Степенная функция, её свойства и график. Степенные функции, их свойства и графики
1. Степенная функция, ее свойства и график;
2. Преобразования:
Параллельный перенос;
Симметрия относительно осей координат;
Симметрия относительно начала координат;
Симметрия относительно прямой y = x;
Растяжение и сжатие вдоль осей координат.
3. Показательная функция, ее свойства и график, аналогичные преобразования;
4. Логарифмическая функция , ее свойства и график;
5. Тригонометрическая функция, ее свойства и график, аналогичные преобразования (y = sin x; y = cos x; y = tg x);
Функция: y = x\n - ее свойства и график.
Степенная функция, ее свойства и график
y = x, y = x 2 , y = x 3 , y = 1/x
и т. д. Все эти функции являются частными случаями степенной функции, т. е. функции y = x p
, где p - заданное действительное число.
Свойства и график степенной функции существенно зависит от свойств степени с действительным показателем, и в частности от того, при каких значениях x
и p
имеет смысл степень x p
. Перейдем к подобному рассмотрению различных случаев в зависимости от
показателя степени p.
- Показатель p = 2n - четное натуральное число.
y = x 2n , где n - натуральное число, обладает следующими свойствами:
- область определения - все действительные числа, т. е. множество R;
- множество значений - неотрицательные числа, т. е. y больше или равно 0;
- функция y = x 2n четная, так как x 2n = (-x) 2n
- функция является убывающей на промежутке x < 0 и возрастающей на промежутке x > 0.
График функции y = x 2n имеет такой же вид, как например график функции y = x 4 .
2. Показатель p = 2n - 1 - нечетное натуральное число
В этом случае степенная функция y = x 2n-1 , где натуральное число, обладает следующими свойствами:
- область определения - множество R;
- множество значений - множество R;
- функция y = x 2n-1 нечетная, так как (-x) 2n-1 = x 2n-1 ;
- функция является возрастающей на всей действительной оси.
График функции y = x 2n-1 y = x 3 .
3. Показатель p = -2n , где n - натуральное число.
В этом случае степенная функция y = x -2n = 1/x 2n обладает следующими свойствами:
- множество значений - положительные числа y>0;
- функция y = 1/x 2n четная, так как 1/(-x) 2n = 1/x 2n ;
- функция является возрастающей на промежутке x0.
График функции y = 1/x 2n имеет такой же вид, как, например, график функции y = 1/x 2 .
4. Показатель p = -(2n-1)
, где n
- натуральное число.
В этом случае степенная функция y = x -(2n-1)
обладает следующими свойствами:
- область определения - множество R, кроме x = 0;
- множество значений - множество R, кроме y = 0;
- функция y = x -(2n-1) нечетная, так как (-x) -(2n-1) = -x -(2n-1) ;
- функция является убывающей на промежутках x < 0 и x > 0 .
График функции y = x -(2n-1) имеет такой же вид, как, например, график функции y = 1/x 3 .
Функции у = ах, у = ax 2 , у = а/х - являются частными видами степенной функции при n = 1, n = 2, n = -1 .
В случае если n дробное число p / q с четным знаменателем q и нечетным числителем р , то величина может иметь два знака , а у графика появляется еще одна часть внизу оси абсцисс х , причем она симметрична верхней части.
Видим график двузначной функции у = ±2х 1/2 , т. е. представленный параболой с горизонтальной осью.
Графики функций у = х n при n = -0,1; -1/3; -1/2; -1; -2; -3; -10 . Эти графики проходят через точку (1; 1).
Когда n = -1 получаем гиперболу . При n < - 1 график степенной функции располагается сначала выше гиперболы, т.е. между х = 0 и х = 1 , а потом ниже (при х > 1 ). Если n > -1 график проходит наоборот. Отрицательные значений х и дробные значения n аналогичны для положительных n .
Все графики неограниченно приближаются как к оси абсцисс х, так и к оси ординат у , не соприкасаясь с ними. Вследствие сходства с гиперболой эти графики называют гиперболами n -го порядка.
Для удобства рассмотрения степенной функции будем рассматривать 4 отдельных случая: степенная функция с натуральным показателем, степенная функция с целым показателем, степенная функция с рациональным показателем и степенная функция с иррациональным показателем.
Степенная функция с натуральным показателем
Для начала введем понятие степени с натуральным показателем.
Определение 1
Степенью действительного числа $a$ с натуральным показателем $n$ называется число, равное произведению $n$ множителей, каждый из которых равняется числу $a$.
Рисунок 1.
$a$ - основание степени.
$n$ - показатель степени.
Рассмотрим теперь степенную функцию с натуральным показателем, её свойства и график.
Определение 2
$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in N)$ называется степенной функцией с натуральным показателем.
Для дальнейшего удобства рассмотрим отдельно степенную функцию с четным показателем $f\left(x\right)=x^{2n}$ и степенную функцию с нечетным показателем $f\left(x\right)=x^{2n-1}$ ($n\in N)$.
Свойства степенной функции с натуральным четным показателем
$f\left(-x\right)={(-x)}^{2n}=x^{2n}=f(x)$ -- функция четна.
Область значения -- $ \
Функция убывает, при $x\in (-\infty ,0)$ и возрастает, при $x\in (0,+\infty)$.
$f{""}\left(x\right)={\left(2n\cdot x^{2n-1}\right)}"=2n(2n-1)\cdot x^{2(n-1)}\ge 0$
Функция выпукла на всей области определения.
Поведение на концах области определения:
\[{\mathop{lim}_{x\to -\infty } x^{2n}\ }=+\infty \] \[{\mathop{lim}_{x\to +\infty } x^{2n}\ }=+\infty \]
График (рис. 2).
Рисунок 2. График функции $f\left(x\right)=x^{2n}$
Свойства степенной функции с натуральным нечетным показателем
Область определения -- все действительные числа.
$f\left(-x\right)={(-x)}^{2n-1}={-x}^{2n}=-f(x)$ -- функция нечетна.
$f(x)$ - непрерывна на всей области определения.
Область значения -- все действительные числа.
$f"\left(x\right)=\left(x^{2n-1}\right)"=(2n-1)\cdot x^{2(n-1)}\ge 0$
Функция возрастает на всей области определения.
$f\left(x\right)0$, при $x\in (0,+\infty)$.
$f{""\left(x\right)}={\left(\left(2n-1\right)\cdot x^{2\left(n-1\right)}\right)}"=2\left(2n-1\right)(n-1)\cdot x^{2n-3}$
\ \
Функция вогнута, при $x\in (-\infty ,0)$ и выпукла, при $x\in (0,+\infty)$.
График (рис. 3).
Рисунок 3. График функции $f\left(x\right)=x^{2n-1}$
Степенная функция с целым показателем
Для начала введем понятие степени с целым показателем.
Определение 3
Степень действительного числа $a$ c целым показателем $n$ определяется формулой:
Рисунок 4.
Рассмотрим теперь степенную функцию с целым показателем, её свойства и график.
Определение 4
$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in Z)$ называется степенной функцией с целым показателем.
Если степень больше нуля, то мы приходим к случаю степенной функции с натуральным показателем. Его мы уже рассмотрели выше. При $n=0$ мы получим линейную функцию $y=1$. Её рассмотрение оставим читателю. Осталось рассмотреть свойства степенной функции с отрицательным целым показателем
Свойства степенной функции с отрицательным целым показателем
Область определения -- $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.
Если показатель четный, то функция четна, если нечетный, то функция нечетна.
$f(x)$ - непрерывна на всей области определения.
Область значения:
Если показатель четный, то $(0,+\infty)$, если нечетный, то $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.
При нечетном показателе функция убывает, при $x\in \left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$. При четном показателе функция убывает при $x\in (0,+\infty)$. и возрастает, при $x\in \left(-\infty ,0\right)$.
$f(x)\ge 0$ на всей области определения
На области определения степенной функции y = x p
имеют место следующие формулы:
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Свойства степенных функций и их графики
Степенная функция с показателем равным нулю, p = 0
Если показатель степенной функции y = x p
равен нулю, p = 0
,
то степенная функция определена для всех x ≠ 0
и является постоянной, равной единице:
y = x p = x 0 = 1, x ≠ 0
.
Степенная функция с натуральным нечетным показателем, p = n = 1, 3, 5, ...
Рассмотрим степенную функцию y = x p = x n с натуральным нечетным показателем степени n = 1, 3, 5, ... . Такой показатель также можно записать в виде: n = 2k + 1 , где k = 0, 1, 2, 3, ... - целое не отрицательное. Ниже представлены свойства и графики таких функций.
График степенной функции y = x n с натуральным нечетным показателем при различных значениях показателя степени n = 1, 3, 5, ... .
Область определения:
-∞ < x < ∞
Множество значений:
-∞ < y < ∞
Четность:
нечетная, y(-x) = - y(x)
Монотонность:
монотонно возрастает
Экстремумы:
нет
Выпуклость:
при -∞ < x < 0
выпукла вверх
при 0 < x < ∞
выпукла вниз
Точки перегибов:
x = 0, y = 0
x = 0, y = 0
Пределы:
;
Частные значения:
при x = -1,
y(-1) =
(-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
при x = 0, y(0) = 0 n = 0
при x = 1, y(1) = 1 n = 1
Обратная функция:
при n = 1
,
функция является обратной к самой себе: x = y
при n ≠ 1
,
обратной функцией является корень степени n
:
Степенная функция с натуральным четным показателем, p = n = 2, 4, 6, ...
Рассмотрим степенную функцию y = x p = x n с натуральным четным показателем степени n = 2, 4, 6, ... . Такой показатель также можно записать в виде: n = 2k , где k = 1, 2, 3, ... - натуральное. Свойства и графики таких функций даны ниже.
График степенной функции y = x n с натуральным четным показателем при различных значениях показателя степени n = 2, 4, 6, ... .
Область определения:
-∞ < x < ∞
Множество значений:
0 ≤ y < ∞
Четность:
четная, y(-x) = y(x)
Монотонность:
при x ≤ 0
монотонно убывает
при x ≥ 0
монотонно возрастает
Экстремумы:
минимум, x = 0, y = 0
Выпуклость:
выпукла вниз
Точки перегибов:
нет
Точки пересечения с осями координат:
x = 0, y = 0
Пределы:
;
Частные значения:
при x = -1
,
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k = 1
при x = 0, y(0) = 0 n = 0
при x = 1, y(1) = 1 n = 1
Обратная функция:
при n = 2
,
квадратный корень:
при n ≠ 2
,
корень степени n
:
Степенная функция с целым отрицательным показателем, p = n = -1, -2, -3, ...
Рассмотрим степенную функцию y = x p = x n
с целым отрицательным показателем степени n = -1, -2, -3, ...
.
Если положить n = -k
,
где k = 1, 2, 3, ...
- натуральное, то ее можно представить в виде:
График степенной функции y = x n с целым отрицательным показателем при различных значениях показателя степени n = -1, -2, -3, ... .
Нечетный показатель, n = -1, -3, -5, ...
Ниже представлены свойства функции y = x n с нечетным отрицательным показателем n = -1, -3, -5, ... .
Область определения:
x ≠ 0
Множество значений:
y ≠ 0
Четность:
нечетная, y(-x) = - y(x)
Монотонность:
монотонно убывает
Экстремумы:
нет
Выпуклость:
при x < 0
:
выпукла вверх
при x > 0
:
выпукла вниз
Точки перегибов:
нет
Точки пересечения с осями координат:
нет
Знак:
при x < 0, y < 0
при x > 0, y > 0
Пределы:
; ; ;
Частные значения:
при x = 1, y(1) = 1 n = 1
Обратная функция:
при n = -1
,
при n < -2
,
Четный показатель, n = -2, -4, -6, ...
Ниже представлены свойства функции y = x n с четным отрицательным показателем n = -2, -4, -6, ... .
Область определения:
x ≠ 0
Множество значений:
y > 0
Четность:
четная, y(-x) = y(x)
Монотонность:
при x < 0
:
монотонно возрастает
при x > 0
:
монотонно убывает
Экстремумы:
нет
Выпуклость:
выпукла вниз
Точки перегибов:
нет
Точки пересечения с осями координат:
нет
Знак:
y > 0
Пределы:
; ; ;
Частные значения:
при x = 1, y(1) = 1 n = 1
Обратная функция:
при n = -2
,
при n < -2
,
Степенная функция с рациональным (дробным) показателем
Рассмотрим степенную функцию y = x p с рациональным (дробным) показателем степени , где n - целое, m > 1 - натуральное. Причем, n, m не имеют общих делителей.
Знаменатель дробного показателя - нечетный
Пусть знаменатель дробного показателя степени нечетный: m = 3, 5, 7, ... . В этом случае, степенная функция x p определена как для положительных, так и для отрицательных значений аргумента x . Рассмотрим свойства таких степенных функций, когда показатель p находится в определенных пределах.
Показатель p отрицательный, p < 0
Пусть рациональный показатель степени (с нечетным знаменателем m = 3, 5, 7, ... ) меньше нуля: .
Графики степенных функций с рациональным отрицательным показателем при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.
Нечетный числитель, n = -1, -3, -5, ...
Приводим свойства степенной функции y = x p с рациональным отрицательным показателем , где n = -1, -3, -5, ... - нечетное отрицательное целое, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.
Область определения:
x ≠ 0
Множество значений:
y ≠ 0
Четность:
нечетная, y(-x) = - y(x)
Монотонность:
монотонно убывает
Экстремумы:
нет
Выпуклость:
при x < 0
:
выпукла вверх
при x > 0
:
выпукла вниз
Точки перегибов:
нет
Точки пересечения с осями координат:
нет
Знак:
при x < 0, y < 0
при x > 0, y > 0
Пределы:
; ; ;
Частные значения:
при x = -1, y(-1) = (-1) n = -1
при x = 1, y(1) = 1 n = 1
Обратная функция:
Четный числитель, n = -2, -4, -6, ...
Свойства степенной функции y = x p с рациональным отрицательным показателем , где n = -2, -4, -6, ... - четное отрицательное целое, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.
Область определения:
x ≠ 0
Множество значений:
y > 0
Четность:
четная, y(-x) = y(x)
Монотонность:
при x < 0
:
монотонно возрастает
при x > 0
:
монотонно убывает
Экстремумы:
нет
Выпуклость:
выпукла вниз
Точки перегибов:
нет
Точки пересечения с осями координат:
нет
Знак:
y > 0
Пределы:
; ; ;
Частные значения:
при x = -1, y(-1) = (-1) n = 1
при x = 1, y(1) = 1 n = 1
Обратная функция:
Показатель p положительный, меньше единицы, 0 < p < 1
График степенной функции с рациональным показателем (0 < p < 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.
Нечетный числитель, n = 1, 3, 5, ...
< p < 1 , где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.
Область определения:
-∞ < x < +∞
Множество значений:
-∞ < y < +∞
Четность:
нечетная, y(-x) = - y(x)
Монотонность:
монотонно возрастает
Экстремумы:
нет
Выпуклость:
при x < 0
:
выпукла вниз
при x > 0
:
выпукла вверх
Точки перегибов:
x = 0, y = 0
Точки пересечения с осями координат:
x = 0, y = 0
Знак:
при x < 0, y < 0
при x > 0, y > 0
Пределы:
;
Частные значения:
при x = -1, y(-1) = -1
при x = 0, y(0) = 0
при x = 1, y(1) = 1
Обратная функция:
Четный числитель, n = 2, 4, 6, ...
