Võrdhaarne kolmnurk. Üksikasjalik teooria koos näidetega (2020)
Võrdhaarse kolmnurga omadused väljendavad järgmisi teoreeme.
Teoreem 1. Võrdhaarse kolmnurga nurgad on aluse nurgad võrdsed.
Teoreem 2. Võrdhaarses kolmnurgas on aluse poolitaja mediaan ja kõrgus.
Teoreem 3. Võrdhaarses kolmnurgas on aluse külge tõmmatud mediaan poolitaja ja kõrgus.
Teoreem 4. Võrdhaarses kolmnurgas on aluse külge tõmmatud kõrgus poolitaja ja mediaan.
Tõestame ühte neist, näiteks teoreemi 2.5.
Tõestus. Vaatleme võrdhaarset kolmnurka ABC, mille alus on BC ja tõesta, et ∠ B = ∠ C. Olgu AD kolmnurga ABC poolitaja (joonis 1). Kolmnurgad ABD ja ACD on võrdsed kolmnurkade esimese võrdusmärgiga (AB = AC tingimusel, AD on ühine külg, ∠ 1 = ∠ 2, kuna AD on poolitaja). Nende kolmnurkade võrdsusest järeldub, et ∠ B = ∠ C. Teoreem on tõestatud.
Kasutades teoreemi 1, koostatakse järgmine teoreem.
Teoreem 5. Kolmnurkade võrdsuse kolmas kriteerium. Kui ühe kolmnurga kolm külge on vastavalt võrdsed teise kolmnurga kolme küljega, siis on sellised kolmnurgad võrdsed (joonis 2).
kommenteerida. Näidetes 1 ja 2 toodud laused väljendavad sirglõiguga risti oleva keskpunkti omadusi. Nendest lausetest järeldub, et kolmnurga külgede keskristikud lõikuvad ühes punktis.
Näide 1. Tõesta, et lõigu otstest võrdsel kaugusel asuv tasapinna punkt asub selle lõiguga risti.
Lahendus. Olgu punkt M lõigu AB otstest võrdsel kaugusel (joonis 3), st AM = BM.
Siis Δ AMB on võrdhaarne. Joonistame sirge p läbi punkti M ja lõigu AB keskpunkti O. Konstruktsiooni järgi lõik MO on võrdhaarse kolmnurga AMB mediaan ja seetõttu (teoreem 3) ning kõrgus, st sirgjoon MO, on lõiguga AB risti olev mediaan.
Näide 2. Tõesta, et lõiguga risti oleva lõigu iga punkt on selle otstest võrdsel kaugusel.
Lahendus. Olgu p keskpunkt, mis on risti lõiguga AB ja punkt O - lõigu AB keskpunkt (vt joonis 3).
Vaatleme suvalist punkti M, mis asub sirgel p. Joonistame lõigud AM ja VM. Kolmnurgad AOM ja PTO on võrdsed, kuna nende tipus O on sirged nurgad, hari OM on tavaline ja jalg OA on tingimuse järgi võrdne jalaga OB. Kolmnurkade AOM ja PTO võrdsusest järeldub, et AM = BM.
Näide 3. Kolmnurgas ABC (vt joonis 4) AB = 10 cm, BC = 9 cm, AC = 7 cm; kolmnurgas DEF DE = 7 cm, EF = 10 cm, FD = 9 cm.
Võrdle kolmnurki ABC ja DEF. Otsige vastavalt võrdsed nurgad.
Lahendus. Need kolmnurgad on kolmandas atribuudis võrdsed. Vastavalt sellele võrdsed nurgad: A ja E (astuvad võrdsete külgede BC ja FD vastas), B ja F (astuvad võrdsete külgede AC ja DE vastas), C ja D (astuvad võrdsete külgede AB ja EF vastas).
Näide 4. Joonisel 5 AB = DC, BC = AD, ∠B = 100 °.
Leidke nurk D.
Lahendus. Vaatleme kolmnurki ABC ja ADC. Kolmandas kriteeriumis on need võrdsed (AB = DC, BC = AD tingimuse järgi ja vahelduvvoolu pool on ühine). Nende kolmnurkade võrdsusest järeldub, et ∠ В = ∠ D, kuid nurk В on võrdne 100 °, mis tähendab, et nurk D on võrdne 100 °.
Näide 5. Võrdhaarses kolmnurgas ABC, mille alus on AC, on tipu C välisnurk 123 °. Leidke nurk ABC. Esitage oma vastus kraadides.
Video lahendus.
