Площа бічної по. Як знайти площу бічної поверхні піраміди
При підготовці до ЄДІ з математики учням доводиться систематизувати знання з алгебри і геометрії. Хочеться об'єднати всі відомі відомості, наприклад, про те, як обчислити площу піраміди. Причому починаючи від заснування і бічних граней до площі всієї поверхні. Якщо з бічними гранями ситуація зрозуміла, так як вони є трикутниками, то підстава завжди різний.
Як бути при знаходженні площі підстави піраміди?
Воно може бути абсолютно будь-якою фігурою: від довільного трикутника до n-кутника. І це дало підставу, крім відмінності в кількості кутів, може бути правильною фігурою або неправильною. У цікавлять школярів завданнях по ЄДІ зустрічаються тільки завдання з правильними фігурами в підставі. Тому мова йтиме тільки про них.
правильний трикутник
Тобто рівносторонній. Той, у якого всі сторони рівні і позначені літерою «а». У цьому випадку площа основи піраміди обчислюється за формулою:
S \u003d (а 2 * √3) / 4.
квадрат
Формула для обчислення його площі найпростіша, тут «а» - знову сторона:
Довільний правильний n-кутник
У сторони багатокутника той же позначення. Для кількості кутів використовується латинська буква n.
S \u003d (n * а 2) / (4 * tg (180º / n)).
Як вчинити при обчисленні площі бічної і повної поверхні?
Оскільки в основі лежить правильна фігура, То всі грані піраміди виявляються рівними. Причому кожна з них є рівнобедреним трикутником, оскільки бічні ребра рівні. Тоді для того, щоб обчислити бічну площа піраміди, буде потрібно формула, що складається з суми однакових одночленним. Число доданків визначається кількістю сторін підстави.
Площа рівнобедреного трикутника обчислюється за формулою, в якій половина твори підстави множиться на висоту. Ця висота в піраміді називається апофемой. Її позначення - «А». Загальна формула для площі бічної поверхні виглядає так:
S \u003d ½ Р * А, де Р - периметр основи піраміди.
Бувають ситуації, коли не відомі сторони підстави, але дані бічні ребра (в) і плоский кут при її вершині (α). Тоді потрібно було використовувати таку формулу, щоб обчислити бічну площа піраміди:
S \u003d n / 2 * в 2 sin α .
Завдання № 1
Умова. Знайти загальну площу піраміди, якщо в його основі лежить зі стороною 4 см, а апофема має значення √3 см.
Рішення. Його починати потрібно з розрахунку периметра підстави. Оскільки це правильний трикутник, то Р \u003d 3 * 4 \u003d 12 см. Оскільки апофема відома, то можна відразу обчислити площу всієї бічної поверхні: ½ * 12 * √3 \u003d 6√3 см 2.
Для трикутника в основі вийде таке значення площі: (4 2 * √3) / 4 \u003d 4√3 см 2.
Для визначення всієї площі буде потрібно скласти два отриманих значення: 6√3 + 4√3 \u003d 10√3 см 2.
Відповідь. 10√3 см 2.
Завдання № 2
Умова. Є правильна чотирикутна піраміда. Довжина сторони підстави дорівнює 7 мм, бічне ребро - 16 мм. Необхідно дізнатися площа її поверхні.
Рішення. Оскільки багатогранник - чотирикутний і правильний, то в його основі лежить квадрат. Дізнавшись площі підстави і бічних граней, вдасться порахувати площу піраміди. Формула для квадрата дана вище. А у бічних граней відомі всі сторони трикутника. Тому можна використовувати формулу Герона для обчислення їх площ.
Перші розрахунки прості і призводять до такого числа: 49 мм 2. Для другого значення потрібно обчислити напівпериметр: (7 + 16 * 2): 2 \u003d 19,5 мм. Тепер можна обчислювати площу рівнобедреного трикутника: √ (19,5 * (19,5-7) * (19,5-16) 2) \u003d √2985,9375 \u003d 54,644 мм 2. Таких трикутників всього чотири, тому при підрахунку підсумкового числа потрібно його помножити на 4.
Виходить: 49 + 4 * 54,644 \u003d 267,576 мм 2.
відповідь. Шукане значення 267,576 мм 2.
Завдання № 3
Умова. У правильної чотирикутної піраміди необхідно обчислити площу. У ній відома сторона квадрата - 6 см і висота - 4 см.
Рішення. Найпростіше скористатися формулою з твором периметра і апофеми. Перше значення знайти просто. Друге трохи складніше.
Доведеться згадати теорему Піфагора і розглянути Він утворений висотою піраміди і апофемой, яка є гіпотенузою. Другий катет дорівнює половині сторони квадрата, оскільки висота багатогранника падає в його середину.
Шукана апофема (гіпотенуза прямокутного трикутника) дорівнює √ (3 2 +4 2) \u003d 5 (см).
Тепер можна обчислювати шукану величину: ½ * (4 * 6) * 5 + 6 2 \u003d 96 (см 2).
Відповідь. 96 см 2.
Завдання № 4
Умова. Дана правильна Сторони її основи дорівнюють 22 мм, бічні ребра - 61 мм. Чому дорівнює площа бічної поверхні цього багатогранника?
Рішення. Міркування в ній такі ж, як були описані в завданні №2. Тільки там була дана піраміда з квадратом в підставі, а тепер це шестикутник.
Насамперед обчислюється площа підстави за вказаною вище формулою: (6 * 22 2) / (4 * tg (180º / 6)) \u003d 726 / (tg30º) \u003d 726√3 см 2.
Тепер необхідно дізнатися напівпериметр рівнобедреного трикутника, який є бічною гранню. (22 + 61 * 2): 2 \u003d 72 см. Залишилося за формулою Герона порахувати площа кожного такого трикутника, а потім помножити її на шість і скласти з тієї, що вийшла для заснування.
Розрахунки за формулою Герона: √ (72 * (72-22) * (72-61) 2) \u003d √435600 \u003d 660 см 2. Обчислення, які дадуть площа бічної поверхні: 660 * 6 \u003d 3960 см 2. Залишилося їх скласти, щоб дізнатися всю поверхню: 5217,47≈5217 см 2.
Відповідь. Підстави - 726√3 см 2, бічній поверхні - 3960 см 2, вся площа - 5217 см 2.
У правильній трикутній піраміді SABC R - середина ребра АВ, S - вершина.
Відомо що SR \u003d 6, А площа бічної поверхні дорівнює 36
.
Знайдіть довжину відрізка BC.
Зробимо креслення. У правильній піраміді бічні грані - трикутник.
відрізок SR - медіана, опущена на основу, а значить, і висота бічної грані.
Площа бічної поверхні правильної трикутної піраміди дорівнює сумі площ
трьох рівних бічних граней S-пліч. \u003d 3 · S ABS. Звідси S ABS \u003d 36: 3 \u003d 12 - площа грані.
Площа трикутника дорівнює половині твори його заснування на висоту
S ABS \u003d 0,5 · AB · SR. Знаючи площу і висоту, знайдемо бік підстави АВ \u003d ВС.
12 \u003d 0,5 · АВ · 6
12 \u003d 3 · АВ
АВ \u003d 4
відповідь: 4
Можна підійти до завдання і з іншого кінця. Нехай сторона підстави АВ \u003d ВС \u003d а.
Тоді площа грані S ABS \u003d 0,5 · AB · SR \u003d 0,5 · а · 6 \u003d 3а.
Площа кожної з трьох граней дорівнює 3а, Площа трьох граней дорівнює 9а.
За умовою завдання площа бічної поверхні піраміди дорівнює 36.
S-пліч. \u003d 9а \u003d 36.
Звідси а \u003d 4.
Яку фігуру ми називаємо пірамідою? По-перше, це багатогранник. По-друге, в основі цього багатогранника розташований довільний багатокутник, а сторони піраміди (бічні грані) обов'язково мають форму трикутників, сходяться в одній загальній вершині. Ось тепер, розібравшись з терміном, з'ясуємо, як знайти площу поверхні піраміди.
Зрозуміло, що площа поверхні такого геометричного тіла складеться з суми площ підстави і всієї його бічної поверхні.
Обчислення площі підстави піраміди
Вибір розрахункової формули залежить від форми лежить в основі нашої піраміди багатокутника. Він може бути правильним, тобто із сторонами однакової довжини, або неправильним. Розглянемо обидва варіанти.
В основі - правильний багатокутник
Зі шкільного курсу відомо:
- площа квадрата дорівнюватиме довжині його боку, яка була зведена в квадрат;
- площа рівностороннього трикутника дорівнює квадрату його сторони, поділеній на 4 і помноженому на квадратний корінь з трьох.
Але існує і загальна формула, для розрахунку площі будь-якого правильного багатокутника (Sn): треба помножити значення периметра цього багатокутника (Р) на радіус вписаного в нього кола (r), а потім розділити отриманий результат на два: Sn \u003d 1 / 2P * r .
В основі - неправильний багатокутник
Схема знаходження його площі полягає в тому, щоб спочатку розбити весь багатокутник на трикутники, обчислити площу кожного з них по формулі: 1 / 2a * h (де а - підстава трикутника, h - опущена на це підстава висота), скласти все результати.
Площа бічної поверхні піраміди
Тепер розрахуємо площу бічної поверхні піраміди, тобто суму площ всіх її бічних сторін. Тут також можливі 2 варіанти.
- Нехай у нас є довільна піраміда, тобто така, в основі якої - неправильний багатокутник. Тоді слід обчислити окремо площа кожної грані і скласти результати. Так як бічними сторонами піраміди за визначенням можуть бути тільки трикутники, то розрахунок йде за згаданою вище формулою: S \u003d 1 / 2a * h.
- Нехай наша піраміда - правильна, тобто в її основі лежить правильний багатокутник, і проекція вершини піраміди виявляється в його центрі. Тоді для обчислення площі бічної поверхні (Sб) досить знайти половину твору периметра багатокутника-підстави (Р) на висоту (h) збоку (однакову для всіх граней): Sб \u003d 1/2 Р * h. Периметр багатокутника визначається складанням довжин всіх його сторін.
Повна площа поверхні правильної піраміди знайдеться підсумовуванням площі її заснування з площею всієї бічної поверхні.
приклади
Для прикладу обчислимо алгебраїчно площі поверхні декількох пірамід.
Площа поверхні трикутної піраміди
У підставі такої піраміди - трикутник. За формулою Sо \u003d 1 / 2a * h знаходимо площа підстави. Цю ж формулу застосовуємо для знаходження площі кожної грані піраміди, також має трикутну форму, і отримуємо 3 площі: S1, S2 і S3. Площа бічної поверхні піраміди є сумою всіх площ: Sб \u003d S1 + S2 + S3. Склавши площі бічних сторін і підстави, отримаємо повну площу поверхні шуканої піраміди: Sп \u003d Sо + Sб.
Площа поверхні чотирикутної піраміди
Площа бічної поверхні - це сума 4-ох складових: Sб \u003d S1 + S2 + S3 + S4, кожне з яких обчислено за формулою площі трикутника. А площа підстави доведеться шукати, в залежності від форми чотирикутника - правильного або неправильного. Площа повної поверхні піраміди знову вийде шляхом складання площі підстави і повної площі поверхні заданої піраміди.
Визначення. бічна грань - це трикутник, у якого один кут лежить в вершині піраміди, а протилежна йому сторона збігається зі стороною підстави (багатокутника).
Визначення. бічні ребра - це загальні сторони бічних граней. У піраміди стільки ребер скільки кутів у багатокутника.
Визначення. Висота піраміди - це перпендикуляр, опущений з вершини на основу піраміди.
Визначення. апофема - це перпендикуляр бічній грані піраміди, опущений з вершини піраміди до сторони підстави.
Визначення. діагональне перетин - це перетин піраміди площиною, що проходить через вершину піраміди і діагональ підстави.
Визначення. правильна піраміда - це піраміда, в якій основою є правильний багатокутник, а висота опускається в центр підстави.
Обсяг і площа поверхні піраміди
Формула. обсяг піраміди через площу основи і висоту:
властивості піраміди
Якщо всі бічні ребра рівні, то навколо основи піраміди можна описати коло, а центр підстави збігається з центром кола. Також перпендикуляр, опущений з вершини, проходить через центр підстави (кола).
Якщо всі бічні ребра рівні, то вони нахилені до площини основи під однаковими кутами.
Бічні ребра рівні тоді, коли вони утворюють з площиною основи рівні кути або якщо навколо основи піраміди можна описати коло.
Якщо бічні грані нахилені до площини основи під одним кутом, то в основу піраміди можна вписати коло, а вершина піраміди проектується в її центр.
Якщо бічні грані нахилені до площини основи під одним кутом, то апофеми бічних граней рівні.
Властивості правильної піраміди
1. Вершина піраміди рівновіддалена від усіх кутів підстави.
2. Всі бічні ребра рівні.
3. Всі бічні ребра нахилені під однаковими кутами до основи.
4. апофемой всіх бічних граней рівні.
5. Площі всіх бічних граней рівні.
6. Всі грані мають однакові двогранні (плоскі) кути.
7. Навколо піраміди можна описати сферу. Центром описаної сфери буде точка перетину перпендикулярів, які проходять через середину ребер.
8. У піраміду можна вписати сферу. Центром вписаної сфери буде точка перетину биссектрис, які виходять із кута між ребром і підставою.
9. Якщо центр вписаної сфери збігається з центром описаної сфери, то сума плоских кутів при вершині дорівнює π або навпаки, один кут дорівнює π / n, де n - це кількість кутів в основі піраміди.
Зв'язок піраміди зі сферою
Навколо піраміди можна описати сферу тоді, коли в основі піраміди лежить багатогранник навколо якого можна описати коло (необхідна і достатня умова). Центром сфери буде точка перетину площин, що проходять перпендикулярно через середини бічних ребер піраміди.
Навколо будь-трикутної або правильної піраміди завжди можна описати сферу.
У піраміду можна вписати сферу, якщо биссекторной площині внутрішніх двогранні кутів піраміди перетинаються в одній точці (необхідна і достатня умова). Ця точка буде центром сфери.
Зв'язок піраміди з конусом
Конус називається вписаним в піраміду, якщо їх вершини збігаються, а підстава конуса вписано в основу піраміди.
Конус можна вписати в піраміду, якщо апофеми піраміди рівні між собою.
Конус називається описаним навколо піраміди, якщо їх вершини збігаються, а підстава конуса описана навколо основи піраміди.
Конус можна описати навколо піраміди якщо, все бічні ребра піраміди рівні між собою.
Зв'язок піраміди з циліндром
Піраміда називається вписаною в циліндр, якщо вершина піраміди лежить на одній основі циліндра, а основа піраміди вписано в іншу основу циліндра.
Циліндр можна описати навколо піраміди якщо навколо основи піраміди можна описати коло.
У четирехграннік чотири грані і чотири вершини і шість ребер, де будь-які два ребра не мають спільних вершин але не стикаються.
Кожна вершина складається з трьох граней і ребер, які утворюють тригранний кут.
Відрізок, що з'єднує вершину четирехгранніка з центром протилежній грані називається медианой четирехгранніка (GM).
Бімедіаной називається відрізок, що з'єднує середини протилежних ребер, які не стикаються (KL).
Все бімедіани і медіани четирехгранніка перетинаються в одній точці (S). При цьому бімедіани діляться навпіл, а медіани у відношенні 3: 1 починаючи з вершини.
Визначення. гострокутна піраміда - це піраміда в якій апофема більше половини довжини сторони підстави.
Визначення. тупоугольного піраміда - це піраміда в якій апофема менше половини довжини сторони підстави.
Визначення. правильний тетраедр - четирехграннік у якого всі чотири грані - рівносторонні трикутники. Він є одним з п'яти правильних багатокутників. У правильного тетраедра всі двогранні кути (між гранями) і тригранні кути (при вершині) рівні.
Визначення. прямокутний тетраедр називається четирехграннік у якого прямий кут між трьома ребрами при вершині (ребра перпендикулярні). Три грані утворюють прямокутний тригранний кут і межі є прямокутними трикутниками, а основа довільним трикутником. Апофема будь-якої грані дорівнює половині сторони основи, на яку падає апофема.
Визначення. равногранного тетраедр називається четирехграннік у якого бічні грані рівні між собою, а підстава - правильний трикутник. У такого тетраедра грані це трикутник.
Визначення. ортоцентричность тетраедр називається четирехграннік у якого все висоти (перпендикуляри), що опущені з вершини до протилежної грані, перетинаються в одній точці.
Визначення. зоряна піраміда називається багатогранник у якого основою є зірка.
Типовими геометричними завданнями на площині і в тривимірному просторі є проблеми визначення площ поверхонь різних фігур. У даній статті наведемо формулу площі бічної поверхні правильної піраміди чотирикутної.
Що собою являє піраміда?
Наведемо суворе геометричне визначення піраміди. Припустимо, що є деякий багатокутник з n сторонами і з n кутами. Виберемо довільну точку простору, яка не буде знаходитися в площині зазначеного n-кутника, і з'єднаємо її з кожною вершиною багатокутника. Ми отримаємо фігуру, що має певний обсяг, яка називається n-вугільної пірамідою. Для прикладу покажемо на малюнку нижче, як виглядає п'ятикутна піраміда.
Два важливих елемента будь-якої піраміди - це її основа (n-кутник) і вершина. Ці елементи з'єднані один з одним n трикутниками, які в загальному випадку не дорівнюють один одному. Перпендикуляр, опущений з вершини до основи, називається висотою фігури. Якщо він перетинає підставу в геометричному центрі (збігається з центром мас багатокутника), то таку піраміду називають прямою. Якщо крім цього умови підстава є правильним багатокутником, то і вся піраміда називається правильною. Малюнок нижче показує, як виглядають правильні піраміди з трикутним, чотирикутним, п'ятикутним і шестикутним підставами.
поверхня піраміди
Перш ніж переходити до питання про площу бічної поверхні правильної піраміди чотирикутної, слід докладніше зупинитися на понятті самої поверхні.
Як було сказано вище і показано на малюнках, будь-яка піраміда утворена набором граней або сторін. Одна сторона є підставою, і n сторін є трикутники. Поверхня всієї фігури - це сума площ кожної її сторони.
Поверхня зручно вивчати на прикладі розгортки фігури. Розгортка для правильної чотирикутної піраміди приведена на малюнки нижче.
Бачимо, що площа її поверхні дорівнює сумі чотирьох площ однакових рівнобедрених трикутників і площі квадрата.
Загальну площу всіх трикутників, що утворюють бічні сторони фігури, прийнято називати площею бічної поверхні. Далі покажемо, як її розрахувати для чотирикутної піраміди правильної.
Площа бічної поверхні чотирикутної правильної піраміди
Щоб обчислити площу бічної поверхні зазначеної фігури, знову звернемося до наведеної вище розгортці. Припустимо, що нам відома сторона квадратного підстави. Позначимо її символом a. Видно, що кожен з чотирьох однакових трикутників, має підставу довжиною a. Щоб обчислити їх сумарну площу, необхідно знати цю величину для одного трикутника. З курсу геометрії відомо, що трикутника площа S t дорівнює добутку основи на висоту, яке слід поділити навпіл. Тобто:
Де h b - висота рівнобедреного трикутника, проведена до основи a. Для піраміди ця висота є апотемой. Тепер залишається помножити отриманий вираз на 4, щоб отримати площа S b поверхні бічної для даної піраміди:
S b \u003d 4 * S t \u003d 2 * h b * a.
Ця формула містить два параметри: АПВТ і сторону підстави. Якщо остання в більшості умов завдань відома, то першу доводиться обчислювати, знаючи інші величини. Наведемо формули для розрахунку апотеми h b для двох випадків:
- коли відома довжина бічного ребра;
- коли відома висота піраміди.
Якщо позначити довжину ребра бокового (сторона рівнобедреного трикутника) символом L, тоді апотема h b визначитися за формулою:
h b \u003d √ (L 2 - a 2/4).
Це вираження є результатом застосування теореми Піфагора для трикутника бічній поверхні.
Якщо відома висота h піраміди, тоді АПВТ h b можна розрахувати так:
h b \u003d √ (h 2 + a 2/4).
Отримати цей вислів також не складно, якщо розглянути всередині піраміди прямокутний трикутник, Утворений катетами h і a / 2 і гіпотенузою h b.
Покажемо, як застосовувати ці формули, вирішивши дві цікаві завдання.
Завдання з відомою площею поверхні
Відомо, що площа бічної поверхні чотирикутної дорівнює 108 см 2. Необхідно обчислити значення довжини її апотеми h b, якщо висота піраміди дорівнює 7 см.
Запишемо формулу площі S b поверхні бічної через висоту. маємо:
S b \u003d 2 * √ (h 2 + a 2/4) * a.
Тут ми просто підставили відповідну формулу апотеми в вираз для S b. Зведемо обидві частини рівності в квадрат:
S b 2 \u003d 4 * a 2 * h 2 + a 4.
Щоб знайти значення a, зробимо заміну змінних:
t 2 + 4 * h 2 * t - S b 2 \u003d 0.
Підставляємо тепер відомі значення і вирішуємо квадратне рівняння:
t 2 + 196 * t - 11664 \u003d 0.
Ми виписали тільки позитивний корінь цього рівняння. Тоді сторони основи піраміди буде дорівнює:
a \u003d √t \u003d √47,8355 ≈ 6,916 см.
Щоб отримати довжину апотеми, досить скористатися формулою:
h b \u003d √ (h 2 + a 2/4) \u003d √ (7 2 + 6,916 2/4) ≈ 7,808 см.
Бічна поверхня піраміди Хеопса
Визначимо значення бічної для найбільшої єгипетської піраміди. Відомо, що в її основі лежить квадрат з довжиною сторони 230,363 метра. Висота споруди спочатку становила 146,5 метра. Підставами ці цифри в відповідну формулу для S b, отримаємо:
S b \u003d 2 * √ (h 2 + a 2/4) * a \u003d 2 * √ (146,5 2 +230,363 2/4) * 230,363 ≈ 85 860 м 2.
Знайдене значення трохи більше площі 17 футбольних полів.
