Paralelkenarın orta çizgisinin uzunluğu için formül. Yamuğun orta çizgisi nasıl bulunur
Üçgenin orta çizgisi kavramı
Üçgenin orta çizgisi kavramını tanıtalım.
Tanım 1
Bu, bir üçgenin iki tarafının orta noktalarını birleştiren bir segmenttir (Şekil 1).
Şekil 1. Üçgenin orta çizgisi
Üçgen Orta Hat Teoremi
Teorem 1
Bir üçgenin orta çizgisi kenarlarından birine paralel ve yarısına eşittir.
Kanıt.
Bize $ABC$ üçgeni verilsin. $MN$ orta çizgidir (Şekil 2'deki gibi).
Şekil 2. Teorem 1'in Gösterimi
$\frac(AM)(AB)=\frac(BN)(BC)=\frac(1)(2)$ olduğundan, $ABC$ ve $MBN$ üçgenleri, üçgenlerin benzerliğine ilişkin ikinci kritere göre benzerdir . Araç
Ayrıca $\angle A=\angle BMN$ sonucu çıkar, bu da $MN||AC$ anlamına gelir.
Teorem kanıtlandı.
Üçgen orta hat teoreminin sonuçları
Sonuç 1: Bir üçgenin kenarortayları bir noktada kesişir ve tepe noktasından başlayarak $2:1$ oranında kesişme noktasına bölünür.
Kanıt.
$ABC$ üçgenini düşünün; burada $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ onun medyanlarıdır. Medyanlar kenarları ikiye böldüğü için. Ortadaki $A_1B_1$ çizgisini ele alalım (Şekil 3).
Şekil 3. Sonuç 1'in Gösterimi
Teorem 1'e göre $AB||A_1B_1$ ve $AB=2A_1B_1$, dolayısıyla $\angle ABB_1=\angle BB_1A_1,\ \angle BAA_1=\angle AA_1B_1$. Bu, $ABM$ ve $A_1B_1M$ üçgenlerinin, üçgenlerin benzerliğine ilişkin ilk kritere göre benzer olduğu anlamına gelir. Daha sonra
Benzer şekilde, kanıtlanmıştır ki
Teorem kanıtlandı.
Sonuç 2:Üçgenin ortadaki üç çizgisi, onu $k=\frac(1)(2)$ benzerlik katsayısına sahip orijinal üçgene benzer 4 üçgene böler.
Kanıt.
Orta çizgisi $A_1B_1,\(\A)_1C_1,\B_1C_1$ olan $ABC$ üçgenini düşünün (Şekil 4)
Şekil 4. Sonuç 2'nin Gösterimi
$A_1B_1C$ üçgenini düşünün. $A_1B_1$ orta çizgi olduğundan, o zaman
$C$ açısı bu üçgenlerin ortak açısıdır. Sonuç olarak, $A_1B_1C$ ve $ABC$ üçgenleri, benzerlik katsayısı $k=\frac(1)(2)$ olan üçgenlerin benzerliğine ilişkin ikinci kritere göre benzerdir.
Benzer şekilde, $A_1C_1B$ ve $ABC$ üçgenleri ile $C_1B_1A$ ve $ABC$ üçgenlerinin $k=\frac(1)(2)$ benzerlik katsayısıyla benzer oldukları kanıtlanmıştır.
$A_1B_1C_1$ üçgenini düşünün. $A_1B_1,\ (\A)_1C_1,\ B_1C_1$ üçgenin orta çizgileri olduğundan, o zaman
Bu nedenle, üçgenlerin benzerliğine ilişkin üçüncü kritere göre, $A_1B_1C_1$ ve $ABC$ üçgenleri $k=\frac(1)(2)$ benzerlik katsayısıyla benzerdir.
Teorem kanıtlandı.
Üçgenin orta çizgisi kavramına ilişkin problem örnekleri
Örnek 1
Kenarları 16$ cm, 10$ cm ve 14$ cm olan bir üçgen verildiğinde, köşeleri bu üçgenin kenarlarının orta noktalarında bulunan üçgenin çevresini bulun.
Çözüm.
İstenilen üçgenin köşeleri verilen üçgenin kenarlarının orta noktalarında bulunduğundan, kenarları orijinal üçgenin orta çizgileridir. Sonuç 2'ye göre, istenen üçgenin kenarlarının $8$ cm, $5$ cm ve $7$ cm'ye eşit olduğunu buluyoruz.
Cevap:$20$ bkz.
Örnek 2
Verilen bir $ABC$ üçgeni. $N\ ve\ M$ noktaları sırasıyla $BC$ ve $AB$ kenarlarının orta noktalarıdır (Şekil 5).
