Rovnoramenný trojúhelník. Podrobná teorie s příklady (2020)
Vlastnosti rovnoramenného trojúhelníku vyjadřují následující věty.
Věta 1. V rovnoramenném trojúhelníku jsou úhly na základně stejné.
Věta 2. V rovnoramenném trojúhelníku je osou základny medián a výška.
Věta 3. V rovnoramenném trojúhelníku je medián nakreslený k základně osou a výškou.
Věta 4. V rovnoramenném trojúhelníku je výška nakreslená k základně osa a medián.
Dokažme jeden z nich, například věta 2.5.
Důkaz. Uvažujme rovnoramenný trojúhelník ABC se základnou BC a dokažte, že ∠ B = ∠ C. Nechť AD je sečna trojúhelníku ABC (obr. 1). Trojúhelníky ABD a ACD se rovnají prvním znaménkem rovnosti trojúhelníků (AB = AC podle podmínky, AD je společná strana, ∠ 1 = ∠ 2, protože AD je osa). Z rovnosti těchto trojúhelníků vyplývá, že ∠ B = ∠ C. Věta je dokázána.
Pomocí věty 1 je stanovena následující věta.
Věta 5. Třetí kritérium pro rovnost trojúhelníků. Pokud se tři strany jednoho trojúhelníku rovnají třem stranám jiného trojúhelníku, pak jsou takové trojúhelníky stejné (obr. 2).
Komentář. Věty uvedené v příkladech 1 a 2 vyjadřují vlastnosti středu kolmého k úsečce. Z těchto vět vyplývá, že střední kolmice ke stranám trojúhelníku se protínají v jednom bodě.
Příklad 1 Dokažte, že bod roviny stejně vzdálený od konců úsečky leží na kolmici k této úsečce.
Řešení. Nechť bod M je ve stejné vzdálenosti od konců úsečky AB (obr. 3), tj. AM = BM.
Pak je Δ AMB rovnoramenný. Narýsujme přímku p bodem M a středem O úsečky AB. Úsečka MO podle konstrukce je mediánem rovnoramenného trojúhelníku AMB, a tedy (Věta 3), a výška, tedy přímka MO, je mediánem kolmým k úsečce AB.
Příklad 2 Dokažte, že každý bod kolmice k úsečce je stejně vzdálený od jejích konců.
Řešení. Nechť p je střed kolmý k úsečce AB a bod O - střed úsečky AB (viz obr. 3).
Uvažujme libovolný bod M ležící na přímce p. Nakreslíme segmenty AM a VM. Trojúhelníky AOM a PTO jsou stejné, protože mají na vrcholu O rovné úhly, noha OM je společná a noha OA se podle podmínky rovná noze OB. Z rovnosti trojúhelníků AOM a PTO vyplývá, že AM = BM.
Příklad 3 V trojúhelníku ABC (viz obr. 4) AB = 10 cm, BC = 9 cm, AC = 7 cm; v trojúhelníku DEF DE = 7 cm, EF = 10 cm, FD = 9 cm.
Porovnejte trojúhelníky ABC a DEF. Najděte podle toho stejné úhly.
Řešení. Tyto trojúhelníky jsou stejné ve třetím atributu. V souladu s tím stejné úhly: A a E (leží proti stejným stranám BC a FD), B a F (leží proti stejným stranám AC a DE), C a D (leží proti stejným stranám AB a EF).
Příklad 4 Na obrázku 5 AB = DC, BC = AD, ∠B = 100°.
Najít úhel D.
Řešení. Uvažujme trojúhelníky ABC a ADC. Ve třetím kritériu jsou si rovny (AB = DC, BC = AD podle podmínky a strana AC je společná). Z rovnosti těchto trojúhelníků vyplývá, že ∠ В = ∠ D, ale úhel В je roven 100°, což znamená, že úhel D je roven 100°.
Příklad 5. V rovnoramenném trojúhelníku ABC se základnou AC je vnější úhel na vrcholu C 123°. Najděte úhel ABC. Uveďte svou odpověď ve stupních.
Video řešení.
