Kubik formulasi farqiga teng. Qisqartirilgan ko'paytirish uchun formulalar

Qisqartirilgan ko'payish formulalari.

Qisqartirilgan ko'payish formulalarini o'rganish: summaning kvadratlari va ikki iboraning farqi kvadrat; To'rtta iboraning kvadratcha farqlari; Kuba so'mlari va ikkita iboraning farqi; Ikkita iboraning kubiklari va farqlari.

Misollarni hal qilishda qisqartirilgan ko'payish formulalaridan foydalanish.

Rahmatlar soddalashtirish, ko'paytirgichlarda polinomlarning parchalanishi, polinomlarni qisqartirilgan ko'paytirishning standart formulalariga olib kelish. Qisqartirilgan ko'payish formulalari ma'lum bo'lishi kerak.

A, b r. Keyin:

1. Ikkita iboralarning maydoni tengdir Birinchi ibora kvadrat va ikkinchi ifodaning ikkinchi va ikkinchi ifoda maydonining o'ralgan mahsuloti.

(a + b) 2 \u003d a 2 + 2AB + b 2

2. Ikki iboraning farqi kvadrat tengdir Birinchi ifodaning kvadratida ikkinchi va ikkinchi ifodaning ikki baravari miqdoridagi birinchi ifodaning ikki baravari miqdorida.

(A - B) 2 \u003d a 2 - 2AB + b 2

3. Kvadrat farqikkita ibora ushbu iboralar va ularning summasiga teng.

a 2 - b 2 \u003d (A -B) (A + B)

4. Kub miqdoridagi summaikkita ibora birinchi ifodaning birinchi qismiga teng, ikkinchi ifodaning kvadratining ikkinchi va ikkinchi plyus kubining uch baravar ko'p qismi ikkinchi plyus kubining uch baravar ko'payishi.

(A + b) 3 \u003d a 3 + 3a 2 b + 3a 2 + b 3

5. Kub farqikkinchi iboraning ikkinchi ifodasi küküllohu asarining birinchi va ikkinchi ifodaning ikkinchi ifodasi kvadratidagi birinchi iboraning uch nusxasi ikki nusxadagi ishni minusga tengdir.

(A - B) 3 \u003d a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - B 3

6. Kub miqdoriniikkita ibora bu iboralar farqi farqi to'liq bo'lmagan maydonida birinchi va ikkinchi ifoda summasi miqdoriga teng.

a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)

7. Kubik farqlar Ikkita ibora ushbu iboralar yig'indisi to'liq bo'lmagan kvadratida birinchi va ikkinchi ifodaning mahsulotiga teng.

a 3 - b 3 \u003d (A - B) (2 + AB + B 2)

Misollarni hal qilishda qisqartirilgan ko'payish formulalaridan foydalanish.

1-misol.

Hisoblamoq

a) Ikkita iboralar yig'indisi summasi yordamida bizda bor

(40 + 1) 2 \u003d 40 2 + 2 · 1 + 1 2 \u003d 1600 + 1 \u003d 1681

b) ikkita iboraning farqi kvadratining formulasi yordamida biz olamiz

98 2 \u003d (100 - 2) 2 \u003d 100 2 - 2 + 2 2 \u003d 1000 - 400 + 4 \u003d 9604

2-misol.

Hisoblamoq

Ikkita iboralarning kvadratlarining kattalik formulasi yordamida biz olamiz

3-misol.

Ifodali ifoda

(x - y) 2 + (x + y) 2

Biz summaning kvadrat formulalarini va ikkita iboraning farqini biz ishlatamiz

(x - y) 2 + (x + y) 2 \u003d x 2 - 2h + y 2 \u003d 2x 2 + 2y 2

Bir stolda qisqartirilgan ko'payish formulalari:

(a + b) 2 \u003d a 2 + 2AB + b 2
(A - B) 2 \u003d a 2 - 2AB + b 2
a 2 - b 2 \u003d (A - B) (A + B)
(A + b) 3 \u003d a 3 + 3a 2 b + 3a 2 + b 3
(A - B) 3 \u003d a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - B 3
A 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)
A 3 - b 3 \u003d (A - B) (2 + AB + B 2)

Kvadrat farq

Biz $ 2-b ^ 2 $ miqdordagi kvadratlardagi farqni olamiz.

Buning uchun quyidagi qoidani eslang:

Agar ular har qanday bir tomonlama va bir xil vaqtni olib tashlashning ifodasiga qo'shilsalar, biz sodiqlikni olamiz.

Biz o'z fikrimizga qo'shamiz va AB $ AB $ uni chiqarib tashlaymiz:

Umumiy biz olamiz:

Ya'ni, ikkita hombilning kvadratlari o'rtasidagi farq ularning yig'indisi uchun ularning narxiga teng.

1-misol.

Mahsulot shaklida (4x) ^ 2-y ^ 2 $

\\ [(4x) ^ 2-y ^ 2 \u003d ((2x)) ^ 2-y ^ 2 \\]

\\ [(2x)) ^ 2-y ^ 2 \u003d chap (2x-y \\ o'ng) (2x + y) \\]

Kub miqdorini

Biz kub miqdoridagi $ a ^ 3 + b ^ $ 3 ni olamiz.

Men qavslar uchun umumiy omillarni bajaraman:

Men \\ qavs uchun $ (A + B \\ o'ng) uchun pul o'tkazaman.:

Umumiy biz olamiz:

Ya'ni, ikkita homisning kublarining yig'indisi ularning farqning to'liq bo'lmagan kvadratida ularning summasiga tengdir.

2-misol.

$ (8x) ^ 3 + y ^ $ 3 mahsuloti shaklida yuboring

Ushbu ibora quyidagi shaklda qayta yozilishi mumkin:

\\ [(8x) ^ 3 + y ^ 3 \u003d ((2x)) ^ 3 + y ^ 3 \\]

Kvadrat farq formulasidan foydalanib, biz olamiz:

^ [(2x)) ^ 3 + y ^ 3 \u003d chap (2x + y \\ o'ng) (4x ^ 2-2xy + y ^ 2) \\]

Kubik farqlar

Kurisni kublarning farqini $ 3-B ^ $ 3 ni keltiraylik.

Buning uchun biz yuqoridagi kabi qoidadan foydalanamiz.

Biz o'z fikrimizga qo'shamiz va undan olib tashlaymiz. $ A ^ 2b \\ va \\ (ab) ^ $ 2:

Men qavslar uchun umumiy omillarni bajaraman:

Men \\ qavslar uchun $ \\ chapga (A-B \\ o'ng) o'tkazaman.

Umumiy biz olamiz:

Ya'ni, ikkita homisning kublarining farqi ularning summalarining to'liq bo'lmagan kvadratida ularning farqiga teng.

3-misol.

Mahsulot shaklida (8x) ^ 3-y ^ $ 3

Ushbu ibora quyidagi shaklda qayta yozilishi mumkin:

\\ [(8x) ^ 3-y ^ 3 \u003d ((2x)) ^ 3-y ^ 3 \\]

Kvadrat farq formulasidan foydalanib, biz olamiz:

^ [(2x)) ^ 3-y ^ 3 \u003d chap (2x-y \\ o'ng) (4x ^ 2 + 2xy + y ^ 2) \\]

Kvadratchalar farqlari va kublarning o'zgarishi formulalaridan foydalanish uchun vazifalar misoli

4 misol.

Parchalanadi.

a) $ ((+ 5)) ^ 2-9 $

c) $ -x ^ 3 + \\ FRAC (1) (27) $

Qaror:

a) $ ((+ 5)) ^ 2-9 $

^ [((a + 5)) ^ 2-9 \u003d (A + 5)) ^ 2-3 ^ 2 \\]

Kvadratlardagi farq formulasidan foydalanish, biz olamiz:

\\ [(a + 5)) ^ 2-3 ^ 2 \u003d chap (A + 5-3 \\ o'ng) \\ chap (A + 5 + 3 \\ o'ng) \u003d \\ chap (a + 2 \\ o'ng) (a +8) \\] \\]

Ushbu iborani shaklda yozamiz:

Kub kublarining formulasini qo'llang:

c) $ -x ^ 3 + \\ FRAC (1) (27) $

Ushbu iborani shaklda yozamiz:

\\ [- x ^ 3 + \\ FRAC (1) (27) \u003d (\\ chap (1) (3) \\ o'ng)) ^ 3-X ^ 3 \\]

Kub kublarining formulasini qo'llang:

\\ [(\\ chap (\\ frac (1) (3) \\ o'ng)) ^ 3-X ^ 3 \u003d chap (3) -x \\ o'ngga (\\ FREC (1) (1) 9) + \\ frac (x) (3) + x ^ 2 \\ o'ng) \\]

Forulalar yoki qisqartirilgan ko'paytirish qoidalari Arifmetikada yoki aksincha, algebrada katta algebraik ifodalarni hisoblash jarayoni uchun ishlatiladi. Formulalarning o'zlari Algebradagi bir nechta polinomlarni ko'paytirish uchun mavjud bo'lgan qoidalardan olinadi.

Ushbu formulalardan foydalanish turli matematik vazifalarning juda tezkor echimi, shuningdek, iboralarni soddalashtirishga yordam beradi. Algebraik o'zgarishlar qoidalari sizga tenglikning chap tomonida o'ng tomonda ifoda etish yoki tenglikning o'ng qismini o'zgartirishi mumkin bo'lgan ba'zi manipulyatsiyani amalga oshirishga imkon beradi. tenglik belgisidan keyin chap tomonda joylashgan ifoda).

Qisqartirilgan ko'payish uchun ishlatiladigan formulalarni bilish qulay, shuningdek, ko'pincha muammolar va tenglamalarni hal qilishda qo'llaniladi. Quyida ushbu ro'yxatga kiritilgan asosiy formulalar va ularning nomi.

Kvadrat miqdori

Miqdorning maydonini hisoblash uchun birinchi muddatning maydonidan iborat miqdorni topish kerak, ikkinchisining ikkinchi va kvadratida birinchi muddatning mahsulotini ikki baravar oshirdi. O'z iboralar shaklida, ushbu qoida quyidagicha yozilgan: (A + C) ² \u003d a ² + 2as + C².

Kvadrat farq

Farqi kvadratini hisoblash uchun birinchi raqamning kvadratidan ikki baravar ko'p (qarama-qarshi belgi bilan olingan) va ikkinchi raqamning kvadratidan iborat miqdorni hisoblash kerak. O'z iboralar shaklida, ushbu qoida quyidagicha: (A - C) ² \u003d a² - 2as + C².

Kvadrat farq

Maydonga kiritilgan ikkita sonning farqi uchun formula ularning farqidagi yig'indisiga tengdir. O'z ifoda shaklida, ushbu qoida quyidagicha: A - C² \u003d (A + C) · (A - C).

Kub miqdoridagi summa

Ikki komponentning summalarining kubini hisoblash uchun birinchi muddatning birinchi muddatining kvadratining kvadrat kubini va ikkinchi sekundy, birinchi muddatning uch baravar ko'p bo'lganini va Maydondagi ikkinchisi, shuningdek ikkinchi muddatning kubidir. O'z iboralar shaklida, ushbu qoida quyidagicha: (A + C) ³ \u003d a³ + 3A² + 3AS² + ³ +.

Kub miqdorini

Formulaga ko'ra, bu farqning to'liq bo'lmagan kvadratidagi tarkibiy qismlarning shartlari miqdoriga teng. O'z ifoda shaklida, ushbu qoida quyidagicha: a³ + C³ \u003d (A + C) · (A + C) (a + c)).

Misol. Ikki kub qo'shilishi natijasida hosil bo'lgan shakli hajmini hisoblash kerak. Shuningdek, ularning partiyalarining qadriyatlariga ham ma'lum.

Agar tomonlarning qadriyatlari kichik bo'lsa, unda hisob-kitoblarni bajaring.

Agar tomonlarning uzunligi katta miqdordagi raqamlarda ifodalangan bo'lsa, unda hisob-kitoblarni sezilarli darajada soddalashtiradigan "kub miqdoridagi" formulasini qo'llash osonroq bo'ladi.

Kub farq

Kubik farqi uchun ibora quyidagicha: birinchi muddatning uchinchi darajali, birinchi a'zoning ikkinchi, ikkinchi a'zoning ikkinchi, ikkinchi va salbiy kvadratning uch baravaridagi salbiy ishi Ikkinchi muddatning kublari. Cube farqsi matematik ifoda shaklida kub farq quyidagicha: (A - C) ³ \u003d 3A² + 3A² - C³.

Kubik farqlar

Kubning farq formulasi faqat bitta belgi miqdoridan farq qiladi. Shunday qilib, kublarning farqi ularning to'liq bo'lmagan kvadrat summasi o'rtasidagi ma'lumotlar farqiga teng formula. Kublarning farqi quyidagicha: a 3 - 3 \u003d (A - C) (va 2 + AC + C 2).

Misol. Sariqning sariq rangidagi sariq rangdagi sariq rangdagi ko'k kubning hajmidan ajratilganidan keyin qolgan raqam balandligini hisoblash kerak, bu kub. Faqat kichik va katta kubaning yon tomonining kattaligi ma'lum.

Agar tomonlarning qadriyatlari kichik bo'lsa, unda hisob-kitoblar juda oddiy. Va agar tomonlarning uzunligi sezilarli raqamlarda ifodalangan bo'lsa, "Kubiklar" (yoki farq) deb nomlangan formulani qo'llash kerak, bu esa hisob-kitoblarni sezilarli darajada soddalashtiradi.

Oldingi darslarda biz ko'paytiruvchilarni ko'paytirish uchun ko'paytirishning ikkita usulini ko'rib chiqdik: qavslar va guruhlash usuli uchun umumiy omil.

Ushbu darsda biz ko'paytirgichlarni ko'paytirish uchun ko'paytirishning boshqa usulini ko'rib chiqamiz Qisqartirilgan ko'payish formulalaridan foydalanish.

Har bir formulani kamida 12 marta ro'yxatdan o'tishni tavsiya etamiz. Yaxshiroq eslash uchun, o'zingizning qisqartirilgan ko'payishining barcha formulalarini kichik shiddat bilan yozing.

CABS farq formulasiga qanday ko'rinishini eslang.

Kubik farq formulasi yodlash juda oson emas, shuning uchun uni yodlashning maxsus usulidan foydalanishni tavsiya qilamiz.

Qisqartirilgan ko'payishning har qanday formulasi haqiqiyligini tushunish muhimdir teskari tomon.

Misolni ko'rib chiqaylik. Ko'p kublardagi farqni ko'paytirgichda parchalash kerak.

Shuni ta'kidlaymizki, "27A 3" "(3a) 3", bu "" 3a "dan" a "o'rniga kubik farq formulasi uchun degani.

Kub farq formulasidan foydalanish. "A 3" joyida "27A 3" va "B 3" saytida "B 3" saytida.

Qarama-qarshi yo'nalishda kublarning farqini qo'llash

Yana bir misolni ko'rib chiqaylik. Qisqartirilgan ko'payish formulasidan foydalanib, kublarning farqini kublarning farqiga aylantirish talab qilinadi.

E'tibor bering, polinomiyalar (X - 1) (x 2 + x + 1) "" A "ning" x "va" b "stendining" b "stendining o'rniga" b "stendining o'ng tomoniga kiradi. "" 1 "xarajatlari.

Biz "(X - 1) (x 2 + x + 1)" "qarama-qarshi yo'nalishda kublarning farqi formulalari.

Bir misolni ko'rib chiqing. Molinomiyalarning mahsulotini soddalashtirish talab etiladi.

Agar siz "(y 2 - 1) (y 4 + y 2 + 1)" Cuba farq formulasining o'ng qismi bilan
« a 3 - b 3 \u003d (A - B) (2 + AB + B 2)"Birinchi qavsdan" A "saytida" A "saytida" Y 2 va "B" saytida "1" mavjudligini tushunish mumkin.