Visina u pravokutnom trokutu prepolovi hipotenuzu. Pravokutni trokut

(ABC) i njegova svojstva, što je prikazano na slici. Pravokutni trokut ima hipotenuzu - stranicu koja leži nasuprot pravi kut.

Savjet 1: Kako pronaći visinu u pravokutnom trokutu

Stranice koje tvore pravi kut nazivaju se noge. Figura je strana AD, DC i BD, DC- noge i bokovi KAO i SV- hipotenuza.

Teorem 1. B pravokutni trokut s kutom od 30 °, krak nasuprot ovom kutu probija polovicu hipotenuze.

hC

AB- hipotenuza;

OGLAS i DB

Trokut
Postoji teorema:
sustav komentiranja CACKLE

Rješenje: 1) Dijagonale svakog pravokutnika jednake su. Istina 2) Ako u trokutu postoji jedan oštar kut, tada je taj trokut oštar. Nije istina. Vrste trokuta. Trokut se naziva oštrouglim ako su mu sva tri kuta oštra, to jest manje od 90 ° 3) Ako točka leži na.

Ili, u drugom unosu,

Po Pitagorinom teoremu

Kolika je visina u formuli pravokutnog trokuta

Visina pravokutnog trokuta

Visina pravokutnog trokuta, povučena prema hipotenuzi, može se na ovaj ili onaj način pronaći, ovisno o podacima u iskazu problema.

Ili, u drugom unosu,

Gdje su BK i KC projekcije kateta na hipotenuzu (segmenti na koje visina dijeli hipotenuzu).

Visina povučena prema hipotenuzi može se pronaći kroz područje pravokutnog trokuta. Primijenimo li formulu za pronalaženje površine trokuta

(polovica umnoška stranice na visinu povučenu na ovu stranu) na hipotenuzu i visinu povučenu na hipotenuzu, dobivamo:

Odavde možemo pronaći visinu kao omjer udvostručene površine trokuta prema duljini hipotenuze:

Budući da je površina pravokutnog trokuta polovica umnoška kateta:

Odnosno, duljina visine izvučene na hipotenuzu jednaka je omjeru umnoška kateta i hipotenuze. Označimo li duljine kateta kroz a i b, duljinu hipotenuze kroz c, formula se može prepisati kao

Budući da je polumjer kružnice opisane oko pravokutnog trokuta jednak polovici hipotenuze, duljina visine može se izraziti u obliku kateta i polumjera opisane kružnice:

Budući da visina povučena prema hipotenuzi tvori još dva pravokutna trokuta, njezina se duljina može pronaći kroz omjere u pravokutnom trokutu.

Iz pravokutnog trokuta ABK

Iz pravokutnog trokuta ACK

Duljina visine pravokutnog trokuta može se izraziti u smislu duljine krakova. Jer

Po Pitagorinom teoremu

Ako kvadrirate obje strane jednakosti:

Možete dobiti drugu formulu za povezivanje visine pravokutnog trokuta s katetama:

Kolika je visina u formuli pravokutnog trokuta

Pravokutni trokut. Prosječna razina.

Želite li iskušati svoje snage i saznati rezultat koliko ste spremni za Jedinstveni državni ispit ili OGE?

Glavni teorem o pravokutnom trokutu je Pitagorin teorem.

Pitagorin poučak

Usput, sjećate li se dobro što su noge i hipotenuza? Ako ne, onda pogledajte sliku - osvježite svoje znanje

Moguće je da ste već mnogo puta koristili Pitagorin teorem, no jeste li se ikada zapitali zašto je takav teorem istinit? Kako to mogu dokazati? Učinimo kao stari Grci. Nacrtajmo kvadrat sa stranom.

Vidite kako smo mudro podijelili njegove stranice na duljine i!

Sada spojimo označene točke

Ovdje smo, međutim, zabilježili još nešto, ali sami pogledate crtež i razmislite zašto je to tako.

Kolika je površina većeg kvadrata? Točno ,. Manja površina? Naravno, . Ostaje ukupna površina četiriju uglova. Zamislite da smo ih uzeli po dvoje i naslonili jedno na drugo hipotenuzama. Što se dogodilo? Dva pravokutnika. To znači da je površina "bilješki" jednaka.

Ajmo sad sve to spojiti.

Tako smo posjetili Pitagoru - dokazali smo njegovu teoremu na drevan način.

Pravokutni trokut i trigonometrija

Za pravokutni trokut vrijede sljedeći odnosi:

Sinus oštrog kuta jednak je omjeru suprotnog kraka prema hipotenuzi

Kosinus oštrog kuta jednak je omjeru susjednog kraka prema hipotenuzi.

Tangenta oštrog kuta jednaka je omjeru suprotnog kraka prema susjednom kraku.

Kotangens oštrog kuta jednak je omjeru susjednog kraka i suprotnog kraka.

I još jednom, sve je to u obliku ploče:

Jeste li primijetili jednu vrlo zgodnu stvar? Pažljivo pogledajte znak.

Vrlo je zgodno!

