Начало возможных перемещений. Теорема Максвелла (теорема о взаимности единичных перемещений) Потенциальная энергия деформации плоской

Рассмотрим два состояния упругой системы, находящейся в равновесии. В каждом из этих состояний на систему действует некоторая статическая нагрузка (рис.23,а). Обозначим перемещения по направлениям сил F 1 и F 2 через, где индекс “i” показывает направление перемещения, а индекс “j” – вызвавшую его причину.

Рис. 23

Обозначим работу нагрузки первого состояния (сила F 1) на перемещениях первого состояния через А 11 , а работу силы F 2 на вызванных ею перемещениях – А 22:

.

Используя (2.9), работы А 11 и А 22 можно выразить через внутренние силовые факторы:

(2.10)

Рассмотрим случай статического нагружения той же системы (рис.23,а) в такой последовательности. Сначала к системе прикладывается статически возрастающая сила F 1 (рис.23,б); когда процесс ее статического нарастания закончен, деформация системы и действующие в ней внутренние усилия становятся такими же, как и первом состоянии (рис.23,а). Работа силы F 1 составит:

Затем на систему начинает действовать статически нарастающая сила F 2 (рис.23,б). В результате этого система получает дополнительные деформации и в ней возникают дополнительные внутренние усилия, такие же, как и во втором состоянии (рис.23,а). В процессе нарастания силы F 2 от нуля до ее конечного значения сила F 1 , оставаясь неизменной, перемещается вниз на величину дополнительного прогиба
и, следовательно, совершает дополнительную работу:

Сила F 2 при этом совершает работу:

Полная работа А при последовательном нагружении системы силами F 1 , F 2 равна:

С другой стороны, в соответствии с (2.4) полную работу можно определить в виде:

(2.12)

Приравнивая друг к другу выражения (2.11) и (2.12), получим:

(2.13)

А 12 =А 21 (2.14)

Равенство (2.14) носит название теоремы о взаимности работ, илитеоремы Бетти: работа сил первого состояния на перемещениях по их направлениям, вызванных силами второго состояния, равна работе сил второго состояния на перемещениях по их направлениям, вызванных силами первого состояния.

Опуская промежуточные выкладки, выразим работу А 12 через изгибающие моменты, продольные и поперечные силы, возникающие в первом и втором состояниях:

Каждое подинтегральное выражение в правой части этого равенства можно рассматривать как произведение внутреннего усилия, возникающего в сечении стержня от сил первого состояния, на деформацию элемента dz, вызванную силами второго состояния.

2.4 Теорема о взаимности перемещений

Пусть в первом состоянии к системе приложена сила
, а во втором -
(рис.24). Обозначим перемещения, вызванные единичными силами (или единичными моментами
) символом. Тогда перемещение рассматриваемой системы по направлению единичной силыв первом состоянии (то есть вызванное силой
) -
, а перемещение по направлению силы
во втором состоянии -
.

На основании теоремы о взаимности работ:

, но
, поэтому
, или в общем случае действия любых единичных сил:

(2.16)

Рис. 24

Полученное равенство (2.16) носит название теоремы о взаимности перемещений (илитеоремы Максвелла): для двух единичных состояний упругой системы перемещение по направлению первой единичной силы, вызванное второй единичной силой, равно перемещению по направлению второй силы, вызванному первой силой.

Теорема Максвелла - это теорема о взаимности работ для частного случая нагружения системы, когда F 1 =F 2 =1. Очевидно, что при этом δ 12 =δ 21 .

Перемещение точки первого состояния под действием единичной силы второго состояния равняется перемещению точки второго состояния под действием единичной силы первого состояния.

38. Формула для определения работы внутренних сил (с пояснением всех входя­щих в формулу величин).

Теперь определим возможную работу внутренних сил. Для этого рассмотрим два состояния системы:

1) действует сила P i и вызывает внутренние усилия M i , Q i , N i ;

2) действует сила P j , которая в пределах малого элемента dx вызывает возможные деформации

D Mj = dx, D Qj =m dx, D Nj = dx.

