Euler çemberleri diyagramı örnekleri. Euler'in çemberleri sorunu çözmeye yardımcı olacaktır.

Bölümler: Bilgisayar Bilimi

1. Giriş

İlkokul ve lisede Bilgisayar Bilimleri ve BİT dersinde "Mantığın Temelleri" ve "İnternette Bilgi Arama" gibi önemli konular işlenir. Belirli türdeki problemleri çözerken Euler dairelerini (Euler-Venn diyagramları) kullanmak uygundur.

Matematiksel referans. Euler-Venn diyagramları, öncelikle küme teorisinde, birkaç kümenin tüm olası kesişimlerinin şematik bir temsili olarak kullanılır. Genel olarak, n özelliğin 2 n kombinasyonunu temsil ederler. Örneğin, n = 3 için, Euler-Venn diyagramı genellikle, merkezleri bir eşkenar üçgenin köşelerinde ve aynı yarıçapta, yaklaşık olarak üçgenin kenarının uzunluğuna eşit olan üç daire olarak tasvir edilir.

2. Arama sorgularında mantıksal bağların temsili

“İnternette bilgi arama” konusunu incelerken, Rus dilinin “ve”, “veya” birliklerine benzer şekilde mantıksal bağlaçlar kullanan arama sorgularının örnekleri dikkate alınır. Mantıksal bağlaçların anlamı, onları bir grafik diyagramı - Euler daireleri (Euler-Venn diyagramları) kullanarak gösterirseniz daha açık hale gelir.

mantıksal paket	Örnek talep et	Açıklama	Euler çemberleri
& - "VE"	Paris & üniversite	Her iki kelimenin geçtiği tüm sayfalar: Paris ve Üniversite seçilecektir.	1
| - "VEYA"	Paris | üniversite	Paris ve/veya Üniversite kelimelerinin geçtiği tüm sayfalar seçilecektir.	İncir. 2

3. Mantıksal işlemlerin küme teorisi ile bağlantısı

Euler-Venn diyagramlarının yardımıyla mantıksal işlemler ve küme teorisi arasındaki bağlantı görselleştirilebilir. Gösteri için slaytları kullanabilirsiniz. Ek 1.

Mantıksal işlemler kendi doğruluk tablolarıyla belirtilir. V Ek 2 mantıksal işlemlerin grafik çizimleri, doğruluk tablolarıyla birlikte ayrıntılı olarak tartışılmaktadır. Genel durumda bir diyagram oluşturma ilkesini açıklayalım. Diyagramda, A adlı dairenin alanı, A ifadesinin doğruluğunu yansıtır (küme teorisinde, A dairesi bu kümeye dahil olan tüm öğelerin tanımıdır). Buna göre, dairenin dışındaki alan, karşılık gelen ifadenin "yanlış" değerini görüntüler. Diyagramın hangi alanının mantıksal bir işlem göstereceğini anlamak için, yalnızca A ve B kümelerindeki mantıksal işlemin değerlerinin "doğru"ya eşit olduğu alanları gölgelemeniz gerekir.

Örneğin, üç durumda (00, 01 ve 11) ima değeri "doğru"dur. Sırayla gölgeleme: 1) A = 0, B = 0 değerlerine karşılık gelen kesişen iki dairenin dışındaki alan; 2) sadece A = 0, B = 1 değerlerine karşılık gelen B dairesi (hilal) ile ilgili alan; 3) hem A dairesi hem de B dairesi (kesişme) ile ilgili alan - A = 1, B = 1 değerlerine karşılık gelir. Bu üç alanın birleşimi, ima etmenin mantıksal işleminin grafiksel bir temsili olacaktır.

4. Mantıksal eşitliklerin (yasaların) kanıtlanmasında Euler çemberlerinin kullanılması

Mantıksal eşitlikleri ispatlamak için Euler-Venn diyagramları yöntemini uygulayabilirsiniz. Aşağıdaki eşitliği ispatlayalım ¬ (AvB) = ¬A & ¬B (de Morgan yasası).

Eşitliğin sol tarafının görsel bir temsili için, sırayla yürütürüz: her iki daireyi de gri renkle gölgelendirin (ayrılma uygulayın), ardından ters çevirmeyi görüntülemek için dairelerin dışındaki alanı siyahla gölgelendirin:

Şekil 3 4

Eşitliğin sağ tarafının görsel bir temsili için, sırayla yürüteceğiz: inversiyonun (¬A) görüntülendiği alanı gri renkle ve benzer şekilde, ¬B alanını gri renkle gölgelendirin; daha sonra, birleşimi görüntülemek için bu gri alanların kesişimini almanız gerekir (bindirmenin sonucu siyah olarak gösterilir):

Şekil 5 Şekil 6 7

Sol ve sağ kısımların görüntülendiği alanların eşit olduğunu görüyoruz. Q.E.D.

5. Konuyla ilgili GIA ve USE formatındaki görevler: "İnternette bilgi arama"

GIA 2013'ün demo versiyonundan 18 numaralı sorun.

Tablo, arama sunucusuna yapılan istekleri listeler. Her istek için kodu belirtilir - A'dan G'ye karşılık gelen harf. İstek kodlarını sırayla soldan sağa yerleştirin azalan arama motorunun her istek için bulacağı sayfa sayısı.

kod	Sorgu
A	(Uç ve Para) | semaver
B	Fly & Money & Bazaar & Semaver
V	Uç | Para | semaver
G	Sinek & Para & Semaver

Her istek için bir Euler-Venn şeması oluşturalım:

İstek A

B isteği

B isteği

D isteği

Cevap: WAGB.

