Komşuya karşı açı. Sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant - matematikte Birleşik Devlet Sınavı (2020) hakkında bilmeniz gereken her şey
Hayatta sıklıkla matematik problemleriyle uğraşmak zorunda kalacağız: okulda, üniversitede ve sonra çocuğumuzun tamamlamasına yardımcı oluyoruz. Ev ödevi. Belirli mesleklerdeki insanlar matematikle günlük olarak karşılaşacaklardır. Bu nedenle matematik kurallarını ezberlemek veya hatırlamakta fayda var. Bu yazıda bunlardan birine bakacağız: Dik üçgenin kenarını bulma.
Dik üçgen nedir
Öncelikle dik üçgenin ne olduğunu hatırlayalım. Sağ üçgen- Bu geometrik şekil Aynı düz çizgi üzerinde yer almayan noktaları birleştiren üç doğru parçasından oluşan bu şeklin açılarından biri 90 derecedir. Dik açıyı oluşturan kenarlara bacaklar, dik açının karşısındaki kenara ise hipotenüs adı verilir.
Dik üçgenin ayağını bulma
Bacağın uzunluğunu bulmanın birkaç yolu vardır. Bunları daha ayrıntılı olarak ele almak istiyorum.
Dik üçgenin kenarını bulmak için Pisagor teoremi
Hipotenüsü ve kenarı biliyorsak, bilinmeyen kenarın uzunluğunu Pisagor teoremini kullanarak bulabiliriz. Şöyle geliyor: “Hipotenüsün karesi toplamına eşit bacak kareleri. Formül: c²=a²+b², burada c hipotenüs, a ve b ise kenarlardır. Formülü dönüştürüyoruz ve şunu elde ediyoruz: a²=c²-b².
Örnek. Hipotenüs 5 cm, kenar ise 3 cm'dir. Formülü dönüştürüyoruz: c²=a²+b² → a²=c²-b². Sonra çözüyoruz: a²=5²-3²; a²=25-9; a²=16; a=√16; a=4 (cm).
Dik üçgenin kenarını bulmak için trigonometrik oranlar
Bir dik üçgenin diğer kenarları ve herhangi bir dar açısı biliniyorsa, bilinmeyen bir kenar da bulabilirsiniz. Bacağını bulmak için dört seçenek vardır: trigonometrik fonksiyonlar: sinüs, kosinüs, teğet, kotanjant ile. Aşağıdaki tablo sorunları çözmemize yardımcı olacaktır. Bu seçenekleri değerlendirelim.
Sinüs kullanarak dik üçgenin kenarını bulun
Bir açının sinüsü (sin), karşı tarafın hipotenüse oranıdır. Formül: sin=a/c, burada a, verilen açının karşısındaki kenardır ve c, hipotenüstür. Daha sonra formülü dönüştürüyoruz ve şunu elde ediyoruz: a=sin*c.
Örnek. Hipotenüs 10 cm, A açısı 30 derecedir. Tabloyu kullanarak A açısının sinüsünü hesaplıyoruz, 1/2'ye eşittir. Daha sonra dönüştürülmüş formülü kullanarak şunu çözeriz: a=sin∠A*c; a=1/2*10; a=5 (cm).
Kosinüs kullanarak dik üçgenin kenarını bulun
Bir açının kosinüsü (cos) oranıdır bitişik bacak hipotenüse. Formül: cos=b/c, burada b belirli bir açıya bitişik kenardır ve c hipotenüstür. Formülü dönüştürelim ve şunu elde edelim: b=cos*c.
Örnek. A açısı 60 dereceye eşittir, hipotenüs 10 cm'ye eşittir. Tabloyu kullanarak A açısının kosinüsünü hesaplıyoruz, 1/2'ye eşit. Sonra çözüyoruz: b=cos∠A*c; b=1/2*10, b=5 (cm).
Teğet kullanarak dik üçgenin kenarını bulun
Bir açının tanjantı (tg), karşı tarafın bitişik kenara oranıdır. Formül: tg=a/b, burada a, açının karşısındaki kenardır ve b, bitişik kenardır. Formülü dönüştürelim ve şunu elde edelim: a=tg*b.
Örnek. A açısı 45 dereceye eşittir, hipotenüs 10 cm'ye eşittir. Tabloyu kullanarak A açısının tanjantını hesaplıyoruz, şuna eşittir: a=tg∠A*b; a=1*10; a=10 (cm)'dir.
Kotanjant kullanarak dik üçgenin kenarını bulun
Açı kotanjantı (ctg), bitişik tarafın karşı tarafa oranıdır. Formül: ctg=b/a, burada b, açıya bitişik bacak ve karşı bacaktır. Başka bir deyişle, kotanjant "tersine çevrilmiş bir teğettir". Şunu elde ederiz: b=ctg*a.
Örnek. A açısı 30 derece, karşı kenar ise 5 cm'dir. Tabloya göre A açısının tanjantı √3'tür. Hesaplıyoruz: b=ctg∠A*a; b=√3*5; b=5√3 (cm).
Artık dik üçgende bir bacağı nasıl bulacağınızı biliyorsunuz. Gördüğünüz gibi o kadar da zor değil, asıl önemli olan formülleri hatırlamak.
Trigonometri çalışmamıza dik üçgenle başlayacağız. Bir akut açının teğet ve kotanjantının yanı sıra sinüs ve kosinüsün ne olduğunu tanımlayalım. Bu trigonometrinin temelidir.
Bunu hatırlayalım dik açı eşit bir açıdır. Başka bir deyişle, yarım dönüş açısı.
Dar açı- daha küçük.
Geniş açı- daha büyük. Böyle bir açıyla ilgili olarak "geniş" hakaret değil matematiksel bir terimdir :-)
Bir dik üçgen çizelim. Dik açı genellikle ile gösterilir. Lütfen köşenin karşısındaki tarafın aynı harfle, yalnızca küçük olarak gösterildiğini unutmayın. Böylece açının karşısındaki taraf belirlenir.
Açı karşılık gelen değerle gösterilir Yunan mektubu.
Hipotenüs Bir dik üçgenin dik açının karşısındaki kenardır.
Bacaklar- dar açıların karşısında yer alan kenarlar.
Açının karşısında uzanan bacağa denir zıt(açıya göre). Açının kenarlarından birinde yer alan diğer bacağa denir. bitişik.
