المتجه. الخصائص الأساسية

تعريف تسمى المجموعة المرتبة (× 1 ، × 2 ، ... ، × ن) ن أرقام حقيقية ن ناقلات الأبعاد، والأرقام x i (i = 1، ...، n) هي عناصرأو إحداثيات

مثال. على سبيل المثال ، إذا كان على مصنع سيارات معين إنتاج 50 سيارة و 100 شاحنة و 10 حافلات و 50 مجموعة من قطع غيار السيارات و 150 مجموعة للشاحنات والحافلات لكل نوبة ، فيمكن كتابة برنامج الإنتاج لهذا المصنع في شكل متجه (50 ، 100 ، 10 ، 50 ، 150) يحتوي على خمسة مكونات.

الرموز. يتم الإشارة إلى المتجهات بأحرف صغيرة أو بأحرف صغيرة مع شريط أو سهم في الأعلى ، على سبيل المثال ، أأو . يتم استدعاء المتجهين مساوإذا كان لديهم نفس عدد المكونات والمكونات المقابلة لها متساوية.

لا يمكن تبديل مكونات المتجه ، على سبيل المثال ، (3 ، 2 ، 5 ، 0 ، 1) و (2 ، 3 ، 5 ، 0 ، 1) متجهات مختلفة.
العمليات على النواقل.ثانويةx= (x 1، x 2، ...، x n) برقم حقيقي λ يسمى المتجه λ x= (λ x 1، λ x 2، ...، λ x n).

المجموعx= (x 1، x 2، ...، x n) و ذ= (y 1، y 2، ...، y n) يسمى المتجه س + ص= (x 1 + y 1، x 2 + y 2، ...، x n + + y n).

مساحة النواقل.ن-الأبعاد ناقلات الفضاء صيتم تعريف n على أنها مجموعة من جميع المتجهات ذات الأبعاد n التي يتم من أجلها تحديد عمليات الضرب بالأرقام الحقيقية والإضافة.

التوضيح الاقتصادي. الرسم التوضيحي الاقتصادي للفضاء المتجه ثلاثي الأبعاد: مساحة البضائع (بضائع). تحت سلعةسوف نفهم بعض السلع أو الخدمات التي تم طرحها للبيع في وقت معين في مكان معين. لنفترض أن هناك عددًا محدودًا من العناصر في متناول اليد ، n ؛ تتميز كميات كل منها المشتراة من قبل المستهلك بمجموعة من السلع

x= (× 1 ، × 2 ، ... ، × ن) ،

حيث تشير x i إلى مقدار السلعة i التي اشتراها المستهلك. سنفترض أن جميع السلع لها خاصية القابلية التعسفية للقسمة ، بحيث يمكن شراء أي مبلغ غير سلبي لكل منها. إذن ، فإن جميع مجموعات البضائع الممكنة هي ناقلات لمساحة البضائع C = ( x= (x 1، x 2، ...، x n) x i 0، i = 1، ...، n).

الاستقلال الخطي. نظام ه 1 , ه 2 , ... , ه m ن نواقل الأبعاد يسمى تعتمد خطياإذا كانت هناك أرقام λ 1 ، λ 2 ، ... ، λ m بحيث يكون واحد منهم على الأقل غير صفري مثل λ 1 ه 1 + λ م هم = 0 ؛ خلاف ذلك ، يسمى هذا النظام من النواقل مستقل خطيا، أي أن المساواة المشار إليها ممكنة فقط في الحالة التي تكون فيها جميع λ 1 = λ 2 = ... = λ م = 0. المعنى الهندسي للاعتماد الخطي للمتجهات في ص 3 ، يتم تفسيرها على أنها شرائح موجهة ، اشرح النظريات التالية.

نظرية 1. النظام الذي يتكون من متجه واحد يعتمد خطيًا إذا وفقط إذا كان هذا المتجه صفرًا.

نظرية 2. من أجل أن يكون متجهان معتمدين خطيًا ، من الضروري والكافي أن يكونا متصلين (متوازيين).

نظرية 3 ... لكي تعتمد ثلاثة نواقل خطيًا ، من الضروري والكافي أن تكون متحد المستوى (تقع في نفس المستوى).

ثلاثة توائم اليسار واليمين من النواقل. ثلاثة نواقل غير متحد المستوى أ ، ب ، جاتصل الصحيحإذا اجتاز المراقب من أصلهم المشترك نهايات المتجهات أ ، ب ، جبالترتيب الموضح ، يبدو أنه في اتجاه عقارب الساعة. غير ذلك أ ، ب ، ج -ثلاثة أضعاف اليسار... يتم استدعاء كل ثلاثة توائم من المتجهات اليمنى (أو اليسرى) بالتساوي الموجهة.

الأساس والإحداثيات. الترويكا ه 1, ه 2 , ه 3 نواقل غير متحد المستوى في ص 3 يسمى أساس، والناقلات أنفسهم ه 1, ه 2 , ه 3 - أساسي... أي ناقل أيمكن توسيعها بشكل فريد من حيث متجهات الأساس ، أي ممثلة في النموذج

أ= س 1 ه 1 + × 2 ه 2 + × 3 ه 3, (1.1)

تسمى الأرقام × 1 ، × 2 ، × 3 في التوسع (1.1) إحداثياتأفي الأساس ه 1, ه 2 , ه 3 ويشار إليها أ(× 1 ، × 2 ، × 3).

أساس متعامد. إذا كانت النواقل ه 1, ه 2 , ه 3 هي زوجية متعامدة وطول كل منهما يساوي واحدًا ، ثم يسمى الأساس متعامد، والإحداثيات × 1 ، × 2 ، × 3 - مستطيلي.سيتم الإشارة إلى ناقلات الأساس للأساس المتعامد بواسطة أنا ، ي ، ك.

سوف نفترض ذلك في الفضاء ص 3 يتم تحديد النظام الصحيح للإحداثيات المستطيلة الديكارتية (0 ، أنا ، ي ، ك}.

المنتج المتجه.المنتج المتجهألكل متجه بيسمى ناقل ج، والتي تحددها الشروط الثلاثة التالية:

1. طول المتجه جيساوي عدديًا مساحة متوازي الأضلاع المبنية على المتجهات أو ب،بمعنى آخر.
ج= | أ || ب |الخطيئة ( أ^ب).

