Плоское течение пуазейля. Курсовая работа: Течение Пуазейля

Идеа́льная жи́дкость - в гидродинамике - воображаемая несжимаемая жидкость, в которой отсутствуют вязкость и теплопроводность. Так как в ней отсутствует внутреннее трение, то нет касательных напряжений между двумя соседними слоями жидкости.

Моделью идеальной жидкости пользуются при теоретическом рассмотрении задач, в которых вязкость не является определяющим фактором и ею можно пренебречь. В частности, такая идеализация допустима во многих случаях течения, рассматриваемыхгидроаэромеханикой, и даёт хорошее описание реальных течений жидкостей и газов на достаточном удалении от омываемых твёрдых поверхностей и поверхностей раздела с неподвижной средой. Математическое описание течений идеальных жидкостей позволяет найти теоретическое решение ряда задач о движении жидкостей и газов в каналах различной формы, при истечении струй и при обтекании тел.

Закон Пуазейля представляет собой формулу для объемной скорости течения жидкости. Он был открыт экспериментально французским физиологом Пуазейлем, который исследовал течение крови в кровеносных сосудах. Закон Пуазейля часто называют главным законом гидродинамики.

Закон Пуазейля связывает объемную скорость течения жидкости с разностью давления в начале и конце трубки как движущей силой потока, вязкостью жидкости, радиусом и длиной трубки. Закон Пуазейля используют в случае, если течение жидкости ламинарное. Формула закона Пуазейля:

где Q - объемная скорость жидкости (м 3 /с), (P 1 - P 2) - различие давления через концы трубки (Па ), r - внутренний радиус трубки (м ),l - длина трубки (м ), η - вязкость жидкости (Па с ).

Закон Пуазейля показывает, что величина Q пропорциональна разнице давления P 1 - P 2 в начале и конце трубки. Если P 1 равняется P 2 , поток жидкости прекращается. Формула закона Пуазейля также показывает, что высокая вязкость жидкости приводит к снижению объемной скорости течения жидкости. Оно также показывает, что объемная скорость жидкости чрезвычайно зависима от радиуса трубки. Это подразумевает, что умеренные изменения радиуса кровеносных сосудов могут обеспечивать большие различия объемной скорости жидкости, протекающей через сосуд.

Формула закона Пуазейля упрощается и становится более универсальной при введении вспомогательной величины - гидродинамического сопротивления R , которое для цилиндрической трубки может быть определено по формуле:

Течение Пуазейля - ламинарное течение жидкости через тонкие цилиндрические трубки. Описывается законом Пуазейля.

Окончательно потери напора при ламинарном движении жидкости в трубе:

Несколько преобразовав формулу для определения потерь напора, получим формулу Пуазейля:

Закон установившегося течения в вязкой несжимаемой жидкости в тонкой цилиндрической трубке круглого сечения. Сформулирован впервые Готтфильхом Хагеном в 1839 и вскоре повторно выведен Ж.Л. Пуазейлем в 1840. Согласно закону, секундный объемный расход жидкости пропорционален перепаду давления на единицу длины трубки. Закон Пуазейля применим только при ламинарном течении и при условии, что длина трубки превышает так называемую длину начального участка необходимую для развития ламинарного течения в трубке.

Свойства течения Пуазейля:

Течение Пуазейля характеризуется параболическим распределением скорости по радиусу трубки.

В каждом поперечном сечении трубки средняя скорость вдвое меньше максимальной скорости в этом сечении.

Из формулы Пуазейля видно, что потери напора при ламинарном движении пропорциональны первой степени скорости или расхода жидкости.

Формулой Пуазейля пользуются при расчетах показателей транспортировки жидкостей и газов в трубопроводах различного назначения. Ламинарный режим работы нефте- и газопроводов является наиболее выгодным в энергетическом отношении. Так, в частности, коэффициент трения при ламинарном режиме практически не зависит от шероховатости внутренней поверхности трубы (гладкие трубы).

