Trigonometrijska kemija. Primjena trigonometrije u umjetnosti i arhitekturi
TRIGONOMETRIJA U NAŠEM ŽIVOTU
Mnogi ljudi postavljaju pitanja: zašto je potrebna trigonometrija? Kako se koristi u našem svijetu? S čime se trigonometrija može povezati? A evo i odgovora na ova pitanja. Trigonometrija ili trigonometrijske funkcije koriste se u astronomiji (posebno za izračunavanje položaja nebeskih objekata) kada je potrebna sferna trigonometrija, u pomorskoj i zračnoj plovidbi, u teoriji glazbe, u akustici, u optici, u analizi financijskih tržišta, u elektronici, u teoriji vjerojatnosti, u statistici, u biologiji, u medicinskom snimanju, na primjer, kompjuterskoj tomografiji i ultrazvuku, u ljekarnama, u kemiji, u teoriji brojeva, u seizmologiji, u meteorologiji, u oceanografiji, u mnogim fizikalnim znanostima, u kopnu geodetski i geodetski, u arhitekturi, u fonetici, u ekonomiji, u elektrotehnici, u strojarstvu, u građevinarstvu, u računalnoj grafici, u kartografiji, u kristalografiji, u razvoju igara i mnogim drugim područjima.
Geodezija
Geodeti se često moraju nositi sa sinusima i kosinusima. Imaju posebne alate za precizno mjerenje kutova. Pomoću sinusa i kosinusa kutovi se mogu pretvoriti u duljine ili koordinate točaka na zemljinoj površini.
Antička astronomija
Rudimenti trigonometrije mogu se naći u matematičkim rukopisima Starog Egipta, Babilona i Drevne Kine. Zadatak 56 iz papirusa Rinda (II tisućljeće pr. Kr.) predlaže pronaći nagib piramide čija je visina 250 lakata, a duljina stranice baze 360 lakata.
Daljnji razvoj trigonometrije povezan je s imenom astronoma Aristarha Samos (III st. pr. Kr.). U njegovoj raspravi "O veličinama i udaljenostima Sunca i Mjeseca" postavljen je problem određivanja udaljenosti do nebeskih tijela; ovaj zadatak zahtijevao je izračunavanje omjera stranica pravokutnog trokutas poznatom vrijednošću jednog od kutova. Aristarh je smatrao pravokutni trokut koji su formirali Sunce, Mjesec i Zemlja tijekom kvadrature... Trebao je izračunati vrijednost hipotenuze (udaljenost od Zemlje do Sunca) kroz krak (udaljenost od Zemlje do Mjeseca) uz poznatu vrijednost uključenog kuta (87 °), što je ekvivalentno izračunavanju vrijednostgrijeh kuta 3... Prema Aristarhu, ova vrijednost leži u rasponu od 1/20 do 1/18, odnosno udaljenost do Sunca je 20 puta veća nego do Mjeseca; zapravo, Sunce je gotovo 400 puta dalje od Mjeseca, greška je nastala zbog netočnosti u mjerenju kuta.
Desetljećima kasnije Klaudije Ptolemej u svojim djelima "Geografija", "Analema" i "Planisfera" detaljno izlaže trigonometrijske primjene na kartografiju, astronomiju i mehaniku. Između ostalog opisanostereografske projekcije, istraženo je nekoliko praktičnih problema, na primjer: odrediti visinu i azimutnebesko tijelo na njegovu deklinacije i sat kutak. Sa stajališta trigonometrije, to znači da trebate pronaći stranu sfernog trokuta na druge dvije strane i suprotni kut.
Općenito, možemo reći da se trigonometrija koristila za:
· točno određivanje doba dana;
·
proračuni budućeg položaja nebeskih tijela, trenutaka njihovog izlaska i zalaska sunca, pomrčina Sunca i mjesec;
· Pronalaženje zemljopisnih koordinata trenutne lokacije;
· izračunavanje udaljenosti između gradova s poznatim zemljopisne koordinate.
Gnomon je najstariji astronomski instrument, okomiti objekt (stela, stup, stup),
dopuštajući najmanji
duljina njegove sjene (u podne) za određivanje kutne visine sunca.
Dakle, kotangens je shvaćen kao duljina sjene od okomitog gnomona s visinom od 12 (ponekad 7) jedinica; izvorno su ti koncepti korišteni za izračunavanje sunčanog sata. Tangenta je bila sjena horizontalnog gnomona. Kosekans i sekans su hipotenuze odgovarajućih pravokutnih trokuta (segmenti AO na slici lijevo)
Arhitektura
Trigonometrija ima široku primjenu u građevinarstvu, a posebno u arhitekturi. Većina kompozicijskih rješenja i konstrukcija
Crteži su se odvijali upravo uz pomoć geometrije. Ali teoretski podaci malo znače. Naveo bih primjer izgradnje jedne skulpture francuskog majstora zlatnog doba umjetnosti.
Omjer u konstrukciji kipa bio je savršen. Međutim, kada je kip podignut na visoko postolje, izgledao je ružno. Kiparica nije vodila računa da se u perspektivi mnogi detalji smanjuju prema horizontu, a kada se gleda odozdo prema gore, više se ne stvara dojam njezine idealnosti. Izvršeno
puno izračuna tako da lik s velike visine izgleda proporcionalno. Uglavnom, temeljili su se na metodi nišana, odnosno približnom mjerenju na oko. Međutim, koeficijent razlike određenih proporcija omogućio je da se lik približi idealu. Dakle, znajući približnu udaljenost od kipa do točke gledišta, odnosno od vrha kipa do ljudskih očiju i visinu kipa, možemo izračunati sinus upadnog kuta pogleda pomoću tablice ( možemo učiniti isto s donjom točkom gledišta), čime ćemo pronaći točku viziju
Situacija se mijenja, kako se kip podiže na visinu, stoga se povećava udaljenost od vrha kipa do ljudskih očiju, pa se povećava sinus upadnog kuta. Uspoređujući promjene u udaljenosti od vrha kipa do tla u prvom i drugom slučaju, možete pronaći koeficijent proporcionalnosti. Nakon toga ćemo dobiti crtež, a zatim skulpturu, kada se podigne, vizualno će lik biti bliži idealu
Medicina i biologija.
Model ritma može se graditi sa trigonometrijske funkcije... Da biste izgradili model bioritma, morate unijeti datum rođenja osobe, datum odbrojavanja (dan, mjesec, godina) i trajanje prognoze (broj dana).
Formula za srce... Kao rezultat studija jednog iranskog sveučilišnog studenta Shiraz Vahid-Reza Abbasi, Po prvi put liječnici su uspjeli organizirati informacije vezane uz električnu aktivnost srca ili, drugim riječima, elektrokardiografiju. Formula je složena algebarsko-trigonometrijska jednakost, koja se sastoji od 8 izraza, 32 koeficijenta i 33 osnovna parametra, uključujući nekoliko dodatnih za izračune u slučajevima aritmije. Prema liječnicima, ova formula uvelike olakšava proces opisivanja glavnih parametara srca, čime se ubrzava dijagnoza i početak stvarnog liječenja.
Također trigonometrija pomaže našem mozgu odrediti udaljenost do objekata.
Američki znanstvenici tvrde da mozak procjenjuje udaljenost do objekata mjerenjem kuta između ravnine zemlje i ravnine vida. Strogo govoreći, ideja o "mjerenju kutova" nije nova. Čak su i umjetnici Drevne Kine slikali udaljene objekte više u vidnom polju, pomalo zanemarujući zakone perspektive. Arapski znanstvenik iz 11. stoljeća Alhazen formulirao je teoriju određivanja udaljenosti procjenom kutova. Nakon dugog zaborava sredinom prošlog stoljeća, ideju je ponovno oživio psiholog James
Gibson, na temelju svog iskustva s vojnim pilotima. Međutim, nakon toga o teoriji
opet zaboravljena.
Kretanje riba u voda događa se prema zakonu sinusa ili kosinusa, ako fiksirate točku na repu, a zatim razmotrite putanju kretanja. Prilikom plivanja tijelo ribe poprima oblik
krivulja koja podsjeća na graf funkcije y = tgx.
Mjerni rad
OPĆINSKA OBRAZOVNA USTANOVA
"GIMNAZIJA br.1"
"TRIGONOMETRIJA U STVARNOM ŽIVOTU"
informacijski projekt
Završeno:
Krasnov Egor
učenica 9A razreda
Nadglednik:
Borodkina Tatjana Ivanovna
Železnogorsk
Uvod …………………………………………………………………… .. …… 3
Relevantnost …………………………………………………………………… .3
Svrha ……………………………………………………………………… 4
Zadaci ……………………………………………………………………… .4
1.4 Metode ………………………………………………………… 4
2. Trigonometrija i povijest njezina razvoja ... ... ... ………………………… ..5
2.1 Trigonometrija i stupnjevi formiranja ……………………………… .5
2.2 Trigonometrija kao pojam. Karakteristika ……………… .7
2.3 Pojava sinusa …………………………………. ……………… .7
2.4 Pojava kosinusa ……………………. ……………… .8
2.5 Pojava tangente i kotangensa …… ... ……………… .9
2.6 Daljnji razvoj trigonometrije …… ... ……………… ..9
3.Trigonometrija i stvaran život……………………..……………...12
3.1. Navigacija …………………………… .. …………………… ..... 12
3.2 Algebra………………………………………… .. …………………… ..... 14
3.3. Fizika ………………………………………… .. …………………… ..... 14
3.4. Medicina, biologija i bioritmovi… .. …………………… ..... 15
3.5. Glazba …………………………….… .. …………………….. 19
3.6. Računarska znanost .. …………………….… .. …………………… .... 21
3.7. Područje građenja i geodezije ………………………… .... 22
3.8 Trigonometrija u umjetnosti i arhitekturi ……………… ..… .... 22
Zaključak. …………………………… .. ………………………… ..… ..25
Literatura. …………………………………………………………………… 27
Dodatak 1.… .... …………………………. ……………. …………… 29
Uvod
V moderni svijet posvetiti znatnu pozornost matematici kao jednom od područja znanstvenog djelovanja i proučavanja. Kao što znamo, jedna od komponenti matematike je trigonometrija. Trigonometrija je grana matematike koja proučava trigonometrijske funkcije. Smatram da je ova tema prije svega relevantna s praktične točke gledišta. Studij završavamo u školi i razumijemo da je za mnoge profesije znanje trigonometrije jednostavno neophodno, jer omogućuje vam mjerenje udaljenosti do obližnjih zvijezda u astronomiji, između orijentira u geografiji, upravljanje satelitskim navigacijskim sustavima. Načela trigonometrije također se koriste u područjima kao što su glazbena teorija, akustika, optika, analiza financijskog tržišta, elektronika, teorija vjerojatnosti, statistika, biologija, medicina (uključujući ultrazvuk (ultrazvuk) i računalna tomografija), farmacija, kemija, teorija brojeva ( i kao posljedica toga kriptografija), seizmologija, meteorologija, oceanologija, kartografija, mnoge grane fizike, topografija i geodezija, arhitektura, fonetika, ekonomija, elektroničko inženjerstvo, strojarstvo, računalna grafika, kristalografija.