Şekil 5.
$BMN=14$ cm üçgeninin çevresi $ABC$ üçgeninin çevresini bulun.
Çözüm.
$N\ ve\ M$, $BC$ ve $AB$ kenarlarının orta noktaları olduğundan, $MN$ orta çizgidir. Araç
Teorem 1'e göre $AC=2MN$. Şunu elde ederiz:
Üçgenin orta çizgisi kavramı
Üçgenin orta çizgisi kavramını tanıtalım.
Tanım 1
Bu, bir üçgenin iki tarafının orta noktalarını birleştiren bir segmenttir (Şekil 1).
Şekil 1. Üçgenin orta çizgisi
Üçgen Orta Hat Teoremi
Teorem 1
Bir üçgenin orta çizgisi kenarlarından birine paralel ve yarısına eşittir.
Kanıt.
Bize $ABC$ üçgeni verilsin. $MN$ orta çizgidir (Şekil 2'deki gibi).
Şekil 2. Teorem 1'in Gösterimi
$\frac(AM)(AB)=\frac(BN)(BC)=\frac(1)(2)$ olduğundan, $ABC$ ve $MBN$ üçgenleri, üçgenlerin benzerliğine ilişkin ikinci kritere göre benzerdir . Araç
Ayrıca $\angle A=\angle BMN$ sonucu çıkar, bu da $MN||AC$ anlamına gelir.
Teorem kanıtlandı.
Üçgen orta hat teoreminin sonuçları
Sonuç 1: Bir üçgenin kenarortayları bir noktada kesişir ve tepe noktasından başlayarak $2:1$ oranında kesişme noktasına bölünür.
Kanıt.
$ABC$ üçgenini düşünün; burada $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ onun medyanlarıdır. Medyanlar kenarları ikiye böldüğü için. Ortadaki $A_1B_1$ çizgisini ele alalım (Şekil 3).
Şekil 3. Sonuç 1'in Gösterimi
Teorem 1'e göre $AB||A_1B_1$ ve $AB=2A_1B_1$, dolayısıyla $\angle ABB_1=\angle BB_1A_1,\ \angle BAA_1=\angle AA_1B_1$. Bu, $ABM$ ve $A_1B_1M$ üçgenlerinin, üçgenlerin benzerliğine ilişkin ilk kritere göre benzer olduğu anlamına gelir. Daha sonra
Benzer şekilde, kanıtlanmıştır ki
Teorem kanıtlandı.
Sonuç 2:Üçgenin ortadaki üç çizgisi, onu $k=\frac(1)(2)$ benzerlik katsayısına sahip orijinal üçgene benzer 4 üçgene böler.
Kanıt.
Orta çizgisi $A_1B_1,\(\A)_1C_1,\B_1C_1$ olan $ABC$ üçgenini düşünün (Şekil 4)
Şekil 4. Sonuç 2'nin Gösterimi
$A_1B_1C$ üçgenini düşünün. $A_1B_1$ orta çizgi olduğundan, o zaman
$C$ açısı bu üçgenlerin ortak açısıdır. Sonuç olarak, $A_1B_1C$ ve $ABC$ üçgenleri, benzerlik katsayısı $k=\frac(1)(2)$ olan üçgenlerin benzerliğine ilişkin ikinci kritere göre benzerdir.
Benzer şekilde, $A_1C_1B$ ve $ABC$ üçgenleri ile $C_1B_1A$ ve $ABC$ üçgenlerinin $k=\frac(1)(2)$ benzerlik katsayısıyla benzer oldukları kanıtlanmıştır.
$A_1B_1C_1$ üçgenini düşünün. $A_1B_1,\ (\A)_1C_1,\ B_1C_1$ üçgenin orta çizgileri olduğundan, o zaman
Bu nedenle, üçgenlerin benzerliğine ilişkin üçüncü kritere göre, $A_1B_1C_1$ ve $ABC$ üçgenleri $k=\frac(1)(2)$ benzerlik katsayısıyla benzerdir.
Teorem kanıtlandı.
Üçgenin orta çizgisi kavramına ilişkin problem örnekleri
Örnek 1
Kenarları 16$ cm, 10$ cm ve 14$ cm olan bir üçgen verildiğinde, köşeleri bu üçgenin kenarlarının orta noktalarında bulunan üçgenin çevresini bulun.
Çözüm.