2. المتجهات جعمودي على كل من النواقل أو ب.

3. النواقل أ، بو جمأخوذة بالترتيب المشار إليه من ثلاثة توائم أيمن.

لمنتج ناقل جتم تقديم التدوين ج =[أب] أو
ج = أ × ب.

إذا كانت النواقل أو بخطية متداخلة ، ثم الخطيئة ( أ ^ ب) = 0 و [ أب] = 0 ، على وجه الخصوص ، [ أأ] = 0. منتجات المتجهات لمتجهات الوحدة: [ اي جاي]=ك، [كيه] = أنا, [كي]=ي.

إذا كانت النواقل أو بنظرا في الأساس أنا ، ي ، كإحداثيات أ(أ 1 ، أ 2 ، أ 3) ، ب(ب 1 ، ب 2 ، ب 3) ، إذن

عمل مختلط. إذا كان حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهين أو بالعددية مضروبة في المتجه الثالث ج ،ثم يسمى هذا المنتج من ثلاثة نواقل عمل مختلطويشار إليه بالرمز أ ب ج.

إذا كانت النواقل أ ، بو جفي الأساس أنا ، ي ، كمن خلال إحداثياتهم
أ(أ 1 ، أ 2 ، أ 3) ، ب(ب 1 ، ب 2 ، ب 3) ، ج(ج 1 ، ج 2 ، ج 3) ، إذن

.

المنتج المختلط له تفسير هندسي بسيط - إنه عدد قياسي يساوي في القيمة المطلقة حجم خط متوازي مبني على هذه المتجهات الثلاثة.

إذا كانت المتجهات تشكل ثلاثيًا يمينًا ، فإن منتجها المختلط هو رقم موجب يساوي الحجم المشار إليه ؛ إذا كان الثلاثة أ ، ب ، ج -غادر ، إذن أ ب ج<0 и V = - أ ب ج، لذلك V = | أ ب ج |.

من المفترض أن يتم إعطاء إحداثيات المتجهات التي تمت مواجهتها في مشاكل الفصل الأول فيما يتعلق بالقاعدة الصحيحة المتعامدة. ناقل الوحدة اتجاهي إلى ناقل أ،يرمز لها بالرمز أس. رمز ص=أوميُشار إليها بواسطة متجه نصف قطر النقطة M ، الرموز a ، AB أو | أ |, |AB |وحدات النواقل أو AB.

مثال 1.2. أوجد الزاوية بين المتجهات أ= 2م+4نو ب= م ن، أين مو ن -متجهات الوحدة والزاوية بينهما مو نيساوي 120 ص.

المحلول... لدينا: cos φ = أب/ أب ، أب =(2م+4ن) (م ن) = 2م 2 - 4ن 2 +2مليون=
= 2-4 + 2cos120 o = - 2 + 2 (-0.5) = -3 ؛ أ = ؛ أ 2 = (2م+4ن) (2م+4ن) =
= 4م 2 +16مليون+16ن 2 = 4 + 16 (-0.5) + 16 = 12 ، لذا أ =. ب = ؛ ب 2 =
= (م ن)(م ن) = م 2 -2مليون+ن 2 = 1-2 (-0.5) +1 = 3 ، لذا ب =. أخيرًا ، لدينا: cos φ == -1/2 ، φ = 120 o.

مثال 1.3.معرفة النواقل AB(-3 ، -2.6) و قبل الميلاد(-2،4،4) ، احسب طول ارتفاع AD للمثلث ABC.

المحلول... للدلالة على منطقة المثلث ABC عبر S ، نحصل على:
S = 1/2 ق.م. ثم AD = 2S / BC ، BC = = = 6,
S = 1/2 | AB ×AC |. AC = AB + BC، وبالتالي فإن المتجه تيار مترددإحداثيات
.

تعريف

المتجه(من اللات. " المتجه"-" تحمل ") - جزء موجه من خط مستقيم في الفضاء أو على مستوى.

بيانياً ، يُصوَّر المتجه على أنه قطعة خطية موجهة بطول معين. المتجه ، الذي يكون بدايته عند نقطة ، والنهاية عند نقطة ما ، يُرمز له (الشكل 1). أيضًا ، يمكن الإشارة إلى المتجه بحرف صغير واحد ، على سبيل المثال ،.

إذا تم تحديد نظام إحداثيات في الفضاء ، فيمكن تحديد المتجه بشكل فريد من خلال مجموعة من إحداثياته. بمعنى ، يُفهم المتجه على أنه كائن له مقدار (طول) واتجاه ونقطة تطبيق (بداية المتجه).

ظهرت بدايات حساب المتجهات في أعمال عام 1831 في أعمال عالم الرياضيات والميكانيكي والفيزيائي والفلكي والمساح الألماني يوهان كارل فريدريش جاوس (1777-1855). نُشر عالم الرياضيات والميكانيكي والفيزيائي النظري السير ويليام روان هاملتون (1805-1865) الأعمال المتعلقة بالعمليات مع النواقل في إطار حساب التفاضل والتكامل الخاص به. اقترح العالم مصطلح "ناقل" ووصف بعض العمليات على النواقل. تم تطوير حساب المتجهات بشكل أكبر بفضل العمل على الكهرومغناطيسية من قبل الفيزيائي البريطاني وعالم الرياضيات والميكانيكي جيمس كليرك ماكسويل (1831-1879). في ثمانينيات القرن التاسع عشر ، تم نشر كتاب "عناصر تحليل المتجهات" بواسطة الفيزيائي الأمريكي ، الفيزيائي والرياضيات والميكانيكي يوشيا ويلارد جيبس ​​(1839-1903). تم وصف تحليل النواقل الحديث في عام 1903 من قبل العالم الإنجليزي ، والمهندس ، والرياضيات والفيزيائي أوليفر هيفيسايد (1850-1925).

تعريف

طولأو وحدة المتجهاتهو طول المقطع الموجه الذي يحدد المتجه. يشار إليه باسم.

الأنواع الأساسية من النواقل

ناقل صفرهو متجه تتطابق نقطة البداية مع نقطة النهاية. طول المتجه الصفري يساوي صفرًا.

يتم استدعاء المتجهات الموازية لخط مستقيم واحد أو التي تقع على خط مستقيم واحد علاقة خطية متداخلة(الصورة 2).

شارك في الإخراجإذا كانت اتجاهاتهم هي نفسها.