První historici naší civilizace – staří Řekové – zmiňují Egypt jako místo narození geometrie. Je těžké s nimi nesouhlasit, protože víme, s jakou ohromující přesností byly obří hrobky faraonů vztyčeny. Vzájemné uspořádání rovin pyramid, jejich proporce, orientace ke světovým stranám - dosáhnout takové dokonalosti by bylo nemyslitelné bez znalosti základů geometrie.
Samotné slovo „geometrie“ lze přeložit jako „měření země“. Navíc slovo „země“ se nejeví jako planeta – část Sluneční Soustava ale jako letadlo. Označení ploch pro údržbu Zemědělství, s největší pravděpodobností je velmi původním základem vědy o geometrických tvarech, jejich typech a vlastnostech.
Trojúhelník je nejjednodušší prostorový útvar planimetrie, obsahuje pouze tři body - vrcholy (nikdy jich není méně). Základem základů je snad to, proč se v něm objevuje něco tajemného a prastarého. Vševidoucí oko uvnitř trojúhelníku je jedním z prvních známých okultních znamení a geografie jeho rozšíření a časový rámec jsou prostě úžasné. Od starověkých egyptských, sumerských, aztéckých a dalších civilizací až po modernější okultní komunity rozeseté po celém světě.
Co jsou trojúhelníky
Obyčejný všestranný trojúhelník je uzavřený geometrický obrazec, skládající se ze tří segmentů různých délek a tří úhlů, z nichž žádný není rovný. Kromě něj existuje několik speciálních typů.
Ostroúhlý trojúhelník má všechny úhly menší než 90 stupňů. Jinými slovy, všechny rohy takového trojúhelníku jsou ostré.
Pravoúhlý trojúhelník, nad kterým školáci neustále plakali kvůli množství teorémů, má jeden úhel o velikosti 90 stupňů nebo, jak se také říká, přímka.
Tupý trojúhelník se liší tím, že jeden z jeho rohů je tupý, to znamená, že jeho velikost je větší než 90 stupňů.
Rovnostranný trojúhelník má tři strany stejné délky. U takového obrázku jsou všechny úhly také stejné.
A nakonec v rovnoramenném trojúhelníku o tři strany dva jsou si rovni.
Charakteristické rysy
Vlastnosti rovnoramenného trojúhelníku určují i jeho hlavní, hlavní rozdíl – rovnost dvou stran. Tyto rovné strany se obvykle nazývají boky (nebo častěji strany), ale třetí strana se nazývá „základna“.
Na uvažovaném obrázku je a = b.
Druhé kritérium pro rovnoramenný trojúhelník vyplývá z věty o sinech. Protože jsou strany a a b stejné, sinus jejich opačných úhlů jsou také stejné:
a / sin γ = b / sin α, odkud máme: sin γ = sin α.
Z rovnosti sinů vyplývá rovnost úhlů: γ = α.
Druhým znakem rovnoramenného trojúhelníku je tedy rovnost dvou úhlů sousedících se základnou.
Třetí znamení. V trojúhelníku se rozlišují prvky jako výška, osa a medián.
Pokud se v procesu řešení problému ukáže, že v uvažovaném trojúhelníku se kterékoli dva z těchto prvků shodují: výška s osou; osa s mediánem; medián s výškou - můžeme definitivně usoudit, že trojúhelník je rovnoramenný.
Geometrické vlastnosti obrazce
1. Vlastnosti rovnoramenného trojúhelníku. Jednou z charakteristických vlastností obrázku je rovnost úhlů sousedících se základnou:
<ВАС = <ВСА.
2. Výše byla zvažována ještě jedna vlastnost: medián, půlka a výška v rovnoramenném trojúhelníku se shodují, pokud jsou postaveny od jeho vrcholu k základně.
3. Rovnost os natažených z vrcholů na základně:
Jestliže AE je osou úhlu BAC a CD je osou úhlu BCA, pak: AE = DC.
4. Vlastnosti rovnoramenného trojúhelníku zajišťují i rovnost výšek, které se kreslí z vrcholů na základně.
Sestrojíme-li výšky trojúhelníku ABC (kde AB = BC) z vrcholů A a C, pak se získané úsečky CD a AE budou rovnat.
