Izosceles uchburchagi. Misollar bilan batafsil nazariya (2020)
Teng yonli uchburchakning xossalari quyidagi teoremalarni ifodalaydi.
Teorema 1. Teng yonli uchburchakda asosdagi burchaklar teng.
Teorema 2. Teng yonli uchburchakda asosning bissektrisasi mediana va balandlikdir.
Teorema 3. Teng yonli uchburchakda asosga chizilgan mediana bissektrisa va balandlikdir.
Teorema 4. Teng yonli uchburchakda asosga chizilgan balandlik bissektrisa va mediana hisoblanadi.
Keling, ulardan birini isbotlaylik, masalan, 2.5 teorema.
Isbot. Asosi BC bo‘lgan ABC teng yonli uchburchakni ko‘rib chiqamiz va ∠ B = ∠ C ekanligini isbotlaymiz. ABC uchburchakning bissektrisasi AD bo‘lsin (1-rasm). ABD va ACD uchburchaklari uchburchaklar tengligining birinchi belgisi bo'yicha tengdir (AB = AC shart bo'yicha, AD umumiy tomon, ∠ 1 = ∠ 2, chunki AD bissektrisa). Bu uchburchaklarning tengligidan kelib chiqadiki, ∠ B = ∠ C. Teorema isbotlangan.
1-teoremadan foydalanib, quyidagi teorema o'rnatiladi.
Teorema 5. Uchburchaklar tengligining uchinchi mezoni. Agar bir uchburchakning uchta tomoni mos ravishda boshqa uchburchakning uch tomoniga teng bo'lsa, bunday uchburchaklar tengdir (2-rasm).
Izoh. 1 va 2-misollarda keltirilgan jumlalar chiziq bo'lagiga perpendikulyar o'rta nuqtaning xususiyatlarini ifodalaydi. Bu jumlalardan kelib chiqadiki uchburchakning yon tomonlariga o'rta perpendikulyarlar bir nuqtada kesishadi.
1-misol. Segment uchlaridan teng masofada joylashgan tekislik nuqtasi shu segmentga perpendikulyarda yotishini isbotlang.
Yechim. M nuqta AB segmentining uchlaridan teng masofada bo'lsin (3-rasm), ya'ni AM = BM.
U holda D AMB teng yon tomonlardir. AB segmentining M nuqta va o'rta O'rtasidan p to'g'ri chiziq o'tkazamiz. Qurilish bo'yicha MO segmenti AMB teng yonli uchburchakning medianasi, shuning uchun (3-teorema) va balandligi, ya'ni MO to'g'ri chiziq AB segmentiga perpendikulyar medianadir.
2-misol. Kesmaga perpendikulyarning har bir nuqtasi uning uchlaridan teng masofada joylashganligini isbotlang.
Yechim. AB segmentiga perpendikulyar o'rta nuqta va O nuqta - AB segmentining o'rta nuqtasi bo'lsin (3-rasmga qarang).
p to'g'rida yotgan ixtiyoriy M nuqtani ko'rib chiqaylik. AM va VM segmentlarini chizamiz. AOM va PTO uchburchaklari tengdir, chunki ular O cho'qqisida to'g'ri burchaklarga ega, OM oyog'i keng tarqalgan va OA oyog'i shart bo'yicha OB oyog'iga teng. AOM va PTO uchburchaklarining tengligidan AM = BM kelib chiqadi.
3-misol. ABC uchburchagida (4-rasmga qarang) AB = 10 sm, BC = 9 sm, AC = 7 sm; uchburchakda DEF DE = 7 sm, EF = 10 sm, FD = 9 sm.
ABC va DEF uchburchaklarini solishtiring. Shunga mos ravishda toping teng burchaklar.
Yechim. Bu uchburchaklar uchinchi atributda tengdir. Shunga ko'ra, teng burchaklar: A va E (BC va FD teng tomonlariga qarama-qarshi yotadi), B va F (AC va DE teng tomonlariga qarama-qarshi yotadi), C va D (AB va EF teng tomonlariga qarama-qarshi yotadi).
4-misol. 5-rasmda AB = DC, BC = AD, ∠B = 100 °.
D burchakni toping.
