Знайти площу паралелограма по сторонам. Площа паралелограма
Що таке паралелограм? Параллелограммом називається чотирикутник, у якого протилежні сторони попарно паралельні.
1. Площа паралелограма обчислюється за формулою:
\\ [\\ LARGE S \u003d a \\ cdot h_ (a) \\]
де:
a - сторона паралелограма,
h a - висота, проведена до цієї сторони.
2. Якщо відомі довжини двох суміжних сторін паралелограма і кут між ними, то площа паралелограма обчислюється за формулою:
\\ [\\ LARGE S \u003d a \\ cdot b \\ cdot sin (\\ alpha) \\]
3. Якщо задані діагоналі паралелограма і відомий кут між ними, то площа паралелограма обчислюється за формулою:
\\ [\\ LARGE S \u003d \\ frac (1) (2) \\ cdot d_ (1) \\ cdot d_ (2) \\ cdot sin (\\ alpha) \\]
властивості паралелограма
У параллелограмме протилежні сторони рівні: \\ (AB \u003d CD \\), \\ (BC \u003d AD \\)
У параллелограмме протилежні кути рівні: \\ (\\ angle A \u003d \\ angle C \\), \\ (\\ angle B \u003d \\ angle D \\)
Діагоналі паралелограма в точці перетину діляться навпіл \\ (AO \u003d OC \\), \\ (BO \u003d OD \\)
Діагональ паралелограма ділить його на два рівних трикутника.
Сума кутів паралелограма, прилеглих до однієї сторони дорівнює 180 o:
\\ (\\ Angle A + \\ angle B \u003d 180 ^ (o) \\), \\ (\\ angle B + \\ angle C \u003d 180 ^ (o) \\)
\\ (\\ Angle C + \\ angle D \u003d 180 ^ (o) \\), \\ (\\ angle D + \\ angle A \u003d 180 ^ (o) \\)
Діагоналі і сторони паралелограма пов'язані наступним співвідношенням:
\\ (D_ (1) ^ (2) + d_ (2) ^ 2 \u003d 2a ^ (2) + 2b ^ (2) \\)
У параллелограмме кут між висотами дорівнює його гострого кута: \\ (\\ angle K B H \u003d \\ angle A \\).
Бісектриси кутів, прилеглих до однієї сторони паралелограма, взаємно перпендикулярні.
Бісектриси двох протилежних кутів паралелограма паралельні.
ознаки паралелограма
Чотирикутник буде параллелограммом, якщо:
\\ (AB \u003d CD \\) і \\ (AB || CD \\)
\\ (AB \u003d CD \\) і \\ (BC \u003d AD \\)
\\ (AO \u003d OC \\) і \\ (BO \u003d OD \\)
\\ (\\ Angle A \u003d \\ angle C \\) і \\ (\\ angle B \u003d \\ angle D \\)
У вашому браузері відключений Javascript.Щоб зробити розрахунки, Вам потрібно включити елементи ActiveX!
Висновок формули площі паралелограма зводиться до побудови прямокутника, рівного даному паралелограма по площі. Приймемо одну сторону паралелограма за основу, а перпендикуляр, проведений з будь-якої точки противолежащей боку на пряму, яка містить підставу будемо називати висотою паралелограма. Тоді площа паралелограма буде дорівнює добутку його основи на висоту.
Теорема.Площа паралелограма дорівнює добутку його основи на висоту.
Доведення. Розглянемо паралелограм з площею. Приймемо сторонуза підставу і проведемо висотиі (рисунок 2.3.1). Потрібно довести, що.
малюнок 2.3.1
Доведемо спочатку, що площа прямокутника також дорівнює. Трапеціясоставлена \u200b\u200bз параллелограммаі трикутника. З іншого боку, вона складена з прямокутника НВСК і трикутника. Але прямокутного трикутника дорівнюють по гіпотенузі і гострому куту (їх гіпотенузиіравни як протилежні сторони паралелограма, а кути 1 і 2 рівні як відповідні кути при перетині паралельних прямихісекущей), тому їх площі рівні. Отже, площі параллелограммаі прямоугольнікатакже рівні, тобто площа прямоугольнікаравна. По теоремі про площу прямокутника, але так як, то.
Теорема доведена.
Приклад 2.3.1.
В ромб зі стороною і гострим кутом вписане коло. Визначити площу чотирикутника, вершинами якого є точки дотику кола зі сторонами ромба.