Meie tsivilisatsiooni esimesed ajaloolased – vanad kreeklased – mainivad Egiptust geomeetria sünnikohana. Nendega on raske eriarvamusele jääda, teades, millise vapustava täpsusega vaaraode hiiglaslikud hauad püstitati. Püramiidide tasandite vastastikune paigutus, nende proportsioonid, orientatsioon kardinaalsetele punktidele – sellise täiuslikkuse saavutamine oleks mõeldamatu ilma geomeetria põhitõdesid tundmata.
Sõna "geomeetria" võib tõlkida kui "maa mõõtmist". Pealegi ei esine sõna "maa" planeedi osana Päikesesüsteem, vaid lennukina. Hooldusalade märgistamine Põllumajandus, on tõenäoliselt geomeetriliste kujundite, nende tüüpide ja omaduste teaduse väga originaalne alus.
Kolmnurk on planimeetria lihtsaim ruumiline kujund, mis sisaldab ainult kolme punkti - tippe (vähem kunagi ei ole). Vundamentide aluseks võib-olla on see, miks temas ilmub midagi salapärast ja iidset. Kolmnurga sees olev kõikenägev silm on üks varasemaid teadaolevaid okultseid märke ning selle leviku geograafia ja ajaraam on lihtsalt hämmastavad. Alates iidsetest Egiptuse, Sumeri, Asteekide ja teistest tsivilisatsioonidest kuni moodsamate okultsete kogukondadeni, mis on hajutatud üle maakera.
Mis on kolmnurgad
Tavaline mitmekülgne kolmnurk on suletud geomeetriline kujund, mis koosneb kolmest erineva pikkusega ja kolme nurgaga segmendist, millest ükski pole sirge. Lisaks temale on mitmeid eritüüpe.
Teravnurkse kolmnurga kõik nurgad on alla 90 kraadi. Teisisõnu, sellise kolmnurga kõik nurgad on teravad.
Täisnurksel kolmnurgal, mille kohal koolilapsed teoreemide rohkuse tõttu kogu aeg nutsid, on üks nurk, mille suurus on 90 kraadi, või, nagu seda nimetatakse, sirgjoon.
Nürinurkne kolmnurk erineb selle poolest, et selle üks nurk on nüri, see tähendab, et selle suurus on üle 90 kraadi.
Võrdkülgsel kolmnurgal on kolm ühepikkust külge. Sellise figuuri puhul on ka kõik nurgad võrdsed.
Ja lõpuks võrdhaarse kolmnurga juures kolm külge kaks on võrdsed.
Iseloomulikud tunnused
Võrdhaarse kolmnurga omadused määravad ka selle peamise, peamise erinevuse – kahe külje võrdsuse. Neid võrdseid külgi nimetatakse tavaliselt puusadeks (või sagedamini külgedeks), kuid kolmandat külge nimetatakse "aluseks".
Vaadeldaval joonisel on a = b.
Võrdhaarse kolmnurga teine kriteerium tuleneb siinuste teoreemist. Kuna küljed a ja b on võrdsed, on ka nende vastasnurkade siinused võrdsed:
a / sin γ = b / sin α, kust meil on: sin γ = sin α.
Siinuste võrdsus eeldab nurkade võrdsust: γ = α.
Seega on võrdhaarse kolmnurga teine märk kahe aluse külgneva nurga võrdsus.
Kolmas märk. Kolmnurgas eristatakse selliseid elemente nagu kõrgus, poolitaja ja mediaan.
Kui ülesande lahendamise käigus selgub, et vaadeldavas kolmnurgas langevad kokku kaks neist elementidest: kõrgus poolitajaga; poolitaja mediaaniga; mediaan kõrgusega - võime kindlalt järeldada, et kolmnurk on võrdhaarne.
Figuuri geomeetrilised omadused
1. Võrdhaarse kolmnurga omadused. Üks joonise eristavaid omadusi on aluse külgnevate nurkade võrdsus:
<ВАС = <ВСА.
2. Eespool käsitleti veel üht omadust: võrdhaarse kolmnurga mediaan, poolitaja ja kõrgus langevad kokku, kui need on ehitatud selle tipust põhjani.
3. Alus asuvatest tippudest tõmmatud poolitajate võrdsus:
Kui AE on nurga BAC poolitaja ja CD on nurga BCA poolitaja, siis: AE = DC.