Гидравлическое сопротивление

в трубопроводах (a. hydraulic resistance; н. hydraulischer Widerstand; ф. resistance hydraulique; и. perdida de presion por rozamiento) - сопротивление движению жидкостей (и газов), оказываемое трубопроводом. Г. с. на участке трубопровода оценивается величиной "потерянного" давления ∆p, представляющего собой ту часть удельной энергии потока, к-рая необратимо расходуется на работу сил сопротивления. При установившемся течении жидкости (газа) в трубопроводе круглого сечения ∆p (н/м 2) определяется по формуле

где λ - коэфф. гидравлич. сопротивления трубопровода; u - ср. по сечению скорость потока, м/с; D - внутр. диаметр трубопровода, м; L - длина трубопровода, м; ρ - плотностьжидкости, кг/м 3 .
Местные Г. с. оцениваются по формуле

где ξ - коэфф. местного сопротивления.
В процессе эксплуатации магистральных трубопроводов Г. с. возрастает вследствиеотложения парафина (нефтепроводы), скоплений воды, конденсата или образования гидратов углеводородных газов (газопроводы). Для снижения Г. с. производят периодич. очистку внутр. полости трубопроводов спец. скребками или разделителями

В 1851 Джордж Стокс получил выражение для силы трения (также называемой силойлобового сопротивления), действующей на сферические объекты с очень маленькимичислами Рейнольдса (например, очень маленькие частицы) в непрерывной вязкойжидкости, решая уравнение Навье - Стокса:

· g - ускорение свободного падения (м/с²),

· ρ p - плотность частиц (кг/м³),

· ρ f - плотность жидкости (кг/м³),

· - динамическая вязкость жидкости (Па с).

2.Размерности обеих частей равенства, отражающего некоторую физическую закономерность, должны быть одинаковы.

3.3. Применение размерных оценок в механике. Примеры иллюстрации алгоритма для струны и маятника.

5. Мгновенная угловая скорость.

6. Связь линейной и угловой скоростей.

7. Модуль и направление углового ускорения.

8. Связь тангенциального и углового ускорения.

9. Мгновенное угловое ускорение.

5. Работа и энергия. Закон сохранения энергии

5.1. Работа и кинетическая энергия

5.2. Потенциальная энергия материальной точки во внешнем

5.3. О законе сохранения энергии и непотенциальных силах

5.4. Простые примеры

5.5. Равновесие и устойчивость

6.1. Особенности движения замкнутой системы из двух взаимодействующих материальных точек. Приведенная масса

6.2. Центр масс системы материальных точек

6.3. Потенциальная энергия взаимодействия. Закон сохранения

6.5. Упругие и неупругие соударения

Лекция 4

2. Избранные вопросы классической механики

2.1. Некоторые положения механики Ньютона.

2.2. Принципы механики Лагранжа.

2.3. Принцип Гамильтона.

7.1. Момент импульса и момент силы

7.3. Вращение абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси

Динамика твердого тела.

Свойства симметрии и законы сохранения. Сохранение энергии.

Сохранение импульса.

Сохранение момента импульса.

9.1. Принцип относительности Галилея

9.2. Законы механики в неинерциальных системах отсчета.

Некоторые задачи механики. Движение частицы в центральном поле сил.

2. Основные физические свойства и параметры жидкости. Силы и напряжения.

2.1. Плотность.

2.2. Вязкость.

2.3. Классификация сил.

2.3.1. Массовые силы.

2.3.2. Поверхностные силы.

2.3.3. Тензор напряжения.

8.3. Течение идеальной жидкости. Уравнение непрерывности

8.4. Архимедова сила. Уравнение Бернулли

8.5. Вязкость. Течение Пуазейля

1.4.1. Поток векторного поля.

2.3.4. Уравнение движения в напряжениях.

Уравнение Эйлера и Навье-Стока.

Специальная теория относительности.

10. Введение в релятивистскую механику

10.1. Постоянство скорости света для всех систем отсчета.

10.2. Следствия из преобразований Лоренца. Сокращение длины и замедление времени

10.3. Импульс и энергия в релятивистской механике

Относительность одновременности событий

Зависимость массы тела от скорости

Закон взаимосвязи массы и энергии

4.1.5. Релятивистская механика материальной точки

1.3. Фундаментальные взаимодействия

1.4. Стандартная модель и перспективы

1.1. Фермионы

1.2. Векторные бозоны

11.Элементарные частицы

11.1. Основные понятия и законы

11.1.1.Виды взаимодействий

11.1.2.Законы сохранения

11.2.Примеры решения задач

12.1. Основные свойства элементарных частиц.