5. Stejné budou také mediány nakreslené z rohů na základně.
Pokud jsou tedy AE a DC mediány, to znamená AD = DB a BE = EC, pak AE = DC.
Výška rovnoramenného trojúhelníku
Rovnost stran a úhlů v nich zavádí některé zvláštnosti při výpočtu délek prvků příslušného obrazce.
Výška v rovnoramenném trojúhelníku rozděluje obrazec na 2 symetrické pravoúhlé trojúhelníky, jejichž strany vyčnívají s přeponami. Výška je v tomto případě určena podle Pythagorovy věty jako noha.
Trojúhelník může mít všechny tři strany stejné, pak se nazývá rovnostranný. Výška v rovnostranném trojúhelníku se určuje stejným způsobem, pouze pro výpočty stačí znát pouze jednu hodnotu - délku strany tohoto trojúhelníku.
Výšku můžete určit jiným způsobem, například se znalostí základny a úhlu, který k ní přiléhá.
Medián rovnoramenného trojúhelníku
Uvažovaný typ trojúhelníku je vzhledem ke svým geometrickým vlastnostem řešen zcela jednoduše minimální sadou počátečních dat. Protože medián v rovnoramenném trojúhelníku je roven jak jeho výšce, tak jeho ose, algoritmus pro jeho určení se neliší od pořadí, ve kterém jsou tyto prvky počítány.
Můžete například určit délku mediánu podle známé boční strany a hodnoty vrcholového úhlu.
Jak určit obvod
Protože jsou obě strany uvažovaného planimetrického útvaru vždy stejné, stačí k určení obvodu znát délku podstavy a délku jedné ze stran.
Zvažte příklad, kdy potřebujete určit obvod trojúhelníku ze známé základny a výšky.
Obvod se rovná součtu základny a dvojnásobku délky strany. Laterální strana je zase definována pomocí Pythagorovy věty jako přepona pravoúhlého trojúhelníku. Jeho délka se rovná druhé odmocnině součtu druhé mocniny výšky a druhé mocniny poloviny základny.
Plocha rovnoramenného trojúhelníku
Zpravidla není obtížné vypočítat plochu rovnoramenného trojúhelníku. Univerzální pravidlo pro určení plochy trojúhelníku jako poloviny součinu základny a její výšky platí samozřejmě i v našem případě. Vlastnosti rovnoramenného trojúhelníku však úkol opět usnadňují.
Předpokládejme, že výška a úhel sousedící se základnou jsou známé. Je nutné určit oblast obrázku. Můžete to udělat tímto způsobem.
Protože součet úhlů jakéhokoli trojúhelníku je 180 °, není obtížné určit hodnotu úhlu. Dále pomocí podílu vytvořeného podle věty o sinech určíme délku základny trojúhelníku. K dispozici je vše, základna i výška – dostatek údajů pro určení plochy.
Další vlastnosti rovnoramenného trojúhelníku
Poloha středu kružnice opsané kolem rovnoramenného trojúhelníku závisí na velikosti vrcholového úhlu. Pokud je tedy rovnoramenný trojúhelník ostroúhlý, je střed kruhu umístěn uvnitř obrázku.
Střed kružnice, která je opsána kolem tupého rovnoramenného trojúhelníku, leží mimo ni. A konečně, pokud je úhel na vrcholu 90 °, střed leží přesně uprostřed základny a průměr kruhu prochází samotnou základnou.
K určení poloměru kružnice opsané rovnoramennému trojúhelníku stačí vydělit délku boční strany dvojnásobkem kosinusu poloviny hodnoty vrcholového úhlu.
Mezi všemi trojúhelníky existují dva speciální typy: pravoúhlé trojúhelníky a rovnoramenné trojúhelníky. Proč jsou tyto typy trojúhelníků tak zvláštní? No, za prvé, takové trojúhelníky se velmi často ukáží jako hlavní postavy úkolů USE v prvním díle. A za druhé, problémy s pravoúhlými a rovnoramennými trojúhelníky se řeší mnohem snadněji než jiné problémy v geometrii. Stačí znát pár pravidel a vlastností. Vše nejzajímavější je diskutováno v odpovídajícím tématu, ale nyní budeme uvažovat o rovnoramenných trojúhelníkech. A především, co je to rovnoramenný trojúhelník. Nebo, jak říkají matematici, jaká je definice rovnoramenného trojúhelníku?
