Tengsizlik sifatida misol yozing. Chiziqli tengsizliklar

Ya'ni, birinchi navbatda, tengsizlikka kiritilgan o'zgaruvchi yoziladi, keyin a'zolik belgisi using yordamida bu o'zgaruvchining qiymatlari qaysi sonli intervalga tegishli ekanligini ko'rsatadi. Bunday holda, ifoda x∈ [2; 8] o'zgaruvchini bildiradi x, 2 ≤ tengsizlikka kiritilgan x≤ 8, 2 dan 8 gacha bo'lgan barcha qiymatlarni oladi. Bu qiymatlar uchun tengsizlik to'g'ri bo'ladi.

E'tibor bering, javob kvadrat qavs yordamida yoziladi, chunki tengsizlik chegarasi 2 ≤ x≤ 8, ya'ni 2 va 8 raqamlari bu tengsizlikning echimlari to'plamiga kiradi.

2 ≤ tengsizlikka echimlar to'plami x≤ 8 ni koordinata chizig'i yordamida ham chizish mumkin:

Bu erda 2 va 8 sonli interval chegaralari 2 ≤ tengsizlik chegaralariga to'g'ri keladi x x 2 ≤ x≤ 8 .

Ba'zi manbalarda raqamli intervalga tegishli bo'lmagan chegaralar deyiladi ochiq .

Ularning chegaralari bu raqamli bo'shliqqa tegishli emasligi uchun ochiq bo'shligicha qolishi sababli ular ochiq deb ataladi. Matematikaning koordinata chizig'idagi bo'sh aylana deyiladi teshilish nuqtasi ... Nuqtani ajratish, uni raqamli diapazondan yoki tengsizlikka echimlar to'plamidan chiqarib tashlash demakdir.

Va agar chegaralar raqamli intervalga tegishli bo'lsa, ular chaqiriladi yopiq(yoki yopiq), chunki bunday chegaralar son oralig'ini yopadi (yopadi). Koordinata chizig'idagi to'ldirilgan doira ham chegaralar yopilganligini ko'rsatadi.

Raqamlar orasidagi farqlar mavjud. Keling, ularning har birini ko'rib chiqaylik.

Raqamli nur

Raqamli nur x ≥ a, qaerda a x - tengsizlik yechimi.

Bo'lsin a= 3. Keyin tengsizlik x ≥ a shaklini oladi x≥ 3. Bu tengsizlikning echimlari 3 dan katta bo'lgan barcha sonlar, shu jumladan 3 raqamining o'zi.

Biz tengsizlik berilgan raqamli nurni ifodalaymiz x≥ 3, koordinata chizig'ida. Buning uchun unga koordinatasi 3 bo'lgan nuqtani va qolganini belgilang mintaqaning o'ng tomonida zarbalar bilan tanlang. Bu o'ng tomonda, chunki tengsizlikning echimlari x≥ 3 - 3 dan katta raqamlar. Va koordinata chizig'idagi yuqori raqamlar o'ng tomonda joylashgan

x≥ 3, va chiziqlar bilan ajratilgan maydon qiymatlar to'plamiga to'g'ri keladi x, bu tengsizlikning echimlari x≥ 3 .

Raqamli nurning chegarasi bo'lgan 3 -nuqta to'ldirilgan aylana sifatida ko'rsatilgan, chunki tengsizlik chegarasi x≥ 3 uning echimlari to'plamiga tegishli.

Yozma ravishda, tengsizlik berilgan raqamli nur x ≥ a,

[ a; +∞)

Ko'rinib turibdiki, bir tomondan chegara to'rtburchak qavs bilan, ikkinchisida - dumaloq. Buning sababi shundaki, sonli nurning bir chegarasi unga tegishli, ikkinchisiga tegishli emas, chunki cheksizlikning chegarasi yo'q va bu raqamni boshqa tomondan yopuvchi raqam yo'q degan ma'noni anglatadi.

Raqamli nurning chegaralaridan biri yopilganligini hisobga olsak, bu bo'shliq ko'pincha chaqiriladi yopiq raqamli chiziq.

Keling, tengsizlikka javob yozaylik x≥ 3 raqamli nur belgisi yordamida. Bizda o'zgaruvchi bor a 3 ga teng

x ∈ [ 3 ; +∞)

Bu ibora o'zgaruvchini bildiradi x tengsizlik ichida x≥ 3, barcha qiymatlarni 3 dan ortiqcha cheksizlikka oladi.

Boshqacha qilib aytganda, 3 dan ortiqcha cheksizlikgacha bo'lgan barcha raqamlar tengsizlikning echimidir x≥ 3. 3 -chegara echimlar to'plamiga tegishli, chunki tengsizlik x≥ 3 - yengil.

Yopiq sonli nurga tengsizlik berilgan raqamli interval ham deyiladi x ≤ a. Tengsizlik echimlari x ≤ a a, shu jumladan raqamning o'zi a.

Masalan, agar a x≤ 2. Koordinata chizig'ida 2 -chegara to'ldirilgan aylana bilan ifodalanadi va butun maydon joylashgan chapda, chiziqlar bilan ajratib ko'rsatiladi. Bu safar, chap tomon ta'kidlangan, chunki tengsizlikni hal qilish yo'llari x≤ 2 - 2 dan kichik raqamlar. Va koordinata chizig'idagi kichikroq raqamlar chap tomonda joylashgan

x≤ 2, va kesilgan maydon qiymatlar to'plamiga to'g'ri keladi x, bu tengsizlikning echimlari x≤ 2 .

Raqamli nurning chegarasi bo'lgan 2 -nuqta to'ldirilgan aylana sifatida ko'rsatilgan, chunki tengsizlik chegarasi x≤ 2 uning echimlari to'plamiga tegishli.

Keling, tengsizlikka javob yozaylik x≤ 2 raqamli nurli belgi yordamida:

x ∈ (−∞ ; 2 ]

x≤ 2. Chegara 2 tengsizlik tufayli echimlar to'plamiga tegishli x≤ 2 - yengil.

Ochiq raqamli chiziq

Ochiq raqamli chiziq tengsizlik berilgan raqamli interval deb ataladi x> a, qaerda a Bu tengsizlikning chegarasi, x- tengsizlikni echish.

Ochiq raqamli nur juda yopiq sonli nurga o'xshaydi. Farqi shundaki, chegara a intervalga, shuningdek, tengsizlik chegarasiga tegishli emas x> a ko'p qarorlariga tegishli emas.