12.2. Законы сохранения в микромире

12.3. Кварковая структура адронов

12.4. Электрослабое взаимодействие

Физика в конспективном изложении Содержание:

1. Вводные сведения - 6

Электричество – 49

9. Постоянное электрическое поле – 49

9.13.4.2. Теорема Гаусса для вектора - 78 10. Постоянный электрический ток – 79

10.7. Закон Ома для неоднородного участка цепи – 82 Магнетизм. Уравнения Максвелла – 83

11. Магнитное поле в вакууме – 83

11.11.3.1. Плотность энергии магнитного поля – 103 12. Магнитное поле в веществе – 103

Предисловие

1. Вводные сведения

1.1. Предсказание будущего - задача науки

1.2. Предмет физики

1.3. Физическая модель

1.4. Язык физики?

1.5. Экспериментальная и теоретическая физика

Физические основы механики

3.1.3. Абсолютно твердое тело

3.2. Тело отсчета

3.3. Система отсчета

3.4. Положение материальной точки в пространстве

3.10.1. Нормальное и тангенциальное ускорение

4. Динамика материальной точки

4.6.1. Система си (System international)

4.6.1.1. Размерность силы

5.3. Работа

5.6.1. Консервативность силы тяжести

5.6.2. Неконсервативность силы трения

5.7. Потенциальная энергия может быть введена только для поля консервативных сил

5.8.Закон сохранения механической энергии

6. Кинематика вращательного движения

6.1. Поступательное и вращательное движение

6.2. Псевдовектор бесконечно малого поворота

6.5. Связь линейной скорости материальной точки твердого тела и угловой скорости

8. Элементы специальной теории относительности

8.2. Принцип относительности Галилея:

8.3. Неудовлетворительность механики Ньютона при больших скоростях

8.5.1. Вывод преобразований Лоренца

8.6. Следствия из преобразований Лоренца

9.3. Электрическое поле

9.3.6. Принцип суперпозиции электрических полей

9.3.7. Напряженность поля точечного заряда

9.3.8. Линии напряженности

9.3.9. Линии напряженности точечных зарядов

9.4.4.1. Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости

9.4.4.3. Поле однородно заряженного бесконечного цилиндра

9.9. Проводник в электрическом поле

9.10. Электроемкость уединенного проводника

9.11. Электроемкость конденсатора

9.12. Энергия электрического поля

9.12.1. Плотность энергии электрического поля в вакууме

9.13. Электрическое поле в диэлектрике

9.13.1. Диэлектрик?

9.13.1.1. Два типа диэлектриков - полярные и неполярные

9.13.2. Поляризованность диэлектрика (вектор поляризации) - это дипольный момент единицы объема:

9.13.4.1. Плотность энергии электрического поля в диэлектрике

10.4. Закон Ома для участка цепи

10.5. Закон Ома в дифференциальной форме

10.6. Закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме

Магнетизм. Уравнения Максвелла

11.5.6. Магнитное поле тороида

11.6. Закон Ампера

11.7. Сила Лоренца - это сила, действующая со стороны магнитного поля на движущийся в нем заряд

11.7.1. Движение заряженной частицы в однородном магнитном поле

11.8. Рамка с током в магнитном поле

11.11.1. Потокосцепление

11.11.2. Индуктивность соленоида

11.11.3. Энергия магнитного поля

12. Магнитное поле в веществе

12.2. Классификация магнетиков

13. Уравнения Максвелла

13.3. Система уравнений Максвелла в интегральной форме

13.4. Система уравнений Максвелла в дифференциальной форме

8.5. Вязкость. Течение Пуазейля

До сих пор мы ничего не говорили о касательных напряжениях в жидкости или газе, ограничиваясь только изотропным давлением в рамках закона Паскаля. Оказывается, однако, что закон Паскаля является исчерпывающим лишь в гидростатике, а в случае неоднородных в пространстве течений вступает в игру диссипативный эффект - язкость, вследствие которого как раз и возникают касательные напряжения.

