Презентация функции и их графики. Презентация "степенные функции, их свойства и графики" Виды функций и их графики презентация

Презентация «Степенные функции, их свойства и графики» - наглядное пособие для проведения школьного урока по данной теме. Изучив особенности и свойства степени с рациональным показателем, можно сделать полный анализ свойств степенной функции и ее поведения на координатной плоскости. В ходе данной презентации рассматривается понятие степенной функции, различные ее виды, поведение графика на координатной плоскости функции с отрицательным, положительным, четным, нечетным показателем, делается анализ свойств графика, описываются примеры решения задач с использованием изученного теоретического материала.

Применяя данную презентацию, учитель имеет возможность повысить эффективность урока. На слайде хорошо видны построения графика, с помощью цветного выделения и анимации выделяются особенности поведения функции, формируя глубокое понимание материала. Яркая, понятная и последовательная подача материала предусматривает лучшее запоминание его.

Демонстрация начинается с изученного на предыдущих занятиях свойства степени с рациональным показателем. Отмечается, что она преобразуется в корень a p/q = q √a p для неотрицательного а и неравного единице q. Напоминается, как это выполняется на примере 1,3 3/7 = 7 √1,3 3 . Далее дается определение степенной функции y=x k , в которой k является рациональным дробным показателем. Определение выделено в рамку для запоминания.

На слайде 3 демонстрируется поведение функции y=x 1 на координатной плоскости. Это функция вида у=х, а графиком является прямая, проходящая через начало координат и расположенная в первой и третьей четверти системы координат. На рисунке демонстрируется изображение графика функции, выделенного красным цветом.

Далее рассматривается степень 2 степенной функции. На слайде 4 представлено изображение графика функции y=x 2 . Школьники уже знакомы с данной функций и ее графиком - параболой. На слайде 5 рассматривается кубическая парабола - график функции y=x 3 . Ее поведение также уже изучено, поэтому ученики могут вспомнить свойства графика. Также рассматривается график функции y=x 6 . Он также представляет собой параболу - ее изображение прилагается к описанию функции. На слайде 7 изображен график функции y=x 7 . Это также кубическая парабола.

Затем описываются свойства функций с отрицательными показателями степени. На слайде 8 описывается вид степенной функции с целым отрицательным показателем y=x -n =1/х n . Примером графика такой функции служит график y=1/х 2 . Он имеет разрыв в точке х=0, состоит из двух частей, расположенных в первой и второй четвертях системы координат, каждая из которых при стремлении к бесконечности прижимается к оси абсцисс. Отмечается, что такое поведение функции характерно для четного n.

На слайде 10 строится график функции y=1/х 3 ., части которого лежат в первой и третьей четвертях. График также разрывается в точке х=0 и имеет асимптоты у=0 и х=0. Отмечается, что такое поведение графика характерно для функции, в которой степень является нечетным числом.

На слайде 11 описано поведение графика функции y=х 0 . Это прямая у=1. Она также демонстрируется на прямоугольной плоскости координат.

Далее анализируется разница между расположением ветви функции y=х n при увеличении показателя степени n. для наглядной демонстрации функциональные зависимости отмечены тем же цветом, что и графики. В результате этого видно, что при увеличении показателя функции ветвь графика сильнее прижимается к оси ординат, график становится более крутым. При этом график функции y=х 2,3 занимает среднее положение между y=х 2 и y=х 3 .

На слайде 13 рассмотренное поведение степенной функции обобщается в закономерности. Отмечается, что при 0<х<1 при увеличении показателя степени, уменьшается значение выражения х 5 < х 4 < х 3 , следовательно и √х 5 < √х 4 < √х 3 . Для х, большего 1, верно обратное утверждение - при увеличении показателя степени значение степенной функции увеличивается, то есть х 5 > х 4 > х 3 , следовательно, √х 5 > √х 4 > √х 3 .

Далее следует детальное рассмотрение поведения на координатной плоскости степенной функции y=х k , в которой показателем степени является неправильная дробь m/n, где m>n. на рисунке к описанию данной функции прилагается построенный график в первой четверти системы координат, который представляет собой ветвь параболы y=х 7/2 . Свойства функции для m/n>1 описаны на слайде 15 на примере графика y=х 7/2 . Отмечено, что она имеет область определения - луч

СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ У = f (х) У х 0 в 1 в 4 2 . Множество значений функции – это множество всех чисел, которые может принимать у МЗФ: у є [ в 4 ; в 1 ]

СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ У = f (х) У х 0 а 2 а 4 а 6 а 8 3. Корни (или нули) функции – это такие значения х, при которых функция равна нулю (у=0) f (x) = 0 при Х = а 2 ; а 4 ; а 6 ; а 8

СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ у= f (х) У х 0 а 1 а 2 а 4 а 6 а 8 а 9 4 . Участки знакопостоянства функции – это такие значений х при которых функция больше или меньше нуля (т.е. у > 0 или у 0 при Х є (а 1 ; а 2); (а 4 ; а 6); (а 8 ; а 9)

СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ у= f (х) У х 0 а 2 а 4 а 6 а 8 4 . Участки знакопостоянства функции – это такие значений х при которых функция больше или меньше нуля (т.е. у > 0 или у

СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ у= f (х) У х 0 а 3 а 5 а 7 а 9 5 . Монотонность функции – это участки возрастания и убывания функции Функция возрастает при Х є [ а 3 ; а 5 ] ; [ а 7 ; а 9 ] а 1 Функция убывает при Х є [ а 1 ; а 3 ] ; [ а 5 ; а 7 ]

СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ у= f (х) У х 0 а 3 а 5 а 7 в 2 в 3 в 4 Экстремумы функции F max (x) F min (x) F min (x) F max (х) = в 2 в точке экстремума х = а 5 F min (х) = в 3 в точке экстремума х = а 3 F min (x) = в 4 в точке экстремума х = а 7

СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ у= f (х) у х 0 а 7 а 9 в 1 в 4 7. Наибольшее и наименьшее значения функции (это самая высокая и самая низкая точки на графике функции) наибольшее значение F (х) = в 1 в точке х = а 9 наименьшее значение F (x) = в 4 в точке х = а 7

у х F(x) = x 2 у х F(x) = cos x х 0 0 Х -Х СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ Четные и нечетные функции Функция называется четной, если для любого Х из ее области определения выполняется правило f(x) = f(- x) График четной функции симметричен относительно оси У f(x) Х -Х f(x)

СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ Четные и нечетные функции Функция называется нечетной, если для любого Х из ее области определения выполняется правило f(x) = - f(x) График нечетной функции симметричен относительно начала координат у х 0 у=х 3 х f(x) - f(x) - х у х 0 у = 1 х 1 -1 1 -1

2 2 4 6 8 10 х -2 -4 -6 -8 -10 0 4 6 у -2 -4 у= f (х) Т = 4 Периодичность функций Если рисунок графика функции повторяется, то такая функция называется периодической, а длина отрезка по оси Х называется периодом функции (T) Периодическая функция подчиняется правилу f(x) = f(x+T) СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ

2 2 4 6 х -2 -4 -6 0 4 6 у -2 -4 -6 у= f (х) Т = 6 СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ Функция y=f(x) - периодическая с периодом Т = 6

1 1 2 3 4 5 х -1 -2 -3 -4 -5 0 2 3 4 у -1 -2 -3 -4 Указать свойства функции 1) ООФ 2) МЗФ 3) Нули функции 4) Функция положительная Функция отрицательная 5) Функция возрастает Функция убывает 6) Экстремумы функции F max (х) F min (х) 7) Наибольшее значение функции Наименьшее значение функции у= f (х)

1 1 2 3 4 5 х -1 -2 -3 -4 -5 0 2 3 4 у -1 -2 -3 -4 Указать свойства функции у= f (х)

2 2 4 6 8 10 х -2 -4 -6 -8 -10 0 4 6 8 у -2 -4 -6 -8 Указать свойства функции у= f (х)

2 2 х -2 0 у -2 Указать свойства функции у= f (х)

3 3 х -1 0 у -1 -4 -5 Построить график функции Дано: а) Область определения – есть промежуток [-4;3] б) Значения функции составляют промежуток [- 5 ;3] в) Функция убывает на промежутках [-4; 1 ] и [ 2 ;3] возрастает на промежутке [- 1 ; 2 ] г) Нули функции: -2 и 2

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ Зная график элементарной функции, например f(x) = x 2 можно построить график «сложной» функции, например f(x) = 3(x +2) 2 - 16 с помощью правил преобразования графиков

Правила преобразования графиков 1 правило: Смещение вдоль оси Х Если к аргументу Х прибавить или отнять число, то график сместится влево или вправо по оси Х f(x) f(x ± a) преобразовать в 0 у х 0 у х 4 -4 F(x) = x 2 F(x) = (x+4) 2 F(x) = (x-4) 2

Если к функции Y прибавить или отнять число, то график сместится вверх или вниз по оси Y f(x) f(x) =Х ± a преобразовать в Правила преобразования графиков 2 правило: смещение вдоль оси У у х 4 - 4 0 у х F(x) = x 2 F(x) = x 2 + 4 F(x) = x 2 - 4

Если аргумент Х умножить или разделить на число К, то график сожмется или растянется в К раз по оси Х f(x) f(к· x) преобразовать в Правила преобразования графиков 3 правило: сжатие (растяжение) графика вдоль оси Х у х F(x) = sin x F(x) = sin 2x

Если к функции Y прибавить или отнять число, то график сместится вверх или вниз по оси Y f(x) f(x) ± a преобразовать в у х F(x) = sin x F(x) = sin х 2 Правила преобразования графиков 3 правило: C жатие (растяжение) графика вдоль оси Х

Если функцию умножить или разделить на число К, то график растянется или сожмется в К раз по оси У f(x) к · f(x) преобразовать в Правила преобразования графиков 4 правило: сжатие (растяжение) графика вдоль оси У у х F(x) = cos x F(x) = cos x 1 2

Если функцию умножить или разделить на число К, то график растянется или сожмется в К раз по оси У f(x) к · f(x) преобразовать в Правила преобразования графиков 4 правило: сжатие (растяжение) графика вдоль оси У у х F(x) = cos x F(x) = 2cos x

Если перед функцией изменить знак на противоположный, то график симметрично перевернется относительно оси Х f(x) - f(x) преобразовать в Правила преобразования графиков 5 правило: переворот графика относительно оси Х у х F(x) = x 2 F(x) = - x 2

Одним из самых важных вопросов при изучении алгебры является функция. Изучение начинается еще в 7 классе. Однако учащиеся часто воспринимают материал с большим трудом. И даже в 11 классе тема вызывает трудности. Данная презентация является обобщением материала и надеюсь поможет снять трудности приизучении данной темы

Скачать:

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Функция. Свойства и графики функций. Логинова Н.В. учитель математики МБОУ «СОШ № 16» г. Ижевска 14.12.2014

Повторение по теме: 1. Что такое функция? Определение. Зависимость переменной y от переменной x , при которой каждому значению переменной х соответствует единственное значение переменной у, называют функцией. Определение. Соответствие f между двумя множествами X и Y , при котором каждому элементу множества X ставится в соответствие единственный элемент множества Y , называется функцией. 0 1 1 14.12.2014 Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16» 2 1 1

2. Как можно задать функцию? Переменную х называют независимой переменной или аргументом. Переменную у называют зависимой переменной. Говорят также, что переменная у является функцией от переменной х. Значения зависимой переменной называют значениями функции. Способы задания функций: табличный, графический, аналитический(с помощью формулы), словесный. 14.12.2014 Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16» 3

Напомним, что графиком функции называется множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты - соответствующим значениям функции. Все значения, которые принимает зависимая переменная, образуют область значений функции. Все значения независимой переменной образуют область определения функции. 3. Что такое график? 4. Что такое область определения и область значения функции? 14.12.2014 Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16» 4

1. 2. 3. ; () 4. 5. 6. ; () ; () Найдите область определения функции 14.12.2014 Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16» 5

Назовите функции с одинаковой областью определения 1. 2 . 3. 4. 5. 6. Задайте формулой функцию с областью определения 7. 8. 14.12.2014 Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16» 6

На рисунке изображён график зависимости температуры Т (º С) от времени суток t (час) Т ºc 4 2 t 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 ч -2 -4 14.12.2014 Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16» 7

Ограниченность функции Функция у = f (x) называют ограниченной снизу на множестве Х  D (f) , если все значения функции на множестве Х больше некоторого числа. если существует число m такое, что для любого значения х  Х выполняется неравенство f (x) > m . 14.12.2014 Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16» 8

Непрерывность функции х у 0 х у 0 14.12.2014 Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16» 9

Область определения функции D (f) – симметричное множество; 2. Для любого х  Х выполняется равенство: f (– x) = f (x) х у f (– x) = – f (x) х у Четные и нечетные функции 14.12.2014 Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16» 10

Выпуклость функции х у 0 х у 0 14.12.2014 Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16» 11

Периодичность функции Периодической называется функция, удовлетворяющая условию: f(x+T)=f(x) для любого х. Наименьшее значение Т называется периодом функции 14.12.2014 Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16» 12

Общая схема исследования функции 1. Область определения функции. 2. Исследование области значений функции. 3. Определение точек пересечения графика функции с осями координат (нули функции). 4. Исследование функции на монотонность (возрастание, убывание функции) 5. Определение промежутков знакопостоянства. 6. Исследование функции на непрерывность. 7. Исследование функции на четность. 8. Наибольшее и наименьшее значения функции. 9. Ограниченность функции. 10. Выпуклость функции. 11. Периодичность функции. 12. Построение графика функции. 14.12.2014 Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16» 13

х у 0 k > 0 возрастающая х у 0 k

Свойства функции D (f) = (- ;0)(0;+) Е (f) = (- ;0)(0;+) Монотонность k > 0 k

Свойства функции у = kx 2 1 . D (f) = (-  ;+ ) k > 0 k

График постоянной функции х у 0 у = С С 14.12.2014 Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16» 17

Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3 Рис. 6 Рис. 5 Рис. 4 Рис. 7 Рис. 8 14.12.2014 Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16» 18

Чтение графиков функций Самостоятельная работа Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16» 19

1 2 3 4 1 вариант Укажите область определения функции 2 вариант Укажите множество значений функции 1 14.12.2014 Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16» 20

1 2 3 4 2 1 вариант Укажите номер четной функции 2 вариант Укажите номер нечетной функции 14.12.2014 Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16» 21

3 На каком из следующих множеств функция, график которой изображен на рисунке 1 вариант 2 вариант возрастает убывает 1 2 3 4 1 2 3 4 14.12.2014 Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16» 22

1 2 3 4 1 вариант Найдите все значения, для которых выполняется неравенство. 2 вариант Найдите все значения, для которых выполняется неравенство. 4 14.12.2014 Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16» 23

F (х2)\n\nКоломина Н.Н..jpg","smallImageUrl":"\/\/pedsovet.su\/_load-files\/load\/48\/64\/3\/f\/2-page-13_300.jpg"},{"number":14,"text":"На рисунке изображен график функции y = f(x), заданной на\nпромежутке (-5;6). Укажите промежутки, где\nфункция возрастает.\nПодума\n1\n2\n3\n\nй!\n\n[-6;7]\nПодума\nй!\n[-5;-3] U\n\nПодума\nй!\n[-3;7]\nВерно!\n\nу\n7\n\n3\n-5\n\n-3\n\n0\n-2\n\n4\n\n[-3;2]\n-6\n\nПроверка (1)\n\nКоломина Н.Н..jpg","smallImageUrl":"\/\/pedsovet.su\/_load-files\/load\/48\/64\/3\/f\/2-page-14_300.jpg"},{"number":15,"text":"На рисунке изображен график функции y = f(x).\nУкажите количес\nнулей функции.\ny\n\nПодума\nй!\n1\n\n1\n\n2\n\n2\n\n3\n\n4\n\n4\n\n0\n\nПодума\nй!\nВерно!\n\nх\n\nПодума\nй!\n\nПроверка (1)\nКоломина Н.Н.\n\n0\n\nНуль функции – значение х, при котором y = 0. На\nрисунке – это точки пересечения графика с осью Ох..jpg","smallImageUrl":"\/\/pedsovet.su\/_load-files\/load\/48\/64\/3\/f\/2-page-15_300.jpg"},{"number":16,"text":"Какие из функций являются\nвозрастающими, а какие убывающими?\n\n1) y 5\n\nx\n\nвозрастающая, т.к.5  1\n\n2) y 0,5\n\n3) y 10\n\nx\n\nx\n\nубывающая, т.к.0  0,5  1\n\nвозрастающая, т.к.10  1\n\nая, т.к.  1\n4) y  x возрастающ\nx\n\n 2\n5) y  \n 3\n\n6) y 49\nКоломина Н.Н.\n\nx\n\n2\nубывающая, т.к.0   1\n3\n1\n1\nубывающая, т.к..jpg","smallImageUrl":"\/\/pedsovet.su\/_load-files\/load\/48\/64\/3\/f\/2-page-16_300.jpg"},{"number":17,"text":"Исследование функции на монотонность.\nКак возрастающие, так и убывающие функции\nназываются монотонными, а промежутки, в\nкоторых функция возрастает или убывает, промежутками монотонности.\n\/\\\n\nНапример, функция у= Х2 при х 0 монотонно\nвозрастает.\nФункция у= Х3 на всей числовой оси монотонно\nвозрастает, а\nфункция у= -Х3 на всей числовой оси монотонно\nубывает.\nКоломина Н.Н..jpg","smallImageUrl":"\/\/pedsovet.su\/_load-files\/load\/48\/64\/3\/f\/2-page-17_300.jpg"},{"number":18,"text":"Исследовать функцию на монотонность\nх\nу\n\nФункция у=х2\n\n-2 -1 0\n4 1 0\n\n1\n1\n\n2\n4\n\ny\n6\n5\n4\n3\n2\n1\n\n-6\n4\n\n-5\n5\n\n-4\n6\n\n-3\n\n-2 - -1\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n\nКоломина Н.Н..jpg","smallImageUrl":"\/\/pedsovet.su\/_load-files\/load\/48\/64\/3\/f\/2-page-18_300.jpg"},{"number":19,"text":"Обратная функция\nЕсли функция y  f (х) принимает каждое свое\nзначение только при единственном значении х, то\nтакую функцию называют обратимой.\nНапример, функция у=3х+5 является обратимой, т.к.\nкаждое значение у принимается при единственном\nзначении аргумента х. Напротив, функция у= 3Х2 не\nявляется обратимой, поскольку, например, значение\nу=3 она принимает и при х=1, и при х=-1.\nДля всякой непрерывной функции (такой, которая не\nимеет точек разрыва) существует монотонная\nоднозначная и непрерывная обратная функция.\nКоломина Н.