Square boční software. Jak najít boční povrch pyramidy
Při přípravě na zkoušku v matematice musí studenti systematizovat znalosti algebry a geometrie. Chci kombinovat všechny známé informace, například, jak vypočítat oblast pyramidy. Kromě toho začíná na základně a bočním směřováním plochy celého povrchu. Pokud je situace jasná s bočními plochami, protože jsou trojúhelníky, pak je základna vždy jiná.
Jak být při hledání oblasti základny pyramidy?
Může to být úplně libovolný obrázek: z libovolného trojúhelníku na N-náměstí. A tento základ, kromě rozdílu v počtu úhlů, může být správný obrázek nebo nesprávný. V úkolech zájmu školáků se na základně najdou pouze úkoly se správnými údaji. Proto bude jen o nich.
Pravoúhlý trojuhelník
To znamená, že je rovnostranný. Ten, ve kterém jsou všechny strany stejné a označeny písmenem "A". V tomto případě je oblast základny pyramidy vypočítána vzorcem:
S \u003d (A 2 * √3) / 4.
Náměstí
Vzorec pro výpočet jeho oblasti je nejjednodušší, zde "A" - opět strana:
Libovolné správné n-náměstí
Polygonová strana má stejné označení. Pro počet úhlů se používá latinské písmeno n.
S \u003d (n * a 2) / (4 * tg (180º / n)).
Jak to udělat při výpočtu strany boku a úplného povrchu?
Protože na základně lži správné čísloVšechny tváře pyramidů jsou stejné. Kromě toho je každý z nich stejně obchodovaný trojúhelník, protože boční žebra jsou stejné. Poté za účelem výpočtu boční plochy pyramidy bude vyžadován vzorec, sestávající z množství stejného jednokřídla. Počet komponentů je určen počtem základen.
Plocha stejný trojúhelník Vypočítá se vzorcem, ve kterém polovina produktu základny se násobí výškou. Tato výška v pyramidě se nazývá apophey. Její označení je "A". Obecný vzorec pro oblast bočního povrchu vypadá takto:
S \u003d ½ p * a, kde p je obvod základny pyramidy.
Existují situace, kdy nejsou známy strany báze, ale boční hrany (c) a plochý úhel jsou uvedeny v jeho vrcholu (α). Pak by měl být použit k použití takového vzorce pro výpočet boční oblasti pyramidy:
S \u003d n / 2 * b 2 sin α .
Číslo úkolu 1.
Stav. Najděte celkovou plochu pyramidy, pokud leží na straně 4 cm v jeho nadaci a apophem je √3 cm.
Rozhodnutí. Je nutné začít s výpočtem obvodu nadace. Vzhledem k tomu, že se jedná o běžný trojúhelník, pak p \u003d 3 * 4 \u003d 12 cm. Vzhledem k tomu, že apophem je známo, můžete okamžitě vypočítat oblast celého bočního povrchu: ½ * 12 * √3 \u003d 6√3 cm2.
Pro trojúhelník, na základně, bude tato hodnota oblasti získána: (4 2 * √3) / 4 \u003d 4√3 cm 2.
Pro určení celé oblasti bude nutné složit dva výsledné hodnoty: 6√3 + 4√3 \u003d 10√3 cm 2.
Odpovědět. 10√3 cm 2.
Úkol číslo 2.
Stav. Tam je pravidelná čtyřúhelníková pyramida. Délka základní strany je 7 mm, boční hrana je 16 mm. Je nutné znát jeho povrchovou plochu.
Rozhodnutí. Vzhledem k tomu, že polyhedron je čtyřúhelníkový a správný, pak ve své základně je čtverec. Po učení oblasti základny a bočních ploch bude možné počítat oblast pyramidy. Vzorec čtverce je uveden výše. A boční plochy jsou známé pro všechny strany trojúhelníku. Proto je možné použít vzorec geronu pro výpočet jejich oblastí.
