Likebent trekant. Detaljert teori med eksempler (2020)
Egenskapene til en likebenet trekant uttrykker følgende teoremer.
Teorem 1. I en likebenet trekant er vinklene ved grunnflaten like.
Teorem 2. I en likebenet trekant er halveringslinjen til grunnflaten medianen og høyden.
Teorem 3. I en likebenet trekant er medianen trukket til basen halveringslinjen og høyden.
Teorem 4. I en likebenet trekant er høyden trukket til basen halveringslinjen og medianen.
La oss bevise en av dem, for eksempel Teorem 2.5.
Bevis. Betrakt en likebenet trekant ABC med grunnflaten BC og bevis at ∠ B = ∠ C. La AD være halveringslinjen til trekanten ABC (fig. 1). Trekanter ABD og ACD er like ved det første tegnet på likhet i trekanter (AB = AC etter betingelse, AD er en felles side, ∠ 1 = ∠ 2, siden AD er en halveringslinje). Det følger av likheten til disse trekantene at ∠ B = ∠ C. Teoremet er bevist.
Ved å bruke teorem 1 etableres følgende teorem.
Teorem 5. Det tredje kriteriet for trekanters likhet. Hvis tre sider av en trekant er lik henholdsvis tre sider av en annen trekant, så er slike trekanter like (fig. 2).
Kommentar. Setningene i eksempel 1 og 2 uttrykker egenskapene til midtpunktet vinkelrett på linjestykket. Det følger av disse setningene at midtvinklene til sidene av trekanten skjærer hverandre i ett punkt.
Eksempel 1. Bevis at et punkt i planet like langt fra endene av et segment ligger vinkelrett på dette segmentet.
Løsning. La punktet M være like langt fra endene av segmentet AB (fig. 3), dvs. AM = BM.
Da er Δ AMB likebenet. La oss tegne en rett linje p gjennom punktet M og midten O av segment AB. Segmentet MO ved konstruksjon er medianen til den likebenede trekanten AMB, og derfor (setning 3), og høyden, det vil si den rette linjen MO, er medianen vinkelrett på segmentet AB.
Eksempel 2. Bevis at hvert punkt av vinkelrett på segmentet er like langt fra endene.
Løsning. La p være midtpunktet vinkelrett på segmentet AB og punktet O - midtpunktet til segmentet AB (se fig. 3).
Tenk på et vilkårlig punkt M som ligger på linjen s. La oss tegne segmentene AM og VM. Trekanter AOM og PTO er like, siden de har rette vinkler ved apex O, ben OM er vanlig, og ben OA er lik ben OB etter tilstand. Fra likheten til trekantene AOM og PTO følger det at AM = BM.
Eksempel 3. I trekant ABC (se fig. 4) AB = 10 cm, BC = 9 cm, AC = 7 cm; i en trekant DEF DE = 7 cm, EF = 10 cm, FD = 9 cm.
Sammenlign trekanter ABC og DEF. Finn deretter like vinkler.
Løsning. Disse trekantene er like i den tredje egenskapen. Følgelig like vinkler: A og E (ligger overfor de like sidene BC og FD), B og F (ligger overfor de like sidene AC og DE), C og D (ligger overfor de like sidene AB og EF).
Eksempel 4. I figur 5 AB = DC, BC = AD, ∠B = 100 °.
Finn vinkel D.
Løsning. Tenk på trekanter ABC og ADC. De er like i det tredje kriteriet (AB = DC, BC = AD etter betingelse og AC-siden er felles). Av likheten til disse trekantene følger det at ∠ В = ∠ D, men vinkelen В er lik 100 °, som betyr at vinkelen D er lik 100 °.
Eksempel 5. I en likebenet trekant ABC med base AC, er den ytre vinkelen ved apex C 123 °. Finn vinkelen ABC. Gi svaret i grader.
Videoløsning.
