Düz. Düz bir çizginin denklemi

Denklemler eğriler bolİktisat literatürünü okurken, bu eğrilerden bazılarına işaret edelim.

kayıtsızlık eğrisi - tüketici için aynı tüketici değerine veya faydasına sahip iki ürünün çeşitli kombinasyonlarını gösteren bir eğri.

Tüketici Bütçe Eğrisi bir tüketicinin para gelirinin belirli bir düzeyinde satın alabileceği iki malın farklı miktar kombinasyonlarını gösteren bir eğridir.

Üretim İmkanı Eğrisi - sabit kaynak stokları ve değişmeyen teknoloji ile bir ekonomide tam istihdam ve tam çıktıda üretilebilecek iki mal veya hizmetin çeşitli kombinasyonlarını gösteren bir eğri.

Yatırım talep eğrisi - faiz oranı dinamiklerini ve farklı faiz oranlarındaki yatırım hacmini gösteren bir eğri.

Phillips eğrisi- işsizlik oranı ile enflasyon oranı arasında istikrarlı bir ilişkinin varlığını gösteren bir eğri.

Laffer eğrisi- vergi oranları ile vergi gelirleri arasındaki ilişkiyi gösteren, vergi gelirlerinin maksimuma ulaştığı böyle bir vergi oranını ortaya koyan bir eğri.

Terimlerin basit bir şekilde sıralanması bile ekonomistler için grafikler oluşturabilmenin ve düz çizgiler ve ikinci dereceden eğriler olan daire, elips, hiperbol, parabol gibi eğrilerin denklemlerini analiz edebilmenin ne kadar önemli olduğunu gösterir. Ek olarak, büyük bir problem sınıfını çözerken, denklemleri verilen bazı eğrilerle sınırlanan düzlemde bir alan seçmek gerekir.Çoğu zaman, bu problemler şu şekilde formüle edilir: verilen kaynaklar için en iyi üretim planını bulun. Kaynakların tahsisi genellikle denklemleri verilen eşitsizlikler şeklini alır. Bu nedenle, kişi en büyüğünü veya en küçük değer eşitsizlikler sisteminin denklemleri tarafından verilen bölgede bazı fonksiyonlar tarafından alınır.

Analitik geometride uçaktaki çizgi koordinatları denklemi karşılayan noktalar kümesi olarak tanımlanır F(x,y)=0. Bu durumda, F fonksiyonuna kısıtlamalar getirilmelidir, böylece bir yandan bu denklem sonsuz kümeçözümler ve öte yandan, bu çözüm kümesinin bir “düzlem parçasını” doldurmadığı. Önemli bir doğru sınıfı, F(x,y) fonksiyonunun iki değişkenli bir polinom olduğu ve bu durumda F(x,y)=0 denklemi tarafından tanımlanan doğruya çağrılan doğrulardır. cebirsel. Birinci dereceden denklemin verdiği cebirsel doğrular düz doğrulardır. Sonsuz sayıda çözümü olan ikinci dereceden bir denklem, bir elips, hiperbol, parabol veya iki düz çizgiye ayrılan bir çizgi tanımlar.

Düzlemde dikdörtgen bir Kartezyen koordinat sistemi verilsin. Bir düzlemdeki düz bir çizgi, denklemlerden biri ile verilebilir:

10. Düz bir çizginin genel denklemi

Balta + By + C = 0. (2.1)

Vektör n(А,В) düz bir çizgiye diktir, A ve B sayıları aynı anda sıfıra eşit değildir.

20. Eğimli Doğru Denklemi

y - y o = k (x - x o), (2.2)

burada k düz çizginin eğimidir, yani k = tg bir , nerede bir - düz çizginin Оx, M (x o , y o) ekseni ile oluşturduğu açının değeri - düz çizgiye ait bir nokta.

M(0,b) çizginin Oy ekseni ile kesişme noktası ise Denklem (2.2) y = kx + b şeklini alır.

otuz Segmentlerde düz bir çizginin denklemi

x/a + y/b = 1, (2.3)

burada a ve b, koordinat eksenlerinde düz bir çizgi ile kesilen segmentlerin değerleridir.

40. Verilen iki noktadan geçen doğrunun denklemi A(x 1 , y 1) ve B(x 2 , y 2):

. (2.4)

50 . Belirli bir vektöre paralel olarak belirli bir A(x 1 , y 1) noktasından geçen düz bir çizginin denklemi a(m, n)

. (2.5)

60 . Düz bir çizginin normal denklemi

rn o - p = 0, (2.6)

nerede r bu doğrunun herhangi bir M(x, y) noktasının yarıçapıdır, n o, bu doğruya dik olan ve orijinden doğruya yönlendirilmiş bir birim vektördür; p, orijinden düz çizgiye olan mesafedir.

