Ruudu külgtarkvara. Kuidas leida püramiidi külgpind
Matemaatika eksami ettevalmistamisel peavad üliõpilased süstematiseerima algebra ja geomeetria teadmisi. Ma tahan ühendada kõik tuntud teabe, näiteks, kuidas arvutada püramiidi ala. Veelgi enam, alustades aluse ja külje alustamist kogu pinna pindalale. Kui olukord on selge külgnägudega, nagu nad on kolmnurgad, siis alus on alati erinev.
Kuidas olla püramiidi aluse leidmise leidmisel?
See võib olla täiesti ükskõik milline näitaja: suvalisest kolmnurgast n-ruuduni. Ja selle põhjal võib lisaks nurkade arvu erinevusele olla õige joon või vale. Koolsalaste huvide huvides leidub baasil ainult ülesanded õigete arvud. Seetõttu on see ainult nende kohta.
Õige kolmnurk
See tähendab võrdne. Üks, kus kõik osapooled on võrdsed ja tähistatud tähega "A". Sellisel juhul arvutatakse püramiidi aluse pindala valemiga:
S \u003d (A 2 * √3) / 4.
Ruut
Valem selle ala arvutamisel on kõige lihtsam, siin "a" - jälle pool:
Suvaline õige N-ruut
Polügoni poolel on sama nimetus. Nurkade arvu jaoks kasutatakse ladina kirja N.
S \u003d (N * A2) / (4 * Tg (180 ° / N)).
Kuidas teha külg ja täieliku pinna külje arvutamisel?
Sest aluse peitub Õige näitajaKõik püramiidide näod osutuvad võrdseks. Veelgi enam, igaüks neist on võrdselt kaubeldav kolmnurk, kuna külgribad on võrdsed. Seejärel selleks, et arvutada püramiidi külgpind, on vaja valemit, mis koosneb sama ühe tiiva kogusest. Komponentide arv määratakse kindlaks aluste arv.
Ala võrdse kolmnurga See arvutatakse valemiga, milles pool tootest alusest korrutatakse kõrgusega. See kõrgus püramiidi nimetatakse apofey. Tema nimetus on "a". Külgpindala üldvalem näeb välja selline:
S \u003d ½ p * a, kus p on püramiidi aluse ümbermõõt.
On olukordi, kus baasi küljed ei ole teada, kuid külgservade (C) ja lameda nurk on esitatud selle tipu (α) juures. Seejärel tuleks kasutada sellise valemi kasutamiseks püramiidi külje ala arvutamiseks:
S \u003d N / 2 * B 2 patt α .
Ülesande number 1.
Tingimus. Leidke püramiidi kogupindala, kui see asub 4 cm külge ja apofem on √3 cm.
Otsus. Sihtasutuse perimeetri arvutamisel on vaja alustada. Kuna see on tavaline kolmnurk, siis p \u003d 3 x 4 \u003d 12 cm. Kuna apofem on teada, saate kohe arvutada kogu külgpinna pindala: ½ * 12 * √3 \u003d 6√3 cm2.
Kolmnurga jaoks saadakse baasil selline ala väärtus: (4 2 * √3) / 4 \u003d 4√3 cm2.
Kogu piirkonna määramiseks on vaja veel kaks saadud väärtust: 6√3 + 4√3 \u003d 10√3 cm2.
Vastus. 10√3 cm 2.
Ülesande number 2.
Seisukord. Seal on regulaarne nelinurkne püramiid. Pikkus baas pool on 7 mm, külgserva on 16 mm. On vaja teada selle pindala.
Otsus. Kuna polühedron on nelinurkne ja õige, siis on ruudukujuline alus. Pärast baas- ja külgmiste pindala õppimist on võimalik määrata püramiidi pindala. Eespool on ruudu valem. Ja külgmised näod on tuntud kolmnurga külgede poolest. Seetõttu on võimalik kasutada nende piirkondade arvutamiseks geronivormi.