Sinüs Bir dik üçgende dar açı, karşı kenarın hipotenüse oranıdır:
Kosinüs Dik üçgende dar açı - bitişik bacağın hipotenüse oranı:
Teğet dik üçgende dar açı - karşı tarafın bitişik tarafa oranı:
Başka bir (eşdeğer) tanım: bir dar açının tanjantı, açının sinüsünün kosinüsüne oranıdır:
Kotanjant dik üçgende dar açı - bitişik tarafın karşı tarafa oranı (veya aynı şekilde kosinüsün sinüse oranı):
Aşağıdaki sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant için temel ilişkilere dikkat edin. Sorunları çözerken bize faydalı olacaklar.
Bunlardan bazılarını kanıtlayalım.
1. Herhangi bir üçgenin açılarının toplamı eşittir. Araç, bir dik üçgenin iki dar açısının toplamı eşittir .
2. Bir tarafta karşı kenarın hipotenüse oranı. Öte yandan, açı nedeniyle bacak bitişik olacaktır.
Bunu anlıyoruz. Başka bir deyişle, .
3. Pisagor teoremini ele alalım: . Her iki parçayı da şuna bölelim:
Elimizde temel trigonometrik kimlik:
Böylece bir açının sinüsünü bilerek kosinüsünü bulabiliriz ve bunun tersi de geçerlidir.
4. Ana trigonometrik özdeşliğin her iki tarafını da bölerek şunu elde ederiz:
Bu, bize bir dar açının tanjantı verilirse kosinüsünü hemen bulabileceğimiz anlamına gelir.
Aynı şekilde,
Tamam, tanımları verdik ve formülleri yazdık. Peki neden hala sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjanta ihtiyacımız var?
Bunu biliyoruz herhangi bir üçgenin açılarının toplamı eşittir.
arasındaki ilişkiyi biliyoruz. partiler sağ üçgen. Bu Pisagor teoremidir: .
Bir üçgendeki iki açıyı bilerek üçüncüyü bulabileceğiniz ortaya çıktı. Bir dik üçgenin iki kenarını bilerek üçüncüsünü bulabilirsiniz. Bu, açıların kendi oranlarına ve kenarların kendilerine ait olduğu anlamına gelir. Peki, bir dik üçgende bir açıyı (dik açı hariç) ve bir kenarı biliyorsanız ancak diğer kenarları bulmanız gerekiyorsa ne yapmalısınız?
Geçmişte insanların bölgenin ve yıldızlı gökyüzünün haritasını çıkarırken karşılaştığı şey budur. Sonuçta bir üçgenin tüm kenarlarını doğrudan ölçmek her zaman mümkün değildir.
Sinüs, kosinüs ve teğet - bunlara aynı zamanda denir trigonometrik açı fonksiyonları-arasındaki ilişkileri vermek partiler Ve köşelerüçgen. Açıyı bilerek, tüm trigonometrik fonksiyonlarını özel tablolar kullanarak bulabilirsiniz. Ve bir üçgenin açılarının ve kenarlarından birinin sinüslerini, kosinüslerini ve teğetlerini bilerek gerisini bulabilirsiniz.
Ayrıca 'iyi' açılar için sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant değerlerinin bir tablosunu da çizeceğiz.
Lütfen tablodaki iki kırmızı çizgiye dikkat edin. Uygun açı değerlerinde teğet ve kotanjant mevcut değildir.
FIPI Görev Bankasındaki çeşitli trigonometri problemlerine bakalım.
1. Bir üçgende açı , dir. Bulmak .
Sorun dört saniyede çözüldü.
'den beri elimizde: .
2. Bir üçgende açı , , dir. Bulmak . , eşittir hipotenüsün yarısı.
Açıları olan ve ikizkenar olan bir üçgen. İçinde hipotenüs bacaktan kat kat daha büyüktür.
Bir açının sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjantı nedir, dik üçgeni anlamanıza yardımcı olacaktır.
Dik üçgenin kenarlarına ne denir? Aynen öyle, hipotenüs ve bacaklar: hipotenüs dik açının karşısındaki kenardır (örneğimizde bu \(AC\) kenarıdır); bacaklar kalan iki taraf \(AB\) ve \(BC\)'dir (bitişik olanlar) dik açı) ve eğer bacakları \(BC\) açısına göre düşünürsek, o zaman \(AB\) bacağı bitişik bacaktır ve \(BC\) bacağı da bunun tersidir. Şimdi şu soruyu cevaplayalım: Bir açının sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjantı nedir?
Açının sinüsü– bu, karşı (uzak) bacağın hipotenüse oranıdır.
Üçgenimizde:
\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]
Açının kosinüsü– bu, bitişik (yakın) bacağın hipotenüse oranıdır.
Üçgenimizde:
\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]
Açının tanjantı– bu, karşı (uzak) tarafın bitişik (yakın) tarafa oranıdır.
Üçgenimizde:
\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]
Açının kotanjantı– bu, bitişik (yakın) bacağın karşıt (uzak) bacağına oranıdır.
Üçgenimizde:
\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]
Bu tanımlar gerekli Unutma! Hangi bacağın neye bölüneceğini hatırlamayı kolaylaştırmak için bunu açıkça anlamalısınız. teğet Ve kotanjant yalnızca bacaklar oturur ve hipotenüs yalnızca sinüs Ve kosinüs. Ve sonra bir çağrışımlar zinciri oluşturabilirsiniz. Örneğin, bu:
Kosinüs→dokunma→dokunma→bitişik;
Kotanjant → dokunma → dokunma → bitişik.
Her şeyden önce, bir üçgenin kenarlarının oranları bu kenarların uzunluklarına (aynı açıda) bağlı olmadığından sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjantın olduğunu hatırlamanız gerekir. Bana inanmıyor musun? Daha sonra resme bakarak emin olun:
Örneğin \(\beta \) açısının kosinüsünü düşünün. Tanım gereği, bir \(ABC\) üçgeninden: \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \) ancak \(\beta \) açısının kosinüsünü \(AHI \) üçgeninden hesaplayabiliriz: \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Görüyorsunuz, kenarların uzunlukları farklı ama bir açının kosinüsünün değeri aynı. Dolayısıyla sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant değerleri yalnızca açının büyüklüğüne bağlıdır.
Tanımları anlıyorsanız, devam edin ve bunları pekiştirin!
Aşağıdaki şekilde gösterilen \(ABC \) üçgeni için şunu buluruz: \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).
\(\begin(array)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0,8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0,6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0,75\end(array) \)
Peki, anladın mı? O halde kendiniz deneyin: \(\beta \) açısı için de aynısını hesaplayın.
Cevaplar: \(\sin \ \beta =0,6;\ \cos \ \beta =0,8;\ tg\ \beta =0,75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).
