Yonma-yon maydon. Piramidaning lateral sirtini qanday topish mumkin
Matematikadan imtihonga tayyorgarlik ko'rishda talabalar algebra va geometriya bo'yicha bilimlarini tizimlashtirishlari kerak. Men ma'lum bo'lgan barcha ma'lumotlarni birlashtirmoqchiman, masalan, piramida maydonini qanday hisoblash kerak. Bundan tashqari, taglik va yon yuzlardan butun sirt maydoniga qadar. Agar yon tomonlarning holati aniq bo'lsa, chunki ular uchburchak bo'lsa, unda taglik har doim boshqacha.
Piramida asosining maydonini topishda nima qilish kerak?
Bu mutlaqo har qanday shaklda bo'lishi mumkin: ixtiyoriy uchburchakdan n-gongacha. Va bu tayanch, burchaklar sonining farqiga qo'shimcha ravishda, to'g'ri raqam yoki noto'g'ri bo'lishi mumkin. Maktab o'quvchilarini qiziqtirgan FOYDALANISh vazifalarida faqat bazada to'g'ri raqamlar bo'lgan vazifalar uchraydi. Shuning uchun, biz ular haqida faqat gaplashamiz.
Muntazam uchburchak
Ya'ni, teng tomonlama. Barcha tomonlari teng bo'lgan va "a" harfi bilan belgilanadigan. Bunday holda, piramida asosining maydoni quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:
S = (a 2 * -3) / 4.
Kvadrat
Uning maydonini hisoblash formulasi eng sodda, bu erda "a" yana tomoni:
O'zboshimchalik bilan muntazam n-gon
Ko'pburchakning yon tomoni xuddi shu belgiga ega. Burchaklar soni uchun lotincha n harfi ishlatiladi.
S = (n * a 2) / (4 * tg (180º / n)).
Yanal va umumiy sirt maydonini hisoblashda nima qilish kerak?
Poydevorda odatiy raqam bo'lganligi sababli, piramidaning barcha yuzlari tengdir. Bundan tashqari, ularning har biri yon burchakli uchburchakdir, chunki yon qirralari tengdir. Keyin, piramidaning lateral maydonini hisoblash uchun sizga bir xil monomiallar yig'indisidan iborat bo'lgan formula kerak. Atamalar soni tayanch tomonlari soniga qarab belgilanadi.
Maydon yonbosh uchburchak asosning hosilasining yarmi balandlikka ko'paytiriladigan formula yordamida hisoblanadi. Piramidadagi bu balandlik apotemiya deb ataladi. Uning belgisi "A" dir. Yanal sirt maydoni uchun umumiy formula quyidagicha ko'rinadi:
S = ½ P * A, bu erda P - piramida asosining perimetri.
Bazaning yon tomonlari noma'lum bo'lgan holatlar mavjud, lekin yon qirralar (c) va uning tepasida tekislik burchagi (a) berilgan. Keyin piramidaning lateral maydonini hisoblash uchun quyidagi formuladan foydalanish kerak:
S = n / 2 * 2 ta sin a ichida .
1-masala
Vaziyat. Piramidaning umumiy maydonini toping, agar uning tagida u 4 sm yon tomonda yotsa va apotemaning qiymati -3 sm bo'lsa.
Qaror. Siz uni bazaning perimetrini hisoblash bilan boshlashingiz kerak. Bu muntazam uchburchak bo'lgani uchun, P = 3 * 4 = 12 sm. Apotema ma'lum bo'lganligi sababli, biz darhol butun lateral sirtning maydonini hisoblashimiz mumkin: ph * 12 * -3 = 6√3 sm 2.
Taglikdagi uchburchak uchun siz quyidagi maydon qiymatini olasiz: (4 2 * -3) / 4 = 4√3 sm 2.
Butun maydonni aniqlash uchun ikkita hosil bo'lgan qiymatlarni qo'shishingiz kerak: 6√3 + 4√3 = 10√3 sm 2.
Javob. 10√3 sm 2.
2-sonli masala
Vaziyat... Muntazam to'rtburchak piramida mavjud. Taglik tomonining uzunligi 7 mm, lateral qovurg'a 16 mm. Uning sirtini aniqlash kerak.