Представлены свойства степенной функции y = x p с рациональным показателем , находящимся в пределах 0 < p < 1 , где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.
Область определения:
-∞ < x < +∞
Множество значений:
0 ≤ y < +∞
Четность:
четная, y(-x) = y(x)
Монотонность:
при x < 0
:
монотонно убывает
при x > 0
:
монотонно возрастает
Экстремумы:
минимум при x = 0, y = 0
Выпуклость:
выпукла вверх при x ≠ 0
Точки перегибов:
нет
Точки пересечения с осями координат:
x = 0, y = 0
Знак:
при x ≠ 0, y > 0
Пределы:
;
Частные значения:
при x = -1, y(-1) = 1
при x = 0, y(0) = 0
при x = 1, y(1) = 1
Обратная функция:
Показатель p больше единицы, p > 1
График степенной функции с рациональным показателем (p > 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.
Нечетный числитель, n = 5, 7, 9, ...
Свойства степенной функции y = x p с рациональным показателем, большим единицы: . Где n = 5, 7, 9, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.
Область определения:
-∞ < x < ∞
Множество значений:
-∞ < y < ∞
Четность:
нечетная, y(-x) = - y(x)
Монотонность:
монотонно возрастает
Экстремумы:
нет
Выпуклость:
при -∞ < x < 0
выпукла вверх
при 0 < x < ∞
выпукла вниз
Точки перегибов:
x = 0, y = 0
Точки пересечения с осями координат:
x = 0, y = 0
Пределы:
;
Частные значения:
при x = -1, y(-1) = -1
при x = 0, y(0) = 0
при x = 1, y(1) = 1
Обратная функция:
Четный числитель, n = 4, 6, 8, ...
Свойства степенной функции y = x p с рациональным показателем, большим единицы: . Где n = 4, 6, 8, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.
Область определения:
-∞ < x < ∞
Множество значений:
0 ≤ y < ∞
Четность:
четная, y(-x) = y(x)
Монотонность:
при x < 0
монотонно убывает
при x > 0
монотонно возрастает
Экстремумы:
минимум при x = 0, y = 0
Выпуклость:
выпукла вниз
Точки перегибов:
нет
Точки пересечения с осями координат:
x = 0, y = 0
Пределы:
;
Частные значения:
при x = -1, y(-1) = 1
при x = 0, y(0) = 0
при x = 1, y(1) = 1
Обратная функция:
Знаменатель дробного показателя - четный
Пусть знаменатель дробного показателя степени четный: m = 2, 4, 6, ... . В этом случае, степенная функция x p не определена для отрицательных значений аргумента. Ее свойства совпадают со свойствами степенной функции с иррациональным показателем (см. следующий раздел).
Степенная функция с иррациональным показателем
Рассмотрим степенную функцию y = x p с иррациональным показателем степени p . Свойства таких функций отличаются от рассмотренных выше тем, что они не определены для отрицательных значений аргумента x . Для положительных значений аргумента, свойства зависят только от величины показателя степени p и не зависят от того, является ли p целым, рациональным или иррациональным.
y = x p при различных значениях показателя p .
Степенная функция с отрицательным показателем p < 0
Область определения:
x > 0
Множество значений:
y > 0
Монотонность:
монотонно убывает
Выпуклость:
выпукла вниз
Точки перегибов:
нет
Точки пересечения с осями координат:
нет
Пределы:
;
Частное значение:
При x = 1, y(1) = 1 p = 1
Степенная функция с положительным показателем p > 0
Показатель меньше единицы 0 < p < 1
Область определения:
x ≥ 0
Множество значений:
y ≥ 0
Монотонность:
монотонно возрастает
Выпуклость:
выпукла вверх
Точки перегибов:
нет
Точки пересечения с осями координат:
x = 0, y = 0
Пределы:
Частные значения:
При x = 0, y(0) = 0 p = 0
.
При x = 1, y(1) = 1 p = 1
Показатель больше единицы p > 1
Область определения:
x ≥ 0
Множество значений:
y ≥ 0
Монотонность:
монотонно возрастает
Выпуклость:
выпукла вниз
Точки перегибов:
нет
Точки пересечения с осями координат:
x = 0, y = 0
Пределы:
Частные значения:
При x = 0, y(0) = 0 p = 0
.
При x = 1, y(1) = 1 p = 1
Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.
Урок и презентация на тему: "Степенные функции. Отрицательный целый показатель. График степенной функции"
Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.
Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 9 класса
Интерактивное пособие "Правила и упражнения по алгебре" для 9 класса
Мультимедийное учебное пособие для 9 класса "Алгебра за 10 минут"
Вид степенной функции с отрицательным показателем
Ребята, мы продолжаем изучать числовые функции. Темой сегодняшнего урока будут также степенные функции, но уже не с натуральным показателем, а целым отрицательным.имеет такой вид: $y=x^{-n}=\frac{1}{x^n}$.
Одну из таких функций мы прекрасно знаем – это гипербола. Ребята, вы помните график гиперболы? Постройте его самостоятельно.
Давайте посмотрим одну из функций подходящих нам и определим для нее свойства. $y=x^{-2}=\frac{1}{x^2}$.
Начнем исследование с четности. Стоит заметить, что свойство четности значительно упрощает построение графиков функции, т.к. мы можем построить половинку графика и потом просто ее отразить.
Область определения нашей функции – множество действительных чисел, кроме нуля, все мы прекрасно знаем, что на ноль делить нельзя. Область определения – симметричное множество, переходим к вычислению значения функции от отрицательного аргумента.
$f(-x)=\frac{1}{(-x)^2}=\frac{1}{x^2}=f(x)$.
Наша функция четная. Значит, мы можем построить график при $х≥0$, а потом его отразить относительно оси ординат.
Ребята, в этот раз предлагаю вместе построить график функции, как делают это во "взрослой" математике. Сначала определим свойства нашей функции, а потом по ним построим график. Будем учитывать, что $x>0$.
1. Область определения D(y)=(0;+∞).
2. Функция убывающая. Проверим это. Пусть $x1
3. Функция ограничена снизу. Очевидно, что $\frac{1}{x^2}>0$, что и значит ограниченность снизу.
Ограниченности сверху нет, так как если взять значение аргумента очень маленьким, близким к нулю, то значение функции будет стремиться к плюс бесконечности.
4. Наибольшего и наименьшего значения нет. Наибольшего значения нет, так как функция не ограничена сверху. Как же быть с наименьшим значением, ведь функция ограничена снизу.
Что значит, что функция имеет наименьшее значение?
Существует такая точка х0, что для всех х из области определения $f(x)≥f(x0)$, но наша функция убывающая на всей области определения, тогда существует такое число $х1>x0$, но $f(x1)Графики степенной функций с отрицательными показателями
Построим график нашей функции по точкам.
График нашей функции, очень похож на график гиперболы.
Воспользуемся свойством четности и отразим график относительно оси ординат.
Напишем свойства нашей функции для всех значений х.
1) D(y)=(-∞;0)U(0;+∞).
2) Четная функция.
3) Возрастает на (-∞;0], убывает на .
Решение. Функция убывает на всей области определения, тогда своих наибольших и наименьших значений она достигает на концах отрезка. Наибольшее значение будет на левом конце отрезка $f(1)=1$, наименьшее на правом $f(3)=\frac{1}{27}$.
Ответ: Наибольшее значение равно 1, наименьшее 1/27.
Пример. Построить график функции $y=(x+2)^{-4}+1$.
Решение. График нашей функции получается из графика функции $y=x^{-4}$ переносом его на две единицы влево и одну единицу вверх.
Построим график:
Задачи для самостоятельного решения
1. Найти наименьшее и наибольшее значение функции $y=\frac{1}{x^4}$ на отрезке .2. Построить график функции $y=(x-3)^{-5}+2$.