Bir parabol nasıl oluşturulur? parabol nedir? İkinci dereceden denklemler nasıl çözülür? Fonksiyonlar ve grafikler ax2 bx c fonksiyonunun özellikleri.

Bir ortaokulun 8. sınıfı için cebir dersinin özeti

Ders konusu: İşlev

Dersin amacı:

Eğitim: formun ikinci dereceden bir fonksiyonu kavramını tanımlayın (fonksiyonların grafiklerini karşılaştırın ve), bir parabolün tepe noktasının koordinatlarını bulmak için formülü gösterin (bu formülün pratikte nasıl uygulanacağını öğretin); bir grafik üzerinde ikinci dereceden bir fonksiyonun özelliklerini belirleme yeteneği oluşturmak (simetri eksenini bulma, bir parabolün tepe noktasının koordinatları, grafiğin koordinat eksenleriyle kesişme noktalarının koordinatları).

Geliştirme: matematiksel konuşmanın gelişimi, düşüncelerinizi doğru, tutarlı ve rasyonel bir şekilde ifade etme yeteneği; semboller ve notasyonlar kullanarak matematiksel bir metni doğru yazma becerisini geliştirmek; analitik düşüncenin gelişimi; materyali analiz etme, sistematize etme ve genelleştirme yeteneği yoluyla öğrencilerin bilişsel etkinliklerinin geliştirilmesi.

Eğitim: bağımsızlık eğitimi, başkalarını dinleme yeteneği, yazılı matematiksel konuşmada doğruluk ve dikkat oluşumu.

Ders türü: yeni materyal öğrenmek.

Öğretme teknikleri:

genelleştirilmiş üreme, tümevarımsal buluşsal.

Öğrencilerin bilgi ve becerileri için gereksinimler

formun ikinci dereceden bir fonksiyonunun ne olduğunu bilir, bir parabolün tepe noktasının koordinatlarını bulmak için formül; parabolün tepe noktasının koordinatlarını, fonksiyonun grafiğinin koordinat eksenleriyle kesişme noktalarının koordinatlarını bulabilme, fonksiyonun grafiğinden ikinci dereceden fonksiyonun özelliklerini belirleyebilme.

Teçhizat:

Ders planı

Organizasyon anı (1-2 dk)

Bilgi güncellemesi (10 dk)

Yeni materyalin sunumu (15 dak)

Yeni malzemenin emniyete alınması (12 dak)

Özetleme (3 dk)

Ödev (2 dk)

Dersler sırasında

zaman düzenleme

Selamlar, devamsızlıkları kontrol etmek, defterleri toplamak.

Bilgi güncellemesi

Öğretmen: Bugünkü derste yeni bir konu öğreneceğiz: "Fonksiyon". Ama önce, daha önce çalışılan materyali tekrarlayalım.

Ön anket:

İkinci dereceden fonksiyona ne denir? (Gerçek sayıların gerçek değişken verildiği bir fonksiyona ikinci dereceden fonksiyon denir.)

kare fonksiyon grafiği nedir? (İkinci dereceden bir fonksiyonun grafiği bir paraboldür.)

İkinci dereceden bir fonksiyonun sıfırları nelerdir? (İkinci dereceden bir fonksiyonun sıfırları, kaybolduğu değerlerdir.)

Fonksiyonun özelliklerini listeleyiniz. (Fonksiyonun değerleri pozitif ve sıfıra eşittir; fonksiyonun grafiği, koordinatların eksenlerine göre simetriktir; fonksiyonda artar, - azalır.)

Fonksiyonun özelliklerini listeleyiniz. (Eğer, o zaman fonksiyon pozitif değerler alırsa, eğer, o zaman fonksiyon negatif değerler alırsa, fonksiyonun değeri sadece 0'dır; parabol ordinata göre simetriktir; eğer, o zaman fonksiyon artar ve azalır, eğer, o zaman fonksiyon artar, azalır - .)

Yeni materyalin sunumu

Öğretmen: Yeni materyal öğrenmeye başlayalım. Defterlerinizi açın, dersin numarasını ve konusunu yazın. Tahtaya dikkat edin.

