مثلث متساوي الساقين. النظرية التفصيلية مع الأمثلة (2020)
تعبر خصائص مثلث متساوي الساقين عن النظريات التالية.
النظرية 1. في مثلث متساوي الساقين ، تكون زوايا القاعدة متساوية.
نظرية 2. في مثلث متساوي الساقين ، منصف القاعدة هو الوسيط والارتفاع.
نظرية 3. في مثلث متساوي الساقين ، الوسيط المرسوم على القاعدة هو المنصف والارتفاع.
نظرية 4. في مثلث متساوي الساقين ، يكون الارتفاع المرسوم على القاعدة هو المنصف والوسيط.
دعونا نثبت إحداها ، على سبيل المثال ، Theorem 2.5.
دليل. ضع في اعتبارك مثلث متساوي الساقين ABC مع قاعدته BC وأثبت أن ∠ B = ∠ C. لنفترض أن AD هو منصف المثلث ABC (الشكل 1). المثلثان ABD و ACD متساويان من خلال العلامة الأولى للمساواة بين المثلثات (AB = AC حسب الشرط ، AD جانب مشترك ، ∠ 1 = ∠ 2 ، لأن AD هو منصف). ويترتب على المساواة بين هذه المثلثات أن ∠ B = ∠ C. تم إثبات النظرية.
باستخدام النظرية 1 ، يتم إنشاء النظرية التالية.
نظرية 5. المعيار الثالث لتساوي المثلثات. إذا كانت ثلاثة أضلاع لمثلث واحد تساوي على التوالي ثلاثة جوانب لمثلث آخر ، فإن هذه المثلثات تكون متساوية (الشكل 2).
تعليق. الجمل المنصوص عليها في المثالين 1 و 2 تعبر عن خصائص نقطة الوسط المتعامدة على القطعة المستقيمة. ويترتب على هذه الجمل أن تتقاطع الخطوط العمودية الوسطى على جانبي المثلث عند نقطة واحدة.
مثال 1.أثبت أن نقطة المستوى على مسافة متساوية من طرفي المقطع تقع على العمود العمودي على هذا المقطع.
حل. لنفترض أن النقطة M على مسافة متساوية من طرفي القطعة AB (الشكل 3) ، أي AM = BM.
ثم Δ AMB هو متساوي الساقين. دعونا نرسم خطًا مستقيمًا ص يمر بالنقطة M والوسط O للجزء AB. المقطع MO حسب البناء هو متوسط المثلث متساوي الساقين AMB ، وبالتالي (النظرية 3) ، والارتفاع ، أي الخط المستقيم MO ، هو الوسيط العمودي على القطعة AB.
مثال 2.إثبات أن كل نقطة من النقاط المتعامدة على القطعة تقع على مسافة متساوية من نهاياتها.
حل. لنفترض أن p هي نقطة المنتصف المتعامدة على القطعة AB والنقطة O - نقطة المنتصف للجزء AB (انظر الشكل 3).
ضع في اعتبارك نقطة تعسفية M ملقاة على الخط ص. دعنا نرسم المقاطع AM و VM. المثلثات AOM و PTO متساويتان ، لأن زواياهما مستقيمة عند القمة O ، والساق OM شائعة ، والساق OA تساوي الساق OB حسب الشرط. من المساواة بين المثلثين AOM و PTO يتبع ذلك AM = BM.
مثال 3.في المثلث ABC (انظر الشكل 4) AB = 10 سم ، BC = 9 سم ، AC = 7 سم ؛ في مثلث DEF DE = 7 سم ، EF = 10 سم ، FD = 9 سم.
قارن المثلثات ABC و DEF. تجد وفقا لذلك زوايا متساوية.
حل. هذه المثلثات متساوية في الخاصية الثالثة. وفقًا لذلك ، الزوايا المتساوية: A و E (تقعان مقابل الأضلاع المتساوية BC و FD) و B و F (تقعان مقابل الضلع المتساوي AC و DE) و C و D (تقعان مقابل الضلع المتساوي AB و EF).
مثال 4.في الشكل 5 AB = DC ، BC = AD ، ∠B = 100 °.