De første historikerne av vår sivilisasjon - de gamle grekerne - nevner Egypt som geometriens fødested. Det er vanskelig å være uenig med dem, vel vitende om med hvilken imponerende presisjon de gigantiske gravene til faraoene ble reist. Det gjensidige arrangementet av pyramidplanene, deres proporsjoner, orientering til kardinalpunktene - for å oppnå en slik perfeksjon ville være utenkelig uten å vite det grunnleggende om geometri.
Selve ordet "geometri" kan oversettes som "måling av jorden." Dessuten fremstår ikke ordet "jord" som en planet - del Solsystemet, men som et fly. Merking av områder for vedlikehold Jordbruk, mest sannsynlig, er det helt originale grunnlaget for vitenskapen om geometriske former, deres typer og egenskaper.
Trekanten er den enkleste romlige figuren i planimetrien, og inneholder bare tre punkter - toppunktene (det er aldri mindre). Grunnlaget for grunnlaget er kanskje hvorfor noe mystisk og eldgammelt dukker opp i ham. Det altseende øyet inne i trekanten er et av de tidligste kjente okkulte tegnene, og geografien til dets utbredelse og tidsrammen er rett og slett fantastisk. Fra de gamle egyptiske, sumeriske, aztekiske og andre sivilisasjonene til mer moderne okkulte samfunn spredt over hele kloden.
Hva er trekanter
En vanlig allsidig trekant er en lukket geometrisk figur, bestående av tre segmenter med forskjellig lengde og tre vinkler, hvorav ingen er rett. I tillegg til ham er det flere spesielle typer.
En spissvinklet trekant har alle vinkler mindre enn 90 grader. Med andre ord er alle hjørnene i en slik trekant skarpe.
Den rettvinklede trekanten, som skolebarn til enhver tid gråt over på grunn av overfloden av teoremer, har en vinkel med en styrke på 90 grader, eller, som den også kalles, en rett linje.
En stump trekant er forskjellig ved at et av hjørnene er stumpe, det vil si at størrelsen er mer enn 90 grader.
En likesidet trekant har tre sider av samme lengde. For en slik figur er også alle vinkler like.
Og til slutt, ved en likebenet trekant av tre sider to er like.
Karakteristiske trekk
Egenskapene til en likebenet trekant bestemmer også dens viktigste hovedforskjell - likheten mellom de to sidene. Disse like sidene kalles vanligvis hoftene (eller, oftere, sidene), men den tredje siden kalles "basen".
I figuren under vurdering er a = b.
Det andre kriteriet for en likebenet trekant følger av sinussetningen. Siden sidene a og b er like, er sinusene til deres motsatte vinkler også like:
a / sin γ = b / sin α, hvorfra har vi: sin γ = sin α.
Likheten til sinusene innebærer likheten til vinklene: γ = α.
Så det andre tegnet i en likebenet trekant er likheten mellom de to vinklene ved siden av basen.
Tredje tegn. I en trekant skilles elementer som høyde, halveringslinje og median.
Hvis det i ferd med å løse problemet viser seg at i den betraktede trekanten faller to av disse elementene sammen: høyde med halveringslinje; halveringslinje med median; median med høyde - vi kan definitivt konkludere med at trekanten er likebenet.
Geometriske egenskaper til figuren
1. Egenskaper til en likebenet trekant. En av de karakteristiske egenskapene til figuren er likheten mellom vinklene ved siden av basen:
<ВАС = <ВСА.
2. En annen egenskap er vurdert ovenfor: medianen, halveringslinjen og høyden i en likebenet trekant faller sammen hvis de er bygget fra toppen til basen.
3. Lik halveringslinje trukket fra toppunktene ved basen:
Hvis AE er halveringslinjen til vinkelen BAC, og CD er halveringslinjen til vinkelen BCA, så: AE = DC.
4. Egenskapene til en likebenet trekant sørger også for likestilling av høyder, som er trukket fra hjørnene ved basen.
Hvis vi konstruerer høydene til trekanten ABC (der AB = BC) fra toppunktene A og C, vil de oppnådde segmentene CD og AE være like.