Qaror. Polihedr to'rtburchaklar va muntazam bo'lgani uchun, uning asosida kvadrat joylashgan. Baza va yon yuzlarning maydonlarini bilib, piramidaning maydonini hisoblash mumkin bo'ladi. Kvadrat formulasi yuqorida keltirilgan. Va yon yuzlarda, uchburchakning barcha tomonlari ma'lum. Shuning uchun, ularning maydonlarini hisoblash uchun Heron formulasidan foydalanishingiz mumkin.
Birinchi hisob-kitoblar sodda va bu raqamga olib keladi: 49 mm 2. Ikkinchi qiymat uchun yarim perimetrni hisoblashingiz kerak: (7 + 16 * 2): 2 = 19,5 mm. Endi siz teng uchburchakning maydonini hisoblashingiz mumkin: √ (19.5 * (19.5-7) * (19.5-16) 2) = -2985.9375 = 54.644 mm 2. Bunday uchburchak faqat to'rttadir, shuning uchun oxirgi raqamni hisoblashda siz uni 4 ga ko'paytirishingiz kerak bo'ladi.
Bu chiqadi: 49 + 4 * 54.644 = 267.576 mm 2.
Javob... Kerakli qiymat 267,576 mm 2 ni tashkil qiladi.
Muammo raqami 3
Vaziyat... Muntazam to'rtburchaklar piramidaning maydonini hisoblash kerak. Kvadrat tomoni unda ma'lum - 6 sm va balandligi - 4 sm.
Qaror. Eng oson yo'li - formuladan perimetr va apotemaning mahsuloti bilan foydalanish. Birinchi qiymatni topish oson. Ikkinchisi biroz murakkabroq.
Biz Pifagor teoremasini eslab, uni ko'rib chiqamiz, u piramidaning balandligi va gipotenuza bo'lgan apotemadan hosil bo'ladi. Ikkinchi oyoq kvadratning yarmiga teng, chunki ko'p qirrali balandlik uning o'rtasiga to'g'ri keladi.
Kerakli apotem (to'g'ri burchakli uchburchakning gipotenuzasi) ph (3 2 + 4 2) = 5 (sm) dir.
Endi siz kerakli qiymatni hisoblashingiz mumkin: ph * (4 * 6) * 5 + 6 2 = 96 (sm 2).
Javob. 96 sm 2.
Masala 4
Vaziyat. To'g'ri tomoni berilgan, uning poydevorining yon tomonlari 22 mm, yon qovurg'alari 61 mm. Ushbu ko'p qirrali lateral yuzaning maydoni qancha?
Qaror. Undagi mulohaza №2 masalada tasvirlanganidek. Faqatgina poydevorida kvadrat joylashgan piramida berilgan edi, endi u olti burchakli.
Birinchi qadam bazaning maydonini yuqoridagi formula bo'yicha hisoblash: (6 * 22 2) / (4 * tg (180º / 6)) = 726 / (tg30º) = 726√3 sm 2.
Endi siz yon yuzi bo'lgan teng yonli uchburchakning yarim semimetrini topishingiz kerak. (22 + 61 * 2): 2 = 72 sm.Heron formulasi yordamida har bir bunday uchburchakning maydonini hisoblash va keyin oltitaga ko'paytirish va bazaga aylantirilganiga qo'shish qoladi.
Heron formulasi yordamida hisob-kitoblar: b (72 * (72-22) * (72-61) 2) = -435600 = 660 sm 2. Yanal sirt maydonini beradigan hisob-kitoblar: 660 * 6 = 3960 sm 2. Butun sirtni bilish uchun ularni katlamak qoladi: 5217.47 ~ 5217 sm 2.
Javob. Taglik 726√3 sm 2, lateral sirt 3960 sm 2, butun maydon 5217 sm 2 ni tashkil qiladi.
Muntazam uchburchak piramidada SABC R- qovurg'aning o'rtasi AB, S- yuqori.
Ma'lumki SR = 6, va lateral sirt maydoni shunday bo'ladi 36
.
Kesmaning uzunligini toping Miloddan avvalgi.
Keling, rasm chizamiz. Muntazam piramidada yon yuzlar yonbosh uchburchaklardir.
Bo'lim SR- o'rtacha taglikka tushdi va shu sababli yon yuzning balandligi.
Muntazam uchburchak piramidaning yon yuzasi maydonlarning yig'indisiga teng
uchta teng yuz S tomon. = 3 S ABS... Bu erdan S ABS = 36: 3 = 12- yuz maydoni.
Uchburchakning maydoni balandligi bilan uning asosi hosilasining yarmiga teng
S ABS = 0,5 AB SR... Maydon va balandlikni bilib, taglikning yon tomonini topamiz AB = miloddan avvalgi.
12 = 0,5 AB 6
12 = 3 AB
AB = 4
Javob: 4
Muammoga boshqa tomondan murojaat qilishingiz mumkin. Taglikning yon tomoni bo'lsin AB = BC = a.
Keyin yuzning maydoni S ABS = 0,5 AB SR = 0,5 a 6 = 3a.
Uch yuzning har birining maydoni 3a, uchta yuzning maydoni 9a.
Muammoning sharti bo'yicha, piramidaning lateral yuzasi maydoni 36 ga teng.
S tomon. = 9a = 36.
Bu erdan a = 4.
Piramidani qanday shakl deb ataymiz? Birinchidan, bu ko'pburchak. Ikkinchidan, o'zboshimchalik bilan ko'pburchak ushbu ko'pburchak asosida joylashgan bo'lib, piramidaning yon tomonlari (yon yuzlari) shartli ravishda bitta umumiy vertikada yaqinlashayotgan uchburchaklar shakliga ega. Endi, bu atama bilan shug'ullanib, piramidaning sirtini qanday topish kerakligini bilib olamiz.
Bunday geometrik jismning sirt maydoni taglik maydonlari va uning butun lateral yuzasi yig'indisidan iborat ekanligi aniq.
Piramida asosining maydonini hisoblash
Hisoblash formulasini tanlash bizning piramida bazasida yotgan ko'pburchak shakliga bog'liq. Bu to'g'ri bo'lishi mumkin, ya'ni bir xil uzunlikdagi tomonlari bilan yoki noto'g'ri bo'lishi mumkin. Keling, ikkala variantni ham ko'rib chiqaylik.
Poydevorda muntazam ko'pburchak mavjud
Maktab kursidan ma'lum:
- kvadratning maydoni uning yon kvadratining uzunligiga teng bo'ladi;
- teng qirrali uchburchakning maydoni uning tomoni kvadratiga 4 ga bo'linib, ko'paytirilishga teng Kvadrat ildiz uchtadan.
Ammo har qanday muntazam ko'pburchak (Sn) maydonini hisoblashning umumiy formulasi ham mavjud: ushbu ko'pburchak (P) perimetrining qiymatini yozilgan doiraning (r) radiusiga ko'paytirishingiz kerak va keyin bo'linishingiz kerak. natija ikkitadan: Sn = 1/2P * r ...
Poydevorda - tartibsiz ko'pburchak
Uning maydonini topish sxemasi avval butun ko'pburchakni uchburchaklarga bo'lish, formuladan foydalanib har birining maydonini hisoblash: 1 / 2a * h (bu erda a - uchburchakning asosi, h - balandlik pastga tushirilgan barcha natijalarni qo'shing.
Piramidaning lateral yuzasi
Endi piramidaning yon yuzasi maydonini hisoblaymiz, ya'ni. uning barcha yon tomonlari maydonlarining yig'indisi. Bu erda 2 ta variant ham mumkin.
- Bizga o'zboshimchalik bilan piramida bo'lsin, ya'ni. tagida tartibsiz ko'pburchak bo'lgan biri. Keyin har bir yuzning maydonini alohida hisoblashingiz va natijalarni qo'shishingiz kerak. Piramidaning tomonlari, ta'rifi bo'yicha, faqat uchburchak bo'lishi mumkinligi sababli, hisoblash yuqoridagi formula bo'yicha amalga oshiriladi: S = 1 / 2a * h.
- Bizning piramida to'g'ri bo'lsin, ya'ni. uning asosida muntazam ko'pburchak yotadi va uning markazida piramida cho'qqisining proektsiyasi joylashgan. Keyinchalik, lateral sirtning maydonini (Sb) hisoblash uchun tayanch ko'pburchagi (P) perimetri hosilasining yarmini yon tomonning balandligi (h) bo'yicha topish kifoya (hamma uchun bir xil) yuzlar): Sb = 1/2 P * h. Ko'pburchakning perimetri uning barcha tomonlarining uzunliklarini qo'shib aniqlanadi.