Testovi jednakosti za pravokutne trokute

II. Na nozi i hipotenuzi

III. Hipotenuzom i oštrim kutom

IV. Na nozi i oštrom uglu

Pažnja! Ovdje je jako važno da su noge "prikladne". Na primjer, ako je ovako:

ONDA TROKUTI NISU JEDNAKI, unatoč činjenici da imaju isti oštri kut.

Moram U oba trokuta noga je bila susjedna, ili u oba trokuta, nasuprot.

Jeste li primijetili kako se znakovi jednakosti pravokutnih trokuta razlikuju od uobičajenih znakova jednakosti trokuta? Pogledajte temu "Trokut" i obratite pozornost na činjenicu da je za jednakost "običnih" trokuta potrebna jednakost njihova tri elementa: dvije stranice i kut između njih, dva kuta i stranica između njih, ili tri strane. No za jednakost pravokutnih trokuta dovoljna su samo dva odgovarajuća elementa. Odlično, zar ne?

Približno je ista situacija sa znakovima sličnosti pravokutnih trokuta.

Znakovi sličnosti pravokutnih trokuta

III. Na nozi i hipotenuzi

Medijana u pravokutnom trokutu

Zamislite cijeli pravokutnik umjesto pravokutnog trokuta.

Nacrtajmo dijagonalu i razmotrimo točku sjecišta dijagonala. Što je poznato o dijagonalama pravokutnika?

Sjecište dijagonale prepolovljeno je. Dijagonale su jednake

I što iz ovoga proizlazi?

Tako je ispalo da

Zapamtite ovu činjenicu! Puno pomaže!

Ono što još više iznenađuje je da je i obrnuto istina.

Kakvu korist možete imati iz činjenice da je medijana izvučena na hipotenuzu jednaka polovici hipotenuze? Pogledajmo sliku

Pogledaj bolje. Imamo :, to jest, pokazalo se da su udaljenosti od točke do sva tri vrha trokuta jednaka. No u trokutu postoji samo jedna točka, udaljenosti s kojih su otprilike sva tri vrha trokuta jednaka, a to je CENTAR OPISANOG KRUGA. Dakle, što se dogodilo?

Počnimo s ovim „osim toga. ".

Ali u takvim trokutima svi su kutovi jednaki!

Isto se može reći za i

Sada nacrtajmo zajedno:

Imajte iste oštre kutove!

Kakva se korist može izvući iz te "trostruke" sličnosti.

Pa, na primjer - Dvije formule za visinu pravokutnog trokuta.

Zapišimo odnos odnosnih strana:

Da bismo pronašli visinu, rješavamo proporciju i dobivamo Prva formula "Visina u pravokutnom trokutu":

Kako dobiti drugu?

Primijenimo sada sličnost trokuta i.

Dakle, primijenimo sličnost :.

Što se sada događa?

Opet rješavamo proporciju i dobivamo drugu formulu "Visina u pravokutnom trokutu":

Obje ove formule moraju se jako dobro zapamtiti i ona koja je prikladnija za primjenu. Zapišimo ih ponovo

Pa, primjenom i kombiniranjem ovog znanja s drugima riješit ćete svaki problem pravokutnim trokutom!

Komentari (1)

Distribucija materijala bez odobrenja dopuštena je ako postoji dofollow veza na izvornu stranicu.

Politika privatnosti

Vaša nam je privatnost važna. Iz tog razloga smo razvili Pravila privatnosti koja opisuju kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pročitajte našu politiku privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i korištenje osobnih podataka

Osobni podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju određene osobe ili stupanje u kontakt s njom.

Možda ćete u bilo kojem trenutku od nas zatražiti da date svoje osobne podatke.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta osobnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.

Koje osobne podatke prikupljamo:

Kad podnesete zahtjev na web mjestu, možemo prikupljati različite podatke, uključujući vaše ime, telefonski broj, adresu e -pošte itd.

Kako koristimo vaše osobne podatke:

Prikupljeni od nas osobne informacije dopušta nam da vas kontaktiramo i obavijestimo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima. Povremeno možemo koristiti vaše osobne podatke za slanje važnih obavijesti i poruka. Osobne podatke također možemo koristiti u interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i različita istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.

Svojstvo visine pravokutnog trokuta ispuštenog hipotenuzom

Ako sudjelujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnom promotivnom događaju, možemo koristiti vaše podatke za upravljanje tim programima.

Otkrivanje informacija trećim stranama

Ne otkrivamo podatke primljene od vas trećim stranama.

Ako je potrebno - u skladu sa zakonom, sudskim nalogom, u sudskim postupcima i / ili na temelju javnih upita ili zahtjeva državnih tijela na teritoriju Ruske Federacije - otkriti vaše osobne podatke. Također možemo otkriti podatke o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje potrebno ili primjereno iz sigurnosnih razloga, provođenja zakona ili drugih društveno važnih razloga. U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti osobne podatke koje prikupljamo odgovarajućoj trećoj strani - pravnom sljedniku.

Zaštita osobnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - kako bismo zaštitili vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zlouporabe, kao i od neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjena i uništenja.

Poštivanje vaše privatnosti na razini tvrtke

Kako bismo bili sigurni da su vaši osobni podaci sigurni, našim zaposlenicima donosimo pravila o povjerljivosti i sigurnosti te strogo pratimo provedbu mjera povjerljivosti.