Birleşik Devlet Sınavı-2013'ün demo versiyonundan Problem B12.

Tablo, İnternet'in belirli bir bölümü için istekleri ve bunlarda bulunan sayfa sayısını gösterir.

Sorgu	Bulunan sayfalar (bin olarak)
Fırkateyn | Yok edici	3400
Fırkateyn ve Muhrip	900
Firkateyn	2100

İstek üzerine kaç sayfa (bin olarak) bulunacak Yok edici?

Tüm sorguların neredeyse aynı anda yürütüldüğü varsayılır, böylece tüm arama sözcüklerini içeren sayfalar, sorguların yürütülmesi sırasında değişmez.

Ф - istek üzerine sayfa sayısı (bin olarak) Firkateyn;

E - istek üzerine sayfa sayısı (bin olarak) Yok edici;

X, belirtilen istek için sayfa sayısıdır (bin olarak) Firkateyn ve Olumsuz adı geçen Yok edici;

Y - belirtilen istek için sayfa sayısı (bin olarak) Yok edici ve Olumsuz adı geçen Firkateyn.

Her istek için Euler-Venn diyagramları oluşturalım:

Sorgu	Euler-Venn diyagramı	Sayfa sayısı
Fırkateyn | Yok edici	12	3400
Fırkateyn ve Muhrip	13	900
Firkateyn	14	2100
Yok edici	15	?

Diyagramlara göre, elimizde:

1. X + 900 + Y = F + Y = 2100 + Y = 3400. Dolayısıyla Y = 3400-2100 = 1300 buluruz.
2. E = 900 + Y = 900 + 1300 = 2200.

Cevap: 2200.

6. Mantıksal anlamlı problemlerin Euler-Venn diyagramları yöntemiyle çözümü

Sınıfta 36 kişi var. Bu sınıfın öğrencileri matematik, fizik ve kimya çemberlerine katılmakta ve matematik çemberine fiziki - 14 kişi, kimya - 10 kişi olmak üzere 18 kişi katılmaktadır. Ayrıca her üç çembere de 2 kişinin katıldığı bilinmektedir, 8 kişi - hem matematiksel hem de fiziksel, 5 ve matematiksel ve kimyasal, 3 - hem fiziksel hem de kimyasal.

Sınıftaki kaç öğrenci herhangi bir kulübe katılmıyor?

Bu sorunu çözmek için Euler çemberlerinin kullanımı çok kullanışlı ve sezgiseldir.

En büyük daire, sınıftaki tüm öğrencilerin çokluğudur. Çemberin içinde kesişen üç küme vardır: matematiksel ( m), fiziksel ( F), kimyasal ( NS) daireler.

İzin vermek MFH- her biri üç daireye de katılan çok sayıda çocuk. МФ¬Х- her biri matematik ve fizik çevrelerine katılan birçok erkek ve Olumsuz kimyaya katılır. ¬M¬FH- Her biri kimya çemberine katılan ve fizik ve matematik çemberlerine katılmayan çok sayıda çocuk.

Benzer şekilde, kümeleri tanıtıyoruz: ¬MFH, M¬FH, M¬F¬H, ¬MF¬H, ¬M¬F¬H.

Her üç çembere de 2 kişinin katıldığı biliniyor, dolayısıyla bölgede MFH 2 sayısını yazın. Hem matematik hem de fizik çevrelerine 8 kişi katılıyor ve aralarında zaten üç çembere de katılan 2 kişi var, ardından bölgeye МФ¬Х 6 kişi (8-2) gireceğiz. Benzer şekilde, kalan kümelerdeki öğrenci sayısını belirleyeceğiz:

Tüm bölgelerdeki insan sayısını toplayalım: 7 + 6 + 3 + 2 + 4 + 1 + 5 = 28. Sonuç olarak, sınıftan 28 kişi çemberlere katılıyor.

Bu, 36-28 = 8 öğrencinin çemberlere katılmadığı anlamına gelir.

Kış tatilinden sonra sınıf öğretmeni çocuklardan hangisinin tiyatroya, sinemaya ya da sirke gittiğini sordu. Sınıftaki 36 öğrenciden ikisinin sinemaya gitmediği ortaya çıktı. ne tiyatroda ne sirkte. Sinemayı 25 kişi, tiyatroyu - 11, sirk - 17 kişi ziyaret etti; hem sinemada hem de tiyatroda - 6; hem sinemada hem de sirkte - 10; ve tiyatroda ve sirkte - 4.

Sinemaya, tiyatroya ve sirke kaç kişi gitti?

Sinemaya, tiyatroya, sirke giden çocukların sayısı x olsun.

Ardından aşağıdaki diyagramı oluşturabilir ve her alandaki çocuk sayısını sayabilirsiniz:

Sinema ve tiyatroyu 6 kişi ziyaret etti, yani sadece sinema ve tiyatro (6) kişi. Aynı şekilde sadece sinema ve sirkte (10) kişi var. Sadece tiyatro ve sirkte (4) kişi. Sinemayı 25 kişi ziyaret etti, bu da sadece 25'inin sinemada olduğu anlamına geliyor - (10-x) - (6-x) - x = (9 + x). Benzer şekilde, sadece tiyatroda (1 + x) kişi vardı. Sadece sirkte (3+x) kişi vardı. Tiyatro, sinema ve sirke gitmedim - 2 kişi. Bu 36-2 = 34 kişi demektir. etkinlikleri ziyaret etti. Tiyatroya, sinemaya, sirke gidenlerin sayısını ise şöyle özetleyebiliriz: (9 + x) + (1 + x) + (3 + x) + (10-x) + (6-x) + (4-x) + x = 34 Her üç etkinliğe de sadece bir kişinin katıldığı anlaşılmaktadır.

