İkinci dereceden denklemler. diskriminant

İkinci dereceden denklemler genellikle fizik ve matematikteki çeşitli problemleri çözerken ortaya çıkar. Bu yazımızda bu eşitliklerin evrensel bir şekilde “ayrımcı yoluyla” nasıl çözülebileceğine bakacağız. Makalede edinilen bilgilerin kullanımına ilişkin örnekler de verilmektedir.

Hangi denklemlerden bahsedeceğiz?

Aşağıdaki şekilde x'in bilinmeyen bir değişken olduğu ve Latince a, b, c sembollerinin bilinen bazı sayıları temsil ettiği bir formül gösterilmektedir.

Bu sembollerin her birine katsayı denir. Gördüğünüz gibi "a" sayısı x kare değişkeninin önünde görünüyor. Bu, temsil edilen ifadenin maksimum kuvvetidir, bu nedenle buna ikinci dereceden denklem denir. Diğer adı sıklıkla kullanılır: ikinci dereceden denklem. a değerinin kendisi bir kare katsayıdır (değişkenin karesi ile birlikte), b doğrusal bir katsayıdır (birinci kuvvete yükseltilen değişkenin yanındadır) ve son olarak c sayısı serbest terimdir.

Yukarıdaki şekilde gösterilen denklem türünün genel bir klasik ikinci dereceden ifade olduğuna dikkat edin. Buna ek olarak b ve c katsayılarının sıfır olabileceği başka ikinci dereceden denklemler de vardır.

Görev, söz konusu eşitliği çözmek için belirlendiğinde, bu, x değişkeninin onu tatmin edecek değerlerinin bulunması gerektiği anlamına gelir. Burada hatırlamanız gereken ilk şey şudur: X'in maksimum derecesi 2 olduğuna göre bu tür ifadelerin 2'den fazla çözümü olamaz. Bu, bir denklemi çözerken onu karşılayan 2 x değeri bulunursa, o zaman x'in yerine geçen 3. sayının olmadığından emin olabileceğiniz anlamına gelir, eşitlik de doğru olacaktır. Matematikte bir denklemin çözümlerine kökleri denir.

İkinci dereceden denklemleri çözme yöntemleri

Bu tür denklemleri çözmek, onlar hakkında bazı teorilerin bilinmesini gerektirir. Okul cebir dersinde 4 farklı çözüm yöntemi ele alınmaktadır. Bunları listeleyelim:

• çarpanlara ayırma kullanarak;
• tam kare formülünü kullanarak;
• uygun programın uygulanması ikinci dereceden fonksiyon;
• diskriminant denklemini kullanarak.

İlk yöntemin avantajı basitliğidir ancak tüm denklemler için kullanılamaz. İkinci yöntem evrenseldir, ancak biraz hantaldır. Üçüncü yöntem, açıklığıyla ayırt edilir, ancak her zaman uygun ve uygulanabilir değildir. Ve son olarak, diskriminant denklemini kullanmak, herhangi bir ikinci dereceden denklemin köklerini bulmanın evrensel ve oldukça basit bir yoludur. Bu nedenle bu yazıda sadece onu ele alacağız.

Denklemin köklerini elde etmek için formül

Genel görünüme bakalım ikinci dereceden denklem. Bunu yazalım: a*x²+ b*x + c =0. “Ayrımcı yoluyla” çözme yöntemini kullanmadan önce eşitliği her zaman yazılı şekline getirmelisiniz. Yani üç terimden oluşmalıdır (ya da b veya c 0 ise daha az).

Örneğin, eğer bir ifade varsa: x²-9*x+8 = -5*x+7*x², o zaman önce tüm terimlerini eşitliğin bir tarafına taşımalı ve x değişkenini içeren terimleri aynı güçler.

Bu durumda bu işlem şu ifadeyi verecektir: -6*x²-4*x+8=0, bu da 6*x²+4*x-8=0 denklemine eşdeğerdir (burada sol ve sol çarpımı yaptık) eşitliğin sağ tarafları -1) .

Yukarıdaki örnekte a = 6, b=4, c=-8. Söz konusu eşitliğin tüm terimlerinin her zaman birlikte toplandığına dikkat edin; dolayısıyla "-" işareti görünürse, bu, karşılık gelen katsayının, bu durumda c sayısı gibi, negatif olduğu anlamına gelir.

Bu noktayı inceledikten sonra şimdi ikinci dereceden bir denklemin köklerini elde etmeyi mümkün kılan formülün kendisine geçelim. Aşağıdaki fotoğrafta gösterilene benziyor.

Bu ifadeden de anlaşılacağı üzere iki kök almanızı sağlar (“±” işaretine dikkat edin). Bunu yapmak için b, c ve a katsayılarını yerine koymak yeterlidir.

Ayrımcı kavramı

Önceki paragrafta herhangi bir ikinci dereceden denklemi hızlı bir şekilde çözmenize olanak tanıyan bir formül verildi. Burada radikal ifadeye diskriminant denir, yani D = b²-4*a*c.

Formülün bu kısmı neden vurgulanıyor ve neden kendi adı var? Gerçek şu ki, diskriminant denklemin üç katsayısını da tek bir ifadede birleştiriyor. İkinci gerçek, kökler hakkında aşağıdaki listede ifade edilebilecek bilgileri tamamen taşıdığı anlamına gelir:

1. D>0: eşitlikte 2 var çeşitli çözümler, her ikisi de gerçek sayılardır.
2. D=0: Denklemin tek kökü vardır ve bu bir reel sayıdır.

Ayırt edici belirleme görevi

Diskriminantın nasıl bulunacağına dair basit bir örnek verelim. Şu eşitlik verilsin: 2*x² - 4+5*x-9*x² = 3*x-5*x²+7.

Bunu standart forma getirelim, şunu elde ederiz: (2*x²-9*x²+5*x²) + (5*x-3*x) + (- 4-7) = 0, buradan eşitliğe geliyoruz : -2*x² +2*x-11 = 0. Burada a=-2, b=2, c=-11.

Artık diskriminant için yukarıdaki formülü kullanabilirsiniz: D = 2² - 4*(-2)*(-11) = -84. Ortaya çıkan sayı görevin cevabıdır. Örnekteki diskriminant sıfırdan küçük olduğundan bu ikinci dereceden denklemin gerçek kökleri olmadığını söyleyebiliriz. Çözümü yalnızca karmaşık türdeki sayılar olacaktır.

Bir ayrımcı aracılığıyla eşitsizliğe bir örnek

Biraz farklı türden problemleri çözelim: -3*x²-6*x+c = 0 eşitliği göz önüne alındığında. D>0 olan c değerlerini bulmak gerekir.

Bu durumda 3 katsayıdan sadece 2'si bilindiğinden diskriminantın kesin değerini hesaplamak mümkün değildir ancak pozitif olduğu bilinmektedir. Eşitsizliği oluştururken son gerçeği kullanıyoruz: D= (-6)²-4*(-3)*c>0 => 36+12*c>0. Ortaya çıkan eşitsizliğin çözülmesi şu sonuca yol açar: c>-3.

Ortaya çıkan sayıyı kontrol edelim. Bunu yapmak için 2 durum için D'yi hesaplıyoruz: c=-2 ve c=-4. -2 sayısı elde edilen sonucu (-2>-3) karşılıyorsa, karşılık gelen diskriminant şu değere sahip olacaktır: D = 12>0. Buna karşılık -4 sayısı eşitsizliği (-4) sağlamaz. Dolayısıyla -3'ten büyük olan herhangi bir c sayısı koşulu karşılayacaktır.

Bir denklem çözme örneği

Sadece diskriminantı bulmayı değil aynı zamanda denklemi çözmeyi de içeren bir problem sunalım. -2*x²+7-9*x = 0 eşitliğinin köklerini bulmak gerekir.

Bu örnekte diskriminant şu değere eşittir: D = 81-4*(-2)*7= 137. Daha sonra denklemin kökleri şu şekilde belirlenir: x = (9±√137)/(- 4). Bunlar köklerin tam değerleridir; kökü yaklaşık olarak hesaplarsanız şu sayıları elde edersiniz: x = -5,176 ve x = 0,676.

Geometrik problem

Yalnızca diskriminant hesaplama becerisini değil, aynı zamanda becerilerin uygulanmasını da gerektiren bir sorunu çözeceğiz soyut düşünme ve ikinci dereceden denklemlerin nasıl yazılacağı bilgisi.