Podívejte se, jak to vypadá:
Stejně jako pravoúhlý trojúhelník má i rovnoramenný trojúhelník speciální názvy pro své strany. Jsou nazývány dvě stejné strany boční strany a třetí strana je základ.
A znovu věnujte pozornost obrázku:
Může to být samozřejmě takto:
Buď opatrný: strana - jedna ze dvou stejných stran v rovnoramenném trojúhelníku a základem je třetí strana.
Proč je rovnoramenný trojúhelník tak dobrý? Abychom to pochopili, nakreslete výšku k základně. Pamatujete si, co je to výška?
Tak, co se stalo? Z jednoho rovnoramenného trojúhelníku vyšly dva obdélníkové.
To už je dobré, ale dopadne to tak v jakémkoliv „nejcoosbrálnějším“ trojúhelníku.
Jaký je rozdíl mezi obrázkem pro rovnoramenný trojúhelník? Podívej se znovu:
No, zaprvé, těmhle podivným matematikům samozřejmě nestačí jen vidět – musí to jistě dokázat. A pak se najednou tyto trojúhelníky mírně liší a budeme je považovat za stejné.
Ale nebojte se: v tomto případě je dokazování téměř stejně snadné jako vidět.
Začněme? Podívejte se pozorně, máme:
A to znamená! Proč? Ano, jen najdeme a az Pythagorovy věty (přitom si pamatujeme, že)
ujistil jste se? No, teď máme
A na třech stranách - nejjednodušší (třetí) znamení rovnosti trojúhelníků.
Náš rovnoramenný trojúhelník se rozdělil na dva stejné obdélníkové.
Vidíte, jak je to zajímavé? Ukázalo se že:
Jak je zvykem o tom mluvit mezi matematiky? Pojďme popořadě:
(Pamatujte si, že medián je čára vedená z vrcholu, který rozděluje stranu na polovinu, a osa je úhel.)
Zde jsme diskutovali o tom, co dobrého lze vidět, pokud dostaneme rovnoramenný trojúhelník. Odvodili jsme, že úhly na základně rovnoramenného trojúhelníku jsou stejné a výška, osa a medián nakreslené k základně se shodují.
A nyní vyvstává další otázka: jak poznat rovnoramenný trojúhelník? To je, jak říkají matematici, co jsou znaky rovnoramenného trojúhelníku?
A ukazuje se, že stačí všechna tvrzení naopak „otočit“. To samozřejmě neplatí vždy, ale i tak je rovnoramenný trojúhelník skvělá věc! Co se stane po „převrácení“?
No, podívej:
Pokud se výška a medián shodují, pak:
Pokud se výška a osička shodují, pak: 
Pokud se osa a medián shodují, pak:
No, nezapomeňte a použijte:
- Pokud dostanete rovnoramenný trojúhelníkový trojúhelník, klidně si nakreslete výšku, získejte dva pravoúhlé trojúhelníky a vyřešte úlohu o pravoúhlém trojúhelníku.
- Pokud to bude dáno dva úhly jsou stejné pak trojúhelník přesně tak rovnoramenný a můžete držet výšku a .... (Dům, který postavil Jack ...).
- Pokud se ukáže, že výška je na straně poloviční, pak je trojúhelník rovnoramenný se všemi z toho vyplývajícími bonusy.
- Pokud se ukáže, že výška rozdělila úhel na podlahy - také rovnoramenné!
- Pokud osa rozděluje stranu na polovinu nebo je středem úhel, stane se to také pouze v rovnoramenném trojúhelníku
Podívejme se, jak to vypadá v úkolech.
Problém 1(nejjednodušší)
V trojúhelníku jsou strany a stejné a. Nalézt.
rozhodujeme se:
Nejprve kresba.
Co je zde základem? Rozhodně, .
Pamatujeme si, že když, pak a.