أوجد الزاوية د.
حل. ضع في اعتبارك المثلثات ABC و ADC. إنها متساوية في المعيار الثالث (AB = DC ، BC = AD حسب الشرط والجانب AC شائع). من مساواة هذين المثلثين ، يترتب على ذلك ∠ В = ∠ D ، لكن الزاوية В تساوي 100 درجة ، مما يعني أن الزاوية D تساوي 100 درجة.
مثال 5.في مثلث متساوي الساقين ABC مع قاعدته AC ، تكون الزاوية الخارجية عند القمة C هي 123 درجة. أوجد الزاوية ABC. أعط إجابتك بالدرجات.
حل الفيديو.
يذكر المؤرخون الأوائل لحضارتنا - الإغريق القدماء - مصر على أنها مهد الهندسة. من الصعب الاختلاف معهم ، مع العلم بالدقة المذهلة التي أقيمت بها مقابر الفراعنة العملاقة. الترتيب المتبادل لمستويات الأهرامات ، ونسبها ، والتوجه إلى النقاط الأساسية - لتحقيق مثل هذا الكمال لا يمكن تصوره دون معرفة أساسيات الهندسة.
يمكن ترجمة كلمة "الهندسة" ذاتها إلى "قياس الأرض". علاوة على ذلك ، فإن كلمة "الأرض" لا تظهر ككوكب - جزء النظام الشمسي، ولكن كطائرة. تحديد مناطق الصيانة الزراعة، على الأرجح ، هو الأساس الأصلي للغاية لعلم الأشكال الهندسية وأنواعها وخصائصها.
المثلث هو أبسط شكل مكاني في قياس المسطح ، ويحتوي على ثلاث نقاط فقط - الرؤوس (لا يوجد أقل من ذلك). ربما يكون أساس الأسس هو سبب ظهور شيء غامض وقديم فيه. تعتبر العين التي ترى كل شيء داخل المثلث واحدة من أقدم العلامات الغامضة المعروفة ، كما أن جغرافية توزيعها والإطار الزمني مذهلان بكل بساطة. من الحضارات المصرية القديمة والسومرية والأزتيك وغيرها من الحضارات إلى مجتمعات غامضة أكثر حداثة منتشرة في جميع أنحاء العالم.
ما هي المثلثات
المثلث العادي متعدد الاستخدامات مغلق الشكل الهندسي، تتكون من ثلاثة أجزاء ذات أطوال مختلفة وثلاث زوايا ، وليس أي منها مستقيماً. بالإضافة إليه ، هناك عدة أنواع خاصة.
المثلث حاد الزاوية جميع زواياه أقل من 90 درجة. بمعنى آخر ، كل زوايا مثل هذا المثلث حادة.
المثلث القائم الزاوية ، والذي بكى عليه أطفال المدارس في جميع الأوقات بسبب كثرة النظريات ، له زاوية واحدة بحجم 90 درجة ، أو كما يطلق عليه أيضًا ، خط مستقيم.
يختلف المثلث المنفرج عن أن أحد أركانه منفرج ، أي أن حجمه أكبر من 90 درجة.
مثلث متساوي الأضلاع له ثلاثة أضلاع بنفس الطول. في مثل هذا الشكل ، جميع الزوايا متساوية أيضًا.
وأخيرًا ، عند مثلث متساوي الساقين ثلاث جهاتاثنان متساويان.
السمات المميزة
تحدد خصائص مثلث متساوي الساقين أيضًا اختلافه الرئيسي - المساواة بين الجانبين. عادة ما تسمى هذه الجوانب المتساوية الوركين (أو في كثير من الأحيان ، الجانبين) ، ولكن يسمى الجانب الثالث "القاعدة".
في الشكل قيد النظر ، أ = ب.
المعيار الثاني لمثلث متساوي الساقين يتبع نظرية الجيب. بما أن الجانبين a و b متساويان ، فإن جيوب الزاويتين المتقابلتين متساويتان أيضًا:
أ / الخطيئة γ = ب / الخطيئة α ، ومن أين لدينا: الخطيئة γ = الخطيئة α.