Hvala na poruci!

Vaš komentar je prihvaćen, nakon moderiranja bit će objavljen na ovoj stranici.

Želite li saznati što se krije ispod izreza i primiti ekskluzivne materijale o pripremama za ispit i ispit? Ostavite svoj e-mail

Svojstva pravokutnog trokuta

Razmotrimo pravi trokut (ABC) i njegova svojstva, što je prikazano na slici. Pravokutni trokut ima hipotenuzu - stranicu koja leži nasuprot pravom kutu. Stranice koje tvore pravi kut nazivaju se noge. Figura je strana AD, DC i BD, DC- noge i bokovi KAO i SV- hipotenuza.

Znakovi jednakosti pravokutnog trokuta:

Teorem 1. Ako su hipotenuza i kateta pravokutnog trokuta slični hipotenuzi i kateti drugog trokuta, tada su takvi trokuti jednaki.

Teorem 2. Ako su dva kraka pravokutnog trokuta jednaka dvjema katetama drugog trokuta, tada su takvi trokuti jednaki.

Teorem 3. Ako su hipotenuza i oštar kut pravokutnog trokuta slični hipotenuzi i oštrom kutu drugog trokuta, tada su takvi trokuti jednaki.

Teorem 4. Ako su krak i susjedni (suprotni) oštri kut pravokutnog trokuta jednaki kateti i susjednom (suprotnom) oštrom kutu drugog trokuta, tada su takvi trokuti jednaki.

Svojstva kraka suprotna kutu od 30 °:

Teorem 1.

Visina u pravokutnom trokutu

U pravokutnom trokutu s kutom od 30 °, krak nasuprot ovom kutu razbija polovicu hipotenuze.

Teorem 2. Ako je kateta u pravokutnom trokutu polovica hipotenuze, tada je suprotni kut 30 °.

Ako se visina povuče s vrha pravokutnog kuta prema hipotenuzi, tada se takav trokut dijeli na dva manja, slična odlaznom i slična jedan drugome. To dovodi do sljedećih zaključaka:

1. Visina je geometrijska sredina (proporcionalna sredina) dvaju hipotenuznih segmenata.
2. Svaki krak trokuta je prosjek proporcionalan hipotenuzi i susjednim segmentima.

U pravokutnom trokutu noge djeluju kao visine. Ortocentar je točka na kojoj se sijeku visine trokuta. Poklapa se s vrhom desnog kuta oblika.

hC- visina koja izlazi iz pravog kuta trokuta;

AB- hipotenuza;

OGLAS i DB- segmenti koji su nastali pri dijeljenju hipotenuze po visini.

Povratak na pregled literature za disciplinu "Geometrija"

Trokut Je geometrijski lik koji se sastoji od tri točke (vrhovi) koje nisu na istoj pravoj liniji i tri segmenta koji povezuju te točke. Pravokutni trokut je trokut koji ima jedan od kutova 90 ° (pravi kut).
Postoji teorema: zbroj oštrih kutova pravokutnog trokuta je 90 °.
sustav komentiranja CACKLE

Ključne riječi: trokut, pravokutni, kateta, hipotenuza, Pitagorin teorem, kružnica

Trokut se naziva pravokutan ako ima pravi kut.
Pravokutni trokut ima dvije međusobno okomite stranice, tzv noge; zove se njegova treća strana hipotenuza.

• Prema svojstvima okomitog i kosog, hipotenuza je dulja od svakog od krakova (ali manja od njihova zbroja).
• Zbroj dvaju oštrih kutova pravokutnog trokuta jednak je pravom kutu.
• Dvije visine pravokutnog trokuta podudaraju se s njegovim katetama. Stoga jedna od četiri izvanredne točke pada u vrhove pravog kuta trokuta.
• Središte opisane kružnice pravokutnog trokuta leži u sredini hipotenuze.
• Medijana pravokutnog trokuta, povučena iz vrha pravokutnog kuta prema hipotenuzi, je polumjer kruga opisanog oko tog trokuta.

Razmotrimo proizvoljan pravokutni trokut ABC i izvuci visinu CD = hc iz vrha C njegova pravokutnog kuta.

Ovaj će trokut podijeliti na dva pravokutna trokuta ACD i BCD; svaki od ovih trokuta ima zajednički oštri kut s trokutom ABC i stoga je sličan trokutu ABC.

Sva tri trokuta ABC, ACD i BCD međusobno su slična.

Iz sličnosti trokuta određuju se sljedeći odnosi:

• $$ h = \ sqrt (a_ (c) \ cdot b_ (c)) = \ frac (a \ cdot b) (c) $$;
• c = ac + bc;
• $$ a = \ sqrt (a_ (c) \ cdot c), b = \ sqrt (b_ (c) \ cdot c) $$;
• $$ (\ frac (a) (b)) ^ (2) = \ frac (a_ (c)) (b_ (c)) $$.

Pitagorin poučak jedan od temeljnih teorema euklidske geometrije, koji uspostavlja odnos između stranica pravokutnog trokuta.

