Перпендикулярні прямі і їх властивості. Перпендикулярні прямі Що називають перпендикулярної прямої

У статті розглядається питання про перпендикулярних прямих на площині і тривимірному просторі. Визначення перпендикулярних прямих і їх позначення з наведеними прикладами детально розберемо. Розглянемо умови застосування необхідного і достатнього умови перпендикулярності двох прямих і докладно розглянемо на прикладі.

Кут між пересічними прямими в просторі може бути прямим. Тоді кажуть, що дані прямі перпендикулярні. Коли кут між перехресними прямими прямий, тоді прямі також є перпендикулярними. Звідси випливає, що перпендикулярні прямі на площині перетинаються, а перпендикулярні прямі простору можуть бути пересічними і перехресними.

Тобто поняття «прямі a і b перпендикулярні» і «прямі b і a перпендикулярні» вважаються рівноправними. Звідси і взялося поняття взаємно перпендикулярні прямі. Узагальнивши вищесказане, розглянемо визначення.

визначення 1

Дві прямі називають перпендикулярними, якщо кут при їх перетині дає 90 градусів.

Перпендикулярність позначається «⊥», а запис приймає вигляд a ⊥ b, що означає, пряма a перпендикулярна прямий b.

Наприклад, перпендикулярними прямими на площині можуть бути сторони квадрата із загальною вершиною. У тривимірному просторі прямі O x, O z, O y перпендикулярні попарно: O x і O z, O x і O y, O y і O z.

Перпендикулярність прямих - умови перпендикулярності

Властивості перпендикулярності необхідно знати, так як більшість завдань зводиться до його перевірці для подальшого вирішення. Бувають випадки, коли про перпендикулярність йдеться ще в умові завдання або коли необхідно користуватися доказом. Для того, щоб довести перпендикулярність досить, щоб кут між прямими був прямим.

Для того, щоб визначити їх перпендикулярність при відомих рівняннях прямокутної системи координат, необхідно застосувати необхідна і достатня умова перпендикулярності прямих. Розглянемо формулювання.

теорема 1

Для того, щоб прямі a і b були перпендикулярними, необхідно і достатньо, щоб направляючий вектор прямої мав перпендикулярністю щодо направляючого вектора заданої прямої b.

Саме доказ грунтується на визначенні направляючого вектора прямої і на визначенні перпендикулярності прямих.

доказ 1

Нехай введена прямокутна декартова система координат Про х у с заданими рівняннями прямої на площині, які визначають прямі a і b. Направляючі вектори прямих a і b позначимо a → і b →. З рівняння прямих a і b необхідною і достатньою умовою є перпендикулярність векторів a → і b →. Це можливо тільки при скалярному творі векторів a → \u003d (a x, a y) і b → \u003d (b x, b y) дорівнює нулю, а запис має вигляд a →, b → \u003d a x · b x + a y · b y \u003d 0. Отримаємо, що необхідною і достатньою умовою перпендикулярності прямих a і b, що знаходяться в прямокутній системі координат Про х у на площині, є a →, b → \u003d ax · bx + ay · by \u003d 0, де a → \u003d (ax, ay) і b → \u003d bx, by - це напрямні вектори прямих a і b.

Умова може бути застосовано, коли необхідно знайти координати напрямних векторів або при наявності канонічних або параметричних рівнянь прямих на площині заданих прямих a і b.

приклад 1

Задані три точки A (8, 6), B (6, 3), C (2, 10) в прямокутній системі координат Про х у. Визначити, прямі А В і А З перпендикулярні чи ні.

Рішення

Прямі А В і А С мають напрямні вектори A B → і A C → відповідно. Для початку обчислимо A B → \u003d (- 2, - 3), A C → \u003d (- 6, 4). Отримаємо, що вектори A B → і A C → перпендикулярні з властивості про скалярном творі векторів, що дорівнює нулю.

A B →, A C → \u003d (- 2) · (- 6) + (- 3) · 4 \u003d 0

Очевидно, що необхідна і достатня умова здійснимо, значить, А В і А З перпендикулярні.

відповідь:прямі перпендикулярні.

приклад 2

Визначити, задані прямі x - 1 2 \u003d y - 7 3 та x \u003d 1 + λ y \u003d 2 - 2 · λ перпендикулярні чи ні.

Рішення

a → \u003d (2, 3) є напрямних вектором заданої прямої x - 1 | 2 \u003d y - 7 3,

b → \u003d (1, - 2) є напрямних вектором прямої x \u003d 1 + λ y \u003d 2 - 2 · λ.

Перейдемо до обчислення скалярного добутку векторів a → і b →. Вираз буде записано:

a →, b → \u003d 2 · 1 + 3 · - 2 \u003d 2 - 6 ≠ 0

Результат твори не дорівнює нулю, можна зробити висновок, що вектори НЕ перпендикулярні, значить і прямі теж перпендикулярні.

відповідь:прямі не перпендикулярні.

Необхідна і достатня умова перпендикулярності прямих a і b застосовується для тривимірного простору, записується у вигляді a →, b → \u003d ax · bx + ay · by + az · bz \u003d 0, де a → \u003d (ax, ay, az) і b → \u003d (bx, by, bz) є напрямними векторами прямих a і b.

приклад 3

Перевірити перпендикулярність прямих в прямокутній системі координат тривимірного простору, задані рівняннями x 2 \u003d y - 1 \u003d z + 1 0 і x \u003d λ y \u003d 1 + 2 · λ z \u003d 4 · λ

Рішення

Знаменники з канонічних рівнянь прямих вважаються координатами направляючого вектора прямої. Координати направляючого вектора з параметричного рівняння - коефіцієнти. Звідси випливає, що a → \u003d (2, - 1, 0) і b → \u003d (1, 2, 4) є напрямними векторами заданих прямих. Для виявлення їх перпендикулярності знайдемо скалярний добуток векторів.

Вираз прийме вигляд a →, b → \u003d 2 · 1 + (- 1) · 2 + 0 · 4 \u003d 0.

Вектори перпендикулярні, так як добуток дорівнює нулю. Необхідна і достатня умова виконана, значить прямі також перпендикулярні.

відповідь:прямі перпендикулярні.

Перевірка перпендикулярності може проводиться, виходячи з інших необхідних і достатніх умов перпендикулярності.

теорема 2

Прямі a і b на площині вважаються перпендикулярними при перпендикулярності нормального вектора прямої a з вектором b, це і є необхідна і достатня умова.

доказ 2

Дана умова може бути застосовано, коли рівняння прямих дають швидке знаходження координат нормальних векторів заданих прямих. Тобто при наявності загального рівняння прямої виду A x + B y + C \u003d 0, рівняння прямої в відрізках виду x a + y b \u003d 1, рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом виду y \u003d k x + b координати векторів можливо знайти.

приклад 4

З'ясувати, перпендикулярні чи прямі 3 x - y + 2 \u003d 0 і x 3 2 + y 1 2 \u003d 1.

Рішення

Виходячи їх рівнянь, необхідно знайти координати нормальних векторів прямих. Отримаємо, що n α → \u003d (3, - 1) - це нормальний вектор для прямої 3 x - y + 2 \u003d 0.

Спростимо рівняння x 3 2 y 1 2 \u003d 1 до виду 2 3 x + 2 y - 1 \u003d 0. Тепер чітко видно координати нормального вектора, які запишемо в такій формі n b → \u003d 2 3, 2.

Вектори n a → \u003d (3, - 1) і n b → \u003d 2 3, 2 будуть перпендикулярними, так як їх скалярний твір дасть в результаті значення рівне 0. Отримаємо n a →, n b → \u003d 3 · 2 3 + (- 1) · 2 \u003d 0.

Необхідна і достатня умова була виконана.

відповідь:прямі перпендикулярні.

Коли пряма a на площині визначена за допомогою рівняння з кутовим коефіцієнтом y \u003d k 1 x + b 1, а пряма b - y \u003d k 2 x + b 2, це означає, що нормальні вектори будуть мати координати (k 1, - 1) і (k 2, - 1). Саме умова перпендикулярності зводиться до k 1 · k 2 + (- 1) · (- 1) \u003d 0 ⇔ k 1 · k 2 \u003d - 1.

приклад 5

З'ясувати, перпендикулярні чи прямі y \u003d - 3 7 x і y \u003d 7 3 x - 1 | 2.

Рішення

Пряма y \u003d - 3 7 x має кутовий коефіцієнт, що дорівнює - 3 7, а пряма y \u003d 7 3 x - 1 | 2 - 7 3.