Kara tahta yazma: Sayı.

İşlev.

Öğretmen : Tahtada iki fonksiyon grafiği görüyorsunuz. Birincisi grafik, ikincisi. Onları karşılaştırmaya çalışalım.

Fonksiyonun özelliklerini biliyorsunuz. Onlara dayanarak ve grafiklerimizi karşılaştırarak fonksiyonun özelliklerini vurgulayabiliriz.

Peki sizce parabolün dallarının yönü neye bağlı olacak?

Öğrenciler: Her iki parabolün dallarının yönü katsayıya bağlı olacaktır.

Öğretmen: Oldukça doğru. Ayrıca her iki parabolün de bir simetri eksenine sahip olduğunu fark edebilirsiniz. Fonksiyonun ilk grafiği, simetri ekseni nedir?

Öğrenciler: Bir görünümün parabolünde, simetri ekseni ordinattır.

Öğretmen: Doğru. Ve parabolün simetri ekseni nedir?

Öğrenciler: Bir parabolün simetri ekseni, ordinata paralel olarak parabolün tepesinden geçen çizgidir.

Öğretmen: Doğru. Böylece, fonksiyonun grafiğinin simetri ekseni, ordinat eksenine paralel olarak parabolün tepe noktasından geçen doğru olarak adlandırılacaktır.

Ve parabolün tepe noktası koordinatları olan noktadır. Şu formülle belirlenirler:

Formülü bir not defterine yazın ve çerçeveleyin.

Tahtaya ve defterlere yazı yazmak

Parabolün tepe noktasının koordinatları.

Öğretmen: Şimdi, daha açık hale getirmek için bir örneğe bakalım.

Örnek 1: Bir parabolün tepe noktasının koordinatlarını bulun .

Çözüm: Formüle göre

Öğretmen : Daha önce de belirttiğimiz gibi, simetri ekseni parabolün tepesinden geçer. Masaya bak. Bu çizimi defterinize çizin.

Tahtaya ve defterlere yazı yazmak:

Öğretmen: Çizimde: - bir parabolün simetri ekseninin, parabolün tepe noktasının apsisinin olduğu noktada apeks ile denklemi.

Bir örneğe bakalım.

Örnek 2: Fonksiyonun grafiğinden bir parabolün simetri ekseninin denklemini belirleyin.

Simetri ekseninin denklemi şu şekildedir: bu nedenle, verilen parabolün simetri ekseninin denklemi.

Cevap: - simetri ekseninin denklemi.

Yeni malzemenin güvenliğini sağlamak

Öğretmen: Tahtada sınıfta çözülmesi gereken görevler var.

Tahtaya Yazılar: No. 609 (3), 612 (1), 613 (3)

Öğretmen: Ama önce ders kitabından olmayan bir örnek çözelim. Tahtada karar vereceğiz.

Örnek 1: Bir parabolün tepe noktasının koordinatlarını bulun

Çözüm: Formüle göre

Cevap: parabolün tepe noktasının koordinatları.

Örnek 2: Bir parabolün kesişme noktalarının koordinatlarını bulun koordinat eksenleri ile.

Çözüm: 1) Eksen ile:

Şunlar.

Vieta teoremi ile:

Apsis ekseni (1; 0) ve (2; 0) ile kesişme noktaları.

a, b, c'nin reel sayılar olduğu ve sıfırdan farklı olduğu ax 2 + bx + c biçiminde bir ifade düşünün. Bu matematiksel ifade kare üç terimli olarak bilinir.

Ax 2'nin bu kare üç terimlinin baştaki terimi olduğunu ve onun baş katsayısı olduğunu hatırlayın.

Ancak kare üç terimli her zaman üç terimin hepsine sahip değildir. Örneğin, a = 3, b = 2, c = 0 olmak üzere 3x 2 + 2x ifadesini alın.

İkinci dereceden y = ax 2 + bx + c işlevine geçiyoruz, burada a, b, c herhangi bir rastgele sayıdır. Bu fonksiyon ikinci derecedendir, çünkü ikinci dereceden bir terim, yani x kare içerir.