Aktualizovaný výkres:
Označme podle. Jaký je součet úhlů tamního trojúhelníku? ?
Používáme:
To je Odpovědět: .
Není to těžké, že? Ani výška nebyla nutná.
Úkol 2(Také to není moc složité, ale musíte si téma zopakovat)
V trojúhelníku,. Nalézt.
rozhodujeme se:
Trojúhelník je rovnoramenný! Nakreslíme výšku (to je trik, s jehož pomocí se nyní vše vyřeší).
Nyní "vymažeme ze života", budeme pouze zvažovat.
Takže máme:
Pamatování si tabulkových hodnot cosinus (no, nebo pohled na cheat sheet ...)
Zbývá najít:.
Odpovědět: .
Všimněte si, že zde máme velmi požadované znalosti týkající se pravoúhlého trojúhelníku a "tabulkových" sinů a kosinů. Velmi často se to stává: témata, "rovnoramenný trojúhelník" a v hádankách jdou ve svazcích, ale s jinými tématy nejsou příliš přátelské.
Rovnoramenný trojúhelník. Průměrná úroveň.
Tyto dvě stejné strany se nazývají boční strany, a třetí strana je základna rovnoramenného trojúhelníku.
Podívejte se na obrázek: a - strany, - základna rovnoramenného trojúhelníku.
Pojďme pochopit na jednom obrázku, proč tomu tak je. Nakreslíme výšku od bodu.
To znamená, že mají stejné všechny odpovídající prvky.
Všechno! Na jeden zátah (výška) dokázali všechna tvrzení najednou.
A pamatujte si: k vyřešení problému s rovnoramenným trojúhelníkem je často velmi užitečné snížit výšku k základně rovnoramenného trojúhelníku a rozdělit jej na dva stejné pravoúhlé trojúhelníky.
Znaky rovnoramenného trojúhelníku
I obrácená tvrzení jsou pravdivá:
Téměř všechna tato tvrzení lze opět dokázat „na jeden zátah“.
1. Takže vpuštěné byly rovny a.
Nakreslíme výšku. Pak
2.a) Nyní vpusťte nějaký trojúhelník shoda výšky a osy.
2.b) A pokud se výška a medián shodují? Vše je téměř stejné, nic složitějšího!
 |
- na dvou nohách |
2.c) Ale pokud tam není výška, který je spuštěn na základnu rovnoramenného trojúhelníku, pak neexistují žádné původně pravoúhlé trojúhelníky. Špatně!
Ale existuje cesta ven - přečtěte si to na další úrovni teorie, protože zde je důkaz složitější, ale prozatím si pamatujte, že pokud se medián a bisector shodují, pak bude trojúhelník také rovnoramenný a výška bude se stále shodují s touto osou a mediánem.
Pojďme si to shrnout:
- Je-li trojúhelník rovnoramenný, pak jsou úhly na základně stejné a výška, osa a medián nakreslené k základně se shodují.
- Pokud jsou v některém trojúhelníku dva stejné úhly nebo se některé dvě ze tří přímek (sektor, střed, výška) shodují, pak je takový trojúhelník rovnoramenný.
Rovnoramenný trojúhelník. Stručný popis a základní vzorce
Rovnoramenný trojúhelník je trojúhelník, který má dvě stejné strany.
Známky rovnoramenného trojúhelníku:
- Pokud jsou v některém trojúhelníku dva úhly stejné, pak je rovnoramenný.
- Pokud se v nějakém trojúhelníku shodují:
A) výška a osička nebo
b) výška a medián nebo
proti) medián a osa,
nakreslený na jednu stranu, pak je takový trojúhelník rovnoramenný.
ZBÝVAJÍCÍ 2/3 ČLÁNKU JSOU K DISPOZICI POUZE PRO VAŠE CHYTRÉ STUDENTY!
Staňte se studentem YouClever,
Připravte se na OGE nebo USE v matematice za cenu "šálek kávy za měsíc",
A také získejte neomezený přístup k učebnici „YouClever“, školicímu programu „100gia“ (reshebnik), neomezené zkušební USE a OGE, 6000 problémů s analýzou řešení a k dalším službám YouClever a 100gia.