Drugo, relevantnost Tema "Trigonometrije u stvarnom životu" je da će poznavanje trigonometrije otvoriti nove načine rješavanja različitih problema u mnogim područjima znanosti i olakšati razumijevanje nekih aspekata različitih znanosti.
Odavno je uvriježena takva praksa u kojoj se učenici tri puta susreću s trigonometrijom. Dakle, možemo reći da trigonometrija ima tri dijela. Ovi dijelovi su međusobno povezani i ovise o vremenu. U isto vrijeme, oni su potpuno različiti, nemaju slična obilježja kako u značenju, koje se postavlja prilikom objašnjavanja osnovnih pojmova, tako i u funkcijama.
Prvo poznanstvo događa se u 8. razredu. To je razdoblje kada učenici uče: "Odnosi stranica i kutova pravokutnog trokuta." U procesu proučavanja trigonometrije daje se pojam kosinusa, sinusa i tangente.
Sljedeći korak je nastavak upoznavanja s trigonometrijom u 9. razredu. Povećava se razina složenosti, mijenjaju se načini i metode rješavanja primjera. Sada, na mjesto kosinusa i tangenta dolazi krug i njegove mogućnosti.
Posljednja faza je 10. razred, u kojem trigonometrija postaje složenija, mijenjaju se načini rješavanja problema. Uvodi se pojam radijanske mjere kuta. Uvode se grafovi trigonometrijskih funkcija. U ovoj fazi učenici počinju rješavati i učiti trigonometrijske jednadžbe. Ali ne kao geometrija. Za potpuno razumijevanje trigonometrije potrebno je upoznati se s poviješću njezina nastanka i razvoja. Nakon upoznavanja s povijesnom pozadinom i proučavanja djela velikih ličnosti, matematičara i znanstvenika, možemo razumjeti kako trigonometrija utječe na naš život, kako pomaže u stvaranju novih predmeta, otkrivanju.
Svrha moj je projekt proučavati utjecaj trigonometrije u ljudskom životu i razvijati interes za nju. Nakon rješavanja ovog cilja, moći ćemo razumjeti koje mjesto trigonometrija zauzima u našem svijetu, koje praktične probleme rješava.
Kako bismo riješili ovaj cilj, identificirali smo sljedeće zadaci:
1. Upoznati povijest nastanka i razvoja trigonometrije;
2. Razmotriti primjere praktičnog utjecaja trigonometrije u različitim područjima djelovanja;
3. Primjerima pokazati mogućnosti trigonometrije i njezinu primjenu u životu čovjeka.
Metode: Pretraga i prikupljanje informacija.
1. Trigonometrija i povijest njezina razvoja
Što je trigonometrija? Ovaj pojam označava dio u matematici koji proučava odnos između različitih vrijednosti kutova, proučava duljine stranica trokuta i algebarske identitete trigonometrijskih funkcija. Teško je zamisliti da se ovo područje matematike susreće u našem svakodnevnom životu.
1.1 Trigonometrija i faze njenog nastanka
Okrenimo se povijesti njegova razvoja, fazama njegovog formiranja. Od davnina trigonometrija bilježi svoje početke, razvija se i pokazuje prve rezultate. Prve podatke o nastanku i razvoju ovog područja možemo vidjeti u rukopisima koji se nalaze u starom Egiptu, Babilonu i staroj Kini. Proučavajući 56. problem iz papirusa Rinda (2. tisućljeće pr. Kr.), može se vidjeti da on nudi pronalaženje nagiba piramide, čija je visina 250 lakata. Duljina stranice baze piramide je 360 lakata (slika 1). Zanimljivo je da su Egipćani u rješavanju ovog problema istovremeno koristili dva mjerna sustava - "laktove" i "dlanove". Danas bismo pri rješavanju ovog problema našli tangentu kuta: poznavajući polovicu baze i apotemu (slika 1.).
Sljedeći korak bila je faza u razvoju znanosti, koja je povezana s astronomom Aristarhom sa Samosa, koji je živio u III stoljeću prije Krista. e. Traktat je, s obzirom na veličinu i udaljenost Sunca i Mjeseca, postavio sebi određeni zadatak. Izraženo je u potrebi da se odredi udaljenost do svakog nebeskog tijela. Da bi se napravili takvi izračuni, bilo je potrebno izračunati omjere stranica pravokutnog trokuta s poznatom vrijednošću jednog od kutova. Aristarh je razmatrao pravokutni trokut koji su formirali Sunce, Mjesec i Zemlja tijekom kvadrature. Za izračunavanje vrijednosti hipotenuze, koja je bila osnova za udaljenost od Zemlje do Sunca, koristeći krak, koji služi kao osnova za udaljenost od Zemlje do Mjeseca, s poznatom vrijednošću uključenog kuta ( 87 °), što je ekvivalentno izračunavanju vrijednosti grijeh kuta 3... Prema Aristarhu, ova vrijednost leži u rasponu od 1/20 do 1/18. To sugerira da je udaljenost od sunca do zemlje dvadeset puta veća nego od mjeseca do zemlje. Međutim, znamo da je Sunce 400 puta dalje od Mjesečeve lokacije. Pogrešna prosudba nastala je zbog netočnosti u mjerenju kuta.
Nekoliko desetljeća kasnije, Klaudije Ptolemej, u svojim djelima Etnogeografija, Analema i Planisfera, daje detaljno izlaganje trigonometrijskih dodataka kartografiji, astronomiji i mehanici. Između ostalog, prikazana je stereografska projekcija, proučavana su brojna činjenična pitanja, na primjer: postaviti visinu i kut nebeskog tijela prema njegovoj deklinaciji i satnom kutu. Sa stajališta trigonometrije, to znači da je potrebno pronaći stranicu sfernog trokuta prema druge 2 strane i suprotni kut (slika 2)
Uzeto zajedno, može se primijetiti da se trigonometrija koristila za:
Jasno postavljanje doba dana;
Proračuni nadolazećeg položaja nebeskih tijela, epizoda njihovog izlaska i zalaska, pomrčine Sunca i Mjeseca;
Pronalaženje zemljopisnih koordinata trenutne lokacije;
Izračunavanje udaljenosti između megagradova s poznatim geografskim koordinatama.
Gnomon je drevni astronomski mehanizam, okomiti objekt (stela, stup, stup), koji omogućuje korištenje najmanje duljine svoje sjene u podne za određivanje kutne visine sunca (slika 3.).
Tako nam je kotangens predstavljen kao duljina sjene od vertikalnog gnomona visoka 12 (ponekad 7) jedinica. Imajte na umu da su u izvornoj verziji ove definicije korištene za izračunavanje sunčanog sata. Tangenta je bila predstavljena kao sjena koja pada s horizontalnog gnomona. Kosekans i sekans se shvaćaju kao hipotenuze, koje odgovaraju pravokutnim trokutima.
1.2 Trigonometrija kao pojam. Karakteristično
Po prvi put specifičan izraz "trigonometrija" nalazi se 1505. Njega je objavio i koristio u knjizi njemački teolog i matematičar Bartholomeus Pitiscus. Dok se znanost već koristila za rješavanje astronomskih, arhitektonskih problema.
Pojam trigonometrija karakteriziraju grčki korijeni. A sastoji se od dva dijela: "trokut" i "mjera". Proučavajući prijevod, možemo reći da pred sobom imamo znanost koja proučava promjene trokuta. Pojava trigonometrije povezana je s geodetstvom, astronomijom i procesom gradnje. Iako je naziv relativno noviji, mnoge definicije i podaci koji se trenutno odnose na trigonometriju su bili poznati prije 2000. godine.
1.3. Početak sinusa
Sinusna prezentacija ima dugu povijest. Zapravo, različiti odnosi između segmenata trokuta i kružnice (i zapravo trigonometrijske funkcije) pronađeni su ranije u 3. stoljeću. PRIJE KRISTA. u djelima poznatih matematičara antičke Grčke - Euklida, Arhimeda, Apolonija iz Perge. U rimskom razdoblju te je odnose već prilično redovito proučavao Menelaj (1. st. Kr.), iako nisu dobili poseban naziv. Moderni sinus kuta α, na primjer, proučava se kao polutetiva na kojoj počiva središnji kut vrijednosti α ili kao tetiva udvojenog luka.
U kasnijem razdoblju matematiku su dugo vremena najbrže formirali indijski i arapski znanstvenici. Konkretno, u 4-5. stoljeću raniji poseban termin nastao je u djelima o astronomiji poznatog indijskog znanstvenika Aryabhata (476.-c. 550.), po kojem je nazvan prvi hinduistički satelit Zemlje. Segment je nazvao ardhajiva (ardha-pola, jiva-tetiva, pregib, koji podsjeća na os). Kasnije je usvojen skraćeniji naziv jiva. Arapski matematičari u IX stoljeću. izraz jiva (ili jiba) zamijenjen je arapskom riječju jaib (konkavnost). Prijelazom arapskih matematičkih tekstova u XII st. ovu riječ zamijenio je latinski sinus (sinus-bend) (slika 4).