في الشكل 2 ، هذه هي نواقل و. يشار إلى الاتجاه المشترك للمتجهات على النحو التالي:

يتم استدعاء متجهين خطيين موجه بشكل معاكسإذا كانت اتجاهاتهم معاكسة.

في الشكل 3 ، هذه هي نواقل و. تعيين:.

ثلاثة أبعاد... أجراءاتفي الاعلىثلاثة أبعاد. العددية،

ناقلات ، منتج مختلط من ناقلات.

1. المتجهات ، الإجراءات على المتجهات.

التعاريف الأساسية.

التعريف 1.تسمى الكمية التي تتميز بقيمتها العددية في نظام الوحدات المختار العدديةأو العددية .

(وزن الجسم ، الحجم ، الوقت ، إلخ.)

التعريف 2.كمية تتميز بقيمة رقمية واتجاه يسمى المتجه أو المتجه .

(الإزاحة ، القوة ، السرعة ، إلخ.)

التعيينات: ، أو ،.

المتجه الهندسي هو خط اتجاهي.

للناقل - نقطة أ- نقطة البداية الخامس- نهاية المتجه.

التعريف 3.وحدة المتجه هو طول القطعة AB.

التعريف 4.يسمى المتجه الذي يساوي معامله صفرًا صفر , محدد بواسطة.

التعريف 5.يتم استدعاء المتجهات الموجودة على خطوط متوازية أو على خط واحد علاقة خطية متداخلة ... إذا كان هناك متجهان خطيان لهما نفس الاتجاه ، فسيتم استدعاؤهما شارك في الإخراج .

التعريف 6.يتم النظر في نواقل اثنين مساو ، اذا هم شارك في الإخراج ومتساوية في القيمة المطلقة.

الإجراءات على النواقل.

1) إضافة نواقل.

ديف. 6.المجموع متجهين وهو قطري متوازي الأضلاع المبني على هذه المتجهات ، بدءًا من النقطة المشتركة لتطبيقها (قاعدة متوازي الأضلاع).

رسم بياني 1.

ديف. 7.مجموع النواقل الثلاثة ، ، يسمى قطري خط الموازي المبني على هذه المتجهات (حكم مربع).

ديف. ثمانية.إذا أ, الخامس, مع - نقاط عشوائية ، ثم + = (قاعدة المثلث).

الصورة 2

خصائص الإضافة.

1 ا . + = + (قانون انتقالي).

2 ا . + (+) = (+) + = (+) + (قانون الجمع).

3 ا . + (– ) + .

2) طرح النواقل.

ديف. 9.تحت اختلاف المتجهات وفهم المتجهات = - مثل هذا + = .

في متوازي الأضلاع ، هذا شيء آخر قطري SD (انظر الشكل 1).

3) ضرب متجه برقم.

ديف. 10. ثانوية نواقل لكل عددي ك يسمى ناقل

= ك = ك ,

طويل كا , واتجاهها:

1.يتوافق مع اتجاه المتجه إذا ك > 0;

2. عكس اتجاه المتجه ، إذا ك < 0;

3. تعسفيا إذا ك = 0.

خصائص ضرب متجه في رقم.

1 ا . (ك + ل ) = ك + ل .

ك ( + ) = ك + ك .

2 ا . ك (ل ) = (كوالا لمبور ) .

3 ا . 1  = , (–1)  = – , 0  = .

خصائص المتجه.

ديف. أحد عشر.نواقل اثنين ويسمى علاقة خطية متداخلة إذا كانت موجودة في خطوط متوازيةاو عند خط مستقيم واحد.

المتجه الصفري تربطه علاقة خطية بأي متجه.

نظرية 1.اثنين من النواقل غير الصفرية و خطية متداخلة  عندما تكون متناسبة أي

= ك , ك هو عددي.

ديف. 12.ثلاثة نواقل ،، تسمى متحد المستوى إذا كانت موازية لمستوى ما أو تكمن فيه.

نظرية 2.ثلاثة نواقل غير صفرية ، متحد المستوى  عندما يكون أحدهما مزيجًا خطيًا من الاثنين الآخرين ، أي

= ك + ل , ك , ل - عددي.

إسقاط المتجه على المحور.

نظرية 3.إسقاط متجه على محور (خط مستقيم موجه) ليساوي حاصل ضرب طول المتجه وجيب الزاوية بين اتجاه المتجه واتجاه المحور ، أي = أ  جنظام التشغيل  ,  = ( , ل).

2. تنسيق المتجهات

ديف. ثلاثة عشر.إسقاطات المتجهات على محاور الإحداثيات أوه, OU, Оzوتسمى إحداثيات ناقلات. التعيين:  أ x , أ ذ , أ ض .

طول المتجه:

مثال:احسب طول المتجه.

المحلول:

المسافة بين النقاط و محسوبة بالصيغة: .

مثال:أوجد المسافة بين النقطتين M (2،3، -1) و K (4،5،2).

الإجراءات على المتجهات في شكل تنسيق.

النواقل المعطاة =  أ x , أ ذ , أ ض و =  ب x , ب ذ , ب ض .

1. (  )= أ x  ب x , أ ذ  ب ذ , أ ض  ب ض .

2.  =   أ x ,  أ ذ ,  أ ض أين  هو عددي.

حاصل الضرب النقطي للناقلات.

تعريف:تحت حاصل الضرب القياسي لمتجهين و

يُفهم على أنه رقم يساوي حاصل ضرب أطوال هذه المتجهات بواسطة جيب التمام للزاوية بينهما ، أي = , هي الزاوية بين المتجهات و.

خصائص المنتج نقطة:

1.  =

2. ( + ) =

3.

4.

5. ، أين العددية.

6- يوجد متجهان عموديان (متعامدان) إذا .

7. if وفقط إذا .

حاصل الضرب النقطي في شكل الإحداثيات هو: , اين و .

مثال:أوجد حاصل الضرب القياسي للمتجهات و

المحلول:

ناقلات عقد ناقلات.

تعريف: يُفهم المنتج المتجه لمتجهين على أنه متجه له:

المعامل يساوي مساحة متوازي الأضلاع المبنية على هذه المتجهات ، أي ، حيث الزاوية بين المتجهات و

هذا المتجه عمودي على المتجهات التي يتم ضربها ، أي

إذا لم تكن المتجهات على خط واحد ، فإنها تشكل المثلث الأيمن من المتجهات.