Geometrijska formulacija. U pravokutnom trokutu površina kvadrata izgrađenog na hipotenuzi jednaka je zbroju površina kvadrata izgrađenih na katetama.

Algebarska formulacija. U pravokutnom trokutu, kvadrat hipotenuze jednak je zbroju kvadrati nogu.
To jest, označavajući duljinu hipotenuze trokuta kroz c, i duljine krakova kroz a i b:
a2 + b2 = c2

Obratni Pitagorin teorem.

Visina pravokutnog trokuta

Za bilo koju trojku pozitivnih brojeva a, b i c takvu da
a2 + b2 = c2,
postoji pravokutni trokut s katetama a i b i hipotenuzom c.

Znakovi jednakosti pravokutnih trokuta:

• uz nogu i hipotenuzu;
• na dvije noge;
• uz nogu i oštar kut;
• hipotenuzom i oštrim kutom.

Vidi također:
Površina trokuta, jednakokračni trokut, jednakostranični trokut

Geometrija. 8 Klasa. Test 4. Opcija 1 .

OGLAS : CD = CD : BD. Stoga je CD2 = AD ∙ BD. Oni kažu:

OGLAS : AC = AC : AB. Stoga je AC2 = AB ∙ OGLAS. Oni kažu:

BD : BC = BC : AB. Stoga je BC2 = AB ∙ BD.

Riješite zadatke:

1.

A) 70 cm; B) 55 cm; C) 65 cm; D) 45 cm; E) 53 cm.

2. Visina pravokutnog trokuta nacrtana na hipotenuzu dijeli hipotenuzu na segmente 9 i 36.

Odredite duljinu ove visine.

A) 22,5; B) 19; C) 9; D) 12; E) 18.

4.

A) 30,25; B) 24,5; C) 18,45; D) 32; E) 32,25.

5.

A) 25; B) 24; C) 27; D) 26; E) 21.

6.

A) 8; B) 7; C) 6; D) 5; E) 4.

7.

8. Kateta pravokutnog trokuta je 30.

Kako mogu pronaći visinu u pravokutnom trokutu?

Nađi udaljenost od vrha pravog kuta do hipotenuze ako je polumjer kruga opisanog oko ovog trokuta 17.

A) 17; B) 16; C) 15; D) 14; E) 12.

10.

A) 15; B) 18; C) 20; D) 16; E) 12.

A) 80; B) 72; C) 64; D) 81; E) 75.

12.

A) 7,5; B) 8; C) 6,25; D) 8,5; E) 7.

Provjeri svoje odgovore!

D8.04.1. Odnosi proporcionalnih linija u pravokutnom trokutu

Geometrija. 8 Klasa. Test 4. Opcija 1 .

V Δ AVS ∠ASV = 90 °. AC i BC noge, AV hipotenuza.

CD je visina trokuta nacrtana na hipotenuzu.

AD projekcija AC katete na hipotenuzu,

BD projekcija BC noge na hipotenuzu.

Visina CD dijeli trokut ABC na dva slična (i međusobno) trokuta: Δ ADC i Δ CDB.

Iz proporcionalnosti stranica poput Δ ADC i Δ CDB slijedi:

OGLAS : CD = CD : BD.

Svojstvo visine pravokutnog trokuta ispuštenog hipotenuzom.

Stoga je CD2 = AD ∙ BD. Oni kažu: visina pravokutnog trokuta povučenog u hipotenuzu,postoji prosječna proporcionalna vrijednost između projekcija kateta na hipotenuzi.

Iz sličnosti između Δ ADC i Δ ACB slijedi:

OGLAS : AC = AC : AB. Stoga je AC2 = AB ∙ OGLAS. Oni kažu: svaki je krak prosječna proporcionalna vrijednost između cijele hipotenuze i projekcije tog kraka na hipotenuzu.

Slično, iz sličnosti između Δ SDV i Δ ACB slijedi:

BD : BC = BC : AB. Stoga je BC2 = AB ∙ BD.

Riješite zadatke:

1. Nađi visinu pravokutnog trokuta nacrtanog na hipotenuzu ako podijeli hipotenuzu na segmente 25 cm i 81 cm.

A) 70 cm; B) 55 cm; C) 65 cm; D) 45 cm; E) 53 cm.

2. Visina pravokutnog trokuta, povučena prema hipotenuzi, dijeli hipotenuzu na segmente 9 i 36. Odredite duljinu te visine.

A) 22,5; B) 19; C) 9; D) 12; E) 18.

4. Visina pravokutnog trokuta, povučenog u hipotenuzu, je 22, projekcija jednog od krakova je 16. Pronađite projekciju drugog kraka.

A) 30,25; B) 24,5; C) 18,45; D) 32; E) 32,25.

5. Kateta pravokutnog trokuta je 18, a njegova projekcija na hipotenuzu je 12. Pronađite hipotenuzu.

A) 25; B) 24; C) 27; D) 26; E) 21.

6. Hipotenuza je 32. Pronađite krak čija je projekcija na hipotenuzu 2.

A) 8; B) 7; C) 6; D) 5; E) 4.

7. Hipotenuza pravokutnog trokuta je 45. Nađi katetu čija je projekcija na hipotenuzu 9.

8. Kateta pravokutnog trokuta je 30. Nađi udaljenost od vrha pravog kuta do hipotenuze ako je polumjer kruga opisanog oko tog trokuta 17.

A) 17; B) 16; C) 15; D) 14; E) 12.

10. Hipotenuza pravokutnog trokuta je 41, a projekcija jednog od krakova je 16. Nađi duljinu visine povučene iz vrha pravog kuta u hipotenuzu.

A) 15; B) 18; C) 20; D) 16; E) 12.

A) 80; B) 72; C) 64; D) 81; E) 75.

12. Razlika između projekcija kateta na hipotenuzu je 15, a udaljenost od vrha pravog kuta do hipotenuze je 4. Pronađite polumjer opisane kružnice.

A) 7,5; B) 8; C) 6,25; D) 8,5; E) 7.

Nekretnina: 1. U bilo kojem pravokutnom trokutu, visina spuštena pod pravim kutom (hipotenuzom) dijeli pravokutni trokut na tri slična trokuta.

Nekretnina: 2. Visina pravokutnog trokuta, spuštenog na hipotenuzu, jednaka je geometrijskoj sredini projekcija kateta na hipotenuzu (ili geometrijskoj sredini onih segmenata u koje visina razbija hipotenuzu).

Nekretnina: 3. Kateta je jednaka geometrijskoj sredini hipotenuze i projekciji te katete na hipotenuzu.

Nekretnina: 4. Kateta pod kutom od 30 stupnjeva jednaka je polovici hipotenuze.

Formula 1.

Formula 2. gdje je hipotenuza; , noge.

Nekretnina: 5. U pravokutnom trokutu medijana nacrtana na hipotenuzu jednaka je njezinoj polovici i jednaka je polumjeru opisane kružnice.

Svojstvo: 6. Ovisnost stranica i kutova pravokutnog trokuta:

44. Teorem kosinusa. Posljedice: veza između dijagonala i stranica paralelograma; određivanje vrste trokuta; formula za izračunavanje duljine medijana trokuta; izračunavanje kosinusa kuta trokuta.

Kraj posla -

Ova tema pripada odjeljku:

Klasa. Osnove programa kolonimija planimetrije

Svojstvo susjednih uglova .. određivanje dva susjedna ugla ako je jedna strana zajednička s druge dvije koje tvore ravnu liniju ..

Ako trebaš dodatni materijal na ovu temu, ili niste pronašli ono što tražite, preporučujemo korištenje pretraživanja u našoj bazi djela:

Što ćemo učiniti s primljenim materijalom:

Ako se ovaj materijal pokazao korisnim za vas, možete ga spremiti na svoju stranicu na društvenim mrežama:

Zapravo, uopće nije tako strašno. Naravno, "prave" definicije sinusa, kosinusa, tangente i kotangensa trebale bi se pronaći u članku. Ali stvarno ne želite, zar ne? Možemo se radovati: za rješavanje problema s pravokutnim trokutom jednostavno možete ispuniti sljedeće jednostavne stvari:

A što je s kutom? Postoji li noga koja je nasuprot kutu, odnosno suprotna noga (za ugao)? Naravno da ima! Ovo je noga!

Ali što je s kutom? Pogledaj bolje. Koja noga je uz ugao? Naravno, nogu. Dakle, za kut je kateta susjedna i

A sada, pažnja! Pogledajte što imamo:

Vidite kako je super:

Prijeđimo sada na tangentu i kotangens.

Kako to sada mogu zapisati riječima? Koja je noga u odnosu na kut? Suprotno, naravno - "leži" nasuprot ugla. A noga? U susjedstvu ugla. Pa što smo učinili?

Vidite li da su brojnik i nazivnik obrnuti?

A sada opet uglovi i napravili smo razmjenu:

Sažetak

Zapišimo ukratko sve što smo naučili.

Pitagorin poučak:

Glavni teorem o pravokutnom trokutu je Pitagorin teorem.

Pitagorin poučak

Usput, sjećate li se dobro što su noge i hipotenuza? Ako ne, onda pogledajte sliku - osvježite svoje znanje

Moguće je da ste već mnogo puta koristili Pitagorin teorem, no jeste li se ikada zapitali zašto je takav teorem istinit? Kako to mogu dokazati? Učinimo kao stari Grci. Nacrtajmo kvadrat sa stranom.

Vidite kako smo mudro podijelili njegove stranice na duljine i!

Sada spojimo označene točke

Ovdje smo, međutim, zabilježili još nešto, ali sami pogledate crtež i razmislite zašto je to tako.

Kolika je površina većeg kvadrata?

Točno ,.

Manja površina?

Naravno, .

Ostaje ukupna površina četiriju uglova. Zamislite da smo ih uzeli po dvoje i naslonili jedno na drugo hipotenuzama.

Što se dogodilo? Dva pravokutnika. To znači da je površina "bilješki" jednaka.

Ajmo sad sve to spojiti.

Pretvorimo se:

Tako smo posjetili Pitagoru - dokazali smo njegovu teoremu na drevan način.