Esimesed arvutused on lihtsad ja toovad kaasa selle numbri: 49 mm 2. Teise väärtuse jaoks on vaja arvutada poolmõõtja: (7 + 16 * 2): 2 \u003d 19,5 mm. Nüüd saate arvutada võrdse kolmnurga ala: √ (19,5 * (19,5-7) * (19.5-16) 2) \u003d √2985.9375 \u003d 54,644 mm 2. Lõpliku numbri arvutamisel on vaja ainult neli sellist kolmnurki, nii et see on vajalik selle korrutamiseks 4-ga.
Tuleb välja: 49 + 4 * 54,644 \u003d 267,576 mm 2.
Vastus. Soovitud väärtus on 267,576 mm 2.
Ülesande number 3.
Seisukord. Paremal nelinurksel püramiidi, on vaja arvutada ala. Ta teab ruudu külge - 6 cm ja kõrgus - 4 cm.
Otsus. Lihtsaim viis valemi kasutamiseks perimeetri ja apomiemilise tööga. Esimene väärtus on lihtne. Teine on keerulisem.
Me peame mäletama Pythagora teoreemi ja kaaluma seda püramiidi ja apofey kõrgus, mis on hüpotenuus. Teine katas on võrdne poole külje poole, kuna kõrguse polühedron langeb oma keskel.
Soovitud apofem (ristkülikukujulise kolmnurga hüpoteensus) on √ (3 2 + 4 2) \u003d 5 (cm).
Nüüd saate arvutada soovitud väärtuse: ½ * (4 * 6) * 5 + 6 2 \u003d 96 (cm2).
Vastus. 96 cm 2.
Ülesande number 4.
Tingimus. Selle aluse paremal küljel on 22 mm, külgribad on 61 mm. Mis on selle polühedroni külgpindala?
Otsus. Selle argumendid on samad, mis on kirjeldatud probleemi nr 2. Ainult seal anti püramiidi ruudu alusega ja nüüd on see kuusnurk.
Esimene asi arvutatakse aluse pindala vastavalt ülaltoodud valemile: (6 x 222) / (4 x Tg (180 ° / 6)) \u003d 726 / (TG30º) \u003d 726√3 cm2.
Nüüd on vaja teada tasakaalu kolmnurga poole versiooni, mis on külgnägu. (22 + 61 * 2): 2 \u003d 72 cm. See jääb hemoni valemile, et lugeda iga sellise kolmnurga ala ja seejärel korrutage see kuuele ja volditud alusega.
Arvutused vastavalt geronivale valemile: √ (72 * (72-22) * (72-61) 2) \u003d √435600 \u003d 660 cm 2. Arvutused, mis annavad külgpindala: 660 * 6 \u003d 3960 cm 2. See jääb kokkupandav, et teada saada kogu pind: 5217.47≈5217 cm 2.
Vastus. Alused on 726√3 cm 2, külgpind - 3960 cm 2, kogu pindala on 5217 cm 2.
Õige kolmnurkse püramiidi SABC R. - RIB-i keskel AU, S. - Top.
On teada, et Sr \u003d 6.ja külgpindala on võrdne 36
.
Leidke lõigatud pikkus EKr..
Joonistame joonise. Paremal püramiidil on külgnägud võrdsed kolmnurgad.
Osa Sr - Mediaan, mis on langetatud alusele ja seetõttu külgse näo kõrgusele.
Õige kolmnurkse püramiidi külgpind on võrdne piirkonna summaga
kolm võrdset külge S-pool. \u003d 3 · S abs. Siit S abs \u003d 36: 3 \u003d 12 - nägu ruut.
Kolmnurga ala on võrdne poole töö oma baasi kõrgus
S ABS \u003d 0,5 · ab · sr. Teades ala ja kõrgus, leida külg aluse AB \u003d Sun..
12 \u003d 0,5 · AV · 6
12 \u003d 3 · av
Ab \u003d 4.
Vastus: 4
Te saate ülesande ja teisest otsast läheneda. Laske aluse poolel Av \u003d päike \u003d a.
Siis pindala nägu S abs \u003d 0,5 · ab · sr \u003d 0,5 · a · 6 \u003d 3a.
Iga kolme nägu pindala on võrdne 3a.Kolme nägu pindala on võrdne 9a..
Ülesande seisundi kohaselt on püramiidi külgpinna pindala võrdne 36-ga.
S-pool. \u003d 9A \u003d 36.
Siit a \u003d 4..