Koordinat formundaki normal şu ​​forma sahiptir:

x çünkü a + y sin a - p \u003d 0,

burada bir - x ekseni ile düz bir çizginin oluşturduğu açının değeri.

A (x 1, y 1) noktasında ortalanmış bir çizgi kaleminin denklemi şu şekildedir:

y-y 1 = l (x-x 1),

nerede ben ışın parametresidir. Kiriş, kesişen iki doğru A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 tarafından veriliyorsa, denklemi şu şekildedir:

l (A 1 x + B 1 y + C 1) + m (A 2 x + B 2 y + C 2)=0,

nerede l ve m aynı anda 0'a dönmeyen ışın parametreleridir.

y \u003d kx + b ve y \u003d k 1 x + b 1 çizgileri arasındaki açı aşağıdaki formülle verilir:

j = .

1 + k 1 k = 0 eşitliği doğruların dik olması için gerek ve yeter koşuldur.

İki denklem yapmak

A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, (2.7)

A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, (2.8)

aynı düz çizgiyi ayarlamak için, katsayılarının orantılı olması gerekli ve yeterlidir:

A 1 / A 2 = B 1 / B 2 = C 1 / C 2.

Denklemler (2.7), (2.8), A 1 /A 2 = B 1 /B 2 ve B 1 /B 2 ise iki farklı paralel çizgi tanımlar¹ Cı/C2; A 1 /A 2 ise çizgiler kesişir¹B1/B2.

M o (x o, y o) noktasından düz çizgiye olan d mesafesi, M o noktasından düz çizgiye çizilen dikmenin uzunluğudur. Doğru bir normal denklemle veriliyorsa, o zaman d =ê r hakkında n o - rê , nerede r o, M o noktasının yarıçap vektörüdür veya koordinat formunda, d =ê x o cos a + y o sin a - rê .

İkinci dereceden eğrinin genel denklemi şu şekildedir:

a 11 x 2 + 2a 12 xy + a 22 y 2 + 2a 1 x +2a 2 y + a = 0.

Denklemin katsayıları arasında a 11 , a 12 , a 22'nin sıfırdan farklı olduğu varsayılır.

Merkezi C(a, b) noktasında olan ve yarıçapı R'ye eşit olan bir çemberin denklemi:

(x - a) 2 + (y - b) 2 = R2 . (2.9)

ElipsF 1 ve F 2 (odaklar) verilen iki noktadan uzaklıklarının toplamı 2a'ya eşit sabit bir değer olan noktaların yeri denir.

Bir elipsin kanonik (en basit) denklemi

x 2 /a 2 + y 2 /a 2 = 1. (2.10)

Denklem (2.10) ile verilen elips, koordinat eksenlerine göre simetriktir. Seçenekler a ve b isminde aks milleri elips.

a>b olsun, o zaman F 1 ve F 2 odakları Öküz ekseni üzerindedir.
c= orijinden. c/a oranı = e < 1 называется eksantriklik elips. Elipsin M(x, y) noktasından odaklarına olan mesafeler (odak yarıçapı vektörleri) aşağıdaki formüllerle belirlenir:

r 1 \u003d a - e x, r 2 \u003d a + e x.

Eğer bir< b, то фокусы находятся на оси Оy, c= , e = c/b,
r 1 \u003d b + e x, r 2 \u003d b - e x.

a = b ise, o zaman elips, yarıçapın başlangıç ​​noktasında merkezli bir dairedir. a.

abartmaF 1 ve F 2 (odaklar) verilen iki noktadan uzaklıklarının farkı mutlak değer olarak verilen 2a sayısına eşit olan noktaların yeri denir.

Bir hiperbolün kanonik denklemi

x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1. (2.11)

Denklem (2.11) ile verilen hiperbol, koordinat eksenlerine göre simetriktir. Öküz eksenini hiperbolün köşeleri olan A (a,0) ve A (-a,0) noktalarında keser ve Oy eksenini kesmez. Parametre a isminde gerçek yarı eksen, b -hayali eksen. c= parametresi, odaktan orijine olan mesafedir. c/a oranı = e >1 denir eksantriklik abartı Denklemleri y = olan düz çizgiler± b/a x denir asimptotlar abartı Hiperbolün M(x,y) noktasından odaklarına olan mesafeler (odak yarıçapı vektörleri) aşağıdaki formüllerle belirlenir:

r 1 = ê e x - a ê , r 2 = ê e x + a ê .

a = b olan bir hiperbol denir eşkenar, denklemi x 2 - y 2 \u003d a 2 ve asimptotların denklemi y \u003d± x. Hiperboller x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 ve
y 2 /b 2 - x 2 /a 2 = 1 denir eşlenik.

parabolbelirli bir noktadan (odak) ve belirli bir çizgiden (doğrultma) eşit uzaklıktaki noktaların yeridir.

