Firkantet lateral programvare. Hvordan finne sidens overflate av pyramiden
Når du forbereder eksamenen i matematikk, må studentene systematisere kunnskap om algebra og geometri. Jeg vil kombinere all den kjente informasjonen, for eksempel hvordan man beregner pyramidområdet. Videre, starter på basen og side ansikter til området av hele overflaten. Hvis situasjonen er tydelig med sidens ansikter, som de er trekanter, er basen alltid forskjellig.
Hvordan være når du finner området av bunnen av pyramiden?
Det kan være helt en hvilken som helst figur: fra en vilkårlig trekant til n-square. Og dette grunnlaget, i tillegg til forskjellen i antall vinkler, kan være den rette figuren eller feil. I oppgavene av interesse for skolebarn, finnes bare oppgaver med de riktige tallene på basen. Derfor vil det bare være om dem.
Høyre trekant
Det vil si like-sidig. Den som alle parter er like og angitt med bokstaven "A". I dette tilfellet beregnes området av basen av pyramiden med formelen:
S \u003d (en 2 * √3) / 4.
Torget
Formelen for å beregne sitt område er det enkleste, her "A" - igjen siden:
Vilkårlig korrekt n-square
Polygon-siden har samme betegnelse. For antall vinkler brukes latinbrevet n.
S \u003d (n * a 2) / (4 * tg (180º / n)).
Hvordan å gjøre når du beregner siden av siden og fullstendig overflaten?
Fordi på basen ligger riktig figurAlle ansiktene til pyramidene viser seg å være like. Dessuten er hver av dem en like handlet trekant, siden sidestrømmene er like. Så for å beregne sideområdet på pyramiden, vil en formel være nødvendig, bestående av mengden av den samme singlefløyen. Antall komponenter bestemmes av antall baser.
Område lik trekant Den beregnes med formelen, hvor halvparten av produktet av basen multipliseres med høyde. Denne høyden i pyramiden kalles Apophy. Hennes betegnelse er "A". Den generelle formelen for sideflaten ser slik ut:
S \u003d ½ p * a, hvor p er omkretsen av pyramidenes base.
Det er situasjoner hvor sidene av basen ikke er kjent, men sidekantene (C) og den flate vinkelen er gitt ved sin toppunkt (α). Deretter skal det brukes til å bruke en slik formel for å beregne sideområdet til pyramiden:
S \u003d N / 2 * B 2 SIN α .
Oppgave nummer 1.
Tilstand. Finn det totale arealet av pyramiden hvis den ligger med en side på 4 cm i grunnlaget, og Apophem er √3 cm.
Beslutning. Det er nødvendig å begynne med beregningen av omkretsen av fundamentet. Siden dette er en vanlig trekant, så p \u003d 3 * 4 \u003d 12 cm. Siden apophem er kjent, kan du umiddelbart beregne området på hele sidens overflate: ½ * 12 * √3 \u003d 6√3 cm2.
For en trekant, ved basen, vil en slik verdi av området oppnås: (4 2 * √3) / 4 \u003d 4,3 cm2.
For å bestemme hele området, vil det være nødvendig å brette to av de resulterende verdiene: 6√3 + 4√3 \u003d 10√3 cm 2.
Svar. 10√3 cm 2.
Oppgave nummer 2.
Tilstand. Det er en vanlig quadrangular pyramide. Lengden på basisiden er 7 mm, sidekanten er 16 mm. Det er nødvendig å kjenne sin overflateareal.
Beslutning. Siden polyhedronen er quadrangulær og riktig, så i sin base er det en firkant. Ved læring av området av basis- og sideflatene, vil det være mulig å telle området av pyramiden. Formelen for torget er gitt ovenfor. Og sidens ansikter er kjent for alle sider av trekanten. Derfor er det mulig å bruke Geron-formelen til å beregne sine områder.