Н..jpg","smallImageUrl":"\/\/pedsovet.su\/_load-files\/load\/48\/64\/3\/f\/2-page-19_300.jpg"},{"number":20,"text":"Диктант\n№\n\n№\n\nВариант-1\n\nВариант-2\n\nНайти область определения функции\n1\n\nу  х2  1\n\n1\n\nу\n\nНайти область значений\n2\n\nу\n\n3\n\nх 1\nх2  2\n\nх 1\n2\n2\nу\nх 2\nУказать способ задания функции\n\nх\n\n-2\n\n-1\n\n0\n\n1\n\nу\n\n3\n\n5\n\n7\n\n9\n\n3\n\nх2  1\n\n x  3, x   3;\nh x   2\n x  3, x  3.\n\nИсследовать функцию на четность\n4\n\n4\nИсследовать промежутки возрастания и убывания функции.\n\n5\nКоломина Н.Н..jpg","smallImageUrl":"\/\/pedsovet.su\/_load-files\/load\/48\/64\/3\/f\/2-page-20_300.jpg"},{"number":21,"text":"Функции.\n1. Линейная функция\n2.Квадратичная функция\n3.Степенная функция\n4.Показательная функция\n5.Догарифмическая функция\n6. Тригонометрическая\nфункция\nКоломина Н.Н..jpg","smallImageUrl":"\/\/pedsovet.su\/_load-files\/load\/48\/64\/3\/f\/2-page-21_300.jpg"},{"number":22,"text":"Линейная функция\n\ny = kx + b\ny\nb – свободный\nкоэффициент\nk – угловой\nкоэффициент\n\nk = tg α\nКоломина Н.Н..jpg","smallImageUrl":"\/\/pedsovet.su\/_load-files\/load\/48\/64\/3\/f\/2-page-22_300.jpg"},{"number":23,"text":"Квадратичная функция\n\ny = ax2 + bx + c, а ≠ 0\ny\n\n2\n\n b  b  4ac\nx1,2 \n2a\nb\nxв  \n2а\n4ac  b2\nyв \n4a\nКоломина Н.Н..jpg","smallImageUrl":"\/\/pedsovet.su\/_load-files\/load\/48\/64\/3\/f\/2-page-23_300.jpg"},{"number":24,"text":"Степенная функция\n\ny = xn\n\ny\n\ny = xnn, где n = 2k, k  Z\n\ny = xnn, где n = 2k +1, k  Z\n\n1\n01\n\nКоломина Н.Н..jpg","smallImageUrl":"\/\/pedsovet.su\/_load-files\/load\/48\/64\/3\/f\/2-page-24_300.jpg"},{"number":25,"text":"Показательная функция\nx\ny = a , а > 0, a ≠ 1\ny\n\ny=a\n01\n\nx\n\n1\nКоломина Н.Н..jpg","smallImageUrl":"\/\/pedsovet.su\/_load-files\/load\/48\/64\/3\/f\/2-page-25_300.jpg"},{"number":26,"text":"Логарифмическая функция\ny\n\ny = loga x , а >.jpg","smallImageUrl":"\/\/pedsovet.su\/_load-files\/load\/48\/64\/3\/f\/2-page-26_300.jpg"},{"number":27,"text":"Самостоятельная работа\nПостроить графики функций и найти:\n1. D(y)-область определения;\n2.E(y)-множество её значений;\n3.Проверить на чётность (нечётность);\n4.Найти промежутки монотонности и\nВариант-1\nВариант-2\nпромежутки\nзнакопостоянства;\n1.\n5.Определить точки1.пересечения с осями\n2.\n\n2.\n\n3.\n\n3.\n\n4.\n\n4.\n\n5.\n\n5.\n\nКоломина Н.Н..jpg","smallImageUrl":"\/\/pedsovet.su\/_load-files\/load\/48\/64\/3\/f\/2-page-27_300.jpg"},{"number":28,"text":"Вопросы для повторения\n1.Сформулируйте определение функции.\n2.Что называется областью определения функции?\n3. Что называется областью изменения\nфункции?\n4.Какими способами может быть\nзадана функция?\n5.Как находится\nобласть определения функции?\n6.Какие функции называются четными и как они исследуются на\nчетность?\n7.Какие функции\nназываются нечетными и как они исследуются на нечетность?\n8.Приведите примеры\nфункций, которые не являются ни четными, ни нечетными.\n9.Какие функции называются\nвозрастающими? Приведите примеры.\n10.Какие функции называются убывающими?\nПриведите примеры.\n11.Какие функции называются обратными?\n12.Как расположены графики прямой и\nобратной функций?\n\nКоломина Н.Н..jpg","smallImageUrl":"\/\/pedsovet.su\/_load-files\/load\/48\/64\/3\/f\/2-page-28_300.jpg"},{"number":29,"text":"Источники\nСсылки на изображения:\nГрафик:http:\/\/goldenbakes.com\/wordpress\/wpcontent\/uploads\/2013\/07\/\nSectors_Investment_Funds.jpg\nЛисток в клетку: http:\/\/demeneva.ru\/rmk\/fon\/59.png\nАвтор шаблона: Наталья Николаевна Коломина учитель математики\nМКОУ «Хотьковская СОШ» Думиничского района Калужской области.\nПрезентации:\nhttp:\/\/festival.1september.ru\/articles\/644838\/presentation\/pril.pptx Мухина Галина\nГеннадьевна\nhttp:\/\/prezentacii.com\/matematike\/223-sих графики voystva-funkciy-i-ih-grafiki.html\nhttp:\/\/semenova-klass.moy.su\/_ld\/1\/122____.ppt Елена Юрьевна Семенова\nБогомолов Н.В. Математика: учеб. для ссузов \/ Н.В.Богомолов,\nП.И.Самойленко.-3-е изд., стереотип.- М.: Дрофа, 2005.-395с.\n\nКоломина Н.Н..jpg","smallImageUrl":"\/\/pedsovet.su\/_load-files\/load\/48\/64\/3\/f\/2-page-29_300.jpg"}]">