Bir parabolün kanonik denkleminin iki biçimi vardır:

1) y 2 \u003d 2px - parabol Öküz eksenine göre simetriktir.

2) x 2 \u003d 2py - parabol Oy eksenine göre simetriktir.

Her iki durumda da p>0 ve parabolün tepe noktası yani simetri ekseni üzerinde uzanan nokta orijinde yer almaktadır.

Denklemi y 2 = 2рx olan bir parabolün odağı F(р/2,0) ve doğrultmanı x = - р/2, üzerinde M(x, y) noktasının odak yarıçapı vektörü r = x+ р/2.

Denklemi x 2 =2py olan parabolün odak noktası F(0, p/2) ve doğrultmanı y = - p/2; parabolün M(x, y) noktasının odak yarıçap vektörü r = y + p/2'dir.

F(x, y) = 0 denklemi, düzlemi iki veya daha fazla parçaya bölen bir çizgiyi tanımlar. Bu parçalardan birinde, F(x, y) eşitsizliği<0, а в других - неравенство F(x, y)>0. Başka bir deyişle, satır
F(x, y)=0, düzlemin F(x, y)>0 olduğu kısmını, F(x, y) olduğu kısımdan ayırır.<0.

Denklemi Ax+By+C = 0 olan düz çizgi, düzlemi iki yarım düzleme böler. Uygulamada, Ax + By + C'nin hangi yarım düzlemde olduğunu bulmak için<0, а в какой Ax+By+C>0, kesme noktası yöntemini uygulayın. Bunu yapmak için, bir kontrol noktası alın (elbette, denklemi Ax + By + C = 0 olan düz bir çizgi üzerinde uzanmayan) ve bu noktada Ax + By + C ifadesinin hangi işarete sahip olduğunu kontrol edin. Aynı işaret, kontrol noktasının bulunduğu tüm yarım düzlemde belirtilen ifadeye sahiptir. İkinci yarı düzlemde Ax+By+C zıt işaretlidir.

İki bilinmeyenli doğrusal olmayan eşitsizlikler de aynı şekilde çözülür.

Örneğin, x 2 -4x+y 2 +6y-12 > 0 eşitsizliğini çözelim. (x-2) 2 + (y+3) 2 - 25 > 0 şeklinde yeniden yazılabilir.

(x-2) 2 + (y+3) 2 - 25 = 0 denklemi, merkezi C(2,-3) noktasında ve yarıçapı 5 olan bir daireyi tanımlar. Daire, düzlemi iki parçaya ayırır - iç ve dış. Bu eşitsizliğin hangilerinde olduğunu bulmak için iç bölgede, örneğin dairemizin merkezi C(2,-3)'de bir kontrol noktası alıyoruz. C noktasının koordinatlarını eşitsizliğin sol tarafına koyarsak, -25 negatif bir sayı elde ederiz. Dolayısıyla çemberin içinde kalan tüm noktalarda eşitsizlik
x 2 -4x+y 2 +6y-12< 0. Отсюда следует, что данное неравенство имеет место во внешней для окружности области.

Örnek 1.5.A(3,1) noktasından geçen ve 2x+3y-1 = 0 doğrusuna 45 o açı yapan doğruların denklemlerini yazınız.

Karar.y=kx+b şeklinde arayacağız. Doğru A noktasından geçtiği için koordinatları doğrunun denklemini sağlar, yani 1=3k+b,Þ b=1-3k. Çizgiler arasındaki açı
y= k 1 x+b 1 ve y= kx+b tg formülü ile tanımlanır j = . 2x+3y-1=0 orijinal doğrusunun k 1 eğimi - 2/3 olduğundan ve açı j = 45 o , o zaman k'yi belirlemek için bir denklemimiz var:

(2/3 + k)/(1 - 2/3k) = 1 veya (2/3 + k)/(1 - 2/3k) = -1.

İki k değerimiz var: k 1 = 1/5, k 2 = -5. b=1-3k formülüne göre b'nin karşılık gelen değerlerini bularak, denklemleri x - 5y + 2 = 0 olan iki istenen çizgiyi elde ederiz.
5x + y - 16 = 0.

Örnek 1.6. parametrenin hangi değerinde t 3tx-8y+1 = 0 ve (1+t)x-2ty = 0 denklemleri paralel olan doğrular?

Karar.Genel denklemler tarafından verilen düz çizgiler, katsayılar paralel ise x ve y orantılı, yani 3t/(1+t) = -8/(-2t). Ortaya çıkan denklemi çözerek, buluruz t: t 1 \u003d 2, t 2 \u003d -2/3.