1.4. Pojava kosinusa
Definicija i pojava pojma "kosinus" je kratkotrajnija i uskogrudna. Pod kosinusom se podrazumijeva "dodatni sinus" (ili inače "sinus dodatnog luka"; zapamtite cosα = sin (90 ° - a)). Zanimljiva činjenica je da je prvi način rješavanja trokuta, koji se temelji na odnosu stranica i kutova trokuta, pronašao astronom iz Stare Grčke Hiparh u drugom stoljeću pr. Ovu studiju je također proveo Klaudije Ptolemej. Postupno su se pojavile nove činjenice o odnosu između omjera strana trokuta i njegovih kutova, počeli su primjenjivati novu definiciju - trigonometrijsku funkciju.
Značajan doprinos formiranju trigonometrije dali su arapski stručnjaci Al-Batani (850-929) i Abu-al-Wafa, Mohamed bin Mohamed (940-998), koji su sakupili tablice sinusa i tangenta koristeći 10' s točnošću do 1/604. Teorem o sinusima ranije su poznavali indijski profesor Bhaskara (r. 1114, godina smrti nije poznata) i azerbajdžanski astrolog i znanstvenik Nasireddin Tusi Muhamed (1201-1274). Osim toga, Nasireddin Tusi je u vlastitom djelu "Rad potpunog četverodijela" govorio o izravnoj i sfernoj trigonometriji kao samostalnoj disciplini (slika 4).
1.5. Pojava tangente i kotangensa
Tangente su nastale u vezi sa zaključkom problema utvrđivanja duljine sjene. Tangentu (a i kotangens) je u 10. stoljeću ustanovio arapski aritmetičar Abu al-Wafa, koji je sastavio i početne tablice za pronalaženje tangenta i kotangensa. Ali ta su otkrića dugo ostala nepoznata europskim znanstvenicima, a tangente je ponovno otkrio tek u XIV stoljeću njemački aritmetičar, astronom Regimontanus (1467.). Argumentirao je teorem tangente. Regiomontan je sastavio i detaljne trigonometrijske tablice; zahvaljujući njegovim djelima ravna i sferna trigonometrija postala je samostalna disciplina u Europi.
Oznaka "tangenta", izvedena iz latinskog tanger (dodirnuti), nastala je 1583. Tangens se prevodi kao "dodirivanje" (linija tangenta je tangenta na jediničnu kružnicu).
Trigonometrija se dalje formirala u djelima istaknutih astrologa Nicolaus Copernicus (1473-1543), Tycho Brahe (1546-1601) i Johannes Kepler (1571-1630), a osim toga u djelima matematičara Francoisa Vieta (1540-1603). ), koji je u potpunosti riješio problem određivanja apsolutno svih komponenti ravnog ili sfernog trokuta iz tri podatka (slika 4).
1.6 Daljnji razvoj trigonometrije
Trigonometrija je dugo vremena bila isključivo geometrijska, odnosno podaci koje trenutno formuliramo u definicijama trigonometrijskih funkcija formulirali su i argumentirali uz potporu geometrijskih pojmova i tvrdnji. Kao takav, postojao je još u srednjem vijeku, iako su se u njemu ponekad koristile i analitičke metode, osobito nakon pojave logaritama. Možda su se maksimalni poticaji za formiranje trigonometrije pojavili u sprezi s rješavanjem astronomskih problema, što je izazvalo ogroman pozitivan interes (na primjer, s ciljem rješavanja pitanja utvrđivanja lokacije broda, predviđanja zamračenja itd.). Astrolozi su se bavili odnosom između stranica i kutova sfernih trokuta. A antički aritmetičari uspješno su se nosili s postavljenim pitanjima.
Počevši od 17. stoljeća trigonometrijske funkcije počele su se primjenjivati na rješavanje jednadžbi, pitanja mehanike, optike, elektrike, radiotehnike, kako bi se prikazala oscilatorna djelovanja, širenje valova, kretanje raznih elemenata, za proučavanje izmjenične galvanske struje, itd. Zbog toga su trigonometrijske funkcije sveobuhvatno i duboko proučavane, te su dobile bitno značenje za cjelokupnu matematiku.
Analitičku teoriju trigonometrijskih funkcija uglavnom je stvorio istaknuti matematičar 18. stoljeća Leonard Euler (1707-1783), član Petrogradske akademije znanosti. Eulerovo golemo znanstveno naslijeđe uključuje briljantne rezultate u matematičkoj analizi, geometriji, teoriji brojeva, mehanici i drugim primjenama matematike. Euler je prvi uveo dobro poznate definicije trigonometrijskih funkcija, počeo razmatrati funkcije proizvoljnog kuta i dobio formule redukcije. Nakon Eulera, trigonometrija je dobila oblik računa: razne činjenice su se počele dokazivati kroz formalnu primjenu trigonometrijskih formula, dokazi su postali mnogo kompaktniji, jednostavniji,
Tako se trigonometrija, koja je nastala kao znanost o rješavanju trokuta, s vremenom razvila u znanost o trigonometrijskim funkcijama.
Kasnije se dio trigonometrije, koji proučava svojstva trigonometrijskih funkcija i odnos među njima, počeo zvati goniometrija (u prijevodu - znanost o mjerenju kutova, s grčkog gwnia - kut, metrew - mjerim). Termin goniometrija se u posljednje vrijeme praktički ne koristi.
2. Trigonometrija i stvarni život
Suvremeno društvo karakteriziraju stalne promjene, otkrića, stvaranje visokotehnoloških izuma koji poboljšavaju naše živote. Trigonometrija se susreće i komunicira s fizikom, biologijom, matematikom, medicinom, geofizikom, navigacijom, informatikom.
Upoznajmo se redom s interakcijom u svakoj industriji.
2.1 Navigacija
Prva točka koja nam objašnjava upotrebu i prednosti trigonometrije je njezina povezanost s navigacijom. Navigaciju shvaćamo kao znanost čija je svrha proučavanje i stvaranje najprikladnijih i najkorisnijih načina plovidbe. Dakle, znanstvenici razvijaju jednostavnu navigaciju, koja gradi rutu od jedne točke do druge, procjenjuje je i odabire najbolju opciju od svih predloženih. Ove rute potrebne su pomorcima koji se tijekom svog putovanja susreću s brojnim poteškoćama, preprekama, pitanjima o tijeku kretanja. Navigacija je također neophodna: piloti koji lete sofisticiranim visokotehnološkim zrakoplovima su vođeni, ponekad u vrlo ekstremnim situacijama; astronauti, čiji je rad povezan s rizikom za život, sa složenim planiranjem rute i njezinim razvojem. Proučimo detaljnije sljedeće koncepte i zadatke. Kao zadatak može se predstaviti sljedeći uvjet: znamo geografske koordinate: širinu i dužinu između točaka A i B zemljine površine. Potrebno je pronaći najkraći put između točaka A i B duž zemljine površine (poznatim se smatra polumjer zemlje: R = 6371 km).
Također možemo predstaviti rješenje ovog problema, naime: prvo specificiramo da je zemljopisna širina točke M na zemljinoj površini vrijednost kuta kojeg formira polumjer OM, gdje je O središte Zemlje, s ekvatorijalnom ravninom : ≤, a zemljopisna širina sjeverno od ekvatora smatra se pozitivnom, a južno - negativnom. Za geografsku dužinu točke M uzimamo vrijednost diedralnog kuta koji prolazi u ravninama COM i SON. Pod C mislimo na Sjeverni pol Zemlje. Kao H mislimo na točku koja odgovara zvjezdarnici Greenwich: ≤ (istočno od Greenwichskog meridijana smatra se pozitivnom zemljopisnom dužinom, zapadno - negativnom). Kao što već znamo, najkraća udaljenost između točaka A i B zemljine površine je duljina najmanjeg od lukova velike kružnice koja spaja A i B. Ova vrsta luka može se nazvati ortodromija. U prijevodu s grčkog, ovaj se pojam razumije kao pravi kut. Zbog toga nam je zadatak odrediti duljinu stranice AB sfernog trokuta ABC, gdje C označava sjeverni polis.
Zanimljiv primjer može se opisati na sljedeći način. Prilikom izrade rute od strane nautičara potreban je precizan i mukotrpan rad. Dakle, za ucrtavanje tijeka broda na kartu, koja je napravljena u projekciji Gerharda Mercatora 1569. godine, postojala je hitna potreba za određivanjem zemljopisne širine. No, prilikom plovidbe na more, na mjestima do 17. stoljeća, nautičari nisu označavali geografsku širinu. Po prvi put koristio je trigonometrijske izračune u navigaciji Edmonda Gunthera (1623.).
Uz njegovu trigonometriju, piloti su mogli izračunati pogreške vjetra za najtočnije i najsigurnije navođenje zrakoplova. Da bismo izvršili ove proračune, okrećemo se trokutu brzine. Ovaj trokut izražava formiranu brzinu zraka (V), vektor vjetra (W), vektor brzine tla (Vp). PU - kut smjera, HC - kut vjetra, KUV - kut smjera vjetra (slika 5).
Da biste se upoznali s vrstom ovisnosti između elemenata trokuta brzine navigacije, trebate pogledati u nastavku:
Vp = V cos US + W cos UV; sin SW = * sin SW, tg SW
Za rješavanje trokuta brzine navigacije koriste se kalkulatori koji koriste navigacijsko ravnalo i mentalne izračune.
2.2 Algebra
Sljedeće područje interakcije trigonometrije je algebra. Zahvaljujući trigonometrijskim funkcijama rješavaju se vrlo složene jednadžbe i problemi koji zahtijevaju velike izračune.
Kao što znamo, u svim slučajevima kada je potrebno komunicirati s periodičnim procesima i oscilacijama, dolazimo do uporabe trigonometrijskih funkcija. Nije važno što je: akustika, optika ili ljuljanje njihala.