İkinci dereceden bir işlevi çizmek oldukça kolaydır, örneğin tam kare seçim yöntemini kullanabilirsiniz.

y eşittir -3x 2 - 6x + 1'e eşit bir fonksiyonun çizilmesine bir örnek düşünün.

Bunu yapmak için hatırladığımız ilk şey, -3x 2 - 6x + 1 üçlü teriminde tam bir kare tahsis etme şemasıdır.

İlk iki terim için parantezlerden -3'ü çıkarın. -3 çarpı x kare artı 2x'in toplamına 1 ekliyoruz. -3 çarpı toplam (x + 1) kare eksi 1 toplama 1 elde ederiz. Parantezleri genişletip benzer terimler vererek, -3 çarpı toplamın karesi (x + 1) ekleyin 4 ifadesini elde ederiz.

Koordinatları (-1; 4) olan noktada orijin ile yardımcı koordinat sistemine geçerek, ortaya çıkan fonksiyonun bir grafiğini oluşturalım.

Videodaki resimde bu sistem noktalı çizgilerle belirtilmiştir. y eşittir -3x2 fonksiyonunu oluşturulan koordinat sistemine bağlayalım. Kolaylık sağlamak için kontrol noktalarını ele alalım. Örneğin, (0; 0), (1; -3), (-1; -3), (2; -12), (-2; -12). Aynı zamanda onları kurduğumuz koordinat sisteminde erteleyeceğiz. Ortaya çıkan parabol, ihtiyacımız olan grafiktir. Resimde kırmızı bir parabol var.

Tam bir kareyi ayırma yöntemini uygulayarak, formun ikinci dereceden bir işlevine sahibiz: y = a * (x + 1) 2 + m.

y = ax 2 + bx + c parabolünün grafiği, paralel öteleme ile y = ax 2 parabolünden kolayca elde edilebilir. Bu, binomun tam karesinin seçilmesiyle kanıtlanabilecek bir teorem ile doğrulanır. Ardışık dönüşümlerden sonra ax 2 + bx + c ifadesi, şu formun bir ifadesine dönüşür: a * (x + l) 2 + m. Bir grafik çizelim. Köşeyi koordinatları (-l; m) olan bir noktayla hizalayarak, y = ax 2 parabolünün paralel bir hareketini gerçekleştirelim. Önemli olan x = -l yani -b / 2a olmasıdır. Bu, bu düz çizginin 2 + bx + c parabolünün ekseni olduğu, tepe noktasının apsisi x olan noktada olduğu, sıfırın eksi b'ye bölündüğü, 2a'ya bölündüğü ve ordinatın hantal formül kullanılarak hesaplandığı anlamına gelir. 4ac - b 2 /. Ancak bu formülü ezberlemek zorunda değilsiniz. Apsis değerini fonksiyonda yerine koyduğumuzdan, ordinatı elde ederiz.

Eksenin denklemini, dallarının yönünü ve parabolün tepe noktasının koordinatlarını belirlemek için aşağıdaki örneği göz önünde bulundurun.

y = -3x 2 - 6x + 1 fonksiyonunu alın. Parabolün ekseni için denklemi derledikten sonra, x = -1'e sahibiz. Ve bu değer, parabolün tepe noktasının x koordinatıdır. Sadece ordinatı bulmak için kalır. -1 değerini fonksiyonda yerine koyarsak 4 elde ederiz. Parabolün tepe noktası (-1; 4) noktasındadır.

y = -3x 2 - 6x + 1 fonksiyonunun grafiği, y = -3x 2 fonksiyonunun grafiğinin paralel transferi ile elde edilmiştir, yani benzer şekilde davranır. Kıdemli katsayı negatiftir, bu nedenle dallar aşağı doğru yönlendirilir.

y = ax 2 + bx + c formunun herhangi bir fonksiyonu için en kolay sorunun son soru olduğunu, yani parabolün dallarının yönü olduğunu görüyoruz. A katsayısı pozitif ise dallar yukarı, negatif ise aşağı yönlüdür.

İlk soru karmaşıklıkta bir sonraki sorudur, çünkü ek hesaplamalar gerektirir.