İstenilen üçgenin köşeleri verilen üçgenin kenarlarının orta noktalarında bulunduğundan, kenarları orijinal üçgenin orta çizgileridir. Sonuç 2'ye göre, istenen üçgenin kenarlarının $8$ cm, $5$ cm ve $7$ cm'ye eşit olduğunu buluyoruz.
Cevap:$20$ bkz.
Örnek 2
Verilen bir $ABC$ üçgeni. $N\ ve\ M$ noktaları sırasıyla $BC$ ve $AB$ kenarlarının orta noktalarıdır (Şekil 5).
Şekil 5.
$BMN=14$ cm üçgeninin çevresi $ABC$ üçgeninin çevresini bulun.
Çözüm.
$N\ ve\ M$, $BC$ ve $AB$ kenarlarının orta noktaları olduğundan, $MN$ orta çizgidir. Araç
Teorem 1'e göre $AC=2MN$. Şunu elde ederiz:
Üçgenin orta çizgisi kavramı
Üçgenin orta çizgisi kavramını tanıtalım.
Tanım 1
Bu, bir üçgenin iki tarafının orta noktalarını birleştiren bir segmenttir (Şekil 1).
Şekil 1. Üçgenin orta çizgisi
Üçgen Orta Hat Teoremi
Teorem 1
Bir üçgenin orta çizgisi kenarlarından birine paralel ve yarısına eşittir.
Kanıt.
Bize $ABC$ üçgeni verilsin. $MN$ orta çizgidir (Şekil 2'deki gibi).
Şekil 2. Teorem 1'in Gösterimi
$\frac(AM)(AB)=\frac(BN)(BC)=\frac(1)(2)$ olduğundan, $ABC$ ve $MBN$ üçgenleri, üçgenlerin benzerliğine ilişkin ikinci kritere göre benzerdir . Araç
Ayrıca $\angle A=\angle BMN$ sonucu çıkar, bu da $MN||AC$ anlamına gelir.
Teorem kanıtlandı.
Üçgen orta hat teoreminin sonuçları
Sonuç 1: Bir üçgenin kenarortayları bir noktada kesişir ve tepe noktasından başlayarak $2:1$ oranında kesişme noktasına bölünür.
Kanıt.
$ABC$ üçgenini düşünün; burada $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ onun medyanlarıdır. Medyanlar kenarları ikiye böldüğü için. Ortadaki $A_1B_1$ çizgisini ele alalım (Şekil 3).
Şekil 3. Sonuç 1'in Gösterimi
Teorem 1'e göre $AB||A_1B_1$ ve $AB=2A_1B_1$, dolayısıyla $\angle ABB_1=\angle BB_1A_1,\ \angle BAA_1=\angle AA_1B_1$. Bu, $ABM$ ve $A_1B_1M$ üçgenlerinin, üçgenlerin benzerliğine ilişkin ilk kritere göre benzer olduğu anlamına gelir. Daha sonra
Benzer şekilde, kanıtlanmıştır ki
Teorem kanıtlandı.
Sonuç 2:Üçgenin ortadaki üç çizgisi, onu $k=\frac(1)(2)$ benzerlik katsayısına sahip orijinal üçgene benzer 4 üçgene böler.
Kanıt.
Orta çizgisi $A_1B_1,\(\A)_1C_1,\B_1C_1$ olan $ABC$ üçgenini düşünün (Şekil 4)
Şekil 4. Sonuç 2'nin Gösterimi
$A_1B_1C$ üçgenini düşünün. $A_1B_1$ orta çizgi olduğundan, o zaman
$C$ açısı bu üçgenlerin ortak açısıdır. Sonuç olarak, $A_1B_1C$ ve $ABC$ üçgenleri, benzerlik katsayısı $k=\frac(1)(2)$ olan üçgenlerin benzerliğine ilişkin ikinci kritere göre benzerdir.
Benzer şekilde, $A_1C_1B$ ve $ABC$ üçgenleri ile $C_1B_1A$ ve $ABC$ üçgenlerinin $k=\frac(1)(2)$ benzerlik katsayısıyla benzer oldukları kanıtlanmıştır.
$A_1B_1C_1$ üçgenini düşünün. $A_1B_1,\ (\A)_1C_1,\ B_1C_1$ üçgenin orta çizgileri olduğundan, o zaman
Bu nedenle, üçgenlerin benzerliğine ilişkin üçüncü kritere göre, $A_1B_1C_1$ ve $ABC$ üçgenleri $k=\frac(1)(2)$ benzerlik katsayısıyla benzerdir.
Teorem kanıtlandı.
Üçgenin orta çizgisi kavramına ilişkin problem örnekleri
Örnek 1
Kenarları 16$ cm, 10$ cm ve 14$ cm olan bir üçgen verildiğinde, köşeleri bu üçgenin kenarlarının orta noktalarında bulunan üçgenin çevresini bulun.