خصائص المنتج المتجه:

(1) عندما يتغير ترتيب العوامل ، يغير المنتج المتجه علامته إلى العكس ، مع الحفاظ على المعامل ، أي

2 .مربع المتجه يساوي متجه الصفر ، أي.

3 يمكن نقل العامل القياسي خارج علامة المنتج المتجه ، أي

4 لأي ثلاثة ناقلات ، المساواة

5 شرط ضروري وكافي للعلاقة الخطية المتداخلة بين متجهين و:

منتج متجه في شكل تنسيق.

إذا كانت إحداثيات المتجهات و , ثم يتم العثور على ناتجها المتقاطع بالصيغة:

.

ثم من تعريف المنتج المتجه ، يتبع ذلك أن مساحة متوازي الأضلاع مبنية على المتجهات وتحسب بالصيغة:

مثال:احسب مساحة المثلث ذي الرؤوس (1 ؛ -1 ؛ 2) ، (5 ؛ -6 ؛ 2) ، (1 ؛ 3 ؛ -1).

المحلول: .

ثم يتم حساب مساحة المثلث ABC على النحو التالي:

,

منتج مختلط من النواقل.

تعريف:المنتج المختلط (المتجه الحجمي) للمتجهات هو رقم تحدده الصيغة: .

خصائص العمل المختلطة:

1. لا يتغير المنتج المختلط في ظل التقليب الدوري لعوامله ، أي .

2. عند تبديل عاملين متجاورين ، يغير المنتج المختلط علامته إلى العكس ، أي ...

3 شرط ضروري وكافٍ لتوحيد ثلاثة نواقل : =0.

4 الناتج المختلط لثلاثة نواقل يساوي حجم خط الموازي المبني على هذه المتجهات ، مأخوذ بعلامة زائد إذا كانت هذه المتجهات تشكل ثلاثية يمنى ، وبعلامة ناقص إذا كانت تشكل ثلاثية يسرى ، أي .

إذا كان معروفا إحداثياتثلاثة أبعاد , ثم يتم العثور على العمل المختلط بالصيغة:

مثال:احسب حاصل ضرب المتجهات المختلط.

المحلول:

3. أساس نظام النواقل.

تعريف.يُفهم نظام النواقل على أنه عدة نواقل تنتمي إلى نفس المكان ص.

تعليق.إذا كان النظام يتكون من عدد محدود من المتجهات ، فسيتم الإشارة إليها بالحرف نفسه مع مؤشرات مختلفة.

مثال.

تعريف. أي متجه للنموذج = تسمى مجموعة خطية من النواقل. الأرقام هي معاملات التركيبة الخطية.

مثال. .

تعريف... إذا كان المتجه عبارة عن مجموعة خطية من المتجهات , ثم يتم التعبير عن المتجه خطيًا من حيث المتجهات .

تعريف.يسمى نظام المتجه مستقل خطياإذا لم يكن أي من متجهات النظام يمكن أن يكون مثل تركيبة خطية لبقية المتجهات. خلاف ذلك ، يسمى النظام التابع خطيًا.

مثال... نظام فيكتور تعتمد خطيًا ، منذ المتجه .

تحديد الأساس.يشكل نظام النواقل الأساس إذا:

1) مستقل خطيًا ،

2) يتم التعبير عن أي متجه للفضاء خطيًا من خلاله.

مثال 1.أساس الفضاء:.

2. في نظام النواقل النواقل هي الأساس: يتم التعبير عنها خطيًا من حيث المتجهات.

تعليق.للعثور على أساس نظام ناقل معين ، تحتاج إلى:

1) اكتب إحداثيات المتجهات في المصفوفة ،

2) باستخدام التحويلات الأولية لإحضار المصفوفة إلى شكل مثلث ،

3) ستكون الصفوف غير الصفرية من المصفوفة أساس النظام ،

4) عدد المتجهات في الأساس يساوي رتبة المصفوفة.

ستكون هناك مهام لـ قرار مستقلالتي يمكنك رؤية الإجابات عليها.

مفهوم المتجهات

قبل أن تتعلم كل شيء عن المتجهات والعمليات عليها ، قم بضبط حل مشكلة بسيطة. هناك متجه لريادة الأعمال الخاصة بك وناقل لقدراتك الإبداعية. يقودك ناقل ريادة الأعمال إلى الهدف 1 ، ويؤدي ناقل القدرات الابتكارية إلى الهدف 2. قواعد اللعبة بحيث لا يمكنك التحرك في اتجاهات هذين الاتجاهين في وقت واحد وتحقيق هدفين في وقت واحد. تتفاعل النواقل ، أو ، من الناحية الرياضية ، يتم تنفيذ بعض العمليات على المتجهات. نتيجة هذه العملية هي متجه "النتيجة" ، الذي يقودك إلى الهدف 3.

أخبرني الآن: نتيجة أي عملية على المتجهين "المؤسسة" و "القدرات المبتكرة" هي "النتيجة" المتجه؟ إذا كنت لا تستطيع معرفة ذلك على الفور ، فلا تثبط عزيمتك. أثناء تقدمك في هذا الدرس ، ستتمكن من الإجابة على هذا السؤال.

كما رأينا أعلاه ، فإن المتجه ينتقل بالضرورة من نقطة ما أفي خط مستقيم إلى نقطة ما ب... لذلك ، ليس لكل متجه قيمة عددية - طول ، ولكن أيضًا اتجاهية فيزيائية وهندسية. هذا يؤدي إلى التعريف الأول والأبسط للمتجه. إذن ، المتجه هو مقطع موجه من نقطة أالى حد، الى درجة ب... يتم تعيينها على النحو التالي:.

والبدء بشكل مختلف عمليات ناقلات ، نحن بحاجة للتعرف على تعريف متجه آخر.

المتجه هو نوع من تمثيل النقطة التي تريد الوصول إليها من نقطة البداية. على سبيل المثال ، عادةً ما يتم كتابة المتجه ثلاثي الأبعاد كـ (س ، ص ، ض) . بكل بساطة ، تمثل هذه الأرقام المسافة التي يستغرقها السفر في ثلاثة اتجاهات مختلفة للوصول إلى نقطة ما.