Böylece, Euler çemberleri (Euler-Venn diyagramları) sınav ve GIA formatındaki problemlerin çözümünde ve anlamlı mantıksal problemlerin çözümünde pratik uygulama bulur.

Edebiyat

1. V.Yu. Lyskova, E.A. Rakitin. Bilgisayar bilimlerinde mantık. M.: Bilişim ve Eğitim, 2006.155 s.
2. LL. Bosova. Bilgisayarların aritmetik ve mantıksal temelleri. Moskova: Bilişim ve Eğitim, 2000.207 s.
3. LL. Bosova, A. Yu. Bosova. Ders kitabı. 8. Sınıf için Bilişim ve BİT: BINOM. Bilgi Laboratuvarı, 2012.220 s.
4. LL. Bosova, A. Yu. Bosova. Ders kitabı. 9. Sınıf için Bilişim ve BİT: BINOM. Bilgi Laboratuvarı, 2012.244 s.
5. FIPI web sitesi: http://www.fipi.ru/

Euler çemberleri gibi bir kavram hakkında hiçbir şey bilmediğinizi düşünüyorsanız, derinden yanılıyorsunuz. İlkokuldan bile, sistemin kavramları ve öğeleri arasındaki ilişkiyi görsel olarak anlamanıza izin veren şematik görüntüler veya daireler bilinmektedir.

Leonard Euler tarafından icat edilen yöntem, bilim adamı tarafından karmaşık matematik problemlerini çözmek için kullanıldı. Kümeleri daireler halinde tasvir etti ve bu şemayı sembolik olarak böyle bir kavramın temeli yaptı. Yöntem, belirli bir sorunu çözmeyi amaçlayan akıl yürütmeyi mümkün olduğunca basitleştirmek için tasarlanmıştır, bu nedenle teknik hem ilkokulda hem de akademik ortamda aktif olarak kullanılmaktadır. İlginç bir şekilde, benzer bir yaklaşım daha önce Alman filozof Leibniz tarafından kullanılmış ve daha sonra matematik alanındaki ünlü beyinler tarafından çeşitli modifikasyonlarda seçilerek uygulanmıştır. Örneğin, bu basit ama şaşırtıcı derecede etkili yönteme dayalı popüler bir diyagram oluşturmasıyla tanınan Çek Bolzano, Schroeder, Venn'in dikdörtgen diyagramları.

Çemberler, bireysel kümelerin özelliklerinin benzerliğine dayanan sözde "görsel İnternet memlerinin" temelidir. Komik, görsel ve en önemlisi anlaşılır.

düşünce çemberleri

Daireler, problemin koşullarını görsel olarak tanımlamanıza ve anında doğru kararı vermenize veya doğru cevap yönünde hareket yönünü belirlemenize olanak tanır. Kural olarak, Euler çemberleri, kümeler, bunların birleşimleri veya kısmi bindirmeleri ile ilgili mantıksal ve matematiksel problemleri çözmek için kullanılır. Çemberin çizdiği kümelerin her birinin özelliklerini taşıyan nesneler çemberlerin kesiştiği yere düşer. Kümeye dahil olmayan nesneler şu veya bu dairenin dışındadır. Kavramlar kesinlikle eşdeğer ise, eşit özelliklere ve hacimlere sahip iki kümenin birleşimi olan bir daire ile gösterilirler.

ilişki mantığı

Euler'in dairelerini kullanarak, bir dizi günlük sorunu çözebilir ve hatta gelecekteki bir mesleğin seçimine karar verebilirsiniz, sadece yeteneklerinizi ve arzularınızı analiz etmeniz ve maksimum kesişimlerini seçmeniz gerekir.

Şimdi, Euler'in dairelerinin teorik bilgi kategorisinden soyut bir matematiksel ve felsefi kavram olmadığı, sadece en basit matematiksel problemlerle değil, aynı zamanda önemli sorunları çözmenize izin veren çok uygulamalı ve pratik bir anlama sahip oldukları anlaşılıyor. yaşam ikilemlerini herkes için açık ve anlaşılır bir şekilde

28 Mayıs 2015

Leonard Euler (1707-1783) - ünlü İsviçreli ve Rus matematikçi, St. Petersburg Bilimler Akademisi üyesi, hayatının çoğunu Rusya'da geçirdi. Matematiksel analiz, istatistik, bilgisayar bilimi ve mantıkta en ünlüsü, kavramların ve eleman kümelerinin kapsamını belirtmek için kullanılan Euler çemberidir (Euler-Venn şeması).

John Venn (1834-1923) - İngiliz filozof ve mantıkçı, Euler-Venn diyagramının ortak yazarı.

Uyumlu ve uyumsuz kavramlar

Mantıkta bir kavram, homojen nesneler sınıfının temel özelliklerini yansıtan bir düşünme biçimi anlamına gelir. Bir veya bir grup kelime ile gösterilirler: "dünya haritası", "baskın beşinci-yedinci akor", "Pazartesi", vb.

Bir kavramın hacim öğelerinin tamamen veya kısmen diğerinin hacmine ait olması durumunda, uyumlu kavramlardan söz edilir. Belirli bir kavramın hacminin bir unsuru diğerinin hacmine ait değilse, o zaman uyumsuz kavramlara sahip bir yerimiz vardır.

Buna karşılık, kavram türlerinin her birinin kendi olası ilişkileri vardır. Uyumlu konseptler için bunlar:

• hacimlerin kimliği (denkliği);
• hacimlerin kesişimi (örtüşmesi);
• tabi olma (tabi olma).

Uyumsuz için:

• tabi olma (koordinasyon);
• zıt (karşıtlık);
• çelişki (çelişki).

Şematik olarak, mantıktaki kavramlar arasındaki ilişkiler genellikle Euler-Venn çemberleri kullanılarak gösterilir.

denklik ilişkileri

Bu durumda, kavramlar aynı konuyu ifade eder. Buna göre, bu kavramların hacimleri tamamen örtüşmektedir. Örneğin:

A - Sigmund Freud;

B - psikanalizin kurucusu.

Bir kare;

B - eşkenar dikdörtgen;

С - uyumlu eşkenar dörtgen.

Tanımlama için tam eşleşen Euler daireleri kullanılır.

Kavşak (kısmi eşleşme)

Öğretmen;

B bir müzik aşığıdır.

Bu örnekten de anlaşılacağı gibi, kavramların kapsamı örtüşmektedir: belirli bir grup öğretmen müzik sever olabilir veya tam tersi, müzikseverler arasında öğretmenlik mesleğinin temsilcileri olabilir. Benzer bir tutum, örneğin "şehirli"nin A kavramı ve "sürücü"nün B olarak hareket etmesi durumunda da olacaktır.

tabi olma (tabi olma)

Bunlar şematik olarak farklı ölçeklerdeki Euler çemberleri olarak adlandırılırlar. Bu durumda kavramlar arasındaki ilişki, alt kavramın (hacimce daha küçük) altta (hacimce daha büyük) tamamen dahil edilmesiyle karakterize edilir. Aynı zamanda, alt kavram, alt kavramı tamamen tüketmez.

Örneğin:

Bir ağaç;

B - çam.

B Kavramı, A kavramına tabi olacaktır. Çam, ağaçlara atıfta bulunduğundan, bu örnekte A kavramı, B kavramının kapsamını "soğurarak" bağımlı hale gelir.

Bağlılık (koordinasyon)

Bir ilişki, birbirini dışlayan, ancak aynı zamanda belirli bir ortak aile çevresine ait olan iki veya daha fazla kavramı karakterize eder. Örneğin:

A - klarnet;

B - gitar;

С - keman;

D bir müzik aletidir.

A, B, C kavramları birbirleriyle ilişkili olarak örtüşmezler, ancak hepsi müzik aletleri kategorisine aittir (D kavramı).

Zıt (karşıtlık)

Kavramlar arasındaki zıt ilişkiler, bu kavramların aynı cinse atfedilmesini ima eder. Bu durumda, kavramlardan biri belirli özelliklere (özelliklere) sahipken, diğeri onları inkar ederek doğada tersi ile değiştirir. Böylece, zıt anlamlılarla uğraşıyoruz. Örneğin:

Bir cüce;

B bir devdir.

Kavramlar arasındaki zıt ilişki ile Euler'in dairesi, ilki A kavramına, ikincisi B kavramına ve üçüncüsü diğer tüm olası kavramlara karşılık gelen üç bölüme ayrılmıştır.

Tartışma (çelişkili)

Bu durumda, her iki kavram da aynı cinsin türleridir. Bir önceki örnekte olduğu gibi, kavramlardan biri belirli nitelikleri (işaretleri) belirtirken, diğeri bunları reddeder. Ancak, karşıt ilişkinin aksine, ikinci, karşıt kavram, reddedilen özelliklerin yerine başka alternatif özellikler getirmez. Örneğin:

A zor bir görevdir;

B kolay bir iştir (A değil).

Bu tür kavramların kapsamını ifade eden Euler'in dairesi iki bölüme ayrılmıştır - bu durumda üçüncü, ara bağlantı mevcut değildir. Dolayısıyla kavramlar aynı zamanda zıt anlamlıdır. Bu durumda, bunlardan biri (A) pozitif olur (herhangi bir işareti onaylar) ve ikincisi (B veya A değil) - negatif (ilgili işareti reddeder): "beyaz kağıt" - "beyaz kağıt değil", "Rusça tarih" - "dış tarih" vb.

Bu nedenle, kavramların hacimlerinin birbirine göre oranı, Euler çemberlerini tanımlayan temel bir özelliktir.

kümeler arasındaki ilişkiler

Ayrıca, hacmi Euler daireleri tarafından görüntülenen eleman ve küme kavramlarını da ayırt etmelisiniz. Küme kavramı matematik biliminden ödünç alınmıştır ve oldukça geniş bir anlama sahiptir. Mantık ve matematikteki örnekler onu bir tür nesneler topluluğu olarak gösterir. Nesnelerin kendileri bu kümenin elemanlarıdır. “Birçoğu çoktur, tek olarak düşünülebilir” (Georg Cantor, kümeler teorisinin kurucusu).

Kümelerin tanımı büyük harflerle yapılır: A, B, C, D ... ve benzeri, kümelerin öğeleri - küçük harfle: a, b, c, d ... ve diğerleri. aynı sınıftaki öğrenciler, belirli bir raftaki kitaplar (veya örneğin belirli bir kütüphanedeki tüm kitaplar), bir günlükteki sayfalar, bir orman açıklığındaki meyveler vb. olabilir.

Buna karşılık, belirli bir küme herhangi bir öğe içermiyorsa, boş olarak adlandırılır ve Ø işaretiyle gösterilir. Örneğin, paralel doğruların kesişme noktaları kümesi, x 2 = -5 denkleminin çözüm kümesi.

Sorunları çözmek

Çok sayıda sorunu çözmek için Euler çemberleri aktif olarak kullanılır. Mantıktaki örnekler, mantıksal işlemler ve küme teorisi arasındaki bağlantıyı açıkça göstermektedir. Bu durumda kavramların doğruluk tabloları kullanılır. Örneğin, A adıyla gösterilen daire doğruluk bölgesini temsil eder. Böylece çemberin dışındaki alan bir yalanı temsil edecektir. Mantıksal bir işlem için diyagramın alanını belirlemek için, A ve B öğeleri için değerlerinin doğru olacağı Euler dairesini tanımlayan alanları gölgelemelisiniz.

Euler çemberlerinin kullanımı, çeşitli endüstrilerde geniş pratik uygulama alanı bulmuştur. Örneğin, profesyonel bir seçim olan bir durumda. Konu gelecekteki bir mesleğin seçimi ile ilgiliyse, aşağıdaki kriterlere göre yönlendirilebilir:

W - ne yapmaktan hoşlanırım?

D-ne yapayım

P - nasıl iyi para kazanabilirim?

Bunu bir diyagram şeklinde gösterelim: Euler çemberleri (mantıktaki örnekler - kesişim ilişkisi):

Sonuç, üç çemberin kesişim noktasında olacak meslekler olacaktır.

Euler-Venn çemberleri, kombinasyonları ve özellikleri hesaplarken matematikte (küme teorisi) özel bir yere sahiptir. Euler'in elemanlar kümesinin daireleri, evrensel kümeyi (U) temsil eden bir dikdörtgen içine alınır. Daireler yerine başka kapalı şekiller de kullanılabilir, ancak özü değişmez. Rakamlar, problemin koşullarına göre (en genel durumda) birbiriyle kesişir. Ayrıca, bu rakamlar buna göre işaretlenmelidir. Diyagramın farklı bölümleri içinde yer alan noktalar, incelenen kümelerin elemanları olarak hareket edebilir. Temelde, belirli alanları gölgelemek mümkündür, böylece yeni oluşturulan kümeleri ifade eder.

Bu kümelerle temel matematiksel işlemlerin yapılmasına izin verilir: toplama (eleman kümelerinin toplamı), çıkarma (fark), çarpma (çarpım). Ayrıca Euler-Venn diyagramları sayesinde kümeleri saymadan, içerdiği eleman sayısına göre karşılaştırma işlemleri yapmak mümkündür.

Onu kaybetme. Abone olun ve postanızdaki makaleye bir bağlantı alın.

Euler'in daireleri, kavramlar ve fenomenler arasındaki mantıksal bağlantıları bulmak ve daha açık bir şekilde göstermek ve ayrıca belirli bir küme ile onun parçası arasındaki ilişkileri göstermek için gerekli olan özel bir geometrik şemayı temsil eder. Netlikleri sayesinde her türlü akıl yürütmeyi büyük ölçüde basitleştirir ve sorulara daha hızlı yanıt bulmanıza yardımcı olurlar.

Çemberlerin yazarı, insan düşüncesini kolaylaştırmak için gerekli olduğuna inanan ünlü matematikçi Leonard Euler'dir. Başlangıcından bu yana, yöntem yaygın bir popülerlik ve kabul görmüştür.

Leonard Euler, Rus, Alman ve İsviçreli bir matematikçi ve tamircidir. Matematik, mekanik, astronomi ve fiziğin yanı sıra bir dizi uygulamalı bilimin gelişimine büyük katkı yaptı. Sayı teorisi, müzik teorisi, gök mekaniği, optik, balistik ve diğer alanlarda 850'den fazla bilimsel makale yazdı. Bu eserler arasında birkaç düzine temel monograf vardır. Euler, hayatının yarısını Rusya'da geçirdi ve Rus biliminin oluşumunda büyük etkisi oldu. Eserlerinin çoğu Rusça yazılmıştır.

Daha sonra, birçok ünlü bilim adamı Euler'in çevrelerini çalışmalarında kullandı, örneğin Çek matematikçi Bernard Bolzano, Alman matematikçi Ernest Schroeder, İngiliz filozof ve mantıkçı John Venn ve diğerleri. Bugün, metodoloji, ücretsiz çevrimiçi programımızdan "" alıştırmalar da dahil olmak üzere, düşünmenin geliştirilmesi için birçok alıştırmanın temelini oluşturmaktadır.

Euler çemberleri ne işe yarar?

Euler çemberleri pratik öneme sahiptir, çünkü mantık, matematik, yönetim, bilgisayar bilimi, istatistik vb. kümelerin kesişimi veya birleşimi ile ilgili birçok pratik problemi çözmek için kullanılabilirler. Hayatta da faydalıdırlar, çünkü onlarla çalışarak birçok önemli soruya cevap alabilir, birçok mantıklı ilişki bulabilirsiniz.

Euler çemberlerinin birkaç grubu vardır:

• eşdeğer daireler (şemada Şekil 1);
• kesişen daireler (şemada Şekil 2);
• alt daireler (şemada Şekil 3);
• alt daireler (şemada Şekil 4);
• çelişen daireler (şemadaki şekil 5);
• zıt daireler (şemada Şekil 6).

Diyagramı inceleyin:

Ancak düşünme geliştirme alıştırmalarında en sık iki tür daire bulunur:

• Kavramların çağrışımlarını tanımlayan ve iç içe geçmeyi gösteren daireler. Bir örneğe göz atın:

• Bazı ortak özelliklere sahip farklı kümelerin kesişimini açıklayan çemberler. Bir örneğe göz atın:

Bu örnekte Euler çemberlerini kullanmanın sonucunu izlemek çok basittir: hangi mesleği seçeceğinizi düşünürken, hangisinin daha uygun olduğunu anlamaya çalışarak uzun süre tartışabilir veya benzer bir diyagram çizebilir, soruları yanıtlayabilir ve mantıklı bir sonuç çıkar.

Yöntemin uygulanması çok basittir. Aynı zamanda evrensel olarak da adlandırılabilir - her yaştan insan için uygundur: okul öncesi çocuklardan (anaokullarında, çocuklara 4-5 yaşından başlayarak çocuklara çevre öğretilir) öğrencilere (örneğin, USE testlerinde dairelerle ilgili sorunlar vardır) bilgisayar bilimlerinde) ve bilim adamları (akademik ortamda çemberler yaygın olarak kullanılmaktadır).

Euler çemberlerinin tipik bir örneği

Euler çevrelerinin nasıl "işe yaradığını" daha iyi anlamak için tipik bir örnekle kendinizi tanımanızı öneririz. Aşağıdaki şekle dikkat edin:

Şekilde, oyuncaklar için tüm seçenekleri temsil eden en büyük set yeşil renkle işaretlenmiştir. Bunlardan biri yapıcılar (mavi oval). Yapıcılar kendi başlarına ayrı bir settir, ancak aynı zamanda genel oyuncak setinin bir parçasıdırlar.

Clockwork oyuncaklar (mor oval) da oyuncak setine aittir, ancak yapıcı seti ile ilgisi yoktur. Ancak bir saatli araba (sarı oval), bağımsız bir fenomen olsa bile, saatli oyuncakların alt kümelerinden biri olarak kabul edilir.

Benzer bir şema, Euler'in çevrelerini içeren birçok görevi (bilişsel yeteneklerin geliştirilmesi için görevler dahil) oluşturmak ve çözmek için kullanılır. Böyle bir soruna bir göz atalım (bu arada, 2011'de Birleşik Devlet Bilişim ve BİT Sınavının demo testine dahil edilen bu sorundu).

Euler çemberlerini kullanarak bir problem çözme örneği

Sorunun koşulları aşağıdaki gibidir: Aşağıdaki tablo, belirli sorgular için İnternette kaç sayfa bulunduğunu gösterir:

Sorunun sorusu: Arama motoru "Kruvazör ve zırhlı" sorgusu için kaç sayfa (binlerde) verecek? Tüm sorguların yaklaşık olarak aynı anda yürütüldüğü akılda tutulmalıdır, bu nedenle arama sözcüklerini içeren sayfalar, sorguların yürütülmesinden bu yana değişmeden kalmıştır.

Problem şu şekilde çözülür: Euler çemberleri kullanılarak problemin koşulları gösterilir ve "1", "2" ve "3" sayıları elde edilen segmentleri gösterir:

Sorunun koşullarını dikkate alarak denklemleri oluştururuz:

1. Kruvazör / zırhlı: 1 + 2 + 3 = 7000;
2. Kruvazör: 1 + 2 = 4 800;
3. Savaş gemisi: 2 + 3 = 4.500.

"Kruvazör ve zırhlı" sorgularının sayısını belirlemek için (segment şekilde "2" sayısı ile gösterilir), denklem 2'yi denklem 1'e değiştirin ve şunu elde edin:

4.800 + 3 = 7.000, bu da 3 = 2.200 (7.000-4.800 = 2.200'den beri) anlamına gelir.

2 + 2.200 = 4.500, bu da 2 = 2.300 (4.500-2.200 = 2.300'den beri) anlamına gelir.

Cevap: "Kruvazör ve zırhlı" sorgusu 2.300 sayfa bulacaktır.

Bu örnek, Euler çemberlerini kullanarak karmaşık sorunları hızlı ve kolay bir şekilde çözebileceğinizi açıkça göstermektedir.

Özet

Euler'in çemberleri, problemleri çözmek ve mantıksal bağlantılar kurmak için çok faydalı bir tekniktir ve aynı zamanda zaman geçirmek ve beyninizi eğitmek için eğlenceli ve ilginç bir yoldur. Bu nedenle, işi zevkle birleştirmek ve kafanızı çalıştırmak istiyorsanız, etkinliği bilimsel olarak kanıtlanmış ve uzun yıllar süren uygulama ile onaylanan Euler çevreleri de dahil olmak üzere çeşitli görevleri içeren "" kursumuzu almanızı öneririz.

Euler'in çemberleri hakkında hiçbir şey bilmediğinizi düşünüyorsanız, yanılıyorsunuz. Aslında, muhtemelen onlarla bir kereden fazla karşılaştınız, sadece ne dendiğini bilmiyordunuz. Tam olarak nerede? Euler'in daire kalıpları, birçok popüler İnternet memesinin (ağda belirli bir konuda dolaşan görüntüler) temelini oluşturdu.

Bu dairelerin ne olduğunu, neden böyle adlandırıldığını ve birçok sorunu çözmek için neden bu kadar uygun olduklarını birlikte anlayalım.

terimin kökeni

Olgular ve kavramlar arasındaki mantıksal bağlantıları bulmaya ve/veya daha belirgin hale getirmeye yardımcı olan geometrik bir şemadır. Ayrıca herhangi bir küme ile parçası arasındaki ilişkiyi tasvir etmeye yardımcı olur.

Henüz çok net değil, değil mi? Bu resme bir göz atın:

Şekil birçok - olası tüm oyuncakları göstermektedir. Oyuncaklardan bazıları yapı setleridir - ayrı bir ovalde vurgulanırlar. Bu, büyük bir "oyuncak" setinin bir parçasıdır ve aynı zamanda ayrı bir settir (sonuçta, kurucu hem "Lego" hem de çocuklar için tuğlalardan ilkel inşaatçılar olabilir). Çok çeşitli "oyuncakların" bir kısmı kurmalı oyuncaklar olabilir. Onlar yapıcı değiller, bu yüzden onlar için ayrı bir oval çiziyoruz. Sarı oval "kurmalı araba" hem "oyuncak" setini ifade eder hem de daha küçük "kurmalı oyuncaklar" setinin bir parçasıdır. Bu nedenle, her iki ovalin içinde aynı anda tasvir edilmiştir.

Peki, daha netleşti mi? Bu nedenle Euler'in çemberleri bunu açıkça gösteren yöntemdir: Yüz kez duymaktansa bir kez görmek daha iyidir. Onun değeri, netliğin akıl yürütmeyi basitleştirmesi ve daha hızlı ve daha kolay bir yanıt almaya yardımcı olmasıdır.

Yöntemin yazarı bilim adamı Leonard Euler'dir (1707-1783). Kendi adını taşıyan şemalardan bahsetti: "düşünmemizi kolaylaştırmak için daireler uygundur." Euler bir Alman, İsviçreli ve hatta Rus matematikçi, mekanik ve fizikçi olarak kabul edilir. Gerçek şu ki, St. Petersburg Bilimler Akademisi'nde uzun yıllar çalıştı ve Rus biliminin gelişimine önemli katkılarda bulundu.

Ondan önce, Alman matematikçi ve filozof Gottfried Leibniz çıkarımlarını oluştururken benzer bir ilke tarafından yönlendirildi.

Euler'in yöntemi, haklı bir tanıma ve popülerlik kazandı. Ve ondan sonra, birçok bilim adamı bunu çalışmalarında kullandı ve ayrıca kendi yollarıyla değiştirdi. Örneğin, Çek matematikçi Bernard Bolzano aynı yöntemi kullandı, ancak dikdörtgen devrelerle.

Alman matematikçi Ernest Schroeder de katkıda bulundu. Ancak asıl değer İngiliz John Venn'e aittir. Mantık konusunda uzmandı ve yöntemin kendi versiyonunu ayrıntılı olarak açıkladığı "Sembolik Mantık" kitabını yayınladı (esas olarak kümelerin kesişimlerinin görüntülerini kullandı).

Venn'in katkısı sayesinde, yönteme Venn diyagramları veya hatta Euler-Venn diyagramları bile denir.

Euler çemberlerine neden ihtiyaç duyulur?

Euler çemberlerinin uygulamalı bir amacı vardır, yani onların yardımıyla pratikte matematik, mantık, yönetim ve daha birçok alanda kümelerin birleşimi veya kesişimi sorunlarını çözerler.

Euler çemberlerinin türleri hakkında konuşursak, bunları bazı kavramların (örneğin, cins ve türlerin oranı) kombinasyonunu tanımlayanlara ayırabiliriz - bunları makalenin başında bir örnek kullanarak inceledik.

Ve ayrıca bir nedenden dolayı kümelerin kesişimini tanımlayanlarda. John Venn, planlarında bu ilke tarafından yönlendirildi. Ve internette birçok popüler mem'in altında yatan odur. İşte bu tür Euler çevrelerine bir örnek:

Komik, değil mi? Ve en önemlisi, her şey hemen netleşir. Bakış açınızı açıklamak için çok fazla kelime harcayabilir veya her şeyi hemen yerine koyacak basit bir diyagram çizebilirsiniz.

Bu arada hangi mesleği seçeceğinize karar veremiyorsanız, Euler daireleri şeklinde bir diyagram çizmeyi deneyin. Belki de böyle bir çizim doğru seçimi yapmanıza yardımcı olacaktır:

Her üç çemberin kesişim noktasında olacak seçenekler ve sizi sadece beslemekle kalmayacak, aynı zamanda sizi memnun edecek bir meslek var.

Euler çemberlerini kullanarak problem çözme

Euler çemberleri kullanılarak çözülebilecek birkaç problem örneğine bakalım.

İşte bu sitede - http://logika.vobrazovanie.ru/index.php?link=kr_e.html Elena Sergeevna Sazhenina, Euler yöntemini gerektiren ilginç ve basit problemler sunuyor. Mantık ve matematik kullanarak, bunlardan birini analiz edelim.

Favori çizgi filmlerle ilgili sorun

Altıncı sınıf öğrencileri, en sevdikleri çizgi filmlerle ilgili sorular içeren bir anket doldurdu. Çoğunun Pamuk Prenses ve Yedi Cüceler, Sünger Bob Kare Pantolon ve Kurt ve Buzağı'yı sevdiği ortaya çıktı. Sınıfta 38 öğrenci var. Pamuk Prenses ve Yedi Cüceler gibi 21 öğrenci. Ve üçü de "Kurt ve Buzağı", altısı - "Sünger Bob Kare Pantolon" gibi ve bir çocuk üç çizgi filmi de eşit derecede seviyor. Kurt ve Buzağı'nın 13 hayranı var, bunlardan beşi profilinde iki çizgi film adını taşıyor. SpongeBob SquarePants gibi altıncı sınıf öğrencilerinin sayısını belirlememiz gerekiyor.

Çözüm:

Problemin şartlarına göre üç kümemiz olduğu için üç daire çiziyoruz. Ve erkeklerin cevaplarına göre, kümelerin birbiriyle kesiştiği ortaya çıktığından, çizim şöyle görünecek:

"Kurt ve Buzağı" karikatürünün hayranları arasındaki sorunun şartlarına göre, beş adamın aynı anda iki çizgi film seçtiğini hatırlıyoruz:

Şekline dönüştü:

21 - 3 - 6 - 1 = 11 - adamlar sadece Pamuk Prenses ve Yedi Cüceleri seçtiler.

13 - 3 - 1 - 2 = 7 - adamlar sadece Kurt ve Buzağı izliyor.

Sadece kaç tane altıncı sınıf öğrencisinin "Sünger Bob Kare Pantolon" karikatürünü diğer iki seçeneğe tercih ettiğini bulmak için kalır. Toplam öğrenci sayısından, diğer iki çizgi filmi seven veya birkaç seçenek seçenleri çıkarıyoruz:

38 - (11 + 3 + 1 + 6 + 2 + 7) = 8 - insanlar sadece SpongeBob Kare Pantolon izliyor.

Şimdi elde edilen tüm sayıları güvenle toplayabilir ve şunu bulabiliriz:

çizgi film "Sünger Bob KarePantolon" 8+2+1+6=17 kişi tarafından seçilmiştir. Bu, problemde sorulan sorunun cevabıdır.

Ve ayrıca düşünelim görev 2011 yılında bilgisayar bilimi ve ICT'de USE gösteri testinden çıkarılmış olan (kaynak - http://eileracrugi.narod.ru/index/0-6).

Sorunun koşulları:

Arama motoru sorgu dilinde, "|" simgesi "VEYA" mantıksal işlemini ve "&" simgesi "VE" mantıksal işlemini belirtmek için kullanılır.

Tablo, İnternet'in belirli bir bölümü için istekleri ve bunlarda bulunan sayfa sayısını gösterir.

Sorgu	Bulunan sayfalar (bin olarak)
kruvazör | savaş gemisi	7000
kruvazör	4800
savaş gemisi	4500

İstek üzerine kaç sayfa (bin olarak) bulunacak Kruvazör ve Savaş Gemisi?

Tüm soruların neredeyse aynı anda yürütüldüğü varsayılır, böylece tüm arama sözcüklerini içeren sayfalar, sorguların yürütülmesi sırasında değişmez.

Çözüm:

Euler çemberlerinin yardımıyla problemin koşullarını temsil ediyoruz. Bu durumda, ortaya çıkan alanları belirtmek için 1, 2 ve 3 rakamlarını kullanırız.

Sorunun koşullarına dayanarak, denklemleri oluştururuz:

1. kruvazör | Savaş Gemisi: 1 + 2 + 3 = 7000
2. Kruvazör: 1 + 2 = 4800
3. Savaş Gemisi: 2 + 3 = 4500

Bulmak Kruvazör ve Savaş Gemisi(çizimde alan 2 olarak gösterilmiştir), denklem (2)'yi denklem (1)'de değiştirin ve şunu bulun:

4800 + 3 = 7000, buradan 3 = 2200 elde ederiz.

Şimdi bu sonucu denklem (3) ile değiştirebiliriz ve şunu bulabiliriz:

2 + 2200 = 4500, buradan 2 = 2300.

Cevap: 2300 - istek üzerine bulunan sayfa sayısı Kruvazör ve Savaş Gemisi.

Gördüğünüz gibi, Euler'in çemberleri, ilk bakışta oldukça karmaşık veya basitçe kafa karıştırıcı sorunları bile hızlı ve kolay bir şekilde çözmeye yardımcı olur.

Çözüm

Euler'in çemberlerinin sadece eğlenceli ve ilginç bir şey değil, aynı zamanda çok faydalı bir problem çözme yöntemi olduğuna sizi ikna etmeyi başardığımıza inanıyorum. Ve sadece okul derslerinde soyut görevler değil, aynı zamanda oldukça günlük problemler. Örneğin, gelecekteki bir mesleği seçmek.

Modern popüler kültürde Euler'in çevrelerinin sadece memler biçiminde değil, aynı zamanda popüler TV dizilerinde de yansıtıldığını bilmek muhtemelen merak edeceksiniz. "The Big Bang Theory" ve "4isla" gibi.

Sorunları çözmek için bu yararlı ve görsel yöntemi kullanın. Ve arkadaşlarınıza ve sınıf arkadaşlarınıza bundan bahsettiğinizden emin olun. Bunun için yazının altında özel butonlar bulunmaktadır.

site, materyalin tamamen veya kısmen kopyalanmasıyla, kaynağa bir bağlantı gereklidir.