Внутренние усилия первого состояния на деформациях (возможных перемещениях) второго состояния совершат возможную работу

–dW ij =M i D Mj +Q i D Qj +N i D Nj = dx+m dx+ dx .

Если проинтегрировать это выражение по длине элемента l и учесть наличие в системе n стержней, получим формулу возможной работы внутренних сил:

–W ij =
dx .

EI – жесткость при изгибе

GA – Жесткость при сдвиге

Е – модуль упругости характер физ параметры

Е – модуль упругости характер геометрич параметры

G- модуль сдвига

A- площадь сечения

EA –продольная жесткость

39. Формула Мора для определения перемещений (с пояснением всех входящих в формулу величин).

Рассмотрим два состояния стержневой системы:

1) грузовое состояние (рис. 6.6 а), в котором действующая нагрузка вызывает внутренние усилия M P , Q P , N P ;

2) единичное состояние (рис. 6.6 б), в котором действующая единичная сила P=1 вызывает внутренние усилия .

Внутренние силы грузового состояния на деформациях единичного состояния , , совершают возможную работу

–V ij =
dx.

А единичная сила P=1 единичного состояния на перемещении грузового состояния D P совершает возможную работу

W ij =1×D P =D P .

По известному из теоретической механики принципу возможных перемещений в упругих системах эти работы должны быть равными, т.е. W ij = –V ij . Значит, должны быть равны и правые части этих выражений:

D P =
dx .

Эта формула называется формулой Мора и используется для определения перемещений стержневой системы от внешней нагрузки.

40. Порядок определения перемещений в С.О.С. с использованием формулы Мора.

N p , Q p , M p как функции координаты х произвольного сечения для всех участков стержневой системы от действия заданной нагрузки.

Приложить по направлению искомого перемещения соответствующую ему единичную нагрузку (единичную силу, если определяется линейное перемещение; сосредоточенный единичный момент, если определяется угловое перемещение).

Определить выражения для внутренних усилий как функции координаты х произвольного сечения для всех участков стержневой системы от действия единичной нагрузки.

Найденные выражения внутренних усилий в первом и втором состоянии подставляют в интеграл Мора и интегрируют по участкам в пределах всей стержневой системы.

41. Применение формулы Мора для определения перемещений в изгибаемых сис­темах (со всеми пояснениями).

В балках (рис. 6.7 а) возможны три случая:

− если > 8 , в формуле оставляется только член с моментами:

D P = ;

− если 5≤ ≤8 , учитываются и поперечные силы:

D P =
dx ;

2. В рамах (рис. 6.7 б) элементы в основном работают только на изгиб.Поэтому в формуле Мора учитываются только моменты.

В высоких рамах учитывается и продольная сила:

D P =
dx .

3. В арках (рис. 6.7 в) необходимо учитывать соотношение между основными размерами арки l и f :

1) если £ 5 (крутая арка), учитываются только моменты;

2) если >5 (пологая арка), учитываются моменты и продольные силы.

4. В фермах (рис. 6.7 г) возникают только продольные силы. Поэтому

D P = dx = = .

42. Правило Верещагина для вычисления интегралов Мора: суть и условия ис­пользования.

Правило Верещагина для вычисления интегралов Мора: суть и условия ис­пользования.

c- центр тяжести площади грузовой эпюры.

y c -ордината взята из единичной эпюры, расположенной под центром тяжести площади грузовой эпюры.

EI- жесткость при изгибе.

Для вычисления полного перемещения необходимо сложить произведения грузовой эпюры на ординату поединично всех простых участков системы.

В данной формуле приведены определенные перемещения от действий только изгибающего момента. Это справедливо для изгибающих систем, для которых основное влияние на перемещение точек оказывает величина изгибающего момента, а влияние поперечной и продольных сил незначительно,которыми на практике пренебрегают.