دع المتجه يعطى. حيث x = 3 (يشير اليد اليمنى إلى اليمين) ذ = 1 (يشير اليد اليسرى إلى الأمام) ض = 5 (تحت النقطة يوجد درج يؤدي إلى الأعلى). وبحسب هذه البيانات ، ستجد نقطة بالمشي 3 أمتار في الاتجاه المشار إليه باليد اليمنى ، ثم مترًا واحدًا في الاتجاه المشار إليه باليد اليسرى ، ثم ينتظرك درج ، وتسلق 5 أمتار ، ستتمكن أخيرًا تجد نفسك في النقطة الأخيرة.

جميع المصطلحات الأخرى عبارة عن تنقيحات للشرح أعلاه ، وهي ضرورية للعمليات المختلفة على المتجهات ، أي حل المشكلات العملية. لنستعرض هذه التعريفات الأكثر صرامة ، ونركز على مشاكل المتجهات النموذجية.

أمثلة فيزيائيةيمكن أن تكون الكميات المتجهة هي إزاحة نقطة مادية تتحرك في الفضاء ، وسرعة هذه النقطة وتسارعها ، بالإضافة إلى القوة المؤثرة عليها.

متجه هندسيمقدمة في فضاء ثنائي الأبعاد وثلاثي الأبعاد بالشكل قطعة اتجاهية... هذا مقطع يميز بين البداية والنهاية.

إذا أهي بداية المتجه ، و ب- نهايتها ، ثم يتم الإشارة إلى المتجه برمز أو حرف صغير واحد. في الشكل ، يُشار إلى نهاية المتجه بسهم (الشكل 1)

طول(أو وحدة) من المتجه الهندسي هو طول المقطع الذي يولده

يتم استدعاء المتجهين مساو ، إذا كان من الممكن محاذاتها (إذا كانت الاتجاهات متطابقة) عن طريق النقل الموازي ، أي إذا كانا متوازيين ، فأشر في نفس الاتجاه ولهما أطوال متساوية.

في الفيزياء ، غالبًا ما يتم النظر فيه ناقلات راسيةتعطى من خلال نقطة التطبيق والطول والاتجاه. إذا كانت نقطة تطبيق المتجه غير مهمة ، فيمكن نقلها ، مع الحفاظ على الطول والاتجاه إلى أي نقطة في الفضاء. في هذه الحالة ، يتم استدعاء المتجه مجانا... سوف نتفق على النظر فقط ناقلات مجانية.

العمليات الخطية على المتجهات الهندسية

ضرب متجه برقم

نتاج ناقل من خلال الرقميسمى متجه تم الحصول عليه من متجه عن طريق التمدد (عند) أو الضغط (في) مرات ، ويتم الحفاظ على اتجاه المتجه ، إذا ، ويتغير إلى العكس ، إذا. (الصورة 2)

ويترتب على التعريف أن المتجهات و = تقع دائمًا على خط واحد أو على خطوط متوازية. تسمى هذه النواقل علاقة خطية متداخلة... (يمكنك أيضًا أن تقول أن هذه المتجهات متوازية ، ولكن في الجبر المتجه من المعتاد أن تقول "خطية متداخلة".) والعكس صحيح أيضًا: إذا كانت المتجهات وخطية متداخلة ، فهي مرتبطة بالعلاقة

لذلك ، تعبر المساواة (1) عن حالة العلاقة الخطية المتداخلة لمتجهين.

جمع وطرح المتجهات

عند إضافة المتجهات ، عليك أن تعرف ذلك مجموعالمتجهات ويسمى متجهًا ، تتزامن بدايتها مع بداية المتجه ، والنهاية - مع نهاية المتجه ، بشرط أن تكون بداية المتجه مرتبطة بنهاية المتجه. (تين. 3)

يمكن توزيع هذا التعريف على أي عدد محدود من النواقل. دعونا نعطي مساحة نناقلات مجانية. عند إضافة عدة متجهات ، يتم أخذ متجه الإغلاق كمجموع لها ، وتتزامن بدايتها مع بداية المتجه الأول ، والنهاية - مع نهاية المتجه الأخير. أي إذا قمت بإرفاق بداية المتجه بنهاية المتجه ، وبداية المتجه بنهاية المتجه ، إلخ. وأخيرًا ، حتى نهاية المتجه - بداية المتجه ، ثم يكون مجموع هذه المتجهات هو متجه الإغلاق التي تتزامن بدايتها مع بداية المتجه الأول ، والنهاية - مع نهاية المتجه الأخير. (الشكل 4)

تسمى المصطلحات مكونات المتجه ، والقاعدة المصاغة هي قاعدة المضلع... قد لا يكون هذا المضلع مسطحًا.

عندما تضرب متجهًا في -1 ، تحصل على المتجه المعاكس. المتجهات ولها نفس الطول واتجاهات متعاكسة. مجموعهم يعطي ناقل صفرطوله صفر. اتجاه المتجه الصفري غير محدد.

في الجبر المتجه ، ليست هناك حاجة للنظر بشكل منفصل في عملية الطرح: طرح المتجه من المتجه يعني إضافة المتجه المعاكس إلى المتجه ، أي

مثال 1.تبسيط التعبير:

.

,

وهذا يعني أنه يمكن إضافة المتجهات وضربها في الأرقام بنفس طريقة كثيرات الحدود (على وجه الخصوص ، المهام المتعلقة بتبسيط التعبيرات). عادة ، تنشأ الحاجة إلى تبسيط التعبيرات المتشابهة خطيًا مع المتجهات قبل حساب حاصل ضرب المتجهات.

مثال 2.المتجهات وتكون بمثابة الأقطار لمتوازي الأضلاع ABCD (الشكل 4 أ). اكتب بدلالة كلا المتجهين ، وأيهما أضلاع متوازي الأضلاع هذا.

المحلول. تقسم نقطة تقاطع قطري متوازي الأضلاع كل قطري إلى نصفين. نجد أطوال المتجهات المطلوبة في بيان المشكلة إما بنصف مجاميع المتجهات التي تشكل مثلثًا مع العناصر المرغوبة ، أو كنصف الاختلافات (اعتمادًا على اتجاه المتجه الذي يعمل كقطري) ، أو مثل في الحالة الأخيرة ، يتم أخذ نصف المبلغ بعلامة ناقص. والنتيجة هي المتجهات المطلوبة في بيان المشكلة:

هناك كل الأسباب للاعتقاد بأنك قد أجبت الآن بشكل صحيح على السؤال حول متجهات ريادة الأعمال والقدرة الابتكارية في بداية هذا الدرس. الإجابة الصحيحة: يتم إجراء عملية الجمع على هذه النواقل.