Bob'un 5 x 4 metrelik bir yorganı vardı. Çocuk, tüm çevresine sürekli bir güzel kumaş şeridi dikmek istedi. Bob'un 10 m² kumaşa sahip olduğunu bilirsek bu şerit ne kadar kalın olur?

Şeridin kalınlığı x m olsun, o zaman battaniyenin uzun kenarı boyunca kumaşın alanı (5+2*x)*x olacaktır ve 2 uzun kenar olduğundan elimizde: 2*x bulunur *(5+2*x). Kısa tarafta dikilen kumaşın alanı 4*x olacaktır, bu kenarlardan 2 adet olduğu için 8*x değerini elde ederiz. Battaniyenin uzunluğu bir o kadar arttığı için uzun tarafa 2*x değerinin eklendiğini unutmayın. Battaniyeye dikilen kumaşın toplam alanı 10 m²'dir. Dolayısıyla şu eşitliği elde ederiz: 2*x*(5+2*x) + 8*x = 10 => 4*x²+18*x-10 = 0.

Bu örnek için diskriminant şuna eşittir: D = 18²-4*4*(-10) = 484. Kökü 22'dir. Formülü kullanarak gerekli kökleri buluruz: x = (-18±22)/( 2*4) = (- 5; 0,5). Açıkçası iki kökten sadece 0,5 sayısı problemin koşullarına göre uygundur.

Böylece Bob'un battaniyesine diktiği kumaş şeridinin genişliği 50 cm olacaktır.

Tüm okul cebir müfredatı arasında en kapsamlı konulardan biri ikinci dereceden denklemler konusudur. Bu durumda, ikinci dereceden denklem, ax 2 + bx + c = 0 biçiminde bir denklem olarak anlaşılır; burada a ≠ 0 (okuyun: a ile x kare artı be x artı ce eşittir sıfır, burada a değil) sıfıra eşit). Bu durumda, ana yer, ikinci dereceden bir denklemin köklerinin varlığını veya yokluğunu belirlemeye izin veren bir ifade olarak anlaşılan, belirtilen türdeki ikinci dereceden bir denklemin ayırıcısını bulmak için formüller tarafından işgal edilir. numarası (varsa).

İkinci dereceden bir denklemin diskriminantının formülü (denklemi)

İkinci dereceden bir denklemin diskriminantının genel kabul görmüş formülü şu şekildedir: D = b 2 – 4ac. Belirtilen formülü kullanarak diskriminantı hesaplayarak, yalnızca ikinci dereceden bir denklemin köklerinin varlığını ve sayısını belirlemekle kalmaz, aynı zamanda ikinci dereceden denklemin türüne bağlı olarak birkaç tane bulunan bu kökleri bulmak için bir yöntem de seçebilirsiniz.

Diskriminantın sıfır olması ne anlama gelir \ Diskriminantın sıfır olması durumunda ikinci dereceden bir denklemin köklerinin formülü

Ayrımcı, formülden aşağıdaki gibi, Latin harfi D ile gösterilir. Ayrımcının sıfıra eşit olması durumunda, ax 2 + bx + c = 0 biçiminde ikinci dereceden bir denklem olduğu sonucuna varılmalıdır; burada a ≠ 0, basitleştirilmiş formülle hesaplanan tek bir köke sahiptir. Bu formül yalnızca diskriminant sıfır olduğunda geçerlidir ve şu şekilde görünür: x = –b/2a, burada x ikinci dereceden denklemin köküdür, b ve a ikinci dereceden denklemin karşılık gelen değişkenleridir. İkinci dereceden bir denklemin kökünü bulmak için b değişkeninin negatif değerini a değişkeninin değerinin iki katına bölmeniz gerekir. Ortaya çıkan ifade ikinci dereceden bir denklemin çözümü olacaktır.

Diskriminant kullanarak ikinci dereceden bir denklemi çözme

Yukarıdaki formül kullanılarak diskriminant hesaplanırken pozitif bir değer elde edilirse (D sıfırdan büyüktür), ikinci dereceden denklemin aşağıdaki formüller kullanılarak hesaplanan iki kökü vardır: x 1 = (–b + vD)/ 2a, x 2 = (–b – vD) /2a. Çoğu zaman, diskriminant ayrı olarak hesaplanmaz, ancak diskriminant formülü biçimindeki radikal ifade, kökün çıkarıldığı D değeriyle basitçe ikame edilir. b değişkeni çift bir değere sahipse, a ≠ 0 olmak üzere ax 2 + bx + c = 0 formundaki ikinci dereceden bir denklemin köklerini hesaplamak için aşağıdaki formülleri de kullanabilirsiniz: x 1 = (–k + v(k2 – ac))/a , x 2 = (–k + v(k2 – ac))/a, burada k = b/2.

Bazı durumlarda pratik çözümİkinci dereceden denklemler için, x 2 + px + q = 0 formundaki ikinci dereceden bir denklemin köklerinin toplamı için x 1 + x 2 = –p değerinin geçerli olacağını belirten Vieta Teoremini kullanabilirsiniz ve belirtilen denklemin köklerinin çarpımı için x 1 x x 2 = q ifadesi.

Diskriminant sıfırdan küçük olabilir mi?

Diskriminant değerini hesaplarken, açıklanan durumların hiçbirinin kapsamına girmeyen bir durumla karşılaşabilirsiniz - diskriminantın negatif bir değere sahip olması (yani sıfırdan küçük olması). Bu durumda, a ≠ 0 olmak üzere ax 2 + bx + c = 0 formundaki ikinci dereceden bir denklemin gerçek kökleri olmadığı genel olarak kabul edilir, bu nedenle çözümü diskriminantın ve yukarıdaki formüllerin hesaplanmasıyla sınırlı olacaktır. İkinci dereceden bir denklemin kökleri için bu durumda geçerli olmayacaktır. Aynı zamanda ikinci dereceden denklemin cevabında “denklemin gerçek kökleri yoktur” yazmaktadır.

Açıklayıcı video:

Onlar için öyle harika bir teorem buldum ki,
ve ayrımcı aracılığıyla karar veriyorlar:-(((
(c) François Viet “Var olmayan açıklamalar”

Kök formülü veya uzun yol

8. sınıfta az da olsa matematik dersine katılan herkes ikinci dereceden denklemin köklerinin formülünü bilir. Kök formülü kullanan çözüme halk dilinde sıklıkla "ayırt edici aracılığıyla çözüm" adı verilir. Kök formülünü kısaca hatırlayalım.

[Bu makalenin içeriğini şu adreste de görebilirsiniz: video formatı ]

İkinci dereceden denklem şu şekle sahiptir: balta 2 +bx+C= 0, burada A, B, C- bazı sayılar. Örneğin, Denklem. 2X 2 + 3X – 5 = 0 bu sayılar eşittir: A = 2, B = 3. C= -5. İkinci dereceden herhangi bir denklemi çözmeden önce bu sayıları “görmeniz” ve neye eşit olduklarını anlamanız gerekir.

Daha sonra, diskriminant olarak adlandırılan faktör D=b^2-4ac formülü kullanılarak hesaplanır. Bizim durumumuzda D = 3^2 – 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49. Daha sonra diskriminanttan kök çıkarılır: \sqrt(D) = \sqrt(49) = 7 .

Diskriminant hesaplandıktan sonra kök formül kullanılır: x_1=\frac(-b-\sqrt(D))(2a); x_2=\frac(-b+\sqrt(D))(2a):

x_1=\frac(-3-7)(2 \cdot 2)=\frac(-10)(4)=-2,5
x_2= \frac(-3+7)(2 \cdot 2)=\frac(4)(4)=1

Ve böylece denklem çözülür. İki kökü vardır: 1 ve -2,5.

Ancak bu denklem, okul ders kitaplarında/problemlerinde önerilen diğer birçok denklem gibi çok daha fazla çözülebilir. hızlı bir şekilde, eğer birkaç hayat tüyosu biliyorsanız. Ve yararlı bir araç olmasına rağmen, sadece Vieta teoreminden bahsetmiyoruz.

İlk önce hayat kesmek. Eğer A + B + C= 0, sonra x_1=1, x_2=\frac(c)(a) .