Umumiy sirt maydoni to'g'ri piramida uning asosini butun lateral sirt maydoni bilan yig'ish orqali topiladi.
Misollari
Misol tariqasida, algebraik ravishda bir nechta piramidalarning sirtini hisoblab chiqamiz.
Uchburchak piramidaning sirt maydoni
Bunday piramidaning asosida uchburchak joylashgan. So = 1 / 2a * h formuladan foydalanib bazaning maydonini topamiz. Piramidaning har bir yuzi maydonini topish uchun xuddi shu formulani qo'llaymiz, u ham uchburchak shaklga ega va biz uchta maydonni olamiz: S1, S2 va S3. Piramidaning lateral sirt maydoni barcha maydonlarning yig'indisiga teng: Sb = S1 + S2 + S3. Yon va poydevor maydonlarini qo'shib, kerakli piramidaning umumiy sirtini olamiz: Sp = Sо + Sb.
To'rtburchak piramidaning sirt maydoni
Yanal sirt maydoni 4 ta hadning yig'indisidir: Sb = S1 + S2 + S3 + S4, ularning har biri uchburchak maydoni formulasi yordamida hisoblanadi. To'rtburchak shakliga qarab taglikning maydonini izlash kerak bo'ladi - to'g'ri yoki noto'g'ri. Piramidaning umumiy yuzasi yana berilgan piramidaning taglik maydonini va umumiy sirtini qo'shib olinadi.
Ta'rif. Yon chekka uchburchak bo'lib, uning bir burchagi piramidaning tepasida joylashgan bo'lib, qarama-qarshi tomoni asosning (ko'pburchak) yon tomoniga to'g'ri keladi.
Ta'rif. Yon qovurg'alar yon yuzlarning umumiy tomonlari. Piramidaning ko'pburchagi kabi ko'p qirralari bor.
Ta'rif. Piramidaning balandligi- bu perpendikulyar, yuqoridan piramidaning tagigacha tushirilgan.
Ta'rif. Apothem piramidaning tepa qismidan pastki tomoniga tushirilgan, piramidaning yon yuziga perpendikulyar.
Ta'rif. Diagonal qism piramidaning yuqori qismi va poydevorining diagonalidan o'tgan tekislik tomonidan piramidaning kesimidir.
Ta'rif. To'g'ri piramida bu piramida bo'lib, unda asos muntazam ko'pburchak bo'lib, balandlik asosning o'rtasiga tushadi.
Piramidaning hajmi va yuzasi
Formula. Piramidaning hajmi tayanch maydoni va balandligi orqali:
Piramidaning xususiyatlari
Agar barcha yon qirralar teng bo'lsa, u holda aylana piramidaning poydevori atrofida tasvirlanishi mumkin va poydevorning markazi aylana markaziga to'g'ri keladi. Shuningdek, tepadan tushgan perpendikulyar asosning (aylananing) o'rtasidan o'tadi.
Agar barcha yon qirralar teng bo'lsa, unda ular bir xil burchak ostida taglik tekisligiga moyil bo'ladi.
Yon qirralar taglik tekisligi bilan teng burchak hosil qilganda yoki piramida poydevori atrofida aylana tasvirlanishi mumkin bo'lganda teng bo'ladi.
Agar yon yuzlar bir tekis burchak ostida tayanch tekislikka moyil bo'lsa, u holda aylana piramidaning tagiga yozilishi mumkin va piramidaning yuqori qismi uning o'rtasiga proyeksiyalanadi.
Agar yon yuzlar bir tekis burchak ostida taglik tekisligiga moyil bo'lsa, u holda yon yuzlarning apotemalari teng bo'ladi.
Muntazam piramidaning xususiyatlari
1. Piramidaning yuqori qismi taglikning barcha burchaklaridan bir xil masofada joylashgan.
2. Barcha yon qirralar teng.
3. Barcha yon qovurg'alar poydevorga bir xil burchak ostida moyil bo'ladi.
4. Barcha lateral yuzlarning apotemalari teng.
5. Barcha yon yuzlarning maydonlari teng.
6. Barcha yuzlar bir xil dihedral (tekis) burchaklarga ega.
7. Piramida atrofida sharni tasvirlash mumkin. Atroflangan sharning markazi qirralarning o'rtasidan o'tuvchi perpendikulyarlarning kesishish nuqtasi bo'ladi.
8. Piramidaga shar yozilishi mumkin. Yozilgan sharning markazi chekka va taglik orasidagi burchakdan chiqadigan bissektrisalarning kesishish nuqtasi bo'ladi.
9. Agar chizilgan sharning markazi aylantirilgan sharning markaziga to'g'ri keladigan bo'lsa, u holda tepalikdagi tekislik burchaklarining yig'indisi vice ga yoki aksincha, bitta burchak n / n ga teng, bu erda n - son piramida asosidagi burchaklar.
Piramidaning shar bilan aloqasi
Piramidaning atrofida aylana tasvirlab berilishi mumkin bo'lgan ko'pburchak piramidaning asosida yotganida sharni tasvirlash mumkin (zarur va etarli shart). Sfera markazi piramidaning yon qirralarining o'rta nuqtalari orqali perpendikulyar ravishda o'tadigan tekisliklarning kesishish nuqtasi bo'ladi.
Sharni har doim har qanday uchburchak yoki oddiy piramida atrofida tasvirlash mumkin.
Agar piramidaning ichki dihedral burchaklarining bissektrisa tekisliklari bir nuqtada kesilsa (zarur va etarli shart), sharni piramidaga yozish mumkin. Ushbu nuqta sharning markazi bo'ladi.
Piramidaning konus bilan tutashtirilishi
Konus, agar ularning tepalari bir-biriga to'g'ri keladigan bo'lsa va konusning asosi piramidaning tagiga yozilgan bo'lsa, u piramidaga kiritilgan deb nomlanadi.
Agar piramidaning apotemalari bir-biriga teng bo'lsa, konusni piramidaga kiritish mumkin.
Konus, agar ularning tepalari bir-biriga to'g'ri keladigan bo'lsa, piramidaning atrofida aylana aylantirilgan deyiladi va konusning asosi piramidaning atrofida aylantirilgan.
Piramidaning barcha yon qirralari bir-biriga teng bo'lsa, konusni piramidaning atrofida tasvirlash mumkin.
Piramidaning silindr bilan ulanishi
Piramidaning ustki qismi silindrning bir poydevorida yotsa, piramidaning poydevori silindrning boshqa poydevoriga yozilgan bo'lsa, piramida silindrga yozilgan deb nomlanadi.
Piramidaning atrofida aylana tasvirlanishi mumkin bo'lsa, silindrni piramida atrofida tasvirlash mumkin.
Tetraedrning to'rtta yuzi va to'rtta tepasi va oltita qirrasi bor, bu erda har qanday ikkita qirralarning umumiy tepalari yo'q, lekin tegmaydi.
Har bir tepada uchta yuz va qirralar hosil bo'ladi uchburchak burchak.
Tetraedr tepasini qarama-qarshi yuzning markazi bilan bog'laydigan segment deyiladi o'rtacha tetraedr(GM).
Bimedian- aloqada bo'lmagan (KL) qarama-qarshi qirralarning o'rta nuqtalarini birlashtiruvchi segment.
Tetraedrning barcha bimedianlari va medianlari bir nuqtada (S) uchrashadilar. Bunday holda, bimedianlar ikkiga bo'linadi va medianlar yuqoridan boshlab 3: 1 nisbatda bo'ladi.
Ta'rif. O'tkir burchakli piramida- bu piramida, unda apotema taglik tomonining uzunligining yarmidan ko'prog'iga teng.
Ta'rif. O'tkir piramida apotemasi asos tomoni uzunligining yarmidan kamrog'iga ega bo'lgan piramida.
Ta'rif. Muntazam tetraedr- to'rt yuzi teng qirrali uchburchak bo'lgan tetraedr. Bu beshta muntazam ko'pburchaklardan biri. Muntazam tetraedrda barcha dihedral burchaklar (yuzlar orasidagi) va trihedral burchaklar (tepada) tengdir.
Ta'rif. To'rtburchak tetraedr uchida (qirralarning perpendikulyar) uch qirrasi o'rtasida to'g'ri burchakka ega bo'lgan tetraedr deyiladi. Uch yuz shakllanadi to'rtburchaklar uchburchak burchak va yuzlar to'g'ri burchakli uchburchaklar, taglik esa o'zboshimchalik bilan uchburchakdir. Har qanday yuzning apotemasi apotema tushgan poydevorning yarmiga teng.
Ta'rif. Tenglikli tetraedr tetraedr deb nomlangan bo'lib, uning yon tomonlari bir-biriga teng, poydevori esa muntazam uchburchakdir. Bunday tetraedr uchun yuzlar teng yonli uchburchakdir.
Ta'rif. Ortosentrik tetraedr tepadan qarama-qarshi yuzga tushirilgan barcha balandliklar (perpendikular) bir nuqtada kesishgan tetraedr deb ataladi.
Ta'rif. Yulduzli piramida bazasi yulduz bo'lgan poliedr deb ataladi.
Samolyotda va uch o'lchovli kosmosdagi odatiy geometrik masalalar har xil shakldagi sirtlarning maydonlarini aniqlash muammolari. Ushbu maqolada biz muntazam to'rtburchaklar piramidaning lateral yuzasi formulasini taqdim etamiz.
Piramida nima?
Piramidaning qat'iy geometrik ta'rifi. Faraz qilaylik, n qirralari va n burchaklari bo'lgan ko'pburchak. Belgilangan n-gon tekisligida bo'lmaydigan fazodagi ixtiyoriy nuqtani tanlang va uni ko'pburchakning har bir tepasiga ulang. Biz ma'lum hajmli figurani olamiz, u n qirrali piramida deb ataladi. Masalan, quyidagi rasmda beshburchak piramidaning qanday ko'rinishini ko'rsatamiz.
Har qanday piramidaning ikkita muhim elementi uning asosi (n-gon) va tepasi. Ushbu elementlar bir-biriga n uchburchak bilan bog'langan bo'lib, ular umuman bir-biriga teng emas. Yuqoridan tepaga tushgan perpendikulyar figuraning balandligi deyiladi. Agar u asosni geometrik markazda kesib o'tgan bo'lsa (ko'pburchakning massa markaziga to'g'ri keladigan bo'lsa), unda bunday piramida to'g'ri chiziq deb ataladi. Agar ushbu shartdan tashqari asos muntazam ko'pburchak bo'lsa, unda butun piramida muntazam deb nomlanadi. Quyidagi rasmda uchburchak, to'rtburchaklar, beshburchak va olti burchakli asoslar bilan muntazam piramidalar qanday ko'rinishini ko'rsatadi.
Piramida yuzasi
Muntazam to'rtburchaklar piramidaning lateral yuzasi haqidagi savolga o'tishdan oldin, sirt o'zi haqida ko'proq tushuncha berish kerak.
Yuqorida aytib o'tilganidek va rasmlarda ko'rsatilganidek, har qanday piramida yuzlar yoki yon tomonlar to'plamidan hosil bo'ladi. Bir tomoni asos, n tomonlari uchburchakdir. Butun raqamning yuzasi uning har bir tomoni maydonlarining yig'indisidir.
Shaklni ochish misolida sirtni o'rganish qulay. Muntazam to'rtburchaklar piramida uchun tekis naqsh quyidagi rasmlarda keltirilgan.
Uning sirt maydoni to'rtburchaklar teng burchakli uchburchaklar to'rtburchagi va kvadrat maydonlarining yig'indisiga teng ekanligini ko'ramiz.
Shaklning yon tomonlarini tashkil etuvchi barcha uchburchaklarning umumiy maydoni odatda lateral sirt maydoni deb ataladi. Keyinchalik, uni muntazam to'rtburchaklar piramida uchun qanday hisoblashni ko'rsatamiz.