De første beregningene er enkle og fører til dette nummeret: 49 mm 2. For den andre verdien vil det være nødvendig å beregne halvmåleren: (7 + 16 * 2): 2 \u003d 19.5 mm. Nå kan du beregne området med en rettferdig trekant: √ (19.5 * (19.5-7) * (19.5-16) 2) \u003d √2985.9375 \u003d 54.644 mm 2. Det er bare fire slike triangler, så når det beregner det endelige nummeret, vil det være nødvendig å formere det med 4.
Det viser seg: 49 + 4 * 54,644 \u003d 267,576 mm 2.
Svar. Den ønskede verdien er 267,576 mm 2.
Oppgave nummer 3.
Tilstand. I den rette quadrangulære pyramiden er det nødvendig å beregne området. Det kjenner siden av torget - 6 cm og høyde - 4 cm.
Beslutning. Den enkleste måten å bruke formelen med arbeidet til omkretsen og aponyen. Den første verdien er enkel. Den andre er mer komplisert.
Vi må huske teoret av Pythagora og vurdere det dannet av høyden på pyramiden og Apophy, som er hypotenuse. Den andre katat er lik halvparten av torget, siden høyden på polyhedronen faller i midten.
Det ønskede Apophem (hypotenus av den rektangulære trekant) er √ (3 2 + 4 2) \u003d 5 (cm).
Nå kan du beregne ønsket verdi: ½ * (4 * 6) * 5 + 6 2 \u003d 96 (cm2).
Svar. 96 cm 2.
Oppgave nummer 4.
Tilstand. Den høyre siden av basen er 22 mm, side ribber er 61 mm. Hva er sideflaten på denne polyhedron?
Beslutning. Argumentene i det er de samme som beskrevet i problem nr. 2. Bare det ble gitt en pyramide med en firkant på basen, og nå er det en sekskant.
Den første tingen er beregnet basisområdet i henhold til formelen ovenfor: (6 * 22 2) / (4 * Tg (180º / 6)) \u003d 726 / (TG30º) \u003d 726√3 cm2.
Nå er det nødvendig å finne ut halvversjonen av en likevekts trekant, som er et sideflate. (22 + 61 * 2): 2 \u003d 72 cm. Det forblir på dresselen for Heron for å telle området av hver slik trekant, og deretter multiplisere den på seks og brettet med den som skjedde med base.
Beregninger i henhold til Geron-formelen: √ (72 * (72-22) * (72-61) 2) \u003d √435600 \u003d 660 cm2. Beregninger som vil gi sideflaten: 660 * 6 \u003d 3960 cm 2. Det gjenstår å bli foldet for å finne ut hele overflaten: 5217.4755217 cm 2.
Svar. Basene er 726√3 cm 2, sideoverflaten - 3960 cm 2, hele området er 5217 cm2.
I den rette trekantede pyramiden SABC R. - Mid-rib AU., S. - Topp.
Det er kjent at Sr \u003d 6., og sideflaten er lik 36
.
Finn lengden på kuttet F.Kr..
La oss tegne en tegning. I høyre pyramide er sidens ansikter en rettferdig trekant.
Seksjon Sr. - Median, senket til basen, og derfor høyden på sideflaten.
Sideflaten av den riktige trekantede pyramiden er lik summen av området
tre likeverdige ansikter S side. \u003d 3 · s abs. Herfra S abs \u003d 36: 3 \u003d 12 - Square of the Face.
Trekantenes område er lik halvparten av arbeidet med sin base til høyde
S abs \u003d 0,5 · ab · sr. Kjennende område og høyde, finn siden av basen Ab \u003d søndag.
12 \u003d 0.5 · AV · 6
12 \u003d 3 · av
Ab \u003d 4.
Svar: 4
Du kan nærme seg oppgaven og fra den andre enden. La basen side Av \u003d sol \u003d a.
Så ansiktet i ansiktet S abs \u003d 0,5 · ab · sr \u003d 0,5 · a · 6 \u003d 3a.
Området for hver av de tre ansiktene er like 3a., området på tre ansikter er like 9a..
Under oppgavens tilstand, er området på sideflaten av pyramiden lik 36.
S side. \u003d 9A \u003d 36.
Herfra a \u003d 4..