2.3 Fizika
Osim navigacije i algebre, trigonometrija ima izravan utjecaj i utjecaj na fiziku. Kada su predmeti uronjeni u vodu, oni ni na koji način ne mijenjaju svoj oblik ili volumen. Potpuna tajna je vizualni efekt koji tjera našu viziju da prihvati objekt na drugačiji način. Jednostavne trigonometrijske formule i vrijednosti sinusa upadnog kuta i loma poluprave daju vjerojatnost izračunavanja konstantnog indeksa loma kada svjetlosni snop prolazi od kugle do kugle. Na primjer, duga se pojavljuje zbog činjenice da se sunčeva svjetlost lomi u kapljicama vode suspendiranim u zraku prema zakonu loma:
sin α / sin β = n1 / n2
gdje je: n1 indeks loma prvog medija; n2 je indeks loma drugog medija; α-upadni kut, β-kut loma svjetlosti.
Prodiranje nabijenih elemenata Sunčevog vjetra u gornje slojeve atmosfere planeta posljedica je interakcije Zemljinog magnetskog polja sa Sunčevim vjetrom.
Sila koja djeluje na nabijenu česticu koja se kreće u magnetskom području naziva se Lorentzova sila. Proporcionalan je naboju čestice i vektorskom umnošku polja i brzini gibanja čestice.
Razotkrivajući praktične aspekte primjene trigonometrije u fizici, navest ćemo primjer. Ovaj zadatak treba riješiti pomoću trigonometrijskih formula i metoda rješenja. Uvjeti problema: na nagnutoj ravnini, čiji je kut 24,5 °, nalazi se tijelo težine 90 kg. Potrebno je pronaći koju silu ima tijelo, pritiskajući nagnutu ravninu (tj. koliki pritisak tijelo vrši na ovu ravninu) (slika 6).
Nakon što smo označili osi X i Y, počet ćemo graditi projekcije sila na os, prvo koristeći ovu formulu:
ma = N + mg, zatim pogledajte sliku,
X: ma = 0 + mg sin24,50
Y: 0 = N - mg cos24,50
zamijenimo masu, nalazimo da je sila jednaka 819 N.
Odgovor: 819 N
2.4 Medicina, biologija i bioritmovi
Četvrto područje u kojem trigonometrija ima značajan utjecaj i pomoć su dva područja odjednom: medicina i biologija.
Jedno od temeljnih svojstava žive prirode je cikličnost većine procesa koji se u njoj odvijaju. Postoji veza između kretanja nebeskih tijela i živih organizama na Zemlji. Živi organizmi ne samo da hvataju svjetlost i toplinu Sunca i Mjeseca, već imaju i razne mehanizme koji točno određuju položaj Sunca, reagirajući na ritam plime i oseke, mjesečeve faze i kretanje našeg planeta.
Biološki ritmovi, bioritmovi, su manje-više redovite promjene u prirodi i intenzitetu bioloških procesa. Sposobnost za takve promjene vitalne aktivnosti naslijeđena je i nalazi se u gotovo svim živim organizmima. Mogu se promatrati u pojedinačnim stanicama, tkivima i organima, cijelim organizmima i populacijama. Bioritmovi se dijele na fiziološki, koji imaju razdoblja od djelića sekunde do nekoliko minuta, i ekološki, trajanje koje se podudara s bilo kojim ritmom okoliš... To uključuje dnevne, sezonske, godišnje, plimne i lunarne ritmove. Glavni zemaljski ritam je dnevni, zbog rotacije zemlje oko svoje osi, stoga gotovo svi procesi u živom organizmu imaju dnevnu frekvenciju.
Mnogi okolišni čimbenici na našem planetu, prvenstveno svjetlosni režim, temperatura, tlak i vlažnost zraka, atmosferska i elektromagnetska polja, morske oseke i oseke, pod utjecajem ove rotacije mijenjaju se prirodno.
Mi smo sedamdeset i pet posto vode, a ako se u vrijeme punog mjeseca vode svjetskih oceana uzdignu 19 metara iznad razine mora i počne plima, tada i voda u našem tijelu juri prema gornjim dijelovima našeg tijela. I ljudi s visokim krvnim tlakom često doživljavaju pogoršanja bolesti u tim razdobljima, a prirodoslovci koji skupljaju ljekovito bilje znaju točno u kojoj fazi mjeseca treba skupljati "vrhove - (plodove)", a u kojoj - "korijene".
Jeste li primijetili da u određenim trenucima vaš život čini neobjašnjive skokove i granice? Odjednom niotkuda - emocije preplave. Povećava se osjetljivost, koja se iznenada može zamijeniti potpunom apatijom. Kreativni i neplodni dani, sretni i nesretni trenuci, promjene raspoloženja. Primjećuje se da se sposobnosti ljudskog tijela povremeno mijenjaju. Ovo znanje čini osnovu "teorije tri bioritma".
Tjelesni bioritam – regulira tjelesnu aktivnost. Tijekom prve polovice tjelesnog ciklusa osoba je energična, te postiže najbolje rezultate u svojim aktivnostima (druga polovica - energija ustupa mjesto lijenosti).
Emocionalni ritam - tijekom razdoblja aktivnosti povećava se osjetljivost, poboljšava se raspoloženje. Osoba postaje uzbudljiva na razne vanjske kataklizme. Ako je dobro raspoložen, gradi dvorce u zraku, sanja da se zaljubljuje i zaljubljuje se. Sa smanjenjem emocionalnog bioritma dolazi do pada mentalne snage, nestaju želja i radosno raspoloženje.
Inteligentni bioritam - raspolaže pamćenjem, sposobnošću učenja, logičkim mišljenjem. U fazi aktivnosti dolazi do uspona, a u drugoj fazi pada kreativne aktivnosti nema sreće i uspjeha.
Teorija tri ritma:
· Fizički ciklus -23 dana. Određuje energiju, snagu, izdržljivost, koordinaciju pokreta
· Emocionalni ciklus - 28 dana. Stanje živčanog sustava i raspoloženje
· Intelektualni ciklus - 33 dana. Određuje kreativnu sposobnost osobe
Trigonometrija se također nalazi u prirodi. Kretanje ribe u vodi događa se prema zakonu sinusa ili kosinusa, ako fiksirate točku na repu, a zatim razmotrite putanju kretanja. Pri plivanju tijelo ribe poprima oblik krivulje koja podsjeća na graf funkcije y = tgx.
Tijekom leta ptice, putanja mahanja krilima tvori sinusoidu.
Trigonometrija u medicini. Kao rezultat studije koju je proveo iranski sveučilišni student Shiraz Wahid-Reza Abbasi, liječnici su po prvi put uspjeli organizirati informacije vezane uz električnu aktivnost srca, odnosno, drugim riječima, elektrokardiografiju.
Formula pod nazivom Teheran predstavljena je općoj znanstvenoj javnosti na 14. konferenciji geografske medicine, a potom i na 28. konferenciji o primjeni računalne tehnologije u kardiologiji, održanoj u Nizozemskoj.
Ova formula je složena algebarsko-trigonometrijska jednakost, koja se sastoji od 8 izraza, 32 koeficijenta i 33 osnovna parametra, uključujući nekoliko dodatnih za izračune u slučajevima aritmije. Prema liječnicima, ova formula uvelike olakšava proces opisivanja glavnih parametara srca, čime se ubrzava dijagnoza i početak stvarnog liječenja.
Mnogi ljudi moraju napraviti kardiogram srca, ali malo tko zna da je kardiogram ljudskog srca graf sinusa ili kosinusa.
Trigonometrija pomaže našem mozgu odrediti udaljenosti do objekata. Američki znanstvenici tvrde da mozak procjenjuje udaljenost do objekata mjerenjem kuta između ravnine zemlje i ravnine vida. Ovaj zaključak donesen je nakon niza eksperimenata, čiji su sudionici zamoljeni da pogledaju svijet oko sebe kroz prizme koje povećavaju ovaj kut.
Ovo izobličenje dovelo je do činjenice da su eksperimentalni nosači prizmi doživljavali udaljene objekte kao bliže i nisu se mogli nositi s najjednostavnijim testovima. Neki od sudionika pokusa čak su se nagnuli naprijed, pokušavajući poravnati svoja tijela okomito na netočno prikazanu površinu zemlje. Međutim, nakon 20 minuta navikli su se na iskrivljenu percepciju i svi problemi su nestali. Ova okolnost ukazuje na fleksibilnost mehanizma kojim mozak prilagođava vizualni sustav promjenjivim vanjskim uvjetima. Zanimljivo je primijetiti da je nakon uklanjanja prizme neko vrijeme opažen suprotan učinak – precjenjivanje udaljenosti.
Rezultati nove studije, kako se može očekivati, bit će zanimljivi inženjerima koji dizajniraju navigacijske sustave za robote, kao i stručnjacima koji rade na stvaranju što realističnijih virtualnih modela. Moguća je primjena i u području medicine, u rehabilitaciji bolesnika s oštećenjima pojedinih područja mozga.
2.5 Glazba
Glazbeno polje također je u interakciji s trigonometrijom.
Predstavljam vam zanimljiv podatak o određenoj metodi koja precizno povezuje trigonometriju i glazbu.
Ova metoda analize glazbenih djela naziva se "geometrijska teorija glazbe". Uz njegovu pomoć, glavne glazbene strukture i transformacije prevode se na jezik moderne geometrije.
Svaka nota u okviru nove teorije predstavljena je kao logaritam frekvencije odgovarajućeg zvuka (nota "C" prve oktave, na primjer, odgovara broju 60, oktava broju 12). Tetiva je stoga predstavljena kao točka s određenim koordinatama u geometrijskom prostoru. Akordi su grupirani u različite "obitelji" koje odgovaraju različitim vrstama geometrijskih prostora.
Prilikom razvoja nove metode, autori su koristili 5 dobro poznatih vrsta glazbenih transformacija koje dosad nisu bile uzete u obzir u glazbenoj teoriji pri klasifikaciji zvučnih sekvenci - oktavna permutacija (O), permutacija (P), transpozicija (T), inverzija ( I) i promjena kardinalnosti (C) ... Sve te transformacije, kako pišu autori, formiraju tzv. OPTIČKE simetrije u n-dimenzionalnom prostoru i pohranjuju glazbene informacije o akordu – u kojoj se oktavi nalaze njegove note, u kojem se slijedu sviraju, koliko puta se ponavljaju, itd. OPTIČKA simetrija klasificira slične, ali ne identične akorde i njihove sekvence.