4. Võrdhaarse kolmnurga omadused näevad ette ka kõrguste võrdsuse, mis tõmmatakse aluse tippudest.
Kui konstrueerida kolmnurga ABC (kus AB = BC) kõrgused tippudest A ja C, siis on saadud lõigud CD ja AE võrdsed.
5. Võrdsed on ka aluse nurkadest tõmmatud mediaanid.
Seega, kui AE ja DC on mediaanid, st AD = DB ja BE = EC, siis AE = DC.
Võrdhaarse kolmnurga kõrgus
Külgede ja nurkade võrdsus nende juures toob kaasa mõningaid iseärasusi vaadeldava joonise elementide pikkuste arvutamisel.
Kõrgus võrdhaarses kolmnurgas jagab kujundi 2 sümmeetriliseks täisnurkseks kolmnurgaks, mille küljed ulatuvad välja koos hüpotenuusidega. Kõrgus määratakse sel juhul Pythagorase teoreemi järgi nagu jalg.
Kolmnurga kõik kolm külge võivad olla võrdsed, siis nimetatakse seda võrdkülgseks. Võrdkülgse kolmnurga kõrgus määratakse samamoodi, ainult arvutuste jaoks piisab ainult ühe väärtuse teadmisest - selle kolmnurga külje pikkusest.
Kõrguse saate määrata muul viisil, näiteks teades alust ja sellega külgnevat nurka.
Võrdhaarse kolmnurga mediaan
Vaadeldav kolmnurga tüüp on selle geomeetriliste omaduste tõttu lahendatud lihtsalt minimaalse algandmete kogumiga. Kuna võrdhaarse kolmnurga mediaan on võrdne nii selle kõrguse kui ka poolitajaga, ei erine selle määramise algoritm nende elementide arvutamise järjekorrast.
Näiteks saate teadaoleva külgkülje ja tipunurga väärtuse järgi määrata mediaani pikkuse.
Kuidas määrata perimeetrit
Kuna vaadeldava planimeetrilise kujundi kaks külge on alati võrdsed, piisab perimeetri määramiseks aluse pikkuse ja ühe külje pikkuse teadmisest.
Vaatleme näidet, kui peate määrama kolmnurga ümbermõõdu teadaoleva aluse ja kõrguse põhjal.
Ümbermõõt on võrdne aluse ja külje kahekordse pikkuse summaga. Külgkülg on omakorda defineeritud kasutades Pythagorase teoreemi täisnurkse kolmnurga hüpotenuusina. Selle pikkus võrdub ruutjuurega kõrguse ruudu ja poole aluse ruudu summast.
Võrdhaarse kolmnurga pindala
Võrdhaarse kolmnurga pindala pole reeglina keeruline arvutada. Universaalne reegel kolmnurga pindala määramiseks pooleks aluse ja selle kõrguse korrutisest kehtib loomulikult meie puhul. Võrdhaarse kolmnurga omadused muudavad aga ülesande taas lihtsamaks.
Oletame, et aluse kõrgus ja nurk on teada. On vaja kindlaks määrata joonise pindala. Saate seda teha nii.
Kuna iga kolmnurga nurkade summa on 180 °, pole nurga väärtust keeruline määrata. Järgmiseks, kasutades siinuste teoreemi järgi moodustatud proportsiooni, määratakse kolmnurga aluse pikkus. Kõik, alus ja kõrgus – pindala määramiseks piisavalt andmeid – on olemas.
Võrdhaarse kolmnurga muud omadused
Võrdhaarse kolmnurga ümber piiratud ringi keskpunkti asukoht sõltub tipunurga suurusest. Seega, kui võrdhaarne kolmnurk on teravnurkne, asub ringi keskpunkt joonise sees.
Nürikujulise võrdhaarse kolmnurga ümber piiritletud ringi keskpunkt asub sellest väljaspool. Ja lõpuks, kui tipu nurk on 90 °, asub keskpunkt täpselt aluse keskel ja ringi läbimõõt läbib alust ennast.
Võrdhaarse kolmnurga ümber piiratud ringi raadiuse määramiseks piisab, kui jagada külgkülje pikkus kahekordse tipunurga väärtuse poole koosinusega.
Kõigi kolmnurkade hulgas on kaks eritüüpi: täisnurksed kolmnurgad ja võrdhaarsed kolmnurgad. Miks on seda tüüpi kolmnurgad nii erilised? Noh, esiteks, sellised kolmnurgad osutuvad väga sageli esimese osa USE ülesannete peategelasteks. Ja teiseks, täisnurksete ja võrdhaarsete kolmnurkade ülesandeid on palju lihtsam lahendada kui muid geomeetria ülesandeid. Peate lihtsalt teadma mõnda reeglit ja omadust. Kõige huvitavamat käsitletakse vastavas teemas, kuid nüüd käsitleme võrdhaarseid kolmnurki. Ja ennekõike, mis on võrdhaarne kolmnurk. Või nagu matemaatikud ütlevad, mis on võrdhaarse kolmnurga määratlus?
Vaata, kuidas see välja näeb:
Nagu täisnurksel kolmnurgal, on ka võrdhaarsel kolmnurgal külgedele spetsiaalsed nimed. Nimetatakse kahte võrdset külge külgmised küljed ja kolmas osapool on alus.
Ja jälle pöörake tähelepanu pildile:
See võib muidugi olla selline:
Nii et olge ettevaatlik: külg - üks kahest võrdsest küljest võrdhaarses kolmnurgas ja alus on kolmas osapool.
Miks on võrdhaarne kolmnurk nii hea? Selle mõistmiseks joonistame aluse kõrguse. Kas mäletate, mis on kõrgus?
Mis juhtus? Ühest võrdhaarsest kolmnurgast tuli välja kaks ristkülikukujulist.
See on juba hea, kuid see osutub nii igas, kõige "koosseisvamas" kolmnurgas.
Mis vahe on võrdhaarse kolmnurga pildil? Vaata uuesti:
Noh, esiteks muidugi ei piisa, et need kummalised matemaatikud lihtsalt näevad – nad peavad kindlasti tõestama. Ja siis äkki on need kolmnurgad veidi erinevad ja me peame neid samadeks.
Kuid ärge muretsege: sel juhul on tõestamine peaaegu sama lihtne kui nägemine.
Alustame? Vaadake hoolikalt, meil on:
Ja see tähendab! Miks? Jah, me lihtsalt leiame ja Pythagorase teoreemist (samal ajal seda meeles pidades)
Kas olete veendunud? Noh, nüüd on meil
Ja kolmel küljel - kolmnurkade võrdsuse lihtsaim (kolmas) märk.
Noh, meie võrdhaarne kolmnurk on jagatud kaheks identseks ristkülikukujuliseks.
Vaadake, kui huvitav see on? Selgus, et:
Kuidas on kombeks sellest matemaatikute seas rääkida? Läheme järjekorras:
(Pidage meeles, et mediaan on joon, mis on tõmmatud tipust, mis jagab külje pooleks, ja poolitaja on nurk.)
Noh, siin arutasime, mida head võib näha, kui anda võrdhaarne kolmnurk. Järeldasime, et võrdhaarse kolmnurga aluse nurgad on võrdsed ning aluse külge tõmmatud kõrgus, poolitaja ja mediaan langevad kokku.
Ja nüüd tekib veel üks küsimus: kuidas ära tunda võrdhaarset kolmnurka? See tähendab, nagu matemaatikud ütlevad, mis on võrdhaarse kolmnurga märke?
Ja selgub, et peate lihtsalt kõik väited vastupidiseks "pöörama". Alati see muidugi nii ei ole, aga võrdhaarne kolmnurk on ikka vahva asi! Mis saab pärast "ümberminekut"?
No vaata:
Kui kõrgus ja mediaan langevad kokku, siis:
Kui kõrgus ja poolitaja langevad kokku, siis: 
Kui poolitaja ja mediaan langevad kokku, siis:
Noh, ärge unustage ja kasutage:
- Kui teile on antud võrdhaarne kolmnurkne kolmnurk, tõmmake julgelt kõrgus, hankige kaks täisnurkset kolmnurka ja lahendage ülesanne täisnurkse kolmnurga kohta.
- Kui seda antakse kaks nurka on võrdsed siis kolmnurk täpselt võrdhaarne ja saate hoida kõrgust ja .... (Maja, mille Jack ehitas ...).
- Kui selgub, et kõrgus on küljel pooleks, siis on kolmnurk võrdhaarne koos kõigi sellest tulenevate boonustega.
- Kui selgub, et kõrgus on nurga korrusteks jaganud - ka võrdhaarsed!
- Kui poolitaja jagas külje pooleks või mediaan on nurk, siis juhtub ka see ainult võrdhaarses kolmnurgas
Vaatame, kuidas see ülesannetes välja näeb.
Probleem 1(kõige lihtsam)
Kolmnurga küljed ja on võrdsed ja. Otsi.
Otsustame:
Kõigepealt joonistus.
Mis on siin alus? Kindlasti,.
