Записать пример в виде неравенства. Линейные неравенства
Определение и основные свойства неравенств.
Определения:
Неравенствами называют выражения вида a≤ b) ,a>b (a≥ b) ,
где a и b могут быть числами или функциями.
Символы <(≤ ) , >( ≥ ) называются знаками неравенства и читаются соответственно:
меньше(меньше или равно) ,больше(больше или равно).
Неравенства, которые записываются с помощью знаков > и < ,называются строгими ,
а неравенства, в записи которых участвуют знаки ≥ и ≤,- нестрогими .
Неравенства вида a
и читаются соответственно:x больше a ,но меньше b (x большеили равно a ,но меньше или равно b ).
Различают два вида неравенств: числовые (2>0 ,7 ;½ <6 ) и неравенства с переменной (5 x-40>0 ; x²-2x<0 ) .
Свойства числовых неравенств :
- Если a>b , то b; если a, то b>a .
- Если
a
и
b
, то a . - Если
aи c
-
любое
число,то a +c
- Если
a
и c>0
,
то
ac
Если a и c<0, то ac>bc . - Если
a
и
c
, то a +c. - Если
a
и c
, где a, b, c, d- положительные числа, то ac .
Числовые промежутки
| Неравенство |
Числовой промежуток |
Название промежутка |
Геометрическая интерпретация |
| замкнутый промежуток(отрезок) с концами a и b ,a |
|
||
| открытый промежуток (интервал) с концами a и b ,a |
|
||
| полуоткрытые промежутки (полуинтервалы) концами a и b ,a |
|
||
| бесконечные промежутки (лучи) |
|
||
| бесконечные промежутки (открытые лучи) |
|
||
|
бесконечный промежуток (числовая прямая) |
|
О сновные определения и свойства.
Определения:
Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной,
кот орое обращает его в верное числовое неравенство.
Решить неравенство - значит найти все его решения или доказать, что решений нет.
Неравенства, имеющие одни и те же решения, называются равносильными .
Неравенства, не имеющие решений, также считают равносильными.
При решении неравенств используются следующие свойства :
1) Если из одной части неравенства перенести в
другую слагаемое с противоположным знаком,
2) Если обе части неравенства умножить или
разделить на одно и то же положительное число,
то получится равносильное ему неравенство.
3) Если обе части неравенства умножить или
разделить на одно и то же отрицательное число,
изменив при этом знак неравенства на противоположный,
то получится равносильное ему неравенство.
Многие неравенства в процессе
преобразований сводятся к линейным неравенствам
.
Н еравенства вида ах>b (ах , где а и b - некоторые числа,
Называют линейными неравенствами с одной переменной.
Если a>0 ,то неравенство ax>b равносильно неравенству
и множество решений неравенства есть промежуток
Если a<0 ,то неравенство ax>b равносильно неравенству
и множество решений неравенства есть промежуток
неравенство примет вид 0∙ x>b , т.е. оно не имеет решений , если b≥0 ,
и верно при любых x ,если b<0 .
Аналитический способ решения неравенств с одной переменной.
Алгоритм решения неравенства с одной переменной
- Преобразовать обе части неравенства.
- Привести подобные слагаемые.
- Привести неравенства к простейшему виду, на основании свойств неравенств.
- Записать ответ.
Приведем примеры решения неравенств .
Пример 1. Решить неравенство 3x≤ 15.
Решение:
О бе части неравенства
р азделим на положительное число 3 (свойство 2 ) : x ≤ 5.
Множество решений неравенства представляет собой числовой промежуток (-∞;5] .
Ответ: (- ∞;5]
Пример 2 . Решить неравенство -10 x≥34 .
Решение:
О бе части неравенства р азделим на отрицательное число -10 ,
при этом знак неравенства изменим на противоположный (свойство 3 ) : x ≤ - 3,4.
Множество решений неравенства представляет собой промежуток (-∞;-3,4] .
Ответ : (-∞;-3,4] .
Пример 3. Решить неравенство 18+6x>0.
Решение:
Перенесем слагаемое 18 с противоположным знаком в левую часть неравенства (свойство 1): 6x>-18.
Разделим обе части на 6 (свойство 2 ) :
x>-3.
Множество решений неравенства представляет собой промежуток (-3;+∞ ).
Ответ: (-3;+∞ ).
Пример 4. Решить неравенство 3 (x-2)-4(x+2)<2(x-3)-2.
Решение:
Раскроем скобки : 3x-6-4x-8<2x-6-2 .
Перенесем члены,содержащие неизвестное,в левую часть,
а члены не содержащие неизвестное, в правую часть (свойство 1 ) :
3x-4x-2x<6+8-6-2.
Приведем подобные члены: -3 x<6.
Разделим обе части на -3 (свойство 3 ) :
x>-2.
Множество решений неравенства представляет собой промежуток (-2;+∞ ).
Ответ: (-2;+∞ ).
Пример 5 . Решить неравенство
Решение:
Умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель дробей,
входящих в неравенство, т. е. на 6 (свойство 2 ) .
Получим:
,
2x-3x≤12.
Отсюда, - x≤12,x≥-12 .
Ответ: [ -12;+∞ ).
Пример 6 . Решить неравенство 3(2-x)-2>5-3x.
Решение:
6-3x-2>5-3x, 4-3x>5-3x,-3x+3x>5-4.
Приведем подобные члены в левой части неравенства и запишем результат в виде 0 ∙ x>1.
Полученное неравенство не имеет решений, так как при любом значении x
оно обращается в числовое неравенство 0 < 1, не являющееся верным.
Значит, не имеет решений и равносильное ему заданное неравенство.
Ответ: решений нет.
Пример 7 . Решить неравенство 2(x+1)+5>3-(1-2x) .