Слайд 1

Тема 1.4 Функции, их свойства и графики

Слайд 2

Цели урока: Ознакомиться с понятием «функция», закрепить его на примерах Усвоить новые термины Узнать методы исследования функции Закрепить знания по теме при решении задач Научиться строить графики функций Коломина Н.Н.

Слайд 3

Немного истории Слово "функция" (от латинского functio - совершение, выполнение) впервые употребил в 1673 г. немецкий математик Лейбниц. В главном математическом труде "Геометрия" (1637) Рене Декарта впервые введено понятие переменной величины, создан метод координат, введены значки для переменных величин (x, y, z, ...) Коломина Н.Н. Определения функции «Функция переменного количества есть аналитическое выражение, cоставленное каким-либо образом из этого количества и чисел или постоянных количеств» сделал в 1748 г. немецкий и российский математик Леонард Эйлер

Слайд 4

Определение. «Зависимость переменной y от переменной x, при которой каждому значению переменной х соответствует единственное значение переменной у, называют функцией». у 6 5 4 3 2 1 х -6 -5 6 Символически функциональная зависимость между переменной у (функцией) и переменной х (аргументом) записывается с помощью равенства y  f (x) -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 Способы задания функций: табличный (таблица), графический(график), аналитический (формула). Коломина Н.Н. 0 1 2 3 4 5

Слайд 5

Общая схема исследования функции 1. Область определения функции. 2.Исследование области значений функции. 3. Исследование функции на четность. 4.Исследование промежутков возрастания и убывания функции. 5. Исследование функции на монотонность. 5. Исследование функции на экстремум. 6. Исследование функции на периодичность. 7. Определение промежутков знакопостоянства. 8.Определение точек пересечения графика функции с осями координат. 9. Построение графика функции. Коломина Н.Н.

Слайд 6

Область определения функции Областью определения (существования) функции называется множество всех действительных значений аргумента, при которых она может иметь действительное значение. Например, для функции у=х областью определения является множество всех действительных значений чисел R ; для функции у=1/х областью определения является множество R кроме х=0. Коломина Н.Н.

Слайд 7

Найдите область определения функции, график которой изображен на рисунке. 1 2 3 4 Подума [-5;7) й! [-5;7]Подума й! (-3;5] Проверка (1) Коломина Н.Н. у Подума й! Верно! [-3;5] 5 -5 0 7 х -3 Область определения функции – значения, которые принимает независимая переменная х.

Слайд 8

Множество значений функции. Множеством значений функции называется множество всех действительных значений функции у, которые она может принимать. Например, множеством значений функции у= х+1 является множество 2 R, у= Х +1 множеством значений функции является множество действительных чисел, больше или равных 1. Коломина Н.Н.

Слайд 9

Найдите множество значений функции, график которой изображен на рисунке. 1 2 Подума й! [-6;6] у 6 Подума й! [-4;6] Верно! -4 3 (-6;6) 4 Подума й! (-4;6) 0 6 х -6 Проверка (1) Коломина Н.Н. Множество значений функции – значения, которые принимает зависимая переменная у.

Слайд 10

Исследование функции на четность. Функция y  f (х) называется четной, если при всех значений х в области определения этой функции при изменения знака аргумента на противоположный значение функции не изменяется, т.е. . f ( х) парабола  f (х) у= Х2 является четной Например, функцией, т.к. (-Х2)= Х2 . График четной функции симметричен относительно оси Коломина Н.Н. оу.

Слайд 11

На одном из следующих рисунков изображен график четной функции. у у Укажите этот график. Подума й! Подума й! 1 0 х у 0 у х 2 Верно! Подума й! 3 Проверка (1) Коломина Н.Н. 4 0 х 0 График симметричен относительно оси Oу х

Слайд 12

Функция y  f (х) называется нечетной, если при всех значениях х в области определения этой функции при изменении знака аргумента на противоположный функция изменяется только по знаку, т.е. f ( х)  f (х) . Например, функция у= Х3 – нечетная, т.к. (-Х)3 = -Х3. График нечетной функции симметричен относительно начала координат. Свойством четности или нечетности обладает не всякая функция. Например, функция f (х)  Х2+ Х3 не является ни четной, ни нечетной: f ( х)  (-Х)2+ (-Х)3 = Х2 – Х3; Коломина Н.Н. Х2 + Х3= / Х2 – Х3 ;

Слайд 13

На одном из следующих рисунков изображен график нечетной функции. Укажите у этот график. у Верно! Подума й! О 1 х у О Подума й! О Проверка (1) Коломина Н.Н. 3 у Подума й! 2 х х О х 4 График симметричен относительно точки О.

Слайд 14

Определение промежутков возрастания и убывания 1 /\ /\ /\ /\ Среди множества функций есть функции, значения которых с увеличением аргумента только возрастают или только убывают. Такие функции называются возрастающими или убывающими. Функция называется возрастающей в промежутке а х в, если для любых Х1 и Х2 , принадлежащих этому промежутку, при Х1 Х2 имеет место неравенство 2 /\ /\ /\ Функция y  f (х) называется убывающей в промежутке а х в, если для любых Х1 и Х2, принадлежащих этому промежутку, при Х1 Х2 имеет место неравенство f (х1) > f (х2) Коломина Н.Н.

Слайд 15

На рисунке изображен график функции y = f(x), заданной на промежутке (-5;6). Укажите промежутки, где функция возрастает. Подума 1 2 3 й! [-6;7] Подума й! [-5;-3] U Подума й! [-3;7] Верно! у 7 3 -5 -3 0 -2 4 [-3;2] -6 Проверка (1) Коломина Н.Н. 2 6 х

Слайд 16

На рисунке изображен график функции y = f(x). Укажите количес нулей функции. y Подума й! 1 1 2 2 3 4 4 0 Подума й! Верно! х Подума й! Проверка (1) Коломина Н.Н. 0 Нуль функции – значение х, при котором y = 0. На рисунке – это точки пересечения графика с осью Ох.

Слайд 17

Какие из функций являются возрастающими, а какие убывающими? 1) y 5 x возрастающая, т.к.5  1 2) y 0,5 3) y 10 x x убывающая, т.к.0  0,5  1 возрастающая, т.к.10  1 ая, т.к.  1 4) y  x возрастающ x  2 5) y    3 6) y 49 Коломина Н.Н. x 2 убывающая, т.к.0   1 3 1 1 убывающая, т.к.49  и 0  1 49 49 1

Слайд 18

Исследование функции на монотонность. Как возрастающие, так и убывающие функции называются монотонными, а промежутки, в которых функция возрастает или убывает, промежутками монотонности. /\ Например, функция у= Х2 при х 0 монотонно возрастает. Функция у= Х3 на всей числовой оси монотонно возрастает, а функция у= -Х3 на всей числовой оси монотонно убывает. Коломина Н.Н.

Слайд 19

Исследовать функцию на монотонность х у Функция у=х2 -2 -1 0 4 1 0 1 1 2 4 y 6 5 4 3 2 1 -6 4 -5 5 -4 6 -3 -2 - -1 1 2 3 4 5 6 Коломина Н.Н. 0 1 2 3 Функция у=х2 х при х0 монотонно возрастает

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение Среднего профессионального образования. Димитровградский технический колледж. Проект Верещука Станислава. Тема: «Свойства и графики элементарных функций». Руководитель: преподаватель Кузьмина В.В. Димитровград 2007

1. Определение функции. 2. Линейная функция: возрастающая; убывающая; частные случаи. 3. Квадратичная функция.Квадратичная функция. 4. Степенная функция:Степенная функция: с четным натуральным показателем; с нечетным натуральным показателем; с целым отрицательным показателем; с действительным показателем. 5. Список использованной литературы.

Определение функции. Отношение между элементами двух множеств X и Y, при котором каждому элементу x первого множества соответствует один элемент у второго множества, называется функцией и записывают у = f(x). Все значения, которые принимает независимая переменная x, называют областью определения функции. Все значения, которые принимает зависимая переменная y, называют множеством значений функций или областью значений функции. Графиком функции называется множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты равны соответствующим значениям функции.

0 и b 0): 1.Областью определения функции является множество всех действительных чисел D(f)=R. 2. Множество значений линейной функции - множество всех действительных чисел E(f)=R. 3.При k>0 функция возрастает" title="Свойства линейной функции (при условии k > 0 и b 0): 1.Областью определения функции является множество всех действительных чисел D(f)=R. 2. Множество значений линейной функции - множество всех действительных чисел E(f)=R. 3.При k>0 функция возрастает" class="link_thumb"> 5 Свойства линейной функции (при условии k > 0 и b 0): 1.Областью определения функции является множество всех действительных чисел D(f)=R. 2. Множество значений линейной функции - множество всех действительных чисел E(f)=R. 3.При k>0 функция возрастает. y=kx+b (k>0) 0 и b 0): 1.Областью определения функции является множество всех действительных чисел D(f)=R. 2. Множество значений линейной функции - множество всех действительных чисел E(f)=R. 3.При k>0 функция возрастает"> 0 и b 0): 1.Областью определения функции является множество всех действительных чисел D(f)=R. 2. Множество значений линейной функции - множество всех действительных чисел E(f)=R. 3.При k>0 функция возрастает. y=kx+b (k>0)"> 0 и b 0): 1.Областью определения функции является множество всех действительных чисел D(f)=R. 2. Множество значений линейной функции - множество всех действительных чисел E(f)=R. 3.При k>0 функция возрастает" title="Свойства линейной функции (при условии k > 0 и b 0): 1.Областью определения функции является множество всех действительных чисел D(f)=R. 2. Множество значений линейной функции - множество всех действительных чисел E(f)=R. 3.При k>0 функция возрастает"> title="Свойства линейной функции (при условии k > 0 и b 0): 1.Областью определения функции является множество всех действительных чисел D(f)=R. 2. Множество значений линейной функции - множество всех действительных чисел E(f)=R. 3.При k>0 функция возрастает">

Свойства линейной функции (при условии k

Частные случаи линейной функции: 1.Если b=0, то линейная функция задаётся формулой y=кx. Такая функция называется прямой пропорциональностью. Графиком прямой пропорциональности является прямая, проходящая через начало координат. y=кx (k>0) y=кx (k 0) y=кx (k"> 0) y=кx (k"> 0) y=кx (k" title="Частные случаи линейной функции: 1.Если b=0, то линейная функция задаётся формулой y=кx. Такая функция называется прямой пропорциональностью. Графиком прямой пропорциональности является прямая, проходящая через начало координат. y=кx (k>0) y=кx (k"> title="Частные случаи линейной функции: 1.Если b=0, то линейная функция задаётся формулой y=кx. Такая функция называется прямой пропорциональностью. Графиком прямой пропорциональности является прямая, проходящая через начало координат. y=кx (k>0) y=кx (k">

Частные случаи линейной функции: 2.Если k=0, то линейная функция задаётся формулой y=b. Такая функция называется постоянной. Графиком постоянной функции является прямая, параллельная оси Ох. Если k=0 u b=0, то график постоянной функции совпадает с осью Ох.

Свойства степенной функции с чётным натуральным показателем: 1.Область определения D(f)=R - множество всех действительных чисел. 2.Область значений E(f)=R + - множество всех неотрицательных чисел. 3.Функция является четной т.е. f(-x)=f(x). 4.Нули функции: y=0 при x=0. 5.Функция убывает от - до 0 при х (-,0]. 6.Функция возрастает от 0 до + при х }