Hva slags figur vi kaller pyramiden? Først er dette en polyhedron. For det andre, ved foten av denne polyhedronen er det en vilkårlig polygon, og sidene av pyramiden (sideflatene) har nødvendigvis form av trekanter som konvergerer i en total toppunkt. Nå, etter å ha forstått med begrepet, finn ut hvordan du finner overflaten av pyramiden.
Det er klart at overflaten av en slik geometrisk kropp vil bli gjort opp av summen av basisområdet og hele sideoverflaten.
Beregning av bunnen av pyramiden
Valget av den beregnede formelen avhenger av form av en polygon som ligger i grunnlaget for pyramiden vår. Det kan være riktig, det vil si med sidene av samme lengde eller feil. Vurder begge alternativene.
Basert på høyre polygon
Fra skole kurset er det kjent:
- torget på torget vil være lik lengden på sin side, reist til torget;
- det like-sidig trekant området er lik kvadratet av det, dividert med 4 og multiplisert med kvadrat rot Fra tre.
Men det er en generell formel for å beregne området av en hvilken som helst riktig polygon (SN): det er nødvendig å formere omkretsenverdien til denne polygonen (P) til radiusen som er innskrevet i den (R), og deretter splittet det resulterende resultatet inn i to: sn \u003d 1 / 2p * r.
Basert på feil polygon
Ordningen med å finne sitt område er å først dele hele polygonen på trekanter, beregne området av hver av dem med formelen: 1 / 2A * H (hvor A er bunnen av trekanten, H er høyden senket Til denne basen), brett alle resultatene.
Kvadrat side overflaten av pyramiden
Nå beregner vi området på sideflaten på pyramiden, dvs. Summen av firkantene på hele sin side. Det er også 2 alternativer her.
- La oss få en vilkårlig pyramide, dvs. Slike, i bunnen av hvilken - en uregelmessig polygon. Deretter bør området av hvert ansikt beregnes og brettes resultatene. Siden bare trekanter kan være sidesider av pyramiden, så er beregningen basert på formelen nevnt ovenfor: S \u003d 1 / 2A * H.
- La vår pyramide være riktig, dvs. I sin fundament ligger den rette polygonen, og fremspringet av toppen av pyramiden viser seg å være i midten. Da, for å beregne sideoverflateområdet (SB), er det tilstrekkelig å finne halvparten av arten til omkretsen av polygonbasen (P) til høyden (H) på siden (det samme for alle kanter): SB \u003d 1 / 2 p * h. Polygonens omkrets bestemmes ved tilsetning av lengdene av alle sine sider.
Det totale overflatearealet av høyre pyramide skyldes summeringen av området av basen med området av hele sidens overflate.
Eksempler
For eksempel, beregne det algebraisk overflatearealet av flere pyramider.
Surface Surface Triangular Pyramid
Basert på en slik pyramide - en trekant. Ifølge formelen SO \u003d 1 / 2A * H finner vi basisområdet. Den samme formelen brukes til å finne området av hvert ansikt på pyramiden, og har også en trekantet form, og vi oppnår 3 områder: S1, S2 og S3. Området på sidens sideflate av pyramiden er summen av alle områder: SB \u003d S1 + S2 + S3. Etter å ha foldet på siden av siden og basen, oppnår vi hele overflaten av den ønskede pyramide: sp \u003d så + sb.
Overflaten av den quadrangulære pyramiden
Sideoverflaten er summen av 4 exharicted: SB \u003d S1 + S2 + S3 + S4, som hver er beregnet med formelen av trekantområdet. Og basisområdet må søke, avhengig av form av en quadrangle - korrekt eller feil. Området av den fulle overflaten av pyramiden vil igjen resultere i tilsetning av basisområdet og hele overflatearealen av den forutbestemte pyramiden.
Definisjon. Side - Dette er en trekant, i hvem et hjørne ligger i toppen av pyramiden, og festen motsatt ham sammenfaller med basisiden (polygon).
Definisjon. Sidekanter - Dette er vanlig side av sideflatene. Pyramiden har så mange ribber hvor mange hjørner har en polygon.