První výpočty jsou jednoduché a vedou k tomuto číslu: 49 mm 2. Pro druhou hodnotu bude nutné vypočítat poloviční metr: (7 + 16 * 2): 2 \u003d 19,5 mm. Nyní můžete vypočítat oblast equifiable trojúhelníku: √ (19.5 * (19.5-7) * (19.5-16) 2) \u003d √2985.9375 \u003d 54,644 mm 2. Existují pouze čtyři takové trojúhelníky, takže při výpočtu konečného čísla bude nutné jej znásobit 4.
Ukazuje se: 49 + 4 * 54,644 \u003d 267,576 mm 2.
Odpovědět. Požadovaná hodnota je 267,576 mm 2.
Číslo úlohy 3.
Stav. V pravé čtyřúhlém pyramidě je nutné vypočítat oblast. Zná stranu čtverce - 6 cm a výšku - 4 cm.
Rozhodnutí. Nejjednodušší způsob, jak použít vzorec s prací obvodu a aponemy. První hodnota je jednoduchá. Druhá je složitější.
Budeme si pamatovat teorém Pythagora a zvážit to, že je tvořen výškou pyramidy a apophy, což je hypotenuse. Druhá katat se rovná polovině boku čtverce, protože výška polyhedronu spadá do středu.
Požadovaná apophem (hypotenus obdélníkového trojúhelníku) je √ (3 2 + 4 2) \u003d 5 (cm).
Nyní můžete vypočítat požadovanou hodnotu: ½ * (4 * 6) * 5 + 6 2 \u003d 96 (cm 2).
Odpovědět. 96 cm 2.
Úkol číslo 4.
Stav. Pravá strana jeho báze je 22 mm, boční žebra jsou 61 mm. Jaká je boční plocha tohoto polyhedronu?
Rozhodnutí. Argumenty v něm jsou stejné, jak je popsáno v problému č. 2. Pouze tam dostalo pyramidu s náměstím u základny, a teď je to šestiúhelník.
První věc je vypočtena základní plocha podle výše uvedeného vzorce: (6 * 22 2) / (4 * TG (180 ° / 6)) \u003d 726 / (TG30º) \u003d 726√3 cm2.
Nyní je nutné zjistit polovinu verze rovnovážného trojúhelníku, což je boční tvář. (22 + 61 * 2): 2 \u003d 72 cm. Zůstane na vzorci volavka, aby spočítal oblast každého takového trojúhelníku, a pak ji násobit na šest a složený s tím, kdo se stalo na základně.
Výpočty podle geronového vzorce: √ (72 * (72-22) * (72-61) 2) \u003d √435600 \u003d 660 cm 2. Výpočty, které poskytnou boční plochu: 660 * 6 \u003d 3960 cm 2. Zbývá zůstává být složen, abyste zjistili celý povrch: 5217.47≈5217 cm 2.
Odpovědět. Základy jsou 726√3 cm2, boční povrch - 3960 cm 2, celá plocha je 5217 cm 2.
V pravé trojúhelníkové pyramidě SABC R. - střední žebro Au., S. - Horní.
Je známo že SR \u003d 6.a boční plocha je stejná 36
.
Najděte délku řezu PŘED NAŠÍM LETOPOČTEM..
Pojďme nakreslit výkres. V pravé pyramidě jsou boční tváře ekologickými trojúhelníky.
Sekce Sr. - medián, spuštěn na bázi, a proto výšku bočního obličeje.
Boční plocha správné trojúhelníkové pyramidy se rovná součtu oblasti
tři stejné boční plochy S strana. \u003d 3 · s ABS. Odtud S ABS \u003d 36: 3 \u003d 12 - Čtverec obličeje.
Oblast trojúhelníku se rovná polovině díla své základny do výšky
S abs \u003d 0,5 · ab · sr. Vědět oblast a výška, najít stranu základny Ab \u003d slunce..
12 \u003d 0.5 · AV · 6
12 \u003d 3 · av
Ab \u003d 4.
Odpovědět: 4
Můžete se přiblížit k úkolu a z druhého konce. Nechte základní stranu AV \u003d SUN \u003d A.
Pak oblast obličeje S ABS \u003d 0,5 · AB · SR \u003d 0,5 · A · 6 \u003d 3A.
Oblast každé ze tří tváří je stejná 3a., plocha tří tváří je stejné 9a..
