Основна властивість дробу, формулювання, доказ, приклади застосування. Основна властивість дробу: формулювання, доказ, приклади застосування Про що говорить основна властивість дробу

У даній статті розберемо, в чому полягає основна властивість дробу, сформулюємо його, наведемо доказ і наочний приклад. Потім розглянемо, як застосовувати основну властивість дробу при вчиненні дій скорочення дробів і приведення дробів до нового знаменника.

Всі звичайні дроби мають найважливішим властивістю, яке ми і називаємо основним властивістю дробу, і звучить воно наступним чином:

визначення 1

Якщо чисельник і знаменник однієї дробу помножити або розділити на одне й те саме натуральне число, то в підсумку вийде дріб, що дорівнює заданій.

Уявімо основну властивість дробу у вигляді рівності. Для натуральних чисел a, b і m будуть справедливими рівності:

a · m b · m \u003d a b і a: m b: m \u003d a b

Розглянемо доказ основного властивості дробу. Спираючись на властивості множення натуральних чисел і властивості ділення натуральних чисел, запишемо рівності: (a · m) · b \u003d (b · m) · a і (a: m) · b \u003d (b: m) · a. Таким чином, дроби a · m b · m і a b, а також a: m b: m і a b є рівними за визначенням рівності дробів.

Розберемо приклад, який графічно проілюструє основну властивість дробу.

приклад 1

Припустимо, у нас є квадрат, розділений на 9 «великих» частин-квадратів. Кожен «великий» квадрат розділений на 4 менших за розміром. Можна сказати, що заданий квадрат поділений на 4 · 9 \u003d 36 «маленьких» квадратів. Виділимо кольором 5 «великих» квадратів. При цьому пофарбованими будуть 4 · 5 \u003d 20 «маленьких» квадратів. Покажемо малюнок, що демонструє наші дії:

Пофарбована частина - це 5 9 вихідної фігури або 20 36, що є тим же самим. Таким чином, дробу 5 9 і 20 36 є рівними: 5 9 \u003d 20 36 або 20 36 = 5 9 .

Ці рівності, а також рівності 20 \u003d 4 · 5, 36 \u003d 4 · 9, 20: 4 \u003d 5 і 36: 4 \u003d 9 дають можливість зробити висновок, що 5 9 \u003d 5 · 4 9 · 4 і 20 36 \u003d 20 · 4 36 · 4.

Щоб закріпити теорію, розберемо рішення прикладу.

приклад 2

Визнач, що чисельник і знаменник деякої звичайного дробу помножили на 47, після чого ці чисельник і знаменник розділили на 3. Дорівнює чи отримана в результаті цих дій дріб заданої?

Рішення

Спираючись на основну властивість дробу, можна говорити про те, що множення чисельника і знаменника заданої дробу на натуральне число 47 дасть в результаті дріб, що дорівнює вихідній. Те ж саме ми можемо стверджувати, виробляючи подальший розподіл на 3. В кінцевому рахунку ми отримаємо дріб, що дорівнює заданій.

відповідь: да, отримана в результаті дріб буде дорівнює вихідної.

Застосування основної властивості дробу

Основна властивість застосовується, коли потрібно привести дроби до нового знаменника і при скороченні дробів.

Приведення дробу до нового знаменника - це дія заміни заданої дробу дорівнює їй дробом, але з великими чисельником і знаменником. Щоб привести дріб до нового знаменника, потрібно помножити чисельник і знаменник дробу на необхідне натуральне число. Дії зі звичайними дробами були б неможливі без способу приводити дробу до нового знаменника.

визначення 2

скорочення дробу - дія переходу до нової дробу, що дорівнює заданій, але з меншими чисельником і знаменником. Щоб скоротити дріб, потрібно розділити чисельник і знаменник дробу на один і той же необхідне натуральне число, яке буде називатися загальним дільником.

Можливі випадки, коли подібного загального дільника немає, тоді говорять про те, що вихідна дріб нескоротних або не підлягає скороченню. Зокрема, скорочення дробу за допомогою найбільшого загального дільника призведе дріб до нескоротних увазі.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl + Enter

дріб - форма подання числа в математиці. Дробная риса позначає операцію ділення. чисельником дробу називається ділене, а знаменником - дільник. Наприклад, в дробу чисельник є число 5, а знаменником - 7.