Твір кутових коефіцієнтів дає значення - 1 - 3 7 · 7 3 \u003d - 1, тобто прямі є перпендикулярними.

відповідь:задані прямі перпендикулярні.

Є ще одна умова, що використовується для визначення перпендикулярності прямих на площині.

теорема 3

Для перпендикулярності прямих a і b на площині необхідною і достатньою умовою є коллинеарность направляючого вектора однієї з прямих з нормальним вектором другий прямий.

доказ 3

Умова може бути застосовано, коли є можливість знаходження направляючого вектора одній прямій і координат нормального вектора інший. Інакше кажучи, одна пряма задається канонічним або параметричних рівнянням, а інша загальним рівнянням прямої, рівнянням у відрізках або рівнянням прямої з кутовим коефіцієнтом.

приклад 6

Визначити, чи є задані прямі x - y - 1 \u003d 0 і x 0 \u003d y - 4 2 перпендикулярними.

Рішення

Отримуємо, що нормальний вектор прямої x - y - 1 \u003d 0 має координати n a → \u003d (1, - 1), а b → \u003d (0, 2) - направляючий вектор прямої x 0 \u003d y - 4 2.

Звідси видно, що вектори n a → \u003d (1, - 1) і b → \u003d (0, 2) не колінеарні, тому що умова коллинеарности не виконується. Не існує такого числа t, щоб виконувалося рівність n a → \u003d t · b →. Звідси висновок, що прямі не є перпендикулярними.

відповідь:прямі не перпендикулярні.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl + Enter

Перпендикулярні прямі утворюють собою цілий пласт фігур, побудов і обчислень в геометрії. Без розуміння перпендикулярних прямих не вийде вирішувати такі фігури, як прямокутний трикутник, Прямокутник, квадрат або прямокутна трапеція. Тому варто особливу увагу приділити цим поняттям.

Що таке перпендикулярні прямі

При перетині двох прямих утворюється 4 кута. Визначення перпендикулярних прямих звучить так: це прямі, кут між якими дорівнює 90 градусам. Кутів всього 4, повний кут це 360 градусів. Якщо один з кутів дорівнює 90 градусам, то і 3 інших будуть по 90.

Щоб відрізки називалися перпендикулярними, так само повинно виконуватися дві умови: відрізки повинні перетинатися, а кут перетину між ними повинен дорівнювати 90 градусам.

Мал. 1. Перпендикулярні лінії.

властивості

У перпендикулярних прямих не так багато властивостей. Всі вони не вимагають доказів, так як виходять з визначення перпендикулярності.

• Якщо кожна з двох прямих перпендикулярні третій, то ці прямі паралельні. А паралельні вони в силу того, що отримані односторонні кути будуть в сумі давати 180 градусів. А значить, прямі паралельні по 3 ознакою паралельності. Це властивість можна довести за допомогою одного з трьох ознак паралельності.
• Перпендикулярний відрізок від точки до прямої або відрізка буде називатися відстанню від точки до прямої.
• Відстань від прямої до прямої так само є перпендикуляром, опущеним з будь-якої точки однієї прямої на іншу пряму.
• Якщо протягом всієї довгі двох прямих відстань між ними не змінюється, то прямі будуть паралельними.

Фігури з перпендикулярними прямими

Однією з перших фігур, з якими знайомиться людина, є квадрат і прямокутник.

Прямі кути приємні людському погляду, тому дуже часто квадрат або прямокутник використовують як форму для стільниць, стільців, тумбочок і інших предметів. Весь навколишній світ людини складається з паралельних і перпендикулярних ліній.

Мал. 2. Квадрат.

Ще з часів Стародавньої Греції відомий прямокутний трикутник. Форму прямокутного трикутника брали різні прилади для навігації, крім того багато часу вивченню властивостей прямокутного трикутника приділив Піфагор. Саме його авторству належить Теорема Піфагора, яка вкрай затребувана в рішеннях задач.

Існує прямокутна трапеція, у якої одна зі сторін прямокутна обом підставою. А планометрія і зовсім рясніє перпендикулярами в просторі: правильна призма, прямокутна піраміда і самий звичайний куб.

До того ж, в будь-якому трикутнику можна провести висоту, що необхідно для знаходження площі фігури. Перпендикуляр для знаходження площі стане в нагоді і в параллелограмме, а прямокутний трикутник і квадрат мають висоту в складі своїх сторін, через що площа цих фігур набагато простіше знайти.