Örnek 1.7. İki çemberin ortak kirişinin denklemini bulun:
x 2 +y 2 =10 ve x 2 +y 2 -10x-10y+30=0.

Karar.Dairelerin kesişme noktalarını bulun, bunun için denklem sistemini çözüyoruz:

.

İlk denklemi çözerek x 1 \u003d 3, x 2 \u003d 1 değerlerini buluyoruz. İkinci denklemden - karşılık gelen değerler y: y 1 \u003d 1, y 2 \u003d 3. Şimdi bu hatta ait iki A (3,1) ve B (1,3) noktasını bilerek ortak bir akorun denklemini elde ediyoruz: (y-1) / (3-1) \u003d (x-3)/(1-3) veya y+ x - 4 = 0.

Örnek 1.8. Koordinatları (x-3) 2 + (y-3) 2 koşullarını sağlayan düzlemde noktalar nasıl bulunur?< 8, x >sen?

Karar.Sistemin ilk eşitsizliği çemberin içini tanımlar, sınır hariç, yani merkezi nokta (3,3) ve yarıçapı olan daire. İkinci eşitsizlik, denklemi x = y olan bir düz çizgi tarafından tanımlanan bir yarım düzlemi tanımlar ve eşitsizlik kesin olduğundan, düz çizginin noktalarının kendisi yarım düzleme ait değildir ve bu düz çizginin altındaki tüm noktalar çizgi yarım düzleme aittir. Her iki eşitsizliği de sağlayan noktalar aradığımız için, istenen alan yarım dairenin içidir.

Örnek 1.9.Denklemi x 2 / a 2 + y 2 / b 2 \u003d 1 olan bir elipsin içine yazılmış bir karenin kenarının uzunluğunu hesaplayın.

Karar.İzin vermek M(s,s)- ilk çeyrekte uzanan karenin tepe noktası. O zaman karenin bir kenarı 2 olur. İle. Çünkü nokta M elipse aittir, koordinatları elipsin c 2 /a 2 + c 2 /b 2 = 1 denklemini sağlar, bu nedenle
c = ab/ ; yani karenin kenarı 2ab/ .

Örnek 1.10.y = hiperbolünün asimptot denklemini bilmek± 0,5 x ve noktalarından biri M (12, 3), bir hiperbolün denklemini çizin.

Karar.Hiperbolün kanonik denklemini yazıyoruz: x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1. Hiperbolün asimptotları y = denklemleriyle verilir.± 0,5 x, öyleyse b/a = 1/2, dolayısıyla a=2b. Çünkü M- hiperbolün noktası, o zaman koordinatları hiperbolün denklemini sağlar, yani 144/a 2 - 27/b 2 = 1. a = 2b verildiğinde, b'yi buluruz: b 2 =9Þ b=3 ve a=6. O halde hiperbolün denklemi x 2 /36 - y 2 /9 = 1'dir.

Örnek 1.11.Doğru kenarın uzunluğunu hesaplayın ABC üçgeni, parametreli bir parabol içine yazılmış R, A noktasının parabolün tepe noktasıyla çakıştığını varsayarsak.

Karar.Parametreli bir parabolün kanonik denklemi R y 2 = 2рx biçimindedir, tepe noktası orijine denk gelir ve parabol x eksenine göre simetriktir. AB doğrusu Öküz ekseni ile 30° açı yaptığından doğrunun denklemi: y = x olur. çok sayıda çizelge

Bu nedenle, B noktasının koordinatlarını y 2 =2px, y = x, dolayısıyla x = 6p, y = 2p denklem sistemini çözerek bulabiliriz. Dolayısıyla A(0,0) ve B(6p,2p) noktaları arasındaki uzaklık 4p'dir.

Öklid geometrisinde düz bir çizginin özellikleri.

Herhangi bir noktadan çizilebilecek sonsuz sayıda çizgi vardır.

Çakışmayan herhangi iki noktadan geçen yalnızca bir düz çizgi vardır.

Düzlemde çakışmayan iki doğru ya tek bir noktada kesişir ya da

paralel (bir öncekinden sonra gelir).

3B uzayda üç seçenek vardır. göreceli konum iki düz çizgi:

• çizgiler kesişir;

• düz çizgiler paraleldir;

• düz çizgiler kesişir.

Düz astar- birinci dereceden cebirsel eğri: Kartezyen koordinat sisteminde düz bir çizgi

düzlemde birinci dereceden bir denklemle (doğrusal denklem) verilir.

Doğrunun genel denklemi.

Tanım. Düzlemdeki herhangi bir çizgi birinci dereceden bir denklemle verilebilir.