Пусть в некоторой области потока жидкости два бесконечно близких ее слоя, движущихся в направлении оси ж, соприкасаются друг с другом на горизонтальной поверхности с площадью S (рис. 8.14). Опыт показывает, что возникающая на этой площадке сила трения F между слоями тем больше, чем больше площадь S и чем быстрее изменяется в этом месте скорость потока v в направлении, перпендикулярном к площадке S, то есть, в направлении оси у. Быстрота изменения скорости v как функции у характеризуется производной dv/dy.

Окончательно, полученный из опыта результат можно записать в виде:

F = ηS dv/dy. (8.27)

Здесь F - сила, действующая со стороны вышележащего слоя на нижележащий, η - коэффициент пропорциональности, получивший название коэффициента

вязкости жидкости (сокращенно его называют просто вязкостью жидкости). Размерность его вытекает из формулы (8.27) [η] = [m]/[l][t]; единицу измерения принято выражать как 1 Па с. Направление силы F (вправо или влево на рис. 8.14) зависит от того, быстрее или медленнее движется вышележащий слой относительно нижележащего. Из (8.27) следует выражение для касательных напряжений:

τ = η dv/dy.(8.28)

Коэффициент вязкости η имеет разные значения для различных жидкостей, и для определенной жидкости зависит от внешних условий, в первую очередь, от температуры. По своей природе силы трения в жидкости являются силами межмолекулярного взаимодействия, то есть электромагнитными силами, как и силы трения между твердыми телами. Перейдем к рассмотрению задачи о вычислении расхода несжимаемой жидкости, текущей в горизонтальной круглой прямолинейной трубе с постоянной площадью поперечного сечения при заданном перепаде давлений. Расходом называется масса жидкости, протекающая в единицу времени через сечение трубы. Эта задача имеет чрезвычайно большое

Рис. 8.15

практическое значение: организация работы нефтепроводов и даже обычного водопровода безусловно требует ее решения. Будем полагать, что нам заданы длина трубы l, ее радиусR, давления на концах трубыP 1 иP 2 (P 1 >P 2), а также плотность жидкости ρ и ее вязкость η (рис. 8.15).

Наличие сил трения приводит к тому, что на разных расстояниях от центра трубы жидкость течет с разной скоростью. В частности, непосредственно у стенки жидкость должна быть неподвижна, иначе из (8.28) следовали бы бесконечные касательные напряжения. Для вычисления массы жидкости, протекающей ежесекундно через все поперечное сечение трубы мы зобъем это поперечное сечение на бесконечно малые кольцевые площадки с внутренним радиусом г и внешним r+ dr и вычислим сначала расход жидкости через каждое из этих бесконечно малых сечений, в которых скорость

Масса жидкости dm, протекающая ежесекундно через бесконечно малое

поперечное сечение 2nrdr со скоростью v(r), равна

dm/dt = 2πr drρv(r). (8.29)

Полный расход жидкости Q мы получим, проинтегрировав выражение (8.29)

по rот 0 до R:

Q = dm/dt = 2πρ rv(r) dr, (8.30)

где вынесли за знак интегрирования постоянную величину 2πρ. Чтобы вычислить интеграл в (8.30), необходимо знать зависимость скорости жидкости от радиуса, то есть конкретный вид функции v(r). Для определения v(r) мы воспользуемся уже известными нам законами механики. Рассмотрим в некоторый момент времени цилиндрический объем жидкости некоторого произвольного радиуса rи длиныl(рис. 8.15). Заполняющую этот объем жидкость можно рассматривать как совокупность бесконечно малых жидких частиц, образующих систему взаимодействующих материальных точек. При тационарном течении жидкости в трубе все эти материальные точки движутся с независящими от времени скоростями. Следовательно, центр масс всей этой системы также движется с постоянной скоростью. Уравнение для движения центра масс системы материальных точек имеет вид (см. гл. 6)

где М - полная масса системы, V цм - скорость центра масс,

∑F BH - сумма внешних сил, приложенных в выбранный момент времени к рассматриваемой системе. Так как в нашем случае V цм = const, то из (8.31) получаем