Yechim. ABC va ADC uchburchaklarini ko'rib chiqing. Ular uchinchi mezon bo'yicha tengdir (shart bo'yicha AB = DC, BC = AD va AC tomoni umumiy). Bu uchburchaklarning tengligidan kelib chiqadiki, ∠ V = ∠ D, lekin V burchagi 100 ° ga teng, ya'ni D burchagi 100 ° ga teng.
5-misol. Asos AC bo'lgan ABC teng yonli uchburchakda C cho'qqisidagi tashqi burchak 123 ° ga teng. ABC burchagini toping. Javobingizni darajalarda bering.
Video yechim.
Sivilizatsiyamizning ilk tarixchilari – qadimgi yunonlar Misrni geometriyaning vatani sifatida tilga olishgan. Fir'avnlarning ulkan maqbaralari qanday hayratlanarli aniqlik bilan qurilganligini bilib, ular bilan rozi bo'lmaslik qiyin. Piramidalar tekisliklarining o'zaro joylashishi, ularning nisbati, asosiy nuqtalarga yo'naltirilishi - bunday mukammallikka erishishni geometriya asoslarini bilmasdan tasavvur qilib bo'lmaydi.
"Geometriya" so'zini "erning o'lchovi" deb tarjima qilish mumkin. Bundan tashqari, "er" so'zi sayyora - qism sifatida ko'rinmaydi Quyosh sistemasi, lekin samolyot sifatida. Ta'mirlash uchun joylarni belgilash Qishloq xo'jaligi, ehtimol, geometrik shakllar, ularning turlari va xususiyatlari fanining o'ziga xos asosidir.
Uchburchak planimetriyaning eng oddiy fazoviy figurasi bo'lib, u faqat uchta nuqtani o'z ichiga oladi - cho'qqilar (hech qachon kam bo'lmaydi). Poydevorning asosi, ehtimol, nima uchun unda sirli va qadimiy narsa paydo bo'ladi. Uchburchak ichidagi hamma narsani ko'ruvchi ko'z ma'lum bo'lgan eng qadimgi okklyuziv belgilardan biri bo'lib, uning tarqalish geografiyasi va vaqt doirasi shunchaki hayratlanarli. Qadimgi Misr, Shumer, Aztek va boshqa tsivilizatsiyalardan tortib, butun dunyo bo'ylab tarqalgan zamonaviyroq okklyuziv jamoalargacha.
Uchburchaklar nima
Oddiy ko'p qirrali uchburchak yopiqdir geometrik shakl, har xil uzunlikdagi uchta segmentdan va uchta burchakdan iborat bo'lib, ularning hech biri tekis emas. Unga qo'shimcha ravishda bir nechta maxsus turlar mavjud.
O'tkir burchakli uchburchakning barcha burchaklari 90 darajadan kichikdir. Boshqacha qilib aytganda, bunday uchburchakning barcha burchaklari o'tkirdir.
Har doim maktab o'quvchilari teoremalarning ko'pligi uchun yig'lab turadigan to'g'ri burchakli uchburchak 90 daraja kattalikdagi bitta burchakka yoki, shuningdek, to'g'ri chiziqqa ega.
O'tkir uchburchak burchaklaridan biri o'tmas bo'lishi bilan farq qiladi, ya'ni kattaligi 90 darajadan yuqori.
Teng tomonli uchburchakning bir xil uzunlikdagi uchta tomoni bor. Bunday raqam uchun barcha burchaklar ham tengdir.
Va nihoyat, teng yonli uchburchakda uch tomon ikkitasi teng.
O'ziga xos xususiyatlar
Teng yonli uchburchakning xossalari uning asosiy, asosiy farqini - ikki tomonning tengligini ham aniqlaydi. Ushbu teng tomonlar odatda kestirib (yoki ko'pincha yon tomonlar) deb ataladi, lekin uchinchi tomon "tayanch" deb ataladi.
Ko'rib chiqilayotgan rasmda a = b.
Teng yonli uchburchakning ikkinchi mezoni sinuslar teoremasidan kelib chiqadi. a va b tomonlar teng bo'lgani uchun ularning qarama-qarshi burchaklarining sinuslari ham teng:
a / sin g = b / sin a, qaerdan bor: sin g = sin a.