Millist näitaja me nimetame püramiidi? Esiteks on see polühedron. Teiseks, selle polühedroni põhjas on suvaline hulknurga ja püramiidi küljed (külgmised näod) tingimata on tingimata kolmnurkade kujul ühes tippvalgustuses. Nüüd, olles mõistetav mõiste, teada, kuidas leida pindala püramiidi.
On selge, et sellise geomeetrilise keha pindala koosneb aluse aluse ja kogu selle külgpinna summast.
Püramiidi baaspinna arvutamine
Arvutatud valemi valik sõltub meie püramiidi aluse aluseks oleva polügooni vormist. See võib olla õige, see tähendab, külgede sama pikkusega või vale. Mõelge mõlemale võimalusele.
Põhineb paremal polügoonil
Kooli kursusest on teada:
- ruudu ruudukujuline on võrdne selle poole pikkusega, mis on püstitatud ruutu;
- equilateralise kolmnurga ala on võrdne selle ruuduga, jagatuna 4-ga ja korrutatuna ruutjuur Kolmest.
Kuid on olemas üldine valem mis tahes õige polügooni (SN) pindala arvutamiseks: see on vajalik selle polügooni (p) perimeetri väärtuse korrutamiseks sellesse raadiusesse (R), ja seejärel saadud tulemuse kaheks: SN \u003d 1 / 2p * r.
Vale polügoonil põhinev
Selle piirkonna leidmise skeem on esimene jagama kogu polügooni kolmnurgates, arvutage igaühe pindala valemiga: 1 / 2A * h (kus a on kolmnurga alus, H kõrgusega langetatud Sellele alusele) korda kõik tulemused.
Püramiidi ruudupoolne külgpind
Nüüd arvutame püramiidi külgpinna ala, st. Kogu selle külje ruutude summa. Siin on ka 2 võimalusi.
- Olgem meelevaldne püramiid, st Selline, mille põhjal - ebaregulaarne hulknurk. Siis tuleks iga näo pindala arvutada ja tulemused kokku panna. Kuna ainult kolmnurgad võivad olla püramiidi külgmised küljed, siis arvutus põhineb ülalmainitud valemis: S \u003d 1 / 2A * h.
- Olgu meie püramiid õige, s.t. Oma sihtasutuses asub õige hulknurga ja püramiidi tipptaseme projektsioon selgub oma keskel. Seejärel, külgpinna (SB) arvutamiseks piisab poolest poligooni aluse (p) perioodi töö leidmiseks külje kõrgusele (H) (sama kõigi servade puhul): SB \u003d 1 / 2 p * h. Polügooni ümbermõõt määratakse kõigi selle külgede pikkuse lisamisega.
Parema püramiidi kogupindala on tingitud selle aluse pindala kokkuvõttest kogu külgpinna pindalaga.
Näited
Näiteks arvutada algebraalselt pindala mitmete püramiidide.
Pinna pinna kolmnurkse püramiid
Sellise püramiidi põhjal - kolmnurk. Vastavalt valemile SO \u003d 1 / 2A * H leiame baasi ala. Sama valemit kasutatakse selle püramiidi iga näo pindala leidmiseks, millel on ka kolmnurkne kuju ja saame 3 ala: S1, S2 ja S3. Püramiidi külgpinna pindala on kõigi valdkondade summa: SB \u003d S1 + S2 + S3. Pärast külje ja aluse külje kokkupandamist saame soovitud püramiidi täieliku pindala: SP \u003d SO + SB.
Nelinurkne püramiidi pindala
Külgpindala on 4-väljendunud: SB \u003d S1 + S2 + S3 + S4 summa, millest igaüks arvutatakse kolmnurga ala valemiga. Ja baaspind peab otsima, sõltuvalt neljakohalise vormist - õige või vale. Püramiidi täieliku pinna pindala tulemuseks on taas aluse lisamise ja eelnevalt kindlaksmääratud püramiidi täieliku pindala lisamise.
Määratlus. Pool - See on kolmnurk, kelle üks nurk asub püramiidi ülaosas ja pool selle vastu ühendas baaspunkti (hulknurga).
Määratlus. Külgservad - Need on külgmiste külje tavaline külg. Püramiidil on nii palju ribisid, kui palju nurka on hulknurga.