Bu yalnızca ikinci dereceden bir denklemdeki üç katsayının tümü aynı olduğunda geçerlidir. A, B, C eklendiklerinde 0 veriyorlar. Mesela denklemimiz vardı 2X 2 + 3X – 5 = 0 . Üç katsayıyı da topladığımızda 2 + 3 – 5 elde ederiz ki bu da 0'a eşittir. Bu durumda diskriminantı sayamaz ve kök formülü uygulayamazsınız. Bunun yerine hemen şunu yazabilirsiniz

x_1=1,
x_2=\frac(c)(a)=\frac(-5)(2)=-2,5

(kök formülünde de aynı sonucu elde ettiğimizi unutmayın).

İnsanlar sıklıkla x_1=1'in her zaman işe yarayıp yaramayacağını soruyor? Evet, ne zaman olursa olsun A + B + C = 0.

Hayat hack ikinci. Eğer A + C = B, sonra x_1=-1, x_2=-\frac(c)(a) .

Denklem verilsin 5X 2 + 6X + 1 = 0 . İçinde A = 5, B = 6, C= 1. “Ekstrem” katsayıları toplarsak A Ve C 5+1 = 6 elde ederiz, bu da “ortalama” katsayıya tam olarak eşittir B. Bu, ayrımcılığa gerek kalmadan yapabileceğimiz anlamına geliyor! Hemen şunu yazıyoruz:

x_1=-1,
x_2=-\frac(c)(a)=\frac(-1)(5)=-0,2

Hayat hack üçüncü(Vieta teoreminin tersi olan teorem). Eğer A= 1 ise

Denklemi düşünün X 2 – 12X+ 35 = 0. a = 1, b = -12, c = 35 içerir. Ne birinci ne de ikinci hayat hackine uymuyor - koşullar karşılanmıyor. Birinciye veya ikinciye uyuyorsa Vieta teoremi olmadan da yapardık.

Vieta teoreminin kullanılması bazı yararlı tekniklerin anlaşılmasını gerektirir.

İlk randevu. Görünüm sisteminin kendisini yazmaktan çekinmeyin \begin(case) x_1+x_2 = -b \\ x_1 \cdot x_2 = c \end(case) Vieta teoremi kullanılarak elde edilir. "İleri düzey kullanıcılar"ın yaptığı gibi, denklemi yazılı notlar olmadan kesinlikle sözlü olarak çözmeye ne pahasına olursa olsun denemeye gerek yoktur.

Denklemimiz için X 2 – 12X+ 35 = 0 bu sistem şu şekildedir

\begin(case) x_1+x_2 = 12 \\ x_1 \cdot x_2 = 35 \end(case)

Şimdi sistemimizi karşılayan x_1 ve x_2 sayılarını sözlü olarak seçmemiz gerekiyor, yani. toplamı 12, çarpıldığında ise 35 olur.

Bu yüzden, ikinci randevu seçime toplamla değil, ürünle başlamanız gerektiğidir. Sistemin ikinci denklemine bakalım ve kendimize soralım: Hangi sayılar çarpıldığında 35 verir? Çarpım tablosunda her şey yolundaysa, cevap hemen akla gelir: 7 ve 5. Şimdi bu sayıları ilk denklemde yerine koyalım: 7 + 5 = 12 elde ederiz, bu gerçek bir eşitliktir. Yani 7 ve 5 sayıları her iki denklemi de karşılıyor, bu yüzden hemen şunu yazıyoruz:

x_1 = 7, x_2 = 5

Üçüncü resepsiyon eğer sayılar hızlı bir şekilde (15-20 saniye içinde) bulunamıyorsa, nedeni ne olursa olsun, diskriminantı hesaplamanız ve kök formülü kullanmanız gerekir. Neden? Çünkü denklemde hiç kök yoksa (ayırt edici negatifse) veya kökler tam sayı olmayan sayılarsa kökler bulunamayabilir.

İkinci dereceden denklemlerin çözümüne yönelik eğitim alıştırmaları

Pratik! Aşağıdaki denklemleri çözmeyi deneyin. Her denkleme aşağıdaki sırayla bakın:

• denklem ilk yaşam hackine uyuyorsa (a + b + c = 0 olduğunda), o zaman onu onun yardımıyla çözeriz;
• eğer denklem ikinci hayat hackine uyuyorsa (a + c = b olduğunda), o zaman onu onun yardımıyla çözeriz;
• eğer denklem üçüncü hayat tüyosuna (Vieta teoremi) uyuyorsa, onun yardımıyla çözeriz;
• ve yalnızca en uç durumda - eğer hiçbir şey uymuyorsa ve/veya Vieta teoremini kullanarak çözmek mümkün değilse - diskriminantı hesaplarız. Tekrar: ayrımcı - son fakat en az değil!

1. Denklemi çözün x 2 + 3x + 2 = 0
   Çözümü ve yanıtı görüntüle

   Hayatın ikinci hack'ini görün
   Bu denklemde a = 1, b = 3, c = 2. Böylece a + c = b olur, dolayısıyla x_1=-1, x_2 = -\frac(c)(a) = -\frac(2)(1)=-2.
   Cevap: -1, -2.

2. x 2 + 8x – 9 = 0 denklemini çözün
   Çözümü ve yanıtı görüntüle

   İlk önce hayat hilesini görün
   Bu denklemde a = 1, b = 8, c = -9. Böylece a + b + c = 0 olur, dolayısıyla x_1=1, x_2 = \frac(c)(a) = \frac(-9)(1)=-9.
   Cevap: 1, -9.

3. 15x 2 – 11x + 2 = 0 denklemini çözün
   Çözümü ve yanıtı görüntüle

   Bu denklem (tüm listedeki tek denklem) hiçbir pratik ipucunun kapsamına girmiyor, bu yüzden onu kök formülü kullanarak çözeceğiz:
   D=b^2-4ac = (-11)^2 – 4 \cdot 15 \cdot 2 = 121 – 120 = 1.x_1=\frac(11-1)(2 \cdot 15)=\frac(10)(30)=\frac(1)(3)x_2= \frac(11+1)(2 \cdot 15)=\frac(12)(30)=\frac(2)(5) Cevap: \frac(1)(3), \frac(2)(5).
   

4. Denklemi çözün x 2 + 9x + 20 = 0
   Çözümü ve yanıtı görüntüle

   
   \begin(cases) x_1+x_2 = -9 \\ x_1 \cdot x_2 = 20 \end(cases)
   Seçim yaparak x_1 = -4, x_2 = -5 olduğunu tespit ederiz.
   Cevap: -4, -5.
   

5. Denklemi çözün x 2 – 7x – 30 = 0
   Çözümü ve yanıtı görüntüle

   Hayat hilesi üçe bakın (Vieta teoremi)
   Bu denklemde a = 1, yani şunu yazabiliriz: \begin(case) x_1+x_2 = 7 \\ x_1 \cdot x_2 = -30 \end(cases)
   Seçim yaparak x_1 = 10, x_2 = -3 olduğunu tespit ederiz.
   Cevap: 10, -3.

6. Denklemi çözün x 2 – 19x + 18 = 0
   Çözümü ve yanıtı görüntüle

   İlk önce hayat hilesini görün
   Bu denklemde a = 1, b = -19, c = 18 olur. Dolayısıyla a + b + c = 0 olur, dolayısıyla x_1=1, x_2 = \frac(c)(a) = \frac(18)(1)=18.
   Cevap: 1, 18.

7. Denklemi çözün x 2 + 7x + 6 = 0
   Çözümü ve yanıtı görüntüle

   Hayatın ikinci hack'ini görün
   Bu denklemde a = 1, b = 7, c = 6. Böylece a + c = b olur, dolayısıyla x_1=-1, x_2 = -\frac(c)(a) = -\frac(6)(1)=-6.
   Cevap: -1, -6.

8. Denklemi çözün x 2 – 8x + 12 = 0
   Çözümü ve yanıtı görüntüle

   Hayat hilesi üçe bakın (Vieta teoremi)
   Bu denklemde a = 1, yani şunu yazabiliriz: \begin(case) x_1+x_2 = 8 \\ x_1 \cdot x_2 = 12 \end(case)
   Seçim yaparak x_1 = 6, x_2 = 2 olduğunu tespit ederiz.
   Cevap: 6, 2.

9. Denklemi çözün x 2 – x – 6 = 0
   Çözümü ve yanıtı görüntüle

   Hayat hilesi üçe bakın (Vieta teoremi)
   Bu denklemde a = 1, yani şunu yazabiliriz: \begin(cases) x_1+x_2 = 1 \\ x_1 \cdot x_2 = -6 \end(cases)
   Seçim yaparak x_1 = 3, x_2 = -2 olduğunu tespit ederiz.
   Cevap: 3, -2.

10. Denklemi çözün x 2 – 15x – 16 = 0
    Çözümü ve yanıtı görüntüle

    Hayatın ikinci hack'ini görün
    Bu denklemde a = 1, b = -15, c = -16. Böylece a + c = b olur, dolayısıyla x_1=-1, x_2 = -\frac(c)(a) = -\frac(-16)(1)=16.
    Cevap: -1, 16.

11. x 2 + 11x – 12 = 0 denklemini çözün
    Çözümü ve yanıtı görüntüle

    İlk önce hayat hilesini görün
    Bu denklemde a = 1, b = 11, c = -12. Böylece a + b + c = 0 olur, dolayısıyla x_1=1, x_2 = \frac(c)(a) = \frac(-12)(1)=-12.
    Cevap: 1, -12.

“Denklemleri Çözme” konusuna devam ederek bu makaledeki materyal size ikinci dereceden denklemleri tanıtacaktır.

Her şeyi ayrıntılı olarak ele alalım: ikinci dereceden denklemin özü ve kaydı, ilgili terimleri tanımlayın, eksik ve çözüm şemasını analiz edin tam denklemler Köklerin ve diskriminantın formülünü tanıyacağız, kökler ve katsayılar arasında bağlantılar kuracağız ve elbette pratik örneklerle görsel bir çözüm sunacağız.

İkinci dereceden denklem, türleri

Tanım 1

İkinci dereceden denklemşu şekilde yazılan bir denklemdir a x 2 + b x + c = 0, Nerede X– değişken, a , b ve C– bazı sayılar, ancak A sıfır değil.

Çoğunlukla ikinci dereceden denklemlere ikinci dereceden denklemler de denir, çünkü özünde ikinci dereceden bir denklem cebirsel denklem ikinci derece.

Verilen tanımı açıklamak için bir örnek verelim: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0 vb. Bunlar ikinci dereceden denklemlerdir.

Tanım 2

a, b ve sayıları C ikinci dereceden denklemin katsayılarıdır a x 2 + b x + c = 0, katsayı ise A birinci veya kıdemli veya x 2'deki katsayı, b - ikinci katsayı veya katsayı denir X, A Cücretsiz üye denir.

Örneğin ikinci dereceden denklemde 6 x 2 − 2 x − 11 = 0 baş katsayı 6, ikinci katsayı ise − 2 ve serbest terim eşittir − 11 . Katsayılar yapılırken şuna dikkat edelim. B ve/veya c negatifse, o zaman şunu kullanın: kısa biçim gibi kayıtlar 6 x 2 − 2 x − 11 = 0, Olumsuz 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

Bu hususu da açıklığa kavuşturalım: eğer katsayılar A ve/veya B eşit 1 veya − 1 , o zaman belirtilen sayısal katsayıları yazmanın özellikleriyle açıklanan ikinci dereceden denklemin yazılmasında açık bir rol alamayabilirler. Örneğin ikinci dereceden denklemde y 2 - y + 7 = 0 baş katsayı 1 ve ikinci katsayı − 1 .

İndirgenmiş ve indirgenmemiş ikinci dereceden denklemler

İlk katsayının değerine göre ikinci dereceden denklemler azaltılmış ve azaltılmamış olarak ayrılır.

Tanım 3

Azaltılmış ikinci dereceden denklem baş katsayısının 1 olduğu ikinci dereceden bir denklemdir. Baş katsayının diğer değerleri için ikinci dereceden denklem azaltılmaz.

Örnekler verelim: Her birinin baş katsayısı 1 olan ikinci dereceden denklemler x 2 − 4 · x + 3 = 0, x 2 − x − 4 5 = 0 azaltılır.

9 x 2 - x - 2 = 0- birinci katsayının farklı olduğu indirgenmemiş ikinci dereceden denklem 1 .

İndirgenmemiş herhangi bir ikinci dereceden denklem, her iki tarafı da birinci katsayıya bölerek (eşdeğer dönüşüm) indirgenmiş bir denkleme dönüştürülebilir. Dönüştürülen denklem, verilen indirgenmemiş denklemle aynı köklere sahip olacak veya hiç kökü olmayacaktır.

Belirli bir örneğin dikkate alınması, indirgenmemiş ikinci dereceden denklemden indirgenmiş denkleme geçişi açıkça göstermemize olanak sağlayacaktır.

Örnek 1

Denklem verildiğinde 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . Orijinal denklemi indirgenmiş forma dönüştürmek gerekir.

Çözüm

Yukarıdaki şemaya göre, orijinal denklemin her iki tarafını da baş katsayı 6'ya bölüyoruz. Sonra şunu elde ederiz: (6 x 2 + 18 x − 7) : 3 = 0: 3 ve bu şununla aynıdır: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 − 7: 3 = 0 ve ayrıca: (6: 6) x 2 + (18: 6) x - 7: 6 = 0. Buradan: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . Böylece verilene eşdeğer bir denklem elde edilir.

Cevap: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

Tam ve eksik ikinci dereceden denklemler

İkinci dereceden denklemin tanımına dönelim. İçinde şunu belirttik bir ≠ 0. Denklem için benzer bir koşul gereklidir a x 2 + b x + c = 0 tam olarak kareydi, çünkü bir = 0 esasen şuna dönüşür: doğrusal denklem b x + c = 0.

Katsayıların olduğu durumda B Ve C sıfıra eşitse (ki bu hem bireysel hem de ortaklaşa mümkündür), ikinci dereceden denklem eksik olarak adlandırılır.

Tanım 4

Tamamlanmamış ikinci dereceden denklem- böyle ikinci dereceden bir denklem a x 2 + b x + c = 0, burada katsayılardan en az biri B Ve C(veya her ikisi de) sıfırdır.

Tam ikinci dereceden denklem– tüm sayısal katsayıların sıfıra eşit olmadığı ikinci dereceden bir denklem.

İkinci dereceden denklem türlerine neden tam olarak bu isimlerin verildiğini tartışalım.

b = 0 olduğunda ikinci dereceden denklem şu şekli alır: a x 2 + 0 x + c = 0, aynı olan a x 2 + c = 0. Şu tarihte: c = 0 ikinci dereceden denklem şu şekilde yazılır: a x 2 + b x + 0 = 0, eşdeğer olan a x 2 + b x = 0. Şu tarihte: b = 0 Ve c = 0 denklem şu şekli alacaktır a x 2 = 0. Elde ettiğimiz denklemler ikinci dereceden denklemin tamamından farklıdır çünkü sol tarafları x değişkenli bir terim, bir serbest terim veya her ikisini birden içermez. Aslında bu gerçek, bu tür bir denklemin eksik adını vermiştir.

Örneğin, x 2 + 3 x + 4 = 0 ve − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 tam ikinci dereceden denklemlerdir; x 2 = 0, - 5 x 2 = 0; 11 x 2 + 2 = 0, − x 2 − 6 x = 0 – tamamlanmamış ikinci dereceden denklemler.

Tamamlanmamış ikinci dereceden denklemleri çözme

Yukarıda verilen tanım, aşağıdaki tamamlanmamış ikinci dereceden denklem türlerini ayırt etmeyi mümkün kılar:

• a x 2 = 0, bu denklem katsayılara karşılık gelir b = 0 ve c = 0;
• a · x 2 + c = 0, b = 0'da;
• c = 0'da a · x 2 + b · x = 0.

Tamamlanmamış ikinci dereceden denklemlerin her türünün çözümünü sırayla ele alalım.

Denklemin çözümü a x 2 =0

Yukarıda belirtildiği gibi bu denklem katsayılara karşılık gelir. B Ve C, sıfıra eşit. Denklem a x 2 = 0 eşdeğer bir denkleme dönüştürülebilir x2 = 0 orijinal denklemin her iki tarafını da sayıya bölerek elde ederiz A, sıfıra eşit değil. Açık olan gerçek şu ki, denklemin kökü x2 = 0 bu sıfır çünkü 0 2 = 0 . Bu denklemin derecenin özellikleriyle açıklanabilecek başka kökleri yoktur: herhangi bir sayı için P, sıfıra eşit değil, eşitsizlik doğrudur p 2 > 0, bundan şu sonuç çıkıyor: p ≠ 0 eşitlik p2 = 0 asla ulaşılamayacak.

Tanım 5

Dolayısıyla, tamamlanmamış ikinci dereceden denklem a x 2 = 0 için benzersiz bir kök vardır x = 0.

Örnek 2

Örneğin tamamlanmamış ikinci dereceden bir denklemi çözelim − 3 x 2 = 0. Denklemin eşdeğeridir x2 = 0, onun tek kökü x = 0, bu durumda orijinal denklemin tek bir kökü vardır - sıfır.

Kısaca çözüm şu şekilde yazılır:

− 3 x 2 = 0, x 2 = 0, x = 0.

a x 2 + c = 0 denklemini çözme

Sırada b = 0, c ≠ 0 olan tamamlanmamış ikinci dereceden denklemlerin çözümü yer alır, yani formdaki denklemler a x 2 + c = 0. Bir terimi denklemin bir tarafından diğer tarafına taşıyarak, işaretini diğer tarafa geçirerek ve denklemin her iki tarafını da sıfıra eşit olmayan bir sayıya bölerek bu denklemi dönüştürelim:

• aktarma C denklemi veren sağ tarafa a x 2 = − c;
• Denklemin her iki tarafını da şuna böl: A x = - c a elde ederiz.

Dönüşümlerimiz eşdeğerdir; buna göre ortaya çıkan denklem de orijinaline eşdeğerdir ve bu durum denklemin kökleri hakkında sonuçlar çıkarmayı mümkün kılar. Değerlerin ne olduğundan A Ve C- c a ifadesinin değeri şunlara bağlıdır: eksi işaretine sahip olabilir (örneğin, eğer bir = 1 Ve c = 2, o zaman - c a = - 2 1 = - 2) veya artı işareti (örneğin, eğer a = − 2 Ve c = 6, o zaman - ca = - 6 - 2 = 3); sıfır değil çünkü c ≠ 0. Durumlar üzerinde daha ayrıntılı olarak duralım - c a< 0 и - c a > 0 .

Bu durumda - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа P p 2 = - c a eşitliği doğru olamaz.

- c a > 0 olduğunda her şey farklıdır: karekökü hatırlayın ve x 2 = - c a denkleminin kökünün - c a sayısı olacağı açık hale gelecektir, çünkü - c a 2 = - c a. - - c a sayısının aynı zamanda x 2 = - c a denkleminin de kökü olduğunu anlamak zor değil: gerçekten de - - c a 2 = - c a.

Denklemin başka kökleri olmayacak. Bunu çelişki yöntemini kullanarak gösterebiliriz. Başlangıç ​​olarak yukarıda bulunan kök notasyonlarını şu şekilde tanımlayalım: x 1 Ve - x 1. x 2 = - c a denkleminin de bir kökü olduğunu varsayalım. x 2 köklerden farklı olan x 1 Ve - x 1. Bunu denklemde yerine koyarak biliyoruz X köklerini kullanarak denklemi adil bir sayısal eşitliğe dönüştürüyoruz.

İçin x 1 Ve - x 1şunu yazıyoruz: x 1 2 = - c a ve için x 2- x 2 2 = - c a . Sayısal eşitliklerin özelliklerine dayanarak, bir doğru eşitlik terimini diğerinden terim bazında çıkarırız, bu bize şunu verir: x 1 2 - x 2 2 = 0. Son eşitliği şu şekilde yeniden yazmak için sayılarla yapılan işlemlerin özelliklerini kullanırız: (x 1 − x 2) · (x 1 + x 2) = 0. İki sayının çarpımının sıfır olduğu ancak ve ancak sayılardan en az birinin sıfır olduğu bilinmektedir. Yukarıdakilerden şu sonuç çıkıyor x 1 - x 2 = 0 ve/veya x 1 + x 2 = 0, bu aynı x 2 = x 1 ve/veya x 2 = - x 1. Açık bir çelişki ortaya çıktı, çünkü ilk başta denklemin kökünün şu şekilde olduğu kabul edildi: x 2 farklı x 1 Ve - x 1. Böylece denklemin x = - c a ve x = - - c a dışında kökleri olmadığını kanıtlamış olduk.

Yukarıdaki tüm argümanları özetleyelim.

Tanım 6

Tamamlanmamış ikinci dereceden denklem a x 2 + c = 0 x 2 = - c a denklemine eşdeğerdir, bu:

• - c a'da kökleri olmayacak< 0 ;
• - c a > 0 için x = - c a ve x = - - c a olmak üzere iki kökü olacaktır.

Denklemlerin çözümüne örnekler verelim a x 2 + c = 0.

Örnek 3

İkinci dereceden bir denklem verildiğinde 9 x 2 + 7 = 0. Bir çözüm bulmak gerekiyor.

Çözüm

Serbest terimi denklemin sağ tarafına taşıyalım, o zaman denklem şu şekli alacaktır: 9 x 2 = − 7.
Ortaya çıkan denklemin her iki tarafını da şuna bölelim: 9 x 2 = - 7 9'a ulaşırız. Sağ tarafta eksi işaretli bir sayı görüyoruz, bu şu anlama geliyor: y verilen denklem kök yok. Daha sonra orijinal tamamlanmamış ikinci dereceden denklem 9 x 2 + 7 = 0 kökleri olmayacak.

Cevap: denklem 9 x 2 + 7 = 0 kökleri yoktur.

Örnek 4

Denklemin çözülmesi gerekiyor − x 2 + 36 = 0.

Çözüm

36'yı sağ tarafa taşıyalım: − x 2 = − 36.
Her iki parçayı da ikiye bölelim − 1 , alıyoruz x 2 = 36. Sağ tarafta pozitif bir sayı var, bundan şu sonuca varabiliriz: x = 36 veya x = -36 .
Kökü çıkaralım ve son sonucu yazalım: tamamlanmamış ikinci dereceden denklem − x 2 + 36 = 0 iki kökü var x=6 veya x = − 6.

Cevap: x=6 veya x = − 6.

Denklemin çözümü a x 2 +b x=0

Üçüncü tür tamamlanmamış ikinci dereceden denklemleri analiz edelim: c = 0. Tamamlanmamış ikinci dereceden bir denklemin çözümünü bulmak için a x 2 + b x = 0çarpanlara ayırma yöntemini kullanacağız. Denklemin sol tarafındaki polinomu parantezlerin ortak çarpanını çıkararak çarpanlarına ayıralım. X. Bu adım, orijinal tamamlanmamış ikinci dereceden denklemin eşdeğerine dönüştürülmesini mümkün kılacaktır. x (a x + b) = 0. Ve bu denklem de bir dizi denkleme eşdeğerdir x = 0 Ve a x + b = 0. Denklem a x + b = 0 doğrusal ve kökü: x = − b bir.

Tanım 7

Böylece, tamamlanmamış ikinci dereceden denklem a x 2 + b x = 0 iki kökü olacak x = 0 Ve x = − b bir.

Bir örnekle konuyu pekiştirelim.

Örnek 5

2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0 denklemine bir çözüm bulmak gerekiyor.

Çözüm

Onu çıkaracağız X parantezlerin dışında x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 denklemini elde ederiz. Bu denklem denklemlere eşdeğerdir x = 0 ve 2 3 x - 2 2 7 = 0. Şimdi ortaya çıkan doğrusal denklemi çözmelisiniz: 2 3 · x = 2 2 7, x = 2 2 7 2 3.

Denklemin çözümünü kısaca aşağıdaki gibi yazın:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 veya 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 veya x = 3 3 7

Cevap: x = 0, x = 3 3 7.

Diskriminant, ikinci dereceden bir denklemin kökleri için formül

İkinci dereceden denklemlere çözüm bulmak için bir kök formül vardır:

Tanım 8

x = - b ± D 2 · a, burada D = b 2 − 4 a c– İkinci dereceden bir denklemin sözde diskriminantı.

x = - b ± D 2 · a yazmak aslında x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a anlamına gelir.

Bu formülün nasıl elde edildiğini ve nasıl uygulanacağını anlamak faydalı olacaktır.

İkinci dereceden bir denklemin kökleri için formülün türetilmesi

İkinci dereceden bir denklem çözme göreviyle karşı karşıya kalalım a x 2 + b x + c = 0. Birkaç eşdeğer dönüşüm gerçekleştirelim:

• Denklemin her iki tarafını bir sayıya bölelim A sıfırdan farklı olarak aşağıdaki ikinci dereceden denklemi elde ederiz: x 2 + b a · x + c a = 0 ;
• Ortaya çıkan denklemin sol tarafındaki karenin tamamını seçelim:
  x 2 + b a · x + c a = x 2 + 2 · b 2 · a · x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = = x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + ca bir
  Bundan sonra denklem şu formu alacaktır: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = 0;
• Artık son iki terimi sağ tarafa aktarmak, işareti ters yönde değiştirmek mümkündür, bundan sonra şunu elde ederiz: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• Son olarak son eşitliğin sağ tarafında yazan ifadeyi dönüştürüyoruz:
  b 2 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 .