Решение:
Упростим неравенство,раскрыв скобки:
2x+2+5>3-1+2x, 2x+7>2+2x,2x-2x>2-7, 0∙ x>-5 .
Полученное неравенство является верным при любом значении x,
так как левая часть при любом x равна нулю,а 0>-5.
Множеством решения неравенства является промежуток (-∞;+∞ ).
Ответ: (-∞;+∞ ).
Пример 8 . При каких значениях x имеет смысл выражение:
b)
Решение:
а)По определению арифметического квадратного корня
должно выполнятся следующее неравенство 5x-3 ≥0.
Решая, получаем 5x≥3, x≥0,6.
Итак, данное выражение имеет смысл при всех x из промежутка
То есть сначала записывают переменную, входящую в неравенство, затем с помощью знака принадлежности ∈ указывают к какому числовому промежутку принадлежат значения этой переменной. В данном случае выражение x ∈ [ 2 ; 8 ] указывает на то, что переменная x, входящая в неравенство 2 ≤ x ≤ 8, принимает все значения в промежутке от 2 до 8 включительно. При этих значениях неравенство будет верным.
Обратим внимание на то, что ответ записан с помощью квадратных скобок, поскольку границы неравенства 2 ≤ x ≤ 8 , а именно числа 2 и 8 принадлежат множеству решений этого неравенства.
Множество решений неравенства 2 ≤ x ≤ 8 также можно изобразить с помощью координатной прямой:
Здесь границы числового промежутка 2 и 8 соответствуют границам неравенства 2 ≤ x x 2 ≤ x ≤ 8 .
В некоторых источниках границы, которые не принадлежат числовому промежутку, называют открытыми .
Открытыми их называют по той причине, что числовой промежуток остаётся открытым из-за того, что его границы не принадлежат этому числовому промежутку. Пустой кружок на координатной прямой математики называют выколотой точкой . Выколоть точку значит исключить её из числового промежутка или из множества решений неравенства.
А в случае, когда границы принадлежат числовому промежутку, их называют закрытыми (или замкнутыми), поскольку такие границы закрывают (замыкают) собой числовой промежуток. Закрашенный кружок на координатной прямой также говорит о закрытости границ.
Существуют разновидности числовых промежутков. Рассмотрим каждый из них.
Числовой луч
Числовым лучом x ≥ a , где a x — решение неравенства.
Пусть a = 3 . Тогда неравенство x ≥ a примет вид x ≥ 3 . Решениями данного неравенства являются все числа, которые больше 3, включая само число 3.
Изобразим числовой луч, заданный неравенством x ≥ 3, на координатной прямой. Для этого отметим на ней точку с координатой 3, а всю оставшуюся справа от неё область выделим штрихами. Выделяется именно правая часть, поскольку решениями неравенства x ≥ 3 являются числа, бóльшие 3. А бóльшие числа на координатной прямой располагаются правее
x ≥ 3 , а выделенная штрихами область соответствует множеству значений x , которые являются решениями неравенства x ≥ 3 .
Точка 3, являющаяся границей числового луча, изображена в виде закрашенного кружка, поскольку граница неравенства x ≥ 3 принадлежит множеству его решений.
На письме числовой луч, заданный неравенством x ≥ a,
[ a ; +∞)
Видно, что с одной стороны граница обрамлена квадратной скобкой, а с другой круглой. Это связано с тем, что одна граница числового луча принадлежит ему, а другая нет, поскольку бесконечность сама по себе границ не имеет и подразумевается, что по ту сторону нет числа, замыкающего этот числовой луч.
Учитывая то, что одна из границ числового луча закрыта, данный промежуток часто называют закрытым числовым лучом .
Запишем ответ к неравенству x ≥ 3 с помощью обозначения числового луча. У нас переменная a равна 3
x ∈ [ 3 ; +∞)
В этом выражении говорится, что переменная x , входящая в неравенство x ≥ 3, принимает все значения от 3 до плюс бесконечности.
Иначе говоря, все числа от 3 до плюс бесконечности, являются решениями неравенства x ≥ 3 . Граница 3 принадлежит множеству решений, поскольку неравенство x ≥ 3 является нестрогим.
Закрытым числовым лучом также называют числовой промежуток, который задаётся неравенством x ≤ a . Решениями неравенства x ≤ a a , включая само число a .
К примеру, если a x ≤ 2 . На координатной прямой граница 2 будет изображаться закрашенным кружком, а вся область, находящаяся слева , будет выделена штрихами. В этот раз выделяется левая часть, поскольку решениями неравенства x ≤ 2 являются числа, меньшие 2. А меньшие числа на координатной прямой располагаются левее
x ≤ 2 , а выделенная штрихами область соответствует множеству значений x , которые являются решениями неравенства x ≤ 2 .
Точка 2, являющаяся границей числового луча, изображена в виде закрашенного кружка, поскольку граница неравенства x ≤ 2 принадлежит множеству его решений.
Запишем ответ к неравенству x ≤ 2 с помощью обозначения числового луча:
x ∈ (−∞ ; 2 ]
x ≤ 2. Граница 2 принадлежит множеству решений, поскольку неравенство x ≤ 2 является нестрогим.
Открытый числовой луч
Открытым числовым лучом называют числовой промежуток, который задаётся неравенством x > a , где a — граница данного неравенства, x — решение неравенства.
Открытый числовой луч во многом похож на закрытый числовой луч. Различие в том, что граница a не принадлежит промежутку, как и граница неравенства x > a не принадлежит множеству его решений.
