Funktsiyalar grafikasi. Arksinus, Arkkosinus - Xususiyatlar, grafikalar, formulalar arcsin x 2

Terror trigonometrik funktsiyalar bilan bog'liq vazifalar ko'pincha maktab yakuniy imtihonlarida va ba'zi universitetlarda kirish imtihonlarida taklif etiladi. Ushbu mavzuni to'liq o'rganish faqat rejali sinflarda yoki rejali kurslarda erishish mumkin. Taklif etilayotgan kurs har bir talabaning qobiliyatini rivojlantirish, matematik tayyorgarligini oshirish uchun to'liq ishlab chiqilgan.

Kurs 10 soat davomida ishlab chiqilgan:

1. ARCSIN X, arccos X, Arctg X, arcctg x (4 soat).

2. Terror trigonometrik funktsiyalar bo'yicha operatsiyalar (4 soat).

3. Trigonometrik funktsiyalar bo'yicha moda trigonometrik operatsiyalar (2 soat).

1-dars (2 soat) Mavzu: Y \u003d Arcsin x, y \u003d arctg x, y \u003d arcctg x.

Maqsad: Ushbu muammoni to'liq qamrab olish.

1. Funktsiya y \u003d arcsin x.

a) Y \u003d Sin X funktsiyasi uchun Arxinus deb nomlangan teskari (bir ma'noli) funktsiya mavjud: y \u003d arcsin x. Teskari funktsiya grafikasi i - III Koordinata burchakkalariga nisbatan asosiy funktsiyaning grafikasi bilan nosimmetrmatik.

Y \u003d Arcsin x funktsiyasining xususiyatlari.

1) ta'rif maydoni:---chi; -1; biri];

2) O'zgarish sohasi: segment;

3) w \u003d arcsin x funktsiyasi g'alati: arcsin (-x) \u003d - arcsin x;

4) y \u003d arcsin x monotonal ravishda o'sib bormoqda;

5) Jadval o'qni koordinatlarning boshida kesib o'tadi, u koordinatlarning boshida.

Masalan 1. A \u003d arxsinni toping. Ushbu misol batafsil shakllantirilishi mumkin: uning pastki qismidan yotgan bunday dalilni topish Sinusga teng.

Qaror. Buning uchun son-sanoqsiz dalillar mavjud, ular misol, masalan: va hokazo. Ammo biz faqat segmentda bo'lgan argumentga qiziqamiz. Ushbu dalil bo'ladi. Shunday qilib,.

2. 2. toping .Qaror. 1-misolda xuddi shu tarzda bahslashamiz, biz olamiz .

b) og'zaki mashqlar. Topish: Arcsin 1, Arcsin, Arcsin (), Arcsin, Arcsin (), Arcsin, Arcsin () Arcsin 0. Namuna javobi: chunki . Ifoda hissi shuni anglatadiki :; Arcsin 1,5; ?

c) o'sish bo'yicha o'sish sur'atini oshirish: Arcsin, Arcsin (-0.3), ARCSIN 0.9.

II. Funktsiyalar y \u003d arccos x, y \u003d arctg x, y \u003d arcctg x (shunga o'xshash).

2-dars 2 (2 soat) mavzu: teskari trigonometrik funktsiyalar, ularning grafiklari.

Maqsad: Ushbu darsda, tushuntirish qadriyatlari bo'yicha ko'nikmalar olib borish kerak trigonometrik funktsiyalard (y), e (Y) va kerakli o'zgarishlardan foydalanib, tebristali trigonometrik funktsiyalarning qurilishida.

Ushbu darsda mashqlarni amalga oshiradi, shu jumladan ta'riflar maydonining asoslari, tip funktsiyalarining qiymatlarining qiymatlari: y \u003d arcsin, y \u003d arccos (x-arctg), y \u003d arctg (tg x) Y \u003d arccos.

Funktsiyalar grafikasi qurilishi kerak: a) y \u003d arcsin 2x; b) y \u003d 2 arcsin 2x; c) y \u003d arcsin;

d) y \u003d arcsin; e) y \u003d arcsin; e) y \u003d arcsin; g) y \u003d | Arxsin | .

Misol.Biz y \u003d arccos grafikasini quramiz

Uy vazifalarida quyidagi mashqlar kiritilishi mumkin: funktsiyalar grafikasini qurish: y \u003d arccos, y \u003d 2 arcctg x, y \u003d arkkos | X | .

