Үш дифференциалдық теңдеулер жүйесі. Дифференциалдық теңдеулер жүйесін матрицалық әдіс арқылы шешу

Көшеде бұлыңғыр уақыт, теректің үлбірегі ұшып жатыр, бұл ауа-райы демалуға қолайлы. үшін оқу жылыБарлығы шаршады, бірақ жазғы демалысты күту емтихандар мен сынақтарды сәтті тапсыруға шабыттандыруы керек. Айтпақшы, мұғалімдер де маусымда қаңырап қалады, сондықтан жақын арада мен де миымды босатуға уақыт бөлемін. Ал енді кофе, жүйелік блоктың ырғақты гуілі, терезенің үстіндегі бірнеше өлі маса және толық жұмыс күйі... ...о, қарғыс атсын... ақын.

Нүктеге. Кімге бәрібір, бірақ мен үшін бүгін 1 маусым, біз басқасын қарастырамыз типтік тапсырмакешенді талдау – жүйенің нақты шешімін табу дифференциалдық теңдеулероперациялық есептеу әдісі. Оны шешуді үйрену үшін нені білу керек және не істей білу керек? Ең біріншіден, өте ұсыныладысабаққа сілтеме жасаңыз. Кіріспе бөлімді оқып, тақырыптың жалпы тұжырымын, терминологиясын, белгілеуін және кем дегенде екі-үш мысалды түсініңіз. Өйткені диффузорлық жүйелерде бәрі дерлік бірдей және одан да қарапайым болады!

Әрине, сіз оның не екенін түсінуіңіз керек дифференциалдық теңдеулер жүйесітабу деген нені білдіреді жалпы шешімжүйелер және жүйенің белгілі бір шешімі.

Еске сала кетейін, дифференциалдық теңдеулер жүйесін «дәстүрлі» жолмен шешуге болады: жою арқылынемесе сипаттамалық теңдеуді қолдану. Талқыланатын операциялық есептеу әдісі тапсырма келесідей тұжырымдалған кезде қашықтан басқару жүйесіне қолданылады:

Біртекті дифференциалдық теңдеулер жүйесінің белгілі бір шешімін табыңыз , бастапқы шарттарға сәйкес .

Сонымен қатар, жүйе гетерогенді болуы мүмкін - функциялар түріндегі және оң жағындағы «қосымша салмақтары» бар:

Бірақ екі жағдайда да жағдайдың екі негізгі сәтіне назар аудару керек:

1) Бұл туралы тек жеке шешім туралы.
2) Бастапқы шарттар жақшада болып табылады қатаң нөлдер, және басқа ештеңе жоқ.

Жалпы курс және алгоритм өте ұқсас болады операциялық әдіс арқылы дифференциалдық теңдеуді шешу. Анықтамалық материалдардан сізге қажет болады түпнұсқалар мен суреттер кестесі.

1-мысал

, ,

Шешімі:Басталуы тривиальды: пайдалану Лапластың түрлендіру кестелеріТүпнұсқалардан сәйкес суреттерге көшейік. Қашықтан басқару жүйелеріне қатысты мәселеде бұл ауысу әдетте қарапайым:

No 1, 2 кестелік формулаларды пайдаланып, бастапқы шартты ескере отырып, аламыз:

«Ойындармен» не істеу керек? Кестедегі «Х» таңбаларын «Мен» деп ойша өзгертіңіз. Бірдей No1, 2 түрлендірулерді пайдаланып, бастапқы шартты ескере отырып, табамыз:

Табылған кескіндерді бастапқы теңдеуге ауыстырайық :

Қазір сол жақ бөліктердетеңдеулерді жинақтау қажет Барлығыбар немесе бар терминдер. Оң жақ бөліктергетеңдеулер «формальды» болуы керек басқалардың бәрішарттар:

Әрі қарай, әрбір теңдеудің сол жағында жақшаны орындаймыз:

Бұл жағдайда бірінші позицияларға, ал екінші позицияларға мыналарды орналастыру керек:

Алынған екі белгісіз теңдеулер жүйесі әдетте шешіледі Крамер формулалары бойынша. Жүйенің негізгі анықтауышын есептейік:

Анықтаушыны есептеу нәтижесінде көпмүше алынды.

Маңызды техника!Бұл көпмүше жақсырақ дереуфакторға тырысыңыз. Осы мақсаттар үшін квадрат теңдеуді шешуге тырысу керек , бірақ екінші жыл оқытылған көзі бар көптеген оқырмандар мұны байқайды .

Сонымен, жүйенің негізгі детерминанты:

Жүйені одан әрі бөлшектеу, Крамерге рахмет, стандартты болып табылады:

Нәтижесінде біз аламыз жүйенің операторлық шешімі:

Қарастырылып отырған тапсырманың артықшылығы мынада, бөлшектер әдетте қарапайым болып шығады және олармен жұмыс есептерде бөлшектерге қарағанда әлдеқайда оңай. операциялық әдісті пайдалана отырып, DE-нің нақты шешімін табу. Сіздің алдын-ала ескертуіңіз сізді алдамады - қарт анықталмаған коэффициенттер әдісі, оның көмегімен біз әрбір бөлшекті элементар бөлшектерге бөлеміз:

1) Бірінші бөлшекті қарастырайық:

Осылайша:

2) Екінші бөлшекті ұқсас схема бойынша бөлеміз, бірақ басқа тұрақтыларды (анықталмаған коэффициенттерді) пайдалану дұрысырақ:

Осылайша:

Мен манекендерге ыдыраған оператор шешімін келесі пішінде жазуға кеңес беремін:
- бұл соңғы кезеңді айқынырақ етеді - кері Лаплас түрлендіруі.

Кестенің оң жақ бағанын пайдаланып, суреттерден сәйкес түпнұсқаларға көшейік:

Жақсы математикалық әдептілік ережелеріне сәйкес біз нәтижені сәл ретке келтіреміз:

Жауап:

Жауап сабақта егжей-тегжейлі талқыланатын типтік схема бойынша тексеріледі. Дифференциалдық теңдеулер жүйесін қалай шешуге болады?Тапсырмаға үлкен плюс қосу үшін әрқашан оны аяқтауға тырысыңыз.

2-мысал

Операциялық есептеулерді пайдаланып, берілген бастапқы шарттарға сәйкес келетін дифференциалдық теңдеулер жүйесінің белгілі бір шешімін табыңыз.
, ,

Бұл үшін мысал тәуелсіз шешім. Есептің қорытынды формасының шамамен үлгісі және сабақ соңындағы жауабы.

Біртекті емес дифференциалдық теңдеулер жүйесін шешудің алгоритмдік жағынан айырмашылығы жоқ, тек техникалық жағынан ол біршама күрделірек болады:

3-мысал

Операциялық есептеулерді пайдаланып, берілген бастапқы шарттарға сәйкес келетін дифференциалдық теңдеулер жүйесінің белгілі бір шешімін табыңыз.
, ,

Шешімі:Бастапқы шарттарды ескере отырып, Лапластың түрлендіру кестесін қолдану , түпнұсқадан сәйкес суреттерге көшейік:

Бірақ бұл бәрі емес, теңдеулердің оң жағында жалғыз тұрақтылар бар. Тұрақты өздігінен толығымен жалғыз болған жағдайларда не істеу керек? Бұл қазірдің өзінде сыныпта талқыланды. Операциялық әдісті қолдана отырып, DE қалай шешуге болады. Қайталап көрейік: жалғыз тұрақтыларды ойша бір көбейту керек және бірліктерге келесі Лаплас түрлендіруін қолдану керек:

Табылған кескіндерді бастапқы жүйеге ауыстырайық:

Құрамында бар терминдерді солға жылжытайық, ал қалған мүшелерді оң жақтарына орналастырайық:

Сол жақтарда біз жақшаны жүргіземіз, сонымен қатар екінші теңдеудің оң жағын ортақ бөлгішке келтіреміз:

Жүйенің негізгі детерминантын есептеп көрейік, нәтижені бірден көбейткішке бөлуге тырысқан жөн:
, бұл жүйеде бірегей шешім бар дегенді білдіреді.