قم بحل مشاكل المتجهات بنفسك ثم ابحث عن الحلول

كيف تجد طول مجموع المتجهات؟

تأخذ هذه المهمة مكانًا خاصًا في عمليات المتجهات ، حيث إنها تتضمن استخدام الخصائص المثلثية. لنفترض أنك صادفت مهمة مثل ما يلي:

بالنظر إلى أطوال المتجهات وطول مجموع هذه المتجهات. أوجد طول الفرق بين هذين المتجهين.

حلول لهذا وغيره مهام مماثلةوشرح كيفية حلها - في الدرس " إضافة المتجهات: متجه طول مجموع ونظرية جيب التمام ".

ويمكنك التحقق من حل مثل هذه المشاكل على آلة حاسبة على الإنترنت "جانب غير معروف من المثلث (إضافة متجه ونظرية جيب التمام)" .

أين هي منتجات النواقل؟

لا تعتبر منتجات المتجه بخط المتجه عمليات خطية ويتم اعتبارها منفصلة. ولدينا دروس حول المنتج النقطي للمتجهات والمتجهات والمنتج المختلط للمتجهات.

إسقاط متجه على محور

يساوي إسقاط المتجه على المحور حاصل ضرب طول المتجه المسقط بواسطة جيب تمام الزاوية بين المتجه والمحور:

كما تعلم ، إسقاط النقطة أعلى خط مستقيم (مستوى) هي قاعدة العمود العمودي المسقط من هذه النقطة على خط مستقيم (مستوى).

اسمحوا أن يكون ناقل تعسفي (الشكل 5) ، وتكون توقعات بدايته (النقاط أ) والنهاية (النقاط ب) لكل محور ل... (لإنشاء إسقاط لنقطة أ) على خط مستقيم يمر بالنقطة أالمستوى العمودي على الخط المستقيم. سيحدد تقاطع الخط والمستوى الإسقاط المطلوب.

مكون المتجه على المحور L.يسمى متجهًا يقع على هذا المحور ، حيث تتزامن بدايته مع إسقاط البداية ، والنهاية - مع إسقاط نهاية المتجه.

إسقاط المتجه على المحور لدعا الرقم

,

يساوي طول متجه المكون على هذا المحور ، مأخوذ بعلامة زائد ، إذا كان اتجاه المكونات يتطابق مع اتجاه المحور ل، وبعلامة الطرح إذا كانت هذه الاتجاهات معاكسة.

الخصائص الأساسية لإسقاطات المتجهات على المحور:

1. إسقاطات المتجهات المتساوية على نفس المحور متساوية مع بعضها البعض.

2. عند ضرب متجه في رقم ، يتم ضرب إسقاطه في نفس الرقم.

3. إسقاط مجموع المتجهات على أي محور يساوي مجموع إسقاطات موجات المتجهات على نفس المحور.

4. إسقاط المتجه على المحور يساوي حاصل ضرب طول المتجه المسقط بواسطة جيب تمام الزاوية بين المتجه والمحور:

.

المحلول. نواقل المشروع على المحور لعلى النحو المحدد في الخلفية النظرية أعلاه. يتضح من الشكل 5 أ أن إسقاط مجموع المتجهات يساوي مجموع إسقاطات المتجهات. نحسب هذه التوقعات:

أوجد الإسقاط النهائي لمجموع المتجهات:

علاقة المتجه بنظام إحداثيات ديكارتي مستطيل في الفضاء

التعارف مع حدث نظام إحداثيات ديكارتية مستطيل الشكل في الفضاء في الدرس المقابل، من المستحسن فتحه في نافذة جديدة.

في نظام إحداثيات مرتب 0xyzمحور ثوراتصل الإحداثي السينيالمحور 0 س – المحور صوالمحور 0z – تطبيق المحور.

بنقطة اعتباطية مالفضاء نربط المتجه

اتصل ناقلات نصف قطرهانقاط موقم بإسقاطها على كل من محاور الإحداثيات. دعونا نشير إلى قيم الإسقاطات المقابلة:

أعداد س ، ص ، ضوتسمى إحداثيات النقطة م، على التوالى الإحداثي السيني, تنسيقو تطبيق، ويتم كتابتها كنقطة أرقام مرتبة: م (س ، ص ، ض)(الشكل 6).

يسمى متجه طول الوحدة ، الذي يتزامن اتجاهه مع اتجاه المحور حتى النصر(أو تقويم) المحور. دعونا نشير بواسطة

وفقًا لذلك ، نواقل الوحدة لمحاور الإحداثيات ثور, أوي, أوز

نظرية.يمكن توسيع أي متجه على طول متجهات الوحدة لمحاور الإحداثيات:

(2)

المساواة (2) تسمى توسيع المتجه على طول محاور الإحداثيات. معاملات هذا التمدد هي إسقاطات المتجه على محاور الإحداثيات. وبالتالي ، فإن معاملات التمدد (2) للمتجه على طول محاور الإحداثيات هي إحداثيات المتجه.

بعد اختيار نظام إحداثيات معين في الفضاء ، يحدد المتجه وثلاثي إحداثياته ​​بشكل فريد بعضهما البعض ، بحيث يمكن كتابة المتجه في النموذج

تمثيلات المتجه في الشكل (2) و (3) متطابقة.

شرط العلاقة الخطية المتداخلة للمتجهات في الإحداثيات

كما لاحظنا بالفعل ، تسمى المتجهات تربطها علاقة خطية متداخلة

دعونا نواقل ... تكون هذه المتجهات على خط واحد إذا كانت إحداثيات المتجهات مرتبطة بالعلاقة

,

أي أن إحداثيات المتجهات متناسبة.

مثال 6.نواقل معينة ... هل هذه النواقل متصلة؟

المحلول. لنكتشف نسبة إحداثيات هذه المتجهات:

.

إحداثيات المتجهات متناسبة ، وبالتالي ، فإن المتجهات تكون خطية ، أو متوازية ، وهي نفسها.