правильною називається дріб, у якої модуль чисельника більше модуля знаменника. Якщо дріб є правильною, то модуль її значення завжди менше 1. Всі інші дроби є неправильними.

дріб називають змішаної, Якщо вона записана як ціле число і дріб. Це те ж саме, що і сума цього числа і дроби:

Основна властивість дробу

Якщо чисельник і знаменник дробу помножити на одне і те ж число, то значення дробу не зміниться, тобто, наприклад,

Зведення дробів до спільного знаменника

Щоб привести дві дроби до спільного знаменника, потрібно:

1. Чисельник першого дробу помножити на знаменник другого
2. Чисельник другого дробу помножити на знаменник першої
3. Знаменники обох дробів замінити на їхній колективний витвір

Дії з дробами

Додавання. Щоб скласти дві дроби, потрібно

1. Скласти нові числители обох дробів, а знаменник залишити без змін

приклад:

Віднімання. Щоб відняти одну дріб з іншого, потрібно

1. Привести дроби до спільного знаменника
2. Відняти від чисельника першого дробу чисельник другого, а знаменник залишити без змін

приклад:

Множення. Щоб помножити одну дріб на іншу, слід перемножити їх чисельники і знаменники.

Часткою одиниці і представляється у вигляді \\ Frac (a) (b).

Чисельник дробу (a) - число, що знаходиться над рисою дробу і показує кількість часток, на які була поділена одиниця.

Знаменник дробу (b) - число, що знаходиться під рискою дробу і показує на скільки часткою поділили одиницю.

приховати Показати

Основна властивість дробу

Якщо ad \u003d bc, то дві дробу \\ Frac (a) (b)і \\ Frac (c) (d) вважаються рівними. Наприклад, рівними будуть дроби \\ frac35і \\ Frac (9) (15), Так як 3 \\ cdot 15 \u003d 15 \\ cdot 9, \\ Frac (12) (7)і \\ Frac (24) (14), Так як 12 \\ cdot 14 \u003d 7 \\ cdot 24.

З визначення рівності дробів слід, що рівними будуть дроби \\ Frac (a) (b)і \\ Frac (am) (bm), Так як a (bm) \u003d b (am) - наочний приклад застосування асоціативного і переместітельного властивостей множення натуральних чисел в дії.

значить \\ Frac (a) (b) \u003d \\ frac (am) (bm) - так виглядає основну властивість дробу.

Іншими словами, ми отримаємо дріб, що дорівнює даної, помноживши або розділивши чисельник і знаменник вихідної дробу на один і той же натуральне число.

скорочення дробу - це процес заміни дробу, при якому нова дріб виходить рівної вихідної, але з меншим чисельником і знаменником.

Скорочувати дроби прийнято, спираючись на основну властивість дробу.

наприклад, \\ Frac (45) (60) \u003d \\ frac (15) (20)(Чисельник і знаменник ділиться на число 3); отриману дріб знову можна скоротити, розділивши на 5, тобто \\ Frac (15) (20) \u003d \\ frac 34.

нескоротний дріб - це дріб виду \\ Frac 34, Де чисельник і знаменник є взаємно простими числами. Основна мета скорочення дробу - зробити дріб нескоротного.

Зведення дробів до спільного знаменника

Візьмемо як приклад дві дробу: \\ Frac (2) (3)і \\ Frac (5) (8) з різними знаменниками 3 і 8. Для того, щоб привести дані дроби до спільного знаменника і спочатку перемножимо чисельник і знаменник дробу \\ Frac (2) (3)на 8. Отримуємо наступний результат: \\ Frac (2 \\ cdot 8) (3 \\ cdot 8) \u003d \\ frac (16) (24). Потім множимо чисельник і знаменник дробу \\ Frac (5) (8)на 3 . Отримуємо в результаті: \\ Frac (5 \\ cdot 3) (8 \\ cdot 3) \u003d \\ frac (15) (24). Отже, вихідні дробу приведені до спільного знаменника 24.

Арифметичні дії над звичайними дробами

Додавання звичайних дробів

а) При однакових знаменниках чисельник першого дробу складають з чисельником другого дробу, залишаючи знаменник колишнім. Як видно на прикладі:

\\ Frac (a) (b) + \\ frac (c) (b) \u003d \\ frac (a + c) (b);

б) При різних знаменниках дроби спочатку призводять до спільного знаменника, а потім виконують складання числителей за правилом а):

\\ Frac (7) (3) + \\ frac (1) (4) \u003d \\ frac (7 \\ cdot 4) (3) + \\ frac (1 \\ cdot 3) (4) \u003d \\ frac (28) (12) + \\ frac (3) (12) \u003d \\ frac (31) (12).

Віднімання звичайних дробів

а) При однакових знаменниках з чисельника першого дробу віднімають чисельник другого дробу, залишаючи знаменник колишнім:

\\ Frac (a) (b) - \\ frac (c) (b) \u003d \\ frac (a-c) (b);

б) Якщо ж знаменники дробів різні, то спочатку дроби приводять до спільного знаменника, а потім повторюють дії як в пункті а).

Множення звичайних дробів

Множення дробів підпорядковується наступним правилом:

\\ Frac (a) (b) \\ cdot \\ frac (c) (d) \u003d \\ frac (a \\ cdot c) (b \\ cdot d),

тобто перемножують окремо чисельники і знаменники.

наприклад:

\\ Frac (3) (5) \\ cdot \\ frac (4) (8) \u003d \\ frac (3 \\ cdot 4) (5 \\ cdot 8) \u003d \\ frac (12) (40).

Ділення звичайних дробів

Ділення дробів роблять у такий спосіб:

\\ Frac (a) (b): \\ frac (c) (d) \u003d \\ frac (ad) (bc),

тобто дріб \\ Frac (a) (b) множиться на дріб \\ Frac (d) (c).

приклад: \\ Frac (7) (2): \\ frac (1) (8) \u003d \\ frac (7) (2) \\ cdot \\ frac (8) (1) \u003d \\ frac (7 \\ cdot 8) (2 \\ cdot 1 ) \u003d \\ frac (56) (2).

Взаємно обернені числа

Якщо ab \u003d 1, то число b є зворотним числом для числа a.

Приклад: для числа 9 зворотним є \\ Frac (1) (9), так як 9 \\ cdot \\ frac (1) (9) \u003d 1, Для числа 5 - \\ Frac (1) (5), так як 5 \\ cdot \\ frac (1) (5) \u003d 1.

десяткові дроби

десятковим дробом називається правильний дріб, знаменник якого дорівнює 10, 1000, 10 \\, 000, ..., 10 ^ n.

наприклад: \\ Frac (6) (10) \u003d 0,6; \\ enspace \\ frac (44) (1000) \u003d 0,044.

Таким же способом пишуться неправильні зі знаменником 10 ^ n або змішані числа.

наприклад: 5 \\ frac (1) (10) \u003d 5,1; \\ enspace \\ frac (763) (100) \u003d 7 \\ frac (63) (100) \u003d 7,63.

У вигляді десяткового дробу представляється будь-яка звичайна дріб зі знаменником, який є дільником деякій мірі числа 10.

Приклад: 5 - дільник числа 100, тому дріб \\ Frac (1) (5) \u003d \\ frac (1 \\ cdot 20) (5 \\ cdot 20) \u003d \\ frac (20) (100) \u003d 0,2.

Арифметичні дії над десятковими дробами

Додавання десяткових дробів

Для складання двох десяткових дробів, потрібно їх розташувати так, щоб один під одним виявилися однакові розряди і кома під коми, а потім виконати складання дробів як звичайних чисел.

Віднімання десяткових дробів

Виконується аналогічно додаванню.

Множення десяткових дробів

При множенні десяткових чисел досить перемножити задані числа, не звертаючи уваги на коми (як натуральні числа), а в отриманій відповіді коми праворуч відокремлюється стільки цифр, скільки їх стоїть після коми в обох множниках сумарно.

Давайте виконаємо множення 2,7 на 1,3. Маємо 27 \\ cdot 13 \u003d 351. Відокремлюємо справа дві цифри коми (у першого і другого числа - одна цифра після коми; 1 + 1 \u003d 2). У підсумку отримуємо 2,7 \\ cdot 1,3 \u003d 3,51.