Autori članka pokazuju da različite kombinacije ovih 5 simetrija tvore mnoge različite glazbene strukture, od kojih su neke već poznate u glazbenoj teoriji (niz akorda, na primjer, izrazit će se novim terminima poput OPC), dok su druge u osnovi nove koncepte koje će možda preuzeti skladatelji budućnosti.
Kao primjer, autori daju geometrijski prikaz različiti tipovi akordi od četiri zvuka - tetraedar. Kuglice na grafikonu predstavljaju vrste akorda, boje kuglica odgovaraju veličini intervala između zvukova akorda: plava - mali intervali, topliji tonovi - više "prorijeđeni" zvukovi akorda. Crvena kugla je najjednostavniji skladni akord popularan kod skladatelja 19. stoljeća.
"Geometrijska" metoda glazbene analize, prema autorima studije, može dovesti do stvaranja temeljno novih glazbenih instrumenata i novih načina vizualizacije glazbe, kao i do promjene suvremenih metoda poučavanja glazbe i načina proučavanja. razni glazbeni stilovi (klasika, pop glazba, rock glazba itd.). Nova terminologija pomoći će i boljoj usporedbi glazbenih djela skladatelja iz različitih epoha i prezentiranju rezultata istraživanja u prikladnijem matematičkom obliku. Drugim riječima, predlaže se izolirati njihovu matematičku bit od glazbenih djela.
Frekvencije koje odgovaraju istoj noti u prvoj, drugoj itd. oktave se spominju kao 1: 2: 4: 8 ... Prema drevnim legendama, prvi koji su to pokušali učiniti su Pitagora i njegovi učenici.
Dijatonska ljestvica 2: 3: 5 (slika 8).
2.6 Informatika
Trigonometrija sa svojim utjecajem i informatika nisu mimoišli. Dakle, njegove funkcije su primjenjive za točne izračune. Zahvaljujući ovom trenutku, možemo aproksimirati bilo koju (u nekom smislu "dobru") funkciju tako što ćemo je proširiti u Fourierov niz:
a0 + a1 cos x + b1 sin x + a2 cos 2x + b2 sin 2x + a3 cos 3x + b3 sin 3x + ...
Proces odabira broja na najprikladniji način, brojevi a0, a1, b1, a2, b2, ..., mogu se predstaviti u obliku takvog (beskonačnog) zbroja gotovo bilo koje funkcije u računalu s traženim točnost.
Trigonometrija ima značajnu ulogu i pomoć u razvoju i procesu rada s grafičkim informacijama. Ako trebate simulirati proces, s opisom u elektroničkom obliku, s rotacijom određenog objekta oko osi. Postoji rotacija pod određenim kutom. Da biste odredili koordinate točaka, morate pomnožiti sa sinusima i kosinusima.
Na primjer, Justin Windell, programer i dizajner koji radi u Google Grafika Lab-u, može se navesti kao primjer. Objavio je demo koji pokazuje primjer korištenja trigonometrijskih funkcija za stvaranje dinamičkih animacija.
2.7 Područje graditeljstva i geodezije
Zanimljiva industrija u interakciji s trigonometrijom je područje građevinarstva i geodezije. Duljine stranica i veličine kutova proizvoljnog trokuta na ravnini međusobno su povezane određenim odnosima od kojih se najvažniji nazivaju teoremi kosinusa i sinusa. Formule koje sadrže a, b, c podrazumijevaju da su slova predstavljena stranicama trokuta, koje leže nasuprot kutova A, B, C. Ove formule dopuštaju tri elementa trokuta - duljine stranica i kutovi - za vraćanje preostala tri elementa. Koriste se u rješavanju praktičnih problema, na primjer, u geodeziji.
Sva "klasična" geodezija temelji se na trigonometriji. Budući da, zapravo, od davnina geodeti vole "riješati" trokute.
Proces podizanja zgrada, staza, mostova i drugih objekata počinje istraživanjem i projektantski rad... Bez iznimke, sva mjerenja na gradilištu provode se uz podršku geodetskih uređaja, poput totalne stanice i trigonometrijske razine. Trigonometrijskim niveliranjem utvrđuje se visinska razlika između nekoliko točaka na zemljinoj površini.
2.8 Trigonometrija u umjetnosti i arhitekturi
Od vremena kada je čovjek počeo postojati na zemlji, znanost je postala temelj za unapređenje svakodnevnog života i drugih sfera života. Temelji svega što stvara čovjek su različiti pravci u prirodnim i matematičkim znanostima. Jedna od njih je geometrija. Arhitektura nije jedino područje znanosti koje koristi trigonometrijske formule. Većina kompozicijskih odluka i konstrukcija crteža odvijala se upravo uz pomoć geometrije. Ali teoretski podaci malo znače. Razmotrimo primjer izgradnje jedne skulpture francuskog majstora zlatnog doba umjetnosti.
Omjer u konstrukciji kipa bio je savršen. Međutim, kada je kip podignut na visoko postolje, izgledao je ružno. Kiparica nije vodila računa da se u perspektivi mnogi detalji smanjuju prema horizontu, a kada se gleda odozdo prema gore, više se ne stvara dojam njezine idealnosti. Provedeno je puno izračuna kako bi lik izgledao proporcionalno s velike visine. Uglavnom, temeljili su se na metodi nišana, odnosno približnom mjerenju na oko. Međutim, koeficijent razlike određenih proporcija omogućio je da se lik približi idealu. Dakle, znajući približnu udaljenost od kipa do točke gledišta, odnosno od vrha kipa do ljudskih očiju i visinu kipa, možemo izračunati sinus upadnog kuta pogleda pomoću tablice, čime se nalazi točka gledišta (slika 9).
Na slici 10 situacija se mijenja, budući da je kip podignut na visinu AC i NS se povećava, moguće je izračunati vrijednosti kosinusa kuta C, prema tablici nalazimo kut incidencije pogleda. U tom procesu možete izračunati AH, kao i sinus kuta C, što će vam omogućiti da provjerite rezultate koristeći osnovni trigonometrijski identitet cos 2 a + grijeh 2 a = 1.
Usporedbom mjerenja AN u prvom i drugom slučaju možete pronaći koeficijent proporcionalnosti. Nakon toga ćemo dobiti crtež, a zatim skulpturu, kada se podigne, vizualno će lik biti bliži idealu
Ikonične zgrade diljem svijeta projektirane su kroz matematiku, što se može smatrati arhitektonskim genijem. Neki značajni primjeri ovih zgrada su: Gaudijeva dječja škola u Barceloni, neboder Mary Axe u Londonu, vinarija Bodegas Isios u Španjolskoj, restoran u Los Manantialesu u Argentini. Pri projektiranju ovih građevina nije bilo bez trigonometrije.
Zaključak
Proučivši teorijske i primijenjene aspekte trigonometrije, shvatio sam da je ova industrija usko povezana s mnogim znanostima. Na samom početku bila je potrebna trigonometrija za stvaranje i mjerenje između kutova. Međutim, kasnije je jednostavno mjerenje kutova preraslo u punopravnu znanost koja proučava trigonometrijske funkcije. Možemo identificirati sljedeća područja u kojima postoji tijesna veza između trigonometrije i fizike arhitekture, prirode, medicine, biologije.
Dakle, zahvaljujući trigonometrijskim funkcijama u medicini, otkrivena je formula srca, koja je složena algebarsko-trigonometrijska jednakost, koja se sastoji od 8 izraza, 32 koeficijenta i 33 glavna parametra, uključujući mogućnost dodatnih pogrešnih izračuna u slučaju aritmije. Ovo otkriće pomaže liječnicima da provedu kvalificiraniju i kvalitetniju medicinsku skrb.
Također napominjemo. da se svo klasično mjerenje temelji na trigonometriji. Budući da se, zapravo, još od davnina geodeti bave "riješavanjem" trokuta. Proces izgradnje zgrada, cesta, mostova i drugih građevina započinje istražnim i projektantskim radovima. Sva mjerenja na gradilištu provode se geodetskim instrumentima kao što su teodolit i trigonometrijska libela. Trigonometrijskom nivelacijom utvrđuje se visinska razlika između nekoliko točaka na zemljinoj površini.
Upoznajući se s njezinim utjecajem na drugim područjima, možemo zaključiti da trigonometrija aktivno utječe na ljudski život. Povezanost matematike s vanjskim svijetom omogućuje učenicima da “materijaliziraju” znanje. Zahvaljujući tome, možemo adekvatnije percipirati i asimilirati znanje i informacije koje nas uče u školi.
Cilj mog projekta je uspješno ostvaren. Proučavao sam utjecaj trigonometrije u životu i razvoj interesa za nju.
Za postizanje ovog cilja izvršili smo sljedeće zadatke:
1. Upoznali smo se s poviješću nastanka i razvoja trigonometrije;
2. Razmotreni primjeri praktičnog utjecaja trigonometrije u različitim područjima djelovanja;
3. Na primjerima prikazane mogućnosti trigonometrije i njezina primjena u ljudskom životu.
Proučavanje povijesti nastanka ove industrije pomoći će pobuditi interes među školarcima, formirati ispravan svjetonazor i povećati zajednička kultura srednjoškolac.
Ovo će djelo biti korisno srednjoškolcima koji još nisu vidjeli punu ljepotu trigonometrije i nisu upoznati s područjima njezine primjene u okolnom životu.
Bibliografija
Glazer G.I.
Glazer G.I.
Rybnikov K.A.
Bibliografija
A.N. Kolmogorov, A.M. Abramov, Yu.P. Dudnitsin i dr. "Algebra i početak analize" Udžbenik za 10.-11. razrede obrazovnih ustanova, M., Obrazovanje, 2013.
Glazer G.I. Povijest matematike u školi: VII-VIII razredi. - M .: Obrazovanje, 2012.