Birim (trigonometrik) daire
Derece ve radyan kavramlarını anlayarak yarıçapı \(1\)'e eşit olan bir daire düşündük. Böyle bir daireye denir Bekar. Trigonometri çalışırken çok faydalı olacaktır. Bu nedenle biraz daha detaylı bakalım.
Gördüğünüz gibi bu daire Kartezyen koordinat sistemine göre inşa edilmiştir. Çemberin yarıçapı bire eşittir, çemberin merkezi koordinatların başlangıç noktasında yer alırken, yarıçap vektörünün başlangıç konumu \(x\) ekseninin pozitif yönü boyunca sabittir (örneğimizde bu yarıçaptır (AB\)).
Çember üzerindeki her nokta iki sayıya karşılık gelir: \(x\) ekseni boyunca koordinat ve \(y\) ekseni boyunca koordinat. Nedir bu koordinat numaraları? Ve genel olarak, bunların elimizdeki konuyla ne ilgisi var? Bunu yapmak için, dikkate alınan dik üçgeni hatırlamamız gerekir. Yukarıdaki şekilde iki tam dik üçgeni görüyorsunuz. \(ACG\) üçgenini düşünün. \(CG\), \(x\) eksenine dik olduğundan dikdörtgendir.
\(ACG \) üçgeninden \(\cos \ \alpha \) nedir? Bu doğru \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). Ayrıca \(AC\)'nin birim çemberin yarıçapı olduğunu biliyoruz, yani \(AC=1\) . Bu değeri kosinüs formülümüzde yerine koyalım. İşte olanlar:
\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).
\(ACG \) üçgeninden \(\sin \ \alpha \) neye eşittir? Tabii ki \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)\)! \(AC\) yarıçapının değerini bu formülde değiştirin ve şunu elde edin:
\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)
Peki çembere ait \(C\) noktasının koordinatlarının ne olduğunu söyleyebilir misiniz? Peki, mümkün değil mi? Peki ya \(\cos \ \alpha \) ve \(\sin \alpha \)'nin yalnızca sayı olduğunu fark ederseniz? \(\cos \alpha \) hangi koordinata karşılık gelir? Tabii ki koordinat \(x\)! Peki \(\sin \alpha \) hangi koordinata karşılık gelir? Doğru, \(y\) koordinatı! Yani asıl nokta \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).
O halde \(tg \alpha \) ve \(ctg \alpha \) neye eşittir? Aynen öyle, teğet ve kotanjantın karşılık gelen tanımlarını kullanalım ve şunu elde edelim \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), A \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).
Ya açı daha büyükse? Örneğin bu resimdeki gibi:
Neler değişti bu örnekte? Hadi çözelim. Bunu yapmak için tekrar dik üçgene dönelim. Bir dik üçgen düşünün \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : açı (açıya komşu olarak \(\beta \) ). Bir açı için sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantın değeri nedir? \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? Doğru, trigonometrik fonksiyonların ilgili tanımlarına uyuyoruz:
\(\begin(array)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\angle ((C) )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1) ))G)=\dfrac(x)(y)\end(dizi) \)
Gördüğünüz gibi açının sinüs değeri hala \(y\) koordinatına karşılık geliyor; açının kosinüsünün değeri – koordinatı \(x\) ; ve karşılık gelen oranlara teğet ve kotanjant değerleri. Dolayısıyla bu ilişkiler yarıçap vektörünün herhangi bir dönüşüne uygulanır.
Yarıçap vektörünün başlangıç konumunun \(x\) ekseninin pozitif yönü boyunca olduğundan daha önce bahsedilmişti. Şu ana kadar bu vektörü saat yönünün tersine döndürdük ama saat yönünde döndürürsek ne olur? Olağanüstü bir şey yok, ayrıca belli bir değerde bir açı elde edeceksiniz, ancak yalnızca negatif olacaktır. Böylece, yarıçap vektörünü saat yönünün tersine döndürdüğümüzde, şunu elde ederiz: pozitif açılar, ve saat yönünde döndürüldüğünde – negatif.
Yani, yarıçap vektörünün daire etrafındaki tüm devriminin \(360()^\circ \) veya \(2\pi \) olduğunu biliyoruz. Yarıçap vektörünü \(390()^\circ \) veya \(-1140()^\circ \) kadar döndürmek mümkün mü? Tabii ki yapabilirsin! İlk durumda, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \) dolayısıyla yarıçap vektörü bir tam dönüş yapacak ve \(30()^\circ \) veya \(\dfrac(\pi )(6) \) konumunda duracaktır.
İkinci durumda, \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \) yani yarıçap vektörü üç tam devir yapacak ve \(-60()^\circ \) veya \(-\dfrac(\pi )(3) \) konumunda duracaktır.
Dolayısıyla, yukarıdaki örneklerden, \(360()^\circ \cdot m \) veya \(2\pi \cdot m \) (burada \(m \) herhangi bir tam sayıdır) kadar farklı olan açıların olduğu sonucuna varabiliriz. yarıçap vektörünün aynı konumuna karşılık gelir.
Aşağıdaki şekil \(\beta =-60()^\circ \) açısını göstermektedir. Aynı görüntü köşeye karşılık gelir \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \) vesaire. Bu listeye süresiz olarak devam edilebilir. Bütün bu açılar genel formülle yazılabilir. \(\beta +360()^\circ \cdot m\) veya \(\beta +2\pi \cdot m \) (burada \(m \) herhangi bir tam sayıdır)
\(\begin(array)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(array) \)
Şimdi temel trigonometrik fonksiyonların tanımlarını bilerek ve birim çemberi kullanarak değerlerin ne olduğunu cevaplamaya çalışın:
\(\begin(array)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(array) \)
İşte size yardımcı olacak bir birim çember:
Zorluk mu yaşıyorsunuz? O zaman çözelim. Yani şunu biliyoruz:
\(\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x) )(y).\end(array)\)
Buradan belirli açı ölçülerine karşılık gelen noktaların koordinatlarını belirliyoruz. Pekala, sırayla başlayalım: köşedeki \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \)\(\left(0;1 \right) \) koordinatlarına sahip bir noktaya karşılık gelir, dolayısıyla:
\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;
\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;
\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- mevcut değil;
\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).
Ayrıca aynı mantığa bağlı kalarak köşelerin de olduğunu görüyoruz. \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ ) koordinatlı noktalara karşılık gelir \(\left(-1;0 \right),\text( )\left(0;-1 \right),\text( )\left(1;0 \right),\text() )\left(0 ;1 \sağ) \), sırasıyla. Bunu bilerek trigonometrik fonksiyonların değerlerini karşılık gelen noktalarda belirlemek kolaydır. Önce kendiniz deneyin, ardından cevapları kontrol edin.