Внешние силы - это силы давления F давл действующие на основания выбранного цилиндрического объема, и силы тренияF тр, действующие на боковую поверхность цилиндра со стороны окружающей жидкости - см. (8.27):

Как мы показали, сумма этих сил равна нулю, то есть

Это соотношение после простых преобразований можно записать в виде

Интегрируя обе части написанного выше равенства, получим

Постоянная интегрирования определится из условия, что при r=Rско-

скорость vдолжна обращаться в нуль. Это дает

Как мы видим, скорость жидкости максимальна на оси трубы и при удалении от оси меняется по параболическому закону (см. рис. 8.15).

Подставив (8.32) в (8.30), находим искомый расход жидкости

Это выражение для расхода жидкости называется формулой Пуазейля. Отличительной чертой соотношения (8.33) является сильная зависимость расхода от радиуса трубы: расход пропорционален четвертой степени радиуса.

(Сам Пуазейль формулу для расхода не выводил, а исследовал проблему только экспериментально, изучая движение жидкости в капиллярах). На формуле Пуазейля основан один из экспериментальных методов определения коэффициентов вязкости жидкостей.

Ж
идкости и газы характеризуются плотностью.

-плотность жидкости зависит в общем случае от координат и времени

- плотность – термодинамическая функция и зависит от давления и температуры

Элемент массы можно выразить из определения плотности

Через выделенную площадку можно определить вектор потока жидкости, как количество жидкости, проходящей через перпендикулярно площадке в единицу времени

Вектор площади.

В неком элементарном объёме имеются микрочастицы, а он сам – макрочастица.

Линии, которыми условно можно показать движение жидкости, называются линиями тока.

функция тока .

Ламинарное течение – течение, в котором не происходит перемешивание жидкости и прехлестывания функций тока, то есть слоистое течение.

На рис ламинарное обтекание препятствия – в виде цилиндра

Турбулентное течение – течение, при котором различные слои смешиваются. Типичный пример турбулентного следа при обтекании препятствия.

На рис почти - трубка тока . Для трубки тока линии тока не имеют резких отклонений.

Из определения плотности элементарная масса определяется из выражения

элементарный объем вычисляется как произведение площади поперечного сечения на путь, пройденный жидкостью

Тогда элементарна масса(масса элемента жидкости) находится из соотношения

dm = dV = VSdt

1) Уравнение непрерывности

В самом общем случае направление вектора скорости может не совпадать с направление вектора площади поперечного сечения потока

- вектор площади имеет направление

Объем, занимаемый жидкостью в единицу времени, определяется с учетом правил скалярного произведения векторов

V Scos

Определим вектор плотности тока жидкости

j = V ,j – плотность потока.- количество жидкости, протекающее через единичное сечение в единицу времени

Из закона сохранения массы жидкости

,

m потока = const

Поскольку изменение массы жидкости в выбранном сечении определяется как произведение изменения объема на плотность жидкости, из закона сохранения массы получим

VS = const VS = const

V 1 S 1 =V 2 S 2

т.е. расход в различных сечениях потока - одинаков

2) Теорема Остроградского – Гаусса

Рассмотрим баланс массы жидкости для замкнутого объема

элементарный поток через площадку равен

где j– плотность потока.

Тече́ние Пуазёйля - ламинарное течение жидкости через каналы в виде прямого кругового цилиндра или слоя между параллельными плоскостями. Течение Пуазёйля - одно из самых простых точных решений уравнений Навье - Стокса . Описывается законом Пуазёйля (Хагена - Пуазёйля).

Постановка задачи

Рассматривается установившееся течение несжимаемой жидкости с постоянной вязкостью в тонкой цилиндрической трубке круглого сечения под действием постоянной разности давлений . Если предположить, что течение будет ламинарным и одномерным (иметь только компоненту скорости, направленную вдоль канала), то уравнение решается аналитически, и для скорости получается параболический профиль (часто называемый профилем Пуазёйля ) - распределение скорости в зависимости от расстояния до оси канала:

texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): v\left(r\right) =\frac{p_1-p_2}{4\eta L}(R^2-r^2),

• Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): v - скорость жидкости вдоль трубопровода;
• Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): r - расстояние от оси трубопровода;
• Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): R - радиус трубопровода;
• Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): p_1-p_2 - разность давлений на входе и на выходе из трубы;
• Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \eta - вязкость жидкости;
• Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): L - длина трубы.