Glazer G.I. Povijest matematike u školi: IX-X razredi. - M .: Obrazovanje, 2013.
Rybnikov K.A. Povijest matematike: Udžbenik. - M .: Izdavačka kuća Moskovskog državnog sveučilišta, 1994. Olekhnik Problemi u algebri, trigonometriji i elementarnim funkcijama / Olekhnik, S.N. i. - M .: Viša škola, 2016 .-- 134 str.
Olekhnik, S.N. Problemi iz algebre, trigonometrije i elementarnih funkcija / S.N. Olechnik. - M .: Viša škola, 2013 .-- 645 str.
Potapov, M.K. Algebra, trigonometrija i elementarne funkcije/ M.K. Potapov. - M .: Viša škola, 2014 .-- 586 str.
Potapov, M.K. Algebra. Trigonometrija i elementarne funkcije / M.K. Potapov, V.V. Aleksandrov, P.I. Pasichenko. - M .: [nije navedeno], 2015. - 762 str.
Prilog 1
Sl. 1Slika piramide. Izračunavanje nagiba b / h.
|
Kutomjer Seked Općenito, egipatska formula za izračun otcijepljene piramide izgleda tako Tako:. | Stari egipatski izraz " odcijepio"Označava kut nagiba. Bio je preko visine, podijeljen na pola baze. "Duljina piramide s istočne strane je 360 (lakata), visina je 250 (lakata). Izračunajte nagib istočne strane. Da biste to učinili, uzmite polovicu od 360, tj. 180. Podijelite 180 s 250. Vi dobiti: 1 / 2 , 1 / 5 , 1 / 50 lakat. Imajte na umu da je jedan lakat jednak širini 7 dlanova. Pomnožite sada dobivene brojeve sa 7 na sljedeći način: " sl. 2Gnomon
Slika 3. Određivanje kutne visine sunca
Slika 4. Osnovne trigonometrijske formule
Slika 5 Navigacija u trigonometriji
Slika 6 Fizika u trigonometriji
Slika 7. Teorija tri ritma
( Fizički ciklus je 23 dana. Određuje energiju, snagu, izdržljivost, koordinaciju pokreta; Emocionalni ciklus je 28 dana. Stanje živčanog sustava i raspoloženja; Intelektualni ciklus je 33 dana. Određuje kreativnu sposobnost osobe) Riža. 8 Trigonometrija u glazbi
Slika 9, 10 Trigonometrija u arhitekturi
|
1. Trigonometrijske funkcije su elementarne funkcije čiji je argument injekcija... Trigonometrijske funkcije koriste se za opisivanje odnosa između stranica i oštrih kutova u pravokutnom trokutu. Područja primjene trigonometrijskih funkcija iznimno su raznolika. Tako se, na primjer, svaki periodični proces može predstaviti kao zbroj trigonometrijskih funkcija (Fourierov red). Te se funkcije često pojavljuju pri rješavanju diferencijalnih i funkcionalnih jednadžbi.
2. Trigonometrijske funkcije uključuju sljedećih 6 funkcija: sinus, kosinus, tangens,kotangens, sekanti i kosekant... Za svaku od ovih funkcija postoji inverzna trigonometrijska funkcija.
3. Geometrijska definicija trigonometrijske funkcije prikladno se uvode pomoću jedinični krug... Na slici ispod prikazana je kružnica polumjera r = 1. Točka M (x, y) označena je na kružnici. Kut između radijus vektora OM i pozitivnog smjera osi Ox je α.
4. Sinus kut α je omjer ordinate y točke M (x, y) i polumjera r:
sinα = y / r.
Budući da je r = 1, sinus je jednak ordinati točke M (x, y).
5. Kosinus kut α je omjer apscise x točke M (x, y) i polumjera r:
cosα = x / r
6. Tangens kut α je omjer y-ordinate točke M (x, y) i ee apscise x:
tanα = y / x, x ≠ 0
7. Kotangens kut α je omjer apscise x točke M (x, y) i njene ordinate y:
cotα = x / y, y ≠ 0
8. Sekanta kut α je omjer polumjera r i apscise x točke M (x, y):
secα = r / x = 1 / x, x ≠ 0
9. Kosekant kut α je omjer polumjera r i ordinate y točke M (x, y):
cscα = r / y = 1 / y, y ≠ 0
10. U jediničnoj kružnici projekcije x, y točaka M (x, y) i polumjer r tvore pravokutni trokut, u kojem su x, y katete, a r hipotenuza. Stoga su gornje definicije trigonometrijskih funkcija u primjeni na pravokutni trokut formulirani su na sljedeći način:
Sinus kut α naziva se omjer suprotne noge i hipotenuze.
Kosinus kut α je omjer susjednog kraka i hipotenuze.
Tangens kut α naziva se suprotan krak od susjednog.
Kotangens kut α naziva se susjedna noga suprotnoj.
Sekanta kut α je omjer hipotenuze i susjednog kraka.
Kosekant kut α je omjer hipotenuze i suprotnog kraka.
11. Grafikon sinusne funkcije
y = sinx, domena: x∈R, raspon: −1≤sinx≤1
12. Graf kosinusne funkcije
y = cosx, domena: x∈R, raspon: −1≤cosx≤1
13. Graf tangentne funkcije 14. Grafikon kotangensne funkcije 15. Graf sekantne funkcije Swiss Re Insurance Corporation u Londonu, UK x = λ y = f (λ) cos θ z = f (λ) sin θ Gotička arhitektura Katedrala Notre Dame 1163 - sredinom XIV stoljeća. Berlinski sinusni valovi, Njemačka REZULTATI Projekt "Škole budućnosti". : Saznali smo da se trigonometrija koristi ne samo u algebri i principima analize, već i u mnogim drugim znanostima. Trigonometrija je osnova za stvaranje mnogih remek-djela umjetnosti i arhitekture. Naučili smo vidjeti trigonometriju u izgradnji zgrada modeli. Zaključak Hvala na pažnji!
Trigonometrija u astronomiji: Potreba rješavanja trokuta prvi put je otkrivena u astronomiji; stoga se s vremenom razvijala i proučavala trigonometrija kao jedna od grana astronomije. Tablice položaja Sunca i Mjeseca koje je sastavio Hiparh omogućile su predviđanje trenutaka početka pomrčina (s pogreškom od 1-2 sata). Hiparh je prvi upotrijebio metode sferne trigonometrije u astronomiji. Povećao je točnost opažanja korištenjem križa niti u goniometrijskim instrumentima - sekstantima i kvadrantima za ciljanje na svjetiljku. Znanstvenik je u to vrijeme sastavio ogroman katalog položaja od 850 zvijezda, podijelivši ih po veličini na 6 stupnjeva (zvjezdane magnitude). Hiparh je uveo geografske koordinate – zemljopisnu širinu i dužinu, te se može smatrati utemeljiteljem matematičke geografije. (oko 190. pr. Kr. - oko 120. pr. Kr.) Trigonometrija u fizici: vrste oscilatornih pojava.
Harmoničko titranje je pojava periodičnih promjena bilo koje veličine, u kojoj ovisnost o argumentu ima karakter sinusne ili kosinusne funkcije. Na primjer, vrijednost koja se mijenja tijekom vremena na sljedeći način: Gdje je x vrijednost promjenjive veličine, t je vrijeme, A je amplituda titranja, ω je ciklička frekvencija titranja, je ukupna faza titranja, r je početna faza oscilacija. Mehaničke vibracije
. Mehaničke vibracije Trigonometrija u prirodi. Često postavljamo pitanje Trigonometrija u biologiji Trigonometrija u arhitekturi Dali smo samo mali dio gdje možete pronaći trigonometrijske funkcije .. Saznali smo Dokazali smo da je trigonometrija usko povezana s fizikom, koja se nalazi u prirodi i medicini. Postoji beskonačno mnogo primjera periodičnih procesa žive i nežive prirode. Svi periodični procesi mogu se opisati pomoću trigonometrijskih funkcija i prikazati na grafovima Mislimo da se trigonometrija odražava u našem životu, a sfera, u kojem igra važnu ulogu proširit će se. MKOU "Srednja škola Nenets - internat po imenu A.P. Pyrerki" Studijski projekt "
"
Danilova Tatjana Vladimirovna Učiteljica matematike Obrazloženje relevantnosti projekta. Trigonometrija je grana matematike koja proučava trigonometrijske funkcije. Teško je to zamisliti, ali s ovom znanošću ne susrećemo se samo na nastavi matematike, već i u svakodnevnom životu. Možda niste ni slutili, ali trigonometrija se nalazi u takvim znanostima kao što su fizika, biologija, igra važnu ulogu u medicini, a što je najzanimljivije, ne bi mogla bez nje čak ni u glazbi i arhitekturi. Učenik od 14-15 godina ne zna uvijek gdje će ići studirati i gdje će raditi. Definicija predmeta istraživanja
3.
Ciljevi projekta.
