Записати приклад у вигляді нерівності. лінійні нерівності

Тобто спочатку записують змінну, що входить в нерівність, потім за допомогою знака приналежності ∈ вказують до якого числовому проміжку належать значення цієї змінної. В даному випадку вираз x ∈ [2; 8] вказує на те, що змінна x, що входить в нерівність 2 ≤ x≤ 8, приймає всі значення в проміжку від 2 до 8 включно. При цих значеннях нерівність буде вірним.

Звернемо увагу на те, що відповідь записаний за допомогою квадратних дужок, оскільки кордону нерівності 2 ≤ x≤ 8, а саме числа 2 і 8 належать безлічі рішень цієї нерівності.

Безліч рішень нерівності 2 ≤ x≤ 8 також можна зобразити за допомогою координатної прямої:

Тут кордону числового проміжку 2 і 8 відповідають кордонів нерівності 2 ≤ x x 2 ≤ x≤ 8 .

У деяких джерелах кордону, які не належать числовому проміжку, називають відкритими .

Відкритими їх називають по тій причині, що числовий проміжок залишається відкритим через те, що його межі не належать цьому числовому проміжку. Порожній гурток на координатної прямої математики називають виколоти точкою . Виколоти точку значить виключити її з числового проміжку або з безлічі рішень нерівності.

А в разі, коли кордону належать числовому проміжку, їх називають закритими (Або замкнутими), оскільки такі межі закривають (замикають) собою числовий проміжок. Зафарбований кружок на координатної прямий також говорить про закритість кордонів.

Існують різновиди числових проміжків. Розглянемо кожен з них.

числовий промінь

числовим променем x ≥ a, де a x - рішення нерівності.

нехай a\u003d 3. тоді нерівність x ≥ a набуде вигляду x≥ 3. Рішеннями даного нерівності є всі числа, які більше 3, включаючи саме число 3.

Зобразимо числовий промінь, заданий нерівністю x≥ 3, на координатної прямої. Для цього відзначимо на ній точку з координатою 3, а все праворуч від неї область виділимо штрихами. Виділяється саме права частина, оскільки рішеннями нерівності x≥ 3 є числа, більші 3. А більші числа на координатної прямої розташовуються правіше

x≥ 3, а виділена штрихами область відповідає безлічі значень x , Які є рішеннями нерівності x≥ 3 .

Точка 3, яка є кордоном числового променя, зображена у вигляді закрашеного гуртка, оскільки межа нерівності x≥ 3 належить множині його рішень.

На листі числовий промінь, заданий нерівністю x ≥ a,

[ a; +∞)

Видно, що з одного боку межа обрамлена квадратної дужкою, а з іншого круглої. Це пов'язано з тим, що одна межа числового променя належить йому, а інша ні, оскільки нескінченність сама по собі кордонів не має і мається на увазі, що по той бік немає числа, що замикає цей числовий промінь.

З огляду на те, що одна з меж числового променя закрита, даний проміжок часто називають закритим числовим променем.

Запишемо відповідь до нерівності x≥ 3 за допомогою позначення числового променя. У нас змінна a дорівнює 3

x ∈ [ 3 ; +∞)

У цьому виразі йдеться, що змінна x , Що входить в нерівність x≥ 3, приймає всі значення від 3 до плюс нескінченності.

Інакше кажучи, все числа від 3 до плюс нескінченності, є рішеннями нерівності x≥ 3. Кордон 3 належить множині рішень, оскільки нерівність x≥ 3 є нестрогим.

Закритим числовим променем також називають числовий проміжок, який задається нерівністю x ≤ a.рішеннями нерівності x ≤ a a,включаючи саме число a.

Наприклад, якщо a x≤ 2. На координатній прямій межа 2 буде зображуватися зафарбовані гуртком, а вся область, що знаходиться зліва, Буде виділена штрихами. Цього разу виділяється ліва частина, оскільки рішеннями нерівності x≤ 2 є числа, менші 2. А менші числа на координатної прямої розташовуються лівіше

x≤ 2, а виділена штрихами область відповідає безлічі значень x , Які є рішеннями нерівності x≤ 2 .

Точка 2, яка є кордоном числового променя, зображена у вигляді закрашеного гуртка, оскільки межа нерівності x≤ 2 належить множині його рішень.

Запишемо відповідь до нерівності x≤ 2 за допомогою позначення числового променя:

x ∈ (−∞ ; 2 ]

x≤ 2. Кордон 2 належить множині рішень, оскільки нерівність x≤ 2 є нестрогим.

Відкритий числовий промінь

Відкритим числовим променем називають числовий проміжок, який задається нерівністю x\u003e a , де a - межа даного нерівності, x - розв'язок нерівності.

Відкритий числовий промінь багато в чому схожий на закритий числовий промінь. Різниця в тому, що кордон a не належить проміжку, як і межа нерівності x\u003e a не належить безлічі його рішень.