Әрі қарай жүрейік:



Осылайша, жүйенің операторлық шешімі:

Кейде бір немесе тіпті екі фракцияны азайтуға болады, ал кейде сәтті болғаны сонша, ештеңені кеңейтудің қажеті жоқ! Кейбір жағдайларда сіз бірден тегін аласыз, айтпақшы, сабақтың келесі мысалы индикативті мысал болады.

Анықталмаған коэффициенттер әдісі арқылы элементар бөлшектердің қосындыларын аламыз.

Бірінші бөлшекті бөлейік:

Ал біз екіншісіне қол жеткіземіз:

Нәтижесінде операторлық шешім бізге қажетті пішінді алады:

Оң жақ бағанды ​​пайдалану түпнұсқалар мен кескіндердің кестелерікері Лаплас түрлендіруін орындаймыз:

Алынған кескіндерді жүйенің операторлық шешіміне ауыстырайық:

Жауап:жеке шешім:

Көріп отырғаныңыздай, гетерогенді жүйеде біртекті жүйемен салыстырғанда көп еңбекті қажет ететін есептеулерді жүргізу қажет. Синустар мен косинустармен тағы бірнеше мысалды қарастырайық, бұл жеткілікті, өйткені мәселенің барлық дерлік түрлері және шешімнің көптеген нюанстары қарастырылады.

4-мысал

Операциялық есептеу әдісін пайдаланып, бастапқы шарттары берілген дифференциалдық теңдеулер жүйесінің белгілі бір шешімін табыңыз,

Шешімі: Бұл мысалМен оны өзім реттеймін, бірақ пікірлер тек ерекше сәттерге қатысты болады. Сіз шешім алгоритмін жақсы білетінсіз деп ойлаймын.

Түпнұсқалардан сәйкес суреттерге көшейік:

Табылған кескіндерді бастапқы қашықтан басқару жүйесіне ауыстырайық:

Крамер формулалары арқылы жүйені шешейік:
, бұл жүйеде бірегей шешім бар дегенді білдіреді.

Алынған көпмүшені көбейткіштерге бөлуге болмайды. Мұндай жағдайларда не істеу керек? Мүлдем ештеңе. Бұл да болады.

Нәтижесінде жүйенің операторлық шешімі:

Міне, бақытты билет! Әдіс белгісіз коэффициенттероны пайдаланудың қажеті жоқ! Жалғыз нәрсе, кесте түрлендірулерін қолдану үшін шешімді келесі пішінде қайта жазамыз:

Суреттерден сәйкес түпнұсқаларға көшейік:

Алынған кескіндерді жүйенің операторлық шешіміне ауыстырайық:

Біртекті және біртекті емес көптеген дифференциалдық теңдеулер жүйесін бір белгісіз функция үшін бір теңдеуге келтіруге болады. Мысалдар арқылы әдісті көрсетейік.

3.1-мысал.Жүйені шешу

Шешім. 1) Дифференциалдау тбірінші теңдеу және ауыстыру үшін екінші және үшінші теңдеулерді пайдалану Және , табамыз

Алынған теңдеуді қатысты ажыратамыз қайтадан

1) Біз жүйені жасаймыз

Жүйенің алғашқы екі теңдеуінен айнымалыларды өрнектейміз Және арқылы
:

Табылған өрнектерді орнына қойып көрейік Және жүйенің үшінші теңдеуіне

Сонымен, функцияны табу үшін
тұрақты коэффициенттері бар үшінші ретті дифференциалдық теңдеу алынды

.

2) Соңғы теңдеуді стандартты әдіс арқылы интегралдаймыз: сипаттамалық теңдеуді құрастырамыз
, оның түбірін табыңыз
және түбірлердің бірінің еселігін ескере отырып, көрсеткіштің сызықтық комбинациясы түріндегі жалпы шешімді құрастырыңыз:.

3) Қалған екі функцияны табу үшін келесі
Және
, алынған функцияны екі рет ажыратамыз

Жүйенің функциялары арасындағы байланыстарды (3.1) пайдаланып, қалған белгісіздерді қалпына келтіреміз

.

Жауап. ,
,.

Бірден басқа барлық белгілі функциялар үшінші ретті жүйеден бір дифференциациямен де шығарылатыны белгілі болуы мүмкін. Бұл жағдайда дифференциалдық теңдеуді табу реті бастапқы жүйедегі белгісіз функциялар санынан аз болады.

3.2-мысал.Жүйені біріктіру

(3.2)

Шешім. 1) Дифференциалдау бірінші теңдеуді табамыз

Айнымалыларды қоспағанда Және теңдеулерден

қатысты екінші ретті теңдеуіміз болады

(3.3)

2) (3.2) жүйенің бірінші теңдеуінен бізде

(3.4)

(3.2) жүйенің үшінші теңдеуіне табылған (3.3) және (3.4) өрнектерді Және , функцияны анықтау үшін бірінші ретті дифференциалдық теңдеуді аламыз

Осы біртекті емес теңдеуді тұрақты бірінші ретті коэффициенттермен интегралдасақ, табамыз
(3.4) көмегімен функцияны табамыз

Жауап.
,,
.

3.1-тапсырма. Біртекті жүйелерді бір дифференциалдық теңдеуге келтіру арқылы шешу.

3.1.1. 3.1.2.

3.1.3. 3.1.4.

3.1.5. 3.1.6.

3.1.7. 3.1.8.

3.1.9. 3.1.10.

3.1.11. 3.1.12.

3.1.13. 3.1.14.

3.1.15. 3.1.16.

3.1.17. 3.1.18.

3.1.19. 3.1.20.

3.1.21. 3.1.22.

3.1.23. 3.1.24.

3.1.25. 3.1.26.

3.1.27. 3.1.28.

3.1.29.
3.1.30.

3.2. Шешімдердің іргелі жүйесін табу арқылы коэффициенттері тұрақты сызықтық біртекті дифференциалдық теңдеулер жүйесін шешу

Сызықтық біртекті дифференциалдық теңдеулер жүйесінің жалпы шешімін жүйенің іргелі шешімдерінің сызықтық комбинациясы ретінде табуға болады. Тұрақты коэффициенттері бар жүйелер жағдайында іргелі шешімдерді табу үшін сызықтық алгебра әдістерін қолдануға болады.

3.3-мысал.Жүйені шешу

(3.5)

Шешім. 1) Жүйені матрицалық түрде қайта жазайық

. (3.6)

2) Жүйенің іргелі шешімін вектор түрінде іздейміз
. Ауыстырушы функциялар
(3.6) және азайту арқылы , аламыз

, (3.7)

бұл сан матрицаның меншікті мәні болуы керек
, және векторы сәйкес меншікті вектор.

3) Сызықтық алгебра курсынан (3.7) жүйенің анықтауышы нөлге тең болса, тривиальды емес шешімі болатыны белгілі.

,

яғни . Осы жерден меншікті мәндерді табамыз
.

4) Сәйкес меншікті векторларды табыңыз. Бірінші мәнді (3.7) орнына қою
, біз бірінші меншікті векторды табу жүйесін аламыз

Осы жерден біз белгісіздер арасындағы байланысты аламыз
. Бізге тривиальды емес шешімді таңдау жеткілікті. Сену
, Содан кейін
, яғни вектор меншікті мәннің өзіндік мәні болып табылады
, және функция векторы
берілген дифференциалдық теңдеулер жүйесінің іргелі шешімі (3.5). Сол сияқты екінші түбірді ауыстырғанда
(3.7) -де бізде екінші меншікті вектор үшін матрицалық теңдеу бар
. Оның құрамдас бөліктері арасындағы байланысты қайдан аламыз?
. Осылайша, бізде екінші негізгі шешім бар

.