Рассмотрим два различных состояния (в порядке загружения) одной и той же упругой системы:состояния 1 при действии группы сил и состояние 2 при действий группы сил на примере балки на рис.33, а . Определим и сопоставим работу внешних сил в следующих предположениях. Сначала система постепенно загружается силами состояния 1, а затем, когда силы достигнут окончательного значения, система будет постепенно нагружаться силами состояния 2.Во втором варианте последовательность приложения сил изменяется. Сначала система нагружается силами состояния 2, а затем -силами состояния 1.Допустим, что сперва на систему начала постепенно действовать нагрузка первого состояния, а потом- второго. Суммарная работа внешних сил будет выражаться алгебраической суммой .

Рассмотрим теперь приложение нагрузки в обратной последовательности, когда сначала прикладывается нагрузка второго, а затем – первого состояния. В этом случае суммарная работа внешних сил выразится следующей алгебраической суммой: , где -работа внешних сил второго состояния на перемещениях, вызванных действием сил первого состояния.

Согласно выражению (63), суммарная работа W внешних сил равна по абсолютной величине работе А внутренних сил, взятой с обратным знаком, или потенциальной энергии деформации U .

Известно, что в линейно деформируемой системе потенциальная энергия деформации не зависит от последовательности приложения внешних сил, а зависит только от исходного и конечного состояний системы. Поскольку исходное и конечное состояния системы в обоих случаях загружения одинаковы, то и суммарные работы внешних сил будут равны, т.е. или , откуда

Полученная аналитическая зависимость выражает собой теорему о взаимности работы и формируется так: в линейно деформируемом теле возможная работа внешних или внутренних сил первого состояния на перемещениях точек их приложения, вызванных действием сил второго состояния, равна возможной работе внешних или внутренних сил второго состояния перемещениях, вызванных действием сил первого состояния. Это так называемая теорема Бетти-Рэлея.

Теорема о взаимности перемещений может быть представлена как частный случай теоремы о взаимности работ. Пусть на балку в первом состоянии действует только одна единичная сила , а во втором состоянии – тоже одна единичная сила (рис.34,а, б ). Сила приложена в точке 1, а сила – в точке 2. На основании теоремы о взаимности работ приравняем возможную работу внешних сил первого состояния на перемещениях второго состояния работе сил второго состояния на перемещениях первого состояния:

Это аналитическое выражение для теоремы взаимности перемещений, которая формулируется так: перемещение точки приложения первой единичной силы по направлению, вызванное действием второй единичной силы, равно перемещению по направлению второй единичной силы, вызванному действием первой единичной силы, это так называемая теорема Максвелла, имеющая фундаментальное значение в строительной механике.

Рисунок 34 – Определение взаимности перемещений

Литература:

Основная: 6[разр.3: с 29-31; разр.5:с 36-47].

Контрольные вопросы:

1 Для чего нужно уменьшит размеры панелей и с какой целью вводятся дополнительные двухопорные фермочки-шпренгели, а также сколько и какие категории различают в шпренгельных фермах, и как определяются усилия в элементах основной и дополнительных ферм?

2 Какими функциями выражаются деформации (перемещения)в упругих системах и как аналитически это может быть записано, а также при каких допущениях, назовите их, перемещения, и деформации рассматриваемых упругих систем подчиняются закону независимости действия сил?

3 Для чего анализируют работу внешних и внутренних сил упругого тела и какими понятиями при этом пользуются в строительной механике, а также по какой зависимости определяется работа деформации элементов сооружения при статическом приложении внешних сил, дайте определение теореме Клайперона?

4 По какой зависимости определяется работа всех внешних сил действующих на балку и через какие силы может быть выражена работа внутренних сил упругой стержневой системы?

5 По какой зависимости определяется полная работа внутренних сил и почему работа внешних и внутренних сил называется возможной?

6 Какая аналитическая зависимость выражает теорему о взаимности работы и как формулируется (теорема Бетти-Релея)?

Работа первой силы на перемещении ее точки приложения, вызванном второй силой равняется работе второй силы на перемещении ее точки приложения, вызванном первой силой.