Çözüm.
İstenilen üçgenin köşeleri verilen üçgenin kenarlarının orta noktalarında bulunduğundan, kenarları orijinal üçgenin orta çizgileridir. Sonuç 2'ye göre, istenen üçgenin kenarlarının $8$ cm, $5$ cm ve $7$ cm'ye eşit olduğunu buluyoruz.
Cevap:$20$ bkz.
Örnek 2
Verilen bir $ABC$ üçgeni. $N\ ve\ M$ noktaları sırasıyla $BC$ ve $AB$ kenarlarının orta noktalarıdır (Şekil 5).
Şekil 5.
$BMN=14$ cm üçgeninin çevresi $ABC$ üçgeninin çevresini bulun.
Çözüm.
$N\ ve\ M$, $BC$ ve $AB$ kenarlarının orta noktaları olduğundan, $MN$ orta çizgidir. Araç
Teorem 1'e göre $AC=2MN$. Şunu elde ederiz:
Bir üçgenin orta çizgisini bulmaya geçmeden önce, üçgenlerin benzerliğinin ikinci işaretini ve düz çizgilerin paralellik özelliklerini hatırlamanız gerekir.
Bir üçgenin orta çizgisi nasıl bulunur - üçgenlerin benzerliğinin ikinci işareti
Şekil 1 iki üçgeni göstermektedir. ABC üçgeni A1B1C1 üçgenine benzer. Ve bitişik kenarlar orantılıdır, yani AB, A1B1'e, AC ise A1C1'e eşittir. Bu iki koşuldan üçgenlerin benzerliği ortaya çıkar.
Bir üçgenin orta çizgisi nasıl bulunur - çizgilerin paralelliğinin bir işareti
Şekil 2 a ve b çizgilerini, c sekantını göstermektedir. Bu 8 köşe oluşturur. 1 ve 5 açıları karşılık gelir, eğer çizgiler paralelse, karşılık gelen açılar eşittir ve bunun tersi de geçerlidir.
Üçgenin orta çizgisi nasıl bulunur
Şekil 3'te M AB'nin ortası, N AC'nin ortası, BC ise tabandır. MN segmentine üçgenin orta çizgisi denir. Teoremin kendisi şöyle diyor: Bir üçgenin orta çizgisi tabana paralel ve onun yarısına eşittir.
MN'nin bir üçgenin orta çizgisi olduğunu kanıtlamak için ikinci üçgen benzerlik testine ve doğruların paralellik testine ihtiyacımız var.
AMN Üçgeni benzerdir ABC üçgeni, ikinci işarete göre. Benzer üçgenlerde karşılık gelen açılar eşittir, açı 1, açı 2'ye eşittir ve bu açılar, iki çizgi bir çaprazla kesiştiğinde karşılık gelir, dolayısıyla çizgiler paraleldir, MN, BC'ye paraleldir. A açısı ortaktır, AM/AB = AN/AC = ½
Bu üçgenlerin benzerlik katsayısı ½'dir, dolayısıyla ½ = MN/BC, MN = ½ BC olur. 
Böylece üçgenin orta çizgisini bulduk ve üçgenin orta çizgisi ile ilgili teoremi kanıtladık, eğer hala orta çizgiyi nasıl bulacağınızı anlamadıysanız aşağıdaki videoyu izleyin.
Üçgenin orta çizgisi
Özellikler
- Üçgenin orta çizgisi üçüncü kenara paralel ve yarısına eşittir.
- üç orta çizgi de çekildiğinde 4 tane oluşur eşit üçgen, 1/2 katsayılı orijinaline benzer (hatta homotetik).
- orta çizgi buna benzer bir üçgeni kesiyor ve alanı orijinal üçgenin alanının dörtte birine eşit.
Dörtgenin orta çizgisi
Dörtgenin orta çizgisi- Bir dörtgenin karşılıklı kenarlarının orta noktalarını birleştiren bir bölüm.
Özellikler
İlk satır 2'yi birbirine bağlar zıt taraflar. İkincisi diğer 2 karşı tarafı birbirine bağlar. Üçüncüsü iki köşegenin merkezlerini birbirine bağlar (tüm dörtgenlerin kesişen merkezleri yoktur)
- Dışbükey bir dörtgende orta çizgi oluşursa eşit açılar bir dörtgenin köşegenleri varsa köşegenleri eşittir.