Definisjon. Høyden på pyramiden - Dette er en vinkelrett, senket fra toppen til bunnen av pyramiden.
Definisjon. Apothem. - Dette er en vinkelrett på pyramidenes side, senket fra toppen av pyramiden til siden av basen.
Definisjon. Diagonal seksjon - Dette er et tverrsnitt av en pyramide med et plan som passerer gjennom toppen av pyramiden og basis diagonal.
Definisjon. Høyre pyramid - Dette er en pyramide hvor grunnlaget er riktig polygon, og høyden faller i midten av basen.
Pyramidens volum og overflate
Formel. Pyramidvolum Gjennom baseområdet og høyden:
Egenskaper av pyramiden
Hvis alle sidestrømmene er like, kan rundt pyramidenes base beskrives, og midtpunktet av basen sammenfaller med midtpunktet. Også vinkelrett, senket fra toppen passerer gjennom midten av basen (sirkel).
Hvis alle sidestrømmer er like, blir de vippet til grunnplanet i samme vinkler.
Siden ribber er like når de danner med planet av basen like vinkler, eller hvis sirkelen kan beskrives rundt bunnen av pyramiden.
Hvis sidens ansikter er vippet til grunnplanet i en vinkel, så i bunnen av pyramiden kan du komme inn i sirkelen, og toppen av pyramiden er utformet for midten.
Hvis sidens ansikter er vippet til grunnplanet i en vinkel, er apophems av sideflatene like.
Egenskaper av høyre pyramide
1. Pyramidenes toppunkt er like langt fra alle hjørner av basen.
2. Alle side ribber er like.
3. Alle sidekanter er vippet under de samme hjørnene til basen.
4. Apofims av alle sideflater er like.
5. Områder på alle sideflater er like.
6. Alle ansikter har samme dihedral (flate) vinkler.
7. Rundt pyramiden kan du beskrive sfæren. Senteret for den beskrevne sfæren er skjæringspunktet for vinkelrett, som passerer gjennom midten av ribbenene.
8. I pyramiden kan du komme inn i sfæren. Sentrum av den innskrevne sfæren vil være skjæringspunktet for bisektor som kommer fra hjørnet mellom kanten og basen.
9. Hvis midten av den innskrevne sfæren faller sammen med midten av den beskrevne sfæren, er summen av flate hjørner på toppen lik π eller omvendt, en vinkel er π / n, hvor n er antall vinkler på bunnen av pyramiden.
Pyramidforbindelse med sfære
Rundt pyramiden kan du beskrive sfæren når i bunnen av pyramiden ligger en polyhedron rundt som du kan beskrive sirkelen (nødvendig og tilstrekkelig tilstand). Sperien på sfæren er skjæringspunktet for flyene som passerer vinkelrett gjennom midten av sidens ribber i pyramidene.
Rundt en triangulær eller riktig pyramide kan alltid beskrives av sfæren.
I pyramiden kan du komme inn i sfæren dersom biss-sektorplanene i de indre dvergfrie hjørner av pyramidene krysser på ett punkt (nødvendig og tilstrekkelig tilstand). Dette punktet vil være sentrum av sfæren.
Pyramidforbindelse med kjegle
Keglen kalles påskrevet i pyramiden dersom deres hjørner faller sammen, og keglens basis er innskrevet i bunnen av pyramiden.
Keglen kan legges inn i pyramiden dersom pyramidene til pyramidene er lik hverandre.
Keglen kalles pyramiden beskrevet rundt, hvis deres hjørner sammenfaller, og keglens basis er beskrevet rundt bunnen av pyramiden.
Keglen kan beskrives rundt pyramiden dersom alle sidestrømmene i pyramiden er lik hverandre.
Pyramidforbindelse med sylinder
Pyramiden kalles påskrevet i sylinderen dersom toppen av pyramiden ligger på et bakgrunn av sylinderen, og bunnen av pyramiden er skrevet til en annen base av sylinderen.