(Линейно-упругие системы всегда консервативны, если загружены консервативными силами, т.е. силами, имеющими потенциал).

В качестве модели системы выберем консольную балку. Перемещения будем обозначать - перемещение по направлению силы , вызванное силой .

Нагрузим систему вначале силой , а затем приложим силу . Работа сил, приложенных к системе запишется:

(Почему два первых члена имеют множитель , а последний нет?)

Затем первой приложим силу а второй - .

Т.к. система консервативна, а также потому, что начальные и конечные состояния в обоих случаях совпадают, то работы необходимо равны, откуда следует

Если положить , то получим частный случай теоремы Бетти – теорему о взаимности перемещений.

Перемещения, вызванные единичными силами, мы будем обозначать (смысл индексов прежний). Тогда

Потенциальная энергия деформации плоской

Стержневой системы.

Будем рассматривать плоскую систему, т.е. систему все стержни которой и все силы лежат в одной плоскости. В стержнях такой системы в общем случае могут возникать при внутренних силовых факторах:

Упругая система деформируясь накапливает при этом энергию (упругую энергию) называемую потенциальной энергией деформации .

а) Потенциальная энергия деформации при растяжении и сжатии.

Потенциальная энергия накопленная в малом элементе длиной dz будет равняться работе сил приложенных к этому элементу

Потенциальная энергия для стержня:

Замечание. и - необязательно постоянные величины.

б) Потенциальная энергия при изгибе.

Для стержня:

в) Поперечные силы вызывают сдвиги, и им соответствует по

тенциальная энергия сдвига. Однако, эта энергия в большинстве случаев невелика и мы не будем ее учитывать.

Замечание. В качестве рассматриваемых объектов у нас фигурировали прямые стержни, но полученные результаты применимы и криволинейным стержням малой кривизны, у которых радиус кривизны приблизительно в 5 раз и более превосходит высоту сечения.

Потенциальная энергия для стержневой системы может быть записана:

Здесь учтено то обстоятельство, что при растяжении и сжатии сечения не поворачиваются, следовательно, изгибающие моменты при этом работы не совершают, а при изгибе не меняется расстояние по оси между смежными сечениями и работа нормальных сил равна нулю. Т.е. потенциальную энергию изгиба и растяжения – сжатия можно вычислить независимо.

Знаки стимулирования означают, что потенциальная энергия вычисляется для всей системы.

Теорема Кастельяно.

Выражение (3) показывает, что потенциальная энергия деформации является однородной квадратичной функцией и , а те в свою очередь линейно зависят от сил, действующих на систему таким образом является квадратичной функцией сил.

Теорема. Частная производная от потенциальной энергии по силе равняется перемещению точки приложения этой силы по направлению последней.

Доказательство:

Пусть - потенциальная энергия, соответствующая силам системы Рассмотрим два случая.

1) Вначале приложены все силы а затем одна из них получает малое приращение тогда полная потенциальная энергия равна:

2) Вначале приложена сила а затем прикладываются силы В этом случае потенциальная энергия равна:

Т.к. начальное и конечное состояние в обоих случаях одинаково, а система консервативна, то потенциальные энергии надо приравнять

Отбрасывая малые второго порядка, получаем

Интеграл Мора.

Теорема Кастельяно дала нам возможность определять перемещения. Эту теорему используют для отыскания перемещений в пластинках, оболочках. Однако, вычисление потенциальной энергии громоздкая процедура и мы сейчас наметим более простой и наиболее общий путь определения перемещений в стержневых системах.

Пусть задана произвольная стержневая система и нам нужно определить в ней перемещение точки по направлению , вызванное всеми силами системы -

8 страниц (Word-файл)

Посмотреть все страницы

15. Потенциальная энергия деформации при изгибе.

При изгибе, также как и при других видах деформации, работа, производимая внешними силами, затрачивается на изменение потенциальной энергии деформированного стержня.

Работа внешнего момента при упругой деформации стержня:

Где - угол поворота сечения в точке приложения момента.

Элементарная работа изгибающего (внутреннего) момента определяется из выражения (по аналогии со случаем растяжения-сжатия):

, но при изгибе имеем: .

Кривизна, как величина, обратная радиусу кривизны определяется из выражения:

, где: - модуль упругости первого рода;

Момент инерции сечения относительно нейтральной оси сечения.

Поэтому можно записать:

.

Полная работа изгибающих моментов для балки длинной l :

.

Потенциальная энергия изгиба, равная работе внутренних сил, взятая с обратным знаком, определяется из выражения:

.

Добавок потенциальной энергия за счет сдвига (для общего случая не прямого, а поперечного изгиба), соответствует работе поперечной силы. Но этот добавок по абсолютному значению невелик и при практических расчетах им обычно пренебрегают.

16. Теорема о взаимности работ и взаимности перемещений.

Рассмотрим упругую линейно деформируемую систему в двух различных состояниях, отвечающих двум различным нагрузкам P1 и P2 (рисунок 47). В данном случае простая балка нагружена в обоих состояниях простой нагрузкой (по одной сосредоточенной силе P1 и P2 ).

Рисунок 47

а) первое состояние системы (под нагрузкой Р1 );

б) второе состояние системы (под нагрузкой Р2 ).

Δ 11 – перемещение по направлению нагрузки Р1 Р1 .

Δ 21 – перемещение по направлению нагрузки Р2 в месте ее приложения от действия Р1 .

Δ 22 – перемещение по направлению нагрузки Р2 в месте ее приложения от действия Р2 .

– перемещение по направлению нагрузки Р1 в месте ее приложения от действия Р2 .

Перемещения Δ 11 к Δ 22 называются главными, а перемещения Δ 12 к Δ 21 – побочными.

Теорема: Работа внешних сил первого состояния, на перемещениях, вызванных силами второго состояния, равна работе внешних сил второго состояния на перемещениях, вызванных силами первого состояния.

Доказательство.

1) Вначале приложим силу Р1, а затем к деформированной балке приложим силу Р2 .

Подсчитаем работу, произведенную внешними силами (обращая внимание на рисунок 48).

Работа произведенная статически приложенной силой Р1 на собственном перемещении Δ 11 , вызванном этой силой, определится из выражения:

Работа, произведенная статически приложенной силой Р2 на собственном перемещении Δ 22 определится из подобного выражения:

Рисунок 48

При этом дополнительная работа уже постоянно приложенной силы Р1 на перемещении Δ 12 , вызванном силой Р2 определится из выражения:

(обращая внимание на то, что множитель 1/2 в выражении отсутствует, поскольку сила Р1 постоянна на перемещении Δ 12).

Полная работа внешних сил при рассмотренной последовательности приложении нагрузок:

.

2) Теперь вначале приложим силу Р2 , а затем к деформированной системе приложим силу Р1 .

Рассуждаем аналогично первому случаю. Работа произведенная силой Р2 на собственном перемещении Δ 22 , вызванном этой силой:

Работа, произведенная силой P 1 на собственном перемещении Δ 11:

Дополнительная работа силы P 2 на перемещении Δ 21 , вызванном силой P 1 :

(множитель 1/2 отсутствует, поскольку сила P 2 постоянна на перемещении Δ 21).

Тогда полная работа внешних сил при рассмотренной последовательности приложения нагрузок:

.

Поскольку работа сил не зависит от порядка их приложения, следовательно:

или иначе:

А для рассматриваемого случая;

.

Полагая приложенные силы единичными P 1 = P 2 =1 , получим равенство перемещений, вызванных единичными силами:

Последнее равенство доказывает теорему о взаимности перемещений:

Перемещение точки приложения единичной силы по ее направлению, вызванное второй единичной силой, равно перемещению точки приложения второй единичной силы по направлению последней, вызванному действием первой единичной силы.

Аналогично можно доказать взаимность дополнительной работы внутренних сил:

Для этого рассмотрим элемент балки длиной dz (рисунок 49).