Bo'lsin a= 3. Keyin tengsizlik shaklini oladi x> 3. Bu tengsizlikning echimlari 3 dan tashqari barcha raqamlar 3 dan katta

Koordinata chizig'ida tengsizlik berilgan ochiq sonli nurning chegarasi x> 3 bo'sh doira sifatida ko'rsatiladi. O'ngdagi butun maydon chiziqlar bilan ajratiladi:

Bu erda 3 -nuqta tengsizlik chegarasiga to'g'ri keladi x> 3, va chiziqlar bilan ajratilgan maydon qiymatlar to'plamiga to'g'ri keladi x, bu tengsizlikning echimlari x> 3. Ochiq sonli nurning chegarasi bo'lgan 3 -nuqta tengsizlik chegarasi bo'lgani uchun bo'sh aylana sifatida tasvirlangan. x> 3 uning ko'p echimlariga tegishli emas.

x> a, quyidagicha belgilanadi:

(a; +∞)

Qavslar ochiq raqamli nurning chegaralari unga tegishli emasligini ko'rsatadi.

Keling, tengsizlikka javob yozaylik x> 3 ochiq raqamli nurlar yozuvi yordamida:

x ∈ (3 ; +∞)

Bu ibora 3 dan ortiqcha cheksizlikgacha bo'lgan barcha raqamlar tengsizlikning echimi ekanligini aytadi x> 3. 3 -chegara echimlar to'plamiga tegishli emas, chunki tengsizlik x> 3 qat'iy.

Ochiq sonli nurga tengsizlik tufayli berilgan sonlar oralig'i ham deyiladi x< a , qaerda a Bu tengsizlikning chegarasi, x- tengsizlikni echish . Tengsizlik echimlari x< a dan kam bo'lgan barcha raqamlar a, raqam bundan mustasno a.

Masalan, agar a= 2, keyin tengsizlik shaklini oladi x< 2018-05-01 xoxlasa buladi 121 2. Koordinata chizig'ida 2 -chegara bo'sh doira bilan ifodalanadi va chapdagi butun maydon chiziqlar bilan ajratiladi:

Bu erda 2 -band tengsizlik chegarasiga to'g'ri keladi x< 2, va chiziqlar bilan ajratilgan maydon qiymatlar to'plamiga to'g'ri keladi x, bu tengsizlikning echimlari x< 2018-05-01 xoxlasa buladi 121 2. Ochiq sonli nurning chegarasi bo'lgan 2 -nuqta bo'sh doirada tasvirlangan, chunki tengsizlik chegarasi x< 2 uning ko'p echimlariga tegishli emas.

Yozma ravishda, tengsizlik berilgan ochiq raqamli nur x< a , quyidagicha belgilanadi:

(−∞ ; a)

Keling, tengsizlikka javob yozaylik x< 2 ochiq raqamli nurni belgilash yordamida:

x ∈ (−∞ ; 2)

Bu ifoda cheksiz cheksizdan 2gacha bo'lgan barcha sonlar tengsizlikning echimi ekanligini aytadi x< 2. 2 -chegara yechimlar to'plamiga tegishli emas, chunki tengsizlik x< 2 - qat'iy.

Chiziq segmenti

Segment bo'yicha a ≤ x ≤ b, qaerda a va b x- tengsizlikni echish.

Bo'lsin a = 2 , b= 8. Keyin tengsizlik a ≤ x ≤ b 2 ≤ shaklini oladi x≤ 8. 2 ≤ tengsizlik echimlari bo'yicha x≤ 8 - bu 2 dan katta va 8 dan kichik bo'lgan barcha sonlar. Bundan tashqari, 2 va 8 tengsizlik chegaralari uning echimlari to'plamiga tegishli, chunki 2 ≤ tengsizlik. x≤ 8 - yengil.

2 ≤ juft tengsizlik bilan berilgan segmentni chizing x Koordinata chizig'ida ≤ 8. Buning uchun 2 va 8 koordinatali nuqtalarni belgilang va chiziqlar orasidagi masofani belgilang:

≤ x≤ 8, va kesilgan maydon qiymatlar to'plamiga to'g'ri keladi x x≤ 8. Segment chegarasi bo'lgan 2 va 8 -bandlar to'ldirilgan doiralar sifatida ko'rsatiladi, chunki 2 ≤ tengsizlik chegaralari. x≤ 8 uning echimlari to'plamiga tegishli.

Yozma ravishda tengsizlik berilgan segment a ≤ x ≤ b quyidagicha belgilanadi:

[ a; b ]

Ikkala tomonning kvadrat qavslari chiziqning ekanligini ko'rsatadi tegishli uni Keling, 2 ≤ tengsizlikka javob yozaylik x

x ∈ [ 2 ; 8 ]

Bu ibora 2 dan 8 gacha bo'lgan barcha sonlar 2 ≤ tengsizlikning echimi ekanligini bildiradi x≤ 8 .

Interval

Interval raqamli interval deb ataladi, bu er -xotin tengsizlik bilan berilgan a< x < b , qaerda a va b- bu tengsizlikning chegaralari; x- tengsizlikni echish.

Bo'lsin a = 2, b = 8... Keyin tengsizlik a< x < b 2 shaklini oladi< x< 8 . Решениями этого двойного неравенства являются все числа, которые больше 2 и меньше 8, исключая числа 2 и 8.

Keling, koordinata chizig'idagi intervalni chizamiz:

Bu erda 2 va 8 -bandlar 2 -tengsizlik chegaralariga to'g'ri keladi< x< 8 , а выделенная штрихами область соответствует множеству значений x < x< 8 . Точки 2 и 8, являющиеся границами интервала, изображены в виде пустых кружков, поскольку границы неравенства 2 < x< 8 не принадлежат множеству его решений.

Maktubda tengsizlik bilan berilgan interval a< x < b, quyidagicha belgilanadi:

(a; b)

Ikkala tomonning parantezlari interval chegarasi ekanligini ko'rsatadi tegishli emas uni Keling, 2 -tengsizlik javobini yozaylik< x< 8 с помощью этого обозначения:

x ∈ (2 ; 8)

Bu ibora 2 dan 8 gacha bo'lgan raqamlarni hisobga olmaganda, 2 dan 8 gacha bo'lgan barcha sonlar 2 tengsizlikning echimi ekanligini aytadi< x< 8 .

Yarim intervalli

Yarim interval bilan tengsizlik berilgan raqamli interval deb ataladi a ≤ x< b , qaerda a va b- bu tengsizlikning chegaralari; x- tengsizlikni echish.

Yarim intervalni raqamli interval ham deyiladi, bu tengsizlik bilan berilgan a< x ≤ b .

Yarim intervalning chegaralaridan biri unga tegishli. Shuning uchun bu raqamli intervalning nomi.

Yarim intervalli vaziyatda a ≤ x< b chap chegara unga tegishli (yarim interval).

Va yarim intervalli vaziyatda a< x ≤ b o'ng chegara unga tegishli.