Якщо в отриманому результаті виходить менше цифр, ніж треба відокремити комою, то попереду пишуть відсутні нулі, наприклад:

Для множення на 10, 100, 1000, треба в десяткового дробу перенести кому на 1, 2, 3 цифри вправо (в разі необхідності справа приписується певне число нулів).

Наприклад: 1,47 \\ cdot 10 \\, 000 \u003d 14 700.

Розподіл десяткових дробів

Розподіл десяткового дробу на натуральне число виробляють також, як і поділ натурального числа на натуральне. Кома в приватному ставиться після того, як закінчено поділ цілої частини.

Якщо ціла частина діленого менше дільника, то у відповіді виходить нуль цілих, наприклад:

Розглянемо розподіл десяткового дробу на десяткову. Нехай потрібно розділити 2,576 на 1,12. Насамперед, помножимо ділене і дільник дробу на 100, тобто перенесемо кому вправо в подільному і дільнику на стільки знаків, скільки їх стоїть в дільнику після коми (в даному прикладі на дві). Потім потрібно виконати поділ дробу 257,6 на натуральне число 112, тобто задача зводиться до вже розглянутого випадку:

Буває так, що не завжди виходить кінцева десяткова дріб при розподілі одного числа на інше. В результаті виходить нескінченна десяткова дріб. У таких випадках переходять до звичайних дробів.

2,8: 0,09 \u003d \\ frac (28) (10): \\ frac (9) (100) \u003d \\ frac (28 \\ cdot 100) (10 \\ cdot 9) \u003d \\ frac (280) (9) \u003d 31 \\ frac (1) (9).

Дана тема досить важлива на основні властивості дробів заснована вся подальша математика і алгебра. Розглянуті властивості дробів, не дивлячись на свою важливість дуже прості.

Щоб зрозуміти основні властивості дробів розглянемо окружність.

На окружності видно, що 4 частини або зафарбовані з восьми можливих. Запишемо отриману дріб \\ (\\ frac (4) (8) \\)

Наступного окружності видно, що зафарбована одна частина з двох можливих. Запишемо отримати дріб \\ (\\ frac (1) (2) \\)

Якщо уважно придивимося, то побачимо, що в першому випадку, що в другому випадку у нас закрашено половина кола, тому отримані дробу рівні \\ (\\ frac (4) (8) \u003d \\ frac (1) (2) \\), тобто це одне і теж число.

Як же це довести математично? Дуже просто, згадаємо таблицю множення і розпишемо перший дріб на множники.

\\ (\\ Frac (4) (8) \u003d \\ frac (1 \\ cdot \\ color (red) (4)) (2 \\ cdot \\ color (red) (4)) \u003d \\ frac (1) (2) \\ cdot \\ color (red) (\\ frac (4) (4)) \u003d \\ frac (1) (2) \\ cdot \\ color (red) (1) \u003d \\ frac (1) (2) \\)

Що ми зробили? Розписали чисельник і знаменник на множники \\ (\\ frac (1 \\ cdot \\ color (red) (4)) (2 \\ cdot \\ color (red) (4)) \\), а потім розділили дробу \\ (\\ frac (1) (2) \\ cdot \\ color (red) (\\ frac (4) (4)) \\). Чотири поділити на чотири це 1, а одиниця помножене на будь-яке число це і є саме число. Те що ми виконали в наведеному прикладі називається скороченням дробів.

Подивимося ще один приклад і скоротимо дріб.

\\ (\\ Frac (6) (10) \u003d \\ frac (3 \\ cdot \\ color (red) (2)) (5 \u200b\u200b\\ cdot \\ color (red) (2)) \u003d \\ frac (3) (5) \\ cdot \\ color (red) (\\ frac (2) (2)) \u003d \\ frac (3) (5) \\ cdot \\ color (red) (1) \u003d \\ frac (3) (5) \\)

Ми знову розписали чисельник і знаменник на множники і однаковий числа в чисельнику і знаменники скоротили. Тобто два поділене на два дало одиницю, а одиниця помножена на будь-яке число дає те ж саме число.

Основна властивість дробу.

Звідси випливає основна властивість дробу:

Якщо і чисельник, і знаменник дробу помножити на одне і теж число (крім нуля), то величина дробу не зміниться.