Такой же профиль в соответствующих обозначениях имеет скорость при течении между двумя бесконечными параллельными плоскостями. Такое течение также называют течением Пуазёйля.

Закон Пуазёйля (Гагена - Пуазёйля)

Уравнение или закон Пуазёйля (закон Хагена - Пуазёйля или закон Хагена - Пуазёйля) - закон, определяющий расход жидкости при установившемся течении вязкой несжимаемой жидкости в тонкой цилиндрической трубке круглого сечения.

Сформулирован впервые Готтхильфом Хагеном (нем. Gotthilf Hagen , иногда Гаген ) в 1839 году на основе экспериментальных данных и вскоре повторно выведен Ж. Л. Пуазёйлем (фр. J. L. Poiseuille ) в 1840 году (также на основании эксперимента). Согласно закону, секундный объёмный расход жидкости пропорционален перепаду давления на единицу длины трубки (градиенту давления в трубе) и четвёртой степени радиуса (диаметра) трубы:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): Q= \int\limits_{S} v\left(r\right) dS = 2 \pi \int\limits_0^R v\left(r\right) r dr =\frac{\pi D^4 (p_1-p_2)}{128 \eta L}=\frac{\pi R^4 (p_1-p_2)}{8 \eta L},

• Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): Q - расход жидкости в трубопроводе;
• Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): D - диаметр трубопровода;

Закон Пуазёйля работает только при ламинарном течении и при условии, что длина трубки превышает так называемую длину начального участка, необходимую для развития в трубке ламинарного течения с параболическим профилем скорости.

Свойства

• Течение Пуазёйля характеризуется параболическим распределением скорости по радиусу трубки.
• В каждом поперечном сечении трубки средняя скорость вдвое меньше максимальной скорости в этом сечении.

См. также

Напишите отзыв о статье "Течение Пуазёйля"

Литература

• Касаткин А. Г. Основные процессы и аппараты химической технологии. - М.: ГХИ, - 1961. - 831 с.

Ссылки

Отрывок, характеризующий Течение Пуазёйля

– Мы недавно... Он всё время приносит новых людей, а иногда и маленьких зверей, и потом они пропадают, а он приносит новых.
Я с ужасом посмотрела на Стеллу:
– Это самый настоящий, реальный мир, и совершенно реальная опасность!.. Это уже не та невинная красота, которую мы создавали!.. Что будем делать?
– Уходить. – Опять упорно повторила малышка.
– Мы ведь можем попробовать, правда? Да и бабушка нас не оставит, если уж будет по-настоящему опасно. Видимо пока мы ещё можем выбраться сами, если она не приходит. Ты не беспокойся, она нас не бросит.
Мне бы её уверенность!.. Хотя обычно я была далеко не из пугливых, но эта ситуация заставляла меня очень сильно нервничать, так как здесь находились не только мы, но и те, за кем мы пришли в эту жуть. А как из данного кошмара выкарабкиваться – я, к сожалению, не знала.
– Здесь нету времени, но он приходит обычно через одинаковый промежуток, примерно как были сутки на земле. – Вдруг ответил на мои мысли мальчик.
– А сегодня уже был? – явно обрадованная, спросила Стелла.
Мальчонка кивнул.
– Ну что – пошли? – она внимательно смотрела на меня и я поняла, что она просит «надеть» на них мою «защиту».
Стелла первая высунула свою рыжую головку наружу...
– Никого! – обрадовалась она. – Ух ты, какой же это ужас!..
Я, конечно, не вытерпела и полезла за ней. Там и правда был настоящий «ночной кошмар»!.. Рядом с нашим странным «местом заточения», совершенно непонятным способом, повешенные «пучками» вниз головой, висели человеческие сущности... Они были подвешены за ноги, и создавали как бы перевёрнутый букет.
Мы подошли ближе – ни один из людей не показывал признаков жизни...
– Они же полностью «откачаны»! – ужаснулась Стелла. – У них не осталось даже капельки жизненной силы!.. Всё, давайте удирать!!!
Мы понеслись, что было сил, куда-то в сторону, абсолютно не зная – куда бежим, просто подальше бы от всей этой, замораживающей кровь, жути... Даже не думая о том, что можем снова вляпаться в такую же, или же ещё худшую, жуть...
Вдруг резко потемнело. Иссиня-чёрные тучи неслись по небу, будто гонимые сильным ветром, хотя никакого ветра пока что не было. В недрах чёрных облаков полыхали ослепительные молнии, красным заревом полыхали вершины гор... Иногда набухшие тучи распарывало о злые вершины и из них водопадом лилась тёмно-бурая вода. Вся эта страшная картинка напоминала, самый жуткий из жутких, ночной кошмар....
– Папочка, родимый, мне так страшно! – тоненько взвизгивал, позабыв свою былую воинственность, мальчонка.
Вдруг одна из туч «порвалась», и из неё полыхнул ослепительно яркий свет. А в этом свете, в сверкающем коконе, приближалась фигурка очень худого юноши, с острым, как лезвие ножа, лицом. Вокруг него всё сияло и светилось, от этого света чёрные тучи «плавились», превращаясь в грязные, чёрные лоскутки.
– Вот это да! – радостно закричала Стелла. – Как же у него это получается?!.
– Ты его знаешь? – несказанно удивилась я, но Стелла отрицательно покачала головкой.
Юноша опустился рядом с нами на землю и ласково улыбнувшись спросил:
– Почему вы здесь? Это не ваше место.
– Мы знаем, мы как раз пытались выбраться на верх! – уже во всю щебетала радостная Стелла. – А ты поможешь нам вернуться наверх?.. Нам обязательно надо быстрее вернуться домой! А то нас там бабушки ждут, и вот их тоже ждут, но другие.

Течение в длинной трубе кругового сечения под действием разности давлений на концах трубы было изучено Гагеном в 1839 г. и Пуазейлем в 1840 г. Можно считать, что течение, как и граничные условия, имеет осевую симметрию, так что - функция только расстояния от оси трубы. Соответствующее решение Уравнения (4.2.4) таково:

При в этом решении имеется нереальная особенность (связанная с конечной силой, действующей на жидкость на единицу

длины отрезка оси), если постоянная А не равна нулю; поэтому выберем именно это значение А. Выбирая постоянную В такой, чтобы получить на границе трубы при находим

Практический интерес представляет объемный поток жидкости через любое сечение трубы, величина которого

где (модифицированные) давления в начальном и концевом сечениях отрезка трубы, имеющего длину Гаген и Пуазейль установили в экспериментах с водой, что поток зависит от первой степени перепада давления и четвертой степени радиуса трубы (половина этой степени получается вследствие зависимости площади поперечного сечения трубы от ее радиуса, а другая половина связана с увеличением скорости и для данной результирующей силы вязкости при увеличении радиуса трубы). Точность, с которой получено постоянство отношения в наблюдениях, убедительно подтверждает предположение об отсутствии скольжения частиц жидкости на стенке трубы, а также косвенно подтверждает гипотезу о линейной зависимости вязкого напряжения от скорости деформации в данных условиях.

Касательное напряжение на стенке трубы равно

так что полная сила трения в направлении течения на участке трубы длиной I равна

Такого выражения для полной силы трения на стенке трубы и следовало ожидать, так как все элементы жидкости внутри этой части трубы в данный момент времени находятся в состоянии установившегося движения под действием нормальных сил на двух концевых сечениях и силы трения на стенке трубы. Кроме того, из выражения (4.1.5) видно, что скорость диссипации механической энергии на единицу массы жидкости под влиянием вязкости определяется в данном случае выражением

Таким образом, полная скорость диссипации в жидкости, заполняющей в данный момент отрезок круговой трубы длиной I, равна

В случае, в котором среда в трубе представляет собой капельную жидкость и на обоих концах трубы действует атмосферное давление (как если бы жидкость поступала в трубу из мелкого открытого резервуара и вытекала из конца трубы), градиент давления вдоль трубы создается силой тяжести. Абсолютное давление в данном случае одно и то же на обоих ее концах и поэтому постоянно во всей жидкости, так что модифицированное давление равно а и

Ламинарное течение вязкой несжимаемой жидкости в цилиндрической трубе

Анимация

Описание

Вследствие ламинарного (слоистого) характера течения вязкой несжимаемой жидкости в цилиндрической трубе скорость потока некоторым образом распределена по сечению трубы (рис. 1).