Böylece orijinal denklemin eşdeğeri olan x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 denklemine ulaşırız. a x 2 + b x + c = 0.

Bu tür denklemlerin çözümünü önceki paragraflarda inceledik (tamamlanmamış ikinci dereceden denklemlerin çözümü). Halihazırda kazanılan deneyim, x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 denkleminin köklerine ilişkin bir sonuç çıkarmayı mümkün kılmaktadır:

• b 2 - 4 a c 4 a 2 ile< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0 olduğunda denklem x + b 2 · a 2 = 0 olur, bu durumda x + b 2 · a = 0 olur.

Buradan tek kök x = - b 2 · a açıktır;

• b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 > 0 için aşağıdakiler doğru olacaktır: x + b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 veya x = b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , x + - b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 veya x = - b 2 · a - b 2 - 4 ile aynıdır · a · c 4 · a 2 , yani. Denklemin iki kökü vardır.

x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 denkleminin köklerinin varlığının veya yokluğunun (ve dolayısıyla orijinal denklemin) b ifadesinin işaretine bağlı olduğu sonucuna varmak mümkündür. Sağ tarafta 2 - 4 · a · c 4 · a 2 yazılı. Ve bu ifadenin işareti payın (payda) işareti ile verilmektedir. 4 ve 2 her zaman pozitif olacaktır), yani ifadenin işareti b 2 − 4 a c. Bu ifade b 2 − 4 a c isim verilir - ikinci dereceden denklemin diskriminantı ve D harfi onun tanımı olarak tanımlanır. Burada diskriminantın özünü yazabilirsiniz - değerine ve işaretine göre, ikinci dereceden denklemin gerçek kökleri olup olmayacağı ve eğer öyleyse, kök sayısının ne olduğu - bir veya iki - sonucuna varabilirler.

x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 denklemine dönelim. Diskriminant gösterimini kullanarak yeniden yazalım: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Sonuçlarımızı tekrar formüle edelim:

Tanım 9

• en D< 0 denklemin gerçek kökleri yoktur;
• en D=0 denklemin tek bir kökü var x = - b 2 · a ;
• en D > 0 denklemin iki kökü vardır: x = - b 2 · a + D 4 · a 2 veya x = - b 2 · a - D 4 · a 2. Radikallerin özelliklerine göre bu kökler şu şekilde yazılabilir: x = - b 2 · a + D 2 · a veya - b 2 · a - D 2 · a. Ve modülleri açıp kesirleri ortak bir paydaya getirdiğimizde şunu elde ederiz: x = - b + D 2 · a, x = - b - D 2 · a.

Dolayısıyla, akıl yürütmemizin sonucu, ikinci dereceden bir denklemin köklerine ilişkin formülün türetilmesiydi:

x = - b + D 2 a, x = - b - D 2 a, diskriminant D formülle hesaplanır D = b 2 − 4 a c.

Bu formüller, diskriminant sıfırdan büyük olduğunda her iki gerçek kökün belirlenmesini mümkün kılar. Diskriminant sıfır olduğunda, her iki formülün uygulanması aynı kökü verecektir: tek çözüm ikinci dereceden denklem. Diskriminantın negatif olması durumunda ikinci dereceden bir denklemin kökü için formülü kullanmaya çalışırsak, çıkarma ihtiyacıyla karşı karşıya kalacağız. karekök bizi gerçek sayıların ötesine taşıyacak olan negatif bir sayıdan. Negatif bir diskriminantla, ikinci dereceden denklemin gerçek kökleri olmayacaktır, ancak elde ettiğimiz aynı kök formülleriyle belirlenen bir çift karmaşık eşlenik kök mümkündür.

Kök formülleri kullanarak ikinci dereceden denklemleri çözmek için algoritma

İkinci dereceden bir denklemi hemen kök formülünü kullanarak çözmek mümkündür, ancak bu genellikle karmaşık köklerin bulunması gerektiğinde yapılır.

Çoğu durumda, bu genellikle karmaşık değil, ikinci dereceden bir denklemin gerçek köklerini aramak anlamına gelir. Bu durumda, ikinci dereceden bir denklemin kökleri için formülleri kullanmadan önce, ilk olarak diskriminantı belirlemek ve bunun negatif olmadığından emin olmak (aksi takdirde denklemin gerçek kökleri olmadığı sonucuna varırız) ve ardından hesaplamaya devam etmek en uygunudur. köklerin değeri.

Yukarıdaki mantık, ikinci dereceden bir denklemi çözmek için bir algoritma formüle etmeyi mümkün kılar.

Tanım 10

İkinci dereceden bir denklemi çözmek için a x 2 + b x + c = 0, gerekli:

• formüle göre D = b 2 − 4 a c ayırt edici değeri bulun;
• D'de< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• D = 0 için, x = - b 2 · a formülünü kullanarak denklemin tek kökünü bulun;
• D > 0 için, x = - b ± D 2 · a formülünü kullanarak ikinci dereceden denklemin iki gerçek kökünü belirleyin.

Diskriminant sıfır olduğunda x = - b ± D 2 · a formülünü kullanabileceğinizi, bunun x = - b 2 · a formülüyle aynı sonucu vereceğini unutmayın.

Örneklere bakalım.

İkinci dereceden denklemleri çözme örnekleri

Diskriminantın farklı değerleri için örneklere çözüm verelim.

Örnek 6

Denklemin köklerini bulmamız gerekiyor x 2 + 2 x - 6 = 0.

Çözüm

İkinci dereceden denklemin sayısal katsayılarını yazalım: a = 1, b = 2 ve c = - 6. Daha sonra algoritmaya göre ilerliyoruz, yani. A, b katsayılarını değiştireceğimiz diskriminantı hesaplamaya başlayalım. Ve C diskriminant formülüne göre: D = b 2 − 4 · a · c = 2 2 − 4 · 1 · (− 6) = 4 + 24 = 28 .

Böylece D > 0 elde ederiz, bu da orijinal denklemin iki gerçek kökü olacağı anlamına gelir.
Bunları bulmak için x = - b ± D 2 · a kök formülünü kullanırız ve karşılık gelen değerleri değiştirerek şunu elde ederiz: x = - 2 ± 28 2 · 1. Ortaya çıkan ifadeyi kök işaretinden çarpanı çıkarıp sonra kesri azaltarak basitleştirelim:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 veya x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 veya x = - 1 - 7

Cevap: x = - 1 + 7 ​​​​​​, x = - 1 - 7 .

Örnek 7

İkinci dereceden bir denklemi çözmeniz gerekiyor − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

Çözüm

Diskriminantı tanımlayalım: D = 28 2 − 4 · (− 4) · (− 49) = 784 − 784 = 0. Diskriminantın bu değeriyle, orijinal denklemin x = - b 2 · a formülüyle belirlenen tek bir kökü olacaktır.

x = - 28 2 (- 4) x = 3,5

Cevap: x = 3,5.

Örnek 8

Denklemin çözülmesi gerekiyor 5 y 2 + 6 y + 2 = 0

Çözüm

Bu denklemin sayısal katsayıları: a = 5, b = 6 ve c = 2 olacaktır. Diskriminantı bulmak için bu değerleri kullanırız: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . Hesaplanan diskriminant negatif olduğundan orijinal ikinci dereceden denklemin gerçek kökleri yoktur.

Görevin karmaşık kökleri belirtmek olması durumunda, karmaşık sayılarla eylemler gerçekleştirerek kök formülünü uygularız:

x = - 6 ± - 4 2 5,

x = - 6 + 2 i 10 veya x = - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 · i veya x = - 3 5 - 1 5 · i.

Cevap: gerçek kökler yok; karmaşık kökler aşağıdaki gibidir: - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.

İÇİNDE okul müfredatı Karmaşık köklerin aranması için standart bir gereklilik yoktur, bu nedenle çözüm sırasında diskriminantın negatif olduğu belirlenirse, gerçek köklerin olmadığı cevabı hemen yazılır.

