Главная Величины Теорема о площади ортогональной проекции. Разработка "Подробное доказательство теоремы об ортогональной проекции многоугольника" (10 класс) Формула нахождения площади ортогональной проекции

Теорема о площади ортогональной проекции. Разработка "Подробное доказательство теоремы об ортогональной проекции многоугольника" (10 класс) Формула нахождения площади ортогональной проекции

Подробное доказательство теоремы об ортогональной проекции многоугольника

Если - проекция плоского n -угольника на плоскость, то, где - угол между плоскостями многоугольников и. Иными словами, площадь проекции плоского многоугольника равна произведению площади проецируемого многоугольника на косинус угла между плоскостью проекции и плоскостью проецируемого многоугольника.

Доказательство. I этап. Проведём доказательство сначала для треугольника. Рассмотрим 5 случаев.

1 случай. лежат в плоскости проекции .

Пусть - проекции точек на плоскость соответственно. В нашем случае. Положим, что. Пусть - высота, тогда по теореме о трёх перпендикулярах мы можем заключить, что - высота (- проекция наклонной, - её основание и прямая проходит через основание наклонной, причём).

Рассмотрим. Он прямоугольный. По определению косинуса:

С другой стороны, так как и, тогда по определению - линейный угол двугранного угла, образованного полуплоскостями плоскостей и с граничной прямой, а, следовательно, его мера является также и мерой угла между плоскостями проекции треугольника и самого треугольника, то есть.

Найдём отношение площади к:

Заметим, что формула остаётся верной даже когда. В этом случае

2 случай. Тольколежит в плоскости проекции и параллельна плоскости проекции .

Пусть - проекции точек на плоскость соответственно. В нашем случае.

Проведём через точку прямую. В нашем случае прямая пересекает плоскость проекции, значит, по лемме, и прямая пересекает плоскость проекции. Пусть это будет в точке Так как, то точки лежат в одной плоскости, а так как параллельна плоскости проекции, то по следствию из признака параллельности прямой и плоскости следует, что. Следовательно, - параллелограмм. Рассмотрим и. Они равны по трём сторонам (- общая, как противолежащие стороны параллелограмма). Заметим, что четырёхугольник - прямоугольник и равен (по катету и гипотенузе), следовательно, равен по трём сторонам. Поэтому и.

Для применим 1 случай: , т. е..

3 случай. Тольколежит в плоскости проекции и не параллельна плоскости проекции .

Пусть точка - точка пересечения прямой с плоскостью проекции. Заметим, что и. По 1 случаю: и. Таким образом получаем, что

4 случай. Вершины не лежат в плоскости проекции . Рассмотрим перпендикуляры. Возьмём среди этих перпендикуляров наименьший. Пусть это будет перпендикуляр. Может оказаться, что, либо только, либо только. Тогда всё равно берём.

Отложим от точки на отрезке точку, так, чтобы и от точки на отрезке точку, так, чтобы. Такое построение возможно, так как - наименьший из перпендикуляров. Заметим, что является проекцией и, по построению. Докажем, что и равны.

Рассмотрим четырёхугольник. По условию - перпендикуляры к одной плоскости, следовательно, по теореме, поэтому. Так как по построению, тогда по признаку параллелограмма (по параллельным и равным противолежащим сторонам) мы можем заключить, что - параллелограмм. Значит, . Аналогично доказывается, что, . Следовательно, и равны по трём сторонам. Поэтому. Заметим, что и, как противолежащие стороны параллелограммов, следовательно, по признаку параллельности плоскостей, . Так как эти плоскости параллельны, то они образуют один и тот же угол с плоскостью проекции.

Для применимы предыдущие случаи:.

5 случай. Плоскость проекции пересекает стороны . Рассмотрим прямые. Они перпендикулярны к плоскости проекции, поэтому по теореме они параллельны. На сонаправленных лучах с началами в точках соответственно отложим равные отрезки, таким образом, чтобы вершины лежали вне плоскости проекции. Заметим, что является проекцией и, по построению. Покажем, что равен.