تعني مساواة الجيب المساواة بين الزوايا: γ = α.
إذن ، العلامة الثانية لمثلث متساوي الساقين هي تساوي الزاويتين المجاورتين للقاعدة.
العلامة الثالثة. في المثلث ، يتم تمييز عناصر مثل الارتفاع والمنصف والمتوسط.
إذا اتضح في عملية حل المشكلة أن أي عنصرين من هذه العناصر في المثلث المدروس يتطابقان: الارتفاع مع المنصف ؛ منصف مع وسيط متوسط مع ارتفاع - يمكننا بالتأكيد أن نستنتج أن المثلث متساوي الساقين.
الخصائص الهندسية للشكل
1. خصائص مثلث متساوي الساقين. إحدى الصفات المميزة للشكل هي تساوي الزوايا المجاورة للقاعدة:
<ВАС = <ВСА.
2. تم النظر في خاصية أخرى أعلاه: يتطابق الوسيط والمنصف والارتفاع في مثلث متساوي الساقين إذا تم بناؤها من أعلى إلى القاعدة.
3. مساواة المنصّفات المستمدة من الرؤوس عند القاعدة:
إذا كان AE هو منصف الزاوية BAC ، وكان CD هو منصف الزاوية BCA ، فإن: AE = DC.
4. توفر خصائص المثلث متساوي الساقين أيضًا المساواة في الارتفاعات ، والتي يتم رسمها من الرؤوس عند القاعدة.
إذا قمنا ببناء ارتفاعات المثلث ABC (حيث AB = BC) من القمم A و C ، فإن المقطعين اللذين تم الحصول عليهما CD و AE سيكونان متساويين.
5. سيكون التساوي هو أيضًا المتوسطات المرسومة من الزوايا في القاعدة.
لذلك ، إذا كان AE و DC متوسطين ، أي AD = DB ، و BE = EC ، ثم AE = DC.
ارتفاع مثلث متساوي الساقين
تقدم المساواة بين الجوانب والزوايا عليها بعض الخصائص المميزة في حساب أطوال عناصر الشكل المعني.
الارتفاع في مثلث متساوي الساقين يقسم الشكل إلى مثلثين متماثلين بزاوية قائمة ، تبرز أضلاعهما مع الوتر. يتم تحديد الارتفاع في هذه الحالة وفقًا لنظرية فيثاغورس ، مثل الساق.
يمكن أن يكون للمثلث الأضلاع الثلاثة متساوية ، ثم يسمى متساوي الأضلاع. يتم تحديد الارتفاع في مثلث متساوي الأضلاع بنفس الطريقة ، فقط للحسابات ، يكفي معرفة قيمة واحدة فقط - طول ضلع هذا المثلث.
يمكنك تحديد الارتفاع بطريقة أخرى ، على سبيل المثال معرفة القاعدة والزاوية المجاورة لها.
متوسط مثلث متساوي الساقين
يتم حل نوع المثلث المدروس ، نظرًا لخصائصه الهندسية ، بكل بساطة عن طريق الحد الأدنى من مجموعة البيانات الأولية. نظرًا لأن الوسيط في مثلث متساوي الساقين يساوي ارتفاعه ومنصفه ، فإن خوارزمية تحديده لا تختلف عن الترتيب الذي تُحسب به هذه العناصر.
على سبيل المثال ، يمكنك تحديد طول الوسيط من خلال الضلع الجانبي المعروف وقيمة زاوية القمة.
كيفية تحديد المحيط
نظرًا لأن جانبي الشكل المسطح المدروس متساويان دائمًا ، يكفي معرفة طول القاعدة وطول أحد الجانبين لتحديد المحيط.
ضع في اعتبارك مثالًا عندما تحتاج إلى تحديد محيط المثلث من قاعدة وارتفاع معروفين.
المحيط يساوي مجموع القاعدة ومضاعف طول الضلع. يتم تعريف الضلع الجانبي بدوره باستخدام نظرية فيثاغورس على أنه وتر المثلث القائم. طوله يساوي الجذر التربيعي لمجموع مربع الارتفاع ومربع نصف القاعدة.
مساحة مثلث متساوي الساقين
كقاعدة عامة ، ليس من الصعب حساب مساحة مثلث متساوي الساقين. تنطبق القاعدة العامة لتحديد مساحة المثلث على أنها نصف حاصل ضرب القاعدة وارتفاعها ، بالطبع ، في حالتنا. ومع ذلك ، فإن خصائص مثلث متساوي الساقين تجعل المهمة أسهل مرة أخرى.
لنفترض أن الارتفاع والزاوية المجاورة للقاعدة معروفان. من الضروري تحديد مساحة الشكل. يمكنك أن تفعل ذلك بهذه الطريقة.
نظرًا لأن مجموع زوايا أي مثلث هو 180 درجة ، فليس من الصعب تحديد قيمة الزاوية. بعد ذلك ، باستخدام النسبة المكونة وفقًا لنظرية الجيب ، يتم تحديد طول قاعدة المثلث. كل شيء ، القاعدة والارتفاع - بيانات كافية لتحديد المنطقة - متوفرة.
خصائص أخرى لمثلث متساوي الساقين
يعتمد موضع مركز الدائرة المحصورة حول مثلث متساوي الساقين على مقدار زاوية القمة. لذا ، إذا كان المثلث متساوي الساقين حاد الزاوية ، فإن مركز الدائرة يقع داخل الشكل.
يقع مركز الدائرة المحاطة بمثلث منفرج متساوي الساقين خارجها. وأخيرًا ، إذا كانت الزاوية عند القمة 90 ° ، فإن المركز يقع بالضبط في منتصف القاعدة ، وقطر الدائرة يمر عبر القاعدة نفسها.
من أجل تحديد نصف قطر دائرة حول مثلث متساوي الساقين ، يكفي قسمة طول الضلع الجانبي على ضعف جيب التمام لنصف قيمة زاوية القمة.
من بين جميع المثلثات ، هناك نوعان خاصان: مثلثات قائمة الزاوية ومثلثات متساوية الساقين. لماذا هذه الأنواع من المثلثات مميزة جدًا؟ حسنًا ، أولاً ، غالبًا ما تتحول هذه المثلثات إلى الشخصيات الرئيسية لمهام الاستخدام في الجزء الأول. وثانيًا ، حل المسائل المتعلقة بالمثلثات قائمة الزاوية والمثلثات متساوية الساقين أسهل بكثير من حل المشكلات الأخرى في الهندسة. تحتاج فقط إلى معرفة بعض القواعد والخصائص. تمت مناقشة كل الأشياء الأكثر إثارة للاهتمام في الموضوع المقابل ، لكننا الآن سننظر في مثلثات متساوية الساقين. وفوق كل شيء ، ما هو مثلث متساوي الساقين. أو ، كما يقول علماء الرياضيات ، ما هو تعريف المثلث متساوي الساقين؟
انظر كيف تبدو:
مثل المثلث القائم الزاوية ، المثلث متساوي الساقين له أسماء خاصة لأضلاعه. يتم استدعاء جانبين متساويين الجوانب الجانبيةوالطرف الثالث هو أساس.
ومرة أخرى ، انتبه إلى الصورة:
قد يكون ، بالطبع ، مثل هذا:
لذا كن حذرا: الجانب - أحد ضلعين متساويينفي مثلث متساوي الساقين ، و القاعدة طرف ثالث.
لماذا يعتبر المثلث متساوي الساقين جيدًا جدًا؟ لفهم هذا ، دعنا نرسم ارتفاع القاعدة. هل تتذكر ما هو الارتفاع؟
اذا ماذا حصل؟ من مثلث متساوي الساقين ، ظهر اثنان من المستطيلات.
هذا جيد بالفعل ، لكنه سيظهر بهذه الطريقة في أي مثلث ، الأكثر "تماسكًا".
ما هو الفرق بين الصورة لمثلث متساوي الساقين؟ انظر مرة أخرى:
حسنًا ، أولاً وقبل كل شيء ، بالطبع ، لا يكفي أن يرى علماء الرياضيات الغريبون هؤلاء - بل يجب عليهم بالتأكيد إثبات ذلك. ثم فجأة اختلفت هذه المثلثات قليلاً ، وسنعتبرها متشابهة.
لكن لا تقلق: في هذه الحالة ، يكون الإثبات سهلاً تقريبًا مثل الرؤية.
لنبدأ؟ انظر بعناية ، لدينا:
وهذا يعني! لماذا ا؟ نعم ، وجدنا فقط و ، ومن نظرية فيثاغورس (نتذكر في نفس الوقت ذلك)
هل تأكدت؟ حسنًا ، لدينا الآن
وعلى الجوانب الثلاثة - أسهل علامة (الثالثة) على مساواة المثلثات.
حسنًا ، مثلث متساوي الساقين انقسم إلى مستطلين متطابقين.
انظر كم هو مثير للاهتمام؟ اتضح أن:
كيف من المعتاد الحديث عن هذا بين علماء الرياضيات؟ دعنا نذهب بالترتيب:
(تذكر هنا أن الوسيط هو الخط المرسوم من الرأس الذي يقسم الضلع إلى نصفين ، والمنصف هو الزاوية.)
حسنًا ، ناقشنا هنا ما يمكن رؤيته جيدًا إذا أعطيت مثلث متساوي الساقين. استنتجنا أن الزوايا الموجودة في قاعدة مثلث متساوي الساقين متساوية ، والارتفاع والمنصف والوسيط المرسومان على القاعدة متطابقان.
والآن يطرح سؤال آخر: كيف نتعرف على مثلث متساوي الساقين؟ هذا ، كما يقول علماء الرياضيات ، ما هو علامات مثلث متساوي الساقين؟
واتضح أنك تحتاج فقط إلى "قلب" كل البيانات على العكس من ذلك. بالطبع ، هذا ليس هو الحال دائمًا ، لكن المثلث متساوي الساقين لا يزال شيئًا رائعًا! ماذا يحدث بعد "الانقلاب"؟
حسن المظهر:
إذا تزامن الارتفاع مع الوسيط:
إذا تطابق الارتفاع والمنصف ، فيتم: 
إذا تزامن المنصّف والوسيط:
حسنًا ، لا تنسى واستخدم:
- إذا أعطيت مثلثًا متساوي الساقين ، فلا تتردد في رسم الارتفاع ، واحصل على مثلثين قائم الزاوية وحل مشكلة المثلث القائم.
- إذا أعطيت ذلك زاويتان متساويتانثم المثلث بالضبطمتساوي الساقين ويمكنك تحمل الارتفاع و .... (المنزل الذي بناه جاك ...).
- إذا اتضح أن الارتفاع قد تم تخفيضه إلى النصف على الجانب ، فإن المثلث متساوي الساقين مع كل المكافآت اللاحقة.
- إذا اتضح أن الارتفاع قد قسم الزاوية إلى أرضيات - متساوي الساقين أيضًا!
- إذا قسم المنصف الضلع إلى نصفين أو كان الوسيط هو الزاوية ، فسيحدث هذا أيضًا فقطفي مثلث متساوي الساقين
دعونا نرى كيف يبدو في المهام.
المشكلة 1(الابسط)
في المثلث ، الأضلاع ومتساوية ، و. تجد.
نحن نقرر:
أولا رسم.
ما هو الأساس هنا؟ بالطبع، .
نتذكر أنه إذا ، ثم و.
الرسم المحدث:
دعونا نشير بواسطة. ما مجموع زوايا المثلث هناك؟ ؟
نحن نستخدم:
هذا إجابه: .
ليس صعبًا ، أليس كذلك؟ حتى الارتفاع لم يكن ضروريا.
المهمة 2(ليس صعبًا أيضًا ، لكن عليك تكرار الموضوع)
في مثلث. تجد.
نحن نقرر:
المثلث متساوي الساقين! نرسم الارتفاع (هذه هي الحيلة التي بمساعدة كل شيء سيتم حلها الآن).
الآن نحن "نحذف من الحياة" ، سننظر فقط.
لذلك ، لدينا في:
تذكر القيم الجدولية لجيب التمام (حسنًا ، أو النظر إلى ورقة الغش ...)
يبقى أن نجد:.
إجابة: .
لاحظ أن لدينا هنا جداالمعرفة المطلوبة بشأن مثلث قائم الزاوية وجيوب الجيب وجيب التمام "المجدولة". غالبًا ما يحدث ذلك: الموضوعات ، "مثلث متساوي الساقين" وفي الألغاز تدخل في مجموعات ، لكن مع الموضوعات الأخرى فهي ليست ودية للغاية.
مثلث متساوي الساقين. مستوى متوسط.
هؤلاء وجهان متساويانوتسمى الجوانب الجانبية، أ الضلع الثالث هو قاعدة مثلث متساوي الساقين.
انظر إلى الصورة: و - الجوانب - قاعدة المثلث متساوي الساقين.
دعونا نفهم في إحدى الصور سبب ذلك. لنرسم الارتفاع من النقطة.
هذا يعني أن لديهم جميع العناصر المقابلة متساوية.
كل شىء! بضربة واحدة (الارتفاع) أثبتوا كل التصريحات دفعة واحدة.
وتذكر: لحل مشكلة المثلث متساوي الساقين ، غالبًا ما يكون من المفيد جدًا خفض ارتفاع قاعدة المثلث متساوي الساقين وتقسيمه إلى مثلثين متساويين قائم الزاوية.
علامات مثلث متساوي الساقين
العبارات المعاكسة صحيحة أيضًا:
يمكن إثبات كل هذه التصريحات تقريبًا مرة أخرى "بضربة واحدة".
1. لذا ، كان السماح بالدخول يساوي و.
لنرسم الارتفاع. ثم
2.a) الآن دع بعض المثلث مباراة الطول والمنصف.
2-ب) وإذا تطابق الارتفاع مع الوسيط؟ كل شيء هو نفسه تقريبا ، ليس أكثر تعقيدا!
 |
- على قدمين |
2-ج) ولكن إذا لم يكن هناك ارتفاع، والتي يتم إنزالها إلى قاعدة مثلث متساوي الساقين ، فلا يوجد مبدئيًا مثلثات قائمة الزاوية. بشكل سيئ!
ولكن هناك طريقة للخروج - اقرأها في المستوى التالي من النظرية ، لأن الدليل هنا أكثر تعقيدًا ، ولكن تذكر الآن أنه إذا تزامن الوسيط والمنصف ، فسيكون المثلث أيضًا متساوي الساقين ، وسيظل الارتفاع. يتزامن مع هذا المنصف والمتوسط.
دعونا نلخص:
- إذا كان المثلث متساوي الساقين ، فإن الزوايا عند القاعدة متساوية ، والارتفاع والمنصف والوسيط المرسوم على القاعدة متطابقان.
- إذا كانت هناك زاويتان متساويتان في بعض المثلثات ، أو تطابق خطان من الخطوط الثلاثة (منصف ، متوسط ، ارتفاع) ، فإن هذا المثلث يكون متساوي الساقين.
مثلث متساوي الساقين. وصف موجز والصيغ الأساسية
المثلث متساوي الساقين هو مثلث له ضلعان متساويان.
علامات مثلث متساوي الساقين:
- إذا كانت زاويتان متساويتين في بعض المثلث ، فهذا يعني أنه متساوي الساقين.
- إذا تزامن في بعض المثلث:
أ) الارتفاع والمنصفأو
ب) الطول والوسيطأو
الخامس) الوسيط والمنصف,
مرسومًا على جانب واحد ، يكون هذا المثلث متساوي الساقين.
المواد المتبقية 2/3 متوفرة فقط للطلاب!
كن طالبًا في YouClever ،
استعد لـ OGE أو الاستخدام في الرياضيات بسعر "فنجان قهوة شهريًا" ،
واحصل أيضًا على وصول غير محدود إلى الكتاب المدرسي "YouClever" ، وبرنامج التدريب "100gia" (reshebnik) ، واستخدام تجريبي غير محدود و OGE ، و 6000 مشكلة مع تحليل الحلول وخدمات YouClever و 100gia الأخرى.