Cevaplar:
\(\displaystyle \sin \180()^\circ =\sin \ \pi =0\)
\(\displaystyle \cos \180()^\circ =\cos \ \pi =-1\)
\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ \pi \)- mevcut değil
\(\sin \270()^\circ =-1\)
\(\cos \ 270()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 270()^\circ \)- mevcut değil
\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\sin \360()^\circ =0\)
\(\cos \ 360()^\circ =1 \)
\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ 2\pi \)- mevcut değil
\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)
\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 450()^\circ \)- mevcut değil
\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).
Böylece aşağıdaki tabloyu yapabiliriz:
Tüm bu değerleri hatırlamanıza gerek yok. Birim çember üzerindeki noktaların koordinatları ile trigonometrik fonksiyonların değerleri arasındaki yazışmayı hatırlamak yeterlidir:
\(\left. \begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(array) \right\)\ \text(Bunu hatırlamanız veya çıktısını alabilmeniz gerekir!! \) !}
Ancak açıların trigonometrik fonksiyonlarının değerleri ve \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4)\) Aşağıdaki tabloda verilenleri hatırlamanız gerekir:
Korkmayın, şimdi size karşılık gelen değerlerin oldukça basit bir şekilde ezberlenmesine ilişkin bir örnek göstereceğiz:
Bu yöntemi kullanmak için, her üç açı ölçüsünün sinüs değerlerini hatırlamak hayati önem taşır ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3)\)) ve \(30()^\circ \) cinsinden açının tanjantının değeri. Bu \(4\) değerleri bilerek, tablonun tamamını geri yüklemek oldukça basittir - kosinüs değerleri oklara göre aktarılır, yani:
\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3) ))(2)\ \end(array) \)
\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \) bunu bilerek değerleri geri yükleyebilirsiniz. \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). "\(1 \)" payı \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \)'ye karşılık gelir ve "\(\sqrt(\text(3)) \)" paydası şuna karşılık gelir: \(\text (tg)\ 60()^\circ \ \) . Kotanjant değerleri şekilde gösterilen oklara göre aktarılır. Bunu anlayıp okların olduğu diyagramı hatırlarsanız tablodan sadece \(4\) değeri hatırlamanız yeterli olacaktır.
Çember üzerindeki bir noktanın koordinatları
Dairenin merkezinin koordinatlarını, yarıçapını ve dönme açısını bilerek bir daire üzerinde bir nokta (koordinatları) bulmak mümkün müdür? Tabii ki yapabilirsin! Hadi çıkaralım genel formül Bir noktanın koordinatlarını bulmak için Örneğin önümüzde bir daire var:
Bize bu nokta verildi \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \)- dairenin merkezi. Çemberin yarıçapı \(1,5\)'dir. \(O\) noktasının \(\delta \) derece döndürülmesiyle elde edilen \(P\) noktasının koordinatlarını bulmak gerekir.
Şekilden görülebileceği gibi, \(P\) noktasının \(x\) koordinatı \(TP=UQ=UK+KQ\) doğru parçasının uzunluğuna karşılık gelir. \(UK\) segmentinin uzunluğu dairenin merkezinin \(x\) koordinatına karşılık gelir, yani \(3\)'e eşittir. \(KQ\) segmentinin uzunluğu kosinüs tanımı kullanılarak ifade edilebilir:
\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \delta \).
Sonra \(P\) noktası için koordinatı elde ederiz. \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1.5\cdot \cos \ \delta \).
Aynı mantığı kullanarak \(P\) noktasının y koordinatının değerini buluyoruz. Böylece,
\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1.5\cdot \sin \delta \).
Dolayısıyla genel olarak noktaların koordinatları aşağıdaki formüllerle belirlenir:
\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(array) \), Nerede
\(((x)_(0))),((y)_(0)) \) - dairenin merkezinin koordinatları,
\(r\) - dairenin yarıçapı,
\(\delta \) - vektör yarıçapının dönüş açısı.
Gördüğünüz gibi, düşündüğümüz birim daire için, merkezin koordinatları sıfıra ve yarıçap bire eşit olduğundan bu formüller önemli ölçüde azaltılmıştır:
\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \\delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(array) \)
Tarayıcınızda Javascript devre dışı.Hesaplamaları gerçekleştirmek için ActiveX kontrollerini etkinleştirmelisiniz!
Trigonometri, trigonometrik fonksiyonları ve bunların geometride kullanımını inceleyen bir matematik bilimi dalıdır. Trigonometrinin gelişimi o günlerde başladı Antik Yunanistan. Orta Çağ boyunca Orta Doğu ve Hindistan'dan bilim adamlarının bu bilimin gelişmesine önemli katkıları olmuştur.
Bu makale trigonometrinin temel kavramlarına ve tanımlarına ayrılmıştır. Temel trigonometrik fonksiyonların tanımlarını tartışır: sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant. Anlamları geometri bağlamında açıklanmış ve gösterilmiştir.
Başlangıçta argümanı açı olan trigonometrik fonksiyonların tanımları bir dik üçgenin kenarlarının oranı cinsinden ifade ediliyordu.
Trigonometrik fonksiyonların tanımları
Bir açının sinüsü (sin α), bu açının karşısındaki kenarın hipotenüse oranıdır.
Açının kosinüsü (cos α) - bitişik bacağın hipotenüse oranı.
Açı teğeti (t g α) - karşı tarafın bitişik tarafa oranı.
Açı kotanjantı (c t g α) - bitişik tarafın karşı tarafa oranı.
Bu tanımlar bir dik üçgenin dar açısı için verilmiştir!
Bir örnek verelim.
İÇİNDE ABC üçgeni dik açı C sinüs A açısı ile orana eşit BC kenarı AB hipotenüsüne.
Sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant tanımları, bu fonksiyonların değerlerini üçgenin kenarlarının bilinen uzunluklarından hesaplamanıza olanak tanır.
Hatırlanması önemli!
Sinüs ve kosinüs değerlerinin aralığı -1'den 1'e kadardır. Yani sinüs ve kosinüs -1'den 1'e kadar değerler alır. Teğet ve kotanjantın değer aralığı sayı doğrusunun tamamıdır, yani bu işlevler herhangi bir değeri alabilir.
Yukarıda verilen tanımlar dar açılar için geçerlidir. Trigonometride, değeri dar açıdan farklı olarak 0 ila 90 derece ile sınırlı olmayan bir dönme açısı kavramı tanıtıldı. Derece veya radyan cinsinden dönme açısı - ∞ ila + ∞ arasında herhangi bir gerçek sayı ile ifade edilir. .
Bu bağlamda keyfi büyüklükte bir açının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantını tanımlayabiliriz. Merkezi Kartezyen koordinat sisteminin başlangıç noktasında olan bir birim çember düşünelim.
Koordinatları (1, 0) olan başlangıç noktası A, birim çemberin merkezi etrafında belirli bir α açısı boyunca döner ve A 1 noktasına gider. Tanım A 1 (x, y) noktasının koordinatları cinsinden verilmiştir.
Dönme açısının sinüsü (sinüsü)
Dönme açısı α'nın sinüsü, A 1 (x, y) noktasının ordinatıdır. günah α = y
Dönme açısının kosinüsü (cos)
Dönme açısı α'nın kosinüsü, A1 (x, y) noktasının apsisidir. çünkü α = x
Dönme açısının tanjantı (tg)
Dönme açısı α'nın tanjantı, A1 noktasının (x, y) ordinatının apsisine oranıdır. t g α = y x
Dönme açısının kotanjantı (ctg)
Dönme açısı α'nın kotanjantı, A1 noktasının (x, y) apsisinin ordinatına oranıdır. c t g α = x y
Sinüs ve kosinüs herhangi bir dönüş açısı için tanımlanır. Bu mantıklıdır çünkü bir noktanın dönme sonrasında apsisi ve ordinatı herhangi bir açıda belirlenebilir. Teğet ve kotanjant için durum farklıdır. Döndürme sonrasında bir nokta sıfır apsisli (0, 1) ve (0, - 1) bir noktaya gittiğinde teğet tanımsızdır. Bu gibi durumlarda, t g α = y x teğet ifadesi, sıfıra bölünmeyi içerdiğinden, hiçbir anlam ifade etmez. Kotanjant için de durum benzerdir. Aradaki fark, bir noktanın ordinatının sıfıra gittiği durumlarda kotanjantın tanımlı olmamasıdır.
Hatırlanması önemli!
Sinüs ve kosinüs herhangi bir α açısı için tanımlanır.
Teğet, α = 90° + 180° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) dışındaki tüm açılar için tanımlanır.
Kotanjant, α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z) dışındaki tüm açılar için tanımlanır.
Pratik örnekleri çözerken “α dönme açısının sinüsü” demeyin. "Dönme açısı" kelimeleri basitçe atlanmıştır, bu da neyin tartışıldığının bağlamdan zaten açıkça anlaşıldığını ima etmektedir.
Sayılar
Bir sayının dönme açısından ziyade sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantını belirlemeye ne dersiniz?
Bir sayının sinüs, kosinüs, tanjant, kotanjantı
Bir sayının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantı T sırasıyla sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjanta eşit olan bir sayıdır. T radyan.
Örneğin, 10 π sayısının sinüsü, 10 π rad dönme açısının sinüsüne eşittir.
Bir sayının sinüsünü, kosinüsünü, tanjantını ve kotanjantını belirlemeye yönelik başka bir yaklaşım daha vardır. Şimdi ona daha yakından bakalım.
Herhangi bir gerçek sayı T Birim çember üzerindeki bir nokta, dikdörtgen Kartezyen koordinat sisteminin başlangıç noktasındaki merkezle ilişkilidir. Sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant bu noktanın koordinatları üzerinden belirlenir.
Çemberin başlangıç noktası koordinatları (1, 0) olan A noktasıdır.
Pozitif sayı T
Negatif sayı T başlangıç noktasının daire etrafında saat yönünün tersine hareket etmesi ve t yolunu geçmesi durumunda gideceği noktaya karşılık gelir.
Artık bir sayı ile bir daire üzerindeki bir nokta arasındaki bağlantı kurulduğuna göre sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjantın tanımına geçiyoruz.
T'nin sinüsü (günahı)
Bir sayının sinüsü T- birim çember üzerindeki sayıya karşılık gelen bir noktanın koordinatı T. günah t = y
Kosinüs (cos) t
Bir sayının kosinüsü T- birim çemberin sayıya karşılık gelen noktasının apsisi T. çünkü t = x
T'nin tanjantı (tg)
Bir sayının tanjantı T- birim çember üzerindeki sayıya karşılık gelen bir noktanın ordinatının apsisine oranı T. t g t = y x = sin t çünkü t
En son tanımlar bu paragrafın başında verilen tanıma uygundur ve çelişmez. Sayıya karşılık gelen dairenin üzerine gelin T, bir açıyla döndükten sonra başlangıç noktasının gittiği noktaya denk gelir T radyan.
Açısal ve sayısal argümanın trigonometrik fonksiyonları
α açısının her değeri, bu açının sinüs ve kosinüsünün belirli bir değerine karşılık gelir. α = 90° + 180°k dışındaki tüm α açıları gibi, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) belirli bir teğet değerine karşılık gelir. Kotanjant, yukarıda belirtildiği gibi, α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z) dışındaki tüm α'lar için tanımlanır.
sin α, cos α, t g α, c t g α'nın alfa açısının fonksiyonları veya açısal argümanın fonksiyonları olduğunu söyleyebiliriz.
Benzer şekilde sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjanttan sayısal bir argümanın fonksiyonları olarak bahsedebiliriz. Her gerçek sayı T bir sayının sinüs veya kosinüsünün belirli bir değerine karşılık gelir T. π 2 + π · k, k ∈ Z dışındaki tüm sayılar bir teğet değere karşılık gelir. Benzer şekilde kotanjant, π · k, k ∈ Z dışındaki tüm sayılar için tanımlanır.
Trigonometrinin temel fonksiyonları
Sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant temel trigonometrik fonksiyonlardır.
Trigonometrik fonksiyonun hangi argümanıyla (açısal argüman veya sayısal argüman) uğraştığımız bağlamdan genellikle açıktır.
En başta verilen tanımlara ve 0 ila 90 derece aralığında yer alan alfa açısına dönelim. Sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantın trigonometrik tanımları tamamen tutarlıdır. geometrik tanımlar, bir dik üçgenin en boy oranları kullanılarak verilmiştir. Hadi gösterelim.
Dikdörtgen Kartezyen koordinat sisteminde merkezi olan bir birim çemberi ele alalım. A (1, 0) başlangıç noktasını 90 dereceye kadar bir açıyla döndürelim ve ortaya çıkan A 1 (x, y) noktasından apsis eksenine dik bir çizelim. Ortaya çıkan dik üçgende A 1 O H açısı açıya eşitα'yı döndürdüğünüzde, O H ayağının uzunluğu A 1 (x, y) noktasının apsisine eşittir. Açının karşısındaki bacağın uzunluğu A 1 (x, y) noktasının ordinatına eşittir ve birim dairenin yarıçapı olduğu için hipotenüsün uzunluğu bire eşittir.
Geometrideki tanıma uygun olarak, α açısının sinüsü karşı tarafın hipotenüse oranına eşittir.
sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y
Bu, bir dik üçgende bir dar açının sinüsünü en boy oranı aracılığıyla belirlemenin, alfa 0 ila 90 derece aralığında yer alacak şekilde dönme açısı a'nın sinüsünü belirlemeye eşdeğer olduğu anlamına gelir.
Benzer şekilde kosinüs, tanjant ve kotanjant için tanımların uygunluğu gösterilebilir.
Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.
4 Kişilik Birleşik Devlet Sınavı? Mutluluktan patlamayacak mısın?
Soru ilginç diyorlar... Mümkün, 4'le geçmek mümkün! Ve aynı zamanda patlamamak için... Asıl şart düzenli egzersiz yapmaktır. İşte matematikte Birleşik Devlet Sınavı için temel hazırlık. Birleşik Devlet Sınavının ders kitaplarında okumayacağınız tüm sırları ve gizemleriyle... Bu bölümü inceleyin, çeşitli kaynaklardan daha fazla görev çözün - ve her şey yoluna girecek! Temel bölümün "A C size yeter!" size herhangi bir sorun yaratmaz. Ama aniden... Bağlantıları takip edin, tembel olmayın!
Ve harika ve korkunç bir konuyla başlayacağız.
Trigonometri
Dikkat!
Ek var
Özel Bölüm 555'teki materyaller.
Çok "pek değil..." olanlar için
Ve “çok…” diyenler için)
Bu konu öğrenciler için birçok soruna neden olmaktadır. En şiddetli olanlardan biri olarak kabul edilir. Sinüs ve kosinüs nedir? Teğet ve kotanjant nedir? Sayı çemberi nedir? Bu zararsız soruları sorduğunuzda kişinin rengi sararır ve konuyu başka yöne çekmeye çalışır... Ama nafile. Bunlar basit kavramlardır. Ve bu konu diğerlerinden daha zor değil. Sadece bu soruların cevaplarını en başından beri açıkça anlamanız gerekiyor. Bu çok önemli. Anlıyorsanız trigonometriyi seveceksiniz. Bu yüzden,
Sinüs ve kosinüs nedir? Teğet ve kotanjant nedir?
Antik çağlardan başlayalım. Merak etmeyin, yaklaşık 15 dakika içinde 20 yüzyıllık trigonometriyi inceleyeceğiz ve farkına bile varmadan 8. sınıftan bir geometri parçasını tekrarlayacağız.
Kenarları olan bir dik üçgen çizelim a, b, c ve açı X. İşte burada.
Dik açı oluşturan kenarlara bacak denildiğini hatırlatayım. a ve c– bacaklar. İki tane var. Kalan kenara hipotenüs denir. İle– hipotenüs.
Üçgen ve üçgen, bir düşünün! Bununla ne yapmalı? Ama eski insanlar ne yapacaklarını biliyorlardı! Eylemlerini tekrarlayalım. Kenarını ölçelim V. Şekilde hücreler şekildeki gibi özel olarak çizilmiştir. Birleşik Devlet Sınavı ödevleri Bu olur. Taraf V dört hücreye eşittir. TAMAM. Kenarını ölçelim A.Üç hücre.
Şimdi kenar uzunluğunu bölelim A kenar uzunluğu başına V. Veya onların da söylediği gibi, tavrımızı alalım Aİle V. a/v= 3/4.
Tam tersi bölebilirsiniz V Açık A. 4/3 elde ederiz. Olabilmek V böl İle. Hipotenüs İle Hücrelere göre saymak imkansız ama 5'e eşit. yüksek kalite= 4/5. Kısacası kenar uzunluklarını birbirine bölerek bazı sayılar elde edebilirsiniz.
Ne olmuş? Bu ilginç aktivitenin amacı nedir? Henüz yok. Açıkça söylemek gerekirse anlamsız bir egzersiz.)
Şimdi bunu yapalım. Üçgeni genişletelim. Kenarları uzatalım içinde ve yanında ancak üçgen dikdörtgen kalacak şekilde. Köşe X elbette değişmez. Bunu görmek için farenizi resmin üzerine getirin veya resme dokunun (tabletiniz varsa). Partiler a, b ve c dönüşecek m, n, k ve elbette kenarların uzunlukları değişecektir.
Ama ilişkileri öyle değil!
Davranış a/vşuydu: a/v= 3/4, oldu a/n= 6/8 = 3/4. Diğer ilgili tarafların ilişkileri de değişmeyecek . Bir dik üçgende kenar uzunluklarını istediğiniz gibi değiştirebilir, artırabilir, azaltabilir, x açısını değiştirmeden – İlgili taraflar arasındaki ilişki değişmeyecek . Kontrol edebilirsiniz ya da eski insanların sözlerine güvenebilirsiniz.
Ama bu zaten çok önemli! Bir dik üçgende kenarların oranları hiçbir şekilde kenarların uzunluklarına (aynı açıda) bağlı değildir. Bu o kadar önemlidir ki, taraflar arasındaki ilişki kendine özel bir isim kazanmıştır. Tabiri caizse isimleriniz.) Tanışın.
x açısının sinüsü nedir ? Bu karşı tarafın hipotenüse oranıdır:
sinx = klima
x açısının kosinüsü nedir ? Bu, bitişik bacağın hipotenüse oranıdır:
İleosx= yüksek kalite
Teğet x nedir ? Bu, karşı tarafın bitişik tarafa oranıdır:
tgx =a/v
x açısının kotanjantı nedir ? Bu, bitişik tarafın karşı tarafa oranıdır:
ctgx = v/a
Çok basit. Sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant bazı sayılardır. Boyutsuz. Sadece sayılar. Her açının kendine ait bir açısı vardır.
Neden her şeyi bu kadar sıkıcı bir şekilde tekrarlıyorum? O zaman bu nedir hatırlamam gerek. Hatırlamak önemlidir. Ezberleme daha kolay hale getirilebilir. “Uzaktan başlayalım…” sözü tanıdık mı? O halde uzaktan başlayın.
Sinüs açı bir orandır mesafe bacak açısından hipotenüse kadar. Kosinüs– komşunun hipotenüse oranı.