5. Like vil også være medianene trukket fra hjørnene ved basen.
Så hvis AE og DC er medianer, det vil si AD = DB, og BE = EC, så er AE = DC.
Høyden på en likebenet trekant
Likheten mellom sidene og vinklene på dem introduserer noen særegenheter i beregningen av lengdene til elementene i den aktuelle figuren.
Høyden i en likebenet trekant deler figuren i 2 symmetriske rettvinklede trekanter, hvis sider stikker ut med hypotenusene. Høyden i dette tilfellet bestemmes i henhold til Pythagoras teorem, som et ben.
En trekant kan ha alle tre sider like, da vil den kalles likesidet. Høyden i en likesidet trekant bestemmes på samme måte, bare for beregninger er det nok å vite bare en verdi - lengden på siden av denne trekanten.
Du kan bestemme høyden på en annen måte, for eksempel ved å kjenne til basen og vinkelen ved siden av den.
Medianen av en likebenet trekant
Den betraktede typen trekant, på grunn av dens geometriske egenskaper, løses ganske enkelt av minimumssettet med innledende data. Siden medianen i en likebenet trekant er lik både høyden og halveringslinjen, er algoritmen for bestemmelsen ikke forskjellig fra rekkefølgen disse elementene beregnes i.
For eksempel kan du bestemme lengden på medianen ved den kjente laterale siden og verdien av apex-vinkelen.
Hvordan bestemme omkretsen
Siden de to sidene av den betraktede planimetriske figuren alltid er like, er det nok å vite lengden på basen og lengden på en av sidene for å bestemme omkretsen.
Tenk på et eksempel når du trenger å bestemme omkretsen til en trekant fra en kjent base og høyde.
Omkretsen er lik summen av basen og to ganger lengden på siden. Den laterale siden er på sin side definert ved å bruke Pythagoras teorem som hypotenusen til en rettvinklet trekant. Dens lengde er lik kvadratroten av summen av kvadratet av høyden og kvadratet av halvparten av basen.
Arealet av en likebenet trekant
Som regel er det ikke vanskelig å beregne arealet til en likebenet trekant. Den universelle regelen for å bestemme arealet av en trekant som halvparten av produktet av basen og dens høyde gjelder selvfølgelig i vårt tilfelle. Egenskapene til en likebenet trekant gjør imidlertid oppgaven lettere igjen.
La oss anta at høyden og vinkelen ved siden av basen er kjent. Det er nødvendig å bestemme arealet av figuren. Du kan gjøre det på denne måten.
Siden summen av vinklene til en hvilken som helst trekant er 180 °, er det ikke vanskelig å bestemme verdien av vinkelen. Deretter, ved å bruke proporsjonen laget i henhold til teoremet om sinus, bestemmes lengden på trekantens base. Alt, basen og høyden - tilstrekkelig data til å bestemme området - er tilgjengelig.
Andre egenskaper ved en likebenet trekant
Posisjonen til sentrum av en sirkel omskrevet rundt en likebenet trekant avhenger av størrelsen på topvinkelen. Så hvis en likebenet trekant er spissvinklet, er sentrum av sirkelen plassert inne i figuren.
Sentrum av en sirkel som er omskrevet rundt en stump likebenet trekant ligger utenfor den. Og til slutt, hvis vinkelen på toppen er 90 °, ligger sentrum nøyaktig i midten av basen, og diameteren på sirkelen går gjennom selve basen.
For å bestemme radiusen til en sirkel omskrevet om en likebenet trekant, er det tilstrekkelig å dele lengden på sidesiden med to ganger cosinus til halvparten av topvinkelens verdi.