Так как и, по построению, тогда. Следовательно, по признаку параллелограмма (по двум равным и параллельным сторонам), - параллелограмм. Аналогично доказывается, что и - параллелограммы. Но тогда, и (как противолежащие стороны), поэтому равен по трём сторонам. Значит, .

Кроме того, и, поэтому, по признаку параллельности плоскостей. Так как эти плоскости параллельны, то они образуют один и тот же угол с плоскостью проекции.

Для применим 4 случай:.

II этап. Разобьем плоский многоугольник на треугольники с помощью диагоналей, проведенных из вершины: Тогда по предыдущим случаям для треугольников: .

Что и требовалось доказать.

Напомним, что углом между прямой и плоскостью называется угол между данной прямой и ее проекцией на плоскость (рис. 164).

Теорема. Площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна площади проектируемого многоугольника, умноженной на косинус угла, образованного плоскостью многоугольника и плоскостью проекции.

Каждый многоугольник можно разбить на треугольники, сумма площадей которых равна площади многоугольника. Поэтому теорему достаточно доказать для треугольника.

Пусть $\Delta$АВС проектируется на плоскость р . Рассмотрим два случая:

а) одна из сторон $\Delta$АВС параллельна плоскости р ;

б) ни одна из сторон $\Delta$АВС не параллельна р .

Рассмотрим первый случай : пусть [АВ] || р .

Проведем через (АВ) плоскость р 1 || р и спроектируем ортогонально $\Delta$АВС на р 1 и на р (рис. 165); получим $\Delta$АВС 1 и $\Delta$АВС.

По свойству проекции имеем $\Delta$АВС 1 $\cong$ $\Delta$ АВС, и поэтому

S $\Delta$ABC1 = S $\Delta$ABC

Проведем ⊥ и отрезок D 1 C 1 . Тогда ⊥ , a $\widehat{CD_{1}C_{1}}$ = φ есть величина угла между плоскостью $\Delta$ АВС и плоскостью р 1 . Поэтому

S $\Delta$ ABC1 = 1 / 2 |AB| |C 1 D 1 | = 1 / 2 |АВ| |CD 1 | cos φ = S $\Delta$ABC cos φ

и, следовательно, S $\Delta$ABC = S $\Delta$ABC cos φ.

Перейдем к рассмотрению второго случая . Проведем плоскость р 1 || р через ту вершину $\Delta$АВС, расстояние от которой до плоскости р наименьшее (пусть это будет вершина А).

Спроектируем $\Delta$АВС на плоскости р 1 и р (рис. 166); пусть его проекциями будут соответственно $\Delta$АВ 1 С 1 и $\Delta$АВС.

Пусть (ВС) $\cap $ p 1 = D. Тогда

S $\Delta$ABC = S $\Delta$AB1 C1 = S $\Delta$ADC1 - S $\Delta$ADB1 = (S $\Delta$ADC - S $\Delta$ADB) cos φ = S $\Delta$ABC cos φ

Задача. Через сторону основания правильной треугольной призмы проведена плоскость под углом φ = 30° к плоскости ее основания. Найти площадь образующегося сечения, если сторона основания призмы а = 6 см.

Изобразим сечение данной призмы (рис. 167). Так как призма правильная, то ее боковые ребра перпендикулярны плоскости основания. Значит, $\Delta$АВС есть проекция $\Delta$АDС, поэтому
$$ S_{\Delta ADC} = \frac{S_{\Delta ABC}}{cos\phi} = \frac{a\cdot a\sqrt3}{4cos\phi} $$
или
$$ S_{\Delta ADC} = \frac{6\cdot 6\cdot \sqrt3}{4\cdot\frac{\sqrt3}{2}} = 18 (см^2) $$

Рассмотрим плоскость p и пересекающую её прямую . Пусть А - произвольная точка пространства. Через эту точку проведём прямую , параллельную прямой . Пусть . Точка называется проекцией точки А на плоскость p при параллельном проектировании по заданной прямой . Плоскость p , на которую проектируются точки пространства называется плоскостью проекции.

p - плоскость проекции;

- прямая проектирования; ;

; ; ;

Ортогональное проектирование является частным случаем параллельного проектирования. Ортогональное проектирование - это такое параллельное проектирование, при котором прямая проектирования перпендикулярна плоскости проекции. Ортогональное проектирование широко применяется в техническом черчении, где фигура проектируется на три плоскости - горизонтальную и две вертикальные.

Определение : Ортогональной проекцией точки М на плоскость p называется основание М 1 перпендикуляра ММ 1 , опущенного из точки М на плоскость p .

Обозначение : , , .

Определение : Ортогональной проекцией фигуры F на плоскость p называется множество всех точек плоскости, являющихся ортогональными проекциями множества точек фигуры F на плоскость p .

Ортогональное проектирование, как частный случай параллельного проектирования, обладает теми же свойствами:

p - плоскость проекции;

- прямая проектирования; ;

1) ;

2) , .

Проекции параллельных прямых параллельны.

ПЛОЩАДЬ ПРОЕКЦИИ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ

Теорема : Площадь проекции плоского многоугольника на некоторую плоскость равна площади проектируемого многоугольника, умноженной на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции.

1 этап: Проектируемая фигура – треугольник АВС, сторона которого АС лежит в плоскости проекции a (параллельна плоскости проекции a).

Дано :

Доказать :

Доказательство :

1. ; ;

2. ; ; ; ;

3. ; ;

4. По теореме о трёх перпендикулярах ;

ВD – высота ; В 1 D – высота ;

5. – линейный угол двугранного угла ;

6. ; ; ; ;

2 этап: Проектируемая фигура – треугольник АВС, ни одна из сторон которого не лежит в плоскости проекции a и не параллельна ей.

Дано :

Доказать :

Доказательство :

1. ; ;

2. ; ;

4. ; ; ;

(1 этап);

5. ; ; ;

(1 этап);

Этап: Проектируемая фигура – произвольный многоугольник.

Доказательство :

Многоугольник разбивается диагоналями, проведёнными из одной вершины, на конечное число треугольников, для каждого из которых теорема верна. Поэтому теорема будет верна и для суммы площадей всех треугольников, плоскости которых образуют один и тот же угол с плоскостью проекции.

Замечание : Доказанная теорема справедлива для любой плоской фигуры, ограниченной замкнутой кривой.

Упражнения :

1. Найти площадь треугольника, плоскость которого наклонена к плоскости проекции под углом , если проекция его – правильный треугольник со стороной а.

2. Найти площадь треугольника, плоскость которого наклонена к плоскости проекции под углом , если проекция его – равнобедренный треугольник с боковой стороной 10 см и основанием 12 см.

3. Найти площадь треугольника, плоскость которого наклонена к плоскости проекции под углом , если проекция его – треугольник со сторонами 9, 10 и 17 см.

4. Вычислить площадь трапеции, плоскость которой наклонена к плоскости проекции под углом , если проекция её – равнобедренная трапеция, большее основание которой 44 см, боковая сторона 17 см и диагональ 39 см.

5. Вычислить площадь проекции правильного шестиугольника со стороной 8 см, плоскость которого наклонена к плоскости проекции под углом .

6. Ромб со стороной 12 см и острым углом образует с данной плоскостью угол . Вычислить площадь проекции ромба на эту плоскость.

7. Ромб со стороной 20 см и диагональю 32 см образует с данной плоскостью угол . Вычислить площадь проекции ромба на эту плоскость.

8. Проекция навеса на горизонтальную плоскость есть прямоугольник со сторонами и . Найти площадь навеса, если боковые грани – равные прямоугольники, наклонённые к горизонтальной плоскости под углом , а средняя часть навеса – квадрат, параллельный плоскости проекции.