Teğet açı bir orandır mesafe bacak açısından yakın olana. Kotanjant- tersine.
Daha kolay, değil mi?
Pekala, teğet ve kotanjantta yalnızca bacakların olduğunu ve sinüs ve kosinüste hipotenüsün göründüğünü hatırlarsanız, o zaman her şey oldukça basit hale gelecektir.
Bütün bu muhteşem aileye - sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant da denir trigonometrik fonksiyonlar.
Ve şimdi dikkate alınması gereken bir soru.
Neden sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant diyoruz? köşe? Tarafların arasındaki ilişkiden bahsediyoruz mesela... Ne alakası var? köşe?
İkinci resme bakalım. İlkinin tamamen aynısı.
Farenizi resmin üzerine getirin. Açıyı değiştirdim X. Arttırıldı x'ten x'e. Tüm ilişkiler değişti! Davranış a/v 3/4 idi ve buna karşılık gelen oran TV 6/4 oldu.
Ve diğer tüm ilişkiler farklılaştı!
Bu nedenle, kenarların oranları hiçbir şekilde uzunluklarına (bir x açısına) bağlı değildir, ancak keskin bir şekilde bu açıya bağlıdır! Ve sadece ondan. Bu nedenle sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant terimleri şu anlama gelir: köşe. Buradaki açı ana açıdır.
Açının trigonometrik fonksiyonlarıyla ayrılmaz bir şekilde bağlantılı olduğu açıkça anlaşılmalıdır. Her açının kendi sinüsü ve kosinüsü vardır. Ve neredeyse herkesin kendi teğet ve kotanjantı vardır. Bu önemli. Bize bir açı verilirse bunun sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjantının olduğuna inanılıyor. biliyoruz ! Ve tam tersi. Bir sinüs veya başka bir trigonometrik fonksiyon verildiğinde, bu açıyı bildiğimiz anlamına gelir.
Her açı için trigonometrik fonksiyonların açıklandığı özel tablolar vardır. Bunlara Bradis tabloları denir. Çok uzun zaman önce derlenmişlerdi. Henüz hesap makineleri ve bilgisayarlar yokken...
Elbette tüm açıların trigonometrik fonksiyonlarını ezberlemek imkansızdır. Bunları yalnızca birkaç açıdan bilmeniz gerekir; bu konuya daha sonra değineceğiz. Ama büyü Bir açıyı biliyorum, bu da onun trigonometrik fonksiyonlarını bildiğim anlamına geliyor” - her zaman çalışır!
Böylece 8. sınıftan bir geometri parçasını tekrarladık. Birleşik Devlet Sınavı için buna ihtiyacımız var mı? Gerekli. İşte Birleşik Devlet Sınavından tipik bir sorun. Bu sorunu çözmek için 8. sınıf yeterli. Verilen resim:
Tüm. Başka veri yok. Uçağın yan uzunluğunu bulmamız gerekiyor.
Hücrelerin pek bir faydası olmuyor, üçgen bir şekilde yanlış konumlanmış.... Kasıtlı sanırım... Bilgilere göre hipotenüsün uzunluğu var. 8 hücre. Nedense açı verilmiş.
Trigonometriyi hemen hatırlamanız gereken yer burasıdır. Bir açı var, yani onun tüm trigonometrik fonksiyonlarını biliyoruz. Dört fonksiyondan hangisini kullanmalıyız? Bakalım ne biliyoruz? Hipotenüsü ve açıyı biliyoruz ama bulmamız gerekiyor. bitişik kateteri bu köşeye! Açıktır ki, kosinüsün devreye sokulması gerekiyor! İşte başlıyoruz. Basitçe kosinüs tanımıyla yazıyoruz (oran bitişik bacaktan hipotenüse):
cosC = BC/8
C açısı 60 derece, kosinüsü 1/2'dir. Bunu bilmeniz gerekiyor, tablolar olmadan! Bu yüzden:
1/2 = MÖ/8
İlköğretim doğrusal denklem. Bilinmeyen – Güneş. Denklem çözmeyi unutanlar linke bir baksın, gerisi çözsün:
MÖ = 4
Eski insanlar her açının kendine ait trigonometrik fonksiyonları olduğunu fark ettiklerinde akıllarına mantıklı bir soru geldi. Sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant bir şekilde birbirleriyle ilişkili midir? Yani bir açı fonksiyonunu bilerek diğerlerini de bulabilir misin? Açının kendisini hesaplamadan mı?
O kadar huzursuzlardı ki...)
Bir açının trigonometrik fonksiyonları arasındaki ilişki.
Elbette aynı açının sinüsü, kosinüsü, tanjantı ve kotanjantı birbiriyle ilişkilidir. İfadeler arasındaki herhangi bir bağlantı matematikte formüllerle verilir. Trigonometride çok sayıda formül vardır. Ancak burada en temel olanlara bakacağız. Bu formüllere şunlar denir: temel trigonometrik kimlikler.İşte bunlar:
Bu formülleri iyice bilmeniz gerekiyor. Onlar olmadan genellikle trigonometride yapılacak hiçbir şey yoktur. Bu temel kimliklerden üç yardımcı kimlik daha ortaya çıkar:
Son üç formülün hafızanızdan hızla silindiği konusunda sizi hemen uyarıyorum. Bazı nedenlerden dolayı.) Elbette bu formülleri ilk üçünden türetebilirsiniz. Ama, içinde zor an... Anladın.)
Aşağıdaki gibi standart problemlerde bu unutulabilir formüllerden kaçınmanın bir yolu vardır. VE hataları önemli ölçüde azaltır unutkanlıktan dolayı ve hesaplamalarda da. Bu uygulama Bölüm 555, "Aynı açıya sahip trigonometrik fonksiyonlar arasındaki ilişkiler" dersinde yer almaktadır.
Temel trigonometrik kimlikler hangi görevlerde ve nasıl kullanılır? En popüler görev, eğer başka bir açı fonksiyonu verilmişse, bir açı fonksiyonu bulmaktır. Birleşik Devlet Sınavında böyle bir görev yıldan yıla mevcuttur.) Örneğin:
Eğer x bir dar açı ve cosx=0,8 ise sinx'in değerini bulun.
Görev neredeyse temeldir. Sinüs ve kosinüs içeren bir formül arıyoruz. İşte formül:
günah 2 x + çünkü 2 x = 1
Burada kosinüs yerine bilinen bir değeri, yani 0,8'i koyuyoruz:
günah 2 x + 0,8 2 = 1
Her zamanki gibi sayıyoruz:
günah 2 x + 0,64 = 1
günah 2 x = 1 - 0,64
Neredeyse hepsi bu. Sinüsün karesini hesapladık, geriye sadece karekökü çıkarmak kaldı ve cevap hazır! 0,36'nın kökü 0,6'dır.