Ve en zoru ikincisidir, çünkü hesaplamalara ek olarak, x'in sıfır ve y'nin sıfır olduğu formüllerin bilgisine de ihtiyaç vardır.

y = 2x 2 - x + 1 fonksiyonunun bir grafiğini oluşturalım.

Hemen belirleriz - grafik bir paraboldür, üst katsayı 2 olduğu için dallar yukarı doğru yönlendirilir ve bu pozitif bir sayıdır. Formülü kullanarak apsis x sıfırı buluyoruz, 1.5'e eşit. Ordinatı bulmak için, sıfırın 1.5'lik bir fonksiyona eşit olduğunu hatırlayın, hesaplarken -3.5 elde ederiz.

Köşe - (1.5; -3.5). Eksen - x = 1.5. x = 0 ve x = 3 noktalarını alın. y = 1. Bu noktaları işaretleyelim. Bilinen üç noktayı kullanarak istenen grafiği oluşturuyoruz.

ax 2 + bx + c fonksiyonunu çizmek için şunları yapmalısınız:

Parabolün tepe noktasının koordinatlarını bulun ve şekilde işaretleyin, ardından parabolün eksenini çizin;

Öküz ekseninde, eksen etrafında iki simetrik, parabol noktaları alın, bu noktalarda fonksiyonun değerini bulun ve koordinat düzleminde işaretleyin;

Üç noktadan bir parabol oluşturun, gerekirse birkaç nokta daha alıp bunlara dayalı bir grafik oluşturabilirsiniz.

Bir sonraki örnekte, bir segment üzerinde -2x 2 + 8x - 5 fonksiyonunun en büyük ve en küçük değerlerini nasıl bulacağımızı öğreneceğiz.

Algoritmaya göre: a = -2, b = 8, yani x sıfır 2'ye eşittir ve y sıfır 3'tür, (2; 3) parabolün tepe noktasıdır ve x = 2 eksendir.

x = 0 ve x = 4 değerlerini alın ve bu noktaların koordinatlarını bulun. Bu -5. Bir parabol oluşturuyoruz ve bunu belirliyoruz. en küçük değer x = 0'da -5 ve x = 2'de en büyük 3 fonksiyonları.

Pratikte görüldüğü gibi, ikinci dereceden bir fonksiyonun özellikleri ve grafikleri için görevler ciddi zorluklara neden olur. Bu oldukça tuhaftır, çünkü ikinci dereceden fonksiyon 8. sınıfta geçirilir ve ardından 9. sınıfın ilk çeyreğinin tamamı parabolün özelliklerini "zorlanır" ve grafikleri çeşitli parametreler için çizilir.

Bunun nedeni, öğrencileri parabol oluşturmaya zorlamak, pratik olarak grafikleri "okumak" için zaman ayırmamaları, yani resimden elde edilen bilgileri kavrama pratiği yapmamalarıdır. Görünüşe göre, bir düzine grafik oluşturduktan sonra, akıllı bir öğrencinin formüldeki katsayılar ile grafiğin görünümü arasındaki ilişkiyi keşfedeceği ve formüle edeceği varsayılmaktadır. Pratikte bu işe yaramaz. Böyle bir genelleme için, elbette çoğu dokuzuncu sınıf öğrencisinin sahip olmadığı ciddi bir matematiksel mini araştırma deneyimi gereklidir. Bu arada, GIA, katsayıların işaretlerini programa göre tam olarak belirlemeyi önermektedir.

Okul çocuklarından imkansızı talep etmeyeceğiz ve sadece bu tür sorunları çözmek için algoritmalardan birini sunacağız.

Yani formun bir fonksiyonu y = eksen 2 + bx + c ikinci dereceden denir, grafiği bir paraboldür. Adından da anlaşılacağı gibi, ana terim balta 2... Yani a sıfır olmamalıdır, diğer katsayılar ( B ve İle) sıfıra eşit olabilir.

Katsayılarının işaretlerinin bir parabolün görünümünü nasıl etkilediğini görelim.

