 * 2): 2 = 19.5 مم. يمكنك الآن حساب مساحة مثلث متساوي الساقين: √ (19.5 * (19.5-7) * (19.5-16) 2) = √2985.9375 = 54.644 ملم 2. لا يوجد سوى أربعة مثلثات من هذا القبيل ، لذلك عند حساب الرقم النهائي ، ستحتاج إلى ضربه في 4.

اتضح: 49 + 4 * 54.644 = 267.576 مم 2.

إجابة... القيمة المطلوبة 267.576 ملم 2.

رقم المشكلة 3

شرط... من الضروري حساب مساحة هرم رباعي الزوايا منتظم. ضلع المربع فيه معروف - 6 سم والارتفاع - 4 سم.

حل.أسهل طريقة هي استخدام الصيغة مع حاصل ضرب المحيط و apothem. من السهل العثور على القيمة الأولى. والثاني أكثر تعقيدًا بقليل.

علينا أن نتذكر نظرية فيثاغورس ونأخذ في الاعتبار أنها تتكون من ارتفاع الهرم والقسم ، وهو الوتر. الضلع الثاني يساوي نصف جانب المربع ، لأن ارتفاع متعدد السطوح يقع في وسطه.

الطول المطلوب (وتر المثلث القائم) هو √ (3 2 + 4 2) = 5 (سم).

يمكنك الآن حساب القيمة المطلوبة: ½ * (4 * 6) * 5 + 6 2 = 96 (سم 2).

إجابة. 96 سم 2.

المشكلة رقم 4

شرط.ضلع قاعدته 22 مم وضلوعه 61 مم. ما هي مساحة السطح الجانبي لهذا متعدد السطوح؟

حل.المنطق فيه هو نفسه كما هو موضح في المشكلة 2. فقط هناك تم إعطاء هرم به مربع في قاعدته ، وهو الآن شكل سداسي.

الخطوة الأولى هي حساب مساحة القاعدة وفقًا للصيغة أعلاه: (6 * 22 2) / (4 * tg (180º / 6)) = 726 / (tg30º) = 726√3 سم 2.

أنت الآن بحاجة إلى معرفة نصف محيط المثلث متساوي الساقين ، وهو الوجه الجانبي. (22 + 61 * 2): 2 = 72 سم ويبقى حساب مساحة كل مثلث باستخدام معادلة هيرون ثم ضربها في ستة ثم إضافتها للمثلث الناتج عن القاعدة.

الحسابات باستخدام صيغة هيرون: √ (72 * (72-22) * (72-61) 2) = √435600 = 660 سم 2. الحسابات التي ستعطي مساحة السطح الجانبية: 660 * 6 = 3960 سم 2. يبقى طيها لمعرفة السطح بالكامل: 5217.47 ~ 5217 سم 2.

إجابة.القاعدة 726√3 سم 2 ، السطح الجانبي 3960 سم 2 ، المساحة الكاملة 5217 سم 2.

في هرم مثلثي منتظم سابك ر- وسط الضلع AB, س- أعلى.
ومن المعروف أن ريال = 6، ومساحة السطح الجانبية 36 .
أوجد طول القطعة قبل الميلاد.

لنقم برسم. في الهرم المنتظم ، الوجوه الجانبية هي مثلثات متساوية الساقين.

الجزء ريال سعودى- ينخفض ​​الوسيط إلى القاعدة ، ومن ثم ارتفاع الوجه الجانبي.

مساحة السطح الجانبي للهرم الثلاثي المنتظم تساوي مجموع المساحات
ثلاثة وجوه متساوية الجانب S. = 3 إس إس... من هنا S ABS = 36: 3 = 12- منطقة الوجه.

مساحة المثلث تساوي نصف حاصل ضرب قاعدته بارتفاعه
S ABS = 0.5 AB SR... بمعرفة المساحة والارتفاع ، نجد ضلع القاعدة AB = BC.
12 = 0.5 أب 6
12 = 3 أب
AB = 4

إجابة: 4

يمكنك التعامل مع المشكلة من الطرف الآخر. دع جانب القاعدة AB = BC = أ.
ثم منطقة الوجه S ABS = 0.5 AB SR = 0.5 a 6 = 3a.