Sinuslarning tengligi burchaklarning tengligini bildiradi: g = a.
Demak, teng yonli uchburchakning ikkinchi belgisi asosga tutashgan ikki burchakning tengligidir.
Uchinchi belgi. Uchburchakda balandlik, bissektrisa va mediana kabi elementlar ajratiladi.
Agar masalani yechish jarayonida ko'rib chiqilayotgan uchburchakda ushbu elementlarning istalgan ikkitasi mos kelishi aniqlansa: balandlik bissektrisa bilan; mediana bilan bissektrisa; balandligi bilan median - biz aniq xulosaga kelishimiz mumkinki, uchburchak teng yon tomonli.
Shaklning geometrik xossalari
1. Teng yonli uchburchakning xossalari. Shaklning ajralib turadigan fazilatlaridan biri bu poydevorga ulashgan burchaklarning tengligi:
<ВАС = <ВСА.
2. Yuqorida yana bir xususiyat ko'rib chiqildi: teng yonli uchburchakda mediana, bissektrisa va balandlik, agar ular tepadan poydevorgacha qurilgan bo'lsa, mos keladi.
3. Bazadagi cho’qqilardan chizilgan bissektrisalarning tengligi:
Agar AE BAC burchagining bissektrisasi, CD esa BCA burchagining bissektrisasi bo'lsa, u holda: AE = DC.
4. Teng yonli uchburchakning xossalari, shuningdek, balandliklar tengligini ta'minlaydi, ular asosdagi cho'qqilardan tortib olinadi.
Agar ABC uchburchagining (bu yerda AB = BC) balandliklarini A va C cho’qqilaridan yasasak, olingan CD va AE segmentlari teng bo’ladi.
5. Poydevordagi burchaklardan chizilgan medianalar ham teng bo'ladi.
Demak, agar AE va DC medianlar, ya'ni AD = DB va BE = EC bo'lsa, AE = DC.
Teng yonli uchburchakning balandligi
Tomonlar va ulardagi burchaklarning tengligi ko'rib chiqilayotgan figura elementlarining uzunliklarini hisoblashda ba'zi o'ziga xosliklarni keltirib chiqaradi.
Teng yonli uchburchakdagi balandlik figurani 2 ta simmetrik toʻgʻri burchakli uchburchakka boʻladi, ularning yon tomonlari gipotenuslar bilan chiqib turadi. Bu holda balandlik Pifagor teoremasiga ko'ra, oyoq kabi aniqlanadi.
Uchburchakning uch tomoni teng bo'lishi mumkin, keyin u teng tomonli deb ataladi. Teng tomonli uchburchakdagi balandlik xuddi shu tarzda aniqlanadi, faqat hisob-kitoblar uchun faqat bitta qiymatni bilish kifoya - bu uchburchak tomonining uzunligi.
Siz balandlikni boshqa yo'l bilan aniqlashingiz mumkin, masalan, taglik va unga ulashgan burchakni bilish.
Teng yonli uchburchakning medianasi
Ko'rib chiqilgan uchburchak turi o'zining geometrik xususiyatlariga ko'ra, dastlabki ma'lumotlarning minimal to'plami bilan oddiygina hal qilinadi. Teng yonli uchburchakdagi mediana uning balandligiga ham, bissektrisasiga ham teng bo‘lgani uchun uni aniqlash algoritmi bu elementlarni hisoblash tartibidan farq qilmaydi.
Misol uchun, siz mediananing uzunligini ma'lum bo'lgan lateral tomon va tepalik burchagi qiymati bilan aniqlashingiz mumkin.
Perimetrni qanday aniqlash mumkin
Ko'rib chiqilayotgan planimetrik figuraning ikki tomoni doimo teng bo'lganligi sababli, perimetrni aniqlash uchun asosning uzunligini va tomonlardan birining uzunligini bilish kifoya.
Ma'lum asos va balandlikdan uchburchakning perimetrini aniqlash kerak bo'lganda misolni ko'rib chiqing.