Распределение скоростей у входа в трубу при ламинарном течении

Рис. 1

L1 - длина начального участка формирования постоянного профиля скоростей.

Закон Пуазейля (математическим выражением которого является формула Пуазейля ) устанавливает зависимость между объемом жидкости, протекающим через трубу в единицу времени (расходом), длиной и радиусом трубы, и перепадом давления в ней.

Пусть ось трубы совпадает с осью Oz прямоугольной декартовой системы координат. При ламинарном течении скорость v жидкости во всех точках трубы параллельна оси Oz , т.е. v x = v y = 0, v z = v . Из уравнения неразрывности

dv /dt =F - (1/ r )grad p ,

где F - напряженность поля массовых сил;

р - давление;

r - плотность жидкости,

следует, что

дv/дz = 0, т.е. v = f(x,y) .

Из уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости (Навье-Стокса) следует:

дp/дx = дp/дy= 0,

дp/дz = dp/dz = h(д 2 v/дx 2 + д 2 v/дy 2 ) = const = -(D p/l) ,

где D p - падение давления на участке трубы длиной l .

Для круглой цилиндрической трубы данное уравнение можно представить в виде

(1/r)d(r(dv/dr))/dr = - D p/ h l ,

где r = sqr(x 2 + y 2 ) - расстояние от оси трубы.

Распределение скоростей по сечению трубы является параболическим и выражается формулой:

v(r) = (D p / 4 h l) (R 2 - r 2 ) ,

где R - радиус трубы;

r - расстояние от оси до рассматриваемой точки поперечного сечения;

h - динамическая вязкость жидкости;

D p - падение давления на участке трубы длиной l .

Секундный объемный расход жидкости определяется по формуле Пуазейля :

Q c = [(p R 4 ) /8 h l] D p.

Данная формула справедлива для ламинарных потоков, условие существования которых характеризуются критическим числом Рейнольдса Re кр (Re = 2Q c /p R n , n - кинематическая вязкость). При Re = Re кр ламинарное течение переходит в турбулентное. Для гладких круглых труб Re кр » 2300.

Временные характеристики

Время инициации (log to от -1 до 1);

Время существования (log tc от -1 до 5);

Время деградации (log td от -1 до 1);

Время оптимального проявления (log tk от 0 до 2).

Диаграмма:

Технические реализации эффекта

Закон Пуазейля применяется для определения коэффициентов различных жидкостей при различных температурах посредством капиллярных вискозиметров.

Техническая реализация эффекта

Рис. 2

Обозначения:

1 - контрольный участок трубы;

2 - баллон;

3 - редуктор;

4 - регулятор давления;

5 - манометр;

6 - вентиль;

7 - расходомер.

Уравнение Пуазейля играет важную роль в физиологии нашего кровообращения.

Применение эффекта

Формулой Пуазейля пользуются при расчетах показателей транспортировки жидкостей и газов в трубопроводах различного назначения. Ламинарный режим работы нефте- и газопроводов является наиболее выгодным в энергетическом отношении. Так, в частности, коэффициент трения при ламинарном режиме практически не зависит от шероховатости внутренней поверхности трубы (гладкие трубы).

Литература

1.Бреховских Л.М., Гончаров В.В. Введение в механику сплошных сред.- М.: Наука, 1982.

2. Разработка и эксплуатация нефтяных, газовых и газоконденсатных месторождений / Под ред. Ш.К. Гиматудинова.- М.: Недра, 1988.

Ключевые слова

• вязкость
• давление
• динамическая вязкость
• гидродинамика
• жидкость вязкая
• ламинарное течение
• напор
• перепад давления
• труба
• Пуазейля закон
• Пуазейля формула
• число Рейнольдса
• число Рейнольдса критическое

Разделы естественных наук: