Perpendikulyar chiziqlar va ularning xossalari. Perpendikulyar chiziqlar Perpendikulyar chiziq nima deyiladi

Maqola tekislik va uch o'lchovli fazoda perpendikulyar chiziqlar masalasiga bag'ishlangan. Keling, berilgan misollar yordamida perpendikulyar chiziqlar ta'rifi va ularning belgilanishini batafsil tahlil qilaylik. Keling, ikkita to'g'ri chiziqning perpendikulyarligi uchun zarur va etarli shartni qo'llash shartlarini ko'rib chiqamiz va misol bilan batafsil ko'rib chiqamiz.

Kosmosda kesishgan to'g'ri chiziqlar orasidagi burchak to'g'ri bo'lishi mumkin. Keyin ular aytadilarki, bu ma'lumotlar perpendikulyar to'g'ri chiziqlar. To'g'ri chiziqlar orasidagi burchak to'g'ri bo'lganda, to'g'ri chiziqlar ham perpendikulyar bo'ladi. Bundan kelib chiqadiki, tekislikdagi perpendikulyar to'g'ri chiziqlar kesishadi va fazoning perpendikulyar to'g'ri chiziqlari kesishishi va kesishishi mumkin.

Ya'ni, "a va b to'g'ri chiziqlar perpendikulyar" va "b va a to'g'ri chiziqlar perpendikulyar" tushunchalari teng deb hisoblanadi. Bu erda o'zaro perpendikulyar to'g'ri chiziqlar tushunchasi paydo bo'lgan. Yuqoridagilarni umumlashtirib, ta'rifni ko'rib chiqing.

Ta'rif 1

Ikki to'g'ri chiziq, agar ular kesishganda burchak 90 gradus bo'lsa, perpendikulyar deyiladi.

Perpendikulyarlik "⊥" bilan belgilanadi va yozuv a ⊥ b shaklini oladi, ya'ni a chizig'i b chizig'iga perpendikulyar bo'ladi.

Masalan, tekislikdagi perpendikulyar chiziqlar umumiy tepalikka ega bo'lgan kvadrat tomonlari bo'lishi mumkin. Uch o'lchovli fazoda O x, O z, O y chiziqlari juft bo'lib perpendikulyar: O x va O z, O x va O y, O y va O z.

Chiziqlarning perpendikulyarligi - perpendikulyarlik shartlari

Perpendikulyarlikning xususiyatlarini bilish kerak, chunki ko'pchilik vazifalar uni keyingi hal qilish uchun tekshirishgacha kamayadi. Hatto topshiriq sharti yoki dalillardan foydalanish zarur bo'lganda ham perpendikulyarlik muhokama qilinadigan holatlar mavjud. Perpendikulyarlikni isbotlash uchun to'g'ri chiziqlar orasidagi burchak to'g'ri bo'lishi kifoya.

Ularning to'rtburchaklar koordinata tizimining ma'lum tenglamalari bilan perpendikulyarligini aniqlash uchun to'g'ri chiziqlar perpendikulyarligi uchun zarur va etarli shartni qo'llash kerak. Matnni ko'rib chiqing.

Teorema 1

A va b to'g'ri chiziqlar perpendikulyar bo'lishi uchun to'g'ri chiziqning yo'nalish vektori berilgan b to'g'ri chiziqning yo'nalish vektoriga perpendikulyar bo'lishi zarur va etarli.

Dalilning o'zi chiziqning yo'nalish vektorining ta'rifiga va chiziqlarning perpendikulyarligini aniqlashga asoslangan.

Isbot 1

A va b to'g'ri chiziqlarni belgilaydigan tekislikdagi to'g'ri chiziqning berilgan tenglamalari bilan to'rtburchaklar shaklidagi O x y koordinata sistemasi kiritilsin. A va b chiziqlarning yo'nalish vektorlari a → va b → bilan belgilanadi. A va b chiziqlar tenglamasidan zarur va etarli shart - a → va b → vektorlarning perpendikulyarligi. Bu faqat a → = (a x, a y) va b → = (b x, b y) vektorlarning skalyar hosilasi nolga teng bo'lganida va yozuvi a →, b → = a x b x + a y b y = 0 bo'lganida mumkin. Biz a →, b → = ax bx + ay = 0 ga ega bo'lamiz, bu erda a → = (ax, ay) va b → = bx, by - a va b chiziqlarning yo'nalish vektorlari.

Yo'nalish vektorlarining koordinatalarini topish zarur bo'lganda yoki berilgan a va b to'g'ri chiziqlar tekisligida kanonik yoki parametrik to'g'ri chiziqlar mavjud bo'lganda shart qo'llaniladi.

Misol 1

O x y to'rtburchaklar koordinatali tizimda uchta A (8, 6), B (6, 3), C (2, 10) nuqta berilgan. A B va A C chiziqlar perpendikulyar yoki yo'qligini aniqlang.

Yechim

A V va A S satrlarda mos ravishda A B → va A C → yo'nalish vektorlari mavjud. Birinchidan, A B → = (- 2,- 3), A C → = (- 6, 4) ni hisoblaylik. Biz A B → va A C → vektorlari nolga teng vektorlarning skalyar hosilasi bo'yicha perpendikulyar ekanligini olamiz.

A B →, A C → = (- 2) (- 6) + (- 3) 4 = 0

Shubhasiz, zarur va etarli shart bajarilgan, ya'ni AB va AC perpendikulyar.

Javob: to'g'ri chiziqlar perpendikulyar.

2 -misol

Berilgan x - 1 2 = y - 7 3 va x = 1 + λ y = 2 - 2 · lines chiziqlar perpendikulyar yoki yo'qligini aniqlang.

Yechim

a → = (2, 3) - berilgan chiziqning yo'nalish vektori x - 1 2 = y - 7 3,

b → = (1, - 2) - to'g'ri chiziqning yo'nalish vektori x = 1 + λ y = 2 - 2 λ.

Keling, a → va b → vektorlarning skalyar hosilasini hisoblashni davom ettiramiz. Ifoda yoziladi:

a →, b → = 2 1 + 3 - 2 = 2 - 6 ≠ 0

Mahsulot natijasi nolga teng emas, biz xulosa qilishimiz mumkinki, vektorlar perpendikulyar emas, ya'ni to'g'ri chiziqlar ham perpendikulyar emas.

Javob: to'g'ri chiziqlar perpendikulyar emas.

A va b chiziqlar perpendikulyarligining zarur va etarlicha sharti uch o'lchovli bo'shliq uchun qo'llaniladi, a →, b → = ax bx + ay + az bz = 0, bu erda a → = (ax, ay, az) va b → = (bx, by, bz) - a va b chiziqlarning yo'nalish vektorlari.

Misol 3

X 2 = y - 1 = z + 1 0 va x = λ y = 1 + 2 λ z = 4 by tenglamalar bilan berilgan uch o'lchovli bo'shliqning to'rtburchaklar koordinatali tizimidagi to'g'ri chiziqlarning perpendikulyarligini tekshiring.

Yechim

To'g'ri chiziqlarning kanonik tenglamalari maxrajlari to'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektorining koordinatalari hisoblanadi. Parametrik tenglamadan yo'nalish vektorining koordinatalari koeffitsientlardir. Bundan kelib chiqadiki, a → = (2, - 1, 0) va b → = (1, 2, 4) berilgan chiziqlarning yo'nalish vektorlari hisoblanadi. Ularning perpendikulyarligini aniqlash uchun biz vektorlarning skalyar hosilasini topamiz.

Ifoda a →, b → = 2 1 + (- 1) 2 + 0 4 = 0 shaklini oladi.

Vektorlar perpendikulyar, chunki mahsulot nolga teng. Kerakli va etarli shart bajariladi, ya'ni chiziqlar ham perpendikulyar.

Javob: to'g'ri chiziqlar perpendikulyar.

Kvadratni tekshirish boshqa zarur va etarli kvadrat shartlari asosida amalga oshirilishi mumkin.

Teorema 2

Agar tekislikdagi a va b chiziqlar b vektorli a chiziqning normal vektori perpendikulyar bo'lsa, bu zarur va etarli shart.