Çift ikinci katsayılar için kök formül

Kök formül x = - b ± D 2 · a (D = b 2 − 4 · a · c), daha kompakt başka bir formül elde etmeyi mümkün kılar ve ikinci dereceden denklemlere x için çift katsayılı çözümler bulmayı mümkün kılar ( veya 2 · n formunda bir katsayı ile, örneğin, 2 3 veya 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Bu formülün nasıl elde edildiğini gösterelim.

İkinci dereceden a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 denklemine bir çözüm bulma göreviyle karşı karşıya kalalım. Algoritmaya göre ilerliyoruz: diskriminantı D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c) belirliyoruz ve ardından kök formülü kullanıyoruz:

x = - 2 n ± D 2 a, x = - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x = - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · ca .

N 2 − a · c ifadesinin D 1 (bazen D " ile gösterilir) olarak gösterilmesine izin verin. Daha sonra, ikinci katsayı 2 · n ile ele alınan ikinci dereceden denklemin kökleri için formül şu şekli alacaktır:

x = - n ± D 1 a, burada D 1 = n 2 − a · c.

D = 4 · D 1 veya D 1 = D 4 olduğunu görmek kolaydır. Başka bir deyişle D 1 diskriminantın dörtte biridir. Açıkçası, D 1'in işareti D'nin işaretiyle aynıdır; bu, D 1'in işaretinin aynı zamanda ikinci dereceden bir denklemin köklerinin varlığının veya yokluğunun bir göstergesi olarak da görev yapabileceği anlamına gelir.

Tanım 11

Bu nedenle, ikinci katsayısı 2 n olan ikinci dereceden bir denklemin çözümünü bulmak için şunlar gereklidir:

• D 1 = n 2 − a · c'yi bulun;
• D 1'de< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• D 1 = 0 olduğunda, x = - n a formülünü kullanarak denklemin tek kökünü belirleyin;
• D 1 > 0 için x = - n ± D 1 a formülünü kullanarak iki gerçek kökü belirleyin.

Örnek 9

5 x 2 − 6 x − 32 = 0 ikinci dereceden denklemini çözmek gerekir.

Çözüm

Verilen denklemin ikinci katsayısını 2 · (− 3) olarak gösterebiliriz. Daha sonra verilen ikinci dereceden denklemi 5 x 2 + 2 (− 3) x − 32 = 0 olarak yeniden yazıyoruz; burada a = 5, n = − 3 ve c = − 32.

Diskriminantın dördüncü kısmını hesaplayalım: D 1 = n 2 − a · c = (− 3) 2 − 5 · (− 32) = 9 + 160 = 169. Ortaya çıkan değer pozitiftir, yani denklemin iki gerçek kökü vardır. Bunları karşılık gelen kök formülünü kullanarak belirleyelim:

x = - n ± D 1 a, x = - - 3 ± 169 5, x = 3 ± 13 5,

x = 3 + 13 5 veya x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 veya x = - 2

İkinci dereceden bir denklemin kökleri için alışılagelmiş formülü kullanarak hesaplamalar yapmak mümkün olabilir, ancak bu durumda çözüm daha külfetli olacaktır.

Cevap: x = 3 1 5 veya x = - 2 .

İkinci dereceden denklemlerin formunun basitleştirilmesi

Bazen orijinal denklemin biçimini optimize etmek mümkündür, bu da köklerin hesaplanması sürecini basitleştirir.

Örneğin, ikinci dereceden denklem 12 x 2 − 4 x − 7 = 0'ın çözümü, 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0'a göre açıkça daha uygundur.

Daha sıklıkla, ikinci dereceden bir denklemin biçiminin basitleştirilmesi, her iki tarafının da belirli bir sayıyla çarpılması veya bölünmesiyle gerçekleştirilir. Örneğin yukarıda, her iki tarafın da 100'e bölünmesiyle elde edilen 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0 denkleminin basitleştirilmiş bir temsilini gösterdik.

İkinci dereceden denklemin katsayıları karşılıklı olmadığında böyle bir dönüşüm mümkündür. asal sayılar. Daha sonra genellikle denklemin her iki tarafını da en büyüğüne böleriz. ortak bölen katsayılarının mutlak değerleri.

Örnek olarak ikinci dereceden denklem olan 12 x 2 − 42 x + 48 = 0'ı kullanıyoruz. Katsayılarının mutlak değerlerinin GCD'sini belirleyelim: OBEB (12, 42, 48) = OBEB(12, 42), 48) = OBEB (6, 48) = 6. Orijinal ikinci dereceden denklemin her iki tarafını da 6'ya bölelim ve eşdeğer ikinci dereceden denklem 2 x 2 − 7 x + 8 = 0'ı elde edelim.

İkinci dereceden bir denklemin her iki tarafını çarparak genellikle kesirli katsayılardan kurtulursunuz. Bu durumda katsayılarının paydalarının en küçük ortak katıyla çarpılırlar. Örneğin, ikinci dereceden denklem 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 = 0'un her bir kısmı LCM (6, 3, 1) = 6 ile çarpılırsa, daha fazla olarak yazılacaktır. basit biçimde x 2 + 4 x - 18 = 0 .

Son olarak, ikinci dereceden bir denklemin ilk katsayısındaki eksiden neredeyse her zaman, denklemin her bir teriminin işaretini değiştirerek kurtulduğumuzu not ediyoruz; bu, her iki tarafı da -1 ile çarparak (veya bölerek) elde edilir. Örneğin, ikinci dereceden denklem − 2 x 2 − 3 x + 7 = 0'dan, onun basitleştirilmiş versiyonu olan 2 x 2 + 3 x − 7 = 0'a gidebilirsiniz.

Kökler ve katsayılar arasındaki ilişki

İkinci dereceden denklemlerin kökleri için zaten bildiğimiz formül, x = - b ± D 2 · a, denklemin köklerini sayısal katsayıları aracılığıyla ifade eder. dayalı bu formül, kökler ve katsayılar arasındaki diğer bağımlılıkları belirleme fırsatımız var.

En ünlü ve uygulanabilir olanları Vieta teoreminin formülleridir:

x 1 + x 2 = - b a ve x 2 = c a.

Özellikle verilen ikinci dereceden denklem için köklerin toplamı ters işaretli ikinci katsayıdır ve köklerin çarpımı serbest terime eşittir. Örneğin, 3 x 2 − 7 x + 22 = 0 ikinci dereceden denklemin formuna bakarak, köklerinin toplamının 7 3 ve köklerin çarpımının 22 3 olduğunu hemen belirlemek mümkündür.

İkinci dereceden bir denklemin kökleri ve katsayıları arasında bir dizi başka bağlantı da bulabilirsiniz. Örneğin ikinci dereceden bir denklemin köklerinin karelerinin toplamı katsayılar cinsinden ifade edilebilir:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

İkinci dereceden denklemler genellikle fizik ve matematikteki çeşitli problemleri çözerken ortaya çıkar. Bu yazımızda bu eşitliklerin evrensel bir şekilde “ayrımcı yoluyla” nasıl çözülebileceğine bakacağız. Makalede edinilen bilgilerin kullanımına ilişkin örnekler de verilmektedir.

Hangi denklemlerden bahsedeceğiz?

Aşağıdaki şekilde x'in bilinmeyen bir değişken olduğu ve Latince a, b, c sembollerinin bilinen bazı sayıları temsil ettiği bir formül gösterilmektedir.

Bu sembollerin her birine katsayı denir. Gördüğünüz gibi "a" sayısı x kare değişkeninin önünde görünüyor. Bu, temsil edilen ifadenin maksimum kuvvetidir, bu nedenle buna ikinci dereceden denklem denir. Diğer adı sıklıkla kullanılır: ikinci dereceden denklem. a değerinin kendisi bir kare katsayıdır (değişkenin karesi ile birlikte), b doğrusal bir katsayıdır (birinci kuvvete yükseltilen değişkenin yanındadır) ve son olarak c sayısı serbest terimdir.

Yukarıdaki şekilde gösterilen denklem türünün genel bir klasik ikinci dereceden ifade olduğuna dikkat edin. Buna ek olarak b ve c katsayılarının sıfır olabileceği başka ikinci dereceden denklemler de vardır.

Görev, söz konusu eşitliği çözmek için belirlendiğinde, bu, x değişkeninin onu tatmin edecek değerlerinin bulunması gerektiği anlamına gelir. Burada hatırlamanız gereken ilk şey şudur: X'in maksimum derecesi 2 olduğuna göre bu tür ifadelerin 2'den fazla çözümü olamaz. Bu, bir denklemi çözerken onu karşılayan 2 x değeri bulunursa, o zaman x'in yerine geçen 3. sayının olmadığından emin olabileceğiniz anlamına gelir, eşitlik de doğru olacaktır. Matematikte bir denklemin çözümlerine kökleri denir.

İkinci dereceden denklemleri çözme yöntemleri

Bu tür denklemleri çözmek, onlar hakkında bazı teorilerin bilinmesini gerektirir. Okul cebir dersinde 4 farklı çözüm yöntemi ele alınmaktadır. Bunları listeleyelim:

• çarpanlara ayırma kullanarak;
• tam kare formülünü kullanarak;
• karşılık gelen ikinci dereceden fonksiyonun grafiğini uygulayarak;
• diskriminant denklemini kullanarak.

İlk yöntemin avantajı basitliğidir ancak tüm denklemler için kullanılamaz. İkinci yöntem evrenseldir, ancak biraz hantaldır. Üçüncü yöntem, açıklığıyla ayırt edilir, ancak her zaman uygun ve uygulanabilir değildir. Ve son olarak, diskriminant denklemini kullanmak, herhangi bir ikinci dereceden denklemin köklerini bulmanın evrensel ve oldukça basit bir yoludur. Bu nedenle bu yazıda sadece onu ele alacağız.

Denklemin köklerini elde etmek için formül

İkinci dereceden denklemin genel formuna dönelim. Bunu yazalım: a*x²+ b*x + c =0. “Ayrımcı yoluyla” çözme yöntemini kullanmadan önce eşitliği her zaman yazılı şekline getirmelisiniz. Yani üç terimden oluşmalıdır (ya da b veya c 0 ise daha az).

Örneğin, eğer bir ifade varsa: x²-9*x+8 = -5*x+7*x², o zaman önce tüm terimlerini eşitliğin bir tarafına taşımalı ve x değişkenini içeren terimleri aynı güçler.

Bu durumda bu işlem şu ifadeyi verecektir: -6*x²-4*x+8=0, bu da 6*x²+4*x-8=0 denklemine eşdeğerdir (burada sol ve sol çarpımı yaptık) eşitliğin sağ tarafları -1) .

Yukarıdaki örnekte a = 6, b=4, c=-8. Söz konusu eşitliğin tüm terimlerinin her zaman birlikte toplandığına dikkat edin; dolayısıyla "-" işareti görünürse, bu, karşılık gelen katsayının, bu durumda c sayısı gibi, negatif olduğu anlamına gelir.

Bu noktayı inceledikten sonra şimdi ikinci dereceden bir denklemin köklerini elde etmeyi mümkün kılan formülün kendisine geçelim. Aşağıdaki fotoğrafta gösterilene benziyor.

Bu ifadeden de anlaşılacağı üzere iki kök almanızı sağlar (“±” işaretine dikkat edin). Bunu yapmak için b, c ve a katsayılarını yerine koymak yeterlidir.

Ayrımcı kavramı

Önceki paragrafta herhangi bir ikinci dereceden denklemi hızlı bir şekilde çözmenize olanak tanıyan bir formül verildi. Burada radikal ifadeye diskriminant denir, yani D = b²-4*a*c.

Formülün bu kısmı neden vurgulanıyor ve neden kendi adı var? Gerçek şu ki, diskriminant denklemin üç katsayısını da tek bir ifadede birleştiriyor. İkinci gerçek, kökler hakkında aşağıdaki listede ifade edilebilecek bilgileri tamamen taşıdığı anlamına gelir:

1. D>0: Eşitliğin her ikisi de reel sayı olan 2 farklı çözümü vardır.
2. D<0: также получаются два корня, но оба они комплексные. Этот тип выражений научились решать только в эпоху Возрождения, когда математиками нового времени было введено понятие "мнимая единица".
3. D=0: Denklemin tek kökü vardır ve bu bir reel sayıdır.

Ayırt edici belirleme görevi

Diskriminantın nasıl bulunacağına dair basit bir örnek verelim. Şu eşitlik verilsin: 2*x² - 4+5*x-9*x² = 3*x-5*x²+7.

Bunu standart forma getirelim, şunu elde ederiz: (2*x²-9*x²+5*x²) + (5*x-3*x) + (- 4-7) = 0, buradan eşitliğe geliyoruz : -2*x² +2*x-11 = 0. Burada a=-2, b=2, c=-11.

Artık diskriminant için yukarıdaki formülü kullanabilirsiniz: D = 2² - 4*(-2)*(-11) = -84. Ortaya çıkan sayı görevin cevabıdır. Örnekteki diskriminant sıfırdan küçük olduğundan bu ikinci dereceden denklemin gerçek kökleri olmadığını söyleyebiliriz. Çözümü yalnızca karmaşık türdeki sayılar olacaktır.

Bir ayrımcı aracılığıyla eşitsizliğe bir örnek

Biraz farklı türden problemleri çözelim: -3*x²-6*x+c = 0 eşitliği göz önüne alındığında. D>0 olan c değerlerini bulmak gerekir.

Bu durumda 3 katsayıdan sadece 2'si bilindiğinden diskriminantın kesin değerini hesaplamak mümkün değildir ancak pozitif olduğu bilinmektedir. Eşitsizliği oluştururken son gerçeği kullanıyoruz: D= (-6)²-4*(-3)*c>0 => 36+12*c>0. Ortaya çıkan eşitsizliğin çözülmesi şu sonuca yol açar: c>-3.

Ortaya çıkan sayıyı kontrol edelim. Bunu yapmak için 2 durum için D'yi hesaplıyoruz: c=-2 ve c=-4. -2 sayısı elde edilen sonucu (-2>-3) karşılıyorsa, karşılık gelen diskriminant şu değere sahip olacaktır: D = 12>0. Buna karşılık, -4 sayısı eşitsizliği sağlamaz (-4<-3), вычисляем дискриминант: D = -12<0, что противоречит условию задачи.

Dolayısıyla -3'ten büyük herhangi bir c sayısı koşulu karşılayacaktır.

Bir denklem çözme örneği

Sadece diskriminantı bulmayı değil aynı zamanda denklemi çözmeyi de içeren bir problem sunalım. -2*x²+7-9*x = 0 eşitliğinin köklerini bulmak gerekir.

Bu örnekte diskriminant şu değere eşittir: D = 81-4*(-2)*7= 137. Daha sonra denklemin kökleri şu şekilde belirlenir: x = (9±√137)/(- 4). Bunlar köklerin tam değerleridir; kökü yaklaşık olarak hesaplarsanız şu sayıları elde edersiniz: x = -5,176 ve x = 0,676.

Geometrik problem

Sadece diskriminant hesaplama becerisini değil aynı zamanda soyut düşünme becerilerini ve ikinci dereceden denklemlerin nasıl yazılacağına dair bilgiyi kullanmayı gerektiren bir problemi çözelim.

Bob'un 5 x 4 metrelik bir yorganı vardı. Çocuk, tüm çevresine sürekli bir güzel kumaş şeridi dikmek istedi. Bob'un 10 m² kumaşa sahip olduğunu bilirsek bu şerit ne kadar kalın olur?

Şeridin kalınlığı x m olsun, o zaman battaniyenin uzun kenarı boyunca kumaşın alanı (5+2*x)*x olacaktır ve 2 uzun kenar olduğundan elimizde: 2*x bulunur *(5+2*x). Kısa tarafta dikilen kumaşın alanı 4*x olacaktır, bu kenarlardan 2 adet olduğu için 8*x değerini elde ederiz. Battaniyenin uzunluğu bir o kadar arttığı için uzun tarafa 2*x değerinin eklendiğini unutmayın. Battaniyeye dikilen kumaşın toplam alanı 10 m²'dir. Dolayısıyla şu eşitliği elde ederiz: 2*x*(5+2*x) + 8*x = 10 => 4*x²+18*x-10 = 0.

Bu örnek için diskriminant şuna eşittir: D = 18²-4*4*(-10) = 484. Kökü 22'dir. Formülü kullanarak gerekli kökleri buluruz: x = (-18±22)/( 2*4) = (- 5; 0,5). Açıkçası iki kökten sadece 0,5 sayısı problemin koşullarına göre uygundur.

Böylece Bob'un battaniyesine diktiği kumaş şeridinin genişliği 50 cm olacaktır.