Pravokutni trokut i trigonometrija

Za pravokutni trokut vrijede sljedeći odnosi:

Sinus oštrog kuta jednak je omjeru suprotnog kraka prema hipotenuzi

Kosinus oštrog kuta jednak je omjeru susjednog kraka prema hipotenuzi.

Tangenta oštrog kuta jednaka je omjeru suprotnog kraka prema susjednom kraku.

Kotangens oštrog kuta jednak je omjeru susjednog kraka i suprotnog kraka.

I još jednom, sve je to u obliku ploče:

Vrlo je zgodno!

Testovi jednakosti za pravokutne trokute

I. Na dvije noge

II. Na nozi i hipotenuzi

III. Hipotenuzom i oštrim kutom

IV. Na nozi i oštrom uglu

a)

b)

Pažnja! Ovdje je jako važno da su noge "prikladne". Na primjer, ako je ovako:

ONDA TROKUTI NISU JEDNAKI, unatoč činjenici da imaju isti oštri kut.

Moram u oba trokuta noga je bila susjedna ili u oba trokuta nasuprot.

Jeste li primijetili kako se znakovi jednakosti pravokutnih trokuta razlikuju od uobičajenih znakova jednakosti trokuta?

Pogledajte temu „i obratite pozornost na činjenicu da je za jednakost„ običnih ”trokuta potrebna jednakost njihova tri elementa: dvije stranice i kut između njih, dva kuta i stranica između njih, ili tri stranice .

No za jednakost pravokutnih trokuta dovoljna su samo dva odgovarajuća elementa. Odlično, zar ne?

Približno je ista situacija sa znakovima sličnosti pravokutnih trokuta.

Znakovi sličnosti pravokutnih trokuta

I. Na oštrom uglu

II. Na dvije noge

III. Na nozi i hipotenuzi

Medijana u pravokutnom trokutu

Zašto je tomu tako?

Zamislite cijeli pravokutnik umjesto pravokutnog trokuta.

Nacrtajmo dijagonalu i razmotrimo točku - točku presjeka dijagonala. Što je poznato o dijagonalama pravokutnika?

I što iz ovoga proizlazi?

Tako je ispalo da

1. - medijan:

Zapamtite ovu činjenicu! Puno pomaže!

Ono što još više iznenađuje je da je i obrnuto istina.

Kakvu korist možete imati iz činjenice da je medijana izvučena na hipotenuzu jednaka polovici hipotenuze? Pogledajmo sliku

Pogledaj bolje. Imamo :, to jest, pokazalo se da su udaljenosti od točke do sva tri vrha trokuta jednaka. No u trokutu postoji samo jedna točka, udaljenosti s kojih su otprilike sva tri vrha trokuta jednaka, a to je CENTAR OPISANOG KRUGA. Dakle, što se dogodilo?

Počnimo s ovim "osim ..."

Pogledajmo i.

Ali u takvim trokutima svi su kutovi jednaki!

Isto se može reći za i

Sada nacrtajmo zajedno:

Kakva se korist može izvući iz te "trostruke" sličnosti.

Pa, na primjer - dvije formule za visinu pravokutnog trokuta.

Zapišimo odnos odnosnih strana:

Da bismo pronašli visinu, rješavamo proporciju i dobivamo prva formula "Visina u pravokutnom trokutu":

E, sada, primjenjujući i kombinirajući ovo znanje s drugima, riješit ćete svaki problem pravokutnim trokutom!

Dakle, primijenimo sličnost :.

Što se sada događa?

Opet rješavamo proporciju i dobivamo drugu formulu:

Obje ove formule moraju se jako dobro zapamtiti i ona koja je prikladnija za primjenu.

Zapišimo ih ponovo

Pitagorin poučak:

U pravokutnom trokutu kvadrat hipotenuze jednak je zbroju kvadrata kateta :.

Znakovi jednakosti pravokutnih trokuta:

• na dvije noge:
• na nozi i hipotenuzi: ili
• uz krak i susjedni oštri kut: ili
• uz krak i suprotni oštri kut: ili
• hipotenuzom i oštrim kutom: ili.

Znakovi sličnosti pravokutnih trokuta:

• jedan oštar kut: ili
• iz proporcionalnosti dviju nogu:
• iz proporcionalnosti katete i hipotenuze: ili.

Sinus, kosinus, tangenta, kotangens u pravokutnom trokutu

• Sinus oštrog kuta pravokutnog trokuta je omjer suprotnog kraka prema hipotenuzi:
• Kosinus oštrog kuta pravokutnog trokuta je omjer susjednog kraka prema hipotenuzi:
• Tangenta oštrog kuta pravokutnog trokuta je omjer suprotnog kraka prema susjednom:
• Kotangens oštrog kuta pravokutnog trokuta je omjer susjednog kraka prema suprotnom :.

Visina pravokutnog trokuta: ili.

U pravokutnom trokutu medijana izvučena iz vrha pravog kuta je polovica hipotenuze :.

Površina pravokutnog trokuta:

• kroz noge:

Trokuti.

Osnovni koncepti.

Trokut je lik koji se sastoji od tri segmenta prave i tri točke koje ne leže na jednoj ravnoj liniji.