Mäletame, et kui, siis ja.
Uuendatud joonis:
Tähistame tähisega. Kui suur on seal oleva kolmnurga nurkade summa? ?
Me kasutame:
See on vastus: .
Pole raske, eks? Isegi kõrgust polnud vaja.
2. ülesanne(Samuti pole väga keeruline, kuid peate teemat kordama)
Kolmnurgas,. Otsi.
Otsustame:
Kolmnurk on võrdhaarne! Joonistame kõrguse (see on nipp, mille abil nüüd kõik laheneb).
Nüüd "kustutame elust", me ainult kaalume.
Niisiis, meil on:
Koosinuste tabeliväärtuste meelespidamine (noh, või petulehe vaatamine ...)
Jääb üle leida:.
Vastus: .
Pange tähele, et meil on siin väga nõutavad teadmised täisnurkse kolmnurga ning "tabeli" siinuste ja koosinuste kohta. Väga sageli juhtub seda: teemad, "võrdhaarne kolmnurk" ja mõistatustes lähevad kimpudesse, kuid teiste teemadega pole nad eriti sõbralikud.
Võrdhaarne kolmnurk. Keskmine tase.
Need kaks võrdset külge kutsutakse külgmised küljed, a kolmas külg on võrdhaarse kolmnurga alus.
Vaadake pilti: ja - võrdhaarse kolmnurga küljed, - alus.
Saame ühe pildi pealt aru, miks see nii on. Joonistame kõrguse punktist.
See tähendab, et neil on võrdsed kõik vastavad elemendid.
Kõik! Ühe hoobiga (kõrgusega) tõestasid nad kõik väited korraga.
Ja pidage meeles: võrdhaarse kolmnurga ülesande lahendamiseks on sageli väga kasulik langetada kõrgus võrdhaarse kolmnurga põhja ja jagada see kaheks võrdseks täisnurkseks kolmnurgaks.
Võrdhaarse kolmnurga märgid
Tõsi on ka vastupidised väited:
Peaaegu kõiki neid väiteid saab taas tõestada "ühe hoobiga".
1. Niisiis, let in olid võrdsed ja.
Joonistame kõrguse. Siis
2.a) Nüüd lase sisse mõni kolmnurk kõrguse ja poolitaja sobivus.
2.b) Ja kui kõrgus ja mediaan langevad kokku? Kõik on peaaegu sama, mitte keerulisem!
 |
- kahel jalal |
2.c) Aga kui kõrgust pole, mis on langetatud võrdhaarse kolmnurga alusele, siis algselt täisnurkseid kolmnurki ei ole. Halvasti!
Kuid on väljapääs - lugege seda järgmisel teooriatasemel, sest siin on tõestus keerulisem, kuid praegu pidage meeles, et kui mediaan ja poolitaja langevad kokku, on kolmnurk ka võrdhaarne ja kõrgus ikka ühtivad selle poolitaja ja mediaaniga.
Teeme kokkuvõtte:
- Kui kolmnurk on võrdhaarne, on nurgad aluse juures võrdsed ning aluse külge tõmmatud kõrgus, poolitaja ja mediaan langevad kokku.
- Kui mõnes kolmnurgas on kaks võrdset nurka või mingid kaks kolmest sirgest (poolitaja, mediaan, kõrgus) langevad kokku, siis on selline kolmnurk võrdhaarne.
Võrdhaarne kolmnurk. Lühikirjeldus ja põhivalemid
Võrdhaarne kolmnurk on kolmnurk, millel on kaks võrdset külge.
Võrdhaarse kolmnurga märgid:
- Kui mõnes kolmnurgas on kaks nurka võrdsed, siis on see võrdhaarne.
- Kui mõnes kolmnurgas langevad kokku:
a) kõrgus ja poolitaja või
b) kõrgus ja mediaan või
v) mediaan ja poolitaja,
tõmmatud ühele küljele, siis on selline kolmnurk võrdhaarne.
Ülejäänud 2/3 ARTIKLID ON SAADAVAL AINULT YOUCLEVER TUDENGIDELE!
Hakka YouCleveri õpilaseks,
Valmistuge OGE-ks või KASUTAGE matemaatikas hinnaga "tass kohvi kuus",
Samuti saate piiramatu juurdepääsu õpikule "YouClever", koolitusprogrammile "100gia" (reshebnik), piiramatule USE ja OGE prooviversioonile, 6000 probleemile lahenduste analüüsiga ning teistele YouCleveri ja 100gia teenustele.