Blant alle trekanter er det to spesielle typer: rettvinklede trekanter og likebente trekanter. Hvorfor er disse trekanter så spesielle? Vel, for det første viser slike trekanter seg veldig ofte å være hovedpersonene i USE-oppgavene i den første delen. Og for det andre er problemer om rettvinklede og likebenede trekanter mye lettere å løse enn andre problemer innen geometri. Du trenger bare å kjenne til noen få regler og egenskaper. Alt det mest interessante er diskutert i det tilsvarende emnet, men nå vil vi vurdere likebenede trekanter. Og fremfor alt, hva er en likebenet trekant. Eller, som matematikere sier, hva er definisjonen på en likebenet trekant?
Se hvordan det ser ut:
Som en rettvinklet trekant har en likebenet trekant spesielle navn på sidene. To like sider kalles laterale sider og tredjeparten er basis.
Og igjen, vær oppmerksom på bildet:
Det kan selvfølgelig være slik:
Så vær forsiktig: side - en av to like sider i en likebenet trekant, og basen er en tredjepart.
Hvorfor er en likebenet trekant så bra? For å forstå dette, la oss tegne høyden til basen. Husker du hva høyden er?
Så hva skjedde? Fra en likebenet trekant viste det seg to rektangulære.
Dette er allerede bra, men det vil vise seg slik i enhver, den mest "coosbrale" trekanten.
Hva er forskjellen mellom bildet for en likebenet trekant? Se igjen:
Vel, først og fremst er det selvfølgelig ikke nok for disse merkelige matematikerne å bare se - de må absolutt bevise. Og plutselig er disse trekantene litt forskjellige, og vi vil vurdere dem som de samme.
Men ikke bekymre deg: i dette tilfellet er bevising nesten like enkelt som å se.
La oss begynne? Se nøye, vi har:
Og det betyr! Hvorfor? Ja, vi finner bare og, og fra Pythagoras teorem (husker samtidig det)
Har du forsikret deg? Vel, nå har vi det
Og på tre sider - det enkleste (tredje) tegnet på trekanters likhet.
Vel, vår likebenede trekant har delt seg i to identiske rektangulære.
Ser du hvor interessant det er? Det viste seg at:
Hvordan er det vanlig å snakke om dette blant matematikere? La oss gå i rekkefølge:
(Husk her at medianen er linjen trukket fra toppunktet som deler siden i to, og halveringslinjen er vinkelen.)
Vel, her diskuterte vi hva godt som kan sees hvis gitt en likebenet trekant. Vi utledet at vinklene ved bunnen av en likebenet trekant er like, og høyden, halveringslinjen og medianen, trukket til bunnen, faller sammen.
Og nå oppstår et annet spørsmål: hvordan gjenkjenne en likebenet trekant? Det er, som matematikere sier, hva er tegn på en likebenet trekant?
Og det viser seg at du bare trenger å "snu" alle utsagn tvert imot. Dette er selvfølgelig ikke alltid tilfelle, men en likebenet trekant er fortsatt en flott ting! Hva skjer etter "velten"?
Vel, se:
Hvis høyden og medianen faller sammen, da:
Hvis høyden og halveringslinjen faller sammen, da: 
Hvis halveringslinjen og medianen faller sammen, da:
Vel, ikke glem og bruk:
- Hvis du får en likebenet trekantet trekant, tegn gjerne høyden, få to rette trekanter og løs oppgaven om en rettvinklet trekant.
- Hvis gitt det to vinkler er like deretter trekant nøyaktig likebenet og du kan holde høyden og .... (Huset som Jack bygde ...).
- Hvis det viser seg at høyden er halvert på siden, så er trekanten likebenet med alle de påfølgende bonusene.
- Viser det seg at høyden har delt vinkelen i etasjene - likebenet også!
- Hvis halveringslinjen delte siden i to eller medianen er vinkelen, så skjer dette også kun i en likebenet trekant
La oss se hvordan det ser ut i oppgaver.
Oppgave 1(det enkleste)
I en trekant er sidene og like, og. Finne.