Pod podmínkou úkolu je oblast bočního povrchu pyramidy rovná 36.
S strana. \u003d 9A \u003d 36.
Odtud a \u003d 4..
Jaký druh postavy nazýváme pyramidy? Nejprve je to polyhedron. Za druhé, u základny tohoto polyhedronu je libovolný mnohoúhelník a strany pyramidy (boční plochy) nutně mají formu trojúhelníků sbíhajících v jednom úplném vrcholu. Teď, chápal s termínem, zjistěte, jak najít plochu povrchu pyramidy.
Je zřejmé, že povrchová plocha takového geometrického tělesa bude tvořena součtem základní plochy a celého bočního povrchu.
Výpočet základní oblasti pyramidy
Volba vypočteného vzorce závisí na formě mnohoúhelníku, který je základem základy naší pyramidy. To může být správné, to znamená, že se strany stejné délky nebo nesprávné. Zvážit oba možnosti.
Na základě pravého polygonu
Ze školního kurzu je známo:
- náměstí čtverce se rovná délce své strany, postavené do čtverce;
- rovnostranný trojúhelník oblast se rovná čtverce, děleno 4 a vynásobené odmocnina Ze tří.
Existuje však obecný vzorec pro výpočet plochy jakéhokoliv správného polygonu (SN): je nutné vynásobit hodnotu obvodu tohoto polygonu (P) do poloměru napsaného v něm (R), a pak rozdělit výsledný výsledek do dvou: sn \u003d 1 / 2p * r.
Na základě nesprávného polygonu
Schéma hledání jeho oblasti je nejprve rozdělit celý polygon na trojúhelníky, vypočítat oblast každého z nich vzorec: 1 / 2A * h (kde A je základem trojúhelníku, H je výškově snížená K této základně, složit všechny výsledky.
Square boční povrch pyramidy
Nyní vypočítáváme oblast bočního povrchu pyramidy, tj Součet čtverců celé jeho boky. K dispozici jsou také 2 možnosti zde.
- Pojďme mít libovolnou pyramidu, tj Tak, na základě základny - nepravidelný mnohoúhelník. Pak by měla být tato plocha vypočtena a složena výsledky. Protože pouze trojúhelníky mohou být bočními stranami pyramidy, pak je výpočet založen na výše uvedeném vzorci: s \u003d 1 / 2A * h.
- Nechte naše pyramida správná, tj. Ve své nadaci leží správný mnohoúhelník a projekce peaku pyramidy se ukáže být ve svém středu. Potom, pro výpočet bočního povrchu (SB), postačuje najít polovinu práce obvodu obvodu polygonové báze (P) na výšku (H) na straně (stejné pro všechny hrany): SB \u003d 1 / 2 p * h. Obvod polygonu je určen přidáním délek všech stran.
Celková plocha pravé pyramidy je způsobena součtem oblasti jeho základny s oblastí celého bočního povrchu.
Příklady
Například spočítejte algebraicky povrchovou plochu několika pyramid.
Povrchová povrchová trojúhelníková pyramida
Na základě takové pyramidy - trojúhelník. Podle vzorce So \u003d 1 / 2A * h najdeme základní plochu. Stejný vzorec se používá k nalezení oblasti každé tváře pyramidy, která má také trojúhelníkový tvar a získáme 3 oblasti: S1, S2 a S3. Oblast bočního povrchu pyramidy je součet všech oblastí: SB \u003d S1 + S2 + S3. Po sklopení strany boku a základny získáme plnou plochu povrchu požadované pyramidy: SP \u003d SO + SB.
Povrchová plocha čtyřúhelníkové pyramidy
Boční povrchová plocha je součtem 4-vyvolávacího: SB \u003d S1 + S2 + S3 + S4, z nichž každý je vypočítán vzorcem oblasti trojúhelníku. A základní oblast bude muset vyhledávat v závislosti na formě čtyřúhelníku - správné nebo nesprávné. Oblast plného povrchu pyramidy bude opět vést k přidání základní oblasti a plnou plochu povrchu předem určené pyramidy.
Definice. Boční - Jedná se o trojúhelník, v němž se jeden roh leží v horní části pyramidy, a strana proti němu se shoduje s bází (mnohoúhelník).
Definice. Boční hrany - Jedná se o běžnou stranu bočních ploch. Pyramida má tolik žeber, kolik rohů má mnohoúhelník.
Definice. Výška pyramidy - Jedná se o kolečku, spuštěný od vrcholu k základně pyramidy.
Definice. Apothem - Jedná se o kolmou stranu boční plochy pyramidy, spustí se od horní části pyramidy na stranu základny.
Definice. Diagonální sekce - Jedná se o průřez pyramidy s rovinou procházejícím vrcholem pyramidy a základní diagonální.
Definice. Pravá pyramida - Jedná se o pyramidu, ve které je základem správným polygonem a výška padá do středu základny.
Objem a povrchová plocha pyramidy
Vzorec. Objem pyramidy Prostřednictvím základní oblasti a výšky:
Vlastnosti pyramidy
Pokud jsou všechna boční žebra stejné, pak lze popsat základnu pyramidy a střed základny se shoduje se středem kruhu. Také kolmá, spuštěná z vrcholu prochází středem základny (kruh).
Pokud jsou všechna boční žebra stejné, pak jsou nakloněny na základní rovinu ve stejných úhlech.
Boční žebra jsou stejné, když se tvoří s rovinou základny stejných úhlů nebo pokud může být kruh popsán kolem základny pyramidy.
Pokud jsou boční plochy nakloněny do základní roviny v jednom úhlu, pak v základně pyramidy můžete vstoupit do kruhu a vrchol pyramidy je navržen do jeho středu.
Pokud jsou boční plochy nakloněny na základní rovinu v jednom úhlu, pak jsou apophaty bočních ploch stejné.
Vlastnosti správné pyramidy
1. Vertex pyramidy je ekvidistantní ze všech rohů základny.
2. Všechna boční žebra jsou stejné.
3. Všechny boční hrany jsou nakloněny pod stejné rohy k základně.
4. Apfims všech bočních ploch jsou stejné.
5. Oblasti všech bočních ploch jsou stejné.
6. Všechny tváře mají stejnou dihedral (ploché) úhly.
7. Kolem pyramidy můžete popsat kouli. Středem popsané koule je průsečík bod kolmých, který prochází středem žeber.
8. V pyramidě můžete vstoupit do sféry. Středem vepsané koule bude průsečík bodu bisektoru vyzařujícího z rohu mezi hranou a základem.
9. Pokud se střed vepsané koule shoduje se středem popsané sféry, pak se součet plochých rohů nahoře rovná π nebo naopak, jeden úhel je π / n, kde n je počet úhlů na základna pyramidy.
Pyramidové spojení s sférou
Kolem pyramidy můžete popsat kouli, když na základně pyramidy leží polyhedron, kolem kterého můžete popsat kruh (nezbytný a dostatečný stav). Středem koule je průsečík plochy rovin, které procházejí kolmo přes střed bočních žeber pyramid.
Kolem trojúhelníkové nebo správné pyramidy může být vždy popsána sférou.
V pyramidě můžete vstoupit do sféry, pokud biss-sektorové roviny vnitřních trpasličích rohů pyramidů se protínají v jednom bodě (nezbytné a dostatečné podmínky). Tento bod bude středem sféry.
Pyramidové spojení s kuželem
Kužel se nazývá napsaná v pyramidě, pokud jejich vrcholy se shodují a základem kužele je vázána v základně pyramidy.
Kužel může být vložen do pyramidy, pokud jsou apophaty pyramidů stejné.
Kužel se nazývá pyramida popsaná kolem, pokud jejich vrcholy se shodují, a základem kužele je popsána kolem základny pyramidy.
Kužel může být popsán kolem pyramidy, pokud jsou všechny boční žebra pyramidy rovnající se navzájem.
Pyramidové spojení s válcem
Pyramida se nazývá napsaná ve válci, pokud horní část pyramidy leží na jednom základě válce a základna pyramidy je napsána na jinou základnu válce.
Válec lze popsat kolem pyramidy, pokud je kolem základny pyramidy popsat kruh.
Čtyři hrany čtyři tváře a čtyři vrcholy a šest žeber, kde žádná dvě žebra nemají běžné vrcholy, ale nepřijdou do styku.
Každý vrchol se skládá ze tří tváří a žeber, které tvoří tři roh.
Segment spojující vrchol tetrahedronu se středem opačného obličeje se nazývá medián tetrahedron. Gm).
Bimedian. To se nazývá segment spojující střední protilehlá žebra, která nepřichází do kontaktu (KL).
Všechny Bimedians a Medians of Tetrahedral se protínají na jednom bodě (y). Zároveň jsou bimedianci rozděleni polovinou a mediáni za 3: 1 začíná od vrcholu.
Definice. Acreditovaná pyramida - Jedná se o pyramidu, ve které je apophem více než polovina délky základní strany základny.
Definice. Hloupá pyramida - Jedná se o pyramidu, ve které je apophem menší než polovina délky základní strany.
Definice. Pravý tetrahedron. - Tetrahedron, který má všechny čtyři tváře - rovnostranné trojúhelníky. Je to jeden z pěti pravých polygonů. V pravém tetraedronu jsou všechny dírované úhly (mezi hranami) a trojúhelníkové úhly (nahoře) stejné.
Definice. Obdélníkový tetraedron. Tetrahedron se nazývá přímý úhel mezi třemi žebry nahoře (žebra kolmá). Tři tváře tváře obdélníkový trojúhelníkový roh A obličeje jsou obdélníkové trojúhelníky a základem libovolného trojúhelníku. Apotem z jakékoli tváře se rovná polovině boku základu, že apophem padá.
Definice. Mytí tetrahedron. Tetrahedron se nazývá laterální aspekty se rovnou navzájem, a základna je pravý trojúhelník. Takový tetrahedron slouží izolované trojúhelníky.
Definice. Ortocentrický tetrahedron. Tetrahedron se nazývá všechny výšky (kolmo), který je vynechán z vrcholu k opačnému obličeji, protínají se na jeden bod.
Definice. Hvězda pyramida Polyhedron se nazývá základna je hvězda.
Typické geometrické úkoly v rovině a ve trojrozměrném prostoru jsou problémy určování oblastí povrchů různých obrázků. V tomto článku dáváme vzorec bočního povrchu správné pyramidy čtyřúhelníků.
Jaká je pyramida?
Uveďte přísnou geometrickou definici pyramidy. Předpokládejme, že je nějaký polygon s n bočními stranami a s úhly n. Vyberte libovolný bod prostoru, který nebude v rovině zadaného N-uhlíku, a připojit jej z každého kolíku polygonu. Dostaneme postava, která má nějaký objem nazvaný n-uhelnou pyramidu. Například uvádíme na obrázku níže, jak vypadá pantagonální pyramida.
Dva důležité prvky jakékoli pyramidy jsou jeho základna (N-čtverec) a terapie. Tyto prvky jsou navzájem spojeny s trojúhelníky, které se obvykle ne rovnou. Kolmá, spuštěná od vrcholu k základně, se nazývá výška obrázku. Pokud překročí základnu v geometrickém centru (shoduje se středem hmotností polygonu), pak se taková pyramida nazývá rovně. Pokud je kromě tohoto stavu základnu správným polygonem, pak se celá pyramida nazývá správná. Níže uvedený obrázek ukazuje, jak jsou pravý pyramidy s trojúhelníkovou, čtyřúhelníkovou, pětiúhelníkovou a šestihrannou základnou.
Povrch pyramidy
Před přechodem na otázku o postranní plochy pravé pyramidy čtyřúhelníků je nutné přebývat na koncepci samotného povrchu.
Jak je uvedeno výše a zobrazeno na výkresech, jakákoliv pyramida je tvořena množinou ploch nebo stran. Jedna strana je základem a n stran jsou trojúhelníky. Povrch celé postavy je součtem oblasti každé strany.
Povrch je vhodné studovat na příkladu skenování obrázku. Skenování správné čtyřúhelníkové pyramidy je zobrazen na níže uvedených výkresech.