طول المتجه وجيب التمام الاتجاه

بسبب العمودية المتبادلة لمحاور الإحداثيات ، طول المتجه

يساوي طول قطري خط متوازي مستطيل مبني على متجهات

ويعبر عنها بالمساواة

(4)

يتم تعريف المتجه بالكامل من خلال تحديد نقطتين (البداية والنهاية) ، لذلك يمكن التعبير عن إحداثيات المتجه من حيث إحداثيات هذه النقاط.

دعنا ، في نظام إحداثيات معين ، يكون أصل المتجه عند النقطة

والنهاية عند النقطة

من المساواة

يتبع ذلك

أو في شكل تنسيق

لذلك، إحداثيات المتجه تساوي الاختلافات في إحداثيات نفس اسم النهاية وبداية المتجه ... الصيغة (4) في هذه الحالة تأخذ الشكل

يتم تحديد اتجاه المتجه بواسطة جيب التمام الاتجاه ... هذه هي جيب تمام الزوايا التي يشكلها المتجه مع المحاور ثور, أويو أوز... دعونا نشير إلى هذه الزوايا على التوالي α , β و γ ... ثم يمكن إيجاد جيب تمام هذه الزوايا من خلال الصيغ

جيب التمام الاتجاهي للمتجه هي أيضًا إحداثيات متجه الوحدة لهذا المتجه ، وبالتالي ، متجه المتجه

.

بالنظر إلى أن طول المتجه يساوي وحدة واحدة ، أي

,

نحصل على المساواة التالية لاتجاه جيب التمام:

مثال 7.أوجد طول المتجه x = (3; 0; 4).

المحلول. طول المتجه

المثال 8.يتم إعطاء النقاط:

اكتشف ما إذا كان المثلث المبني على هذه النقاط متساوي الساقين.

المحلول. باستخدام صيغة طول المتجه (6) ، نجد أطوال الأضلاع ونحدد ما إذا كان هناك اثنان متساويان فيما بينها:

تم العثور على ضلعين متساويين ، فلا داعي للبحث عن طول الضلع الثالث ، والمثلث المعطى متساوي الساقين.

المثال 9.أوجد طول المتجه وجيب التمام إذا كان .

المحلول. إحداثيات المتجه معطاة:

.

طول المتجه الجذر التربيعيمن مجموع مربعات إحداثيات المتجه:

.

أوجد اتجاه جيب التمام:

قم بحل مشكلة المتجه بنفسك ثم انظر إلى الحل

العمليات على المتجهات المحددة في شكل إحداثيات

يجب أن يكون هناك متجهان ، ووفقًا لتوقعاتهما:

دعنا نشير إلى الإجراءات على هذه النواقل.

تاريخ الإنشاء: 2009-04-11 15:25:51
آخر تعديل: 2012-02-08 09:19:45

لفترة طويلة لم أرغب في كتابة هذا المقال - كنت أفكر في كيفية تقديم المادة. تحتاج أيضًا إلى رسم الصور. لكن ، كما ترى ، تشكلت النجوم بنجاح اليوم وسيكون هناك مقال عن المتجهات. على الرغم من أن هذه مجرد مسودة تقريبية. في المستقبل ، سأقسم هذه المقالة إلى عدة مقالات منفصلة - هناك مادة كافية. أيضًا ، ستتحسن المقالة تدريجيًا: سأقوم بإجراء تغييرات عليها. في جلسة واحدة لن يكون من الممكن الكشف عن جميع الجوانب.

تم إدخال المتجهات إلى الرياضيات في القرن التاسع عشر لوصف الكميات التي يصعب وصفها باستخدام القيم العددية.

تستخدم النواقل على نطاق واسع في تطوير ألعاب الكمبيوتر. يتم استخدامها ليس فقط بشكل تقليدي - لوصف هذه الكميات مثل القوة أو السرعة ، ولكن أيضًا في المناطق التي يبدو أنه لا علاقة لها بالمتجهات: تخزين اللون ، وإنشاء الظلال.

الندبات والناقلات

أولاً ، اسمحوا لي أن أذكركم ما هو العددية وكيف يختلف عن المتجه.

تخزن القيم العددية بعض الكمية: الكتلة والحجم. أي أنه كيان يتميز برقم واحد فقط (على سبيل المثال ، مقدار شيء ما).

المتجه ، على عكس العددية ، يوصف باستخدام قيمتين: المقدار والاتجاه.

فرق مهم بين المتجهات والإحداثيات: لا ترتبط المتجهات بموقع معين! مرة أخرى ، الشيء الرئيسي في المتجه هو الطول والاتجاه.

يتم الإشارة إلى المتجه بحرف غامق من الأبجدية اللاتينية. على سبيل المثال: أ, ب, الخامس.

في الشكل الأول ، يمكنك أن ترى كيف يتم تعيين المتجه على المستوى.

النواقل في الفضاء

في الفضاء ، يمكن التعبير عن المتجهات باستخدام الإحداثيات. لكن عليك أولاً تقديم مفهوم واحد:

متجه نصف قطر النقطة

خذ نقطة M (2،1) في الفضاء. متجه نصف قطر النقطة هو متجه يبدأ عند الأصل وينتهي عند النقطة.

ليس لدينا أكثر من ناقل هنا أوم... إحداثيات بداية المتجه (0،0) ، إحداثيات النهاية (2،1). نشير إلى هذا المتجه كـ أ.

في هذه الحالة ، يمكن كتابة المتجه على النحو التالي أ = <2, 1>... هذا هو شكل إحداثيات المتجه أ.

تسمى إحداثيات المتجه بمكوناته بالنسبة إلى المحاور. على سبيل المثال ، 2 هو مكون متجه أحول المحور السيني.

دعنا نلقي نظرة أخرى على ماهية إحداثيات النقطة. إحداثي نقطة (على سبيل المثال ، س) هو إسقاط نقطة على محور ، أي تم إسقاط قاعدة العمود العمودي من نقطة على محور. في مثالنا ، 2.

لكن العودة إلى الصورة الأولى. لدينا هنا النقطتان A و B. لنفترض أن إحداثيات النقطتين هي (1،1) و (3،3). المتجه الخامسفي هذه الحالة يمكن الإشارة إليها على النحو التالي الخامس = <3-1, 3-1>... سيبدو المتجه الموجود في نقطتين في الفضاء ثلاثي الأبعاد كما يلي:

الخامس =

أعتقد أنه لا توجد صعوبات هنا.