Ah + Wu + C = 0,

ve sabit A, B aynı anda sıfıra eşit değil. Bu birinci dereceden denklem denir genel

düz çizgi denklemi. Sabitlerin değerlerine bağlı olarak A, B ve İTİBAREN Aşağıdaki özel durumlar mümkündür:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- çizgi orijinden geçer

. A = 0, B ≠0, C ≠0 ( By + C = 0)- eksene paralel düz çizgi ey

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C = 0)- eksene paralel düz çizgi kuruluş birimi

. B = C = 0, A ≠ 0- çizgi eksenle çakışıyor kuruluş birimi

. A = C = 0, B ≠ 0- çizgi eksenle çakışıyor ey

Düz bir çizginin denklemi şu şekilde temsil edilebilir: çeşitli formlar verilen herhangi birine bağlı olarak

başlangıç ​​koşulları.

Düz bir çizginin bir nokta ve bir normal vektör ile denklemi.

Tanım. Kartezyen dikdörtgen koordinat sisteminde, bileşenleri (A, B) olan bir vektör

çizgiye dik denklem tarafından verilen

Ah + Wu + C = 0.

Misal. Bir noktadan geçen doğrunun denklemini bulunuz. Bir(1, 2) vektöre dik (3, -1).

Karar. A \u003d 3 ve B \u003d -1'de düz çizginin denklemini oluşturalım: 3x - y + C \u003d 0. C katsayısını bulmak için

verilen A noktasının koordinatlarını sonuç ifadesinde yerine koyarız: 3 - 2 + C = 0, dolayısıyla elde ederiz

C = -1. Toplam: istenen denklem: 3x - y - 1 \u003d 0.

İki noktadan geçen doğrunun denklemi.

Uzayda iki nokta verilsin M 1 (x 1 , y 1 , z 1) ve M2 (x 2, y 2 , z 2), o zamanlar düz çizgi denklemi,

bu noktalardan geçerek:

Paydalardan herhangi biri sıfıra eşitse, karşılık gelen pay sıfıra eşitlenmelidir. Açık

düzlem, yukarıda yazılı bir düz çizginin denklemi basitleştirilmiştir:

Eğer x 1 ≠ x 2 ve x = x 1, Eğer x 1 = x 2 .

kesir = k isminde eğim faktörü dümdüz.

Misal. A(1, 2) ve B(3, 4) noktalarından geçen doğrunun denklemini bulunuz.

Karar. Yukarıdaki formülü uygulayarak şunu elde ederiz:

Düz bir çizginin bir nokta ve bir eğimle denklemi.

Doğrunun genel denklemi ise Ah + Wu + C = 0 forma getir:

ve belirlemek , daha sonra elde edilen denklem denir

eğimi k olan bir doğrunun denklemi.

Bir nokta üzerindeki doğrunun denklemi ve yönlendirici vektör.

Normal vektör üzerinden düz bir çizginin denklemini göz önünde bulundurarak noktaya benzeterek, göreve girebilirsiniz.

bir noktadan geçen düz bir çizgi ve düz bir çizginin yön vektörü.

Tanım. Her sıfır olmayan vektör (α 1 , α 2), bileşenleri koşulu sağlayan

Aα 1 + Ba 2 = 0 isminde doğrunun yön vektörü.

Ah + Wu + C = 0.

Misal. Yön vektörü (1, -1) olan ve A(1, 2) noktasından geçen doğrunun denklemini bulunuz.

Karar. İstenen düz çizginin denklemini şu şekilde arayacağız: Balta + By + C = 0. Tanıma göre,

katsayılar aşağıdaki koşulları karşılamalıdır:

1 * A + (-1) * B = 0, yani A = B

O zaman düz bir çizginin denklemi şu şekilde olur: Balta + Ay + C = 0, veya x + y + C / A = 0.

de x=1, y=2 alırız C / Bir = -3, yani istenen denklem:

x + y - 3 = 0

Parçalarda düz bir çizginin denklemi.

Düz çizginin genel denkleminde Ah + Wu + C = 0 C≠0 ise, -C'ye bölerek şunu elde ederiz:

veya , nerede

Katsayıların geometrik anlamı, a katsayısının kesişme noktasının koordinatı olmasıdır.

aks ile düz Ey, a b- çizginin eksenle kesiştiği noktanın koordinatı OU.

Misal. Düz bir çizginin genel denklemi verilir x - y + 1 = 0. Parçalardaki bu düz çizginin denklemini bulun.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

normal denklem dümdüz.

Denklemin her iki tarafı ise Ah + Wu + C = 0 sayıya göre bölme , denilen

normalleştirici faktör, sonra alırız

xcosφ + ysinφ - p = 0 -düz bir çizginin normal denklemi.

Normalleştirme faktörünün ± işareti seçilmelidir, öyle ki μ * C< 0.