Määratlus. Püramiidi kõrgus - See on risti, mis langes püramiidi alusest ülemisest osast.
Määratlus. Apoteem - See on püramiidi külje nägu risti, mis langes püramiidi ülaosast aluse küljele.
Määratlus. Diagonaalosa - See on püramiidi ristlõige, millel on püramiidi ülemine osa, mis läbib püramiidi ja aluse diagonaali.
Määratlus. Parem püramiid - See on püramiid, mille alusel alus on õige hulknurga ja kõrgus langeb aluse keskele.
Püramiidi maht ja pindala
Valem. Püramiidi maht Baaspinna ja kõrguse kaudu:
Püramiidi omadused
Kui kõik külgribad on võrdsed, siis võib kirjeldada püramiidi aluse ümber ja aluse keskpunkt langeb kokku ringi keskele. Samuti risti, mis langes ülevalt läbib baasi keskele (ring).
Kui kõik külgribad on võrdsed, siis nad kallutavad sama nurkade aluspinnale.
Külgribad on võrdsed, kui nad moodustavad aluse võrdsete nurkade tasapinnaga või kui ringi saab kirjeldada püramiidi aluse ümber.
Kui külgmised näod on kallutatud baastasapinnale ühes nurga all, siis võib püramiidi põhjas sisestada ringi ja püramiidi tippu on konstrueeritud selle keskele.
Kui külgmised näod kallutatakse baastasandile ühe nurga all, siis külgmiste nägude apokütused on võrdsed.
Parema püramiidi omadused
1. Püramiidi tipud on võrdsed aluse kõigist nurkadest.
2. Kõik külgribad on võrdsed.
3. Kõik külgservad kallutatakse samade nurkade all baasile.
4. Apofimide kõigi külgmiste nägude on võrdsed.
5. Kõigi külgede pindalad on võrdsed.
6. Kõigil nägudel on sama dihedral (lamedad) nurgad.
7. Püramiidi ümber saab kirjeldada sfääri. Kirjeldatud sfääri keskus on ristmiku ristlõikepunkt, mis läbivad ribide keskel.
8. Püramiidi saab sisestada sfääri. Kirjastatud sfääri keskus on serva ja aluse vahelise nurga alt välja kujunenud bisectori ristumiskoht.
9. Kui kallitud sfäärikeskus langeb kokku kirjeldatud sfääri keskusega, siis on ülaosas lamedate nurkade summa võrdne π-ga või vastupidi, üks nurk on π / N, kus n on nurkade arv püramiidi alus.
Püramiidi ühendus sfääriga
Püramiidi ümber, saate kirjeldada sfääri, kui püramiidi põhjas on polühedron ümber, mille ümber saate ringi kirjeldada (vajalik ja piisav seisund). Kesklinnas kera on ristumiskoht lennukid läbivad risti keset keset püramiidide keskel.
Ümber kolmnurkse või õige püramiidi saab alati kirjeldada sfääri.
Püramiidi, saate sisestada sfääri, kui Biss-sektori lennukid sisemise dwarfrani nurgad püramiidide lõikuvad ühes punktis (vajalik ja piisav seisund). See punkt on kera keskus.
Püramiidi ühendus koonusega
Koonust nimetatakse kantud püramiidi, kui nende tipud langevad kokku ja koonuse alus on püramiidi alusega kirjutatud.
Koonust saab sisestada püramiidi, kui püramiidide apopeedid on üksteisega võrdsed.
Koonust nimetatakse püramiidiks, mida on kirjeldatud, kui nende tipud langevad kokku ja koonuse alus on kirjeldatud püramiidi aluse ümber.
Koonust saab kirjeldada püramiidi ümber, kui kõik püramiidi külgmised ribid on üksteisega võrdsed.
Püramiidi ühendus silindriga
Püramiidi nimetatakse silindrile kirjutatud, kui püramiidi ülemine osa peitub silindri ühel alusel ja püramiidi alus on kirjutatud teise ballooni teisele alusele.
Silindrit saab kirjeldada püramiidi ümber, kui püramiidi aluse ümber saab kirjeldada ringi.