Teskari funktsiya jadvallari

3-dars (2 soat.) Mavzu:

Tersiz trigonometrik funktsiyalar bo'yicha operatsiyalar.

Maqsad: Matematik bilimlarni kengaytirish (bu arizachilarga mutaxassislar uchun matematik tayyorgarchilik talablari uchun integratikaga bo'lgan talablar ortib borayotgani), teskari trigonometrik funktsiyalar uchun asosiy aloqalarni joriy etish orqali muhimdir.

Dars uchun materiallar.

Terror trigonometrik funktsiyalar ustidan ba'zi oddiy trigonometrik operatsiyalar: gROH (Arcsin x) \u003d X, i XI? biri; Cos (askos x) \u003d x, i XI? biri; Tg (arctg x) \u003d x, x i r; CTG. (Arcctg x) \u003d x, x i r.

Mashqlar.

a) tg (1.5 + arctg 5) \u003d - ctg (arctg 5) \u003d .

cTG (arctg x) \u003d; Tg (arcctg x) \u003d.

b) cos (+ arcsin 0.6) \u003d - cos (arcsin 0,6). Arcsin 0,6 \u003d a ni, gunoh a \u003d 0,6;

cos (arcsin x) \u003d; Gunoh (arccos x) \u003d.

Eslatma: "+" belgini ildiz oldida oling, chunki A \u003d arcsin x qoniqarli.

c) gol (1.5 + arcsin). Javob :;

d) ctg (+ arctg 3). Javob :;

e) tg (- arcctg 4). Javob :.

e) cos (0,5 + arccos). Javob :.

Hisoblash:

a) Gunoh (2 arctg 5).

Arctg 5 \u003d a ni bering, keyin 2 A \u003d yoki gunoh (2 arctg 5) \u003d ;

b) cos (+ 2 arcsin 0.8). Javob: 0.28.

c) arctg + arctg.

A \u003d arctg, b \u003d arktg,

keyin tg (a + b) \u003d .

d) Gunoh (arcsin + arcsin).

e) buni x i [-1 uchun isbotlash uchun 1] Haqiqiy Arcsin x + arccos x \u003d.

Dalillar:

arcsin x \u003d - arccos x

gR (Arcsin x) \u003d Gal (- arccos x)

x \u003d cos (arccos x)

O'z-o'zini hal qilish uchun:gunoh (arccos), cos (arcsin (ARCsin (- 3)), GU (ARCTG (- 3)), TG (Arccos), CTG (Arccos).

Uyni hal qilish uchun: 1) Gunoh (arcsin 0.6 + arctg 0); 2) arxin + arxsin; 3) CTG (- arccos 0.6); 4) cos (2 arcct 5); 5) gunoh (1.5 - arcsin 0,8); 6) arctg 0,5 - arctg 3.

Mavzu: Terror trigonometrik funktsiyalar bo'yicha operatsiyalar.

Maqsad: Ushbu darsda ko'proq murakkab ifodalarni konvertatsiya qilishda nisbatlardan foydalanishni namoyish etish.

Dars uchun materiallar.

Og'zaki:

a) Gunoh (arccos 0.6), cos (arcsin 0.8);

b) tg (Arcstg 5), CTG (ARCTG 5);

c) gon (arctg -3), cos (arcstg);

d) tg (arccos), CTG (ARCCOS ()).

Yozish:

1) Cos (arcsin + arcsin + arcsin).

2) cos (arctg 5 arccos 0.8) \u003d cos (arctg 5) cos (arccos 5) cos (arccos 0.8) Gunoh (arccos 0.8) \u003d

3) tg (- arcsin 0,6) \u003d - tg (arcsin 0,6) \u003d

4)

Mustaqil ish materialni o'zlashtirish darajasini aniqlashga yordam beradi

1) tg (arctg 2 - arctg) 2) cos (- arctg2) 3) Arcsin + arccos	1) Cos (arcsin + arcsin) 2) GUN (1.5 - arctg 3) 3) arcctg3 - arctg 2

Uy vazifasi uchun siz quyidagilarni taklif qilishingiz mumkin:

1) ctg (arctg + arctg + arct); 2) Sin 2 (Arctg 2 - arcctg ()); 3) GUN (2 arctg + tg (arcsin)); 4) Gunoh (2 arct); 5) tg ((arxsin))

5-dars (2h) Mavzu: Trigonometrik funktsiyalarda teskari trigonometrik operatsiyalar.

Maqsad: Trinimetrik funktsiyalar ustidan tetik trigonometrik operatsiyalar bo'yicha talabalarning taqdimotini shakllantirish, diqqatni o'rganish nazariyasining mazmunining o'sishiga qaratilgan.

Ushbu mavzuni o'rganayotganda, yodlangan bo'lishi uchun nazariy material hajmini cheklash taxmin qilinadi.

Dars uchun materiallar:

Yangi materialni o'rganish Y \u003d Arcsin (Gal X) funktsiyasidan boshlash va uning jadvalini qurish mumkin.

3. Har bir X r r i, i.e. ga muvofiq joylashtiriladi<= y <= такое, что sin y = sin x.

4. Funktsiya g'alati: GUL (-X) \u003d - SinH X; Arcsin (Sin (-X)) \u003d - Arcsin (Sin x).

6. Y \u003d Arcsin (Gal X) jadvali:

a) 0.<= x <= имеем y = arcsin(sin x) = x, ибо sin y = sin x и <= y <= .

b)<= x <= получим y = arcsin (sin x) = arcsin ( - x) = - x, ибо

sin Y \u003d Gal (- x) \u003d Sinx, 0<= - x <= .

Shunday qilib,

Y \u003d Arcsin (Sin x) yoqilgan holda, nosimmetrik jihatdan muvofiqlashtiruvchi koordinatalar boshlanishiga nisbatan davom etadi [; 0] va ushbu funktsiyaning to'g'riligini hisobga olgan holda. Chastotani ishlatish, biz butun sonli o'qni davom ettiramiz.

Keyin ba'zi nisbatlarni yozing: arcsin (Sin A) \u003d a<= a <= ; arccos (cos A. ) \u003d a if<= a <= ; arctg (tg a) \u003d agar bo'lsa< a < ; arcctg (ctg a) = a , если 0 < a < .

Va quyidagi mashqlarni bajaring: a) arccos (Sin 2). Natijada: 2 -; b) arxsin (COS 0,6). Natija: - 0,1; c) arctg (tg 2). Javob: 2 -;

d) arcctg (tg 0.6). Javob: 0.9; e) arccos (COS (- 2)). Javob: 2 -; e) arxsin (GUL (- 0,6)). Javob: - 0,6; g) arctg (tg 2) \u003d arctg (tg (2 -)). Javob: 2 -; h) arcctg (TG 0.6). Javob: - 0,6; - arctg x; e) arccos + arccos

Funktsiyalar grafikasi

Sinus funktsiyasi

- kopgina R.barcha yaroqli raqamlar.

Ko'p funktsiya qiymatlari - segment [-1; 1], i.e. Sinus funktsiyasi - cheklangan.

Funktsiya toq: Sin (-x) \u003d - barcha x ∈ uchun Sin X R..

Davriy funktsiya

gunt (x + 2p k) \u003d Sin X, u erda k ∈ Z. barcha x ∈ uchun R..

sin X \u003d 0 x \u003d p lagan, k ∈ Z..

sin X\u003e 0 (Ijobiy) barcha x ∈ (2p ka, p + 2p kasan), k ∈ Z..

xIN X.< 0 (salbiy) barcha x ∈ (p + 2p kada kasan), k ∈ Z..

Kosin funktsiyasi

Funktsiya ta'rifi maydoni- kopgina R.barcha yaroqli raqamlar.

Ko'p funktsiya qiymatlari - segment [-1; 1], i.e. kosin funktsiyasi - cheklangan.

Hatto funktsiya: Cos (-x) \u003d COS X uchun x ∈ uchun R..

Davriy funktsiya Eng kichik ijobiy davr 2p:

cos (x + 2p · k K.) \u003d Cos x, qaerda k K. ∈ Z. barcha x ∈ uchun R..

cos x \u003d 0uchun
cos x\u003e 0 Barcha uchun
cos x.< 0 barcha uchun
Funktsiya ko'paymoqda oraliqlarda -1 dan 1 gacha:
Funktsiya pasayadi oraliqlarda -1 dan 1 gacha:
Funktsiyaning eng katta qiymati X \u003d 1 Ballarda:
Funktsiyaning eng kichik qiymati X \u003d -1 Ballarda:

Tangens xususiyat

Ko'p funktsiya qiymatlari - Barcha raqamli, i.e. Tangent - funktsiya cheksiz.

Funktsiya toq: Tg (-x) \u003d - tg x
Funktsiya grafigi Oy Axisga nisbatan nosimmetrik hisoblanadi.

Davriy funktsiya Eng kichik ijobiy davr p, I.E. Tg (x + p · k K.) \u003d Tg x, k K. ∈ Z. aniq belgilardan xamir uchun.

Kotanence xususiyati

Ko'p funktsiya qiymatlari - Barcha raqamli, i.e. Kotangent - funktsiya cheksiz.

Funktsiya toq: CTG (-X) \u003d - aniqroq maydondan x uchun x uchun CTG X.
Funktsiya grafigi Oy Axisga nisbatan nosimmetrik hisoblanadi.

Davriy funktsiya Eng kichik ijobiy davr p, I.E. CTG (x + p · · k K.) \u003d Ctg x, k K. ∈ Z. aniq belgilardan xamir uchun.

Arksinus xususiyati

Funktsiya ta'rifi maydoni- segment [-1; biri]

Ko'p funktsiya qiymatlari - kesish - / 2 arcsin x p / 2, i.e. Arksinus - funktsiya cheklangan.

Funktsiya toq: Arcsin (-x) \u003d - barcha x ∈ uchun arcsin x R..
Funktsiya grafigida koordinatlarning boshlanishida nosimmetrik.

Butun ta'rif maydonida.

Arkkosinus funktsiyasi

Funktsiya ta'rifi maydoni- segment [-1; biri]

Ko'p funktsiya qiymatlari - 0 arckos x p, i.e. Arkkosinus - funktsiya cheklangan.

Funktsiya ko'paymoqda Butun ta'rif maydonida.

ARCTGernes funktsiyasi

Funktsiya ta'rifi maydoni- kopgina R.barcha yaroqli raqamlar.

Ko'p funktsiya qiymatlari - 0 p, i.e. Arctanhance - funktsiya cheklangan.

Funktsiya toq: Arctg (-x) \u003d - Arctg x barcha x ∈ uchun R..
Funktsiya grafigida koordinatlarning boshlanishida nosimmetrik.

Funktsiya ko'paymoqda Butun ta'rif maydonida.

ARKKHHANJIYASI

Funktsiya ta'rifi maydoni- kopgina R.barcha yaroqli raqamlar.

Ko'p funktsiya qiymatlari - 0 p, i.e. Arkotangent - funktsiya cheklangan.

Funktsiya na g'alati emas.
Funktsiya grafigida assimetrik yoki koordinatalar boshlanishiga yoki Oy Axisga nisbatan boshlanishiga nisbatan.

Funktsiya kamayib bormoqda Butun ta'rif maydonida.

Ta'rif va notarial

Arksinus (y \u003d arcsin x.) - bu funktsiya, Sinusga teskari (x \u003d sin Y. -1 ≤ x ≤ 1 va ko'plab qiymatlar --p / 2 ≤ y ≤ p / 2.
gUL (Arcsin x) \u003d X ;
arcsin (Sin x) \u003d x .

ARKsinus ba'zan belgilanadi:
.

Arksinus funktsiyalarining jadvallari

Jadval funktsiyasi y \u003d arcsin x.

Arksinus jadvali, agar siz abkissa va o'qlarni belgilash joylarini o'zgartirsangiz, sinus grafigidan olinadi. Ko'p ongni yo'q qilish uchun qadriyatlar doirasi monotonna funktsiyasini cheklaydi. Bunday ta'rif arksinusning asosiy qiymati deb ataladi.

Arkkosinus, Arccos.

Ta'rif va notarial

Arkkosinus (y \u003d arccos X.) bu kosinga teskari (x \u003d cos Y.). Bu ta'rif maydoni mavjud -1 ≤ x ≤ 1 va ko'plab qadriyatlar 0 ≤ y ≤ a.
cos (arccos x) \u003d x ;
arccos (cos x) \u003d x .

ARKKosinus ba'zan quyidagilarni ko'rsatadi:
.

Arkkosinus funktsiyasining jadvali

Jadval funktsiyasi y \u003d arccos X.

Arkkosinus grafi, agar siz abkissa va o'qni belgilash joylarini o'zgartirsangiz, kosin grafigidan olinadi. Ko'p ongni yo'q qilish uchun qadriyatlar doirasi monotonna funktsiyasini cheklaydi. Bunday ta'rif Arkkosinusning asosiy qiymati deb ataladi.

Tenglik

Arksinus funktsiyasi g'alati:
arcsin (- x) \u003d arcsin (-SIN arcsin x) \u003d arcsin (Sinf (-CARSIN X)) \u003d - Arcsin X.

Arcwonivinus funktsiyasi hatto g'alati emas:
arccos (- x) \u003d arccos (-cos arccos x) \u003d arccos (cos (p-ar-arccos x)) \u003d p - arkkos x ± ± arccos x

Xususiyatlar - ekstremal, o'sish, qurolsizlantirish

Arksinusning funktsiyalari va Arkskosinus o'z ta'rifi bo'yicha doimiydir (uzluksizlikni tasdiqlovchi). Arksinus va Arkkosinusning asosiy xususiyatlari jadvalda keltirilgan.

	y \u003d. arcsin x.	y \u003d. arccos X.
Ta'rifi va uzluksizligi maydoni	- 1 ≤ x ≤ 1	- 1 ≤ x ≤ 1
Qiymatlar mintaqasi
O'sish, pasayish	Monotonlarning ko'payishi	Monotonly kamayadi
Maksimal
Minima
Zeros, y \u003d 0	x \u003d. 0	x \u003d. 1
Qashqadarkak nuqtai nazaridan kesish joyi, x \u003d 0	y \u003d. 0	y \u003d p / 2

Arksiniy va Arkkosinusov jadvali

Ushbu jadvalda arkres va arcsinuslarning qadriyatlari, darajalar va argumentning ba'zi qadriyatlari ko'rsatilgan.

X.	arcsin x.		arccos X.
	Grad.	Xursandman.	Grad.	Xursandman.
- 1	- 90 °	-	180 °	π
-	- 60 °	-	150 °
-	- 45 °	-	135 °
-	- 30 °	-	120 °
0	0°	0	90 °
	30 °		60 °
	45 °		45 °
	60 °		30 °
1	90 °		0°	0

≈ 0,7071067811865476
≈ 0,8660254037844386

Formula

Shuningdek qarang: Terror trigonometrik funktsiyalarning formulalarini chiqarish

So'm va farqning formulalari

yoki

I. I.

I. I.

yoki

I. I.

I. I.

uchun

uchun

uchun

uchun

Logarifm orqali ifodalar, murakkab raqamlar

Shuningdek qarang: Formulalar xulosasi

Giperbolik funktsiyalar orqali ifodalar

Derivativlar

;
.
Arksinus va Arkkosinus hosilalarining hosilalarini ko'ring \u003e\u003e\u003e

Yuqori buyurtmalar hosilalari:
,
malalomiya darajasi qaerda. U formulalar tomonidan belgilanadi:
;
;
.

Arksinus va Arkkosinusning eng yuqori buyrug'i haqidagi lotinlar \u003e\u003e\u003e

Integramma

Almashtirish x \u003d t.. Biz, bu qismlarga qo'shamiz 2 ≤ T ≤ 2, cos t ≥ 0:
.

Arkkosinusni Arksinus orqali ifoda eting:
.

Raqamda parchalanish

Bilan | x |< 1 Quyidagi parchalanish sodir bo'ladi:
;
.

Teskari funktsiyalar

Arksinus va Arkkosinusga qaytish mos ravishda sinus va kosinusdir.

Quyidagi formulalar har bir ta'rif sohasi bo'ylab amal qiladi:
gUL (Arcsin x) \u003d X
cos (arccos x) \u003d x .

Quyidagi formulalar faqat Arcsinus va Arcsinus qadriyatlari to'plamida amal qiladi:
arcsin (Sin x) \u003d x uchun
arccos (cos x) \u003d x da.

Adabiyotlar:
I.N. Bronshteyn, K.A. Xizmatkorlar muhandis va talabalari uchun matematika va talabalar uchun matematika bo'yicha ma'lumotnoma, "LAN", 2009 yil.

Shuningdek qarang: