Рівнобедрений трикутник. Детальна теорія з прикладами (2020)
Властивості рівнобедреного трикутника висловлюють наступні теореми.
Теорема 1. У трикутник кути при основі рівні.
Теорема 2. У трикутник бісектриса, проведена до основи, є медіаною і висотою.
Теорема 3. У трикутник медіана, проведена до основи, є бісектрисою і висотою.
Теорема 4. У трикутник висота, проведена до основи, є бісектрисою і медіаною.
Доведемо одну з них, наприклад теорему 2.5.
Доведення. Розглянемо трикутник ABC з основою ВС і доведемо, що ∠ В = ∠ С. Нехай AD - бісектриса трикутника ABC (рис.1). Трикутники ABD і ACD рівні за першою ознакою рівності трикутників (АВ = АС за умовою, AD - загальна сторона, ∠ 1 = ∠ 2, так як AD - бісектриса). З рівності цих трикутників випливає, що ∠ В = ∠ С. Теорема доведена.
З використанням теореми 1 встановлюється наступна теорема.
Теорема 5. Третя ознака рівності трикутників. Якщо три сторони одного трикутника відповідно рівні трьом сторонам другого трикутника, то такі трикутники рівні (рис. 2).
Зауваження. Пропозиції, встановлені в прикладах 1 і 2, висловлюють властивості серединного перпендикуляра до відрізка. З цих пропозицій слід, що серединні перпендикуляри до сторін трикутника перетинаються в одній точці.
Приклад 1.Довести, що точка площині, рівновіддалена від кінців відрізка, лежить на серединному перпендикуляре до цього відрізка.
Рішення. Нехай точка М рівновіддалена від кінців відрізка АВ (рис. 3), т. Е. AM = ВМ.
Тоді Δ АМВ рівнобедрений. Проведемо через точку М і середину Про відрізка АВ пряму р. Відрізок МО з побудови є медіана рівнобедреного трикутника АМВ, а отже (теорема 3), і висота, т. Е. Пряма МО, є серединний перпендикуляр до відрізка АВ.
Приклад 2.Довести, що кожна точка серединного перпендикуляра до відрізка рівновіддалена від його кінців.
Рішення. Нехай р - серединний перпендикуляр до відрізка АВ і точка О - середина відрізка АВ (див. Рис. 3).
Розглянемо довільну точку М, що лежить на прямій р. Проведемо відрізки AM і ВМ. Трикутники АОМ і ВВП рівні, так як у них кути при вершині Про прямі, катет ОМ загальний, а катет ОА дорівнює катету ОВ за умовою. З рівності трикутників АОМ і ВВП слід, що AM = ВМ.
Приклад 3.У трикутнику ABC (див. Рис. 4) АВ = 10 см, ВС = 9 см, АС = 7 см; в трикутнику DEF DE = 7 см, EF = 10 см, FD = 9 см.
Порівняти трикутники ABC і DEF. знайти відповідно рівні кути.
Рішення. Дані трикутники рівні за третьою ознакою. Відповідно рівні кути: А і Е (лежать проти рівних сторін ВС і FD), В і F (лежать проти рівних сторін АС і DE), С і D (лежать проти рівних сторін АВ і EF).
Приклад 4.На малюнку 5 АВ = DC, ВС = AD, ∠B = 100 °.
Знайти кут D.
Рішення. Розглянемо трикутники ABC і ADC. Вони рівні за третьою ознакою (АВ = DC, ВС = AD по умові і сторона АС - загальна). З рівності цих трикутників випливає, що ∠ В = ∠ D, але кут В дорівнює 100 °, значить, і кут D дорівнює 100 °.
Приклад 5.У трикутник ABC з основою AC зовнішній кут при вершині C дорівнює 123 °. Знайдіть величину кута ABC. Відповідь дайте у градусах.
Відео-рішення.
Перші історики нашої цивілізації - стародавні греки - згадують Єгипет як місце зародження геометрії. Важко з ними не погодитися, знаючи, з якою приголомшливою точністю зведені гігантські усипальниці фараонів. Взаємне розташування площин пірамід, їх пропорції, орієнтація по сторонах світу - досягти такої досконалості було б немислимо, не знаючи основ геометрії.
Саме слово "геометрія" можна перевести як «вимір землі». Причому слово «земля» виступає не як планета - частина сонячної системи, А як площину. Розмітка площ під ведення сільського господарства, Швидше за все, і є самою початкової основою науки про геометричні фігури, їх видах і властивості.
Трикутник - найпростіша просторова фігура планіметрії, що містить усього три точки - вершини (менше не буває). Основа основ, може бути, тому й ввижається в ньому щось таємниче і прадавнє. Всевидюче око всередині трикутника - один з найбільш ранніх з відомих окультних знаків, причому географія його розповсюдження і тимчасові рамки просто вражають уяву. Від стародавніх єгипетської, шумерської, ацтекської та інших цивілізацій до більш сучасних спільнот любителів окультизму, розкиданих по всій земній кулі.
Якими бувають трикутники
Звичайний різнобічний трикутник - це замкнута геометрична фігура, Що складається з трьох відрізків різної довжини і трьох кутів, жоден з яких не є прямим. Крім нього, розрізняють кілька особливих видів.
Трикутник гострокутий має всі кути величиною менше 90 градусів. Іншими словами - всі кути такого трикутника гострі.
Прямокутний трикутник, над яким в усі часи плакали школярі з-за великої кількості теорем, має один кут з величиною 90 градусів або, як його ще називають, прямий.
Тупоугольние трикутник відрізняється тим, що один з його кутів тупий, тобто величина його - понад 90 градусів.
Рівносторонній трикутник має три сторони однакової довжини. У такої фігури рівні також всі кути.
І нарешті, у рівнобедреного трикутника з трьох сторіндві рівні між собою.
Відмінні особливості
Властивості рівнобедреного трикутника визначають і його основне, головне, відмінність - рівність двох сторін. Ці рівні один одному боку прийнято називати стегнами (або, частіше, бічними сторонами), ну а третя сторона носить назву «підстава».
На даному малюнку a = b.
Друга ознака рівнобедреного трикутника випливає з теореми синусів. Так як рівні сторони a і b, рівні і синуси їх протилежних кутів:
a / sin γ = b / sin α, звідки маємо: sin γ = sin α.
З рівності синусів слід рівність кутів: γ = α.
Отже, другою ознакою рівнобедреного трикутника є рівність двох кутів, прилеглих до основи.
Третя ознака. У трикутнику розрізняють такі елементи, як висота, бісектриса і медіана.
Якщо в процесі виконання завдання з'ясовується, що в розглянутому трикутнику два будь-яких з цих елементів збігаються: висота з бісектрисою; бісектриса з медіаною; медіана з висотою - однозначно можна робити висновок, що трикутник рівнобедрений.
Геометричні властивості фігури
1. Властивості рівнобедреного трикутника. Одним з характерних якостей фігури є рівність кутів, прилеглих до основи:
<ВАС = <ВСА.
2. Ще одна властивість розглянуто вище: медіана, бісектриса і висота в трикутник збігаються, якщо вони побудовані від його вершини до основи.
3. Рівність биссектрис, проведених з вершин при підставі:
Якщо АЕ - бісектриса кута ВАС, а CD - бісектриса кута BCA, то: AE = DC.
4. Властивості рівнобедреного трикутника передбачають також рівність висот, які проведені з вершин при підставі.
Якщо побудувати висоти трикутника АВС (де АВ = ВС) з вершин А і С, то отримані відрізки CD та АЕ дорівнюватимуть.
5. Рівними також виявляться і медіани, проведені з кутів при підставі.
Так, якщо АЕ і DC - медіани, тобто AD = DB, а BE = EC, то АЕ = DC.
Висота рівнобедреного трикутника
Рівність бічних сторін і кутів при них привносить деякі особливості в обчислення довжин елементів розглянутої фігури.
Висота в трикутник ділить фігуру на 2 симетричних прямокутних трикутника, гіпотенуза у яких виступають бічні сторони. Висота в такому випадку визначається відповідно до теореми Піфагора, як катет.
У трикутника можуть бути рівними всі три сторони, тоді він буде називатися рівностороннім. Висота в рівносторонньому трикутнику визначається аналогічно, тільки для розрахунків достатньо знати лише одне значення - довжину сторони цього трикутника.
Можна визначити висоту і іншим шляхом, наприклад знаючи підставу і прилеглий до нього кут.
Медіана рівнобедреного трикутника
Розглянутий тип трикутника, завдяки геометричним особливостям, вирішується досить просто по мінімальному набору вихідних даних. Так як медіана в трикутник дорівнює і його висоті, і його бісектрисі, то алгоритм її визначення нічим не відрізняється від порядку обчислення даних елементів.
Наприклад, визначити довжину медіани можна по відомій боковій частині і величиною кута при вершині.
Як визначити периметр
Так як у розглянутій планіметричний фігури дві сторони завжди рівні, то для визначення периметра досить знати довжину підстави і довжину однієї зі сторін.
Розглянемо приклад, коли потрібно визначити периметр трикутника за відомими основи і висоті.
Периметр дорівнює сумі підстави і подвоєною довжини бічної сторони. Бічна сторона, в свою чергу, визначається за допомогою теореми Піфагора як гіпотенуза прямокутного трикутника. Довжина її дорівнює кореню квадратному із суми квадрата висоти і квадрата половини підстави.
Площа рівнобедреного трикутника
Не викликає, як правило, труднощів і обчислення площі рівнобедреного трикутника. Універсальне правило визначення площі трикутника як половини твори підстави на його висоту можна застосувати, звичайно ж, і в нашому випадку. Однак властивості рівнобедреного трикутника знову полегшують завдання.
Припустимо, що відомі висота і кут, прилегла до основи. Необхідно визначити площу фігури. Зробити це можна таким способом.
Так як сума кутів будь-якого трикутника дорівнює 180 °, то визначити величину кута не складе труднощів. Далі, скориставшись пропорцією, складеної відповідно до теореми синусів, визначається довжина підстави трикутника. Все, підстава та висота - достатні дані для визначення площі - є.
Інші властивості рівнобедреного трикутника
Положення центру кола, описаного навколо рівнобедреного трикутника, залежить від величини кута вершини. Так, якщо трикутник гострокутний, центр кола розташовується всередині фігури.
Центр кола, яка описана навколо тупоугольного рівнобедреного трикутника, лежить поза ним. І, нарешті, якщо величина кута при вершині дорівнює 90 °, центр лежить рівно на середині підстави, а через саму основу проходить діаметр окружності.
Для того щоб визначити радіус кола, описаного навколо рівнобедреного трикутника, досить розділити довжину бічної сторони на подвоєний косинус половини величини кута при вершині.
Серед всіх трикутників є два особливих види: прямокутні трикутники і трикутник. Чим же ці види трикутників такі вже особливі? Ну, по-перше, такі трикутники надзвичайно часто виявляються головними дійовими «особами» завдань ЄДІ першої частини. А по-друге, завдання про прямокутні і трикутник вирішуються набагато легше, ніж інші завдання з геометрії. Потрібно всього лише знати кілька правил і властивостей. Все найцікавіше обговорюється у відповідній темі, а зараз розглянемо трикутник. І перш за все, що ж таке - трикутник. Або, як кажуть математики, яке визначення рівнобедреного трикутника?
Подивися, як це виглядає:
Як і у прямокутного трикутника, у рівнобедреного трикутника є спеціальні назви для сторін. Дві рівні сторони називаються бічними сторонами, А третя сторона - підставою.
І знову увагу на картинку:
Може бути, звичайно, і так:
Так що будь уважним: бічна сторона - одна з двох рівних сторінв трикутник, а підстава - третя сторона.
Чим же так вже й хороший трикутник? Щоб це зрозуміти, давай проведемо висоту до основи. Ти пам'ятаєш, що таке висота?
Що ж вийшло? З одного рівнобедреного трикутника вийшло два прямокутних.
Це вже добре, але так вийде в будь-якому, самому «кособедренном» трикутнику.
Чим же відрізняється картинка для рівнобедреного трикутника? Дивись ще раз:
Ну, по-перше, звичайно, цим дивним математикам мало просто бачити - потрібно неодмінно доводити. А то раптом ці трикутники трохи різні, а ми вважатимемо їх однаковими.
Але не переживай: в даному випадку доводити майже так само просто, як і бачити.
Почнемо? Подивися уважно, у нас є:
І, значить,! Чому? Так ми просто знайдемо і, і з теореми Піфагора (пам'ятаючи ще при цьому, що)
Переконалися? Ну ось, тепер у нас
А вже за трьома сторонам - найлегший (третій) ознака рівності трикутників.
Ну ось, наш трикутник розділився на два однакових прямокутних.
Бачиш, як цікаво? Вийшло, що:
Як же про це прийнято говорити у математиків? Давай по порядку:
(Згадуємо тут, що медіана - лінія, проведена з вершини, яка ділить сторону навпіл, а бісектриса - кут.)
Ну ось, тут ми обговорили, що хорошого можна побачити, якщо дано трикутник. Ми вивели, що у рівнобедреного трикутника кути при основі рівні, а висота, бісектриса і медіана, проведені до основи, збігаються.
І тепер виникає інше питання: а як дізнатися трикутник? Тобто, як кажуть математики, які ознаки рівнобедреного трикутника?
І виявляється, що потрібно просто «перевернути» все висловлювання навпаки. Так, звичайно, не завжди буває, але трикутник все-таки відмінна штука! Що ж вийде після «перевертання»?
Ну ось дивись:
Якщо збігаються висота і медіана, то:
Якщо збігаються висота і бісектриса, то: 
Якщо збігаються бісектриса і медіана, то:
Ну ось, не забувай і користуйся:
- Якщо дан рівнобедрений трикутний трикутник, сміливо проводь висоту, отримуй два прямокутних трикутника і вирішуй завдання вже про прямокутний трикутник.
- Якщо дано, що два кути рівні, То трикутник точнорівнобедрений і можна проводити висоту і .... (Будинок, який побудував Джек ...).
- Якщо виявилося, що висота розділена сторону навпіл, то трикутник - рівнобедрений з усіма наслідками, що випливають бонусами.
- Якщо виявилося, що висота розділила кут полам - теж рівнобедрений!
- Якщо бісектриса поділила сторону навпіл або медіана - кут, то це теж буває тількив трикутник
Давай подивимося, як виглядає в задачах.
завдання 1(Найпростіша)
У трикутнику сторони і рівні, а. Знайти.
вирішуємо:
Спочатку малюнок.
Що тут - підстава? Звісно, .
Згадуємо, що якщо, то і.
Оновлений малюнок:
Позначимо за. Чому там дорівнює сума кутів трикутника? ?
користуємося:
Ось і відповідь: .
Нескладно, правда? Навіть висоту проводити не довелося.
завдання 2(Теж не дуже хитра, але потрібно повторити тему)
У трикутнику,. Знайти.
вирішуємо:
Трикутник-то - рівнобедрений! Проводимо висоту (це і є фокус, за допомогою якого зараз все вирішиться).
Тепер «викреслюємо з життя», розглянемо тільки.
Отже, в маємо:
Згадуємо табличное значення косинусів (ну, або дивимося в шпаргалку ...)
Залишилося знайти:.
відповідь: .
Зауважимо, що нам тут дужепотрібні були знання, що стосуються прямокутного трикутника і «табличних» синусів і косинусів. Дуже часто так і буває: теми, «Рівнобедрений трикутник» і в завданнях ходять в зв'язках, а з іншими темами не дуже дружать.
Рівнобедрений трикутник. Середній рівень.
ці дві рівні сторониназиваються бічними сторонами, а третя сторона - підстава рівнобедреного трикутника.
Подивися на малюнок: і - бічні сторони, - підстава рівнобедреного трикутника.
Давай на одному малюнку зрозуміємо, чому так виходить. Проведемо з точки висоту.
Значить, у них рівні всі відповідні елементи.
Всі! Одним махом (висотою) довели відразу всі твердження.
І ти запам'ятай: щоб вирішити завдання про трикутник часто буває дуже корисно опустити висоту на підставу рівнобедреного трикутника і розділити його на два рівних прямокутних трикутника.
Ознаки рівнобедреного трикутника
Вірні і зворотні твердження:
Майже всі з цих тверджень знову можна довести «одним махом».
1. Отже, нехай в виявилися рівні і.
Проведемо висоту. тоді
2. a) Тепер нехай в якомусь трикутнику збігаються висота і бісектриса.
2. б) А якщо збігаються висота і медіана? Все майже так само, нітрохи не складніше!
 |
- по двом катетам |
2. в) А ось якщо немає висоти, Яка опущена на основу рівнобедреного трикутника, то немає і ніяких спочатку прямокутних трикутників. Погано!
Але вихід є - читай його в наступному рівні теорії, оскільки тут доказ складніше, а поки просто запам'ятай, що якщо медіана і бісектриса збіглися, то трикутник теж виявиться рівнобедреним, і висота все-таки теж співпаде з цими биссектрисой і медіаною.
Підсумуємо:
- Якщо трикутник рівнобедрений, то кути при основі рівні, і висота, бісектриса і медіана, проведені до основи, збігаються.
- Якщо в якомусь трикутнику знайдуться два рівних кута, або якісь дві з трьох ліній (бісектриса, медіана, висота) співпадуть, то такий трикутник - рівнобедрений.
Рівнобедрений трикутник. Короткий опис і основні формули
Трикутник - трикутник, у якого є дві рівні сторони.
Ознаки рівнобедреного трикутника:
- Якщо в деякому трикутнику два кути рівні, то він - рівнобедрений.
- Якщо в деякому трикутнику співпадають:
а) висота і бісектрисаабо
б) висота і медіанаабо
в) медіана і бісектриса,
проведені до однієї сторони, то такий трикутник - рівнобедрений.
Залишається 2/3 СТАТТІ ДОСТУПНІ ТІЛЬКИ УЧНЯМ YOUCLEVER!
Стати учнем YouClever,
Підготуватися до ОГЕ або ЄДІ з математики за ціною "чашка кави на місяць",
А також отримати безстроковий доступ до підручника "YouClever", Програмі підготовки (розв'язнику) "100gia", необмеженому пробному ЄДІ і ОГЕ, 6000 завдань з розбором рішень і до інших сервісів YouClever і 100gia.