R- orijinden doğruya düşen dikmenin uzunluğu,

a φ - eksenin pozitif yönü ile bu dikey tarafından oluşturulan açı Ey.

Misal. Düz bir çizginin genel denklemi verildiğinde 12x - 5y - 65 = 0. Yazmak için gerekli farklı şekiller denklemler

bu düz çizgi

Segmentlerdeki bu düz çizginin denklemi:

Bu doğrunun eğim ile denklemi: (5'e bölün)

Düz bir çizginin denklemi:

çünkü φ = 12/13; günah φ= -5/13; p=5.

Her düz çizginin segmentlerdeki bir denklemle temsil edilemeyeceğine dikkat edilmelidir, örneğin düz çizgiler,

eksenlere paralel veya orijinden geçen.

Düzlemdeki çizgiler arasındaki açı.

Tanım. İki satır verilirse y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2, o zamanlar keskin köşe bu satırlar arasında

olarak tanımlanacak

İki çizgi paralel ise k1 = k2. 2 düz çizgiler diktir,

Eğer k 1 \u003d -1 / k 2 .

teorem.

doğrudan Ah + Wu + C = 0 ve A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 katsayılar orantılı olduğunda paraleldir

A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB. ayrıca С 1 \u003d λС, ardından çizgiler çakışır. İki doğrunun kesiştiği noktanın koordinatları

bu doğruların denklem sisteminin çözümü olarak bulunur.

Belirli bir noktadan geçen doğrunun denklemi, verilen doğruya diktir.

Tanım. Bir noktadan geçen doğru M 1 (x 1, y 1) ve çizgiye dik y = kx + b

denklem ile temsil edilir:

Bir noktadan bir çizgiye olan mesafe.

teorem. puan verilirse M(x 0, y 0), sonra çizgiye olan mesafe Ah + Wu + C = 0şu şekilde tanımlanır:

Kanıt. nokta olsun M 1 (x 1, y 1)- dikmenin tabanı noktadan düştü M verilen için

doğrudan. Daha sonra noktalar arasındaki mesafe M ve M 1:

(1)

koordinatlar x 1 ve 1 denklem sisteminin bir çözümü olarak bulunabilir:

Sistemin ikinci denklemi, belirli bir M 0 noktasından dik olarak geçen düz bir çizginin denklemidir.

verilen hat. Sistemin ilk denklemini şu forma dönüştürürsek:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

sonra çözerek şunu elde ederiz:

Bu ifadeleri denklem (1)'de değiştirerek şunu buluruz:

Teorem kanıtlanmıştır.

K(x 0; y 0) noktasından geçen ve y = kx + a doğrusuna paralel olan doğru şu formülle bulunur:

y - y 0 \u003d k (x - x 0) (1)

Burada k, düz çizginin eğimidir.

Alternatif formül:
M 1 (x 1 ; y 1) noktasından geçen ve Ax+By+C=0 doğrusuna paralel olan doğru şu eşitlikle gösterilir:

A(x-x 1)+B(y-y 1)=0 . (2)

Örnek 1. M 0 (-2.1) noktasından geçen düz bir çizginin denklemini oluşturun ve aynı zamanda:
a) düz çizgiye paralel 2x+3y -7 = 0;
b) 2x+3y -7 = 0 doğrusuna dik.
Karar . Eğim denklemini y = kx + a olarak gösterelim. Bunun için y dışındaki tüm değerleri sağ tarafa aktaracağız: 3y = -2x + 7 . Sonra sağ tarafı katsayıya böleriz 3 . Şunu elde ederiz: y = -2/3x + 7/3
y = -2 / 3 x + 7 / 3 doğrusuna paralel K(-2;1) noktasından geçen NK denklemini bulun
x 0 \u003d -2, k \u003d -2 / 3, y 0 \u003d 1'i değiştirerek şunu elde ederiz:
y-1 = -2 / 3 (x-(-2))
veya
y = -2 / 3 x - 1 / 3 veya 3y + 2x +1 = 0

Örnek 2. 2x + 5y = 0 doğrusuna paralel olan ve koordinat eksenleriyle birlikte alanı 5 olan bir üçgen oluşturan doğrunun denklemini yazınız.
Karar . Doğrular paralel olduğu için gerekli doğrunun denklemi 2x + 5y + C = 0'dır. Alan sağ üçgen, burada a ve b bacaklarıdır. Koordinat eksenleri ile istenen çizginin kesişme noktalarını bulun:
;
.
Yani, A(-C/2,0), B(0,-C/5). Alan için formülde değiştirin: . İki çözüm elde ederiz: 2x + 5y + 10 = 0 ve 2x + 5y - 10 = 0 .