Perimetr asosning yig'indisiga va yon tomonning ikki barobar uzunligiga teng. Yon tomon, o'z navbatida, Pifagor teoremasi yordamida to'g'ri burchakli uchburchakning gipotenuzasi sifatida aniqlanadi. Uning uzunligi balandlik kvadratining yig'indisining kvadrat ildiziga va poydevorning yarmi kvadratiga teng.
Teng yonli uchburchakning maydoni
Qoida tariqasida, teng yonli uchburchakning maydonini hisoblash qiyin emas. Uchburchakning maydonini poydevorning yarmi mahsuloti va uning balandligi sifatida aniqlashning universal qoidasi, albatta, bizning holatlarimizda qo'llaniladi. Biroq, teng yonli uchburchakning xususiyatlari vazifani yana osonlashtiradi.
Faraz qilaylik, poydevorga ulashgan balandlik va burchak ma'lum. Shaklning maydonini aniqlash kerak. Siz buni shunday qilishingiz mumkin.
Har qanday uchburchakning burchaklarining yig'indisi 180 ° bo'lganligi sababli, burchakning qiymatini aniqlash qiyin emas. Keyinchalik, sinuslar teoremasi bo'yicha tuzilgan nisbatdan foydalanib, uchburchak asosining uzunligi aniqlanadi. Hamma narsa, poydevor va balandlik - maydonni aniqlash uchun etarli ma'lumotlar mavjud.
Teng yonli uchburchakning boshqa xossalari
Teng yonli uchburchak atrofida chegaralangan aylana markazining holati cho'qqi burchagi kattaligiga bog'liq. Shunday qilib, agar teng yonli uchburchak o'tkir burchakli bo'lsa, aylananing markazi rasm ichida joylashgan.
Do‘lmay teng yonli uchburchak atrofida o‘ralgan aylananing markazi uning tashqarisida yotadi. Va nihoyat, agar cho'qqidagi burchak 90 ° bo'lsa, markaz to'liq poydevorning o'rtasida yotadi va doira diametri taglikning o'zidan o'tadi.
Teng yonli uchburchak atrofida aylana radiusini aniqlash uchun yon tomonning uzunligini cho'qqi burchagi qiymatining yarmining kosinusidan ikki barobarga bo'lish kifoya.
Barcha uchburchaklar orasida ikkita maxsus tur mavjud: to'g'ri burchakli uchburchaklar va teng burchakli uchburchaklar. Nima uchun bu turdagi uchburchaklar juda o'ziga xos? Birinchidan, bunday uchburchaklar ko'pincha birinchi qismdagi USE vazifalarining asosiy belgilariga aylanadi. Ikkinchidan, to‘g‘ri burchakli va teng yonli uchburchaklar haqidagi masalalarni yechish geometriyaning boshqa masalalariga qaraganda ancha oson. Siz faqat bir nechta qoidalar va xususiyatlarni bilishingiz kerak. Barcha qiziqarli mavzular tegishli mavzuda muhokama qilinadi, ammo endi biz teng yonli uchburchaklarni ko'rib chiqamiz. Va eng muhimi, teng yonli uchburchak nima. Yoki, matematiklar aytganidek, teng yonli uchburchakning ta'rifi nima?
Qanday ko'rinishini ko'ring:
To'g'ri burchakli uchburchak kabi, teng yonli uchburchakda ham tomonlari uchun maxsus nomlar mavjud. Ikki teng tomon deyiladi lateral tomonlar va uchinchi tomon asos.
Va yana rasmga e'tibor bering:
Albatta, bu shunday bo'lishi mumkin:
Shuning uchun ehtiyot bo'ling: tomoni - ikkita teng tomondan biri teng yonli uchburchakda va asos uchinchi tomon hisoblanadi.
Nega teng yonli uchburchak juda yaxshi? Buni tushunish uchun balandlikni poydevorga chizamiz. Balandligi nima ekanligini eslaysizmi?
Xo'sh, nima bo'ldi? Bitta teng yonli uchburchakdan ikkita to'rtburchaklar chiqdi.
Bu allaqachon yaxshi, lekin har qanday, eng "koosbral" uchburchakda shunday bo'ladi.