Neljavahetatud neli nägu ja neli tippu ja kuus ribi, kus kahel ribil ei ole tavalisi tippu, kuid mitte kokku puutuvad.
Iga piik koosneb kolmest nägust ja ribidest, mis moodustavad kolm nurka.
Segment, mis ühendab tetraeedri tippu vastupidise nägu keskpunkti mediaan tetrahedron (GM).
Bimedia Seda nimetatakse segmendiks, mis ühendab keskmist vastupidist ribidest, mis ei puutu kokku (KL).
Kõik bimediad ja tetraeedri mediaanlased ühes punktis (s). Samal ajal jagatakse bimediad pooleldi ja mediaanid seoses 3: 1 alates tipudest.
Määratlus. Accredited püramiid - See on püramiid, kus apofem on rohkem kui pool baasi põhiosa pikkust.
Määratlus. Stupid püramiid - See on püramiid, kus apofem on väiksem kui pool baaspunkti pikkust.
Määratlus. Õigus tetrahedron - Tetrahedron, kellel on kõik neli nägu - võrdkülgsed kolmnurgad. See on üks viiest paremast polügonist. Õigus tetraeedri kõigil domart-nurgad (servade vahel) ja kolmnurksed nurgad (ülaosas) on võrdsed.
Määratlus. Ristkülikukujuline tetrahedron Tetrahedron nimetatakse sirgeks nurka kolme ribi vahel ülaosas (ribid risti). Kolm nägu vorm ristkülikukujuline kolmnurkne nurk Ja näod on ristkülikukujulised kolmnurgad ja suvalise kolmnurga alus. Apothem tahes näo on võrdne poole külg aluse, et apofem langeb.
Määratlus. Pesemine tetraeedri Tetrahedron nimetatakse külgsuunas on võrdne üksteisega ja alus on õige kolmnurk. Selline tetraeedri teenindab isoleeritud kolmnurka.
Määratlus. Ortocentric tetrahedron Tetrahedron nimetatakse kõik kõrgused (risti), mis välja jäetakse ülevalt vastupidise nägu, lõikuvad ühes punktis.
Määratlus. Star püramiid Polühedroni nimetatakse aluseks aluseks.
Tüüpilised geomeetrilised ülesanded tasapinnal ja kolmemõõtmelises ruumis on erinevate arvude pindade alade määramise probleemid. Selles artiklis anname iga neljaradulaarse püramiidi külgpindala valemi.
Mis on püramiid?
Andkem püramiidi range geomeetrilise määratluse. Oletame, et n-külgedel on mõningane hulknurga ja n nurga all. Valige suvaline ruumi, mis ei ole kindlaksmääratud N-süsiniku tasapinnal ja ühendage see iga polügooni igast pinist. Me saame joonise, millel on mingi maht nimetatakse N-söe püramiidiks. Näiteks näitame joonisel allpool, kuidas Pentagoniline püramiidi välja näeb.
Iga püramiidi kaks olulist elementi on selle alus (N-ruut) ja ravi. Need elemendid on ühendatud üksteisega n kolmnurgaga, mis üldjuhul ei ole üksteisega võrdsed. Risti, mis on langetatud ülemisest alusest, nimetatakse joonise kõrguseks. Kui see ületab baasi geomeetrilises keskuses (langeb kokku hulknurmi masside keskele), siis sellist püramiidi nimetatakse sirgeks. Kui lisaks sellele seisundile on alus õige hulknurga, siis kogu püramiidi nimetatakse õigeks. Alltoodud joonisel on näidatud, kuidas paremad püramiidid kolmnurkse, neljaranguta, Pentagonal ja kuusnurkne baas.
Püramiidi pind
Enne neljaradulase püramiidi külgpindala küsimusele üleminekut on vaja elada pinna kontseptsioonile.
Nagu eespool mainitud ja joonistel näidatud, moodustatakse iga püramiidi moodustatud nägude või külgede komplekt. Üks pool on alus ja poolte n on kolmnurgad. Kogu joonise pind on mõlema poole pindala summa.
Pind on mugav uurida joonise skannimise näitel. Scan õige nelinurkne püramiidi on näidatud joonistes allpool.
Me näeme, et selle pindala on võrdne sama ligipääsmatute kolmnurkade nelja ruudud ja ruudukujulise ruudu summa summaga.