\\ (\\ Bf \\ frac (a) (b) \u003d \\ frac (a \\ cdot n) (b \\ cdot n) \\)

Також можна дробу чисельник і знаменник ділити на одне і теж число одночасно.
Розглянемо приклад:

\\ (\\ Frac (6) (8) \u003d \\ frac (6 \\ div \\ color (red) (2)) (8 \\ div \\ color (red) (2)) \u003d \\ frac (3) (4) \\)

Якщо і чисельник, і знаменник дробу ділити на одне і теж число (крім нуля), то величина дробу не зміниться.

\\ (\\ Bf \\ frac (a) (b) \u003d \\ frac (a \\ div n) (b \\ div n) \\)

Дробу у яких є і в чисельнику, і в знаменники загальні прості подільники називаються скоротливості дробом.

Приклад сократимостью дробу: \\ (\\ frac (2) (4), \\ frac (6) (10), \\ frac (9) (15), \\ frac (10) (5), ... \\)

Так само є і нескоротні дроби.

нескоротний дріб - це дріб у які немає в чисельнику і знаменники загальних простих дільників.

Приклад нескоротного дробу: \\ (\\ frac (1) (2), \\ frac (3) (5), \\ frac (5) (7), \\ frac (13) (5), ... \\)

Будь-яке число можна представити у вигляді дробу, тому що будь-яке число ділитися на одиницю, наприклад:

\\ (7 \u003d \\ frac (7) (1) \\)

Питання до теми:
Як ви думаєте будь-яку можна дріб скоротити чи ні?
Відповідь: ні, бувають скоротні дроби і нескоротні дроби.

Перевірте чи справедливо рівність: \\ (\\ frac (7) (11) \u003d \\ frac (14) (22) \\)?
Відповідь: розпишемо дріб \\ (\\ Frac (14) (22) \u003d \\ frac (7 \\ cdot 2) (11 \\ cdot 2) \u003d \\ frac (7) (11) \\), Та справедливо.

Приклад №1:
а) Знайдіть дріб зі знаменником 15, рівну дроби \\ (\\ Frac (2) (3) \\).
б) Знайдіть дріб з чисельником 8, рівну дроби \\ (\\ Frac (1) (5) \\).

Рішення:
а) Нам потрібно щоб в знаменнику стояло число 15. Зараз в знаменнику число 3. На яке число потрібно помножити цифру 3, щоб отримати 15? Згадаймо таблицю множення 3⋅5. Нам треба скористатися основною властивістю дробів і помножити і чисельник, і знаменник дробу \\ (\\ Frac (2) (3) \\)на 5.

\\ (\\ Frac (2) (3) \u003d \\ frac (2 \\ cdot 5) (3 \\ cdot 5) \u003d \\ frac (10) (15) \\)

б) Нам потрібно щоб в чисельнику стояло число 8. Зараз в чисельнику стоїть число 1. На яке число потрібно помножити цифру 1, щоб отримати 8? Звичайно, 1⋅8. Нам треба скористатися основною властивістю дробів і помножити і чисельник, і знаменник дробу \\ (\\ Frac (1) (5) \\) на 8. Отримаємо:

\\ (\\ Frac (1) (5) \u003d \\ frac (1 \\ cdot 8) (5 \\ cdot 8) \u003d \\ frac (8) (40) \\)

Приклад №2:
Знайдіть нескоротний дріб, що дорівнює дробу: а) \\ (\\ Frac (16) (36) \\),б) \\ (\\ Frac (10) (25) \\).

Рішення:
а) \\ (\\ Frac (16) (36) \u003d \\ frac (4 \\ cdot 4) (9 \\ cdot 4) \u003d \\ frac (4) (9) \\)

б) \\ (\\ Frac (10) (25) \u003d \\ frac (2 \\ cdot 5) (5 \\ cdot 5) \u003d \\ frac (2) (5) \\)

Приклад №3:
Запишіть число у вигляді дробу: а) 13 б) 123

Рішення:
а) \\ (13 \u003d \\ frac (13) (1) \\)

б) \\ (123 \u003d \\ frac (123) (1) \\)

З курсу алгебри шкільної програми переходимо до конкретики. У цій статті ми детально вивчимо особливий вид раціональних виразів - раціональні дроби, А також розберемо, які характерні тотожні перетворення раціональних дробів мають місце.