5) (3.5) жүйенің жалпы шешімі алынған екі іргелі шешімнің сызықтық комбинациясы ретінде тұрғызылады.

немесе координаттық түрде

.

Жауап.

.

3.2-тапсырма. Шешімдердің негізгі жүйесін табу арқылы жүйелерді шешу.

................................ 1

1. Кіріспе................................................. .... ................................................. ............ 2

2. 1-ші ретті дифференциалдық теңдеулер жүйесі................................... 3

3. 1-ші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеулер жүйесі......... 2

4. Тұрақты коэффициенттері бар сызықтық біртекті дифференциалдық теңдеулер жүйесі....................................... ............. ................................................ ................... .... 3

5. Тұрақты коэффициенттері бар 1-ші ретті біртекті емес дифференциалдық теңдеулер жүйесі.................................... ................ ................................................. ...................... 2

Лапластың түрленуі................................................................................ 1

6. Кіріспе................................................. ......... ................................................... ............... ... 2

7. Лаплас түрлендіруінің қасиеттері...................................... ......... ............ 3

8. Лаплас түрлендіруінің қолданылуы...................................... ......... ...... 2

Интегралдық теңдеулермен таныстыру............................................................... 1

9. Кіріспе................................................. .... ................................................. ............ 2

10. Элементтер жалпы теорияСызықтық интегралдық теңдеулер...................... 3

11. 2-ші текті Фредгольм интегралдық теңдеулерінің итерациялық шешімі туралы түсінік................................... ................. ................................. ................................ ........................... ........ 2

12. Вольтерра теңдеуі............................................. ...... ........................... 2

13. Лаплас түрлендіруі арқылы айырма ядросы бар Вольтерра теңдеулерін шешу................................... ................................................................ ........ 2

Қарапайым дифференциалдық теңдеулер жүйесі

Кіріспе

Қарапайым дифференциалдық теңдеулер жүйесі бір айнымалының белгісіз функцияларының туындылары бар бірнеше теңдеулерден тұрады. Жалпы, мұндай жүйенің формасы бар

белгісіз функциялар қайда т– тәуелсіз айнымалы, – кейбір берілген функциялар, индекс жүйедегі теңдеулерді нөмірлейді. Мұндай жүйені шешу осы жүйені қанағаттандыратын барлық функцияларды табуды білдіреді.

Мысал ретінде күш әсерінен массалық дененің қозғалысын сипаттайтын Ньютон теңдеуін қарастырайық:

мұндағы - дененің координатының басынан ағымдағы жағдайына дейін жүргізілген вектор. Декарттық координаталар жүйесінде оның құрамдас бөліктері функция болып табылады Осылайша, (1.2) теңдеу үш екінші ретті дифференциалдық теңдеулерге дейін азайтады

Функцияларды табу үшін Уақыттың әрбір сәтінде дененің бастапқы орнын және оның уақыттың бастапқы сәтіндегі жылдамдығын білу керек - барлығы 6 бастапқы шарт (олар екінші ретті үш теңдеу жүйесіне сәйкес келеді):

(1.3) теңдеулер бастапқы шарттармен (1.4) бірге Коши есебін құрайды, физикалық ойлардан анық көрінетіндей, күш ақылға қонымды тегістік критерийлерін қанағаттандыратын болса, дененің белгілі бір траекториясын беретін бірегей шешімі бар.

Бұл мәселені жаңа функцияларды енгізу арқылы бірінші ретті 6 теңдеулер жүйесіне келтіруге болатынын атап өту маңызды. Функцияларды деп белгілеп, келесідей анықталған үш жаңа функцияны енгізейік:

Жүйені (1.3) енді пішінде қайта жазуға болады

Осылайша, біз функциялар үшін алты бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер жүйесіне келдік Бұл жүйенің бастапқы шарттары пішінге ие

Алғашқы үш бастапқы шарт дененің бастапқы координаталарын, соңғы үшеуі проекцияларды береді бастапқы жылдамдықкоординат осінде.

1.1-мысал.Екі 2 ретті дифференциалдық теңдеулер жүйесін ықшамдаңыз

төрт бірінші ретті теңдеулер жүйесіне.

Шешім.Келесі белгілерді енгізейік:

Бұл жағдайда бастапқы жүйе пішінді алады

Тағы екі теңдеу енгізілген белгілерді береді:

Соңында біз 2-ші ретті теңдеулер жүйесінің бастапқы жүйесіне эквивалентті 1-ші ретті дифференциалдық теңдеулер жүйесін құрастырамыз.

Бұл мысалдар жалпы жағдайды көрсетеді: кез келген дифференциалдық теңдеулер жүйесін 1-ші ретті теңдеулер жүйесіне келтіруге болады. Осылайша, болашақта біз бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер жүйесін зерттеумен шектеле аламыз.

1-ші ретті дифференциалдық теңдеулер жүйесі

Жалпы алғанда, жүйе nБірінші ретті дифференциалдық теңдеулерді былай жазуға болады:

тәуелсіз айнымалының белгісіз функциялары мұнда т, – кейбір көрсетілген функциялар. Жалпы шешім(2.1) жүйені қамтиды nерікті тұрақтылар, яғни. пішіні бар:

Дифференциалдық теңдеулер жүйесін пайдаланып нақты есептерді сипаттау кезінде нақты шешім немесе жеке шешімжүйе кейбіреулерін көрсету арқылы жалпы шешімнен табылады бастапқы шарттар. Бастапқы шарт әрбір функция және жүйе үшін жазылады nБірінші ретті теңдеулер келесідей болады:

Шешімдер кеңістікте анықталады желі деп аталады интегралдық сызықжүйелер (2.1).

Дифференциалдық теңдеулер жүйесі шешімдерінің бар болуы және бірегейлігі туралы теореманы тұжырымдаймыз.

Коши теоремасы. 1-ші ретті дифференциалдық теңдеулер жүйесі (2.1) бастапқы шарттармен (2.2) бірге бірегей шешімі бар (яғни, жалпы шешімнен тұрақтылардың жалғыз жиыны анықталады), егер функциялар және олардың барлық аргументтерге қатысты жеке туындылары осы бастапқы шарттарға жақын жерде шектелген.

Әрине туралы айтып отырмызайнымалылардың кейбір доменіндегі шешім туралы .

Дифференциалдық теңдеулер жүйесін шешу ретінде көруге болады X векторлық функциясы, құрамдастары функция және функциялар жиыны векторлық функция сияқты Ф, яғни.

Мұндай белгілерді пайдалана отырып, біз бастапқы жүйені (2.1) және бастапқы шарттарды (2.2) қысқаша қайта жаза аламыз. векторлық пішін:

Дифференциалдық теңдеулер жүйесін шешу әдістерінің бірі бұл жүйені тағы бір теңдеуге келтіру болып табылады жоғары тәртіп. (2.1) теңдеулерден, сондай-ақ оларды дифференциалдау арқылы алынған теңдеулерден бір теңдеу алуға болады. nБелгісіз функциялардың кез келгені үшін реті оны интегралдау арқылы белгісіз функциялар бастапқы жүйенің теңдеулерінен және бастапқыларды дифференциалдау арқылы алынған аралық теңдеулерден алынады.

2.1-мысал.Екі жүйені шешіңіз бірінші дифференциалтапсырыс

Шешім. Екінші теңдеуді ажыратайық:

Туындыны бірінші теңдеу арқылы өрнектеп көрейік

Екінші теңдеуден

Тұрақты коэффициенттері бар 2-ші ретті сызықтық біртекті дифференциалдық теңдеу алдық. Оның сипаттамалық теңдеуі

одан аламыз. Сонда бұл дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі болады

Біз бастапқы теңдеулер жүйесінің белгісіз функцияларының бірін таптық. Өрнекті пайдаланып мынаны табуға болады:

Бастапқы шарттарда Коши есебін шешейік

Оларды жүйенің жалпы шешіміне ауыстырайық

және интегралдау константаларын табыңыз:

Осылайша, Коши есебінің шешімі функциялар болады

Бұл функциялардың графиктері 1-суретте көрсетілген.