To'rtburchakli muntazam piramidaning lateral yuzasi
Belgilangan shaklning lateral sirtini hisoblash uchun yuqoridagi tekis naqshga murojaat qiling. Deylik, biz kvadrat asosning tomonini bilamiz. Keling, buni a belgisi bilan belgilaymiz. Ko'rinib turibdiki, to'rtta bir xil uchburchaklarning har biri uzunlik asosiga ega. Ularning umumiy maydonini hisoblash uchun siz bitta uchburchak uchun ushbu qiymatni bilishingiz kerak. Geometriya kursidan ma'lumki, S t uchburchakning maydoni asosga va balandlikka ko'paytirilib, uni ikkiga bo'lish kerak. Ya'ni:
Bu erda h b - a asosiga chizilgan teng yonli uchburchakning balandligi. Piramida uchun bu balandlik apotemadir. Endi ko'rib chiqilayotgan piramida uchun lateral yuzaning S b maydonini olish uchun hosil bo'lgan ifodani 4 ga ko'paytirish qoladi:
S b = 4 * S t = 2 * h b * a.
Ushbu formulada ikkita parametr mavjud: apotema va bazaning yon tomoni. Agar ikkinchisi muammolarning aksariyat sharoitlarida ma'lum bo'lsa, unda birinchisini boshqa miqdorlarni bilgan holda hisoblash kerak. Ikkita holat uchun apotemani hisoblash uchun formulalar beramiz h b:
- yon qovurg'aning uzunligi ma'lum bo'lganda;
- piramidaning balandligi ma'lum bo'lganda.
Agar yon qirraning uzunligini (yonbosh uchburchakning yon tomoni) L belgisi bilan belgilasak, u holda apotema h b quyidagi formula bilan aniqlanadi:
h b = √ (L 2 - a 2/4).
Ushbu ibora Pifagor teoremasini lateral sirt uchburchagiga qo'llash natijasidir.
Agar piramidaning h balandligi ma'lum bo'lsa, u holda apotema h b ni quyidagicha hisoblash mumkin:
h b = √ (h 2 + a 2/4).
Piramidaning ichki qismini ko'rib chiqsak, bu ifodani olish ham qiyin emas. to'g'ri uchburchak h va a / 2 oyoqlari va h b gipotenuzasi tomonidan hosil qilingan.
Keling, ushbu formulalarni ikkita qiziqarli masalani echish orqali qanday qo'llashni ko'rsatamiz.
Ma'lum bo'lgan sirt muammosi
Ma'lumki, to'rtburchaklar lateral yuzasining maydoni 108 sm 2 ga teng. Piramidaning balandligi 7 sm bo'lsa, uning apotemasi h b uzunligini hisoblash kerak.
Balandligi bo'yicha lateral yuzaning S b maydoni uchun formulani yozamiz. Bizda ... bor:
S b = 2 * √ (h 2 + a 2/4) * a.
Bu erda biz shunchaki S b ifodasidagi mos keladigan apotema formulasini almashtirdik. Tenglikning ikkala tomonini ham kvadratga keltiramiz:
S b 2 = 4 * a 2 * h 2 + a 4.
A qiymatini topish uchun o'zgaruvchilarni o'zgartiramiz:
t 2 + 4 * h 2 * t - S b 2 = 0.
Endi ma'lum qiymatlarni almashtiramiz va kvadrat tenglamani echamiz:
t 2 + 196 * t - 11664 = 0.
Ushbu tenglamaning faqat ijobiy ildizini yozdik. Keyin piramida poydevorining tomonlari quyidagilarga teng bo'ladi:
a = -t = -47.8355-6.916 sm.
Apotemaning uzunligini bilish uchun quyidagi formuladan foydalaning:
h b = √ (h 2 + a 2/4) = √ (7 2 + 6.916 2/4) ≈ 7.808 sm.
Xeops piramidasining yon yuzasi
Eng katta Misr piramidasi uchun tomonning qiymatini aniqlaylik. Ma'lumki, uning tagida yon tomonining uzunligi 230,363 metr bo'lgan kvadrat yotadi. Binoning balandligi dastlab 146,5 metr edi. Ushbu raqamlarni S b uchun mos keladigan formulaga almashtirib, quyidagilarni olamiz:
S b = 2 * √ (h 2 + a 2/4) * a = 2 * √ (146.5 2 +230.363 2/4) * 230.363 ≈ 85860 m 2.
Topilgan qiymat 17 ta futbol maydonining maydonidan biroz kattaroqdir.