مساحة كل من الوجوه الثلاثة هي 3 أ، مساحة الوجوه الثلاثة هي 9 أ.
حسب حالة المشكلة ، تبلغ مساحة السطح الجانبي للهرم 36.
الجانب S. = 9 أ = 36.
من هنا أ = 4.

ما هو الشكل الذي نسميه الهرم؟ أولاً ، إنه متعدد الوجوه. ثانيًا ، يوجد مضلع عشوائي في قاعدة هذا متعدد السطوح ، ويكون لجوانب الهرم (الوجوه الجانبية) بالضرورة شكل المثلثات المتقاربة عند قمة مشتركة واحدة. الآن ، بعد أن تعاملنا مع هذا المصطلح ، سنكتشف كيفية إيجاد مساحة سطح الهرم.

من الواضح أن مساحة سطح مثل هذا الجسم الهندسي تتكون من مجموع مساحات القاعدة وسطحها الجانبي بالكامل.

حساب مساحة قاعدة الهرم

يعتمد اختيار صيغة الحساب على شكل المضلع الموجود في قاعدة الهرم. يمكن أن يكون صحيحًا ، أي مع جوانب من نفس الطول ، أو قد يكون غير صحيح. دعنا نفكر في كلا الخيارين.

في القاعدة يوجد مضلع منتظم

ومن المعروف من الدورة المدرسية:

• مساحة المربع ستكون مساوية لطول ضلعها التربيعي ؛
• مساحة المثلث متساوي الأضلاع تساوي مربع ضلعه مقسومًا على 4 ومضروبة في الجذر التربيعيمن أصل ثلاثة.

ولكن هناك أيضًا معادلة عامة لحساب مساحة أي مضلع منتظم (Sn): تحتاج إلى ضرب قيمة محيط هذا المضلع (P) في نصف قطر الدائرة المنقوشة (r) ، ثم قسمة النتيجة باثنين: Sn = 1 / 2P * r ...

في القاعدة - مضلع غير منتظم

مخطط إيجاد مساحته هو تقسيم المضلع بأكمله أولاً إلى مثلثات ، وحساب مساحة كل منها باستخدام الصيغة: 1 / 2a * h (حيث a هي قاعدة المثلث ، h هو الارتفاع الذي انخفض إلى هذه القاعدة) ، اجمع كل النتائج.

مساحة السطح الجانبي للهرم

الآن دعونا نحسب مساحة السطح الجانبي للهرم ، أي مجموع المساحات من جميع جوانبها الجانبية. هناك خياران متاحان هنا أيضًا.

1. دعونا نحصل على هرم تعسفي ، أي واحد مع مضلع غير منتظم في قاعدته. ثم يجب عليك حساب مساحة كل وجه على حدة وإضافة النتائج. نظرًا لأن جوانب الهرم ، حسب التعريف ، يمكن أن تكون مثلثات فقط ، يتم إجراء الحساب وفقًا للصيغة أعلاه: S = 1 / 2a * h.
2. ليكن هرمنا صحيحا أي. يوجد مضلع منتظم في قاعدته ، ويكون إسقاط قمة الهرم في مركزه. بعد ذلك ، لحساب مساحة السطح الجانبي (Sb) ، يكفي إيجاد نصف حاصل ضرب محيط مضلع القاعدة (P) بالارتفاع (h) من الجانب الجانبي (نفس الشيء بالنسبة للجميع الوجوه): Sb = 1/2 P * h. يتم تحديد محيط المضلع بجمع أطوال جميع جوانبه.

يمكن إيجاد مساحة السطح الإجمالية للهرم المنتظم بجمع مساحة قاعدته مع مساحة السطح الجانبي بأكمله.

أمثلة على

كمثال ، دعونا نحسب جبريًا مساحات سطح العديد من الأهرامات.