Күріш. 1. 2.1-мысал жүйесінің интервал бойынша жеке шешімі

2.2-мысал.Жүйені шешу

оны бір 2-ші ретті теңдеуге келтіру.

Шешім.Бірінші теңдеуді дифференциялау арқылы аламыз

Екінші теңдеуді пайдалана отырып, біз екінші ретті теңдеуге келеміз x:

Теңдеуде табылғанды ​​ауыстыру арқылы оның шешімін, содан кейін функциясын алу қиын емес. Нәтижесінде бізде жүйенің келесі шешімі бар:

Түсініктеме.Біз функцияны теңдеуден таптық. Сонымен бірге, бір қарағанда, белгілі шешімді бастапқы жүйенің екінші теңдеуіне ауыстыру арқылы бірдей шешімді алуға болатын сияқты.

және оны интеграциялау. Егер осылай табылса, шешімде үшінші, қосымша тұрақты пайда болады:

Дегенмен, тексеру оңай болғандықтан, функция бастапқы жүйені ерікті мәнде емес, тек кезінде қанағаттандырады Осылайша, екінші функция интеграциясыз анықталуы керек.

Функциялардың квадраттарын қосайық және:

Алынған теңдеу жазықтықта бас нүктесінде центрленген концентрлік шеңберлер тобын береді (2-суретті қараңыз). Алынған параметрлік қисықтар деп аталады фазалық қисықтар, және олар орналасқан жазықтық болып табылады фазалық жазықтық.

Кез келген бастапқы шарттарды бастапқы теңдеуге ауыстыру арқылы интегралдау константаларының белгілі мәндерін алуға болады, бұл фазалық жазықтықта белгілі радиусы бар шеңберді білдіреді. Осылайша, әрбір бастапқы шарттар жиынтығы белгілі бір фазалық қисыққа сәйкес келеді. Мысалы, бастапқы шарттарды алайық . Оларды жалпы шешімге ауыстыру тұрақтылардың мәндерін береді , осылайша, нақты шешімнің пішіні бар. Параметрді интервал бойынша өзгерткенде, біз фаза қисығын сағат тілімен жүргіземіз: мән осьтегі бастапқы шарттың нүктесіне сәйкес келеді, мән осьтегі нүктеге сәйкес келеді, мән осьтегі нүктеге сәйкес келеді, мән осьтегі нүктеге сәйкес келеді және біз бастапқы нүктеге ораламыз.

Дифференциалдық теңдеулер жүйесін қалай шешуге болады?

Оқырман, атап айтқанда, дифференциалдық теңдеулерді шешуде өте жақсы деп болжанады біртекті екінші ретті теңдеулерЖәне біртекті емес екінші ретті теңдеулертұрақты коэффициенттері бар. Дифференциалдық теңдеулер жүйесінде күрделі ештеңе жоқ, егер жоғарыда аталған теңдеулер түрлері сізге ыңғайлы болса, онда жүйелерді меңгеру қиын болмайды.

Дифференциалдық теңдеулер жүйесінің екі негізгі түрі бар:

– Дифференциалдық теңдеулердің сызықтық біртекті жүйелері
– Сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеулер жүйесі

Дифференциалдық теңдеулер жүйесін шешудің екі негізгі жолы:

- жою әдісі. Әдістің мәні мынада: шешу кезінде дифференциалдық теңдеулер жүйесі бір дифференциалдық теңдеуге келтіріледі.

– Сипаттамалық теңдеуді қолдану(Эйлер әдісі деп аталады).

Жағдайлардың басым көпшілігінде дифференциалдық теңдеулер жүйесін бірінші әдіс арқылы шешу қажет. Екінші әдіс менің барлық тәжірибемде проблемалық жағдайларда әлдеқайда аз кездеседі, мен онымен ең көп дегенде 10-20 жүйені шештім. Бірақ біз оны осы мақаланың соңғы абзацында қысқаша қарастырамыз.

Мен материалдың теориялық толық еместігі үшін бірден кешірім сұраймын, бірақ мен сабаққа тек практикада кездесуі мүмкін тапсырмаларды ғана енгіздім. Мұнда бес жылда бір рет метеорлық жауынға түсетін нәрсені табу екіталай, және мұндай тосын сыйлармен арнайы диффузор кірпіштеріне жүгіну керек.

Дифференциалдық теңдеулердің сызықтық біртекті жүйелері

Ең қарапайым біртекті дифференциалдық теңдеулер жүйесі келесі формада болады:

Іс жүзінде барлық практикалық мысалдар осындай жүйемен шектелген =)

Онда не бар?

– бұл сандар (сандық коэффициенттер). Ең көп таралған сандар. Атап айтқанда, бір, бірнеше немесе тіпті барлық коэффициенттер нөлге тең болуы мүмкін. Бірақ мұндай сыйлықтар сирек беріледі, сондықтан сандар көбінесе нөлге тең емес.

Және бұл белгісіз функциялар. Тәуелсіз айнымалы ретінде әрекет ететін айнымалы «қарапайым дифференциалдық теңдеудегі X сияқты».

Және сәйкесінше белгісіз функциялардың алғашқы туындылары және.

Дифференциалдық теңдеулер жүйесін шешу нені білдіреді?

Бұл табу дегенді білдіреді осындайқанағаттандыратын функциялар бірінші де, екіншісі дежүйенің теңдеуі. Көріп отырғаныңыздай, принцип әдеттегіге өте ұқсас сызықтық теңдеулер жүйесі. Тек онда түбірлер сандар, ал мұнда функциялар.

Табылған жауап формада жазылады дифференциалдық теңдеулер жүйесінің жалпы шешімі:

Бұйра жақшада!Бұл функциялар «бір байламда».

Қашықтан басқару жүйесі үшін сіз Коши мәселесін шеше аласыз, яғни таба аласыз жүйенің ерекше шешімі, берілген бастапқы шарттарды қанағаттандыру. Жүйенің белгілі бір шешімі бұйра жақшалармен де жазылады.

Жүйені келесідей ықшамырақ қайта жазуға болады:

Бірақ дәстүрлі түрде дифференциалда жазылған туындылары бар шешім жиі кездеседі, сондықтан келесі белгілерге дереу үйреніңіз:
және – бірінші ретті туынды құралдар;
және екінші ретті туындылар.

1-мысал

Дифференциалдық теңдеулер жүйесіне арналған Коши есебін шешіңіз бастапқы шарттарымен,.

Шешімі:Есептерде жүйе көбінесе бастапқы шарттарға тап болады, сондықтан осы сабақтағы мысалдардың барлығы дерлік Коши мәселесінде болады. Бірақ бұл маңызды емес, өйткені жалпы шешім әлі де жол бойында табылуы керек.

Жүйені шешейік жою арқылы. Естеріңізге сала кетейін, әдістің мәні жүйені бір дифференциалдық теңдеуге келтіру болып табылады. Сіз дифференциалдық теңдеулерді жақсы шешесіз деп үміттенемін.

Шешім алгоритмі стандартты:

1) Алу жүйенің екінші теңдеуіжәне біз одан:

Бұл теңдеу шешімнің соңына қарай қажет болады, мен оны жұлдызшамен белгілеймін. Оқулықтарда олар 500 белгілерді кездестіреді, содан кейін олар: «(253) формула бойынша ...» деп сілтеме жасайды және бұл формуланы 50 бет артта іздеңіз. Мен өзімді бір белгімен (*) шектеймін.

2) Алынған теңдеудің екі жағына да дифференциалдаңдар:

«Соққылармен» процесс келесідей көрінеді:

Бұл қарапайым мәселенің анық болғаны маңызды;

3) және орнына қоямыз жүйенің бірінші теңдеуіне:

Және барынша жеңілдетулер жасайық:

Нәтиже - ең қарапайым нәрсе біртекті екінші ретті теңдеутұрақты коэффициенттері бар. «Суреттер» арқылы былай жазылады: .