Örnek 3. (-2; 5) noktasından geçen doğru ile 5x-7y-4=0 paralel doğrusunun denklemini yazınız.
Karar. Bu düz çizgi, y = 5/7 x – 4/7 (burada a = 5/7) denklemiyle temsil edilebilir. İstenen çizginin denklemi y - 5 = 5 / 7 (x - (-2)) yani 7(y-5)=5(x+2) veya 5x-7y+45=0 .

Örnek 4. Formül (2)'yi kullanarak örnek 3'ü (A=5, B=-7) çözerek, 5(x+2)-7(y-5)=0'ı buluruz.

5 numaralı örnek. (-2;5) noktasından geçen doğru ile paralel olan 7x+10=0 doğrusunun denklemini yazınız.
Karar. Burada A=7, B=0. Formül (2) 7(x+2)=0 verir, yani x+2=0. Formül (1) uygulanamaz, çünkü bu denklem y'ye göre çözülemez (bu düz çizgi y eksenine paraleldir).

Belirli bir noktadan belirli bir yönde geçen doğrunun denklemi. Verilen iki noktadan geçen doğrunun denklemi. İki çizgi arasındaki açı. İki doğrunun paralellik ve diklik durumu. İki çizginin kesişme noktasının belirlenmesi

Çözümlü problem örnekleri

İki noktadan geçen düz bir çizginin denklemini bulun: (-1, 2) ve (2, 1).

Karar.

denkleme göre

buna inanmak x 1 = -1, y 1 = 2, x 2 = 2, y 2 \u003d 1 (hangi nokta birinci, hangisi ikinci olarak kabul edilirse edilsin), elde ederiz

sadeleştirmelerden sonra, nihayet formda istenen denklemi elde ederiz.

x + 3y - 5 = 0.

Üçgenin kenarları aşağıdaki denklemlerle verilir: (AB ) 2 x + 4 y + 1 = 0, (AC ) x - y + 2 = 0, (M.Ö ) 3 x + 4 y -12 = 0. Üçgenin köşelerinin koordinatlarını bulun.

Karar.

tepe koordinatları A yan denklemlerden oluşan bir sistemi çözerek bulun AB ve AC:

Temel cebirden bilinen yöntemleri kullanarak iki bilinmeyenli iki lineer denklem sistemini çözüyoruz ve şunu elde ediyoruz:

tepe noktası A koordinatları var

tepe koordinatları B tarafların bir denklem sistemini çözerek bulun AB ve M.Ö:

alırız

tepe koordinatları C sistemi kenarların denklemlerinden çözerek elde ederiz M.Ö ve AC:

tepe noktası C koordinatları vardır.

A (2, 5) 3. hatta paralelx - 4 y + 15 = 0.

Karar.

İki çizgi paralelse, denklemlerinin her zaman yalnızca serbest terimlerle farklı olacak şekilde temsil edilebileceğini kanıtlayalım. Gerçekten de, iki çizginin paralellik durumundan şu sonuç çıkar: .

ile göster t bu ilişkilerin toplam değeri. Sonra

ve dolayısıyla bunu takip eder

A 1 = A 2 t, B 1 = B 2 t. (1)

Eğer iki satır

A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ve

A 2 x + B 2 y + C 2 = 0

paraleldir, koşullar (1) karşılanır ve bu denklemlerin ilkinde değiştirilir A 1 ve B 1 formüllere göre (1), sahip olacağız

A 2 tx + B 2 ty + C 1 = 0,

veya denklemin her iki tarafını da bölersek,

Ortaya çıkan denklemi ikinci satırın denklemi ile karşılaştırma A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, bu denklemlerin yalnızca serbest terimde farklılık gösterdiğine dikkat ediyoruz; Böylece iddiayı ispatlamış olduk. Şimdi sorunu çözmeye başlayalım. İstenen düz çizginin denklemini, bu doğrunun denkleminden sadece serbest terimle farklı olacak şekilde yazıyoruz: istenen denklemdeki ilk iki terim bu denklemden alınacak ve serbest terimi ile gösterilecek C. Daha sonra istenen denklem şeklinde yazılabilir.

3x - 4y + C = 0, (3)

ve belirlenecek C.

Denklemde (3) değeri vermek C tüm olası gerçek değerler, verilene paralel bir dizi çizgi elde ederiz. Dolayısıyla, denklem (3) bir doğrunun değil, bu doğruya paralel bütün bir doğru ailesinin denklemidir. x - 4y+ 15 = 0. Bu çizgi ailesinden, noktadan geçen çizgi seçilmelidir. A(2, 5).

Bir çizgi bir noktadan geçiyorsa, o noktanın koordinatları doğrunun denklemini sağlamalıdır. Ve böylece tanımlıyoruz C, eğer (3)'te mevcut koordinatlar yerine koyarsak x ve y nokta koordinatları A, yani x = 2, y= 5. Alırız ve C = 14.