нехай a\u003d 3. Тоді нерівність набуде вигляду x\u003e 3. Рішеннями даного нерівності є всі числа, які більше 3, за винятком числа 3

На координатній прямій межа відкритого числового променя, заданого нерівністю x\u003e 3, буде зображуватися у вигляді порожнього гуртка. Вся область, що знаходиться праворуч, буде виділена штрихами:

Тут точка 3 відповідає кордоні нерівності x\u003e3, а виділена штрихами область відповідає безлічі значень x , Які є рішеннями нерівності x\u003e 3. Точка 3, яка є кордоном відкритого числового променя, зображена у вигляді порожнього гуртка, оскільки межа нерівності x\u003e 3 не належить безлічі його рішень.

x\u003e a, позначається наступним чином:

(a; +∞)

Круглі дужки вказують на те, що кордони відкритого числового променя не належать йому.

Запишемо відповідь до нерівності x \u003e 3 за допомогою позначення відкритого числового променя:

x ∈ (3 ; +∞)

У цьому виразі йдеться, що всі числа від 3 до плюс нескінченності, є рішеннями нерівності x \u003e 3. Кордон 3 не належить безлічі рішень, оскільки нерівність x \u003e 3 є строгим.

Відкритим числовим променем також називають числовий проміжок, який задається нерівністю x< a , де a - межа даного нерівності, x - рішення нерівності . рішеннями нерівності x< a є всі числа, які менше a,виключаючи число a.

Наприклад, якщо a\u003d 2, то нерівність набуде вигляду x< 2. На координатній прямій межа 2 буде зображуватися порожнім кружком, а вся область, що знаходиться зліва, буде виділена штрихами:

Тут точка 2 відповідає кордоні нерівності x< 2, а виділена штрихами область відповідає безлічі значень x , Які є рішеннями нерівності x< 2. Точка 2, яка є кордоном відкритого числового променя, зображена у вигляді порожнього гуртка, оскільки межа нерівності x< 2 не належить безлічі його рішень.

На листі відкритий числовий промінь, заданий нерівністю x< a , позначається наступним чином:

(−∞ ; a)

Запишемо відповідь до нерівності x< 2 за допомогою позначення відкритого числового променя:

x ∈ (−∞ ; 2)

У цьому виразі йдеться, що всі числа від мінус нескінченності до 2, є рішеннями нерівності x< 2. Кордон 2 не належить безлічі рішень, оскільки нерівність x< 2 є строгим.

відрізок

відрізком a ≤ x ≤ b , де a і b x - розв'язок нерівності.

нехай a = 2 , b \u003d 8. тоді нерівність a ≤ x ≤ b набуде вигляду 2 ≤ x≤ 8. Рішеннями нерівності 2 ≤ x≤ 8 є все числа, які більше 2 і менше 8. При цьому межі нерівності 2 і 8 належать безлічі його рішень, оскільки нерівність 2 ≤ x≤ 8 є нестрогим.

Зобразимо відрізок, заданий подвійним нерівністю 2 ≤ x≤ 8 на координатної прямої. Для цього відзначимо на ній точки з координатами 2 і 8, а розташовується між ними область виділимо штрихами:

≤ x≤ 8, а виділена штрихами область відповідає безлічі значень x x≤ 8. Точки 2 і 8, які є межами відрізка, зображені у вигляді зафарбованих гуртків, оскільки кордону нерівності 2 ≤ x≤ 8 належать безлічі його рішень.

На листі відрізок, заданий нерівністю a ≤ x ≤ b позначається наступним чином:

[ a; b ]

Квадратні дужки з обох сторін вказують на те, що кордони відрізка належать йому. Запишемо відповідь до нерівності 2 ≤ x

x ∈ [ 2 ; 8 ]

У цьому виразі йдеться, що всі числа від 2 до 8 включно, є рішеннями нерівності 2 ≤ x≤ 8 .

інтервал

інтервалом називають числовий проміжок, який задається подвійним нерівністю a< x < b , де a і b - межі даного нерівності, x - розв'язок нерівності.

нехай a \u003d 2, b \u003d 8 . тоді нерівність a< x < b набуде вигляду 2< x< 8 . Решениями этого двойного неравенства являются все числа, которые больше 2 и меньше 8, исключая числа 2 и 8.

Зобразимо інтервал на координатної прямої:

Тут точки 2 і 8 відповідають кордонів нерівності 2< x< 8 , а выделенная штрихами область соответствует множеству значений x < x< 8 . Точки 2 и 8, являющиеся границами интервала, изображены в виде пустых кружков, поскольку границы неравенства 2 < x< 8 не принадлежат множеству его решений.

На листі інтервал, заданий нерівністю a< x < b, позначається наступним чином:

(a; b)

Круглі дужки з обох сторін вказують на те, що межі інтервалу не належать йому. Запишемо відповідь до нерівності 2< x< 8 с помощью этого обозначения:

x ∈ (2 ; 8)

У цьому виразі йдеться, що всі числа від 2 до 8, виключаючи числа 2 і 8, є рішеннями нерівності 2< x< 8 .

напівінтервал

напівінтервалів називають числовий проміжок, який задається нерівністю a ≤ x< b , де a і b - межі даного нерівності, x - розв'язок нерівності.

Напівінтервалів також називають числовий проміжок, який задається нерівністю a< x ≤ b .

Одна з меж полуінтервала належить йому. Звідси і назва цього числового проміжку.

У ситуації з напівінтервалів a ≤ x< b йому (напівінтервалів) належить ліва межа.

А в ситуації з напівінтервалів a< x ≤ b йому належить права межа.