- Bir dörtgenin orta çizgisinin uzunluğu, diğer iki kenarın toplamının yarısından azdır veya bu kenarların paralel olması durumunda ona eşittir ve yalnızca bu durumda.
- Rastgele bir dörtgenin kenarlarının orta noktaları bir paralelkenarın köşeleridir. Alanı dörtgenin alanının yarısına eşittir ve merkezi orta çizgilerin kesişme noktasında yer alır. Bu paralelkenara Varignon paralelkenarı denir;
- Bir dörtgenin orta çizgilerinin kesişme noktası ortak orta noktasıdır ve köşegenlerin orta noktalarını birleştiren parçayı ikiye böler. Ayrıca dörtgenin köşelerinin ağırlık merkezidir.
- İÇİNDE keyfi dörtgen orta hat vektörü taban vektörlerin toplamının yarısına eşittir.
Yamuğun orta çizgisi
Yamuğun orta çizgisi- bu yamuğun kenarlarının orta noktalarını birleştiren bir segment. Yamuğun tabanlarının orta noktalarını birleştiren parçaya yamuğun ikinci orta çizgisi denir.
Özellikler
- orta çizgi tabanlara paralel ve yarı toplamlarına eşittir.
Ayrıca bakınız
Notlar
Wikimedia Vakfı.
2010.
Diğer sözlüklerde “Orta Hat” ın ne olduğuna bakın: ORTA HAT - (1) yamuğun yan kenarlarının orta noktalarını birleştiren bir yamuk parçası. Yamuğun orta çizgisi tabanlarına paralel ve yarı toplamlarına eşittir; (2) bir üçgende, bu üçgenin iki kenarının orta noktalarını birleştiren doğru parçası: üçüncü kenar... ...
Büyük Politeknik Ansiklopedisi Üçgen (yamuk), bir üçgenin iki tarafının (yamuğun kenarları) orta noktalarını birleştiren bir parçadır...
Büyük Ansiklopedik Sözlük orta hat - 24 merkez çizgisi: Omuz kalınlığı oluğun genişliğine eşit olacak şekilde diş profilinden geçen hayali bir çizgi. Kaynak …
Üçgen (yamuk), üçgenin iki tarafının orta noktalarını (yamuk kenarları) birleştiren bir parça. * * * ORTA ÇİZGİ Bir üçgenin (yamuk) ORTA ÇİZGİSİ, üçgenin iki tarafının orta noktalarını (yamuğun yan kenarları) birleştiren bir doğru parçası ... Ansiklopedik Sözlük
Büyük Ansiklopedik Sözlük- tenis kortu, 3 mm tenis kortu ve spor apibrėžtis, paviršių išilgai pusiau oldu. atitikmenys: ingilizce. merkez çizgisi; orta hat hattı vok. Mittellinie, kusura bakma. orta çizgi...Spor terminų žodynas
Büyük Ansiklopedik Sözlük- Linija'nın kültürel durumu ve spor apibrėžtis Linija, dalijanti fechtavimosi kovos takelį į dvi lygias dalis. atitikmenys: ingilizce. merkez çizgisi; orta hat hattı vok. Mittellinie, kusura bakma. orta çizgi...Spor terminų žodynas
Büyük Ansiklopedik Sözlük- Linija'nın durumu T sritis Kuno kultura ve sportas apibrėžtis Linija, spor dalijanti aikšt(el)ę siau. atitikmenys: ingilizce. merkez çizgisi; orta hat hattı vok. Mittellinie, kusura bakma. orta çizgi...Spor terminų žodynas
1) S. l. üçgen, bir üçgenin iki kenarının orta noktalarını birleştiren doğru parçasına (üçüncü kenara taban denir). S. l. üçgenin uzunluğu tabana paralel ve yarısına eşittir; c'nin onu böldüğü üçgenin parçalarının alanı. ben... ... Büyük Sovyet Ansiklopedisi
Üçgenin iki tarafının orta noktalarını birleştiren bir üçgen parçası. Üçgenin üçüncü kenarına denir üçgenin tabanı. S. l. Bir üçgenin uzunluğu tabana paralel ve uzunluğunun yarısına eşittir. Herhangi bir üçgende S. l. ...'den kesiliyor. Matematik Ansiklopedisi
Üçgen (yamuk), üçgenin iki tarafının orta noktalarını (yamuk kenarları) birleştiren bir parça ... Doğa bilimi. Ansiklopedik Sözlük
Kitaplar
- Tükenmez kalem "Jotter Luxe K177 West M" (mavi) (1953203), . Hediye kutusunda tükenmez kalem. Mektup rengi: mavi. Hat: orta. Fransa'da yapıldı...