Görev neredeyse temeldir. Ama “neredeyse” kelimesinin bir nedeni var... Gerçek şu ki sinx= - 0.6 cevabı da uygun... (-0.6) 2 de 0.36 olacak.
İki farklı cevap var. Ve birine ihtiyacın var. İkincisi yanlış. Nasıl olunur? Evet, her zamanki gibi.) Ödevi dikkatlice okuyun. Bir sebepten dolayı şöyle diyor:... x bir dar açı ise... Ve görevlerde her kelimenin bir anlamı var evet... Bu cümle çözüm için ek bilgidir.
Dar açı, ölçüsü 90°'den küçük olan açıdır. Ve böyle köşelerde Tüm trigonometrik fonksiyonlar - sinüs, kosinüs ve kotanjant ile teğet - Olumlu. Onlar. Buradaki olumsuz cevabı bir kenara atıyoruz. Hakkımız var.
Aslında sekizinci sınıf öğrencilerinin bu tür inceliklere ihtiyacı yok. Yalnızca köşelerin yalnızca dar açı olabildiği dik üçgenlerle çalışırlar. Ve onlar bilmiyorlar, mutlular, hem negatif açılar hem de 1000°'lik açılar var... Ve tüm bu korkunç açıların kendi trigonometrik fonksiyonları var, artı ve eksi...
Ancak lise öğrencileri için işareti dikkate almadan - mümkün değil. Çok bilgi acıları çoğaltır, evet...) Ve doğru karar Görev ek bilgiler içermelidir (gerekirse). Örneğin, aşağıdaki girişle verilebilir:
Veya başka bir şekilde. Aşağıdaki örneklerde göreceksiniz.) Bu tür örnekleri çözmek için bilmeniz gerekenler Verilen x açısı hangi çeyreğe düşüyor ve istenen trigonometrik fonksiyon bu çeyrekte hangi işarete sahip?
Trigonometrinin bu temelleri, trigonometrik dairenin ne olduğu, bu daire üzerindeki açıların ölçümü, bir açının radyan ölçüsü gibi derslerde tartışılmaktadır. Bazen sinüs, kosinüs teğet ve kotanjant tablosunu bilmeniz gerekir.
O halde en önemli şeye dikkat edelim:
1. Sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant tanımlarını hatırlayın. Çok faydalı olacak.
2. Açıkça anlıyoruz: sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant açılarla sıkı bir şekilde bağlantılıdır. Bir şeyi biliyoruz, bu da başka bir şeyi bildiğimiz anlamına geliyor.
3. Açıkça anlıyoruz: Bir açının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantı birbirleriyle temel trigonometrik özdeşliklerle ilişkilidir. Bir fonksiyonu biliyoruz, bu da (eğer gerekli ek bilgiye sahipsek) diğerlerini hesaplayabileceğimiz anlamına gelir.
Şimdi her zamanki gibi karar verelim. İlk olarak 8. sınıf kapsamındaki görevler. Ama lise öğrencileri de yapabilir...)
1. CtgA = 0,4 ise tgA'nın değerini hesaplayın.
2. β dik üçgende bir açıdır. Sinβ = 12/13 ise tanβ'nın değerini bulun.
3. tgх = 4/3 ise dar açı x'in sinüsünü belirleyin.
4. İfadenin anlamını bulun:
6sin 2 5° - 3 + 6cos 2 5°
5. İfadenin anlamını bulun:
(1-cosx)(1+cosx), eğer sinx = 0,3 ise
Cevaplar (noktalı virgülle ayrılmış, dağınık):
0,09; 3; 0,8; 2,4; 2,5
İşe yaradı mı? Harika! Sekizinci sınıf öğrencileri şimdiden A notlarını alabilirler.)
Her şey yolunda gitmedi mi? Görev 2 ve 3 bir şekilde pek iyi değil...? Sorun değil! Bu tür görevler için güzel bir teknik var. Her şey pratik olarak formüller olmadan çözülebilir! Ve bu nedenle hatasız. Bu teknik Bölüm 555'teki "Tek açının trigonometrik fonksiyonları arasındaki ilişkiler" dersinde anlatılmaktadır. Diğer tüm görevler de orada ele alınır.
Bunlar Birleşik Devlet Sınavı gibi sorunlardı, ancak sadeleştirilmiş bir versiyonu. Birleşik Devlet Sınavı - hafif). Ve şimdi neredeyse aynı görevler, ancak tam teşekküllü bir formatta. Bilgi yüklü lise öğrencileri için.)
6. sinβ = 12/13 ise tanβ değerini bulun ve
7. Eğer tgх = 4/3 ve x aralığa aitse (- 540°; - 450°) sinх'ı belirleyin.
8. Ctgβ = 1 ise sinβ cosβ ifadesinin değerini bulun.
Cevaplar (karışıklık içinde):
0,8; 0,5; -2,4.
Burada 6. problemde açı çok açık bir şekilde belirtilmemiş... Ancak 8. problemde hiç belirtilmemiş! Bu bilerek yapılmıştır). Ek bilgiler yalnızca görevden değil, aynı zamanda kafadan da alınır.) Ancak karar verirseniz, tek bir doğru görev garanti edilir!
Peki ya karar vermediyseniz? Hmm... Bölüm 555 burada yardımcı olacaktır. Orada tüm bu görevlerin çözümleri ayrıntılı olarak anlatılıyor, anlamamak zor.
Bu ders trigonometrik fonksiyonların çok sınırlı bir şekilde anlaşılmasını sağlar. 8. sınıf içinde. Ve büyüklerin hala soruları var...
Örneğin, eğer açı X(bu sayfadaki ikinci resme bakın) - aptallaştırın!? Üçgen tamamen parçalanacak! Peki ne yapmalıyız? Bacak olmayacak, hipotenüs olmayacak... Sinüs yok oldu...
Eğer eski insanlar bu durumdan bir çıkış yolu bulmasaydı, şu anda cep telefonumuz, televizyonumuz, elektriğimiz olmayacaktı. Evet, evet! Teorik temel trigonometrik fonksiyonlar olmadan tüm bu şeyler çubuksuz sıfırdır. Ancak eski insanlar hayal kırıklığına uğratmadı. Nasıl çıktıkları bir sonraki derste.
Bu siteyi beğendiyseniz...
Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)
Örnek çözerek pratik yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Hadi öğrenelim - ilgiyle!)
Fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.