Відразу відзначимо, що раціональні дроби в тому сенсі, в якому ми їх визначимо нижче, в деяких підручниках алгебри називають алгебраїчними дробами. Тобто, в цій статті ми під раціональними і алгебраїчними дробами будемо розуміти одне і те ж.

Зазвичай почнемо з визначення і прикладів. Далі поговоримо про приведення раціонального дробу до нового знаменника і про зміну знаків у членів дробу. Після цього розберемо, як виконується скорочення дробів. Нарешті, зупинимося на представленні раціонального дробу у вигляді суми декількох дробів. Всю інформацію будемо постачати прикладами з докладними описами рішень.

Навігація по сторінці.

Визначення і приклади раціональних дробів

Раціональні дроби вивчаються на уроках алгебри у 8 класі. Ми будемо використовувати визначення раціонального дробу, яке дається в підручнику алгебри для 8 класів Ю. Н. Макаричева і ін.

В даному визначенні не уточнюється, чи повинні многочлени в чисельнику і знаменнику раціонального дробу бути многочленами стандартного виду чи ні. Тому, будемо вважати, що в записах раціональних дробів можуть міститися як многочлени стандартного виду, так і не стандартного.

Наведемо кілька прикладів раціональних дробів. Так, x / 8 і - раціональні дроби. А дроби і не підходять під озвучене визначення раціонального дробу, так як в першій з них в чисельнику стоїть не многочлен, а в другій і в чисельнику і в знаменнику знаходяться вирази, які не є многочленами.

Перетворення чисельника і знаменника раціонального дробу

Чисельник і знаменник будь дробу є самодостатні математичні вирази, в разі раціональних дробів - це многочлени, в окремому випадку - одночлени і числа. Тому, з чисельником і знаменником раціонального дробу, як і з будь-яким виразом, можна проводити тотожні перетворення. Іншими словами, вираз в чисельнику раціональної дробу можна замінювати тотожне рівним йому виразом, як і знаменник.

У чисельнику і знаменнику раціонального дробу можна виконувати тотожні перетворення. Наприклад, в чисельнику можна провести угруповання і зведення подібних доданків, а в знаменнику - твір кількох чисел замінити його значенням. А так як чисельник і знаменник раціонального дробу є многочлени, то з ними можна виконувати і характерні для многочленів перетворення, наприклад, приведення до стандартного вигляду або подання до вигляді твору.

Для наочності розглянемо рішення кількох прикладів.

Приклад.

Перетворіть раціональну дріб так, щоб в чисельнику виявився многочлен стандартного вигляду, а в знаменнику - твір многочленів.

Рішення.

Приведення раціональних дробів до нового знаменника в основному застосовується при додаванні і вирахуванні раціональних дробів.

Зміна знаків перед дробом, а також в її чисельнику і знаменнику

Основна властивість дробу можна використовувати для зміни знаків у членів дробу. Дійсно, множення чисельника і знаменника раціонального дробу на -1 рівносильно зміні їх знаків, а в результаті вийде дріб, тотожно рівна даної. До такого перетворення доводиться досить часто звертатися при роботі з раціональними дробами.

Таким чином, якщо одночасно змінити знаки у чисельника і знаменника дробу, то вийде дріб, що дорівнює вихідній. Цьому твердженню відповідає рівність.

Наведемо приклад. Раціональну дріб можна замінити тотожне рівний їй дробом з зміненими знаками чисельника і знаменника виду.

З дробом можна провести ще одне тотожне перетворення, при якому змінюється знак або в чисельнику, або в знаменнику. Озвучимо відповідне правило. Якщо замінити знак дробу разом зі знаком чисельника або знаменника, то вийде дріб, тотожно рівна вихідної. Записаному твердженням відповідають рівності і.

Довести ці рівності не складає труднощів. В основі докази лежать властивості множення чисел. Доведемо перше з них:. За допомогою аналогічних перетворень доводиться і рівність.

Наприклад, дріб можна замінити виразом або.

На закінчення цього пункту наведемо ще два корисних рівності і. Тобто, якщо змінити знак тільки у чисельника або тільки у знаменника, то дріб змінить свій знак. наприклад, і .

Розглянуті перетворення, що дозволяють змінювати знак у членів дробу, часто застосовуються при перетворенні дрібно раціональних виразів.