Bo'lsin a= 2 , b= 8. Keyin tengsizlik a ≤ x< b 2 ≤ shaklini oladi x < 8 . Решениями этого двойного неравенства являются все числа, которые больше 2 и меньше 8, включая число 2, но исключая число 8.

Biz 2 ≤ yarim intervalini ifodalaymiz x < 8 на координатной прямой:

x < 8 , а выделенная штрихами область соответствует множеству значений x bu 2 ≤ tengsizlikning echimlari x < 8 .

2 -nuqta chap chegara yarim interval to'ldirilgan aylana sifatida ko'rsatilgan, chunki tengsizlikning chap chegarasi 2 ≤ x < 8 tegishli uning ko'plab qarorlari.

Va 8 -nuqta, ya'ni o'ng chegara yarim interval, bo'sh doira sifatida tasvirlangan, chunki tengsizlikning o'ng chegarasi 2 ≤ x < 8 emas tegishli uning ko'plab qarorlari.

a ≤ x< b, quyidagicha belgilanadi:

[ a; b)

Ko'rinib turibdiki, bir tomondan chegara to'rtburchak qavs bilan, ikkinchisida - dumaloq. Buning sababi shundaki, yarim intervalning bir chegarasi unga tegishli, ikkinchisi esa yo'q. Keling, 2 ≤ tengsizlikka javob yozaylik x < 8 с помощью этого обозначения:

x ∈ [ 2 ; 8)

Bu ibora 2 dan 8 gacha bo'lgan barcha sonlar, shu jumladan 2, lekin 8ni hisobga olmaganda, 2 ≤ tengsizlikning echimi ekanligini bildiradi. x < 8 .

Xuddi shunday, koordinata chizig'ida tengsizlik berilgan yarim intervalni tasvirlash mumkin a< x ≤ b ... Bo'lsin a= 2 , b= 8. Keyin tengsizlik a< x ≤ b 2 shaklini oladi< x≤ 8. Bu er -xotin tengsizlikning echimlari 2 dan katta va 8 dan kichik bo'lgan barcha sonlar, 2 dan tashqari, lekin 8 ni o'z ichiga oladi.

Yarim intervalli 2 ni chizamiz< x Koordinata chizig'ida ≤ 8:

Bu erda 2 va 8 -bandlar 2 -tengsizlik chegaralariga to'g'ri keladi< x≤ 8, va kesilgan maydon qiymatlar to'plamiga to'g'ri keladi x tengsizlikning echimlari 2< x≤ 8 .

2 -nuqta chap chegara tengsizlikning chap chegarasi 2 bo'lgani uchun bo'sh intervalli tasvirlangan yarim interval< x≤ 8 tegishli emas uning ko'plab qarorlari.

Va 8 -nuqta, ya'ni o'ng chegara yarim interval to'ldirilgan aylana sifatida ko'rsatiladi, chunki tengsizlikning o'ng chegarasi 2< x≤ 8 tegishli uning ko'plab qarorlari.

Maktubda tengsizlik bilan berilgan yarim interval a< x ≤ b, quyidagicha ifodalanadi: ( a; b]. Keling, 2 -tengsizlik javobini yozaylik< x≤ 8 bu belgidan foydalanib:

x ∈ (2 ; 8 ]

Bu iborada 2 dan 8 gacha bo'lgan 2 dan 8 gacha bo'lgan barcha sonlar 2 tengsizlikning echimi ekanligi aytilgan.< x≤ 8 .

Raqamli intervallarni koordinata chizig'ida ko'rsatish

Raqamli diapazonni tengsizlik yordamida yoki belgi (qavs yoki kvadrat qavs) yordamida ko'rsatish mumkin. Ikkala holatda ham siz bu raqamli intervalni koordinata chizig'ida tasvirlay olishingiz kerak. Keling, bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik.

Misol 1... Tengsizlik bilan berilgan raqamlar oralig'ini chizish x> 5

Eslatib o'tamiz, shaklning tengsizligi x> a ochiq raqamli chiziq ko'rsatiladi. Bunday holda, o'zgaruvchi a teng 5. Tengsizlik x> 5 qat'iy, shuning uchun chegara 5 bo'sh doira sifatida ko'rsatiladi. Biz barcha qadriyatlarga qiziqamiz x, 5 dan katta, shuning uchun o'ngdagi butun maydon chiziqlar bilan ajratiladi:

Misol 2... Koordinata chizig'ida sonli intervalni (5; + ∞) chizing

Bu biz oldingi misolda tasvirlagan raqamlar oralig'i. Ammo bu safar bu tengsizlik yordamida emas, balki raqamli intervalni belgilash orqali ko'rsatiladi.

Chegara 5 qavs bilan o'ralgan, shuning uchun u bo'shliqqa tegishli emas. Shunga ko'ra, aylana bo'sh qoladi.

+ ∞ belgisi bizni 5 dan katta bo'lgan barcha raqamlarga qiziqtirayotganimizni ko'rsatadi. Shunga ko'ra, 5 -chegaraning o'ng tomonidagi butun maydon chiziqlar bilan ajratilgan:

Misol 3... Koordinata chizig'ida sonli intervalni (-5; 1) chizing.

Ikkala tomonning qavslari oraliqni bildiradi. Interval chegaralari unga tegishli emas, shuning uchun -5 va 1 chegaralari koordinata chizig'ida bo'sh doiralar sifatida ko'rsatiladi. Ularning orasidagi butun maydon chiziqlar bilan belgilanadi:

Misol 4... -5 tengsizlik berilgan son oralig'ini chizing< x< 1

Bu biz oldingi misolda tasvirlagan raqamlar oralig'i. Lekin bu safar intervalli belgi orqali emas, balki er -xotin tengsizlik orqali berilgan.

Turlarning tengsizligi tufayli a< x < b , interval belgilanadi. Bunday holda, o'zgaruvchi a-5 ga teng va o'zgaruvchi b biriga tengdir. Tengsizlik -5< x< 1 qattiq, shuning uchun -5 va 1 chegaralari bo'sh doiralar sifatida ko'rsatiladi. Biz barcha qadriyatlarga qiziqamiz x,-5 dan katta, lekin bittadan kam, shuning uchun -5 va 1 nuqtalar orasidagi butun maydon chiziqlar bilan ajratiladi:

Misol 5... Koordinata chizig'iga raqamli intervallarni [-1; 2] va

Bu safar biz koordinata chizig'ida bir vaqtning o'zida ikkita intervalni tasvirlaymiz.

Ikkala tomonning kvadrat qavslari chiziq segmentlarini ko'rsatadi. Segment chegaralari unga tegishli, shuning uchun segmentlar chegaralari [-1; 2] va koordinata chizig'ida to'ldirilgan aylanalar sifatida tasvirlanadi. Ularning orasidagi butun maydon chiziqlar bilan belgilanadi.