Sylinderen kan beskrives rundt pyramiden hvis rundt bunnen av pyramiden du kan beskrive sirkelen.
De fire-kansede fire ansiktene og fire hjørner og seks ribber, hvor noen to ribber ikke har vanlige hjørner, men ikke kommer i kontakt.
Hver topp består av tre ansikter og ribber som danner tre hjørne.
Segmentet som forbinder toppunktet til tetrahedronen med midten av det motsatte ansiktet kalles median Tetrahedron (GM).
Bimedian Det kalles et segment som forbinder de mid-motsatte ribber som ikke kommer i kontakt med (KL).
Alle bimedians og medianer av tetrahedral krysser på et tidspunkt (er). Samtidig er bimedians delt med halvparten, og medianer med hensyn til 3: 1 som starter fra toppunktet.
Definisjon. Acrediterte pyramid - Dette er en pyramide hvor apophem er mer enn halvparten av lengden på basissiden av basen.
Definisjon. Dumme pyramid - Dette er en pyramide hvor Apophem er mindre enn halvparten av lengden på basisiden.
Definisjon. Høyre tetrahedron - En tetrahedron som har alle fire ansikter - likeverdige trekanter. Det er en av de fem høyre polygonene. I den høyre tetrahedron er alle dumarted vinkler (mellom kantene) og trekantede vinkler (øverst) like.
Definisjon. Rektangulær tetrahedron En tetrahedron kalles en rett vinkel mellom tre ribber på toppen (ribber vinkelrett). Tre ansikter form rektangulært trekantet hjørne Og ansiktene er rektangulære trekanter, og grunnlaget for en vilkårlig trekant. Apothem i ethvert ansikt er lik halvparten av grunnlaget for at Apophem faller.
Definisjon. En vaske tetrahedron Tetrahedron kalles de laterale fasettene er lik hverandre, og basen er den rette trekanten. En slik Tetrahedron serverer en isolerte trekanter.
Definisjon. Orthocentric Tetrahedron En tetrahedron kalles alle høyder (vinkelrett), som utelates fra toppen til motsatt ansikt, krysser på et tidspunkt.
Definisjon. Star Pyramid. Polyhedron kalles basen er stjernen.
Typiske geometriske oppgaver på flyet og i tredimensjonal plass er problemene med å bestemme områdene overflater av forskjellige figurer. I denne artikkelen gir vi formelen på sidens overflateareal av den riktige pyramiden av quadrangular.
Hva er pyramiden?
La oss gi en streng geometrisk definisjon av pyramiden. Anta at det er noen polygon med n sider og med n vinkler. Velg et vilkårlig plass som ikke vil være i planet av det angitte N-Carbon, og koble den fra hver tapp i polygonen. Vi vil få en figur som har noe volum kalt en N-kullpyramide. For eksempel vil vi vise i figuren under hvordan den femkantede pyramiden ser ut.
To viktige elementer i en hvilken som helst pyramide er dens base (n-kvadrat) og terapi. Disse elementene er forbundet med hverandre N-trekanter, som vanligvis ikke er lik hverandre. Vinkelrett, senket fra toppen til basen, kalles høyden på figuren. Hvis den krysser basen i det geometriske senteret (sammenfaller med midten av massene av polygonen), kalles en slik pyramide rett. Hvis i tillegg til denne tilstanden er basen den rette polygonen, så kalles hele pyramiden riktig. Figuren nedenfor viser hvordan de riktige pyramidene med trekantet, quadrangular, femkantet og sekskantet base ser ut som.
Overflaten av pyramiden
Før du bytter til spørsmålet om sidens overflateareal av den høyre pyramiden av quadrangular, er det nødvendig å bo på begrepet selve overflaten.
Som nevnt ovenfor og vist på tegningene, dannes enhver pyramide av et sett med ansikter eller sider. Den ene siden er grunnlaget, og n for partene er trekanter. Overflaten på hele figuren er summen av området på hver side.
Overflaten er praktisk å studere på eksemplet på skanningen av figuren. Skanningen for riktig quadrangular pyramide er vist på tegningene nedenfor.