Segmenti se nazivaju stranke, i bodovi - vrhove.

Zbroj kutova trokuta je 180º.

Visina trokuta.

Visina trokuta je okomica povučena od vrha do suprotne strane.

U trokutu s oštrim kutom visina se nalazi unutar trokuta (slika 1).

U pravokutnom trokutu noge su visine trokuta (slika 2).

U tupom trokutu visina je izvan trokuta (slika 3).

Svojstva visine trokuta:

Simetrala trokuta.

Simetrala trokuta je segment koji dijeli kut vrha na pola i povezuje vrh s točkom na suprotnoj strani (slika 5).

Svojstva simetrala:

Medijana trokuta.

Medijana trokuta je segment koji povezuje tjeme sa sredinom suprotne strane (slika 9a).

Duljina medijane može se izračunati formulom: 2b 2 + 2c 2 - a 2 m a 2 = —————— 4 gdje m a je medijana povučena u stranu a. U pravokutnom trokutu medijana nacrtana na hipotenuzu je polovica hipotenuze: c m c = — 2 gdje m c- medijana povučena prema hipotenuzi c(Slika 9c) Medijane trokuta sijeku se u jednoj točki (u središtu mase trokuta) i podijeljene su tom točkom u omjeru 2: 1, računajući od vrha. Odnosno, segment od vrha do središta dvostruko je veći od segmenta od središta do stranice trokuta (slika 9c). Tri medijane trokuta dijele ga na šest jednakih trokuta.

Srednja linija trokuta.

Srednja linija trokuta je segment koji povezuje središnje točke njegove dvije strane (slika 10).

Srednja linija trokuta paralelna je s trećom stranom i jednaka je njezinoj polovici

Vanjski kut trokuta.

Vanjski kut trokut jednak je zbroju dvaju susjednih unutarnjih kutova (slika 11).

Vanjski kut trokuta veći je od bilo kojeg nesusjednog kuta.

Pravokutni trokut.

Pravokutni trokut je trokut s pravim kutom (slika 12).

Stranica pravokutnog trokuta nasuprot pravom kutu naziva se hipotenuza.

Druge dvije stranke su pozvane noge.

Odlomci proporcionalnih linija u pravokutnom trokutu.

1) U pravokutnom trokutu, visina povučena pod pravim kutom tvori tri slična trokuta: ABC, ACH i HCB (slika 14a). Sukladno tome, kutovi formirani po visini jednaki su kutovima A i B.

Slika 14a

Jednakokračan trokut.

Jednakokračan trokut je trokut s dvije stranice jednake (slika 13).

Ove jednake strane se zovu bočne stranice a treći je temelj trokut.

U jednakokračnom trokutu kutovi pri bazi su jednaki. (U našem trokutu kut A jednak je kutu C).

U jednakokračnom trokutu medijana povučena na bazu je i simetrala i visina trokuta.

Jednakostraničan trokut.

Jednakostranični trokut je trokut u kojem su sve stranice jednake (slika 14).

Svojstva jednakostraničnog trokuta:

Izvanredna svojstva trokuta.

Trokuti imaju izvorna svojstva koja će vam pomoći da uspješno riješite probleme s tim oblicima. Neka od ovih svojstava su gore navedena. Ali ponavljamo ih još jednom, dodajući im još nekoliko sjajnih značajki:

1) U pravokutnom trokutu s kutovima 90º, 30º i 60º b leži suprotno kutu od 30º jednako je polovica hipotenuze. I nogua više nogub√3 puta (slika 15 a). Na primjer, ako je krak b 5, tada je hipotenuza c nužno jednak 10, a noga a jednak je 5√3. 2) U pravokutnom jednakokračnom trokutu s kutovima 90º, 45º i 45º, hipotenuza je √2 puta veća od kraka (slika 15 b). Na primjer, ako su katete 5, tada je hipotenuza 5√2. 3) Srednja linija trokuta jednaka je polovici paralelne stranice (slika 15 s). Na primjer, ako je stranica trokuta 10, tada mu je paralela srednja linija jednak je 5. 4) U pravokutnom trokutu medijana nacrtana na hipotenuzu jednaka je polovici hipotenuze (slika 9c): m c= s / 2. 5) Medijane trokuta, koje se sijeku u jednoj točki, podijeljene su ovom točkom u omjeru 2: 1. Odnosno, segment od vrha do točke presjeka medijana dva puta je segment od točke presjeka medijana do stranice trokuta (slika 9c) 6) U pravokutnom trokutu sredina hipotenuze središte je opisane kružnice (slika 15 d).

Testovi jednakosti za trokute.

Prvi znak jednakosti: ako su dvije stranice i kut između njih jednog trokuta jednaki dvjema stranicama i kut između njih drugog trokuta, tada su takvi trokuti jednaki.

Drugi znak jednakosti: ako su stranica i kutovi uz njega jednoga trokuta jednaki stranici i uz njega su kutovi drugog trokuta, tada su takvi trokuti jednaki.

Treći znak jednakosti: ako su tri stranice jednog trokuta jednake tri stranice drugog trokuta, onda su takvi trokuti jednaki.

Nejednakost trokuta.

U bilo kojem trokutu svaka stranica je manja od zbroja druge dvije stranice.

Pitagorin poučak.

U pravokutnom trokutu kvadrat hipotenuze jednak je zbroju kvadrata kateta:

c 2 = a 2 + b 2 .

Površina trokuta.

1) Površina trokuta jednaka je polovici umnoška njegove stranice po visini povučenoj na ovu stranicu:

Ah
S = ——
2

2) Površina trokuta jednaka je polovici umnoška bilo koje dvije njegove stranice na sinus kuta između njih:

1
S = — AB AC · grijeh A
2

Trokut opisan oko kružnice.

Krug se naziva upisan u trokut ako dodiruje sve njegove stranice (slika 16 a).

Trokut upisan u krug.

Trokut se naziva upisan u krug ako ga dodirne svim svojim vrhovima (slika 17 a).

Sinus, kosinus, tangenta, kotangens oštrog kuta pravokutnog trokuta (slika 18).

Sinus oštar kut x suprotstavljajući se noga do hipotenuze.
Označava se ovako: grijehx.

Kosinus oštar kut x pravokutni trokut je omjer susjedni noga do hipotenuze.
Označava se ovako: cos x.

Tangens oštar kut x je omjer suprotnog kraka prema susjednom kraku.
Označava se ovako: tgx.

Kotangens oštar kut x je omjer susjednog kraka prema suprotnom.
Označava se ovako: ctgx.

Pravila:

Noga nasuprot kutu x, jednak je umnošku hipotenuze i grijeha x:

b = c Grijeh x

Noga uz ugao x, jednak je umnošku hipotenuze i cos x:

a = c Cos x

Noga nasuprot kutu x, jednak je umnošku drugog kraka i tg x:

b = a Tg x

Noga uz ugao x, jednak je umnošku drugog kraka i ctg x:

a = b Ctg x.

Za bilo koji oštar kut x:

grijeh (90 ° - x) = cos x

cos (90 ° - x) = grijeh x

Pravokutni trokut je trokut, jedan od kutova je ravan, odnosno jednak je 90 stupnjeva.

• Strana nasuprot pravom kutu naziva se hipotenuza (na slici je označena kao c ili AB)
• Strana uz pravi kut naziva se kateta. Svaki pravokutni trokut ima dvije noge (označene na slici kao a i b ili AC i BC)

Formule i svojstva pravokutnog trokuta

Oznake formula:

(vidi gornju sliku)

a, b- katete pravokutnog trokuta

c- hipotenuza

α, β - oštri kutovi trokuta

S- kvadrat

h- visina spuštena s vrha pravog kuta prema hipotenuzi

m a a iz suprotnog ugla ( α )

m b je medijana povučena u stranu b iz suprotnog ugla ( β )

m c je medijana povučena u stranu c iz suprotnog ugla ( γ )

V. pravokutni trokut bilo koja noga je manja od hipotenuze(Formule 1 i 2). Ovo svojstvo posljedica je Pitagorinog teorema.

Kosinus bilo kojeg od oštrih kutova manje od jedan (formule 3 i 4). Ovo svojstvo proizlazi iz prethodnog. Budući da je bilo koji od kateta manji od hipotenuze, tada je omjer katete i hipotenuze uvijek manji od jedan.

Kvadrat hipotenuze jednak je zbroju kvadrata kateta (Pitagorin teorem). (Formula 5). Ovo svojstvo se stalno koristi pri rješavanju problema.

Površina pravokutnog trokuta jednaka polovici umnoška nogu (Formula 6)

Zbir kvadrata medijana katetama, jednako je pet kvadrata medijane hipotenuze i pet kvadrata hipotenuze, podijeljeno s četiri (Formula 7). Osim navedenog, postoji Još 5 formula, stoga se preporučuje da se također upoznate s lekcijom "Medijana pravokutnog trokuta", koja detaljnije opisuje svojstva medijane.

Visina pravokutni trokut jednak je umnošku kateta podijeljenih s hipotenuzom (Formula 8)

Kvadrati nogu su obrnuto proporcionalni kvadratu visine spuštene na hipotenuzu (Formula 9). Taj je identitet također jedna od posljedica pitagorejskog teorema.

Duljina hipotenuze jednak je promjeru (dva radijusa) opisane kružnice (Formula 10). Hipotenuza pravokutnog trokuta je promjer opisane kružnice... Ovo svojstvo često se koristi pri rješavanju problema.

Upisani radijus v pravokutni trokut krugovima može se naći kao polovica izraza koji uključuje zbroj krakova ovog trokuta minus duljina hipotenuze. Ili kao umnožak krakova, podijeljen zbrojem svih stranica (oboda) datog trokuta. (Formula 11)
Sinusni kut odnos suprotnosti ovaj kutak noga do hipotenuze(po definiciji sinus). (Formula 12). Ovo svojstvo se koristi pri rješavanju problema. Znajući veličinu stranica, možete pronaći kut koji oni tvore.

Kosinus kuta A (α, alfa) u pravokutnom trokutu bit će jednak stav susjedni ovaj kutak noga do hipotenuze(po definiciji sinus). (Formula 13)