Bo'shliqlarni yaxshi ko'rish uchun [-1; 2] va, birinchisini yuqori sohada, ikkinchisini esa pastda tasvirlash mumkin. Shunday qilib, biz shunday qilamiz:

Misol 6... Koordinata chizig'iga raqamli intervallarni [-1; 2) va (2; 5]

Bir tomondan kvadrat qavs va boshqa tomondan dumaloq qavs yarim intervallarni bildiradi. Yarim intervalning chegaralaridan biri unga tegishli, ikkinchisi esa yo'q.

Yarim intervalli holatida [-1; 2) chap chegara unga tegishli bo'ladi, lekin o'ng chegara bo'lmaydi. Bu shuni anglatadiki, chap chegara to'ldirilgan doira sifatida ko'rsatiladi. O'ng chegara bo'sh doira sifatida ko'rsatiladi.

Va agar yarim interval (2; 5] bo'lsa, unga faqat o'ng chegara tegishlidir, chap chegara esa shunday emas. Shunday qilib, chap chegara to'ldirilgan aylana, o'ng chegara esa ko'rsatiladi. bo'sh doira sifatida.

Keling, [-1; 2) koordinata chizig'ining yuqori qismida va oralig'i (2; 5] - pastki qismida:

Tengsizliklarni echishga misollar

Shaklga bir xil o'zgartirishlar yordamida kamaytirilishi mumkin bo'lgan tengsizlik ax> b(yoki aqlga bolta< b ), biz qo'ng'iroq qilamiz bitta o'zgaruvchiga ega bo'lgan chiziqli tengsizlik.

Chiziqli tengsizlikda ax> b , x Siz qiymatlarini topmoqchi bo'lgan o'zgaruvchimi, lekin Bu o'zgaruvchining koeffitsienti, b- tengsizlik chegarasi, bu tengsizlik belgisiga qarab, uning echimlari to'plamiga tegishli bo'lishi mumkin.

Masalan, tengsizlik 2 x> 4 - bu shaklning tengsizligi ax> b... Undagi o'zgaruvchining roli a 2 raqamini, o'zgaruvchining rolini o'ynaydi b(tengsizlik chegaralari) 4 raqami o'ynaydi.

Tengsizlik 2 x> 4 ni yanada osonlashtirish mumkin. Agar biz uning ikkala qismini 2 ga bo'lsak, unda tengsizlikni olamiz x> 2

Natijada tengsizlik x> 2 ham shaklning tengsizligidir ax> b, ya'ni bitta o'zgaruvchiga ega bo'lgan chiziqli tengsizlik. Bu tengsizlikda o'zgaruvchining roli a bittasini o'ynaydi. Avvalroq biz 1 -koeffitsient yozilmaganligini aytgandik. O'zgaruvchining roli b 2 raqami o'ynaydi.

Ushbu ma'lumotlarga asoslanib, keling, bir nechta oddiy tengsizliklarni echishga harakat qilaylik. Yechish jarayonida biz shaklning tengsizligini olish uchun elementar bir xil o'zgarishlarni amalga oshiramiz ax> b

Misol 1... Tengsizlikni hal qiling x− 7 < 0

Tengsizlikning har ikki tomoniga 7 sonini qo'shing

x− 7 + 7 < 0 + 7

Chap tomon qoladi x va o'ng tomoni 7 ga aylanadi

x< 7

Elementar transformatsiyalar orqali biz tengsizlikni berdik x− 7 < 0 к равносильному неравенству x< 7 . Решениями неравенства x< 7 являются все числа, которые меньше 7. Граница 7 не принадлежит множеству решений, поскольку неравенство строгое.

Tengsizlik shaklga tushirilganda x< a (yoki x> a), uni allaqachon hal qilingan deb hisoblash mumkin. Bizning tengsizligimiz x− 7 < 0 тоже приведено к такому виду, а именно к виду x< 7 . Но в большинстве школ требуют, чтобы ответ был записан с помощью числового промежутка и проиллюстрирован на координатной прямой.

Keling, javobni raqamli raqam yordamida yozamiz. Bunday holda, javob ochiq raqamli nur bo'ladi (esda tutingki, raqamli nur tengsizlik bilan berilgan) x< a va (-∞; a)

x ∈ (−∞ ; 7)

Koordinata chizig'ida 7 -chegara bo'sh doirada ko'rsatiladi va chegaraning chap tomonidagi butun maydon chiziqlar bilan ajratiladi:

Tekshirish uchun (-∞; 7) intervaldan istalgan sonni oling va uni tengsizlik bilan almashtiring x< 7 вместо переменной x... Masalan, 2 raqamini olaylik

2 < 7

Natijada to'g'ri sonli tengsizlik bo'ladi, ya'ni yechim to'g'ri. Boshqa raqamni olaylik, masalan, 4 raqami

4 < 7

To'g'ri raqamli tengsizlik aniqlandi. Shunday qilib, qaror to'g'ri.

Va tengsizlikdan beri x< 7 равносильно исходному неравенству x - 7 < 0 , то решения неравенства x< 7 будут совпадать с решениями неравенства x - 7 < 0 . Подставим те же тестовые значения 2 и 4 в неравенство x - 7 < 0

2 − 7 < 0

−5 < 0 — Верное неравенство

4 − 7 < 0

−3 < 0 Верное неравенство

Misol 2... -4 tengsizlikni eching x < −16

Tengsizlikning har ikki tomonini -4 ga bo'ling. Shuni unutmangki, tengsizlikning ikkala tomonini ajratganda manfiy raqam bilan, tengsizlik belgisi teskari:

Biz -4 tengsizlikni berdik x < −16 к равносильному неравенству x> 4. Tengsizlik echimlari x> 4 4 dan katta bo'lgan barcha sonlar bo'ladi. 4 -chegara echimlar to'plamiga tegishli emas, chunki tengsizlik qat'iydir.

x> 4 ni koordinata chizig'iga qo'ying va javobni raqamli interval shaklida yozing:

Misol 3... Tengsizlikni hal qiling 3y + 1 > 1 + 6y

Ko'chirish 6 y belgini o'zgartirib, o'ng tomondan chap tomonga. Va 1 belgisini chapdan o'ngga siljiting va yana belgini o'zgartiring:

3y− 6y> 1 − 1

Mana shunga o'xshash atamalar:

−3y > 0

Har ikki tomonni -3 ga bo'ling. Shuni unutmangki, tengsizlikning har ikki tomonini manfiy songa bo'lganda, tengsizlik belgisi teskarisiga o'zgaradi:

Tengsizlik echimlari y< 0 являются все числа, меньшие нуля. Изобразим множество решений неравенства y< 0 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:

Misol 4... Tengsizlikni hal qiling 5(x− 1) + 7 ≤ 1 − 3(x+ 2)

Keling, tengsizlikning ikkala tomonidagi qavslarni kengaytiraylik:

-3 harakatlaning x belgini o'zgartirib, o'ng tomondan chap tomonga. -5 va 7 atamalarini chap tomondan o'ng tomonga o'tkazing va yana belgilarini o'zgartiring:

Mana shunga o'xshash atamalar:

Olingan tengsizlikning ikkala tomonini 8 ga bo'ling

Tengsizlikning echimlari kichikroq bo'lgan barcha sonlardir. Chegara echimlar to'plamiga tegishli, chunki tengsizlik qat'iy emas.

Misol 5... Tengsizlikni hal qiling

Tengsizlikning har ikki tomonini 2 ga ko'paytiring. Bu chap tarafdagi kasrni yo'q qiladi:

Keling, belgini o'zgartirib, chapdan o'ngga 5 ga o'tamiz:

Shunga o'xshash shartlarni kamaytirgandan so'ng, biz 6 tengsizlikni olamiz x> 1. Biz bu tengsizlikning ikkala tomonini 6 ga bo'lamiz.

Tengsizlikning echimlari kattaroq sonlardir. Chegara echimlar to'plamiga tegishli emas, chunki tengsizlik qat'iydir.

Biz tengsizlikka yechimlar to'plamini koordinata chizig'ida ifodalaymiz va javobni sonlar oralig'ida yozamiz:

Misol 6... Tengsizlikni hal qiling

Har ikki tomonni 6 ga ko'paytiring

Shunga o'xshash shartlarni kamaytirgandan so'ng, biz 5 tengsizlikni olamiz x< 30 . Разделим обе части этого неравенства на 5

Tengsizlik echimlari x< 6 являются все числа, которые меньше 6. Граница 6 не принадлежит множеству решений, поскольку неравенство является x< 6 строгим.

Biz tengsizlikka yechimlar to'plamini ifodalaymiz x< 6 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:

Misol 7... Tengsizlikni hal qiling

Tengsizlikning har ikki tomonini 10 ga ko'paytiring

Olingan tengsizlikda biz chap tomondagi qavslarni kengaytiramiz:

A'zolarsiz harakatlaning x o'ng tomonga

Bu erda ikkala bo'limda ham o'xshash atamalar mavjud:

Olingan tengsizlikning ikkala tomonini 10 ga bo'ling

Tengsizlik echimlari x≤ 3.5 - 3,5 dan kichik bo'lgan barcha raqamlar. 3.5 chegarasi echimlar to'plamiga tegishli, chunki tengsizlik x≤ 3,5 bo'shashmasdan.

Biz tengsizlikka yechimlar to'plamini ifodalaymiz x≤ 3.5 koordinata chizig'ida va javobni raqamli interval shaklida yozing:

Misol 8... Tengsizlikni echish 4< 4x< 20

Bu tengsizlikni hal qilish uchun sizga o'zgaruvchi kerak bo'ladi x koeffitsientdan ozod 4. Keyin bu tengsizlikning yechimi qaysi intervalda ekanligini aytishimiz mumkin.

O'zgaruvchini bo'shatish uchun x koeffitsientdan siz 4 -chi atamani ajratishingiz mumkin x by 4. Ammo tengsizliklar qoidasi shundayki, agar biz tengsizlikdagi atamani qandaydir songa bo'lsak, bu tengsizlikka kiritilgan qolgan atamalar bilan ham shunday qilish kerak. Bizning holda, biz tengsizlikning barcha 4 shartini 4 ga bo'lishimiz kerak< 4x< 20

Tengsizlik echimlari 1< x< 5 являются все числа, которые больше 1 и меньше 5. Границы 1 и 5 не принадлежат множеству решений, поскольку неравенство 1 < x< 5 является строгим.

Biz 1 tengsizlik yechimlari to'plamini ifodalaymiz< x< 5 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:

Misol 9... -1 ≤ -2 tengsizlikni eching x≤ 0

Tengsizlikning barcha shartlarini -2 ga bo'ling

Biz 0,5 ≥ tengsizlikni oldik x≥ 0. Kichik atama chapda, kattasi o'ngda joylashgan bo'lishi uchun er -xotin tengsizlikni yozish tavsiya etiladi. Shunday qilib, biz tengsizligimizni quyidagicha yozamiz:

0 ≤ x≤ 0,5

0 ≤ tengsizlikning echimlari x≤ 0,5 - bu 0 dan katta va 0,5 dan kichik bo'lgan barcha raqamlar. 0 va 0,5 chegaralari echimlar to'plamiga tegishli, chunki 0 ≤ tengsizlik x≤ 0,5 - bo'shash.

Biz 0 ≤ tengsizlikka echimlar to'plamini ifodalaymiz x≤ 0,5 koordinata chizig'ida va javobni raqamli interval shaklida yozing:

Misol 10... Tengsizlikni hal qiling

Har ikkala tengsizlikni 12 ga ko'paytiring

Keling, tengsizlikning qavslarini kengaytiramiz va shunga o'xshash atamalarni keltiramiz:

Olingan tengsizlikning ikkala tomonini 2 ga bo'ling

Tengsizlik echimlari x≤ -0.5 - -0.5 dan kichik bo'lgan barcha raqamlar. -0.5 chegarasi tengsizlik tufayli echimlar to'plamiga tegishli x≤ -0.5 - yumshoq.

Biz tengsizlikka yechimlar to'plamini ifodalaymiz x Koordinata chizig'ida ≤ -0.5 va javobni raqamli interval shaklida yozing:

Misol 11... Tengsizlikni hal qiling

Tengsizlikning barcha qismlarini 3 ga ko'paytiring

Keling, tengsizlikning har bir qismidan 6 ni chiqaring

Olingan tengsizlikning har bir qismini -1 ga bo'ling. Shuni unutmangki, tengsizlikning barcha qismlarini manfiy songa bo'lganda, tengsizlik belgisi teskarisiga o'zgaradi:

3 ≤ tengsizlik echimlari bo'yicha a ≤ 9 - bu 3 dan katta va 9 dan kichik bo'lgan barcha sonlar. 3 va 9 chegaralari echimlar to'plamiga tegishli, chunki 3 ≤ tengsizlik. a ≤ 9 - yengil.

Biz 3 ≤ tengsizlikka echimlar to'plamini ifodalaymiz a ≤ 9 koordinata chizig'ida va javobni raqamli interval shaklida yozing:

Yechimlar bo'lmaganda

Tengsizliklar borki, ularning yechimi yo'q. Masalan, tengsizlik 6 x> 2(3x+ 1). Bu tengsizlikni echish jarayonida biz tengsizlik belgisi> uning joylashganligini oqlamaydi degan xulosaga keldik. Keling, qanday ko'rinishini ko'rib chiqaylik.

Bu tengsizlikning o'ng tomonidagi qavslarni kengaytirib, biz 6 ni olamiz x> 6x+ 2. Ko'chirish 6 x o'ngdan chapga, belgini o'zgartirib, biz 6 olamiz x− 6x> 2. Biz shunga o'xshash atamalarni keltiramiz va 0> 2 tengsizlikni olamiz, bu to'g'ri emas.

Yaxshi tushunish uchun biz chapda bunday atamalarning qisqartirilishini quyidagicha qayta yozamiz:

Biz 0 tengsizlikni oldik x> 2. Chap tomonda har bir kishi uchun nolga teng bo'lgan mahsulot joylashgan x... Va nol 2 sonidan katta bo'la olmaydi. Demak 0 tengsizlik x> 2 ning echimlari yo'q.

x> 2, unda echimlar yo'q va asl tengsizlik 6 x> 2(3x+ 1) .

Misol 2... Tengsizlikni hal qiling

Tengsizlikning har ikki tomonini 3 ga ko'paytiring

Olingan tengsizlikda 12 -sonni o'tkazing x belgini o'zgartirib, o'ng tomondan chap tomonga. Keyin biz shunga o'xshash shartlarni beramiz:

Natijada paydo bo'lgan tengsizlikning o'ng tomoni x nol bo'ladi. Va nol -8 dan kam emas. Shuning uchun 0 tengsizlik paydo bo'ladi x< −8 не имеет решений.

Va agar yuqoridagi ekvivalent tengsizlik 0 bo'lsa x< −8 , то не имеет решений и исходное неравенство .

Javob: echimlar yo'q.

Cheksiz ko'p echimlar bo'lganda

Son -sanoqsiz echimlarga ega bo'lgan tengsizliklar mavjud. Bunday tengsizliklar har kimga to'g'ri keladi x .

Misol 1... Tengsizlikni hal qiling 5(3x− 9) < 15x

Keling, tengsizlikning o'ng tomonidagi qavslarni kengaytiraylik:

15 harakatlaning x belgini o'zgartirib, o'ng tomondan chapga:

Mana chapdagi o'xshash atamalar:

Biz 0 tengsizlikni oldik x< 45. Chap tomonda har bir kishi uchun nolga teng bo'lgan mahsulot joylashgan x... Nol 45 dan kichik. Demak, 0 tengsizlikning echimi x< 45 - har qanday raqam.

x< 45 cheksiz ko'p echimlarga ega, keyin asl tengsizlik 5(3x− 9) < 15x bir xil echimlarga ega.

Javobni raqamlar oralig'ida yozish mumkin:

x ∈ (−∞; +∞)

Bu ibora tengsizlikning echimlarini aytadi 5(3x− 9) < 15x minus cheksizlikdan ortiqcha cheksizlikgacha bo'lgan barcha raqamlar.

Misol 2... Tengsizlikni hal qilish: 31(2x+ 1) − 12x> 50x

Keling, tengsizlikning chap tomonidagi qavslarni kengaytiraylik:

50 ga harakatlaning x belgini o'zgartirib, o'ng tomondan chap tomonga. Va 31 -sonni chap tomondan o'ng tomonga o'tkazing va yana belgini o'zgartiring:

Mana shunga o'xshash atamalar:

Biz 0 tengsizlikni oldik x>-31. Chap tomonda har bir kishi uchun nolga teng bo'lgan mahsulot joylashgan x... Va nol -31 dan katta. Demak, 0 tengsizlikning echimi x< -31 - har qanday raqam.

Va agar kamaytirilgan ekvivalent tengsizlik 0 bo'lsa x>-31da cheksiz ko'p echimlar mavjud, keyin asl tengsizlik 31(2x+ 1) − 12x> 50x bir xil echimlarga ega.

Javobni raqamli interval shaklida yozamiz:

x ∈ (−∞; +∞)

O'z-o'ziga yordam topshiriqlari

Sizga dars yoqdimi?
Bizning yangi Vkontakte guruhimizga qo'shiling va yangi darslar haqida bildirishnoma olishni boshlang

Tengsizlik - bu tenglikning teskari tomoni. Ushbu maqoladagi materialda tengsizlik ta'rifi va matematika kontekstida u haqidagi dastlabki ma'lumotlar berilgan.

Tengsizlik tushunchasi, tenglik kontseptsiyasi singari, ikkita ob'ektni solishtirgan payt bilan bog'liq. Tenglik "bir xil" degan ma'noni anglatsa, boshqa tomondan, tengsizlik solishtirilayotgan narsalarning farqini ko'rsatadi. Masalan, va ular bir xil yoki teng ob'ektlar. va - bir -biridan farq qiladigan yoki teng bo'lmagan ob'ektlar.

Ob'ektlarning tengsizligi yuqoridagi kabi so'zlarning semantik yuki bilan belgilanadi - pastda (balandlikka asoslangan tengsizlik); qalinroq - ingichka (qalinlikka asoslangan tengsizlik); uzunroq - qisqaroq (uzunlik bo'yicha tengsizlik) va boshqalar.

Butun ob'ektlarning tengligi-tengsizligi va ularning individual xususiyatlarini solishtirish haqida gapirish mumkin. Aytaylik, ikkita ob'ekt berilgan: va. Hech shubha yo'qki, bu ob'ektlar bir xil emas, ya'ni. umuman olganda, ular teng emas: hajmi va rangi jihatidan. Ammo, shu bilan birga, biz ularning shakllarini teng deb aytishimiz mumkin - ikkala ob'ekt ham aylana.

Matematika kontekstida tengsizlikning semantik yuki saqlanib qoladi. Biroq, bu holda biz matematik ob'ektlarning tengsizligi haqida gapiramiz: sonlar, ifodalar qiymatlari, miqdorlar qiymatlari (uzunlik, maydon va boshqalar), vektorlar, shakllar va boshqalar.

Teng emas, ko'proq, kamroq

Taqdim etilgan muammoning maqsadiga qarab, ob'ektlarning tengsizligini aniqlash haqiqati qimmatli bo'lishi mumkin, lekin odatda tengsizlik faktini aniqlagandan so'ng, qaysi qiymat hali ham katta va qaysi biri kamroq ekanligi aniqlanadi.

"Ko'p" va "kamroq" so'zlarining ma'nosi bizga hayotimizning boshidanoq intuitiv ravishda tanish. Ob'ektning kattaligi, miqdori va boshqalar bo'yicha ustunligini aniqlash malakasi yaqqol ko'rinadi. Lekin oxir -oqibat, har qanday taqqoslash bizni taqqoslanadigan ob'ektlarning ba'zi xususiyatlarini aniqlaydigan raqamlarni taqqoslashga olib keladi. Umuman olganda, biz qaysi raqam katta va qaysi biri kamroq ekanligini aniqlaymiz.

Oddiy misol:

Misol 1

Ertalab havo harorati 10 daraja Selsiy edi; kunduzi soat ikkida bu ko'rsatkich 15 daraja edi. Tabiiy sonlarni taqqoslashga asoslanib, biz ertalabki harorat tushdan keyin soat ikkida uning qiymatidan past bo'lganini aytishimiz mumkin (yoki kunduzi soat ikkida harorat ko'tarilib, ertalabki haroratdan oshib ketgan).

Belgilar yordamida tengsizliklarni yozish

Tengsizliklarni yozish uchun umumiy qabul qilingan belgilar mavjud:

Ta'rif 1

• teng bo'lmagan belgi, bu chizilgan tenglik belgisi: ≠. Bu belgi teng bo'lmagan ob'ektlar orasida joylashgan. Masalan: 5 ≠ 10 besh o'nga teng emas;
• belgidan katta:> va belgidan kichik:< . Первый записывается между большим и меньшим объектами; второй между меньшим и большим. Например, запись о сравнении отрезков вида | A B | >| C D | A B segmenti C D segmentdan katta ekanligini ko'rsatadi;
• katta yoki teng belgi: ≥ va undan kichik yoki teng belgi: ≤.

Biz ularning ma'nosini quyida batafsil tahlil qilamiz. Keling, tengsizliklarga ularning yozilish shakli bo'yicha ta'rif beraylik.

Ta'rif 2

Tengsizliklar- ma'nosi bor va ≠,> belgilari yordamida yozilgan algebraik iboralar.< , ≤ , ≥ .

Qattiq va yumshoq tengsizliklar

Qattiq tengsizlik belgilari"Katta" va "kamroq" belgilari:> va< Неравенства, составленные с их помощью – qattiq tengsizliklar.

Qat'iy bo'lmagan tengsizlik belgilari- bu "kattaroq yoki teng" va "kichik yoki teng" belgilari: ≥ va ≤. Ular bilan tuzilgan tengsizliklar - yumshoq tengsizliklar.

Qat'iy tengsizliklar qanday qo'llanilishini yuqorida muhokama qildik. Nima uchun yumshoq tengsizliklar qo'llaniladi? Amalda, bunday tengsizliklar "ko'p emas" va "kam emas" so'zlari bilan tasvirlangan holatlarni aniqlash uchun ishlatilishi mumkin. "Yo'q" iborasi kamroq yoki bir xil ma'noni anglatadi - bu taqqoslash darajasi "kam yoki teng" ≤ belgisiga to'g'ri keladi. O'z navbatida, "kam emas" bir xil yoki ko'p degan ma'noni anglatadi va bu "kattaroq yoki teng" ≥ belgisidir. Shunday qilib, bo'sh tengsizliklar, qat'iylardan farqli o'laroq, ob'ektlarning tengligini ta'minlaydi.

Haqiqiy va yolg'on tengsizliklar

Haqiqiy tengsizlik- yuqoridagi tengsizlik ma'nosiga mos keladigan tengsizlik. Aks holda, shunday xiyonatkor.

Aniqlik uchun bir nechta oddiy misollar:

Misol 2

5 ≠ 5 tengsizlik to'g'ri emas, chunki aslida 5 va 5 raqamlari tengdir.

Yoki shunga o'xshash taqqoslash:

Misol 3

Aytaylik, S - bu qandaydir raqamning maydoni, bu holda S< - 4 является верным неравенством, поскольку площадь всегда выражена неотрицательным числом.

"Adolatli tengsizlik", "tengsizlik sodir bo'ladi" va hokazo iboralar "to'g'ri tengsizlik" atamasiga o'xshash.

Tengsizliklarning xususiyatlari

Keling, tengsizliklarning xususiyatlarini tasvirlaylik. Ma'lumki, ob'ekt o'ziga teng kela olmaydi va bu tengsizlikning birinchi xususiyati. Ikkinchi xususiyat shunday eshitiladi: agar birinchi ob'ekt ikkinchisiga teng bo'lmasa, ikkinchisi birinchisiga teng emas.

Keling, "kattaroq" yoki "kamroq" belgilariga mos keladigan xususiyatlarni tasvirlaylik:

Ta'rif 5

• aks ettirishga qarshi... Bu xususiyatni quyidagicha ifodalash mumkin: har qanday k obyekt uchun k> k va k tengsizliklari< k неверны;
• antisimmetriya... Bu xususiyatning aytishicha, agar birinchi ob'ekt ikkinchisidan katta yoki kichik bo'lsa, ikkinchi ob'ekt mos ravishda birinchisidan kichik yoki katta bo'ladi. Biz yozamiz: agar m> n bo'lsa, n< m . Или: если m < n , то n >m;
• o'tkazuvchanlik... Matnli yozuvda, ko'rsatilgan xususiyat shunday bo'ladi: agar ko'rsatilgan bo'lsa, a< b и b < с, то a < c . Наоборот: a >b va b> c, bu a> c degan ma'noni anglatadi. Bu xususiyat intuitiv ravishda aniq va tabiiydir: agar birinchi ob'ekt ikkinchisidan kattaroq, ikkinchisi uchinchisidan kattaroq bo'lsa, unda birinchi ob'ekt uchinchisidan kattaroq ekanligi ayon bo'ladi.

Ba'zi xususiyatlar qat'iy bo'lmagan tengsizlik belgilariga xosdir:

Ta'rif 6

• refleksivlik: a ≥ a va a ≤ a (bunga a = a bo'lgan holat ham kiradi);
• antisimmetriya: agar a ≤ b bo'lsa, u holda b ≥ a. Agar a ≥ b bo'lsa, u holda b ≤ a;
• o'tkazuvchanlik: agar a ≤ b va b ≤ c bo'lsa, unda a ≤ c bo'lishi aniq. Va shuningdek: agar a ≥ b va b ≥ c bo'lsa, u holda ≥ c.

Ikki, uch va boshqalar. tengsizliklar

O'zgaruvchanlik xususiyati, asosan, tengsizliklar zanjiri bo'lgan er -xotin, uchlik va boshqalarni yozishga imkon beradi. Masalan: er -xotin tengsizlik - e> f> g yoki uchlik tengsizlik k 1 ≤ k 2 ≤ k 3 ≤ k 4.

E'tibor bering, tengsizlikni turli belgilarni o'z ichiga olgan qatorlar sifatida yozish qulay: teng, teng emas va qat'iy va qat'iy bo'lmagan tengsizlik belgilari. Masalan, x = 2< y ≤ z < 15 .

Agar siz matnda xato ko'rsangiz, uni tanlang va Ctrl + Enter tugmalar birikmasini bosing

Masalan, \ (x> 5 \) ifodasi tengsizlikdir.

Tengsizliklar turlari:

Agar \ (a \) va \ (b \) raqamlar yoki bo'lsa, unda tengsizlik deyiladi raqamli... Aslida, bu faqat ikkita raqamni solishtirish. Bunday tengsizliklar bo'linadi sodiq va xiyonatkor.

Misol uchun:
\(-5<2\) - верное числовое неравенство, ведь \(-5\) действительно меньше \(2\);

\ (17 + 3 \ geq 115 \) - noto'g'ri raqamli tengsizlik, chunki \ (17 + 3 = 20 \) va \ (20 \) \ (115 \) dan kichik (katta yoki teng emas).

Agar \ (a \) va \ (b \) o'zgaruvchini o'z ichiga olgan ifodalar bo'lsa, unda bizda o'zgaruvchan tengsizlik... Bunday tengsizliklar tarkibiga qarab turlarga bo'linadi:

Tengsizlikni qanday hal qilish mumkin?

Agar raqam o'zgaruvchining o'rniga tengsizlikka almashtirilsa, u raqamli raqamga aylanadi.

Agar x uchun berilgan qiymat asl tengsizlikni haqiqiy songa aylantirsa, u deyiladi tengsizlik yechimi... Aks holda, bu qiymat yechim emas. Va tengsizlikni hal qilish- siz uning barcha echimlarini topishingiz kerak (yoki ular yo'qligini ko'rsating).

Misol uchun,\ (7 \) sonini \ (x + 6> 10 \) chiziqli tengsizlikka almashtirsak, to'g'ri sonli tengsizlikni olamiz: \ (13> 10 \). Agar biz \ (2 \) ni almashtirsak, noto'g'ri raqamli tengsizlik paydo bo'ladi \ (8> 10 \). Ya'ni, \ (7 \) asl tengsizlikning echimi, lekin \ (2 \) emas.

Biroq, \ (x + 6> 10 \) tengsizlikning boshqa echimlari bor. Darhaqiqat, biz \ (5 \), \ (12 \) va \ (138 \) ikkalasini ham almashtirishda to'g'ri sonli tengsizliklarni olamiz ... Va qanday qilib barcha mumkin bo'lgan echimlarni topamiz? Buni amalga oshirish uchun bizning holatlarimizda foydalaning:

\ (x + 6> 10 \) \ (| -6 \)
\ (x> 4 \)

Ya'ni, to'rtdan katta har qanday raqam bizga mos keladi. Endi siz javobni yozishingiz kerak. Tengsizliklarning echimlari, qoida tariqasida, raqamli ravishda yoziladi, qo'shimcha ravishda ularni raqamli o'qda soyalar bilan belgilaydi. Bizning holatimiz uchun bizda:

Javob: \ (x \ in (4; + \ infty) \)

Tengsizlik belgisi qachon o'zgaradi?

Tengsizliklarning bitta katta tuzog'i bor, ular o'quvchilarga juda yoqadi:

Tengsizlikni manfiy songa ko'paytirganda (yoki bo'lishda) u teskari tomonga o'zgaradi ("ko'p" dan "kamroq" ga, "ko'p yoki teng" dan "kam yoki teng" ga va hokazo)

Nega bu sodir bo'lyapti? Buni tushunish uchun \ (3> 1 \) sonli tengsizlikning konversiyasini ko'rib chiqaylik. To'g'ri, uchtasi haqiqatan ham bir emas. Birinchidan, uni har qanday ijobiy songa, masalan, ikkiga ko'paytirishga harakat qilaylik:

\ (3> 1 \) \ (| \ cdot2 \)
\(6>2\)

Ko'rib turganingizdek, ko'paytirilgandan so'ng, tengsizlik haqiqiy bo'lib qoladi. Qaysi musbat sonni ko'paytirmasligimizdan qat'iy nazar, biz har doim to'g'ri tengsizlikni olamiz. Keling, manfiy songa ko'paytiraylik, masalan, minus uch:

\ (3> 1 \) \ (| \ cdot (-3) \)
\(-9>-3\)

Tengsizlik noto'g'ri bo'lib chiqdi, chunki minus to'qqiz minus uchdan kam! Ya'ni, tengsizlik haqiqatga aylanishi uchun (manfiy ko'payish "qonuniy" degan ma'noni anglatadi) taqqoslash belgisini teskari burish kerak: \ (- 9<− 3\).
Bo'linish bilan ham xuddi shunday bo'ladi, uni o'zingiz tekshirishingiz mumkin.

Yuqorida yozilgan qoida nafaqat sonli, balki tengsizlikning barcha turlariga taalluqlidir.

Javob: \ (x \ in (-1; \ infty) \)

Tengsizliklar va DHS

Tengsizliklar ham, tenglamalar ham cheklovlarga ega bo'lishi mumkin, ya'ni x qiymatlari bo'yicha. Shunga ko'ra, DHS bo'yicha qabul qilinmaydigan qiymatlar qarorlar oralig'idan chiqarib tashlanishi kerak.

Misol: \ (\ Sqrt (x + 1) tengsizlikni hal qiling<3\)

Yechim: Ko'rinib turibdiki, chap tomon \ (3 \) dan kichik bo'lishi uchun radikal ifoda \ (9 \) dan kichik bo'lishi kerak (axir \ (9 \) dan \ \ 3 \) ). Biz olamiz:

\ (x + 1<9\) \(|-1\)
\ (x<8\)

Hamma narsa? \ (8 \) dan kichik bo'lgan har qanday x qiymati bizga mos keladimi? Yo'q! Chunki, masalan, talabga mos keladigan \ (- 5 \) qiymatini olsak, u asl tengsizlikning echimi bo'lmaydi, chunki bu bizni manfiy sonning ildizini hisoblashimizga olib keladi.

\ (\ sqrt (-5 + 1)<3\)
\ (\ sqrt (-4)<3\)

Shuning uchun, biz x qiymatlarining cheklanishlarini ham hisobga olishimiz kerak - bu ildiz ostida manfiy son bo'lishi mumkin emas. Shunday qilib, bizda x uchun ikkinchi talab bor:

\ (x + 1 \ geq0 \)
\ (x \ geq-1 \)

Va x ning yakuniy echimi bo'lishi uchun u ikkala talabni ham birdaniga qondirishi kerak: u \ (8 \) dan kichik bo'lishi kerak (echim bo'lishi uchun) va \ (- 1 \) dan katta bo'lishi kerak (printsipial jihatdan haqiqiy bo'lishi uchun). Raqam o'qiga qarab, biz oxirgi javobni olamiz:

Javob: \ (\ chap [-1; 8 \ o'ng) \)