Katsayı için en basit ilişki a... Çoğu okul çocuğu güvenle cevap verir: "eğer a> 0, o zaman parabolün dalları yukarı doğru yönlendirilir ve eğer a < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой a > 0.

y = 0,5x 2 - 3x + 1

Bu durumda a = 0,5

ve şimdi için a < 0:

y = - 0,5x2 - 3x + 1

Bu durumda a = - 0,5

Katsayının etkisi İle izlemek de yeterince kolaydır. noktasında fonksiyonun değerini bulmak istediğimizi düşünelim. x= 0. Formülde sıfırı değiştirin:

y = a 0 2 + B 0 + C = C... Şekline dönüştü y = c... Yani İle parabolün y ekseni ile kesişme noktasının ordinatıdır. Tipik olarak, bu noktayı bir grafikte bulmak kolaydır. Ve sıfırın üzerinde mi yoksa altında mı olduğunu belirleyin. Yani İle> 0 veya İle < 0.

İle > 0:

y = x 2 + 4x + 3

İle < 0

y = x 2 + 4x - 3

Buna göre, eğer İle= 0, o zaman parabol mutlaka orijinden geçecektir:

y = x 2 + 4x

parametre ile daha zor B... Onu bulacağımız nokta, yalnızca B ama aynı zamanda a... Bu parabolün tepe noktasıdır. Apsis (eksen boyunca koordinat x) formülü ile bulunur x = - b / (2a)... Böylece, b = - 2х в... Yani, şu şekilde hareket ediyoruz: grafikte parabolün tepesini buluyoruz, apsisinin işaretini belirliyoruz, yani sıfırın sağına bakıyoruz ( x içinde> 0) veya sola ( x içinde < 0) она лежит.

Ancak, hepsi bu değil. Katsayının işaretine de dikkat etmeliyiz. a... Yani parabolün dallarının nereye yönlendirildiğini görmek için. Ve ancak bundan sonra, formüle göre b = - 2х в işareti tanımla B.

Bir örnek düşünelim:

Dallar yukarı doğru yönlendirilir, yani a> 0, parabol ekseni kesiyor de sıfırın altında anlamına gelir İle < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x içinde> 0. Dolayısıyla b = - 2х в = -++ = -. B < 0. Окончательно имеем: a > 0, B < 0, İle < 0.

Ders: Bir parabol veya ikinci dereceden bir fonksiyon nasıl oluşturulur?

TEORİK BÖLÜM

Bir parabol, ax 2 + bx + c = 0 formülüyle tanımlanan bir fonksiyonun grafiğidir.
Bir parabol oluşturmak için basit bir eylem algoritması izlemeniz gerekir:

1) Parabol formülü y = ax 2 + bx + c,
Eğer bir> 0 sonra parabolün dalları yönlendirilir yukarı,
aksi takdirde parabolün dalları yönlendirilir aşağı.
Ücretsiz Üye C bu nokta parabol ile OY eksenini keser;

2) formül ile bulunur x = (- b) / 2a, bulunan x'i parabol denkleminde yerine koyarız ve buluruz y;

3)fonksiyon sıfırları veya aksi takdirde parabolün OX ekseni ile kesişme noktalarına denklemin kökleri de denir. Kökleri bulmak için denklemi 0'a eşitleriz. balta 2 + bx + c = 0;

Denklem türleri:

a) İkinci dereceden denklemin tamamı balta 2 + bx + c = 0 ve ayrımcı tarafından karar verilir;
b) Formun eksik ikinci dereceden denklemi eksen 2 + bx = 0. Bunu çözmek için, x'i parantezlerin dışına koymanız ve ardından her bir faktörü 0'a eşitlemeniz gerekir:
balta 2 + bx = 0,
x (ax + b) = 0,
x = 0 ve ax + b = 0;
c) Formun eksik ikinci dereceden denklemi eksen 2 + c = 0. Bunu çözmek için bilinmeyeni bir yöne, bilineni diğer yöne taşımanız gerekir. x = ± √ (c/a);

4) İşlevi oluşturmak için bazı ek noktalar bulun.

PRATİK BÖLÜM

Ve şimdi, bir örnek kullanarak, her şeyi eylemlere göre analiz edeceğiz:
Örnek 1:
y = x 2 + 4x + 3
c = 3, parabolün OY ile x = 0 y = 3 noktasında kesiştiği anlamına gelir. a = 1 1> 0 olduğundan parabolün dalları yukarı bakar.
a = 1 b = 4 c = 3 x = (- b) / 2a = (- 4) / (2 * 1) = - 2 y = (-2) 2 +4 * (- 2) + 3 = 4- 8 + 3 = -1 tepe noktası (-2; -1) noktasındadır
x 2 + 4x + 3 = 0 denkleminin köklerini bulun
Diskriminant ile kökleri bulun
a = 1 b = 4 c = 3
D = b 2 -4ac = 16-12 = 4
x = (- b ± √ (D)) / 2a
x 1 = (- 4 + 2) / 2 = -1
x 2 = (- 4-2) / 2 = -3

x = -2 köşesine yakın bazı keyfi noktalar alın

x -4 -3 -1 0
y 3 0 0 3

x'i denklemde yerine koy y = x 2 + 4x + 3 değerler
y = (- 4) 2 +4 * (- 4) + 3 = 16-16 + 3 = 3
y = (- 3) 2 +4 * (- 3) + 3 = 9-12 + 3 = 0
y = (- 1) 2 +4 * (- 1) + 3 = 1-4 + 3 = 0
y = (0) 2 + 4 * (0) + 3 = 0-0 + 3 = 3
Parabolün x = -2 doğrusuna göre simetrik olduğu fonksiyonun değerlerinden görülebilir.

Örnek # 2:
y = -x 2 + 4x
c = 0, parabolün OY ile x = 0 y = 0 noktasında kesiştiği anlamına gelir. Parabolün dalları a = -1 -1 şeklinde aşağıya bakar -x 2 + 4x = 0 denkleminin köklerini bulun
ax 2 + bx = 0 formunun eksik ikinci dereceden denklemi. Bunu çözmek için parantezlerden x'i çıkarmanız ve ardından her bir faktörü 0'a eşitlemeniz gerekir.
x (-x + 4) = 0, x = 0 ve x = 4.

x = 2 köşesine yakın bazı keyfi noktalar alın
x 0 1 3 4
y 0 3 3 0
x'i denklemde yerine koy y = -x 2 + 4x değerleri
y = 0 2 + 4 * 0 = 0
y = - (1) 2 + 4 * 1 = -1 + 4 = 3
y = - (3) 2 + 4 * 3 = -9 + 13 = 3
y = - (4) 2 + 4 * 4 = -16 + 16 = 0
Parabolün x = 2 doğrusuna göre simetrik olduğu fonksiyonun değerlerinden görülebilir.

Örnek No. 3
y = x 2 -4
c = 4, parabolün OY ile x = 0 y = 4 noktasında kesiştiği anlamına gelir. a = 1 1> 0 olduğundan parabolün dalları yukarı bakar.
a = 1 b = 0 c = -4 x = (- b) / 2a = 0 / (2 * (1)) = 0 y = (0) 2 -4 = -4 tepe noktası (0; -4)
x 2 -4 = 0 denkleminin köklerini bulun
ax 2 + c = 0 formunun eksik ikinci dereceden denklemi. Bunu çözmek için bilinmeyeni bir yöne, bilineni diğer yöne taşımanız gerekir. x = ± √ (c / a)
x 2 = 4
x 1 = 2
x 2 = -2

x = 0 köşesine yakın bazı keyfi noktalar alın
x -2 -1 1 2
y 0 -3 -3 0
x'i denklemde yerine koy y = x 2 -4 değerleri
y = (- 2) 2 -4 = 4-4 = 0
y = (- 1) 2 -4 = 1-4 = -3
y = 1 2 -4 = 1-4 = -3
y = 2 2 -4 = 4-4 = 0
Parabolün x = 0 doğrusuna göre simetrik olduğu fonksiyonun değerlerinden görülebilir.

Abone YOUTUBE'da kanal başına tüm yeni ürünleri yakından takip etmek ve sınavlara bizimle birlikte hazırlanmak için.