– әртүрлі нақты түбірлер алынады, сондықтан:
.

Функциялардың бірі табылды, жарты жол артта қалды.

Иә, бізде «жақсы» дискриминантпен сипаттамалық теңдеу бар екенін ескеріңіз, яғни біз ауыстыру мен жеңілдетуде ештеңені бұзбадық.

4) Функцияға көшейік. Ол үшін бұрыннан табылған функцияны аламыз және оның туындысын табыңыз. Біз ажыратамыз:

ауыстырайық және (*) теңдеуіне:

Немесе қысқаша айтқанда:

5) Екі функция да табылды, жүйенің жалпы шешімін жазайық:

Жауап:жеке шешім:

Алынған жауапты тексеру өте оңай, тексеру үш қадаммен жүзеге асырылады:

1) Бастапқы шарттардың шынымен орындалғанын тексеріңіз:

Бастапқы шарттардың екеуі де орындалады.

2) Табылған жауап жүйенің бірінші теңдеуін қанағаттандыратынын тексерейік.

Жауаптан функцияны аламыз және оның туындысын табыңыз:

ауыстырайық , Және жүйенің бірінші теңдеуіне:

Дұрыс теңдік алынады, яғни табылған жауап жүйенің бірінші теңдеуін қанағаттандырады.

3) Жауап жүйенің екінші теңдеуін қанағаттандыратынын тексерейік

Жауаптан функцияны алып, оның туындысын табамыз:

ауыстырайық , Және жүйенің екінші теңдеуіне:

Дұрыс теңдік алынады, яғни табылған жауап жүйенің екінші теңдеуін қанағаттандырады.

Тексеру аяқталды. Не тексерілді? Бастапқы шарттарды орындау тексерілді. Және, ең бастысы, нақты шешім табылғанын көрсетеді қанағаттандырады барлығынабастапқы жүйенің теңдеуі .

Сол сияқты, сіз жалпы шешімді тексере аласыз , тексеру одан да қысқа болады, өйткені бастапқы шарттар орындалғанын тексерудің қажеті жоқ.

Енді шешілген жүйеге оралып, бір-екі сұрақ қояйық. Шешім былай басталды: біз жүйенің екінші теңдеуін алып, одан өрнек алдық. «Х» емес, «У» өрнектеуге бола ма? Егер біз өрнектесек, онда бұл бізге ештеңе бермейді - оң жақтағы бұл өрнекте «y» және «x» екеуі де бар, сондықтан біз айнымалыдан құтыла алмаймыз және жүйенің шешімін азайта алмаймыз. бір дифференциалдық теңдеуді шешуге.

Екінші сұрақ. Шешуді жүйенің екінші теңдеуінен емес, бірінші теңдеуінен бастау мүмкін болды ма? мүмкін. Жүйенің бірінші теңдеуін қарастырайық: . Онда бізде екі «X» және бір «Y» бар, сондықтан «Y»-ді «X» арқылы қатаң түрде көрсету керек: . Келесі бірінші туынды: . Содан кейін ауыстыру керек Және жүйенің екінші теңдеуіне. Шешім толығымен эквивалентті болады, айырмашылығы алдымен функцияны табамыз, содан кейін .

Ал екінші әдіс үшін тәуелсіз шешімнің мысалы болады:

2-мысал

Берілген бастапқы шарттарды қанағаттандыратын дифференциалдық теңдеулер жүйесінің белгілі бір шешімін табыңыз.

Сабақтың соңында берілген шешім үлгісінде бірінші теңдеуден бастап өрнектеледі және бүкіл би осы өрнектен басталады. Үлгіге қарамай-ақ, нүкте бойынша айна ерітіндісін өзіңіз жасауға тырысыңыз.

Сіз сондай-ақ №1 мысалдың бағытымен жүре аласыз - екінші теңдеуден, экспресс («х» өрнектелуі керек екенін ескеріңіз). Бірақ бұл әдіс азырақ ұтымды, өйткені біз бөлшекпен аяқтадық, бұл мүлдем ыңғайлы емес.

Дифференциалдық теңдеулердің сызықтық біртекті емес жүйелері

Бірдей дерлік, тек шешім сәл ұзағырақ болады.

Көп жағдайда есептерде кездесетін біртекті емес дифференциалдық теңдеулер жүйесі келесі формада болады:

Біртекті жүйемен салыстырғанда әрбір теңдеуге «te» -ге байланысты белгілі бір функция қосымша қосылады. Функциялар тұрақтылар (және олардың кем дегенде біреуі нөлге тең емес), экспоненциалдар, синустар, косинустар және т.б.

3-мысал

Берілген бастапқы шарттарға сәйкес сызықтық дифференциалдық теңдеулер жүйесінің белгілі бір шешімін табыңыз

Шешімі:Дифференциалдық теңдеулердің сызықтық біртекті емес жүйесі берілген; Біз пайдаланамыз жою әдісі, бұл ретте шешу алгоритмінің өзі толығымен сақталады. Өзгеріс үшін мен бірінші теңдеуден бастаймын.

1) Жүйенің бірінші теңдеуінен мынаны өрнектейміз:

Бұл маңызды нәрсе, сондықтан мен оны қайтадан жұлдызшалаймын. Жақшаларды ашпаған дұрыс; неге қосымша бөлшектер бар?

Және бұл бірінші теңдеуден екі «Х» және тұрақты арқылы өрнектелетін «y» екенін тағы да ескеріңіз.

2) Екі жағынан да ажырату:

Тұрақтының туындысы нөлге тең болғандықтан, тұрақты (үш) жойылды.

3) алмастырайық Және жүйенің екінші теңдеуіне :

Ауыстырудан кейін бірден фракциялардан құтылған жөн, бұл үшін теңдеудің әрбір бөлігін 5-ке көбейтеміз;

Енді біз жеңілдетулерді жасаймыз:

Нәтиже болды сызықты біртекті емес екінші ретті теңдеутұрақты коэффициенттері бар. Бұл, мәні бойынша, алдыңғы абзацта қарастырылған біртекті теңдеулер жүйесін шешуден барлық айырмашылық.

Ескерту: Дегенмен, біртекті емес жүйеде кейде біртекті теңдеу алуға болады.

Сәйкесінше жалпы шешімін табайық біртекті теңдеу:

Сипаттамалық теңдеуді құрайық және шешейік:

– конъюгаттық күрделі түбірлер алынады, сондықтан:
.

Сипаттамалық теңдеудің түбірлері қайтадан «жақсы» болып шықты, бұл біздің дұрыс жолда екенімізді білдіреді.

Біртекті емес теңдеудің белгілі бір шешімін түрінде іздейміз.
Бірінші және екінші туындыларды табайық:

Біртекті емес теңдеудің сол жағына ауыстырайық:

Осылайша:

Айта кету керек, белгілі бір шешім ауызша оңай таңдалады және ұзақ есептеулердің орнына: «Біртекті емес теңдеудің белгілі бір шешімі: » деп жазу өте қолайлы.

Болғандықтан:

4) Біз функцияны іздейміз. Алдымен бұрыннан табылған функцияның туындысын табамыз:

Бұл өте жағымды емес, бірақ мұндай туындылар жиі диффузорларда кездеседі.

Боранның екпіні бар, енді тоғызыншы толқын болады. Өзіңізді палубаға арқанмен байлаңыз.

ауыстырайық
және (*) теңдеуіне:

5) Жүйенің жалпы шешімі:

6) Бастапқы шарттарға сәйкес келетін нақты шешімді табыңыз :

Соңында, жеке шешім:

Көрдіңіз бе, бақытты аяқталатын оқиға қандай, енді сіз жұмсақ күн астында тыныш теңізде қайықтарда қорықпай жүзе аласыз.