Vi ser at overflaten er lik summen av de fire firkantene av de samme utilgjengelige trekanter og firkantede firkantet.
Det totale arealet av alle trekanter, som danner sidesiden av figuren, er vanlig å bli kalt sideoverflaten. Deretter viser vi hvordan du beregner det for den quadrangulære pyramiden riktig.
Sideoverflaten på den quadrangulære korrekte pyramiden
For å beregne sideflaten på den angitte figuren, skru tilbake til den ovennevnte skanningen. Anta at vi kjenner siden av kvadratfondet. Betegne det med et symbol a. Det kan ses at hver av de fire identiske trekanter har en lengde av lengde a. For å beregne sitt totale område, må du vite denne verdien for en trekant. Fra geometrien er det kjent at triangelen SA T er lik produktet av basen til høyden, som skal deles med halvparten. Dvs:
Hvor H B er høyden på en utilgjengelig trekant, utført til basen a. For pyramiden er denne høyden omgitt. Nå gjenstår det å multiplisere det oppnådde ekspresjonen på 4 for å oppnå området S b sideoverflate for pyramiden under vurdering:
S b \u003d 4 * s t \u003d 2 * h b * a.
Denne formelen inneholder to parametere: Apotheme og side av basen. Hvis sistnevnte er kjent i de fleste forhold, må den første beregne, og kjenne andre verdier. Vi gir formler for å beregne Apotheme H B for to tilfeller:
- når lengden på sidekanten er kjent;
- når høyden på pyramiden er kjent.
Hvis du betegner lengden på siden av siden (side av et likestilt trekant) symbol L, så Apotheme H B er å bestemme formelen:
h B \u003d √ (L 2 - A 2/4).
Dette uttrykket er resultatet av bruken av pythagorean-theoremet for sideoverflatet trekantet.
Hvis høyden h på pyramiden er kjent, er H B utformet som følger:
h b \u003d √ (H 2 + A 2/4).
Få dette uttrykket er heller ikke vanskelig hvis du vurderer inne i pyramiden høyre trekantdannet av Cates H og A / 2 og Hypotenuse H b.
Vi viser hvordan du bruker disse formlene ved å bestemme to interessante oppgaver.
Oppgave med et velkjent overflateareal
Det er kjent at sidens overflateareal av quadrangular er 108 cm 2. Det er nødvendig å beregne verdien av dens lengde på Apotheme H B, hvis høyden på pyramiden er 7 cm.
Vi skriver overflateformelen S b overflaten av siden gjennom høyden. Vi har:
S b \u003d 2 * √ (H 2 + A 2/4) * a.
Her erstattet vi bare den passende formelen av Apotheme i et uttrykk for S b. Reist begge deler av likestilling på torget:
S B 2 \u003d 4 * A 2 * H 2 + A 4.
For å finne verdien A, erstatter vi variablene:
t 2 + 4 * H 2 * T-S B 2 \u003d 0.
Nå erstatter vi de kjente verdiene og løser kvadratligningen:
t 2 + 196 * t - 11664 \u003d 0.
Vi foreskrev bare en positiv rot på denne ligningen. Deretter vil basene på bunnen av pyramiden være lik:
a \u003d √t \u003d √47,8355 ≈ 6,916 cm.
For å få lengden på Apotheme, er det nok å bruke formelen:
h B \u003d √ (H 2 + A 2/4) \u003d √ (7 2 + 6,916 2/4) ≈ 7,808 cm.
Sideoverflaten av Heops Pyramid
Vi definerer betydningen av siden for den største egyptiske pyramiden. Det er kjent at i sin grunnlag er det en firkant på siden av 230.363 meter. Strukturens høyde var i utgangspunktet 146,5 meter. Vi erstatter disse tallene i riktig formel for S B, vi får:
S B \u003d 2 * √ (H 2 + A 2/4) * A \u003d 2 * √ (146,5 2 +230,363 2/4) * 230,363 ≈ 85860 m2.
Verdien som er funnet, er litt mer firkantet 17 fotballbaner.