нехай a= 2 , b\u003d 8. тоді нерівність a ≤ x< b набуде вигляду 2 ≤ x < 8 . Решениями этого двойного неравенства являются все числа, которые больше 2 и меньше 8, включая число 2, но исключая число 8.

Зобразимо напівінтервал 2 ≤ x < 8 на координатной прямой:

x < 8 , а выделенная штрихами область соответствует множеству значений x , Які є рішеннями нерівності 2 ≤ x < 8 .

Точка 2, що є лівої кордоном полуінтервала, зображена у вигляді закрашеного гуртка, оскільки ліва межа нерівності 2 ≤ x < 8 належитьбезлічі його рішень.

А точка 8, що є правою кордоном полуінтервала, зображена у вигляді порожнього гуртка, оскільки права межа нерівності 2 ≤ x < 8 нЕ належить безлічі його рішень.

a ≤ x< b, позначається наступним чином:

[ a; b)

Видно, що з одного боку межа обрамлена квадратної дужкою, а з іншого круглої. Це пов'язано з тим, що одна межа полуінтервала належить йому, а інша ні. Запишемо відповідь до нерівності 2 ≤ x < 8 с помощью этого обозначения:

x ∈ [ 2 ; 8)

У цьому виразі йдеться, що всі числа від 2 до 8, включаючи число 2, але виключаючи число 8, є рішеннями нерівності 2 ≤ x < 8 .

Аналогічно на координатної прямої можна зобразити напівінтервал, заданий нерівністю a< x ≤ b . нехай a= 2 , b\u003d 8. тоді нерівність a< x ≤ b набуде вигляду 2< x≤ 8. Рішеннями цього подвійного нерівності є всі числа, які більше 2 і менше 8, виключаючи число 2, але включаючи число 8.

Зобразимо напівінтервал 2< x≤ 8 на координатної прямої:

Тут точки 2 і 8 відповідають кордонів нерівності 2< x≤ 8, а виділена штрихами область відповідає безлічі значень x , Які є рішеннями нерівності 2< x≤ 8 .

Точка 2, що є лівої кордоном полуінтервала, зображена у вигляді порожнього гуртка, оскільки ліва межа нерівності 2< x≤ 8 не належитьбезлічі його рішень.

А точка 8, що є правою кордоном полуінтервала, зображена у вигляді закрашеного гуртка, оскільки права межа нерівності 2< x≤ 8 належитьбезлічі його рішень.

На листі напівінтервал, заданий нерівністю a< x ≤ b, позначається так: ( a; b ]. Запишемо відповідь до нерівності 2< x≤ 8 за допомогою цього позначення:

x ∈ (2 ; 8 ]

У цьому виразі йдеться, що всі числа від 2 до 8, виключаючи число 2, але включаючи число 8, є рішеннями нерівності 2< x≤ 8 .

Зображення числових проміжків на координатній прямій

Числовий проміжок може бути заданий за допомогою нерівності або за допомогою позначення (круглих або квадратних дужок). В обох випадках потрібно зуміти зобразити цей числовий проміжок на координатної прямої. Розглянемо кілька прикладів.

приклад 1. Зобразити числовий проміжок, заданий нерівністю x> 5

Згадуємо, що нерівністю виду x> a задається відкритий числовий промінь. В даному випадку змінна a дорівнює 5. Нерівність x\u003e 5 суворе, тому межа 5 буде зображуватися у вигляді порожнього кружкá. Нас цікавлять всі значення x, які більше 5, тому вся область праворуч буде виділена штрихами:

приклад 2. Зобразити числовий проміжок (5; + ∞) на координатній прямій

Це той же числовий проміжок, який ми зобразили в попередньому прикладі. Але в цей раз він заданий не за допомогою нерівності, а за допомогою позначення числового проміжку.

Кордон 5 обрамлена круглою дужкою, значить вона не належить проміжку. Відповідно, гурток залишається порожнім.

Символ + ∞ вказує, що нас цікавлять всі числа, які більше 5. Відповідно, вся область праворуч від кордону 5 виділяється штрихами:

приклад 3. Зобразити числовий проміжок (-5; 1) на координатній прямій.

Круглими дужками з обох сторін позначаються інтервали. Межі інтервалу не належать йому, тому кордону -5 і 1 зображатимуться на координатної прямої у вигляді порожніх гуртків. Вся область між ними буде виділена штрихами:

приклад 4. Зобразити числовий проміжок, заданий нерівністю -5< x< 1

Це той же числовий проміжок, який ми зобразили в попередньому прикладі. Але в цей раз він заданий не за допомогою позначення проміжку, а за допомогою подвійного нерівності.

нерівністю виду a< x < b , Задається інтервал. В даному випадку змінна a дорівнює -5, а змінна b дорівнює одиниці. нерівність -5< x< 1 суворе, тому кордону -5 і 1 зображатимуться у вигляді порожніх гуртка. Нас цікавлять всі значення x, які більше -5, але менше одиниці, тому вся область між точками -5 і 1 буде виділена штрихами:

приклад 5. Зобразити на координатній прямій числові проміжки [-1; 2] і

Цього разу зобразимо на координатної прямої відразу два проміжки.

Квадратними дужками з обох сторін позначаються відрізки. Межі відрізка належать йому, тому кордону відрізків [-1; 2] і зображатимуться на координатної прямої у вигляді зафарбованих гуртків. Вся область між ними буде виділена штрихами.

Щоб добре побачити проміжки [-1; 2] і, перший можна зобразити на верхній області, а другий на нижній. Так і вчинимо:

приклад 6. Зобразити на координатній прямій числові проміжки [-1; 2) і (2; 5]

Квадратної дужкою з одного боку і круглої з іншого позначаються напівінтервалів. Одна з меж полуінтервала належать йому, а інша ні.

У випадку з напівінтервалів [-1; 2) ліва межа буде належати йому, а права немає. Значить ліва межа буде зображуватися у вигляді закрашеного гуртка. Права ж межа буде зображуватися у вигляді порожнього гуртка.

А у випадку з напівінтервалів (2; 5] йому буде належати тільки права межа, а ліва немає. Значить ліва межа буде зображуватися у вигляді закрашеного гуртка. Права ж межа буде зображуватися у вигляді порожнього гуртка.

Зобразимо проміжок [-1; 2) на верхній області координатної прямої, а проміжок (2; 5] - на нижній:

Приклади розв'язання нерівностей

Нерівність, яке шляхом тотожних перетворень можна привести до виду ax\u003e b (Або до виду ax< b ), Будемо називати лінійним нерівністю з однією змінною.

У лінійному нерівності ax\u003e b , x - це змінна, значення якої потрібно знайти, а - коефіцієнт цієї змінної, b - межа нерівності, яка в залежності від знака нерівності може належати безлічі його рішень або не належати йому.

Наприклад, нерівність 2 x\u003e 4 є нерівністю виду ax\u003e b . У ньому роль змінної a відіграє число 2, роль змінної b (Межі нерівності) грає число 4.

нерівність 2 x\u003e 4 можна зробити ще простіше. Якщо ми розділимо обидві його частини на 2, то отримаємо нерівність x> 2

вийшло нерівність x\u003e 2 також є нерівністю виду ax\u003e b , Тобто лінійним нерівністю з однією змінною. У цьому нерівності роль змінної a відіграє одиниця. Раніше ми говорили, що коефіцієнт 1 цієї статті не записують. роль змінної b відіграє число 2.

Відштовхуючись від цих відомостей, спробуємо вирішити кілька простих нерівностей. В ході рішення ми будемо виконувати елементарні тотожні перетворення з метою отримати нерівність виду ax\u003e b

приклад 1. вирішити нерівність x− 7 < 0

Додамо до обох частин нерівності число 7

x− 7 + 7 < 0 + 7

У лівій частині залишиться x , А права частина стане дорівнює 7

x< 7

Шляхом елементарних перетворень ми привели нерівність x− 7 < 0 к равносильному неравенству x< 7 . Решениями неравенства x< 7 являются все числа, которые меньше 7. Граница 7 не принадлежит множеству решений, поскольку неравенство строгое.

Коли нерівність до виду x< a (або x\u003e a ), Його можна вважати вже вирішеним. наше нерівність x− 7 < 0 тоже приведено к такому виду, а именно к виду x< 7 . Но в большинстве школ требуют, чтобы ответ был записан с помощью числового промежутка и проиллюстрирован на координатной прямой.

Запишемо відповідь за допомогою числового проміжку. В даному випадку відповіддю буде відкритий числовий промінь (згадуємо, що числовий промінь задається нерівністю x< a і позначається як (-∞; a)

x ∈ (−∞ ; 7)

На координатній прямій межа 7 буде зображуватися у вигляді порожнього гуртка, а вся область, що знаходиться зліва від кордону, буде виділена штрихами:

Для перевірки візьмемо будь-яке число з проміжку (-∞; 7) і підставимо його в нерівність x< 7 вместо переменной x . Візьмемо, наприклад, число 2

2 < 7

Вийшло вірну числову нерівність, значить і рішення вірне. Візьмемо ще яке-небудь число, наприклад, число 4

4 < 7

Вийшло вірну числову нерівність. Значить рішення вірне.

А оскільки нерівність x< 7 равносильно исходному неравенству x -7 < 0 , то решения неравенства x< 7 будут совпадать с решениями неравенства x -7 < 0 . Подставим те же тестовые значения 2 и 4 в неравенство x -7 < 0

2 − 7 < 0

−5 < 0 — Верное неравенство

4 − 7 < 0

−3 < 0 Верное неравенство

приклад 2. Вирішити нерівність -4 x < −16

Розділимо обидві частини нерівності на -4. Не забуваємо, що при розподілі обох частин нерівності на негативне число, Знак нерівності змінюється на протилежний:

Ми привели нерівність -4 x < −16 к равносильному неравенству x\u003e 4. рішеннями нерівності x\u003e 4 будуть всі числа, які більше 4. Кордон 4 не належить безлічі рішень, оскільки нерівність суворе.

x\u003e 4 на координатної прямий і запишемо відповідь у вигляді числового проміжку:

приклад 3. вирішити нерівність 3y + 1 > 1 + 6y

перенесемо 6 y з правої частини в ліву частину, змінивши знак. А 1 з лівої частини перенесемо в праву частину, знову ж змінивши знак:

3y− 6y> 1 − 1

Наведемо подібні доданки:

−3y > 0

Розділимо обидві частини на -3. Не забуваємо, що при розподілі обох частин нерівності на негативне число, знак нерівності змінюється на протилежний:

рішеннями нерівності y< 0 являются все числа, меньшие нуля. Изобразим множество решений неравенства y< 0 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:

приклад 4. вирішити нерівність 5(x− 1) + 7 ≤ 1 − 3(x+ 2)

Розкриємо дужки в обох частинах нерівності:

перенесемо -3 x з правої частини в ліву частину, змінивши знак. Члени -5 і 7 з лівої частини перенесемо в праву частину, знову ж змінивши знаки:

Наведемо подібні доданки:

Розділимо обидві частини отриманого нерівності на 8

Рішеннями нерівності є всі числа, які менше. Кордон належить множині рішень, оскільки нерівність є нестрогим.

приклад 5. вирішити нерівність

Помножимо обидві частини нерівності на 2. Це дозволить позбутися від дробу в лівій частині:

Тепер перенесемо 5 з лівої частини в праву частину, змінивши знак:

Після приведення подібних доданків, отримаємо нерівність 6 x\u003e 1. Розділимо обидві частини цієї нерівності на 6. Тоді отримаємо:

Рішеннями нерівності є всі числа, які більше. Кордон не належить безлічі рішень, оскільки нерівність є строгим.

Зобразимо безліч рішень нерівності на координатної прямий і запишемо відповідь у вигляді числового проміжку:

приклад 6. вирішити нерівність

Помножимо обидві частини на 6

Після приведення подібних доданків, отримаємо нерівність 5 x< 30 . Разделим обе части этого неравенства на 5

рішеннями нерівності x< 6 являются все числа, которые меньше 6. Граница 6 не принадлежит множеству решений, поскольку неравенство является x< 6 строгим.

Зобразимо безліч рішень нерівності x< 6 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:

приклад 7. вирішити нерівність

Помножимо обидві частини нерівності на 10

В отриманому нерівності розкриємо дужки в лівій частині:

Перенесемо члени без x в праву частину

Наведемо подібні доданки в обох частинах:

Розділимо обидві частини отриманого нерівності на 10

рішеннями нерівності x≤ 3,5 є все числа, які менше 3,5. Кордон 3,5 належить множині рішень, оскільки нерівність є x≤ 3,5 нестрогим.

Зобразимо безліч рішень нерівності x≤ 3,5 на координатної прямий і запишемо відповідь у вигляді числового проміжку:

приклад 8. Вирішити нерівність 4< 4x< 20

Щоб вирішити таке нерівність, потрібно змінну x звільнити від коефіцієнта 4. Тоді ми зможемо сказати в якому проміжку знаходиться рішення даного нерівності.

Щоб звільнити змінну x від коефіцієнта, можна розділити член 4 x на 4. Але правило в нерівностях таке, що якщо ми ділимо член нерівності на яке-небудь число, то теж саме треба зробити і з іншими членами, що входять в таку нерівність. У нашому випадку на 4 потрібно розділити все три члена нерівності 4< 4x< 20

Рішеннями нерівності 1< x< 5 являются все числа, которые больше 1 и меньше 5. Границы 1 и 5 не принадлежат множеству решений, поскольку неравенство 1 < x< 5 является строгим.

Зобразимо безліч рішень нерівності 1< x< 5 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:

приклад 9. Вирішити нерівність -1 ≤ -2 x≤ 0

Розділимо всі члени нерівності на -2

Отримали нерівність 0,5 ≥ x≥ 0. Подвійне нерівність бажано записувати так, щоб менший член розташовувався зліва, а більший справа. Тому перепишемо наше нерівність наступним чином:

0 ≤ x≤ 0,5

Рішеннями нерівності 0 ≤ x≤ 0,5 є все числа, які більше 0 і менше 0,5. Межі 0 і 0,5 належать безлічі рішень, оскільки нерівність 0 ≤ x≤ 0,5 є нестрогим.

Зобразимо безліч рішень нерівності 0 ≤ x≤ 0,5 на координатної прямий і запишемо відповідь у вигляді числового проміжку:

приклад 10. вирішити нерівність

Помножимо обидві нерівності на 12

Розкриємо дужки в отриманому нерівності і наведемо подібні доданки:

Розділимо обидві частини отриманого нерівності на 2

рішеннями нерівності x≤ -0,5 є все числа, які менше -0,5. Кордон -0,5 належить множині рішень, оскільки нерівність x≤ -0,5 є нестрогим.

Зобразимо безліч рішень нерівності x≤ -0,5 на координатної прямий і запишемо відповідь у вигляді числового проміжку:

приклад 11. вирішити нерівність

Помножимо всі частини нерівності на 3

Тепер з кожної частини отриманого нерівності віднімемо 6

Кожну частину отриманого нерівності розділимо на -1. Не забуваємо, що при розподілі всіх частин нерівності на негативне число, знак нерівності змінюється на протилежний:

Рішеннями нерівності 3 ≤ a ≤9 є все числа, які більше 3 і менше 9. Межі 3 і 9 належать безлічі рішень, оскільки нерівність 3 ≤ a ≤9 є нестрогим.

Зобразимо безліч рішень нерівності 3 ≤ a ≤9 на координатної прямий і запишемо відповідь у вигляді числового проміжку:

Коли рішень немає

Існують нерівності, які не мають рішень. Таким, наприклад, є нерівність 6 x> 2(3x+ 1). У процесі вирішення цього нерівності ми прийдемо до того, що знак нерівності\u003e не виправдає свого розташування. Давайте подивимося, як це виглядає.

Розкриємо дужки в правій частині даного нерівність, отримаємо 6 x> 6x+ 2. перенесемо 6 x з правої частини в ліву частину, змінивши знак, отримаємо 6 x− 6x\u003e 2. Наводимо подібні доданки і отримуємо нерівність 0\u003e 2, яке не є вірним.

Для найкращого розуміння, перепишемо приведення подібних доданків в лівій частині в такий спосіб:

Отримали нерівність 0 x\u003e 2. У лівій частині розташовується твір, яке дорівнюватиме нулю при будь-якому x . А нуль не може бути більше, ніж число 2. Значить нерівність 0 x\u003e 2 не має рішень.

x\u003e 2, то немає рішень і вихідне нерівність 6 x> 2(3x+ 1) .

приклад 2. вирішити нерівність

Помножимо обидві частини нерівності на 3

В отриманому нерівності перенесемо член 12 x з правої частини в ліву частину, змінивши знак. Потім наведемо подібні доданки:

Права частина отриманого нерівності при будь-якому x буде дорівнює нулю. А нуль не менш, ніж -8. Значить нерівність 0 x< −8 не имеет решений.

А якщо не має рішень наведене рівносильне нерівність 0 x< −8 , то не имеет решений и исходное неравенство .

відповідь: Рішень немає.

Коли рішень нескінченно багато

Існують нерівності, що мають безліч рішень. Такі нерівності стають вірними при будь-якому x .

приклад 1. вирішити нерівність 5(3x− 9) < 15x

Розкриємо дужки в правій частині нерівності:

перенесемо 15 x з правої частини в ліву частину, змінивши знак:

Наведемо подібні доданки в лівій частині:

Отримали нерівність 0 x< 45. У лівій частині розташовується твір, яке дорівнюватиме нулю при будь-якому x . А нуль менше, ніж 45. Значить рішенням нерівності 0 x< 45 є будь-яке число.

x< 45 має безліч рішень, то і вихідне нерівність 5(3x− 9) < 15x має ті ж рішення.

Відповідь можна записати у вигляді числового проміжку:

x ∈ (−∞; +∞)

У цьому виразі йдеться, що рішеннями нерівності 5(3x− 9) < 15x є всі числа від мінус нескінченності до плюс нескінченності.

приклад 2. Вирішити нерівність: 31(2x+ 1) − 12x> 50x

Розкриємо дужки в лівій частині нерівності:

перенесемо 50 x з правої частини в ліву частину, змінивши знак. А член 31 з лівої частини перенесемо в праву частину, знову ж змінивши знак:

Наведемо подібні доданки:

Отримали нерівність 0 x\u003e -31. У лівій частині розташовується твір, яке дорівнюватиме нулю при будь-якому x . А нуль більше, ніж -31. Значить рішенням нерівності 0 x< -31 є будь-яке число.

А якщо наведене рівносильне нерівність 0 x\u003e -31 має незліченну кількість рішень, то і вихідне нерівність 31(2x+ 1) − 12x> 50x має ті ж рішення.

Запишемо відповідь у вигляді числового проміжку:

x ∈ (−∞; +∞)

Завдання для самостійного рішення

Сподобався урок?
Вступай в нашу нову групу Вконтакте і почни отримувати повідомлення про нові уроках

Нерівність - зворотна сторона рівності. Матеріал даної статті дає визначення нерівності і початкову інформацію про нього в розрізі математики.

Поняття нерівності, як і поняття рівності, зв'язується з моментом порівняння двох об'єктів. У той час як рівність означає «однакові», то нерівність, навпаки, свідчить про відмінності об'єктів, які порівнюються. Наприклад, і - однакові об'єкти або рівні. і - об'єкти, що відрізняються один від одного або нерівні.

Нерівність об'єктів визначається за смисловим навантаженням такими словами, як вище - нижче (нерівність за ознакою висоти); товщі - тонше (нерівність за ознакою товщини); довше - коротше (нерівність за ознакою довжини) і так далі.

Можливо міркувати як про рівність-нерівність об'єктів в цілому, так і про порівняння їх окремих характеристик. Припустимо, задані два об'єкти: і. Без сумнівів, ці об'єкти не є однаковими, тобто в цілому вони не рівні: за ознакою розміру і кольору. Але, в той же час, ми можемо стверджувати, що рівні їх форми - обидва об'єкти є колами.

В контексті математики смислове навантаження нерівності зберігається. Однак, в цьому випадку мова йде про нерівність математичних об'єктів: чисел, значень виразів, значень величин (довжина, площа тощо), векторів, фігур і т.п.

Чи не так само, більше, менше

Залежно від цілей поставленого завдання цінних можемо бути вже просто факт з'ясування нерівності об'єктів, але зазвичай слідом за встановленням факту нерівності відбувається з'ясування того, яка все ж величина більше, а яка - менше.

Значення слів «більше» і «менше» нам інтуїтивно знайоме з самого початку нашого життя. Очевидним є навик визначати перевагу об'єкта за розміром, кількістю і т.д. Але в кінцевому рахунку будь-яке порівняння призводить нас до порівняння чисел, які визначають деякі характеристики порівнюваних об'єктів. По суті, ми з'ясовуємо, яке число більше, а яке - менше.

Простий приклад:

приклад 1

Вранці температура повітря становила 10 градусів за Цельсієм; о другій годині дня цей показник склав 15 градусів. На основі порівняння натуральних чисел ми можемо стверджувати, що значення температури вранці було менше, ніж її значення о другій годині дня (або о другій годині дня температура збільшилася, стала більше, ніж була температура вранці).

Запис нерівностей за допомогою знаків

Існують загальноприйняті позначення для запису нерівностей:

визначення 1

• знак «не дорівнює», що представляє собою перекреслений знак «дорівнює»: ≠. Цей знак розташовується між нерівними об'єктами. Наприклад: 5 ≠ 10 п'ять не дорівнює десяти;
• знак «більше»:\u003e і знак «менше»:< . Первый записывается между большим и меньшим объектами; второй между меньшим и большим. Например, запись о сравнении отрезков вида | A B | > | C D | говорить про те, що відрізок A B більше відрізка З D;
• знак «більше або дорівнює»: ≥ і знак «менше або дорівнює»: ≤.

Детальніше їх зміст розберемо нижче. Дамо визначення нерівностей з вигляду їх записи.

визначення 2

нерівності - алгебраїчні вирази, які мають сенс і записані за допомогою знаків ≠,\u003e,< , ≤ , ≥ .

Суворі і несуворі нерівності

Знаки строгих нерівностей - це знаки «більше» і «менше»:\u003e і< Неравенства, составленные с их помощью – строгі нерівності.

Знаки нестрогих нерівностей - це знаки «більше або дорівнює» і «менше або дорівнює»: ≥ і ≤. Нерівності, складені з їх допомогою - несуворі нерівності.

Як застосовуються строгі нерівності, ми розібрали вище. Навіщо ж використовуються несуворі нерівності? У практиці такими нерівностями можливо задавати випадки, описувані словами «не більше» і «не менше». Фраза «не більше» означає менше або стільки ж - цього рівня порівняння відповідає знак «менше або дорівнює» ≤. У свою чергу, "не менше" означає - стільки ж або більше, а це знак «більше або дорівнює» ≥. Таким чином, несуворі нерівності, на відміну від строгих, дають можливість рівності об'єктів.

Вірні і невірні нерівності

вірне нерівність - то нерівність, яке відповідає зазначеному вище змістом нерівності. В іншому випадку воно є невірним.

Наведемо прості приклади для наочності:

приклад 2

Нерівність 5 ≠ 5 є невірним, оскільки насправді числа 5 і 5 рівні.

Або таке порівняння:

приклад 3

Припустимо S - площа якоїсь фігури, в цьому випадку S< - 4 является верным неравенством, поскольку площадь всегда выражена неотрицательным числом.

Аналогічними за змістом терміну «правильна нерівність» є фрази «справедливе нерівність», «має місце нерівність» і т.д.

властивості нерівностей

Опишемо властивості нерівностей. Очевидний факт, що об'єкт ніяк не може бути нерівним самому собі, і це є перша властивість нерівності. Друге властивість звучить так: якщо перший об'єкт не дорівнює другому, то і другий не дорівнює першому.

Опишемо властивості, що відповідають знакам «більше» або «менше»:

визначення 5

• антірефлектівность. Це властивість можна висловити так: для будь-якого об'єкта k нерівності k\u003e k і k< k неверны;
• антисиметричність. Дана властивість говорить про те, що, якщо перший об'єкт більше або менше другого, то другий об'єкт, відповідно, менше або більше першого. Запишемо: якщо m\u003e n, то n< m . Или: если m < n , то n > m;
• транзитивність. У буквеної записи вказане властивість буде виглядати так: якщо задано, що a< b и b < с, то a < c . Наоборот: a > b і b\u003e с, а значить a\u003e c. Дана властивість інтуїтивно зрозуміло і природно: якщо перший об'єкт більше другого, а другий - більше третього, то стає ясно, що перший об'єкт тим більше більше третього.

Знакам нестрогих нерівностей також притаманні деякі властивості:

визначення 6

• рефлексивність: A ≥ a і a ≤ a (сюди ж включається випадок, коли a \u003d a);
• антисиметричність: Якщо a ≤ b, то b ≥ a. Якщо ж a ≥ b, то b ≤ a;
• транзитивність: Якщо a ≤ b і b ≤ c, то очевидно, що a ≤ c. І також: якщо а ≥ b, а b ≥ с, то а ≥ с.

Подвійні, потрійні і т.п. нерівності

Властивість транзитивності дає можливість записувати подвійні, потрійні і так далі нерівності, що по суті є ланцюжками нерівностей. Наприклад: подвійне нерівність - e\u003e f\u003e g або потрійне нерівність k 1 ≤ k 2 ≤ k 3 ≤ k 4.

Відзначимо, що зручним буває записувати нерівність як ланцюжка, що включають в себе різні знаки: дорівнює, не дорівнює і знаки строгих і нестрогих нерівностей. Наприклад, x \u003d 2< y ≤ z < 15 .

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl + Enter

Наприклад, нерівністю є вираз \\ (x\u003e 5 \\).

Види нерівностей:

Якщо \\ (a \\) і \\ (b \\) - це числа або, то нерівність називається числовим. Фактично це просто порівняння двох чисел. Такі нерівності поділяються на вірні і невірні.

наприклад:
\(-5<2\) - верное числовое неравенство, ведь \(-5\) действительно меньше \(2\);

\\ (17 + 3 \\ geq 115 \\) - невірне числове нерівність, так як \\ (17 + 3 \u003d 20 \\), а \\ (20 \\) менше \\ (115 \\) (а не більше або дорівнює).

Якщо ж \\ (a \\) і \\ (b \\) - це вирази, що містять змінну, то у нас нерівність зі змінною. Такі нерівності поділяють за типами залежно від вмісту:

Що таке рішення нерівності?

Якщо в нерівність замість змінної підставити яке-небудь число, то воно перетвориться в числове.

Якщо дане значення для ікси перетворює вихідне нерівність вірну числову, то воно називається рішенням нерівності. Якщо ж ні - то дане значення рішенням не є. І щоб вирішити нерівність - потрібно знайти всі його рішення (або показати, що їх немає).

наприклад, якщо ми в лінійне нерівність \\ (x + 6\u003e 10 \\), підставимо замість ікси число \\ (7 \\) -Отримайте вірну числову нерівність: \\ (13\u003e 10 \\). А якщо підставимо \\ (2 \\), буде невірне числове нерівність \\ (8\u003e 10 \\). Тобто \\ (7 \\) - це рішення вихідної нерівності, а \\ (2 \\) - немає.

Однак, нерівність \\ (x + 6\u003e 10 \\) має й інші рішення. Дійсно, ми отримаємо вірні числові нерівності при підстановці і \\ (5 \\), і \\ (12 \\), і \\ (138 \\) ... І як же нам знайти всі можливі рішення? Для цього використовують для нашого випадку маємо:

\\ (X + 6\u003e 10 \\) \\ (| -6 \\)
\\ (X\u003e 4 \\)

Тобто нам підійде будь-яке число більше чотирьох. Тепер потрібно записати відповідь. Рішення нерівностей, як правило, записують числовими, додатково зазначаючи їх на числовій осі штрихуванням. Для нашого випадку маємо:

відповідь: \\ (X \\ in (4; + \\ infty) \\)

Коли в нерівності змінюється знак?

У нерівностях є одна велика пастка, в яку дуже «люблять» попадатися учні:

При множенні (або розподілі) нерівності на негативне число, змінюється на протилежний ( «більше» на «менше», «більше або дорівнює» на «менше або дорівнює» і так далі)

Чому так відбувається? Щоб це зрозуміти, давайте подивимося перетворення числового нерівності \\ (3\u003e 1 \\). Воно вірне, трійка дійсно більше одиниці. Спочатку спробуємо помножити його на будь-яке позитивне число, наприклад, двійку:

\\ (3\u003e 1 \\) \\ (| \\ cdot2 \\)
\(6>2\)

Як бачимо, після множення нерівність залишилося вірним. І на будь-яке позитивне число ми не множили - завжди будемо отримувати вірне нерівність. А тепер спробуємо помножити на негативне число, наприклад, мінус трійку:

\\ (3\u003e 1 \\) \\ (| \\ cdot (-3) \\)
\(-9>-3\)

Вийшло невірне нерівність, адже мінус дев'ять менше, ніж мінус три! Тобто, для того, щоб нерівність стало вірним (а значить, перетворення множення на негативне було «законним»), потрібно перевернути знак порівняння, ось так: \\ (- 9<− 3\).
З поділом вийде аналогічно, можете перевірити самі.

Записане вище правило поширюється на всі види нерівностей, а не тільки на числові.

відповідь: \\ (X \\ in (-1; \\ infty) \\)

Нерівності і ОДЗ

Нерівності, також як і рівняння можуть мати обмеження на, тобто на значення ікси. Відповідно, з проміжку рішень повинні бути виключені ті значення, які неприпустимі по ОПЗ.

приклад: Вирішити нерівність \\ (\\ sqrt (x + 1)<3\)

Рішення: Зрозуміло, що для того щоб ліва частина була менше \\ (3 \\), подкоренное вираз має бути менше \\ (9 \\) (адже з \\ (9 \\) якраз \\ (3 \\)). отримуємо:

\\ (X + 1<9\) \(|-1\)
\\ (X<8\)

Усе? Нам підійде будь-яке значення ікси менше \\ (8 \\)? Ні! Тому що якщо ми візьмемо, наприклад, начебто підходить під вимога значення \\ (- 5 \\) - воно рішенням вихідної нерівності не буде, так як призведе нас до обчислення кореня з негативного числа.

\\ (\\ Sqrt (-5 + 1)<3\)
\\ (\\ Sqrt (-4)<3\)

Тому ми повинні ще врахувати обмеження на значення ікси - він не може бути таким, щоб під коренем було негативне число. Таким чином, маємо другу вимогу на ікс:

\\ (X + 1 \\ geq0 \\)
\\ (X \\ geq-1 \\)

І щоб ікс був остаточним рішенням, він повинен задовольняти відразу обом вимогам: він повинен бути менше \\ (8 \\) (щоб бути рішенням) і більше \\ (- 1 \\) (щоб бути допустимим в принципі). Наносячи на числову вісь, маємо остаточну відповідь:

відповідь: \\ (\\ Left [-1; 8 \\ right) \\)