Дотримання Вашої конфіденційності важливо для нас. З цієї причини, ми розробили Політику Конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо і зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності і повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір і використання персональної інформації

Під персональною інформацією розуміються дані, які можуть бути використані для ідентифікації певної особи або зв'язку з ним.

Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації в будь-який момент, коли ви зв'язуєтеся з нами.

Нижче наведені деякі приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

• Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформацію, включаючи ваші ім'я, номер телефону, адреса електронної пошти тощо

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

• Зібрана нами персональна інформація дозволяє нам зв'язуватися з вами і повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інших заходах і найближчі події.
• Час від часу, ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для відправки важливих повідомлень і повідомлень.
• Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних і різних досліджень з метою поліпшення послуг, що надаються нами і надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
• Якщо ви берете участь в розіграші призів, конкурсі або подібному стимулюючому заході, ми можемо використовувати надану вами інформацію для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

винятки:

• У разі якщо необхідно - відповідно до закону, у судовому порядку, в судовому розгляді, і / або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно або доречно в цілях безпеки, підтримання правопорядку, чи інших суспільно важливих випадках.
• У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати зібрану нами персональну інформацію відповідній третій особі - правонаступнику.

Захист особистих даних

Ми вживаємо заходів обережності - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки, і недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності і безпеки до наших співробітників, і строго стежимо за виконанням заходів дотримання конфіденційності.

Перпендикулярністю називають співвідношення між різноманітними об'єктами в евклідовому просторі - прямими, площинами, векторами, підпросторами і так далі. У цьому матеріалі ми уважніше розглянемо перпендикулярні прямі і характерні риси, до них відносяться. Дві прямі можуть бути названі перпендикулярними (або взаімоперпендікулярних), якщо всі чотири кути, які утворені їх перетином, складають строго по дев'яносто градусів.

Існують певні властивості перпендикулярних прямих, реалізованих на площині:

Побудова перпендикулярних прямих

Перпендикулярні прямі будуються на площині за допомогою кутника. Будь-кресляр повинен мати на увазі, що важливою особливістю кожного кутника є те, що він обов'язково має прямий кут. Щоб створити дві перпендикулярні прямі, нам необхідно поєднати одну з двох сторін прямого кута нашого

креслярського кутника з даною прямою і провести другу пряму уздовж другої сторони цього прямого кута. Таким чином будуть створені дві перпендикулярні прямі.

тривимірний простір

Цікавим є той факт, що перпендикулярні прямі можуть бути реалізовані і в В цьому випадку такими будуть називатися дві прямі, якщо вони паралельні відповідно будь-яким двох іншим прямим, лежачим в тій же площині і теж перпендикулярним в ній. Крім того, якщо на площині перпендикулярними можуть бути лише дві прямі, то в тривимірному просторі - вже три. Більш того, в кількість перпендикулярних ліній (або ж площин) може бути ще більше збільшено.

Пряма (відрізок прямої) позначається двома великими літерами латинського алфавіту або однієї маленької літери. Точка позначається тільки великою латинською літерою.

Прямі можуть не перетинатися, перетинатися або збігатися. Пересічні прямі мають тільки одну спільну точку, непересічні прямі - жодної спільної точки, у співпадаючих прямих всі точки загальні.

Визначення. Дві прямі, що перетинаються під прямим кутом, називаються перпендикулярними. Перпендикулярність прямих (або їх відрізків) позначають знаком перпендикулярності «⊥».

наприклад:

Ваш AB і CD (Рис. 1) перетинаються в точці Про і ∠ АОС = ∠ВОС = ∠АОD = ∠BOD \u003d 90 °, то AB ⊥ CD.

якщо AB ⊥ CD (Рис. 2) і перетинаються в точці В, То ∠ АBC = ∠ABD \u003d 90 °

Властивості перпендикулярних прямих

1. Через точку А (Рис. 3) можна провести тільки одну перпендикулярну пряму АВ до прямої СD; інші прямі, що проходять через точку А і перетинають СD, Називаються похилими прямими (рис. 3, прямі АЕ і АF).

2. З точки A можна опустити перпендикуляр на пряму CD; довжина перпендикуляра (довжина відрізка АВ), Проведеного з точки А на пряму CD, - це найкоротша відстань від A до CD (Рис. 3).