Problematično pitanje
Hipoteza
Testiranje hipoteze
Trigonometrija
(od grčkog.trigonon
- trokut,metro
- metrija) - Povijest trigonometrije: Drevni ljudi izračunavali su visinu stabla uspoređujući duljinu njegove sjene s duljinom sjene od stupa čija je visina bila poznata. Zvijezde su korištene za izračunavanje položaja broda na moru. Sljedeći korak u razvoju trigonometrije učinili su Indijanci u razdoblju od 5. do 12. stoljeća. Sam pojam kosinus pojavio se mnogo kasnije u djelima europskih znanstvenika po prvi put krajem 16. stoljeća od takozvanog "komplementa sinusa", t.j. sinus kuta koji nadopunjuje zadani kut do 90°. "Sinus complement" ili (na latinskom) sinus complementi počeo se kratiti kao sinus co ili co-sinus. U XVII - XIX stoljeću. trigonometrija postaje jedno od poglavlja matematičke analize. Nalazi veliku primjenu u mehanici, fizici i tehnologiji, posebno u proučavanju oscilatornih gibanja i drugih periodičnih procesa. Jean Fourier je dokazao da se svako periodično gibanje može predstaviti (s bilo kojim stupnjem točnosti) kao zbroj jednostavnih harmonijskih vibracija. u sustav matematičke analize. Gdje se primjenjuje trigonometrija
Trigonometrijski izračuni se koriste u gotovo svim sferama ljudskog života. Treba istaknuti primjenu u područjima kao što su: astronomija, fizika, priroda, biologija, glazba, medicina i mnoga druga. Trigonometrija u astronomiji: Potreba rješavanja trokuta prvi put je otkrivena u astronomiji; stoga se s vremenom razvijala i proučavala trigonometrija kao jedna od grana astronomije. Potreba rješavanja trokuta prvi put je otkrivena u astronomiji; stoga se s vremenom razvijala i proučavala trigonometrija kao jedna od grana astronomije. Vietina postignuća u trigonometriji Trigonometrija u fizici: U svijetu oko nas moramo se suočiti s periodičnim procesima koji se ponavljaju u pravilnim intervalima. Ti se procesi nazivaju oscilatornim. Oscilatorne pojave različite fizičke prirode pokoravaju se općim zakonima i opisuju se istim jednadžbama. Postoje različiti vrste oscilatornih pojava.
Harmoničko titranje- pojava periodične promjene bilo koje veličine, u kojoj ovisnost o argumentu ima karakter sinusne ili kosinusne funkcije. Na primjer, vrijednost koja se mijenja tijekom vremena na sljedeći način: Gdje je x vrijednost promjenjive veličine, t je vrijeme, A je amplituda titranja, ω je ciklička frekvencija titranja, je ukupna faza titranja, r je početna faza oscilacija. Generalizirano harmonijsko titranje u diferencijalnom obliku x ’’ + ω²x = 0. Mehaničke vibracije
. Mehaničke vibracije nazivaju se pokreti tijela, koji se ponavljaju točno u pravilnim razmacima. Grafički prikaz ove funkcije daje vizualni prikaz tijeka titrajnog procesa u vremenu. Primjeri jednostavnih mehaničkih oscilatornih sustava su uteg na oprugi ili matematičko njihalo. Trigonometrija u prirodi. Često postavljamo pitanje "Zašto ponekad vidimo nešto čega zapravo nema?"... Za istraživanje su predložena sljedeća pitanja: „Kako nastaje duga? Sjeverno svjetlo?"," Što su optičke iluzije?" "Kako trigonometrija može pomoći u pronalaženju odgovora na ova pitanja?" Teoriju duge prvi je iznio 1637. René Descartes. Objasnio je dugu kao pojavu povezanu s refleksijom i lomom svjetlosti u kišnim kapima. Sjeverna svjetlost Prodiranje nabijenih čestica Sunčevog vjetra u gornje slojeve atmosfere planeta određeno je interakcijom magnetskog polja planeta sa Sunčevim vjetrom. Sila koja djeluje na nabijenu česticu koja se kreće u magnetskom polju naziva se Lorentzova sila. Proporcionalan je naboju čestice i vektorskom umnošku polja i brzine čestice. Američki znanstvenici tvrde da mozak procjenjuje udaljenost do objekata mjerenjem kuta između ravnine zemlje i ravnine vida. Osim toga, biologija koristi takav koncept kao što su pospani sinus, karotidni sinus i venski ili kavernozni sinus. Trigonometrija igra važnu ulogu u medicini. Uz njegovu pomoć, iranski znanstvenici otkrili su formulu srca - složenu algebarsko-trigonometrijsku jednakost, koja se sastoji od 8 izraza, 32 koeficijenta i 33 osnovna parametra, uključujući nekoliko dodatnih za izračune u slučajevima aritmije. Jedan od temeljna svojstvaživa priroda je ciklička priroda većine procesa koji se u njoj odvijaju. Biološki ritmovi, bioritmovi Osnovni zemaljski ritam- dnevno. Model bioritma može se izgraditi pomoću trigonometrijskih funkcija. Trigonometrija u biologiji Koji su biološki procesi povezani s trigonometrijom? Trigonometrija igra važnu ulogu u medicini. Uz njegovu pomoć, iranski znanstvenici otkrili su formulu srca - složenu algebarsko-trigonometrijsku jednakost, koja se sastoji od 8 izraza, 32 koeficijenta i 33 osnovna parametra, uključujući nekoliko dodatnih za izračune u slučajevima aritmije. Biološki ritmovi, bioritmovi povezani su s trigonometrijom Model bioritma može se izgraditi pomoću grafova trigonometrijskih funkcija. Da biste to učinili, morate unijeti datum rođenja osobe (dan, mjesec, godina) i trajanje prognoze Kretanje ribe u vodi događa se prema zakonu sinusa ili kosinusa, ako fiksirate točku na repu, a zatim razmotrite putanju kretanja. Pojava glazbene harmonije Prema legendama koje dolaze iz antike, prvi koji su to pokušali učiniti su Pitagora i njegovi učenici. Frekvencije koje odgovaraju istoj noti u prvoj, drugoj itd. oktave su povezane kao 1:2:4:8... dijatonska ljestvica 2:3:5 Trigonometrija u arhitekturi Gaudijeva dječja škola u Barceloni Swiss Re Insurance Corporation u Londonu Restoran Felix Candela u Los Manantialesu Tumačenje
Naveli smo samo mali dio gdje možete pronaći trigonometrijske funkcije.. Saznali smo da je trigonometrija nastala zbog potrebe mjerenja kutova, ali se s vremenom razvila u znanost o trigonometrijskim funkcijama. Dokazali smo da je trigonometrija usko povezana s fizikom, koja se nalazi u prirodi i medicini. Postoji beskonačno mnogo primjera periodičnih procesa žive i nežive prirode. Svi periodični procesi mogu se opisati pomoću trigonometrijskih funkcija i prikazati na grafovima Mislimo da se trigonometrija odražava u našem životu, a sfera, u kojem igra važnu ulogu proširit će se. Saznao da je trigonometrija oživjela potrebom za mjerenjem kutova, ali se s vremenom razvila u znanost o trigonometrijskim funkcijama. Dokazano je da je trigonometrija usko povezana s fizikom, a nalazi se u prirodi, glazbi, astronomiji i medicini. Mi mislimo da se trigonometrija odražava u našim životima, a područja u kojima ona igra važnu ulogu će se proširiti. 7. Književnost. Program Maple6 koji implementira prikaz grafova "wikipedija" Study.ru Math.ru "biblioteka" " Trigonometrija u svijetu oko nas i ljudskom životu " Ciljevi istraživanja: Povezanost trigonometrije sa stvarnim životom. Problematično pitanje
1. Koji se pojmovi trigonometrije najčešće koriste u stvarnom životu? 2. Koju ulogu ima trigonometrija u astronomiji, fizici, biologiji i medicini? 3. Kako su arhitektura, glazba i trigonometrija povezani? Hipoteza
Većina fizičkih fenomena prirode, fizioloških procesa, obrazaca u glazbi i umjetnosti može se opisati pomoću trigonometrije i trigonometrijskih funkcija. Što je trigonometrija??? Trigonometrija
(od grčkog trigonon - trokut, metro - metrija) - mikrosekcija matematike, koja proučava odnos između kutova i duljina stranica trokuta, kao i algebarske identitete trigonometrijskih funkcija. Povijest trigonometrije Počeci trigonometrije sežu do starog Egipta, Babilonije i doline Inda prije više od 3000 godina. Riječ trigonometrija se prvi put pojavljuje 1505. godine u naslovu knjige njemačkog matematičara Pitiscusa. Po prvi put metode za rješavanje trokuta na temelju ovisnosti između stranica i kutova trokuta pronašli su starogrčki astronomi Hiparh i Ptolomej. Drevni ljudi izračunavali su visinu stabla uspoređujući duljinu njegove sjene s duljinom sjene od stupa čija je visina bila poznata. Zvijezde su korištene za izračunavanje položaja broda na moru. Sljedeći korak u razvoju trigonometrije učinili su Indijanci u razdoblju od 5. do 12. stoljeća. V za razliku od Grka ind Iytsy počeo uzimati u obzir i koristiti u izračunima ne cijeli akord MM
odgovarajući središnji kut, ali samo polovica njegovog MR-a, tj. sinus
- polovica središnjeg kuta. Sam izraz kosinus pojavio se mnogo kasnije u djelima europskih znanstvenika prvi put krajem 16. stoljeća iz tzv. «
nadomjesci sinusa »
, tj. sinus kuta koji nadopunjuje ovaj kut na 90
.
«
Suplementi za sinuse »
ili (na latinskom) sinus complementi počeo se kratiti kao sinus co ili co-sinus. Uz sinus, Indijanci su uveli trigonometriju kosinus
, točnije, počeli su koristiti kosinusnu liniju u svojim izračunima. Poznavali su i odnose cos
= grijeh (90
-
) i grijeh 2
+ cos 2
= r 2
, kao i formule za sinus zbroja i razlike dvaju kutova. U XVII - XIX stoljeću. trigonometrija postaje jedno od poglavlja matematičke analize. Nalazi veliku primjenu u mehanici, fizike i tehnologije, posebno kada studiraju oscilatorna kretanja i drugo periodični procesi. Viet, čije su prve matematičke studije bile vezane uz trigonometriju, znao je za svojstva periodičnosti trigonometrijskih funkcija. Dokazano je da bilo koja periodična kretanje može biti prezentiran (s bilo kojom diplomom točnost) kao zbroj prostih harmonijske vibracije. Osnivač analitički teorija trigonometrijski funkcije .