Kõigi kolmenurkade kogupindala, mis moodustavad joonise külgede külge, on tavaline nimeks külgpindalaks. Järgmisena näitame, kuidas arvutada selle neljarattalaarse püramiidi jaoks õigesti.
Külgpind nelinurkne õige püramiidi
Määratud joonise külgpindala arvutamiseks pöörake tagasi ülaltoodud skaneerimiseks. Oletame, et me teame ruudukujulise aluse poole. Tähistage seda sümboliga a. Võib näha, et iga nelja identse kolmnurgal on pikkuse alus a. Et arvutada nende kogupindala, peate teadma seda väärtust ühe kolmnurga jaoks. Geomeetria käigus on teada, et kolmnurga SA t on võrdne aluse tootega kõrgusele, mis tuleb jagada poolega. I.e:
Kus H b on ligipääsmatute kolmnurga kõrgus, mis viiakse läbi aluse a. Püramiidi jaoks on see kõrgus appovatible. Nüüd jääb veel saada saadud ekspressiooni korrutada 4-le, et saada pindala S B-poolpind kaalumisel püramiidi jaoks:
S b \u003d 4 * s t \u003d 2 * h b * a.
See valem sisaldab kahte parameetrit: aluse apotheme ja pool. Kui viimane on enamikus tingimustes tuntud, peab esimene arvutama teiste väärtuste tundmine. Anname valemitele Apotheme H B arvutamiseks kahel juhul:
- kui külgserva pikkus on tuntud;
- kui püramiidi kõrgus on tuntud.
Kui määrate pikkus külje külje (pool tasakaalustatud kolmnurk) sümbol L, siis Apotheme H B on määrata valem:
h B \u003d √ (L 2 - A 2/4).
See väljend on Pythagoreani teoreemi kasutamise tulemus küljepinna kolmnurga jaoks.
Kui püramiidi kõrgus H on teada, siis HB on konstrueeritud järgmiselt:
h b \u003d √ (H2 + A 2/4).
Selle väljenduse saamiseks ei ole ka raske, kui kaalute püramiidi sees Õige kolmnurkMoodustatud H ja A / 2 ja hüpotenuse H b.
Näitame, kuidas neid valemeid rakendada, otsustades kaks huvitavat ülesannet.
Task tuntud pindalaga
On teada, et külgpindala nelinurksel on 108 cm2. See on vajalik selle APOTHEM HB pikkuse väärtuse arvutamiseks, kui püramiidi kõrgus on 7 cm.
Kirjutame pinna valemiga S B-pinna läbi kõrguse kaudu. Meil on:
S B \u003d 2 * √ (H2 + A 2/4) * a.
Siin me lihtsalt asendasime Apotheme asjakohase valemiga s b väljenduseks. Püstitasid mõlemad võrdõiguslikkuse osad ruutu:
S B 2 \u003d 4 * A 2 * H2 + A 4.
Väärtuse A leidmiseks asendame muutujad:
t 2 + 4 * H2 * T - S B 2 \u003d 0.
Nüüd asendame teadaolevaid väärtusi ja lahendame ruudu võrrandi:
t 2 + 196 * T - 11664 \u003d 0.
Me määrasime selle võrrandi positiivse juure. Siis aluste aluse püramiidi on võrdne:
a \u003d √t \u003d √47,8355 ≈ 6,916 cm.
Apotheme pikkuse saamiseks piisab valemi kasutamiseks:
h B \u003d √ (H2 + A 2/4) \u003d √ (7 2 + 6,916 2/4) ≈ 7,808 cm.
HEPS-i püramiidi külgpind
Me määratleme suurima Egiptuse püramiidi poole tähtsuse. On teada, et tema sihtasutusel on 230 363 meetri küljel ruut. Struktuuri kõrgus oli esialgu 146,5 meetrit. Me asendame need numbrid S B vastavasse valemisse, saame:
S B \u003d 2 * √ (H2 + A 2/4) * a \u003d 2 * √ (146,5 2 +230,363 2/4) * 230,363 ≈ 85860 m 2.
Leitud väärtus on natuke rohkem ruudukujuline jalgpalliväljak.