Vidíme, že jeho povrchová plocha se rovná součtu čtyř čtverců stejných nepřístupných trojúhelníků a čtvercového náměstí.
Celková plocha všech trojúhelníků, která tvoří boční strany obrázku, je obvyklá být nazývána boční plochy. Dále ukázáme, jak jej správně vypočítat pro čtyřúhelníkovou pyramidu.
Boční povrch čtyřúhelníkové správné pyramidy
Pro výpočet boční plochy zadaného obrázku, otočte zpět na výše uvedené skenování. Předpokládejme, že známe stranu náměstí nadace. Označují to symbolem a. Je vidět, že každý ze čtyř stejných trojúhelníků má základnu délky A. Pro výpočet jejich celkové plochy potřebujete tuto hodnotu znát jeden trojúhelník. Z průběhu geometrie je známo, že trojúhelník SA t se rovná produktu základny do výšky, který by měl být rozdělen o polovinu. Tj:
Kde h je výška nedostupného trojúhelníku, vedený k základně a. Pro pyramidu je tato výška učitatelná. Nyní zbývá vynechat získaný exprese na 4, aby se získala postranní plocha plochy s B pro pyramidu zvažované:
S b \u003d 4 * s t \u003d 2 * h b * a.
Tento vzorec obsahuje dva parametry: Apotheme a strana základny. Pokud je posledně známo ve většině podmínek, pak musí první vypočítat, znát jiné hodnoty. Dáváme vzorce pro výpočet Apotheme H B pro dva případy:
- když je délka bočního okraje známa;
- když je výška pyramidy známa.
Pokud určíte délku strany strany (strana rovnovážného trojúhelníku) symbol l, pak Apotheme H B je určení vzorce:
h b \u003d √ (l 2 - a 2/4).
Tento výraz je výsledkem použití pythagorské věty pro boční povrchový trojúhelník.
Je-li známa výška H pyramidy, pak je H B navržena takto:
h b \u003d √ (h 2 + a 2/4).
Získejte tento výraz také obtížné, pokud zvažujete uvnitř pyramidy pravoúhlý trojuhelníktvořené cates h a a / 2 a hypotenuse h b.
Ukážeme, jak tyto vzorce aplikovat rozhodnutím dvou zajímavých úkolů.
Úkol s dobře známým povrchem
Je známo, že boční plocha čtyřúhelníku je 108 cm2. Je nutné vypočítat hodnotu jeho délky svého otřesu H B, pokud je výška pyramidy 7 cm.
Povrchové vzorce S B píšeme povrchu strany přes výšku. My máme:
S b \u003d 2 * √ (h 2 + a 2/4) * a.
Zde jsme jednoduše nahrazujeme příslušný vzorec apothie do výrazu pro s b. Postaveny obě části rovnosti na náměstí:
S B 2 \u003d 4 * A 2 * H 2 + A 4.
Chcete-li najít hodnotu A, nahradíme proměnné:
t 2 + 4 * H 2 * T - S B 2 \u003d 0.
Nyní nahrazujeme známé hodnoty a vyřešujeme čtvercovou rovnici:
t 2 + 196 * T - 11664 \u003d 0.
Předepsali jsme pouze pozitivní kořen této rovnice. Pak se základy základny pyramidy budou rovnat:
a \u003d √t \u003d √47,8355 ≈ 6,916 cm.
Chcete-li získat délku lékárny, stačí použít vzorec:
h b \u003d √ (h 2 + a 2/4) \u003d √ (7 2 + 6916 2/4) ≈ 7,808 cm.
Boční povrch heops pyramida
Definujeme důležitost strany pro největší egyptskou pyramidu. Je známo, že ve svém založení je čtverec na straně 230,363 metrů. Výška konstrukce byla zpočátku 146,5 metru. Tyto čísla nahrazujeme do příslušného vzorce pro S B, dostaneme:
S B \u003d 2 * √ (H 2 + A 2/4) * A \u003d 2 * √ (146,5 2 +230.363 2/4) * 230,363 ≈ 85860 m 2.
Nalezená hodnota je trochu více čtvercových fotbalových hřišť.