ضرب متجه بواسطة عددي

يمكن ضرب المتجه بقيم عددية:

ك الخامس = =

هذا يضاعف القيمة العددية مع كل مكون من مكونات المتجه.

إذا كانت k> 1 ، فإن المتجه سيزداد ، إذا كان k أقل من واحد ، ولكن أكثر من الصفر ، فإن المتجه سينخفض ​​في الطول. إذا كانت k أقل من الصفر ، فإن المتجه سيغير اتجاهه.

ناقلات الوحدة

متجهات الوحدة هي نواقل طولها يساوي واحدًا. لاحظ المتجه مع الإحداثيات<1,1,1>لن تكون مساوية لواحد! العثور على طول المتجه موصوف أدناه في النص.

هناك ما يسمى متجهات الوحدة - وهي متجهات الوحدة ، والتي تتوافق في الاتجاه مع محاور الإحداثيات. أنا- متجه الوحدة للمحور السيني ، ي- متجه الوحدة للمحور الصادي ، كهو متجه الوحدة للمحور z.

حيث أنا = <1,0,0>, ي = <0,1,0>, ك = <0,0,1>.

الآن نعرف ما هي عملية ضرب متجه بواسطة عددي وما هي متجهات الوحدة. الآن يمكننا الكتابة الخامسفي شكل متجه.

الخامس= الخامس س أنا+ v ص ي+ v ض ك، حيث v x ، v y ، v z هي المكونات المقابلة للمتجه

إضافة المتجه

لفهم الصيغة السابقة تمامًا ، تحتاج إلى فهم كيفية عمل إضافة المتجه.

كل شيء بسيط هنا. خذ متجهين v1 = و v 2 =

ع 1 + ع 2 =

نضيف فقط المكونات المقابلة للمتجهين.

يتم حساب الفرق بنفس الطريقة.

هذا فيما يتعلق بالشكل الرياضي. من أجل الاكتمال ، يجدر النظر في الشكل الذي سيبدو به جمع وطرح المتجهات بيانيًا.

لإضافة متجهين أ+ب... تحتاج إلى مطابقة بداية المتجه بونهاية المتجه أ... ثم بين بداية المتجه أونهاية المتجه بارسم متجهًا جديدًا. للتوضيح ، انظر الشكل الثاني (الحرف "أ").

لطرح المتجهات ، تحتاج إلى الجمع بين بدايات متجهين ورسم متجه جديد من نهاية المتجه الثاني إلى نهاية الأول. الصورة الثانية (الحرف "ب") توضح كيف يبدو.

طول المتجه واتجاهه

لنلق نظرة على الطول أولًا.

الطول هو القيمة الرقمية للمتجه ، باستثناء الاتجاه.

يتم تحديد الطول بواسطة الصيغة (لمتجه ثلاثي الأبعاد):

الجذر التربيعي لمجموع مربعات مكونات المتجه.

صيغة مألوفة ، أليس كذلك؟ بشكل عام ، هذه هي صيغة طول المقطع

يتم تحديد اتجاه المتجه من خلال اتجاه جيب التمام للزوايا المتكونة بين المتجه ومحور الإحداثيات. للعثور على جيب التمام للاتجاه ، يتم استخدام المكونات المقابلة والطول (ستكون الصورة لاحقًا).

تمثيل النواقل في البرامج

هناك طرق مختلفة لتمثيل النواقل في البرامج. سواء بمساعدة المتغيرات العادية ، وهي غير فعالة ، وبمساعدة المصفوفات والفئات والهياكل.

متجه تعويم 3 = (1،2،3) ؛ // مصفوفة لتخزين متجه هيكلي 3 // هيكل لتخزين المتجهات (تعويم x ، y ، ض ؛) ؛

يتم توفير أكبر الاحتمالات لتخزين النواقل من خلال الفئات. في الفصول ، يمكننا وصف ليس فقط المتجه نفسه (المتغيرات) ، ولكن أيضًا عمليات المتجه (الوظائف).

حاصل الضرب النقطي للناقلات

هناك نوعان من الضرب المتجه: المتجه والعدد.

السمة المميزة للمنتج النقطي هي أن النتيجة ستكون دائمًا قيمة عددية ، أي عدد.

هنا يجدر الانتباه إلى النقطة التالية. إذا كانت نتيجة هذه العملية صفرًا ، يكون المتجهان متعامدين - الزاوية بينهما 90 درجة. إذا كانت النتيجة أكبر من الصفر ، فإن الزاوية أقل من 90 درجة. إذا كانت النتيجة أقل من صفر ، فإن الزاوية أكبر من 90 درجة.

يتم تمثيل هذه العملية بالصيغة التالية:

أ · ب= أ س * ب س + أ ص * ب ص + أ ع ع * ب ض

حاصل الضرب النقطي هو مجموع حاصل ضرب المكونات المقابلة لمتجهين. أولئك. خذ x من متجهين ، واضربهما ، ثم أضفهما مع حاصل ضرب y ، وهكذا.

منتج المتجهات من النواقل

حاصل الضرب المتجه لاثنين من المتجهات سينتج عنه متجه عمودي على هذين المتجهين.

أ x ب =

لن نناقش هذه الصيغة بالتفصيل بعد. بالإضافة إلى ذلك ، من الصعب جدًا حفظها. سنعود إلى هذه النقطة بعد التعرف على المحددات.

حسنًا ، من أجل التطوير العام ، من المفيد معرفة أن طول المتجه الناتج يساوي مساحة متوازي الأضلاع المبنية على المتجهات أو ب.

تطبيع ناقلات

المتجه الطبيعي هو متجه طوله واحد.

صيغة إيجاد المتجه الطبيعي هي كما يلي - يجب تقسيم جميع مكونات المتجه على طوله:

الخامسن = الخامس/ | ت | =

خاتمة

كما رأيت على الأرجح ، ليس من الصعب فهم النواقل. لقد غطينا عددًا من عمليات المتجهات.

في المقالات التالية في قسم "الرياضيات" ، سنناقش المصفوفات والمحددات والأنظمة المعادلات الخطية... هذه كلها نظرية.

بعد ذلك ، سوف ننظر في تحويلات المصفوفة. عندها ستفهم مدى أهمية الرياضيات في إنشاء ألعاب الكمبيوتر. سيصبح هذا الموضوع مجرد ممارسة لجميع الموضوعات السابقة.