Vi bestemmer:
Først en tegning.
Hva er grunnlaget her? Selvfølgelig, .
Vi husker at hvis, da og.
Oppdatert tegning:
La oss betegne med. Hva er summen av vinklene til trekanten der? ?
Vi bruker:
Det er svar: .
Ikke vanskelig, ikke sant? Selv høyden var ikke nødvendig.
Oppgave 2(Ikke veldig vanskelig, men du må gjenta emnet)
I en trekant,. Finne.
Vi bestemmer:
Trekanten er likebenet! Vi tegner høyden (dette er trikset ved hjelp av hvilken alt vil bli løst nå).
Nå "sletter vi fra livet", skal vi bare vurdere.
Så i vi har:
Husk tabellverdiene til cosinus (vel, eller ser på juksearket ...)
Det gjenstår å finne:.
Svar: .
Merk at vi har her veldig nødvendig kunnskap om en rettvinklet trekant og "tabellformede" sinus og cosinus. Svært ofte skjer det: emner, "likebenet trekant" og i gåter går i bunter, men med andre emner er de ikke veldig vennlige.
Likebent trekant. Gjennomsnittlig nivå.
Disse to like sider er kalt laterale sider, a den tredje siden er bunnen av en likebenet trekant.
Se på bildet: og - sidene, - bunnen av den likebenede trekanten.
La oss forstå i ett bilde hvorfor det er slik. La oss tegne høyden fra punktet.
Dette betyr at de har like alle de tilsvarende elementene.
Alt! I ett hugg (høyde) beviste de alle utsagnene på en gang.
Og du husker: for å løse problemet med likebenet trekant, er det ofte veldig nyttig å senke høyden til bunnen av den likebente trekanten og dele den i to like rettvinklede trekanter.
Tegn på en likebenet trekant
De omvendte utsagnene er også sanne:
Nesten alle disse utsagnene kan igjen bevises «i et slag».
1. Så, la inn var lik og.
La oss tegne høyden. Deretter
2.a) Slipp nå inn en trekant høyde og halveringslinje.
2.b) Og hvis høyden og medianen er sammenfallende? Alt er nesten likt, ikke mer komplisert!
 |
- på to bein |
2.c) Men hvis det ikke er høyde, som senkes til bunnen av en likebenet trekant, så er det ingen i utgangspunktet rettvinklede trekanter. Dårlig!
Men det er en vei ut - les det i neste teorinivå, for her er beviset mer komplisert, men for nå, husk bare at hvis medianen og halveringslinjen faller sammen, så vil trekanten også være likebenet, og høyden vil fortsatt sammenfallende med denne halveringslinjen og medianen.
La oss oppsummere:
- Hvis trekanten er likebenet, så er vinklene ved basen like, og høyden, halveringslinjen og medianen trukket til basen faller sammen.
- Hvis det i en trekant er to like vinkler, eller noen to av de tre linjene (halveringslinje, median, høyde) faller sammen, så er en slik trekant likebenet.
Likebent trekant. Kort beskrivelse og grunnleggende formler
En likebenet trekant er en trekant som har to like sider.
Tegn på en likebenet trekant:
- Hvis to vinkler i en trekant er like, så er den likebenet.
- Hvis i en trekant sammenfaller:
en) høyde og halveringslinje eller
b) høyde og median eller
v) median og halveringslinje,
trukket til den ene siden, så er en slik trekant likebenet.
DE RESTERENDE 2/3-ARTIKKELENE ER KUN TILGJENGELIGE FOR DERE STUDENTER!
Bli en YouClever-student,
Forbered deg på OGE eller USE i matematikk til prisen av "en kopp kaffe per måned",
Og få også ubegrenset tilgang til «YouClever»-læreboken, «100gia»-treningsprogrammet (reshebnik), en ubegrenset prøveversjon av USE og OGE, 6000 problemer med analyse av løsninger og til andre YouClever- og 100gia-tjenester.