Пусть a = 3 . Тогда неравенство примет вид x > 3 . Решениями данного неравенства являются все числа, которые больше 3, за исключением числа 3
На координатной прямой граница открытого числового луча, заданного неравенством x > 3, будет изображаться в виде пустого кружка. Вся область, находящаяся справа, будет выделена штрихами:
Здесь точка 3 соответствует границе неравенства x > 3 , а выделенная штрихами область соответствует множеству значений x , которые являются решениями неравенства x > 3 . Точка 3, являющаяся границей открытого числового луча, изображена в виде пустого кружка, поскольку граница неравенства x > 3 не принадлежит множеству его решений.
x > a , обозначается следующим образом:
(a ; +∞)
Круглые скобки указывают на то, что границы открытого числового луча не принадлежат ему.
Запишем ответ к неравенству x > 3 с помощью обозначения открытого числового луча:
x ∈ (3 ; +∞)
В этом выражении говорится, что все числа от 3 до плюс бесконечности, являются решениями неравенства x > 3 . Граница 3 не принадлежит множеству решений, поскольку неравенство x > 3 является строгим.
Открытым числовым лучом также называют числовой промежуток, который задаётся неравенством x < a , где a — граница данного неравенства, x — решение неравенства. Решениями неравенства x < a являются все числа, которые меньше a , исключая число a .
К примеру, если a = 2 , то неравенство примет вид x < 2 . На координатной прямой граница 2 будет изображаться пустым кружком, а вся область, находящаяся слева, будет выделена штрихами:
Здесь точка 2 соответствует границе неравенства x < 2 , а выделенная штрихами область соответствует множеству значений x , которые являются решениями неравенства x < 2 . Точка 2, являющаяся границей открытого числового луча, изображена в виде пустого кружка, поскольку граница неравенства x < 2 не принадлежит множеству его решений.
На письме открытый числовой луч, заданный неравенством x < a , обозначается следующим образом:
(−∞ ; a )
Запишем ответ к неравенству x < 2 с помощью обозначения открытого числового луча:
x ∈ (−∞ ; 2)
В этом выражении говорится, что все числа от минус бесконечности до 2, являются решениями неравенства x < 2. Граница 2 не принадлежит множеству решений, поскольку неравенство x < 2 является строгим.
Отрезок
Отрезком a ≤ x ≤ b , где a и b x — решение неравенства.
Пусть a = 2 , b = 8 . Тогда неравенство a ≤ x ≤ b примет вид 2 ≤ x ≤ 8 . Решениями неравенства 2 ≤ x ≤ 8 являются все числа, которые больше 2 и меньше 8. При этом границы неравенства 2 и 8 принадлежат множеству его решений, поскольку неравенство 2 ≤ x ≤ 8 является нестрогим.
Изобразим отрезок, заданный двойным неравенством 2 ≤ x ≤ 8 на координатной прямой. Для этого отметим на ней точки с координатами 2 и 8, а располагающуюся между ними область выделим штрихами:
≤ x ≤ 8 , а выделенная штрихами область соответствует множеству значений x x ≤ 8 . Точки 2 и 8, являющиеся границами отрезка, изображены в виде закрашенных кружков, поскольку границы неравенства 2 ≤ x ≤ 8 принадлежат множеству его решений.
На письме отрезок, заданный неравенством a ≤ x ≤ b обозначается следующим образом:
[ a ; b ]
Квадратные скобки с обеих сторон указывают на то, что границы отрезка принадлежат ему. Запишем ответ к неравенству 2 ≤ x
x ∈ [ 2 ; 8 ]
В этом выражении говорится, что все числа от 2 до 8 включительно, являются решениями неравенства 2 ≤ x ≤ 8 .
Интервал
Интервалом называют числовой промежуток, который задаётся двойным неравенством a < x < b , где a и b — границы данного неравенства, x — решение неравенства.
Пусть a = 2 , b = 8 . Тогда неравенство a < x < b примет вид 2 < x < 8 . Решениями этого двойного неравенства являются все числа, которые больше 2 и меньше 8, исключая числа 2 и 8.
Изобразим интервал на координатной прямой:
Здесь точки 2 и 8 соответствуют границам неравенства 2 < x < 8 , а выделенная штрихами область соответствует множеству значений x < x < 8 . Точки 2 и 8, являющиеся границами интервала, изображены в виде пустых кружков, поскольку границы неравенства 2 < x < 8 не принадлежат множеству его решений.
На письме интервал, заданный неравенством a < x < b, обозначается следующим образом:
(a ; b )
Круглые скобки с обеих сторон указывают на то, что границы интервала не принадлежат ему. Запишем ответ к неравенству 2 < x < 8 с помощью этого обозначения:
x ∈ (2 ; 8)
В этом выражении говорится, что все числа от 2 до 8, исключая числа 2 и 8, являются решениями неравенства 2 < x < 8 .
Полуинтервал
Полуинтервалом называют числовой промежуток, который задаётся неравенством a ≤ x < b , где a и b — границы данного неравенства, x — решение неравенства.
Полуинтервалом также называют числовой промежуток, который задаётся неравенством a < x ≤ b .
Одна из границ полуинтервала принадлежит ему. Отсюда и название этого числового промежутка.
В ситуации с полуинтервалом a ≤ x < b ему (полуинтервалу) принадлежит левая граница.
А в ситуации с полуинтервалом a < x ≤ b ему принадлежит правая граница.
Пусть a = 2 , b = 8 . Тогда неравенство a ≤ x < b примет вид 2 ≤ x < 8 . Решениями этого двойного неравенства являются все числа, которые больше 2 и меньше 8, включая число 2, но исключая число 8.
Изобразим полуинтервал 2 ≤ x < 8 на координатной прямой:
x < 8 , а выделенная штрихами область соответствует множеству значений x , которые являются решениями неравенства 2 ≤ x < 8 .
Точка 2, являющаяся левой границей полуинтервала, изображена в виде закрашенного кружка, поскольку левая граница неравенства 2 ≤ x < 8 принадлежит множеству его решений.
А точка 8, являющаяся правой границей полуинтервала, изображена в виде пустого кружка, поскольку правая граница неравенства 2 ≤ x < 8 не принадлежит множеству его решений.
a ≤ x < b, обозначается следующим образом:
[ a ; b )
Видно, что с одной стороны граница обрамлена квадратной скобкой, а с другой круглой. Это связано с тем, что одна граница полуинтервала принадлежит ему, а другая нет. Запишем ответ к неравенству 2 ≤ x < 8 с помощью этого обозначения:
x ∈ [ 2 ; 8)
В этом выражении говорится, что все числа от 2 до 8, включая число 2, но исключая число 8, являются решениями неравенства 2 ≤ x < 8 .
Аналогично на координатной прямой можно изобразить полуинтервал, заданный неравенством a < x ≤ b . Пусть a = 2 , b = 8 . Тогда неравенство a < x ≤ b примет вид 2 < x ≤ 8 . Решениями этого двойного неравенства являются все числа, которые больше 2 и меньше 8, исключая число 2, но включая число 8.
Изобразим полуинтервал 2 < x ≤ 8 на координатной прямой:
Здесь точки 2 и 8 соответствуют границам неравенства 2 < x ≤ 8 , а выделенная штрихами область соответствует множеству значений x , которые являются решениями неравенства 2 < x ≤ 8 .
Точка 2, являющаяся левой границей полуинтервала, изображена в виде пустого кружка, поскольку левая граница неравенства 2 < x ≤ 8 не принадлежит множеству его решений.
А точка 8, являющаяся правой границей полуинтервала, изображена в виде закрашенного кружка, поскольку правая граница неравенства 2 < x ≤ 8 принадлежит множеству его решений.
На письме полуинтервал, заданный неравенством a < x ≤ b, обозначается так: (a ; b ] . Запишем ответ к неравенству 2 < x ≤ 8 с помощью этого обозначения:
x ∈ (2 ; 8 ]
В этом выражении говорится, что все числа от 2 до 8, исключая число 2, но включая число 8, являются решениями неравенства 2 < x ≤ 8 .
Изображение числовых промежутков на координатной прямой
Числовой промежуток может быть задан с помощью неравенства или с помощью обозначения (круглых или квадратных скобок). В обоих случаях нужно суметь изобразить этот числовой промежуток на координатной прямой. Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1 . Изобразить числовой промежуток, заданный неравенством x > 5
Вспоминаем, что неравенством вида x > a задаётся открытый числовой луч. В данном случае переменная a равна 5. Неравенство x > 5 строгое, поэтому граница 5 будет изображаться в виде пустого кружкá. Нас интересуют все значения x, которые больше 5, поэтому вся область справа будет выделена штрихами:
Пример 2 . Изобразить числовой промежуток (5; +∞) на координатной прямой
Это тот же числовой промежуток, который мы изобразили в предыдущем примере. Но в этот раз он задан не с помощью неравенства, а с помощью обозначения числового промежутка.
Граница 5 обрамлена круглой скобкой, значит она не принадлежит промежутку. Соответственно, кружок остаётся пустым.
Символ +∞ указывает, что нас интересуют все числа, которые больше 5. Соответственно, вся область справа от границы 5 выделяется штрихами:
Пример 3 . Изобразить числовой промежуток (−5; 1) на координатной прямой.
Круглыми скобками с обеих сторон обозначаются интервалы. Границы интервала не принадлежат ему, поэтому границы −5 и 1 будут изображаться на координатной прямой в виде пустых кружков. Вся область между ними будет выделена штрихами:
Пример 4 . Изобразить числовой промежуток, заданный неравенством −5 < x < 1
Это тот же числовой промежуток, который мы изобразили в предыдущем примере. Но в этот раз он задан не с помощью обозначения промежутка, а с помощью двойного неравенства.
Неравенством вида a < x < b , задаётся интервал. В данном случае переменная a равна −5 , а переменная b равна единице. Неравенство −5 < x < 1 строгое, поэтому границы −5 и 1 будут изображаться в виде пустых кружка. Нас интересуют все значения x, которые больше −5 , но меньше единицы, поэтому вся область между точками −5 и 1 будет выделена штрихами:
Пример 5 . Изобразить на координатной прямой числовые промежутки [-1; 2] и
В этот раз изобразим на координатной прямой сразу два промежутка.
Квадратными скобками с обеих сторон обозначаются отрезки. Границы отрезка принадлежат ему, поэтому границы отрезков [-1; 2] и будут изображаться на координатной прямой в виде закрашенных кружков. Вся область между ними будет выделена штрихами.
Чтобы хорошо увидеть промежутки [−1; 2] и , первый можно изобразить на верхней области, а второй на нижней. Так и поступим:
Пример 6 . Изобразить на координатной прямой числовые промежутки [-1; 2) и (2; 5]
Квадратной скобкой с одной стороны и круглой с другой обозначаются полуинтервалы. Одна из границ полуинтервала принадлежат ему, а другая нет.
В случае с полуинтервалом [-1; 2) левая граница будет принадлежать ему, а правая нет. Значит левая граница будет изображаться в виде закрашенного кружка. Правая же граница будет изображаться в виде пустого кружка.
А в случае с полуинтервалом (2; 5] ему будет принадлежать только правая граница, а левая нет. Значит левая граница будет изображаться в виде закрашенного кружка. Правая же граница будет изображаться в виде пустого кружка.
Изобразим промежуток [-1; 2) на верхней области координатной прямой, а промежуток (2; 5] — на нижней:
Примеры решения неравенств
Неравенство, которое путём тождественных преобразований можно привести к виду ax > b (или к виду ax < b ), будем называть линейным неравенством с одной переменной .
В линейном неравенстве ax > b , x — это переменная, значения которой нужно найти, а — коэффициент этой переменной, b — граница неравенства, которая в зависимости от знака неравенства может принадлежать множеству его решений либо не принадлежать ему.
Например, неравенство 2x > 4 является неравенством вида ax > b . В нём роль переменной a играет число 2, роль переменной b (границы неравенства) играет число 4.
Неравенство 2x > 4 можно сделать ещё проще. Если мы разделим обе его части на 2, то получим неравенство x > 2
Получившееся неравенство x > 2 также является неравенством вида ax > b , то есть линейным неравенством с одной переменной. В этом неравенстве роль переменной a играет единица. Ранее мы говорили, что коэффициент 1 не записывают. Роль переменной b играет число 2.
Отталкиваясь от этих сведений, попробуем решить несколько простых неравенств. В ходе решения мы будем выполнять элементарные тождественные преобразования с целью получить неравенство вида ax > b
Пример 1 . Решить неравенство x − 7 < 0
Прибавим к обеим частям неравенства число 7
x − 7 + 7 < 0 + 7
В левой части останется x , а правая часть станет равна 7
x < 7
Путём элементарных преобразований мы привели неравенство x − 7 < 0 к равносильному неравенству x < 7 . Решениями неравенства x < 7 являются все числа, которые меньше 7. Граница 7 не принадлежит множеству решений, поскольку неравенство строгое.
Когда неравенство приведено к виду x < a (или x > a ), его можно считать уже решённым. Наше неравенство x − 7 < 0 тоже приведено к такому виду, а именно к виду x < 7 . Но в большинстве школ требуют, чтобы ответ был записан с помощью числового промежутка и проиллюстрирован на координатной прямой.
Запишем ответ с помощью числового промежутка. В данном случае ответом будет открытый числовой луч (вспоминаем, что числовой луч задаётся неравенством x < a и обозначается как (−∞ ; a )
x ∈ (−∞ ; 7)
На координатной прямой граница 7 будет изображаться в виде пустого кружка, а вся область, находящаяся слева от границы, будет выделена штрихами:
Для проверки возьмём любое число из промежутка (−∞ ; 7) и подставим его в неравенство x < 7 вместо переменной x . Возьмём, например, число 2
2 < 7
Получилось верное числовое неравенство, значит и решение верное. Возьмём ещё какое-нибудь число, например, число 4
4 < 7
Получилось верное числовое неравенство. Значит решение верное.
А поскольку неравенство x < 7 равносильно исходному неравенству x − 7 < 0 , то решения неравенства x < 7 будут совпадать с решениями неравенства x − 7 < 0 . Подставим те же тестовые значения 2 и 4 в неравенство x − 7 < 0
2 − 7 < 0
−5 < 0 — Верное неравенство
4 − 7 < 0
−3 < 0 Верное неравенство
Пример 2 . Решить неравенство −4x < −16
Разделим обе части неравенства на −4. Не забываем, что при делении обеих частей неравенства на отрицательное число , знак неравенства меняется на противоположный :
Мы привели неравенство −4x < −16 к равносильному неравенству x > 4 . Решениями неравенства x > 4 будут все числа, которые больше 4. Граница 4 не принадлежит множеству решений, поскольку неравенство строгое.
x > 4 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:
Пример 3 . Решить неравенство 3y + 1 > 1 + 6y
Перенесём 6y из правой части в левую часть, изменив знак. А 1 из левой части перенесем в правую часть, опять же изменив знак:
3y − 6y > 1 − 1
Приведём подобные слагаемые:
−3y > 0
Разделим обе части на −3. Не забываем, что при делении обеих частей неравенства на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный:
Решениями неравенства y < 0 являются все числа, меньшие нуля. Изобразим множество решений неравенства y < 0 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:
Пример 4 . Решить неравенство 5(x − 1) + 7 ≤ 1 − 3(x + 2)
Раскроем скобки в обеих частях неравенства:
Перенесем −3x из правой части в левую часть, изменив знак. Члены −5 и 7 из левой части перенесем в правую часть, опять же изменив знаки:
Приведем подобные слагаемые:
Разделим обе части получившегося неравенства на 8
Решениями неравенства являются все числа, которые меньше . Граница принадлежит множеству решений, поскольку неравенство является нестрогим.
Пример 5 . Решить неравенство
Умножим обе части неравенства на 2. Это позволит избавиться от дроби в левой части:
Теперь перенесем 5 из левой части в правую часть, изменив знак:
После приведения подобных слагаемых, получим неравенство 6x > 1 . Разделим обе части этого неравенства на 6. Тогда получим:
Решениями неравенства являются все числа, которые больше . Граница не принадлежит множеству решений, поскольку неравенство является строгим.
Изобразим множество решений неравенства на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:
Пример 6 . Решить неравенство
Умножим обе части на 6
После приведения подобных слагаемых, получим неравенство 5x < 30 . Разделим обе части этого неравенства на 5
Решениями неравенства x < 6 являются все числа, которые меньше 6. Граница 6 не принадлежит множеству решений, поскольку неравенство является x < 6 строгим.
Изобразим множество решений неравенства x < 6 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:
Пример 7
. Решить неравенство 
Умножим обе части неравенства на 10
В получившемся неравенстве раскроем скобки в левой части:
Перенесем члены без x в правую часть
Приведем подобные слагаемые в обеих частях:
Разделим обе части получившегося неравенства на 10
Решениями неравенства x ≤ 3,5 являются все числа, которые меньше 3,5. Граница 3,5 принадлежит множеству решений, поскольку неравенство является x ≤ 3,5 нестрогим.
Изобразим множество решений неравенства x ≤ 3,5 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:
Пример 8 . Решить неравенство 4 < 4x < 20
Чтобы решить такое неравенство, нужно переменную x освободить от коэффициента 4. Тогда мы сможем сказать в каком промежутке находится решение данного неравенства.
Чтобы освободить переменную x от коэффициента, можно разделить член 4x на 4. Но правило в неравенствах таково, что если мы делим член неравенства на какое-нибудь число, то тоже самое надо сделать и с остальными членами, входящими в данное неравенство. В нашем случае на 4 нужно разделить все три члена неравенства 4 < 4x < 20
Решениями неравенства 1 < x < 5 являются все числа, которые больше 1 и меньше 5. Границы 1 и 5 не принадлежат множеству решений, поскольку неравенство 1 < x < 5 является строгим.
Изобразим множество решений неравенства 1 < x < 5 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:
Пример 9 . Решить неравенство −1 ≤ −2x ≤ 0
Разделим все члены неравенства на −2
Получили неравенство 0,5 ≥ x ≥ 0 . Двойное неравенство желательно записывать так, чтобы меньший член располагался слева, а больший справа. Поэтому перепишем наше неравенство следующим образом:
0 ≤ x ≤ 0,5
Решениями неравенства 0 ≤ x ≤ 0,5 являются все числа, которые больше 0 и меньше 0,5. Границы 0 и 0,5 принадлежат множеству решений, поскольку неравенство 0 ≤ x ≤ 0,5 является нестрогим.
Изобразим множество решений неравенства 0 ≤ x ≤ 0,5 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:
Пример 10
. Решить неравенство 
Умножим обе неравенства на 12
Раскроем скобки в получившемся неравенстве и приведем подобные слагаемые:
Разделим обе части получившегося неравенства на 2
Решениями неравенства x ≤ −0,5 являются все числа, которые меньше −0,5. Граница −0,5 принадлежит множеству решений, поскольку неравенство x ≤ −0,5 является нестрогим.
Изобразим множество решений неравенства x ≤ −0,5 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:
Пример 11
. Решить неравенство 
Умножим все части неравенства на 3
Теперь из каждой части получившегося неравенства вычтем 6
Каждую часть получившегося неравенства разделим на −1. Не забываем, что при делении всех частей неравенства на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный:
Решениями неравенства 3 ≤ a ≤ 9 являются все числа, которые больше 3 и меньше 9. Границы 3 и 9 принадлежат множеству решений, поскольку неравенство 3 ≤ a ≤ 9 является нестрогим.
Изобразим множество решений неравенства 3 ≤ a ≤ 9 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:
Когда решений нет
Существуют неравенства, которые не имеют решений. Таковым, например, является неравенство 6x > 2(3x + 1) . В процессе решения этого неравенства мы придём к тому, что знак неравенства > не оправдает своего местоположения. Давайте посмотрим, как это выглядит.
Раскроем скобки в правой части данного неравенство, получим 6x > 6x + 2 . Перенесем 6x из правой части в левую часть, изменив знак, получим 6x − 6x > 2 . Приводим подобные слагаемые и получаем неравенство 0 > 2 , которое не является верным.
Для наилучшего понимания, перепишем приведение подобных слагаемых в левой части следующим образом:
Получили неравенство 0x > 2 . В левой части располагается произведение, которое будет равно нулю при любом x . А ноль не может быть больше, чем число 2. Значит неравенство 0x > 2 не имеет решений.
x > 2 , то не имеет решений и исходное неравенство 6x > 2(3x + 1) .
Пример 2
. Решить неравенство 
Умножим обе части неравенства на 3
В получившемся неравенстве перенесем член 12x из правой части в левую часть, изменив знак. Затем приведём подобные слагаемые:
Правая часть получившегося неравенства при любом x будет равна нулю. А ноль не меньше, чем −8. Значит неравенство 0x < −8 не имеет решений.
А если не имеет решений приведённое равносильное неравенство 0x
< −8
, то не имеет решений и исходное неравенство .
Ответ : решений нет.
Когда решений бесконечно много
Существуют неравенства, имеющие бесчисленное множество решений. Такие неравенства становятся верными при любом x .
Пример 1 . Решить неравенство 5(3x − 9) < 15x
Раскроем скобки в правой части неравенства:
Перенесём 15x из правой части в левую часть, изменив знак:
Приведем подобные слагаемые в левой части:
Получили неравенство 0x < 45 . В левой части располагается произведение, которое будет равно нулю при любом x . А ноль меньше, чем 45. Значит решением неравенства 0x < 45 является любое число.
x < 45 имеет бесчисленное множество решений, то и исходное неравенство 5(3x − 9) < 15x имеет те же решения.
Ответ можно записать в виде числового промежутка:
x ∈ (−∞; +∞)
В этом выражении говорится, что решениями неравенства 5(3x − 9) < 15x являются все числа от минус бесконечности до плюс бесконечности.
Пример 2 . Решить неравенство: 31(2x + 1) − 12x > 50x
Раскроем скобки в левой части неравенства:
Перенесём 50x из правой части в левую часть, изменив знак. А член 31 из левой части перенесём в правую часть, опять же изменив знак:
Приведём подобные слагаемые:
Получили неравенство 0x > −31 . В левой части располагается произведение, которое будет равно нулю при любом x . А ноль больше, чем −31 . Значит решением неравенства 0x < −31 является любое число.
А если приведённое равносильное неравенство 0x > −31 имеет бесчисленное множество решений, то и исходное неравенство 31(2x + 1) − 12x > 50x имеет те же решения.
Запишем ответ в виде числового промежутка:
x ∈ (−∞; +∞)
Задания для самостоятельного решения
Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках
Неравенство – обратная сторона равенства. Материал данной статьи дает определение неравенства и начальную информацию о нем в разрезе математики.
Понятие неравенства, как и понятие равенства, связывается с моментом сравнения двух объектов. В то время как равенство означает «одинаковы», то неравенство, напротив, свидетельствует о различиях объектов, которые сравниваются. К примеру, и - одинаковые объекты или равные. и - объекты, отличающиеся друг от друга или неравные.
Неравенство объектов определяется по смысловой нагрузке такими словами, как выше – ниже (неравенство по признаку высоты); толще – тоньше (неравенство по признаку толщины); длиннее – короче (неравенство по признаку длины) и так далее.
Возможно рассуждать как о равенстве-неравенстве объектов в целом, так и о сравнении их отдельных характеристик. Допустим, заданы два объекта: и . Без сомнений, эти объекты не являются одинаковыми, т.е. в целом они не равны: по признаку размера и цвета. Но, в то же время, мы можем утверждать, что равны их формы – оба объекта являются кругами.
В контексте математики смысловая нагрузка неравенства сохраняется. Однако, в этом случае речь идет о неравенстве математических объектов: чисел, значений выражений, значений величин (длина, площадь и т.д.), векторов, фигур и т.п.
Не равно, больше, меньше
В зависимости от целей поставленной задачи ценным можем являться уже просто факт выяснения неравенства объектов, но обычно вслед за установлением факта неравенства происходит выяснение того, какая все же величина больше, а какая – меньше.
Значение слов «больше» и «меньше» нам интуитивно знакомо с самого начала нашей жизни. Очевидным является навык определять превосходство объекта по размеру, количеству и т.д. Но в конечном счете любое сравнение приводит нас к сравнению чисел, которые определяют некоторые характеристики сравниваемых объектов. По сути, мы выясняем, какое число больше, а какое – меньше.
Простой пример:
Пример 1
Утром температура воздуха составила 10 градусов по Цельсию; в два часа дня этот показатель составил 15 градусов. На основе сравнения натуральных чисел мы можем утверждать, что значение температуры утром было меньше, чем ее значение в два часа дня (или в два часа дня температура увеличилась, стала больше, чем была температура утром).
Запись неравенств с помощью знаков
Существуют общепринятые обозначения для записи неравенств:
Определение 1
- знак «не равно», представляющий собой перечеркнутый знак «равно»: ≠ . Этот знак располагается между неравными объектами. Например: 5 ≠ 10 пять не равно десяти;
- знак «больше»: > и знак «меньше»: < . Первый записывается между большим и меньшим объектами; второй между меньшим и большим. Например, запись о сравнении отрезков вида | A B | > | C D | говорит о том, что отрезок A B больше отрезка С D ;
- знак «больше или равно»: ≥ и знак «меньше или равно»: ≤ .
Подробнее их смысл разберем ниже. Дадим определение неравенств по виду их записи.
Определение 2
Неравенства – алгебраические выражения, имеющие смысл и записанные при помощи знаков ≠ , > , < , ≤ , ≥ .
Строгие и нестрогие неравенства
Определение 3Знаки строгих неравенств – это знаки «больше» и «меньше»: > и < Неравенства, составленные с их помощью – строгие неравенства.
Знаки нестрогих неравенств – это знаки «больше или равно» и «меньше или равно»: ≥ и ≤ . Неравенства, составленные с их помощью – нестрогие неравенства.
Как применяются строгие неравенства, мы разобрали выше. Зачем же используются нестрогие неравенства? В практике такими неравенствами возможно задавать случаи, описываемые словами «не больше» и «не меньше». Фраза «не больше» означает меньше или столько же – этому уровню сравнения соответствует знак «меньше или равно» ≤ . В свою очередь, «не меньше» значит – столько же или больше, а это знак «больше или равно» ≥ . Таким образом, нестрогие неравенства, в отличие от строгих, дают возможность равенства объектов.
Верные и неверные неравенства
Определение 4Верное неравенство – то неравенство, которое соответствует указанному выше смыслу неравенства. В ином случае оно является неверным .
Приведем простые примеры для наглядности:
Пример 2
Неравенство 5 ≠ 5 является неверным, поскольку на самом деле числа 5 и 5 равны.
Или такое сравнение:
Пример 3
Допустим S – площадь некой фигуры, в этом случае S < - 4 является верным неравенством, поскольку площадь всегда выражена неотрицательным числом.
Аналогичными по смыслу термину «верное неравенство» являются фразы «справедливое неравенство», «имеет место неравенство» и т.д.
Свойства неравенств
Опишем свойства неравенств. Очевидный факт, что объект никак не может быть неравным самому себе, и это есть первое свойство неравенства. Второе свойство звучит так: если первый объект не равен второму, то и второй не равен первому.
Опишем свойства, соответствующие знакам «больше» или «меньше»:
Определение 5
- антирефлективность . Это свойство можно выразить так: для любого объекта k неравенства k > k и k < k неверны;
- антисимметричность . Данное свойство говорит о том, что, если первый объект больше или меньше второго, то второй объект, соответственно, меньше или больше первого. Запишем: если m > n , то n < m . Или: если m < n , то n > m ;
- транзитивность . В буквенной записи указанное свойство будет выглядеть так: если задано, что a < b и b < с, то a < c . Наоборот: a > b и b > с, а значит a > c . Данное свойство интуитивно понятно и естественно: если первый объект больше второго, а второй – больше третьего, то становится ясно, что первый объект тем более больше третьего.
Знакам нестрогих неравенств также присущи некоторые свойства:
Определение 6
- рефлексивность : a ≥ a и a ≤ a (сюда же включается случай, когда a = a);
- антисимметричность : если a ≤ b , то b ≥ a . Если же a ≥ b , то b ≤ a ;
- транзитивность : если a ≤ b и b ≤ c , то очевидно, что a ≤ c . И также: если а ≥ b , а b ≥ с, то а ≥ с.
Двойные, тройные и т.п. неравенства
Свойство транзитивности дает возможность записывать двойные, тройные и так далее неравенства, по сути являющиеся цепочками неравенств. К примеру: двойное неравенство – e > f > g или тройное неравенство k 1 ≤ k 2 ≤ k 3 ≤ k 4 .
Отметим, что удобным бывает записывать неравенство как цепочки, включающие в себя различные знаки: равно, не равно и знаки строгих и нестрогих неравенств. Например, x = 2 < y ≤ z < 15 .
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Например, неравенством является выражение \(x>5\).
Виды неравенств:
Если \(a\) и \(b\) – это числа или , то неравенство называется числовым . Фактически это просто сравнение двух чисел. Такие неравенства подразделяются на верные и неверные .
Например:
\(-5<2\) - верное числовое неравенство, ведь \(-5\) действительно меньше \(2\);
\(17+3\geq 115\) - неверное числовое неравенство, так как \(17+3=20\), а \(20\) меньше \(115\) (а не больше или равно).
Если же \(a\) и \(b\) – это выражения, содержащие переменную, то у нас неравенство с переменной
. Такие неравенства разделяют по типам в зависимости от содержимого:
|
\(2x+1\geq4(5-x)\) |
Переменная только в первой степени |
|||
|
\(3x^2-x+5>0\) |
Есть переменная во второй степени (квадрате), но нет старших степеней (третьей, четвертой и т.д.) |
|||
|
\(\log_{4}{(x+1)}<3\) |
||||
|
\(2^{x}\leq8^{5x-2}\) |
Что такое решение неравенства?
Если в неравенство вместо переменной подставить какое-нибудь число, то оно превратится в числовое.
Если данное значение для икса превращает исходное неравенство верное числовое, то оно называется решением неравенства . Если же нет - то данное значение решением не является. И чтобы решить неравенство – нужно найти все его решения (или показать, что их нет).
Например, если мы в линейное неравенство \(x+6>10\), подставим вместо икса число \(7\) –получим верное числовое неравенство: \(13>10\). А если подставим \(2\), будет неверное числовое неравенство \(8>10\). То есть \(7\) – это решение исходного неравенства, а \(2\) – нет.
Однако, неравенство \(x+6>10\) имеет и другие решения. Действительно, мы получим верные числовые неравенства при подстановке и \(5\), и \(12\), и \(138\)... И как же нам найти все возможные решения? Для этого используют Для нашего случая имеем:
\(x+6>10\) \(|-6\)
\(x>4\)
То есть нам подойдет любое число больше четырех. Теперь нужно записать ответ. Решения неравенств, как правило, записывают числовыми , дополнительно отмечая их на числовой оси штриховкой. Для нашего случая имеем:
Ответ:
\(x\in(4;+\infty)\)
Когда в неравенстве меняется знак?
В неравенствах есть одна большая ловушка, в которую очень «любят» попадаться ученики:
При умножении (или делении) неравенства на отрицательное число, меняется на противоположный («больше» на «меньше», «больше или равно» на «меньше или равно» и так далее)
Почему так происходит? Чтобы это понять, давайте посмотрим преобразования числового неравенства \(3>1\). Оно верное, тройка действительно больше единицы. Сначала попробуем умножить его на любое положительное число, например, двойку:
\(3>1\) \(|\cdot2\)
\(6>2\)
Как видим, после умножения неравенство осталось верным. И на какое бы положительное число мы не умножали – всегда будем получать верное неравенство. А теперь попробуем умножить на отрицательное число, например, минус тройку:
\(3>1\) \(|\cdot(-3)\)
\(-9>-3\)
Получилось неверное неравенство, ведь минус девять меньше, чем минус три! То есть, для того, чтобы неравенство стало верным (а значит, преобразование умножения на отрицательное было «законным»), нужно перевернуть знак сравнения, вот так: \(−9<− 3\).
С делением получится аналогично, можете проверить сами.
Записанное выше правило распространяется на все виды неравенств, а не только на числовые.
Пример: Решить неравенство \(2(x+1)-1<7+8x\)Решение:
|
\(2x+2-1<7+8x\) |
Перенесем \(8x\) влево, а \(2\) и \(-1\) вправо, не забывая при этом менять знаки |
|
\(2x-8x<7-2+1\) |
|
|
\(-6x<6\) \(|:(-6)\) |
Поделим обе части неравенства на \(-6\), не забыв поменять с «меньше» на «больше» |
|
Отметим на оси числовой промежуток. Неравенство , поэтому само значение \(-1\) «выкалываем» и в ответ не берем |
|
|
Запишем ответ в виде интервала |
Ответ: \(x\in(-1;\infty)\)
Неравенства и ОДЗ
Неравенства, также как и уравнения могут иметь ограничения на , то есть на значения икса. Соответственно, из промежутка решений должны быть исключены те значения, которые недопустимы по ОДЗ.
Пример: Решить неравенство \(\sqrt{x+1}<3\)
Решение: Понятно, что для того чтоб левая часть была меньше \(3\), подкоренное выражение должно быть меньше \(9\) (ведь из \(9\) как раз \(3\)). Получаем:
\(x+1<9\) \(|-1\)
\(x<8\)
Все? Нам подойдет любое значение икса меньшее \(8\)? Нет! Потому что если мы возьмем, например, вроде бы подходящее под требование значение \(-5\) – оно решением исходного неравенства не будет, так как приведет нас к вычислению корня из отрицательного числа.
\(\sqrt{-5+1}<3\)
\(\sqrt{-4}<3\)
Поэтому мы должны еще учесть ограничения на значения икса – он не может быть таким, чтоб под корнем было отрицательное число. Таким образом, имеем второе требование на икс:
\(x+1\geq0\)
\(x\geq-1\)
И чтобы икс был окончательным решением, он должен удовлетворять сразу обоим требованиям: он должен быть меньше \(8\) (чтобы быть решением) и больше \(-1\) (чтобы быть допустимым в принципе). Нанося на числовую ось, имеем окончательный ответ:
Ответ: \(\left[-1;8\right)\)