Bulunan değer C(3)'te yerine koyarız ve istenen denklem aşağıdaki gibi yazılır:

3x - 4y + 14 = 0.

Aynı sorun başka bir şekilde çözülebilir. Paralel doğruların eğimleri birbirine eşit olduğundan ve verilen bir doğru için 3 x - 4y+ 15 = 0 eğim, o zaman istenen çizginin eğimi de eşittir.

Şimdi denklemi kullanıyoruz y - y 1 = k(x - x 1) bir dizi düz çizgi. Nokta A Düz çizginin içinden geçtiği (2, 5) bizim tarafımızdan bilinir ve bu nedenle, düz çizgilerin kaleminin denkleminde ikame edilir. y - y 1 = k(x - x 1) değerler, elde ederiz

veya basitleştirmelerden sonra 3 x - 4y+ 14 = 0, yani öncekiyle aynı.

Bir noktadan geçen doğruların denklemlerini bulunA (3, 4) 2. çizgiye 60 derecedex + 3 y + 6 = 0.

Karar.

Problemi çözmek için I ve II doğrularının eğimlerini belirlemeliyiz (şekle bakınız). Bu katsayıları sırasıyla şu şekilde gösterelim: k 1 ve k 2 ve bu düz çizginin eğimi - içinden k. Açıktır ki .

İki düz çizgi arasındaki açının tanımına dayanarak, belirli bir düz çizgi ile bir düz çizgi arasındaki açıyı belirlerken, formülde bir kesrin payını takip ederim

nokta etrafında saat yönünün tersine döndürülmesi gerektiğinden, verilen doğrunun eğimini çıkarın C I. satırla çakışana kadar.

Bunu göz önünde bulundurarak, elde ederiz

II. hat ile belirli bir doğru arasındaki açı belirlenirken, aynı kesrin payında II. hattın eğimi çıkarılmalıdır, yani k 2 , çünkü çizgi II nokta etrafında saat yönünün tersine döndürülmelidir B bu satırla çakışana kadar:

Bir noktadan geçen doğrunun denklemini bulunuz.A (5, -1) 3. çizgiye dikx - 7 y + 14 = 0.

Karar.

Eğer iki satır

A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 = 0

dik, o zaman eşitlik

A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0,

ya da aynı olan,

A 1 A 2 = -B 1 B 2 ,

ve dolayısıyla bunu takip eder

Bu ifadelerin genel anlamı şu şekilde gösterilecektir: t.

O zaman, bunu nereden takip ediyor?

A 2 = B 1 t, B 2 = -A 1 t.

Bu değerlerin değiştirilmesi A 2 ve B 2 ve ikinci düz çizginin denklemini elde ederiz

B 1 tx - A 1 ty + C 2 = 0.

veya bölerek t eşitliğin her iki tarafında, sahip olacağız

Ortaya çıkan denklemi ilk düz çizginin denklemi ile karşılaştırma

A 1 x + B 1 y + C 1 = 0,

katsayılarına sahip olduklarına dikkat edin. x ve y yer değiştirmiş ve serbest terimler farklı iken birinci ve ikinci terim arasındaki işaret ters yönde değişmiştir.

Şimdi sorunu çözmeye başlayalım. Bir doğruya dik bir doğrunun denklemini yazmak istemek 3 x - 7y+ 14 = 0, yukarıda yapılan sonuca göre şu şekilde ilerliyoruz: x ve y, ve aralarındaki eksi işareti artı işaretiyle değiştirilir, serbest terim harfle gösterilir C. hadi 7 yapalım x + 3y + C= 0. Bu denklem, 3 numaralı doğruya dik olan bir doğrular ailesinin denklemidir. x - 7y+ 14 = 0. Tanımla C noktasından istenilen çizginin geçmesi şartıyla A(5, -1). Bir çizgi bir noktadan geçiyorsa, bu noktanın koordinatlarının çizginin denklemini sağlaması gerektiği bilinmektedir. Son denklemde 5 yerine yerine koymak x ve bunun yerine -1 y, alırız

Bu değer C Son denklemde yerine koyun ve elde edin

7x + 3y - 32 = 0.

Aynı problemi farklı bir şekilde, bir çizgi kaleminin denklemini kullanarak çözüyoruz.

y - y 1 = k(x - x 1).

Bu doğrunun eğimi 3 x - 7y + 14 = 0

sonra ona dik doğrunun eğimi,

Bir çizgi kalemi denkleminde yerine koymak ve bunun yerine x 1 ve y Verilen noktanın 1 koordinatı A(5, -1), bul veya 3 y + 3 = -7x+35 ve son olarak 7 x + 3y- 32 = 0, yani öncekiyle aynı.