Isbot 2

Bu shart to'g'ri chiziqlar tenglamalari berilgan to'g'ri chiziqlarning normal vektorlari koordinatalarini tezda topganda qo'llaniladi. Ya'ni, A x + B y + C = 0 shaklidagi to'g'ri chiziqning umumiy tenglamasi mavjud bo'lganda, to'g'ri chiziqning xa + yb = 1 shaklidagi segmentlari, a bilan to'g'ri chiziq tenglamalari. y = kx + b shaklining qiyaligi, vektorlarning koordinatalarini topish mumkin.

Misol 4

3 x - y + 2 = 0 va x 3 2 + y 1 2 = 1 chiziqlar perpendikulyar ekanligini aniqlang.

Yechim

Ularning tenglamalariga asoslanib, to'g'ri chiziqlarning normal vektorlarining koordinatalarini topish kerak. Biz n a → = (3, - 1) 3 x - y + 2 = 0 chizig'i uchun normal vektor ekanligini olamiz.

X 3 2 + y 1 2 = 1 tenglamani 2 3 x + 2 y - 1 = 0 ga aylantiring. Endi oddiy vektorning koordinatalari aniq ko'rinadi, biz bu formada yozamiz n b → = 2 3, 2.

N a → = (3, - 1) va n b → = 2 3, 2 vektorlari perpendikulyar bo'ladi, chunki ularning nuqta mahsuloti 0 ga teng bo'ladi. Biz n a →, n b → = 3 2 3 + (- 1) 2 = 0 ni olamiz.

Kerakli va etarli shart bajarildi.

Javob: to'g'ri chiziqlar perpendikulyar.

Agar tekislikdagi a to'g'ri chiziq y = k 1 x + b 1 qiyalik va b - y = k 2 x + b 2 to'g'ri chiziqli tenglama yordamida aniqlansa, normal vektorlarning koordinatalari bo'ladi ( k 1, - 1) va (k 2, - 1). Perpendikulyarlik shartining o'zi k 1 k 2 + (- 1) (- 1) = 0 ⇔ k 1 k 2 =- 1 ga kamayadi.

Misol 5

Y = - 3 7 x va y = 7 3 x - 1 2 chiziqlar perpendikulyar ekanligini aniqlang.

Yechim

Y = - 3 7 x to'g'ri chiziqda qiyalik - 3 7 ga teng, y = 7 3 x - 1 2 - 7 3 to'g'ri chiziq.

Nishablar mahsuloti - 1, - 3 7 · 7 3 = - 1 qiymatini beradi, ya'ni to'g'ri chiziqlar perpendikulyar.

Javob: berilgan to'g'ri chiziqlar perpendikulyar.

Tekislikda to'g'ri chiziqlarning perpendikulyarligini aniqlash uchun yana bitta shart ishlatiladi.

Teorema 3

A va b to'g'ri chiziqlarning tekislikdagi perpendikulyarligi uchun to'g'ri va etarli shart - bu to'g'ri chiziqlardan birining yo'nalish vektorining ikkinchi to'g'ri chiziqning normal vektori bilan o'zaro bog'liqligi.

Dalil 3

Shart bitta to'g'ri chiziqning yo'nalish vektorini va ikkinchisining normal vektorining koordinatalarini topish mumkin bo'lganda qo'llaniladi. Boshqacha qilib aytganda, bitta to'g'ri chiziq kanonik yoki parametrik tenglama, ikkinchisi to'g'ri chiziqning umumiy tenglamasi, segmentlardagi tenglama yoki qiyalikli to'g'ri chiziqning tenglamasi bilan berilgan.

Misol 6

Berilgan x - y - 1 = 0 va x 0 = y - 4 2 chiziqlar perpendikulyar ekanligini aniqlang.

Yechim

Biz x - y - 1 = 0 chizig'ining normal vektori na → = (1, - 1) koordinatalarga ega ekanligini va b → = (0, 2) chiziqning yo'nalish vektori x 0 = y - 4 ekanligini aniqlaymiz. 2018-05-01 xoxlasa buladi 121 2.

Bu shuni ko'rsatadiki, n a → = (1, - 1) va b → = (0, 2) vektorlari o'zaro chiziqli emas, chunki o'zaro bog'liqlik sharti bajarilmaydi. N a → = t · b → tenglikni saqlaydigan t soni yo'q. Shunday qilib, to'g'ri chiziqlar perpendikulyar emas degan xulosaga keladi.

Javob: to'g'ri chiziqlar perpendikulyar emas.

Agar siz matnda xato ko'rsangiz, uni tanlang va Ctrl + Enter tugmalar birikmasini bosing

Perpendikulyar to'g'ri chiziqlar geometriyada raqamlar, konstruktsiyalar va hisoblarning butun qatlamini hosil qiladi. Perpendikulyar chiziqlarni tushunmasdan, bunday raqamlarni echish mumkin bo'lmaydi to'g'ri uchburchak, to'rtburchaklar, kvadrat yoki to'rtburchaklar trapezoid. Shuning uchun, bu tushunchalarga alohida e'tibor berishga arziydi.

Perpendikulyar chiziqlar nima

Ikki to'g'ri chiziq kesishganda 4 burchak hosil bo'ladi. Perpendikulyar chiziqlarning ta'rifi shunday ko'rinadi: bu to'g'ri chiziqlar, ularning orasidagi burchak 90 daraja. Faqat 4 burchak bor, to'liq burchak 360 daraja. Agar burchaklardan biri 90 daraja bo'lsa, qolgan 3 ta burchak har biri 90 bo'ladi.

Segmentlarni perpendikulyar deb atash uchun ikkita shart bajarilishi kerak: segmentlar kesishishi va ular orasidagi kesishish burchagi 90 gradusga teng bo'lishi kerak.

Guruch. 1. Perpendikulyar chiziqlar.

Xususiyatlari

Perpendikulyar chiziqlar ko'p xususiyatlarga ega emas. Ularning barchasi isbot talab qilmaydi, chunki ular perpendikulyarlik ta'rifidan kelib chiqadi.

• Agar ikkala chiziqning har biri uchinchisiga perpendikulyar bo'lsa, bu chiziqlar parallel bo'ladi. Va ular parallel, natijada bir tomonlama burchaklar 180 gradusgacha qo'shiladi. Bu shuni anglatadiki, to'g'ri chiziqlar 3 parallellik mezoniga ko'ra parallel. Bu xususiyatni uchta parallellik mezonlaridan birortasi isbotlashi mumkin.
• Nuqtadan chiziqqa yoki chiziqli segmentga perpendikulyar chiziq segmenti nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofa deb nomlanadi.
• To'g'ri chiziqdan to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofa, shuningdek, bir to'g'ri chiziqning istalgan nuqtasidan boshqa to'g'ri chiziqqa tushgan perpendikulyar bo'ladi.
• Agar ikkita to'g'ri chiziqning butun uzunligi davomida ular orasidagi masofa o'zgarmasa, to'g'ri chiziqlar parallel bo'ladi.

Perpendikulyar chiziqlar bilan shakllar

Odam biladigan birinchi raqamlardan biri bu kvadrat va to'rtburchak.

To'g'ri burchaklar inson ko'zini quvontiradi, shuning uchun ko'pincha to'rtburchaklar yoki to'rtburchaklar stol usti, stul, tungi stol va boshqa narsalar uchun ishlatiladi. Inson atrofidagi butun dunyo parallel va perpendikulyar chiziqlardan iborat.

Guruch. 2. Kvadrat.

Qadimgi Yunoniston davridan beri to'g'ri burchakli uchburchak ma'lum. Har xil navigatsiya asboblari to'g'ri burchakli uchburchak shakliga ega edi; bundan tashqari, Pifagor ko'p vaqtini to'g'ri burchakli uchburchakning xususiyatlarini o'rganishga bag'ishlagan. Bu uning muallifligi, muammolarni hal qilishda katta talabga ega bo'lgan Pifagor teoremasiga tegishli.

To'rtburchakli trapezoid bor, uning bir tomoni ikkala poydevori bilan to'rtburchaklar. Planometriya fazoda perpendikulyarlarga to'la: oddiy prizma, to'rtburchaklar piramida va eng oddiy kub.

Bundan tashqari, har qanday uchburchakda siz rasmning maydonini topish uchun zarur bo'lgan balandlikni chizishingiz mumkin. Maydonni topish uchun perpendikulyar parallelogrammada ham foydalidir va to'g'ri burchakli uchburchak va kvadratning yon tomonlari tarkibida balandligi bor, bu esa bu raqamlarning maydonini topishni ancha osonlashtiradi.

Sizning maxfiyligingiz biz uchun muhim. Shu sababli biz sizning ma'lumotlaringizdan qanday foydalanishimiz va saqlashimizni tavsiflovchi Maxfiylik siyosatini ishlab chiqdik. Iltimos, maxfiylik siyosatimizni o'qing va savollaringiz bo'lsa, bizga xabar bering.

Shaxsiy ma'lumotlarni yig'ish va ulardan foydalanish

Shaxsiy ma'lumotlar ma'lum bir shaxsni aniqlash yoki u bilan bog'lanish uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan ma'lumotlarni anglatadi.

Biz bilan bog'lanayotganda sizdan istalgan vaqtda shaxsiy ma'lumotlaringizni berishingiz so'ralishi mumkin.

Quyida biz to'plashimiz mumkin bo'lgan shaxsiy ma'lumotlarning turlari va ulardan qanday foydalanishimiz mumkinligi haqida ba'zi misollar keltirilgan.

Biz qanday shaxsiy ma'lumotlarni to'playmiz:

• Saytda so'rov qoldirganingizda, biz sizning ismingiz, telefon raqamingiz, elektron pochta manzilingiz va boshqalarni o'z ichiga olgan turli ma'lumotlarni to'plashimiz mumkin.

Sizning shaxsiy ma'lumotlaringizdan qanday foydalanamiz:

• Biz tomonidan yig'ilgan Shaxsiy ma'lumot biz bilan bog'lanish va sizga noyob takliflar, aktsiyalar va boshqa tadbirlar va bo'lajak tadbirlar haqida ma'lumot berish imkonini beradi.
• Vaqti -vaqti bilan biz sizning shaxsiy ma'lumotlaringizdan muhim xabarlar va xabarlarni yuborish uchun foydalanishimiz mumkin.
• Shuningdek, biz shaxsiy ma'lumotlarni biz ko'rsatadigan xizmatlarni yaxshilash va sizga xizmatlarimiz bo'yicha tavsiyalar berish maqsadida audit o'tkazish, ma'lumotlarni tahlil qilish va turli tadqiqotlar o'tkazish kabi ichki maqsadlar uchun ishlatishimiz mumkin.
• Agar siz sovrinli o'yinlar, tanlovlar yoki shunga o'xshash reklama tadbirlarida ishtirok etsangiz, biz siz ko'rsatgan ma'lumotlardan bunday dasturlarni boshqarish uchun foydalanishimiz mumkin.

Ma'lumotni uchinchi shaxslarga oshkor qilish

Sizdan olingan ma'lumotlarni uchinchi shaxslarga oshkor qilmaymiz.

Istisnolar:

• Agar kerak bo'lsa - qonunga muvofiq, sud buyrug'i, sud jarayonida va / yoki Rossiya Federatsiyasi hududidagi davlat hokimiyati organlarining ommaviy so'rovlari yoki so'rovlari asosida - shaxsiy ma'lumotlaringizni oshkor qilish. Agar xavfsizlik, huquqni muhofaza qilish organlari yoki boshqa ijtimoiy muhim sabablarga ko'ra, bu ma'lumotni oshkor qilish zarur yoki to'g'ri ekanligini aniqlasak, biz ham siz haqingizdagi ma'lumotlarni oshkor qilishimiz mumkin.
• Qayta tashkil etish, birlashish yoki sotish sodir bo'lgan taqdirda, biz to'plagan shaxsiy ma'lumotlarni tegishli uchinchi tomonga - qonuniy vorisga topshirishimiz mumkin.

Shaxsiy ma'lumotlarni himoya qilish

Shaxsiy ma'lumotlaringizni yo'qotish, o'g'irlik va suiiste'molliklardan, shuningdek, ruxsatsiz kirish, oshkor qilish, o'zgartirish va yo'q qilishdan himoya qilish uchun biz ehtiyot choralarini ko'ramiz - ma'muriy, texnik va jismoniy.

Kompaniya darajasida shaxsiy hayotingizga hurmat

Sizning shaxsiy ma'lumotlaringiz xavfsiz ekanligiga ishonch hosil qilish uchun biz xodimlarimizga maxfiylik va xavfsizlik qoidalarini olib kelamiz va maxfiylik choralarining bajarilishini qat'iy nazorat qilamiz.

Perpendikulyarlik - bu Evklid fazosidagi turli xil ob'ektlar - chiziqlar, tekisliklar, vektorlar, pastki bo'shliqlar va boshqalar o'rtasidagi munosabatlar. Ushbu maqolada biz ular bilan bog'liq perpendikulyar chiziqlar va xarakterli xususiyatlarni batafsil ko'rib chiqamiz. Agar ikkita kesishish natijasida hosil bo'lgan to'rtta burchak qat'iy to'qson daraja bo'lsa, ikkita to'g'ri chiziqni perpendikulyar (yoki o'zaro perpendikulyar) deb atash mumkin.

Tekislikda amalga oshiriladigan perpendikulyar to'g'ri chiziqlarning ma'lum xususiyatlari bor:

Perpendikulyar chiziqlar chizish

Perpendikulyar chiziqlar kvadrat yordamida tekislikda chiziladi. Har qanday chizmachi har bir kvadratning muhim xususiyati shundaki, u to'g'ri burchakka ega bo'lishi kerak. Ikki perpendikulyar chiziq yaratish uchun biz ikki tomonning biriga mos kelishimiz kerak. to'g'ri burchak bizning

berilgan to'g'ri chiziq bilan kvadrat chizish va bu to'g'ri burchakning ikkinchi tomoni bo'ylab ikkinchi to'g'ri chiziqni chizish. Bu ikkita perpendikulyar chiziq hosil qiladi.

Uch o'lchovli bo'shliq

Qiziqarli fakt shundaki, perpendikulyar to'g'ri chiziqlarni amalga oshirish mumkin va bu holda, ikkita tekis chiziq, agar ular, xuddi shu tekislikda yotadigan va unga perpendikulyar bo'lgan boshqa ikkita to'g'ri chiziqqa parallel bo'lsa, shunday deyiladi. Bundan tashqari, agar tekislikda faqat ikkita to'g'ri chiziq perpendikulyar bo'lishi mumkin bo'lsa, u holda uch o'lchovli fazoda allaqachon uchta. Bundan tashqari, perpendikulyar chiziqlar (yoki tekisliklar) sonini yanada ko'paytirish mumkin.

To'g'ri chiziq (to'g'ri chiziqning bo'lagi) lotin alifbosining ikkita katta harfi yoki bitta kichik harf bilan belgilanadi. Nuqta faqat katta lotin harfi bilan ko'rsatiladi.

Chiziqlar kesishmasligi, kesilmasligi yoki bir -biriga to'g'ri kelmasligi mumkin. Kesishgan to`g`ri chiziqlar faqat bitta umumiy nuqtaga ega, kesishmaydigan to`g`ri chiziqlar umumiy nuqtalarga ega emas, to`g`ri kelgan to`g`ri chiziqlar hamma umumiy nuqtalarga ega.

Ta'rif. To'g'ri burchak ostida kesishgan ikkita to'g'ri chiziq perpendikulyar deyiladi. To'g'ri chiziqlarning (yoki ularning segmentlarining) perpendikulyarligi "⊥" perpendikulyarlik belgisi bilan ko'rsatiladi.

Misol uchun:

Sizning AB va CD(1 -rasm) nuqtada kesishadi O va ∠ AOC = ∠VOS = ∠AOD = ∠BOD= 90 °, keyin AB ⊥ CD.

Agar AB ⊥ CD(2 -rasm) va nuqtada kesishadi IN, keyin ∠ ABC = ∠AQSh= 90 °

Perpendikulyar chiziqlarning xususiyatlari

1. Nuqta orqali LEKIN(3 -rasm) faqat bitta perpendikulyar chiziq chizish mumkin AB to'g'ri CD; nuqta orqali o'tadigan qolgan chiziqlar LEKIN va o'tish CD, egri chiziqlar deyiladi (3 -rasm, to'g'ri chiziqlar) AE va AF).

2. Nuqtadan A siz to'g'ri chiziqqa perpendikulyar tushirishingiz mumkin CD; perpendikulyar uzunlik (segment uzunligi AB) nuqtadan chizilgan LEKIN to'g'ri chiziq ustida CD, dan eng qisqa masofa A oldin CD(3 -rasm).