11. Упражнения по теме «Прямые и плоскости в пространстве»:

Стороны треугольника равны 20 см, 65 см, 75 см. Из вершины большего угла треугольника проведён к его плоскости перпендикуляр, равный 60 см. Найти расстояние от концов перпендикуляра до большей стороны треугольника.

2. Из точки, отстоящей от плоскости на расстоянии см, проведены две наклонные, образующие с плоскостью углы, равные , а между собой – прямой угол. Найти расстояние между точками пересечения наклонных с плоскостью.

3. Сторона правильного треугольника равна 12 см. Точка М выбрана так, что отрезки, соединяющие точку М со всеми вершинами треугольника, образуют с его плоскостью углы . Найти расстояние от точки М до вершин и сторон треугольника.

4. Через сторону квадрата проведена плоскость под углом к диагонали квадрата. Найти углы, под которыми наклонены к плоскости две стороны квадрата.

5. Катет равнобедренного прямоугольного треугольника наклонён к плоскости a, проходящей через гипотенузу, под углом . Доказать, что угол между плоскостью a и плоскостью треугольника равен .

6. Двугранный угол между плоскостями треугольников АВС и DВС равен . Найти АD, если АВ = АС =5 см, ВС = 6 см, ВD = DС = см.

Контрольные вопросы по теме «Прямые и плоскости в пространстве»

1. Перечислить основные понятия стереометрии. Сформулировать аксиомы стереометрии.

2. Доказать следствия из аксиом.

3. Каково взаимное расположение двух прямых в пространстве? Дать определения пересекающихся, параллельных, скрещивающихся прямых.

4. Доказать признак скрещивающихся прямых.

5. Каково взаимное расположение прямой и плоскости? Дать определения пересекающихся, параллельных прямой и плоскости.

6. Доказать признак параллельности прямой и плоскости.

7. Каково взаимное расположение двух плоскостей?

8. Дать определение параллельных плоскостей. Доказать признак параллельности двух плоскостей. Сформулировать теоремы о параллельных плоскостях.

9. Дать определение угла между прямыми.

10. Доказать признак перпендикулярности прямой и плоскости.

11. Дать определения основания перпендикуляра, основания наклонной, проекции наклонной на плоскость. Сформулировать свойства перпендикуляра и наклонных, опущенных на плоскость из одной точки.

12. Дать определение угла между прямой и плоскостью.

13. Доказать теорему о трех перпендикулярах.

14. Дать определения двугранного угла, линейного угла двугранного угла.

15. Доказать признак перпендикулярности двух плоскостей.

16. Дать определение расстояния между двумя различными точками.

17. Дать определение расстояния от точки до прямой.

18. Дать определение расстояния от точки до плоскости.

19. Дать определение расстояния между прямой и параллельной ей плоскостью.

20. Дать определение расстояния между параллельными плоскостями.

21. Дать определение расстояния между скрещивающимися прямыми.

22. Дать определение ортогональной проекции точки на плоскость.

23. Дать определение ортогональной проекции фигуры на плоскость.

24. Сформулировать свойства проекций на плоскость.

25. Сформулировать и доказать теорему о площади проекции плоского многоугольника.

Рассмотрю вопрос о формуле проекций граней прямоугольного тетраэдра. Предварительно рассмотрю ортогональное проектирование отрезка, лежащего в плоскости α , выделив два случая расположения этого отрезка относительно прямой l=α∩π .
Случай 1. AB∥l (рис. 8). Отрезок A 1 B 1 , являющийся ортогональной проекцией отрезка AB, равен и параллелен отрезку АВ.

Рис. 8

Случай 2. CD⊥l (рис. 8). По теореме о трех перпендикулярах прямая C 1 D 1 , являющаяся ортогональной проекцией прямой CD, также перпендикулярна прямой l. Следовательно, ∠CEC 1 — угол между плоскостью α и плоскостью проекций π , т. е. , где C 0 D=C 1 D 1 . Поэтому |C 1 D 1 |=|CD|∙cosφ
Теперь рассмотрю вопрос об ортогональном проектировании треугольника.
Площадь ортогональной проекции треугольника на плоскость равна площади проектируемого треугольника, умноженной на косинус угла между плоскостью треугольника и плоскостью проекций.

Доказательство. Площадь проекции треугольника.
а) Пусть одна из сторон, например АС, проектируемого треугольника ABC параллельна прямой l=α∩π (рис. 9) или лежит на ней.

Рис. 9

Тогда его высота ВН перпендикулярна прямой l , а площадь равна , т. е.

На основании выше рассмотренных свойств ортогональной проекции отрезка имею:

По теореме о трех перпендикулярах прямая B 1 H 1 — ортогональная проекция прямой ВН — перпендикулярна прямой l, следовательно, отрезок В 1 Н 1 — высота треугольника A 1 B 1 C 1 . Поэтому . Таким образом, .
б) Ни одна из сторон проектируемого треугольника ABC не параллельна прямой l (рис. 10). Проведу через каждую вершину треугольника прямую, параллельную прямой l. Одна из этих прямых лежит между двумя другими (на рисунке — это прямая m), и, следовательно, разбивает треугольник ABC на треугольники ABD и ACD с высотами соответственно ВН и СЕ, проведенными к их общей стороне AD (или ее продолжению), которая параллельна l. Прямая m 1 — ортогональная проекция прямой m — также разбивает треугольник А 1 В 1 С 1 — ортогональную проекцию треугольника ABC — на треугольники A 1 B 1 D 1 и A 1 C 1 D 1 , где . Принимая во внимание (9) и (10), получаю

Глава IV. Прямые и плоскости в пространстве. Многогранники

§ 55. Площадь проекции многоугольника.

Теорема. Площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна площади проектируемого многоугольника, умноженной на косинус угла, образованного плоскостью многоугольника и плоскостью проекции.

Пусть /\ АВС проектируется на плоскость р . Рассмотрим два случая:
а) одна из сторон /\ АВС параллельна плоскости р ;
б) ни одна из сторон /\ АВС не параллельна р .

Рассмотрим первый случай : пусть [АВ] || р .

Проведем через (АВ) плоскость р 1 || р и спроектируем ортогонально /\ АВС на р 1 и на р (рис. 165); получим /\ АВС 1 и /\ А"В"С" .
По свойству проекции имеем /\ АВС 1 /\ А"В"С" , и поэтому

S /\ ABC1 = S /\ A"B"C"

Проведем _|_ и отрезок D 1 C 1 . Тогда _|_ , a = φ есть величина угла между плоскостью /\ АВС и плоскостью р 1 . Поэтому

S /\ ABC1 = 1 / 2 | AB | | C 1 D 1 | = 1 / 2 | АВ | | CD 1 | cos φ = S /\ ABC cos φ

и, следовательно, S /\ A"B"C" = S /\ ABC cos φ.

Перейдем к рассмотрению второго случая . Проведем плоскость р 1 || р через ту вершину /\ АВС, расстояние от которой до плоскости р наименьшее (пусть это будет вершина А).
Спроектируем /\ АВС на плоскости р 1 и р (рис. 166); пусть его проекциями будут соответственно /\ АВ 1 С 1 и /\ А"В"С".

Пусть (ВС) p 1 = D. Тогда

S /\ A"B"C" = S /\ AB1 C1 = S /\ ADC1 - S /\ ADB1 = (S /\ ADC - S /\ ADB) cos φ = S /\ ABC cos φ

Задача. Через сторону основания правильной треугольной призмы проведена плоскость под углом φ = 30° к плоскости ее основания. Найти площадь образующегося сечения, если сторона основания призмы а = 6 см.

Изобразим сечение данной призмы (рис. 167). Так как призма правильная, то ее боковые ребра перпендикулярны плоскости основания. Значит, /\ АВС есть проекция /\ АDС, поэтому