Leonard Euler U "Uvodu u analizu beskonačnog" (1748.) tretira sinus, kosinus itd. ne kao trigonometrijske linije, obavezne povezan s krugom, ali kako trigonometrijske funkcije koje ga promatrati kao odnos stranaka pravokutni trokut kao numerički veličine. Eliminirano iz mojih formula R je cijeli sinus, uzimajući R = 1, i to pojednostavio način pisanja i računanja. Razvija doktrinu o trigonometrijskim funkcijama bilo kakav argument. U 19. st. nastavio je razvoj teorije trigonometrijski funkcije. N. I. Lobačevskog "Geometrijska razmatranja", piše Lobačevski, "nužna su sve do početka trigonometrije, dok ne poslužuju otkrivanju osebujnog svojstva trigonometrijskih funkcija... Dakle, trigonometrija je potpuno neovisna o geometriji i ima sve prednosti analize." Faze razvoja trigonometrije: u sustav matematičke analize. Gdje se primjenjuje trigonometrija
Trigonometrijski izračuni se koriste u gotovo svim sferama ljudskog života. Treba istaknuti primjenu u područjima kao što su: astronomija, fizika, priroda, biologija, glazba, medicina i mnoga druga. Trigonometrija u astronomiji Potreba rješavanja trokuta prvi put je otkrivena u astronomiji; stoga se s vremenom razvijala i proučavala trigonometrija kao jedna od grana astronomije. Trigonometrija je također dosegla značajne visine među indijskim srednjovjekovnim astronomima. Glavno postignuće indijskih astronoma bila je zamjena akorda. sinusa, što je omogućilo uvođenje raznih funkcija povezanih sa stranicama i uglovima pravokutnog trokuta. Tako je u Indiji položen početak trigonometrije kao nauk o trigonometrijskim veličinama. Tablice položaja Sunca i Mjeseca koje je sastavio Hiparh omogućile su predviđanje trenutaka početka pomrčina (s pogreškom od 1-2 sata). Hiparh je prvi upotrijebio metode sferne trigonometrije u astronomiji. Povećao je točnost opažanja korištenjem križa niti u goniometrijskim instrumentima - sekstantima i kvadrantima za ciljanje na svjetiljku. Znanstvenik je u to vrijeme sastavio ogroman katalog položaja od 850 zvijezda, podijelivši ih po veličini na 6 stupnjeva (zvjezdane magnitude). Hiparh je uveo geografske koordinate – zemljopisnu širinu i dužinu, te se može smatrati utemeljiteljem matematičke geografije. (oko 190. pr. Kr. - oko 120. pr. Kr.) Hiparh
Trigonometrija u fizici U svijetu oko nas moramo se suočiti s periodičnim procesima koji se ponavljaju u pravilnim intervalima. Ti se procesi nazivaju oscilatornim. Oscilatorne pojave različite fizičke prirode pokoravaju se općim zakonima i opisuju se istim jednadžbama. Postoje različiti vrste oscilatornih pojava, na primjer:
Mehaničke vibracije Harmonične vibracije Harmonične vibracije
Harmoničko titranje
- pojava periodične promjene bilo koje veličine, u kojoj ovisnost o argumentu ima karakter sinusne ili kosinusne funkcije. Na primjer, vrijednost koja se mijenja tijekom vremena na sljedeći način:
ili
Gdje je x vrijednost promjenjive veličine, t je vrijeme, A je amplituda titranja, ω je ciklička frekvencija titranja, je ukupna faza titranja, r je početna faza oscilacija.
Generalizirano harmonijsko titranje u diferencijalnom obliku x ’’ + ω²x = 0.
Mehaničke vibracije
Mehaničke vibracije
nazivaju se pokreti tijela, koji se ponavljaju točno u pravilnim razmacima. Grafički prikaz ove funkcije daje vizualni prikaz tijeka titrajnog procesa u vremenu. Primjeri jednostavnih mehaničkih oscilatornih sustava su uteg na oprugi ili matematičko njihalo. Matematičko njihalo Na slici su prikazane oscilacije njihala, koje se kreće duž krivulje koja se zove kosinus. Putanja metka i projekcije vektora na osi X i Y Iz slike se može vidjeti da su projekcije vektora na osi X i Y jednake υ x = υ o cos α υ y = υ o sin α Trigonometrija u prirodi Često postavljamo pitanje "Zašto ponekad vidimo nešto čega zapravo nema?"... Za istraživanje su predložena sljedeća pitanja: „Kako nastaje duga? Sjeverno svjetlo?"," Što su optičke iluzije?" "Kako trigonometrija može pomoći u pronalaženju odgovora na ova pitanja?" Optičke iluzije prirodnim umjetno mješoviti Teorija duge Duga nastaje kada se sunčeva svjetlost lomi u kapljicama vode koje su suspendirane u zraku zakon loma: Teoriju duge prvi je iznio 1637. René Descartes. Objasnio je dugu kao pojavu povezanu s refleksijom i lomom svjetlosti u kišnim kapima. grijeh
α
/ grijeh
β
= n
1
/ n
2
gdje su n 1 = 1, n 2 ≈1,33 indeksi loma zraka i vode, α je upadni kut, a β kut loma svjetlosti. polarna svjetlost Prodor nabijenih čestica Sunčevog vjetra u gornje slojeve atmosfere planeta određen je interakcijom magnetskog polja planeta sa Sunčevim vjetrom. Sila koja djeluje na nabijenu česticu koja se kreće u magnetskom polju naziva se Lorentzova sila. Proporcionalan je naboju čestice i vektorskom umnošku polja i brzine čestice. Trigonometrija u biologiji
Koji su biološki procesi povezani s trigonometrijom? Trigonometrija u biologiji Kretanje ribe u vodi događa se prema zakonu sinusa ili kosinusa, ako fiksirate točku na repu, a zatim razmotrite putanju kretanja. Pri plivanju tijelo ribe poprima oblik krivulje koja podsjeća na graf funkcije y = tgx. Pojava glazbene harmonije ista bilješka u prvom, drugom itd. oktave su povezane kao 1:2:4:8... Glazba ima svoju geometriju Tetraedar različitih vrsta akorda od četiri zvuka: plava - mali intervali; topliji tonovi - više "ispražnjenih" zvukova akorda; crvena kugla je najskladniji akord s jednakim razmacima između nota. cos 2
C + sin 2
C = 1 KAO- udaljenost od vrha kipa do ljudskih očiju, AN- visina kipa, grijeh C je sinus upadnog kuta pogleda. Trigonometrija u arhitekturi Gaudijeva dječja škola u Barceloni Osiguravajuća korporacija Swiss Re u Londonu y = f (λ) cos θ z = f (λ) sin θ Felix Candela Restoran u Los Manantialesu Trigonometrija je prešla dug put. A sada, možemo s povjerenjem reći da trigonometrija ne ovisi o drugim znanostima, a druge znanosti ovise o trigonometriji.
y = tanx, domena: x∈R, x ≠ (2k + 1) π / 2, raspon: −∞ 
y = cotx, domena: x∈R, x ≠ kπ, raspon: −∞ 
y = secx, domena: x∈R, x ≠ (2k + 1) π / 2, raspon: secx∈ (−∞, −1] ∪∪
Cjelovito rješenje problema određivanja svih elemenata ravnine ili sfernih trokuta iz tri zadana elementa, važna proširenja sin nx i cos nx u potencijama cos x i sinx. Poznavanje formule za sinuse i kosinuse višestrukih lukova omogućilo je Vietuu rješavanje jednadžbe 45. stupnja koju je predložio matematičar A. Roomen; Viet je pokazao da se rješenje ove jednadžbe svodi na dijeljenje kuta na 45 jednakih dijelova i da postoje 23 pozitivna korijena ove jednadžbe. Viet je Apolonijev problem riješio ravnalom i šestarom.
Rješavanje sfernih trokuta jedan je od problema astronomije. Izračunavanje stranica i kutova bilo kojeg sfernog trokuta iz tri odgovarajuće zadane stranice ili kuta omogućuje sljedeće teoreme: (sinusni teorem) (kosinusni teorem za kutove) (kosinusni teorem za stranice).
Pregledajte sadržaj dokumenta
"Danilova T.V.-scenarij"
Riječ trigonometrija se prvi put pojavljuje 1505. godine u naslovu knjige njemačkog matematičara Pitiscusa.
Trigonometrija je grčka riječ, a doslovno znači mjerenje trokuta (trigonan - trokut, metreo - mjerim).
Pojava trigonometrije bila je usko povezana s geodetstvom, astronomijom i graditeljstvom.
Za neke profesije potrebno je poznavanje, tk. omogućuje vam mjerenje udaljenosti do obližnjih zvijezda u astronomiji, između orijentira u geografiji, upravljanje satelitskim navigacijskim sustavima. Načela trigonometrije također se koriste u područjima kao što su glazbena teorija, akustika, optika, analiza financijskog tržišta, elektronika, teorija vjerojatnosti, statistika, biologija, medicina (uključujući ultrazvuk (ultrazvuk) i računalna tomografija), farmacija, kemija, teorija brojeva ( i kao posljedica toga kriptografija), seizmologija, meteorologija, oceanologija, kartografija, mnoge grane fizike, topografija i geodezija, arhitektura, fonetika, ekonomija, elektroničko inženjerstvo, strojarstvo, računalna grafika, kristalografija.
1. Koji se pojmovi trigonometrije najčešće koriste u stvarnom životu?
2. Koju ulogu ima trigonometrija u astronomiji, fizici, biologiji i medicini?
3. Kako su arhitektura, glazba i trigonometrija povezani?
Cjelovito rješenje problema određivanja svih elemenata ravnine ili sfernih trokuta iz tri zadana elementa, važna proširenja sin nx i cos nx u potencijama cos x i sinx. Poznavanje formule za sinuse i kosinuse višestrukih lukova omogućilo je Vietuu rješavanje jednadžbe 45. stupnja koju je predložio matematičar A. Roomen; Viet je pokazao da se rješenje ove jednadžbe svodi na dijeljenje kuta na 45 jednakih dijelova i da postoje 23 pozitivna korijena ove jednadžbe. Viet je Apolonijev problem riješio ravnalom i šestarom.
Rješavanje sfernih trokuta jedan je od problema astronomije. Izračunavanje stranica i kutova bilo kojeg sfernog trokuta iz tri odgovarajuće zadane stranice ili kuta omogućuje sljedeće teoreme: (sinusni teorem) (kosinusni teorem za kutove) (kosinusni teorem za stranice).Pogledajte sadržaj prezentacije
"Danilova T.V."
Preporučite druge članke