مساحة سطح الهرم الثلاثي

في قاعدة هذا الهرم يوجد مثلث. باستخدام الصيغة Sо = 1 / 2a * h ، نجد مساحة القاعدة. نستخدم الصيغة نفسها لإيجاد مساحة كل وجه من جوانب الهرم ، والذي له أيضًا شكل مثلث ، ونحصل على 3 مناطق: S1 و S2 و S3. مساحة السطح الجانبي للهرم هي مجموع كل المساحات: Sb = S1 + S2 + S3. بإضافة مساحات الجوانب والقاعدة ، نحصل على المساحة الإجمالية للهرم المطلوب: Sп = Sо + Sb.

مساحة سطح الهرم رباعي الزوايا

مساحة السطح الجانبية هي مجموع 4 حدود: Sb = S1 + S2 + S3 + S4 ، يتم حساب كل منها باستخدام صيغة مساحة المثلث. وسيتعين البحث عن مساحة القاعدة ، اعتمادًا على شكل رباعي الزوايا - صحيح أو غير صحيح. يتم الحصول على مساحة السطح الإجمالية للهرم مرة أخرى عن طريق إضافة مساحة القاعدة ومساحة السطح الإجمالية للهرم المحدد.

تعريف. حافة جانبيةهو مثلث ، يقع أحد أركانه في أعلى الهرم ، ويتزامن الضلع المقابل مع ضلع القاعدة (المضلع).

تعريف. الضلوع الجانبيةهي الجوانب المشتركة للوجوه الجانبية. للهرم عدد من الحواف يساوي عدد أركان المضلع.

تعريف. ارتفاع الهرمهو عمودي يسقط من أعلى الهرم إلى قاعدته.

تعريف. Apothemهو عمودي على الوجه الجانبي للهرم ، مخفض من أعلى الهرم إلى جانب القاعدة.

تعريف. قسم قطريهو جزء من الهرم بمستوى يمر عبر قمة الهرم وقطري القاعدة.

تعريف. الهرم الصحيحهو هرم تكون قاعدته مضلعًا منتظمًا ، وينخفض ​​ارتفاعه إلى مركز القاعدة.

حجم ومساحة سطح الهرم

معادلة. حجم الهرممن خلال مساحة القاعدة والارتفاع:

خصائص الهرم

إذا كانت جميع الحواف الجانبية متساوية ، فيمكن وصف دائرة حول قاعدة الهرم ، ويتزامن مركز القاعدة مع مركز الدائرة. أيضًا ، العمود العمودي الساقط من الأعلى يمر عبر مركز القاعدة (الدائرة).

إذا كانت جميع الحواف الجانبية متساوية ، فإنها تميل إلى مستوى القاعدة عند نفس الزوايا.

تكون الأضلاع الجانبية متساوية عندما تتشكل مع مستوى القاعدة زوايا متساويةأو إذا كان بالإمكان وصف دائرة حول قاعدة الهرم.

إذا كانت الوجوه الجانبية تميل إلى مستوى القاعدة بزاوية واحدة ، فيمكن عندئذٍ إدراج دائرة في قاعدة الهرم ، ويتم إسقاط قمة الهرم في مركزها.

إذا كانت الوجوه الجانبية تميل إلى مستوى القاعدة بنفس الزاوية ، فإن الأوجه الجانبية للوجوه الجانبية متساوية.

خصائص الهرم المنتظم

1. قمة الهرم على مسافة متساوية من جميع زوايا القاعدة.

2. جميع الحواف الجانبية متساوية.

3. جميع الأضلاع الجانبية تنحدر بنفس الزاوية إلى القاعدة.

4. عروش جميع الوجوه الجانبية متساوية.

5. مساحات جميع الوجوه الجانبية متساوية.

6. جميع الوجوه لها نفس الزوايا ثنائية الأضلاع (المسطحة).

7. يمكن وصف الكرة حول الهرم. سيكون مركز الكرة المقيدة هو نقطة تقاطع الخطوط العمودية التي تمر عبر منتصف الحواف.

8. يمكن نقش كرة في الهرم. سيكون مركز الكرة المنقوشة نقطة تقاطع المنصفات المنبثقة من الزاوية بين الحافة والقاعدة.

9. إذا تزامن مركز الكرة المحيطية مع مركز الكرة المحاصرة ، فإن مجموع زوايا المستوى عند الرأس يساوي π أو العكس بالعكس ، فإن إحدى الزوايا تساوي π / n ، حيث n هو الرقم من الزوايا عند قاعدة الهرم.

ارتباط الهرم بالكرة

يمكن وصف الكرة حول الهرم عندما يقع متعدد السطوح في قاعدة الهرم الذي يمكن وصف دائرة حوله (شرط ضروري وكاف). سيكون مركز الكرة نقطة تقاطع المستويات التي تمر بشكل عمودي عبر نقاط المنتصف للحواف الجانبية للهرم.

يمكن دائمًا وصف الكرة حول أي هرم ثلاثي أو منتظم.

يمكن نقش الكرة في هرم إذا تقاطعت مستويات المنصف للزوايا ثنائية الأضلاع الداخلية للهرم عند نقطة واحدة (شرط ضروري وكاف). ستكون هذه النقطة مركز الكرة.

اتصال هرم بمخروط

يسمى المخروط منقوشًا في هرم إذا تزامنت قمته وكانت قاعدة المخروط منقوشة في قاعدة الهرم.

يمكن نقش المخروط في هرم إذا كانت أعمدة الهرم متساوية مع بعضها البعض.

يسمى المخروط محاصرًا حول الهرم إذا تزامنت قمته ، وتحيط قاعدة المخروط حول قاعدة الهرم.

يمكن وصف المخروط حول الهرم إذا كانت جميع الأضلاع الجانبية للهرم متساوية مع بعضها البعض.

توصيل الهرم بأسطوانة

يسمى الهرم منقوشًا في أسطوانة إذا كان قمة الهرم يقع على قاعدة واحدة من الأسطوانة ، وقاعدة الهرم منقوشة في قاعدة أخرى من الأسطوانة.

يمكن وصف الأسطوانة حول الهرم إذا أمكن وصف دائرة حول قاعدة الهرم.

تعريف. هرم مبتور (منشور هرمي)هو متعدد الوجوه يقع بين قاعدة الهرم ومستوى المقطع الموازي للقاعدة. وهكذا يكون للهرم قاعدة أكبر وقاعدة أصغر تشبه القاعدة الأكبر. الوجوه الجانبية شبه منحرفة.

تعريف. الهرم الثلاثي (رباعي الوجوه)هو هرم فيه ثلاثة وجوه والقاعدة مثلثات عشوائية.

رباعي الوجوه له أربعة وجوه وأربعة رؤوس وستة حواف ، حيث لا يوجد أي حافتين لهما رؤوس مشتركة ولكنهما لا يتلامسان.

يتكون كل رأس من ثلاثة أوجه وحواف زاوية مثلثة.

يسمى الجزء الذي يربط رأس رباعي السطوح بمركز الوجه المعاكس متوسط ​​رباعي الوجوه(GM).

بيميديانهو الجزء الذي يربط بين نقاط المنتصف للحواف المعاكسة التي ليست على اتصال (KL).

يلتقي جميع ذوات البيميديين والوسطاء في رباعي الوجوه عند نقطة واحدة (S). في هذه الحالة ، يتم تقسيم البميديين إلى نصفين ، والوسيطات بنسبة 3: 1 ، بدءًا من الأعلى.

تعريف. هرم منحدرهو هرم يشكل فيه أحد أضلاعه زاوية منفرجة (β) مع قاعدته.

تعريف. هرم مستطيل- هذا هرم يكون فيه أحد أوجه ضلعه متعامدًا على قاعدته.

تعريف. الهرم ذو الزاوية الحادة- هذا هرم يكون طوله أكبر من نصف طول ضلع القاعدة.

تعريف. هرم منفرد- هذا هرم يكون فيه الجسم أقل من نصف طول ضلع القاعدة.

تعريف. منتظم رباعي السطوح- رباعي السطوح تكون فيه جميع الوجوه الأربعة مثلثات متساوية الأضلاع. إنه أحد المضلعات الخمسة المنتظمة. في رباعي السطوح العادي ، تكون جميع الزوايا ثنائية الأضلاع (بين الوجوه) والزوايا ثلاثية السطوح (عند الرأس) متساوية.

تعريف. مستطيل رباعي السطوحيسمى رباعي السطوح بزاوية قائمة بين ثلاثة حواف في الرأس (الحواف متعامدة). شكل ثلاثة وجوه زاوية مستطيلة الشكلوالأوجه مثلثات قائمة الزاوية ، والقاعدة عبارة عن مثلث عشوائي. طول العارضة من أي وجه يساوي نصف جانب القاعدة التي يقع عليها الهيكل.

تعريف. رباعي الوجوه متساوي السطوحيسمى رباعي الوجوه حيث الوجوه الجانبية متساوية مع بعضها البعض ، والقاعدة عبارة عن مثلث منتظم. بالنسبة لمثل هذا رباعي الوجوه ، تكون الوجوه مثلثات متساوية الساقين.

تعريف. تقويم العظام رباعي السطوحيسمى رباعي السطوح حيث تتقاطع جميع الارتفاعات (العمودية) التي يتم خفضها من أعلى إلى الوجه المقابل عند نقطة واحدة.

تعريف. هرم النجمةيسمى متعدد السطوح قاعدته نجمة.

تعريف. بيبيراميد- متعدد الوجوه يتكون من هرمين مختلفين (يمكن أيضا قطع الأهرامات) ، لها إطار مشترك، والرؤوس تقع على جوانب متقابلة من مستوى القاعدة.

المشاكل الهندسية النموذجية على المستوى وفي الفضاء ثلاثي الأبعاد هي مشاكل تحديد مساحات الأسطح ذات الأشكال المختلفة. في هذه المقالة ، نقدم صيغة مساحة السطح الجانبية لهرم رباعي الزوايا منتظم.

ما هو الهرم؟

هنا صارم التعريف الهندسيالاهرام. افترض أن هناك بعض المضلعات مع n جوانب و n من الزوايا. اختر نقطة عشوائية في الفضاء لن تكون في مستوى n-gon المحدد ، وقم بتوصيلها بكل رأس من رأس المضلع. نحصل على شكل بحجم معين يسمى هرم من جانبين. على سبيل المثال ، دعنا نظهر في الشكل أدناه كيف يبدو الهرم الخماسي.

عنصران مهمان لأي هرم هما قاعدته (n-gon) وقمته. ترتبط هذه العناصر ببعضها البعض من خلال n مثلثات ، والتي لا تتساوى عمومًا مع بعضها البعض. يُطلق على العمود العمودي الذي يتم إسقاطه من أعلى إلى القاعدة ارتفاع الشكل. إذا تقاطع مع القاعدة في المركز الهندسي (يتزامن مع مركز كتلة المضلع) ، فإن هذا الهرم يسمى بالخط المستقيم. بالإضافة إلى هذا الشرط ، إذا كانت القاعدة عبارة عن مضلع منتظم ، فإن الهرم بأكمله يسمى منتظم. يوضح الشكل أدناه شكل الأهرامات العادية مع قواعد مثلثة ورباعية وخماسية وسداسية.

سطح الهرم

قبل الشروع في مسألة المساحة الجانبية لهرم رباعي الزوايا منتظم ، ينبغي للمرء أن يسهب بمزيد من التفصيل في مفهوم السطح نفسه.

كما هو مذكور أعلاه والموضح في الأشكال ، فإن أي هرم يتكون من مجموعة من الوجوه أو الجوانب. أحد الأضلاع هو القاعدة والأضلاع n عبارة عن مثلثات. سطح الشكل بأكمله هو مجموع مساحات كل جانب منه.

من الملائم دراسة السطح باستخدام مثال كشف الشكل. يظهر نمط مسطح لهرم رباعي الزوايا منتظم في الأشكال أدناه.

نلاحظ أن مساحة سطحه تساوي مجموع أربع مساحات من مثلثات متساوية الساقين متطابقة ومساحة مربع.

عادةً ما تسمى المساحة الإجمالية لجميع المثلثات التي تشكل الجوانب الجانبية للشكل مساحة السطح الجانبية. بعد ذلك ، سنوضح كيفية حسابه لهرم رباعي الزوايا منتظم.

مساحة السطح الجانبي لهرم منتظم رباعي الزوايا

لحساب مساحة السطح الجانبية للشكل المحدد ، ارجع إلى النمط المسطح أعلاه. لنفترض أننا نعرف ضلع قاعدة مربعة. دعونا نشير إليه بالرمز أ. يمكن ملاحظة أن طول قاعدة كل من المثلثات الأربعة المتطابقة a. لحساب مساحتها الإجمالية ، تحتاج إلى معرفة هذه القيمة لمثلث واحد. من المعروف من مسار الهندسة أن مساحة المثلث S t تساوي حاصل ضرب القاعدة والارتفاع اللذان ينبغي تقسيمهما إلى النصف. هذا هو:

حيث h b هو ارتفاع مثلث متساوي الساقين مرسوم على القاعدة a. بالنسبة للهرم ، هذا الارتفاع هو عليم. يبقى الآن مضاعفة التعبير الناتج بمقدار 4 للحصول على المنطقة S b من السطح الجانبي للهرم قيد الدراسة:

S ب = 4 * S t = 2 * ح ب * أ.

تحتوي هذه الصيغة على معلمتين: apotema وجانب من القاعدة. إذا كان الأخير معروفًا في معظم ظروف المشكلة ، فيجب حساب الأول بمعرفة كميات أخرى. نعطي الصيغ لحساب apotema h b لحالتين:

• عندما يعرف طول الضلع الجانبي ؛
• عندما يعرف ارتفاع الهرم.

إذا أشرنا إلى طول الحافة الجانبية (جانب مثلث متساوي الساقين) بالرمز L ، فسيتم تحديد apotema h b بالصيغة:

ح ب = √ (L 2 - أ 2/4).

هذا التعبير هو نتيجة تطبيق نظرية فيثاغورس على مثلث السطح الجانبي.

إذا كان ارتفاع الهرم معروفًا ، فيمكن حساب apotema h b على النحو التالي:

ح ب = √ (ح 2 + أ 2/4).

ليس من الصعب أيضًا الحصول على هذا التعبير إذا نظرنا إلى داخل الهرم. مثلث قائمتتكون من الساقين h و a / 2 والوتر h b.

دعنا نوضح لك كيفية تطبيق هذه الصيغ عن طريق حل مشكلتين مثيرتين للاهتمام.

مشكلة مساحة السطح المعروفة

من المعروف أن مساحة السطح الجانبي للرباعي الزوايا تبلغ 108 سم 2. من الضروري حساب قيمة طول أبوتيما h b إذا كان ارتفاع الهرم 7 سم.

لنكتب صيغة المساحة S b من السطح الجانبي بدلالة الارتفاع. نملك:

S ب = 2 * √ (ح 2 + أ 2/4) * أ.

هنا قمنا ببساطة باستبدال صيغة الأبوتيما المقابلة في التعبير عن S b. دعونا نحدد كلا جانبي المساواة:

S ب 2 = 4 * أ 2 * س 2 + أ 4.

لإيجاد قيمة a ، دعنا نغير المتغيرات:

ر 2 + 4 * ح 2 * ر - S ب 2 = 0.

استبدل القيم المعروفة الآن وحلها معادلة من الدرجة الثانية:

ر 2 + 196 * ر - 11664 = 0.

كتبنا فقط الجذر الموجب لهذه المعادلة. ثم تكون جوانب قاعدة الهرم مساوية لـ:

أ = √t = √47.8355 6.916 سم.

للحصول على طول الوصلة ، ما عليك سوى استخدام الصيغة:

ح ب = √ (ح 2 + أ 2/4) = √ (7 2 + 6.916 2/4) ≈ 7.808 سم.

السطح الجانبي لهرم خوفو

لنحدد قيمة ضلع أكبر هرم مصري. من المعروف أن مربعًا طول ضلعه 230.363 مترًا عند قاعدته. كان ارتفاع المبنى في الأصل 146.5 متراً. بالتعويض عن هذه الأرقام في الصيغة المقابلة لـ S b ، نحصل على:

S b = 2 * √ (h 2 + a 2/4) * a = 2 * √ (146.5 2 +230.363 2/4) * 230.363 ≈ 85860 م 2.

القيمة التي تم العثور عليها أكبر قليلاً من مساحة 17 ملعب كرة قدم.