Жауап:жеке шешім:

Айтпақшы, егер сіз осы жүйені екінші теңдеуден шешуді бастасаңыз, есептеулер әлдеқайда қарапайым болады (сіз тырысуға болады), бірақ көптеген сайт келушілері қиынырақ нәрселерді талдауды сұрады. Қалай бас тартуға болады? =) Салыстыратын мысалдар көп болсын.

Өз бетінше шешуге оңай мысал:

4-мысал

Берілген бастапқы шарттарға сәйкес келетін сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеулер жүйесінің белгілі бір шешімін табыңыз

Бұл тапсырмамен No1 мысалдың мысалы бойынша шештім, яғни «х» екінші теңдеуден өрнектеледі. Шешімі мен жауабы сабақтың соңында.

Қарастырылған мысалдарда мен әртүрлі белгілерді қолданып, әртүрлі шешімдерді қолданғаным кездейсоқ емес. Мәселен, бір тапсырмадағы туынды сөздер үш жолмен жазылды: . IN жоғары математикаЕшқандай шиыршықтардан қорқудың қажеті жоқ, ең бастысы - шешім алгоритмін түсіну.

Сипаттамалық теңдеу әдісі(Эйлер әдісі)

Мақаланың басында атап өтілгендей, сипаттамалық теңдеуді қолдану дифференциалдық теңдеулер жүйесін сирек шешуді талап етеді, сондықтан соңғы абзацта мен бір ғана мысалды қарастырамын.

5-мысал

Дифференциалдық теңдеулердің сызықтық біртекті жүйесі берілген

Сипаттамалық теңдеуді пайдаланып, теңдеулер жүйесінің жалпы шешімін табыңыз

Шешімі:Теңдеулер жүйесін қарастырып, екінші ретті анықтауыш құраймыз:

Менің ойымша, әркім анықтауыштың қандай принцип бойынша құрастырылғанын көре алады.

Ол үшін орналасқан әрбір саннан сипаттамалық теңдеу құрайық негізгі диагональ, кейбір параметрді алып тастаңыз:

Соңғы көшірмеге, әрине, сипаттамалық теңдеуді егжей-тегжейлі түсіндіремін, қайдан шыққаны анық болады;

Анықтауышты кеңейтеміз:

Ал біз тамырларды табамыз квадрат теңдеу:

Егер сипаттамалық теңдеу болса екі түрлі нақты тамыр, онда дифференциалдық теңдеулер жүйесінің жалпы шешімі келесідей болады:

Көрсеткіштердегі коэффициенттерді біз бұрыннан білеміз, коэффициенттерді табу ғана қалады

1) Түбірді қарастырып, оны сипаттамалық теңдеуге қойыңыз:

(сонымен қатар бұл екі анықтауышты бос қағазға жазудың қажеті жоқ, бірақ дереу төменде ауызша жүйені жасаңыз)

Анықтауыштың сандарынан екі жүйені құраймыз сызықтық теңдеулерекі белгісіз:

Екі теңдеуден де бірдей теңдік шығады:

Енді таңдау керек кем дегендемәні бүтін сан болатындай мән. Сіз орнатуыңыз керек екені анық. Ал егер, онда

Негізгі ұғымдар мен анықтамалар Қазірдің өзінде дифференциалдық теңдеулер жүйесіне әкеледі ең қарапайым тапсырманүктенің динамикасы: әсер ететін күштер материалдық нүкте ; қозғалыс заңын табыңыз, яғни қозғалыстағы нүкте координаталарының уақытқа тәуелділігін өрнектейтін x = x(t), y = y(t), z = z(t) функцияларын табыңыз. Бұл жағдайда алынған жүйе, жалпы жағдайда, түрге ие болады Мұнда x, y, z - қозғалатын нүктенің координаталары, t - уақыт, f, g, h - олардың аргументтерінің белгілі функциялары. (1) типті жүйе канондық деп аталады. t аргументінің m белгісіз функциясы бар m дифференциалдық теңдеулер жүйесінің жалпы жағдайына көшсек, жоғары туындыларға қатысты шешілген түрдегі жүйені канондық деп атаймыз. Қажетті функциялардың туындыларына қатысты шешілген бірінші ретті теңдеулер жүйесі нормаль деп аталады. Егер жаңа көмекші функцияларды алатын болсақ, онда жалпы канондық жүйені (2) теңдеулерден тұратын эквивалентті қалыпты жүйемен ауыстыруға болады. Сондықтан қалыпты жүйелерді ғана қарастыру жеткілікті. Мысалы, бір теңдеу канондық жүйенің ерекше жағдайы болып табылады. ^ = y мәнін қойсақ, бастапқы теңдеудің арқасында біз аламыз Нәтижесінде қалыпты теңдеулер жүйесін аламыз ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕЛЕР ЖҮЙЕЛЕРІ Интегралдау әдістері Жою әдісі Интегралданатын комбинациялар әдісі Сызықтық дифференциалдық теңдеулер жүйесі Негізгі матрица Өзгеріс әдісі Тұрақтылар Тұрақты коэффициенттері бар сызықтық дифференциалдық теңдеулер жүйесі Бастапқы теңдеуге эквивалентті матрицалық әдіс. Анықтама 1. t аргументін өзгерту (a, b) интервалындағы (3) қалыпты жүйенің шешімі (3) жүйенің теңдеулерін t-ге қатысты сәйкестіктерге айналдыратын интервалда дифференциалданатын n функциялардың кез келген жүйесі болып табылады. (a, b) интервалында (3) жүйесіне арналған Коши есебі келесідей тұжырымдалады: 1-теореманың бастапқы шарттарына t = кезінде қанағаттандыратын жүйенің шешімін (4) табыңыз (шешімнің бар болуы және бірегейлігі). t, X\, x2, ..., айнымалыларындағы өзгерістердің кейбір (n + 1) D өлшемдік облыстарында дифференциалдық теңдеулердің қалыпты жүйесі болсын. xn. Егер аргументтер жиынында ft функциялары үздіксіз және X\, x2, ..., xn айнымалыларына қатысты шектелген жартылай туындылары бар көршілес ft болса, онда - A0 аралығы болады. t өзгерту, онда бастапқы шарттарды қанағаттандыратын қалыпты жүйенің (3) бірегей шешімі бар. Анықтама 2. Ерікті константалардың күйіне тәуелді n функциялар жүйесі кейбір жағдайларда қалыпты жүйенің (3) жалпы шешімі деп аталады. Шешімнің бар болуы мен бірегейлігінің аймағы Π Коши есебі, егер 1) кез келген рұқсат етілген мәндер үшін функциялар жүйесі (6) теңдеулерді (3) сәйкестіктерге айналдырады, 2) Π облысында, функциялары (6) кез келген Коши есебін шешеді. . Тұрақтылардың меншікті мәндерінде жалпыдан алынған шешімдер жеке шешімдер деп аталады. Түсінікті болу үшін екі теңдеудің қалыпты жүйесіне жүгінейік, біз t\u003e X\, x2 мәндер жүйесін нүктенің тікбұрышты декарттық координаттары ретінде қарастырамыз. үш өлшемді кеңістік, Otx\x2 координаттар жүйесіне жатады. t - to мәндерін қабылдайтын (7) жүйенің шешімі кеңістікте нүкте арқылы өтетін белгілі бір түзуді анықтайды) - Бұл түзу қалыпты жүйенің (7) интегралдық қисығы деп аталады. (7) жүйесіне арналған Коши есебі келесі геометриялық тұжырымды алады: t> X\, x2 айнымалылар кеңістігінде берілген Mo(to, x1, x2) нүктесі арқылы өтетін интегралдық қисық сызығын табыңыз (1-сурет). 1-теорема мұндай қисықтың бар болуы мен бірегейлігін белгілейді. Қалыпты жүйеге (7) және оның шешіміне де келесі түсініктеме беруге болады: t тәуелсіз айнымалысын параметр ретінде, ал жүйенің шешімін келесідей қарастырамыз. параметрлік теңдеулер x\Ox2 жазықтығындағы қисық. Бұл X\X2 айнымалылар жазықтығы фазалық жазықтық деп аталады. Фазалық жазықтықта шешім (t = t0 кезінде x°(, x2) бастапқы мәндерін қабылдайтын (7) жүйенің 0-і нүкте арқылы өтетін АВ қисығымен бейнеленген). Бұл қисық траектория деп аталады. Жүйенің траекториясы (7) - бұл интегралдық қисықтан фазалық траектория бірегей түрде анықталады, бірақ § 2. Жүйелерді біріктіру әдістері дифференциалды теңдеулер 2.1 Жою әдісі Интегралдау әдістерінің бірі ең жоғары туындыға қатысты шешілетін n теңдеулерімен жаңа функция теңдеуін енгізу: осы бір n-ші ретті теңдеуді ауыстырамыз. қалыпты жүйеге эквивалентті болып табылады (1). дифференциалдық теңдеулер жүйесін интегралдау. Бұл осылай жасалды. Қалыпты дифференциалдық теңдеулер жүйесі болсын (2) теңдеулердің біріншісін t-ге қатысты ажыратайық. Бізде өнімді ауыстыру оң жағында немесе қысқаша айтқанда (3) теңдеу t-ге қатысты қайтадан дифференциалданған. (2) жүйесін ескере отырып, біз аламыз немесе осы процесті жалғастыра отырып, анықтауыш (функциялар жүйесінің якобиандық мәні қарастырылып отырған мәндер үшін нөлге тең емес) деп есептейміз. Сонда жүйенің бірінші теңдеуінен тұратын теңдеулер жүйесі ( 2) және белгісіздерге қатысты шешілетін теңдеулер табылған өрнектерді теңдеуге енгізу арқылы n-ші ретті бір теңдеуді аламыз, егер) жүйенің шешімдері болса (2), онда X\(t) функциясы (5) теңдеудің шешімі болады. Керісінше, (5) теңдеудің шешімі болсын. Бұл шешімді t-ге қатысты дифференциалдау, біз есептеп, белгілі функциялар ретінде бұл жүйені t функциясы ретінде шешуге болады. Осылайша құрылған функциялар жүйесі дифференциалдық теңдеулер жүйесінің шешімін құрайтынын көрсетуге болады (2). Мысал. Жүйені интегралдау қажет, жүйенің бірінші теңдеуін дифференциалдау арқылы біз екінші теңдеуді пайдалана отырып, бір белгісіз функциясы бар тұрақты коэффициенттері бар екінші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеуді аламыз. Оның жалпы шешімі формасы бар. Жүйенің бірінші теңдеуінің арқасында функцияны табамыз. Табылған x(t), y(t) функцияларын C|-ның кез келген мәндері үшін оңай тексеруге болады және С2 берілген жүйені қанағаттандырады. Функциялар жүйенің (6) интегралдық қисықтары жалпы осі x = y = 0 болатын бұрандалы сызықтар екенін көруге болатын пішінде ұсынылуы мүмкін, бұл да интегралдық қисық (3-сурет). ). (7) формулалардағы параметрді алып тастап, берілген жүйенің фазалық траекториялары координаталар басындағы центрі бар шеңберлер болатындай теңдеуді аламыз - бұрандалы сызықтардың жазықтыққа проекциялары А = 0 болғанда фазалық траектория тұрады Жүйенің тыныштық нүктесі деп аталатын бір нүкте. " Функциялар арқылы өрнектелмейтіні көрінуі мүмкін. Сонда біз бастапқы жүйеге эквивалентті n-ші ретті теңдеуді алмаймыз. Міне, қарапайым мысал. Теңдеулер жүйесін х\ немесе х2 үшін эквивалентті екінші ретті теңдеумен алмастыруға болмайды. Бұл жүйе 1-ші ретті теңдеулер жұбынан тұрады, олардың әрқайсысы дербес интегралданған, интегралданатын комбинациялар әдісін береді. dXi дифференциалдық теңдеулерінің қалыпты жүйелерін интегралдау кейде интегралдық комбинациялар әдісімен жүзеге асырылады. Интегралдық комбинация (8) теңдеулерінің салдары болып табылатын дифференциалдық теңдеу болып табылады, бірақ қазірдің өзінде оңай интегралдалады. Мысал. Жүйені интегралдау ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕЛЕР ЖҮЙЕЛЕРІ Интегралдау әдістері Жою әдісі Интегралданатын комбинациялар әдісі Сызықтық дифференциалдық теңдеулер жүйесі Негізгі матрица Тұрақты мәндерді өзгерту әдісі Тұрақты коэффициенттері бар сызықтық дифференциалдық теңдеулер жүйесі Матрицалық әдіс 4 Осы бір мүшені қосу арқылы табамыз, Интегралданатын комбинация: Жүйенің бірінші теңдеуінен мүшесін екі мүшесіне шегеріп, екінші интегралданатын комбинацияны аламыз: осы жерден жүйенің жалпы шешімі оңай анықталатын екі ақырлы теңдеуді таптық: Бір интегралдық комбинация мынаны алуға мүмкіндік береді. тәуелсіз айнымалы t мен белгісіз функцияларды қосатын бір теңдеу. Мұндай ақырлы теңдеу (8) жүйенің бірінші интегралы деп аталады. Әйтпесе: дифференциалдық теңдеулер жүйесінің бірінші интегралы (8) – бірдей тұрақты емес, бірақ осы жүйенің кез келген интегралдық қисығында тұрақты мәнді сақтайтын дифференциалданатын функция. Егер (8) жүйенің n бірінші интегралы табылса және олардың барлығы тәуелсіз болса, яғни функциялар жүйесінің якобині нөлге тең емес: Дифференциалдық теңдеулер жүйесі белгісіз функциялар мен олардың туындыларына қатысты сызықтық болса, ол сызықтық деп аталады. теңдеуіне кіреді. Қалыпты түрде жазылған бірінші ретті n сызықтық теңдеулер жүйесі 2-теорема түрінде немесе матрицалық түрде болады. Егер барлық функциялар аралықта үздіксіз болса, онда әрбір нүктенің жеткілікті шағын төңірегінде. Мысал. Жүйеде оңай тексеруге болатын шешімдер бар Күл шешімдері сызықтық тәуелсіз, өйткені Вронски анықтауышы нөлге тең емес: «Жүйенің жалпы шешімі мынадай түрге ие немесе еркін константалар болып табылады.) 3.1 Негізгі матрица Бағандары шаршы матрица. (6) жүйенің сызықты тәуелсіз шешімдері болып табылады, бұл жүйенің іргелі матрицасы деп аталады, егер X(t) жүйенің негізгі матрицасы болса, іргелі матрицаның матрицалық теңдеуін қанағаттандыратынын тексеру оңай. онда жүйенің жалпы шешімі ерікті элементтері бар тұрақты матрица-баған ретінде ұсынылуы мүмкін, сондықтан матрицаны Коши матрицасы деп атайды төмендегідей бейнеленген: 8-теорема (дифференциалдық теңдеулердің сызықтық біртекті емес жүйесінің жалпы шешімінің құрылымы туралы) Интервалда және оң жақтарында үзіліссіз коэффициенттері бар сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеулер жүйесінің өрісіндегі жалпы шешім fi). (t) сәйкес біртекті жүйенің жалпы шешімі мен біртекті емес жүйенің (2) кейбір ерекше X(t) ерітіндісінің қосындысына тең: 3.2. Тұрақты шамаларды өзгерту әдісі Егер сызықты біртекті жүйенің (6) жалпы шешімі белгілі болса, онда біртекті емес жүйенің белгілі бір шешімін тұрақты шамаларды вариациялау әдісімен табуға болады (Лаг-Ранг әдісі). алгебралық жүйе 4(0>) қатысты, оның анықтауышы негізгі шешімдер жүйесінің Вронски анықтаушысы W(t) болып табылады. Бұл анықтауыш аралықта барлық жерде нөлге тең емес, сондықтан жүйе) бірегей шешімі бар, мұнда MO белгілі үздіксіз функциялар. Соңғы қатынастарды интегралдасақ, бұл мәндерді ауыстыра отырып, (2) жүйенің белгілі бір шешімін табамыз: (бұл жерде символ §4 функциясының антитуындыларының бірі ретінде түсініледі. Тұрақты коэффициенттері бар сызықтық дифференциалдық теңдеулер жүйелерін қарастырайық. сызықтық жүйебарлық коэффициенттері тұрақты болатын дифференциалдық теңдеулер. Көбінесе мұндай жүйе оны жоғары ретті бір теңдеуге келтіру арқылы біріктіріледі және бұл теңдеу де тұрақты коэффициенттермен сызықтық болады. Басқа тиімді әдістұрақты коэффициенттері бар жүйелерді интеграциялау – Лаплас түрлендіру әдісі. Сонымен қатар коэффициенттері тұрақты дифференциалдық теңдеулердің сызықтық біртекті жүйелерін интегралдау Эйлердің әдісін қарастырамыз. Ол келесідей. Эйлер әдісі Тұрақтылар болатын жүйенің шешімін іздейміз. (2) түріндегі x*-ті (1) жүйеге қойып, e* арқылы күшін жойып, барлық мүшелерді теңдіктің бір бөлігіне көшірсек, бұл жүйе үшін (3) сызықтық біртекті жүйені аламыз. n белгісізі бар анның тривиальды емес шешімі бар, оның анықтауышы нөлге тең болуы қажет және жеткілікті: (4) теңдеу сипаттамалық деп аталады. Оның сол жағында n дәрежелі А-ға қатысты полином бар. әр түрлі болса, онда оларды жүйеге (3) кезекпен ауыстыру арқылы біз осы жүйенің сәйкес тривиальды емес шешімдерін табамыз және, демек, дифференциалдық теңдеулер жүйесінің бастапқы жүйесіне (1) n шешімін табамыз, онда екінші көрсеткіш шешімнің нөмірін көрсетеді, ал біріншісі белгісіз функцияның нөмірін көрсетеді. Осылайша салынған сызықтық біртекті жүйенің (1) n жартылай шешімдері тексерілгендей, іргелі жүйе осы жүйенің шешімдері. Демек, дифференциалдық теңдеулер (1) біртекті жүйесінің жалпы шешімі ерікті тұрақтылар түрінде болады. Сипаттамалық теңдеудің бірнеше түбірі болатын жағдайды қарастырмаймыз. M 01.02 анықтау үшін Сипаттамалық теңдеу түріндегі шешімді іздейміз (3) Жүйе келесідей болады: Ауыстыратын жерден аламыз Сондықтан, Сондықтан табамыз деп есептейміз Бұл жүйенің жалпы шешімі: ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕЛЕР ЖҮЙЕЛЕРІ Интегралдау әдістері Жою әдісі Интегралданатын комбинациялар әдісі Сызықтық дифференциалдық теңдеулер жүйесі Негізгі матрица Вариациялық константалар әдісі Тұрақты коэффициенттері бар сызықтық дифференциалдық теңдеулер жүйесі Матрицалық әдіс Біртекті жүйені интегралдау үшін матрицалық әдісті де көрсетейік (1). (1) жүйесін тұрақты нақты элементтері a,j болатын матрица түрінде жазайық. Сызықтық алгебрадағы кейбір ұғымдарды еске түсірейік. g ФО векторы А матрицасының меншікті векторы деп аталады, егер А саны g меншікті векторына сәйкес келетін А матрицасының меншікті мәні деп аталады және сипаттамалық теңдеудің түбірі, мұндағы I сәйкестік матрица. А матрицасының барлық А„ меншікті мәндері әртүрлі деп есептейміз. Бұл жағдайда меншікті векторлар сызықтық тәуелсіз және А матрицасын диагональды түрге келтіретін n x n матрицасы бар, яғни T матрицасының бағандары меншікті векторлардың координаталары болатындай етіп келесі ұғымдарды енгізейік. B(ξ) n × n-матрица болсын, элементтері 6,;(0 олардың жиында анықталған t аргументінің функциялары. В(f) матрицасы Π бойынша үздіксіз деп аталады, егер оның барлық элементтері 6,j болса. (f) Q бойынша үзіліссіз. B(*) матрицасы Π бойынша дифференциалданатын деп аталады, егер осы матрицаның барлық элементтері Q бойынша дифференциалданатын болса. Бұл жағдайда ^p-матрицасының B(*) туындысы Матрицаның элементтері B(*) матрицасының сәйкес элементтерінің туындылары болып табылады тұрақты матрица, онда ^ нөлдік матрица болғандықтан 9-теорема. Егер А матрицасының меншікті мәндері әртүрлі болса, онда (7) жүйенің жалпы шешімі мына түрге ие болады, мұнда - матрицаның меншікті векторлары-бағандары ерікті тұрақты. Формула бойынша жаңа белгісіз вектор-бағанды ​​енгізейік, мұндағы T матрицасы А матрицасын диагональдық түрге келтіреді T 1 AT = А екенін ескерсек, жүйеге келеміз. Оңай интегралдауға болатын n тәуелсіз теңдеулер жүйесін алдық: (12) Мұнда ерікті тұрақты сандар берілген. Бірлік n өлшемді баған векторларын енгізу арқылы шешімді пішінде көрсетуге болады T матрицасының бағандары матрицаның меншікті векторлары, А матрицасының меншікті векторы болғандықтан, (11) мәніне (13) ауыстырып, біз (10) формуласын алыңыз: Осылайша, егер дифференциалдық теңдеулер жүйесінің (7) матрицасының меншікті мәндері әртүрлі болса, осы жүйенің жалпы шешімін алу үшін: 1) алгебралық теңдеудің түбірлері ретінде матрицаның «меншікті мәндерін табыңыз. 2) барлық меншікті векторларды табу 3) (10 ) формуласын пайдаланып дифференциалдық теңдеулер жүйесінің (7) жалпы шешімін жазу. Мысал 2. Жүйені шешу Матрицалық әдіс 4 Жүйенің А матрицасы түрге ие 1) Сипаттамалық теңдеуді құрастырыңыз Сипаттамалық теңдеудің түбірлері. 2) Меншікті векторларды табыңыз A = 4 үшін = 0|2 болатын жүйені аламыз, осылайша A = 1 үшін де I табамыз 3) (10) формуланы пайдаланып, дифференциалдық теңдеулер жүйесінің жалпы шешімін аламыз. Сипаттамалық теңдеудің түбірлері нақты және күрделі болуы мүмкін. (7) жүйесінің ай коэффициенттері болжам бойынша нақты болғандықтан, сипаттамалық теңдеу нақты коэффициенттерге ие болады. Демек, күрделі А түбірімен қатар оның \* түбірі де болады, А-ның күрделі конъюгаты болады. Егер g А-ның меншікті мәніне сәйкес келетін меншікті вектор болса, онда A* да өзіндік мән болатынын көрсету оңай. g* меншікті векторы сәйкес келеді, g-мен күрделі конъюгат. Меншікті векторларматрицалар 3) Ерікті күрделі константалар болатын жүйенің шешімі. Жүйенің нақты шешімдерін табайық. Эйлер формуласын қолданып, біз аламыз Сондықтан жүйенің кез келген нақты шешімі ерікті нақты сандар түрінде болады. Жаттығулар Жою әдісі арқылы жүйелерді интеграциялау: Интегралдық комбинациялар әдісін қолданып жүйелерді интеграциялау: Матрицалық әдісті пайдаланып жүйелерді интеграциялау: Жауаптар