Скорочення раціональних дробів

В основі наступного перетворення раціональних дробів, що має назву скорочення раціональних дробів, лежить все теж основна властивість дробу. Цьому перетворенню відповідає рівність, де a, b і c - деякі многочлени, причому b і c - ненульові.

З наведеного рівності стає зрозуміло, що скорочення раціонального дробу на увазі позбавлення від загального множника в її чисельнику і знаменнику.

Приклад.

Скоротіть раціональну дріб.

Рішення.

Відразу видно загальний множник 2, виконаємо скорочення на нього (при записі загальні множники, на які скорочують, зручно закреслювати). маємо . Так як x 2 \u003d x · x і y 7 \u003d y 3 · y 4 (при необхідності дивіться), то зрозуміло, що x є загальним множником чисельника і знаменника отриманої дробу, як і y 3. Проведемо скорочення на ці множники: . На цьому скорочення завершено.

Вище ми виконували скорочення раціонального дробу послідовно. А можна було виконати скорочення в один крок, відразу скоротивши дріб на 2 · x · y 3. У цьому випадку рішення виглядало б так: .

відповідь:

.

При скороченні раціональних дробів основна проблема полягає в тому, що загальний множник чисельника і знаменника далеко не завжди видно. Більш того, він не завжди існує. Для того, щоб знайти спільну множник або переконатися в його відсутності потрібно чисельник і знаменник раціонального дробу розкласти на множники. Якщо загального множника немає, то вихідна раціональний дріб не потребує скорочення, в іншому випадку - проводиться скорочення.

У процесі скорочення раціональних дробів можуть виникати різні нюанси. Основні тонкощі на прикладах і в деталях розібрані в статті скорочення алгебраїчних дробів.

Завершуючи розмову про скорочення раціональних дробів, відзначимо, що це перетворення є тотожним, а основна складність в його проведенні полягає в розкладанні на множники многочленів в чисельнику і знаменнику.

Подання раціонального дробу у вигляді суми дробів

Досить специфічним, але в деяких випадках дуже корисним, виявляється перетворення раціональної дробу, що полягає в її поданні у вигляді суми декількох дробів, або сумі цілого виразу і дробу.

Раціональну дріб, у чисельнику якого знаходиться многочлен, що представляє собою суму декількох одночленним, завжди можна записати як суму дробів з однаковими знаменниками, в чисельнику яких знаходяться відповідні одночлени. наприклад, . Таке уявлення пояснюється правилом додавання і віднімання алгебраїчних дробів з однаковими знаменниками.

Взагалі, будь-яку раціональну дріб можна представити у вигляді суми дробів безліччю різних способів. Наприклад, дріб a / b можна представити як суму двох дробів - довільної дробу c / d і дробу, що дорівнює різниці дробів a / b і c / d. Це твердження справедливо, так як має місце рівність . Наприклад, раціональну дріб можна представити у вигляді суми дробів різними способами: Уявімо вихідну дріб у вигляді суми цілого виразу і дробу. Виконавши розподіл чисельника на знаменник стовпчиком, ми отримаємо рівність . Значення вираження n 3 +4 при будь-якому цілому n є цілим числом. А значення дробу є цілим числом тоді і тільки тоді, коли її знаменник дорівнює 1, -1, 3 або -3. Цим значенням відповідають значення n \u003d 3, n \u003d 1, n \u003d 5 і n \u003d -1 відповідно.

відповідь:

−1 , 1 , 3 , 5 .

Список літератури.

• алгебра: навч. для 8 кл. загальноосвіт. установ / [Ю. Н. Макаричєв, Н. Г. Миндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; під ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М.: Просвещение, 2008. - 271 с. : Ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Мордкович А. Г. Алгебра. 7 клас. У 2 ч. Ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх установ / А. Г. Мордкович. - 13-е изд., Испр. - М .: Мнемозина, 2009. - 160 с .: іл. ISBN 978-5-346-01198-9.
• Мордкович А. Г. Алгебра. 8 клас. У 2 ч. Ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх установ / А. Г. Мордкович. - 11-е изд., Стер. - М .: Мнемозина, 2009. - 215 с .: іл. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Гусєв В. А., Мордкович А. Г. Математика (посібник для вступників до технікумів): Учеб. посібник.- М .; Вища. шк., 1984.-351 с., іл.