Teng yonli uchburchak uchun rasm o'rtasidagi farq nima? Yana qarang:
Albatta, birinchi navbatda, bu g'alati matematiklarning shunchaki ko'rishlari etarli emas - ular albatta isbotlashlari kerak. Va keyin birdan bu uchburchaklar biroz farq qiladi va biz ularni bir xil deb hisoblaymiz.
Ammo tashvishlanmang: bu holatda isbotlash ko'rish kabi osondir.
Boshlaymizmi? Ehtiyotkorlik bilan qarang, bizda:
Va bu degani! Nega? Ha, biz shunchaki topamiz va, va Pifagor teoremasidan (bir vaqtning o'zida buni eslab)
Ishonch hosil qildingizmi? Xo'sh, endi bizda
Va uch tomondan - uchburchaklar tengligining eng oson (uchinchi) belgisi.
Xo'sh, bizning teng yonli uchburchak ikkita bir xil to'rtburchaklarga bo'lingan.
Qarang, bu qanchalik qiziq? Ma'lum bo'ldiki:
Matematiklar orasida bu haqda gapirish qanday odat tusiga kirgan? Keling, tartibda boramiz:
(Bu erda mediana - bu tomonni yarmiga bo'ladigan cho'qqidan chizilgan chiziq va bissektrisa - burchak ekanligini unutmang.)
Xo'sh, bu erda biz teng yonli uchburchak berilsa, nima yaxshi ko'rish mumkinligini muhokama qildik. Biz shunday xulosaga keldikki, teng yonli uchburchakning poydevoridagi burchaklar teng va asosga chizilgan balandlik, bissektrisa va mediana mos keladi.
Va endi yana bir savol tug'iladi: teng yonli uchburchakni qanday aniqlash mumkin? Ya'ni, matematiklar aytganidek, nima teng yonli uchburchakning belgilari?
Va ma'lum bo'lishicha, siz barcha bayonotlarni aksincha "aylantirish" kerak. Bu, albatta, har doim ham shunday emas, lekin teng yonli uchburchak hali ham ajoyib narsa! "To'ntarish" dan keyin nima bo'ladi?
Xo'sh, qarang:
Agar balandlik va mediana mos kelsa, u holda:
Agar balandlik va bissektrisa mos kelsa, u holda: 
Agar bissektrisa va mediana mos kelsa, u holda:
Xo'sh, unutmang va foydalaning:
- Agar sizga teng yonli uchburchak berilgan boʻlsa, bemalol balandlikni chizib, ikkita toʻgʻri burchakli uchburchak oling va toʻgʻri burchakli uchburchak haqidagi masalani yeching.
- Agar shunday berilgan bo'lsa ikki burchak teng keyin uchburchak aynan isosceles va siz balandlikni ushlab turishingiz mumkin va .... (Jek qurgan uy ...).
- Agar balandlik yon tomonda ikki baravar kamayganligi ma'lum bo'lsa, unda uchburchak barcha bonuslar bilan teng yonli bo'ladi.
- Agar balandlik burchakni qavatlarga bo'lganligi aniqlansa - izossellar ham!
- Agar bissektrisa tomonni yarmiga bo'lsa yoki mediana burchak bo'lsa, bu ham sodir bo'ladi faqat teng yonli uchburchakda
Keling, vazifalarda qanday ko'rinishini ko'rib chiqaylik.
Muammo 1(eng oddiy)
Uchburchakda va tomonlari teng, va. Toping.
Biz qaror qilamiz:
Avval chizma.
Bu erda qanday asos bor? Albatta, .
Biz eslaymiz, agar, keyin va.
Yangilangan chizma:
bilan belgilaymiz. U yerdagi uchburchak burchaklarining yig‘indisi nechaga teng? ?
Biz foydalanamiz:
Bu javob: .
Qiyin emas, to'g'rimi? Hatto balandlik ham kerak emas edi.
Vazifa 2(Shuningdek, juda qiyin emas, lekin mavzuni takrorlashingiz kerak)
Uchburchakda,. Toping.
Biz qaror qilamiz:
Uchburchak teng yon tomonli! Biz balandlikni chizamiz (bu hiyla-nayrang, uning yordamida hozir hamma narsa hal qilinadi).
Endi biz "hayotdan o'chiramiz", biz faqat ko'rib chiqamiz.
Shunday qilib, bizda:
Kosinuslarning jadval qiymatlarini eslab qolish (yaxshi yoki cheat varag'iga qarash ...)
Bu topish uchun qoladi:.
Javob: .
E'tibor bering, bizda bu erda juda to'g'ri burchakli uchburchak va "jadval" sinuslari va kosinuslari haqida bilimlarni talab qiladi. Bu juda tez-tez sodir bo'ladi: mavzular, "isosceles uchburchagi" va jumboqlarda to'plamlarga bo'linadi, ammo boshqa mavzular bilan ular juda do'stona emas.
Izosceles uchburchagi. O'rtacha darajasi.
Bular ikki teng tomon deyiladi lateral tomonlar, a uchinchi tomoni teng yonli uchburchakning asosidir.
Rasmga qarang: va - yon tomonlari, - teng yonli uchburchakning asosi.
Keling, nima uchun bunday bo'lganini bitta rasmda tushunamiz. Keling, nuqtadan balandlikni chizamiz.
Bu ularning barcha mos keladigan elementlarga teng ekanligini anglatadi.
Hammasi! Bir zarbada (bo'yi) ular barcha gaplarni birdaniga isbotladilar.
Va esda tuting: teng burchakli uchburchak muammosini hal qilish uchun ko'pincha balandlikni teng yonli uchburchakning poydevoriga tushirish va uni ikkita teng to'g'ri burchakli uchburchakka bo'lish juda foydali.
Teng yonli uchburchakning belgilari
Qarama-qarshi bayonotlar ham to'g'ri:
Bu gaplarning deyarli barchasini yana “bir zarbada” isbotlash mumkin.
1. Demak, let in va ga teng edi.
Keling, balandlikni chizamiz. Keyin
2.a) Endi bir nechta uchburchakni kiritamiz balandlik va bissektrisa mos keladi.
2.b) Va agar balandlik va mediana mos kelsa? Hammasi deyarli bir xil, bundan murakkab emas!
 |
- ikki oyoqda |
2.c) Lekin balandlik bo'lmasa, bu teng yonli uchburchakning asosiga tushiriladi, keyin dastlab to'g'ri burchakli uchburchaklar mavjud emas. Yomon!
Ammo chiqish yo'li bor - uni nazariyaning keyingi darajasida o'qing, chunki bu erda isbot murakkabroq, ammo hozircha shuni yodda tutingki, agar mediana va bissektrisa mos tushsa, uchburchak ham teng yon tomonli bo'ladi va balandlik hali ham bu bissektrisa va medianaga to'g'ri keladi.
Keling, xulosa qilaylik:
- Agar uchburchak teng yonli bo'lsa, asosdagi burchaklar teng bo'ladi va asosga chizilgan balandlik, bissektrisa va mediana mos keladi.
- Agar biron bir uchburchakda ikkita teng burchak bo'lsa yoki uchta chiziqning ba'zi ikkitasi (bissektrisa, mediana, balandlik) mos tushsa, bunday uchburchak teng yon tomonli hisoblanadi.
Izosceles uchburchagi. Qisqacha tavsif va asosiy formulalar
Teng yonli uchburchak - bu ikki tomoni teng bo'lgan uchburchak.
Teng yonli uchburchakning belgilari:
- Agar biron bir uchburchakda ikkita burchak teng bo'lsa, u teng yon tomondir.
- Agar biron bir uchburchakda mos kelsa:
a) balandlik va bissektrisa yoki
b) balandlik va median yoki
v) mediana va bissektrisa,
bir tomonga chizilgan, keyin bunday uchburchak isosselesdir.
QOGAN 2/3 MAQOLALAR FAQAT SIZLARGA MUMKIN!
YouClever talabasi bo'ling,
OGE ga tayyorlaning yoki matematikada "oyiga bir chashka qahva" narxida foydalaning,
Shuningdek, "YouClever" darsligi, "100gia" o'quv dasturi (reshebnik), cheksiz sinov USE va OGE, echimlarni tahlil qilish bilan bog'liq 6000 ta muammolar va boshqa YouClever va 100gia xizmatlaridan cheksiz foydalanish imkoniyatiga ega bo'ling.