Рішення:
Радіус вписаного в ромб кола (рисунок 2.3.2), оскільки Четирёхугольнікявляется прямокутником, так як його кути спираються на діаметр кола. Його площа, де (катет, що лежить проти кута) ,. 
малюнок 2.3.2
Отже, 
відповідь:
Приклад 2.3.2.
Дан ромб, діагоналі якого дорівнюють 3 см і 4 см. З вершини тупого кута проведено висотиіВичісліть площа чотирикутника
Рішення:
Площа ромба (рисунок 2.3.3).
Отже, 
відповідь:
Приклад 2.3.3.
Площа чотирикутника дорівнює Знайти площу паралелограма, сторони якого рівні й паралельні діагоналям чотирикутника.
Рішення:
Так як і (рисунок 2.3.4), то- паралелограм і, отже ,.
малюнок 2.3.4
Аналогічно отримуємо звідки випливає, що.
відповідь:.
2.4 Площа трикутника
Існує кілька формул для обчислення площі трикутника. Розглянемо ті, що вивчаються в школі.
Перша формула випливає з формули площі паралелограма і пропонується учням у вигляді теореми.
Теорема. Площа трикутника дорівнює половині твори його заснування на висоту.
Доведення. Нехай - площа трикутника. Приймемо сторонуза підставу трикутника і проведемо висоту. Доведемо що:
малюнок 2.4.1
Добудуємо трикутник до параллелограмматак, як показано на малюнку. Треугольнікііравни за трьома сторонами (- їх загальна сторона, іяк протилежні сторони паралелограма), тому їх площі рівні. Отже, площа S трикутника АВС дорівнює половині площі паралелограма, тобто 
Теорема доведена.
Важливо звернути увагу учнів на два слідства, що випливають з даної теореми. А саме:
площа прямокутного трикутника дорівнює половині твори його катетів.
якщо висоти двох трикутників рівні, то їх площі відносяться як підстави.
Ці два слідства відіграють важливу роль в рішенні різного роду завдань. З опорою на дану доводиться ще одна теорема, що має широке застосування при вирішенні задач.
Теорема. Якщо кут одного трикутника дорівнює куту другого трикутника, то їх площі відносяться як твори сторін, що укладають рівні кути.
Доведення. Нехай и- площі треугольнікові, у яких углиіравни.
малюнок 2.4.2
Доведемо, що: 
.
Накладемо трикутник. на треугольніктак, щоб вершінасовместілась з вершиною, а сторониіналожілісь відповідно на Лучії.
малюнок 2.4.3
Трикутники іімеют загальну висоту, тому ,. Треугольнікіітакже мають загальну висоту -, тому ,. Перемножая отримані рівності, отримаємо 
.
Теорема доведена.
Друга формула.Площа трикутника дорівнює половині добутку двох його сторін на синус кута між ними. Існує кілька способів докази цієї формули, і я скористаюся одним з них.
Доведення.З геометрії відома теорема про те, що площа трикутника дорівнює половині твори підстави на висоту, опущену на це підстава:
У разі остроугольного трикутника. У разі тупого кута. Ho, а тому 
. Отже, в обох випадках. Підставивши замість геометричній формулою площі трикутника, отримаємо тригонометричну формулу площі трикутника:
Теорема доведена.
третя формула для площі трикутника - формула Герона, названа так на честь давньогрецького вченого Герона Олександрійського, який жив в першому столітті нашої ери. Ця формула дозволяє знаходити площа трикутника, знаючи його боку. Вона зручна тим, що дозволяє не робити ніяких додаткових побудов і не вимірювати кутів. Її висновок ґрунтується на другий з розглянутих нами формул площі трикутника і теоремі косинусів: і.
Перш ніж перейти до реалізації цього плану, зауважимо, що
Точно так же маємо:
Тепер висловимо косинус через та:
Так як будь-який кут в трикутнику більше і менше, то. значить, 
.
Тепер окремо перетворимо кожен із співмножників в подкоренного вираженні. маємо:
Підставляючи цей вираз в формулу для площі, отримуємо:
Тема «Площа трикутника» має велике значення в шкільному курсі математики. Трикутник - найпростіша з геометричних фігур. Він є «структурним елементом» шкільної геометрії. Переважна більшість геометричних задач зводяться до вирішення трикутників. Не виняток і завдання про знаходження площі правильного і довільного n-кутника.
Приклад 2.4.1.
Чому дорівнює площа рівнобедреного трикутника, якщо його основа, а бічна сторона?
Рішення:
-равнобедренний,
малюнок 2.4.4
Проведемо по властивості рівнобедреного трикутника - медіана і висота. тоді 
В за теоремою Піфагора:
Знаходимо площа трикутника:
відповідь:
Приклад 2.4.2.
У прямокутному трикутнику бісектриса гострого кута ділить протилежний катет на відрізки довжиною 4 і 5 см. Визначити площу трикутника.
Рішення:
Нехай (рисунок 2.4.5). Тогдаі (посколькуBD - бісектриса). Звідси маємо 
, тобто. значить,
малюнок 2.4.5
відповідь: 
Приклад 2.4.3.
Знайти площу рівнобедреного трикутника, якщо його основа дорівнює, а довжина висоти, проведеної до основи, дорівнює довжині відрізка, що з'єднує середини підстави і збоку.
Рішення:
За умовою, - середня лінія (рисунок 2.4.6). Так какВімеем:
або 
, ОткудаСледовательно, 
Перш ніж дізнатися, як знайти площу паралелограма, нам необхідно згадати, що таке паралелограм і що називається його висотою. Паралелограм - чотирикутник, протилежні сторони якого попарно паралельні (лежать на паралельних прямих). Перпендикуляр, проведений з довільної точки протилежного боку до прямої, що містить цю сторону називається висотою паралелограма.
Квадрат, прямокутник і ромб - це окремі випадки паралелограма.
Площа паралелограма позначається як (S).
Формули знаходження площі паралелограма
S \u003d a * h, де а - це підстава, h - це висота, яка проведена до основи.
S \u003d a * b * sinα, де a і b - це підстави, а α - кут між підставами а й b.
S \u003d p * r, де р - це напівпериметр, r - це радіус кола, яка вписана в паралелограм.
Площа паралелограма, який утворений векторами a і b дорівнює модулю твори заданих векторів, а саме:
Розглянемо приклад №1: Дан паралелограм, сторона якого дорівнює 7 см, а висота 3 см. Як знайти площу паралелограма, формула для вирішення нам необхідна.
Таким чином, S \u003d 7x3. S \u003d 21. Відповідь: 21 см 2.
Розглянемо приклад №2: Дано основи 6 і 7 см, а також дан кут між підставами 60 градусів. Як знайти площу паралелограма? Формула, яка використовується для вирішення:
Таким чином, спочатку знайдемо синус кута. Синус 60 \u003d 0,5, відповідно S \u003d 6 * 7 * 0,5 \u003d 21 Відповідь: 21 см 2.
Сподіваюся, що ці приклади Вам допоможуть при вирішенні завдань. І пам'ятайте, головне - це знання формул і уважність
При вирішенні завдань з даної теми крім основних властивостей паралелограма і відповідних формул можна запам'ятати і застосовувати наступне:
- Бісектриса внутрішнього кута паралелограма відсікає від нього трикутник
- Бісектриси внутрішніх кутів прилеглі до однієї зі сторін паралелограма взаємно перпендикулярні
- Бісектриси, що виходять з протилежних внутрішніх кутів паралелограма, паралельні між собою або лежать на одній прямій
- Сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює сумі квадратів його сторін
- Площа паралелограма дорівнює половині твори діагоналей на синус кута між ними
Розглянемо завдання, при вирішенні яких використовуються дані властивості.
Завдання 1.
Бісектриса кута С паралелограма АВСD перетинає бік АD в точці М і продовження боку АВ за точку А в точці Е. Знайдіть периметр паралелограма, якщо АЕ \u003d 4, DМ \u003d 3.
Рішення.
1. Трикутник СМD рівнобедрений. (Властивість 1). Отже, СD \u003d МD \u003d 3 см.
2. Трикутник ЕАМ рівнобедрений.
Отже, АЕ \u003d АМ \u003d 4 см.
3. А D \u003d АМ + МD \u003d 7 см.
4. Периметр АВСD \u003d 20 см.
Відповідь. 20 см.
Завдання 2.
В опуклому чотирикутнику АВСD проведено діагоналі. Відомо, що площі трикутників АВD, АСD, ВСD рівні. Доведіть, що даний чотирикутник є паралелограма.
Рішення.
1. Нехай ВЕ - висота трикутника АВD, СF - висота трикутника АCD. Так як за умовою завдання площі трикутників рівні і у них спільне підґрунтя АD, то висоти цих трикутників рівні. ВЕ \u003d СF.
2. ВЕ, СF перпендикулярні АD. Точки В і С розташовані по одну сторону відносно прямої АD. ВЕ \u003d СF. Отже, пряма ВС || AD. (*)
3. Нехай АL - висота трикутника АСD, BK - висота трикутника BCD. Так як за умовою завдання площі трикутників рівні і у них спільне підґрунтя СD, то висоти цих трикутників рівні. АL \u003d BK.
4. АL і BK перпендикулярні СD. Точки В і А розташовані по одну сторону відносно прямої СD. АL \u003d BK. Отже, пряма АВ || СD (**)
5. З умов (*), (**) випливає - АВСD паралелограм.
Відповідь. Доведено. АВСD - паралелограм.
Завдання 3.
На сторонах ВС і СD паралелограма АВСD відзначені точки М і Н відповідно так, що відрізки ВМ і НD перетинаються в точці О;<ВМD = 95 о,
Рішення.
1. У трикутнику DОМ<МОD = 25 о (Он смежный с <ВОD = 155 о); <ОМD = 95 о. Тогда <ОDМ = 60 о.
2. У прямокутному трикутнику DНС тоді<НСD = 30 о. СD: НD = 2: 1 Але СD \u003d АВ. Тоді АВ: НD \u003d 2: 1. 3. <С = 30 о, 4. <А = <С = 30 о, <В = Відповідь: АВ: НD \u003d 2: 1,<А = <С = 30 о, <В = Завдання 4. Одна з діагоналей паралелограма завдовжки 4√6, становить з підставою кут 60 о, а друга діагональ складає з тим же підставою кут 45 о. Знайти другу діагональ. Рішення.
1. АТ \u003d 2√6. 2. До трикутнику АОD застосуємо теорему синусів. АТ / sin D \u003d OD / sin А. 2√6 / sin 45 о \u003d OD / sin 60 о. ОD \u003d (2√6sin 60 о) / sin 45 о \u003d (2√6 · √3 / 2) / (√2 / 2) \u003d 2√18 / √2 \u003d 6. Відповідь: 12.
Завдання 5. У паралелограма зі сторонами 5√2 і 7√2 менший кут між діагоналями дорівнює меншому куті паралелограма. Знайдіть суму довжин діагоналей. Рішення.
Нехай d 1, d 2 - діагоналі паралелограма, а кут між діагоналями і менший кут паралелограма дорівнює ф. 1. Порахуємо двома різними S ABCD \u003d AB · AD · sin A \u003d 5√2 · 7√2 · sin ф, S ABCD \u003d 1/2 AС · ВD · sin AОВ \u003d 1/2 · d 1 d 2 sin ф. Отримаємо рівність 5√2 · 7√2 · sin ф \u003d 1 / 2d 1 d 2 sin ф або 2 · 5√2 · 7√2 \u003d d 1 d 2; 2. Використовуючи співвідношення між сторонами і діагоналями паралелограма запишемо рівність (АВ 2 + АD 2) · 2 \u003d АС 2 + ВD 2. ((5√2) 2 + (7√2) 2) · 2 \u003d d 1 2 + d 2 2. d 1 2 + d 2 + 2 \u003d 296. 3. Складемо систему: (D 1 2 + d 2 + 2 \u003d 296, Помножимо друге рівняння системи на 2 і складемо з першим. Отримаємо (d 1 + d 2) 2 \u003d 576. Звідси Id 1 + d 2 I \u003d 24. Так як d 1, d 2 - довжини діагоналей паралелограма, то d 1 + d 2 \u003d 24. Відповідь: 24.
Завдання 6. Сторони паралелограма 4 і 6. Гострий кут між діагоналями дорівнює 45 о. Знайдіть площу паралелограма. Рішення.
1. З трикутника АОВ, використовуючи теорему косинусів, запишемо співвідношення між стороною паралелограма і діагоналями. АВ 2 \u003d АТ 2 + ВО 2 2 · АТ · ВО · cos АОВ. 4 2 \u003d (d 1/2) 2 + (d 2/2) 2 - 2 · (d 1/2) · (d 2/2) cos 45 о; d 1 2/4 + d 2 2/4 - 2 · (d 1/2) · (d 2/2) √2 / 2 \u003d 16. d 1 2 + d 2 2 - d 1 · d 2 √2 \u003d 64. 2. Аналогічно запишемо співвідношення для трикутника АОD. Врахуємо, що<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2. Отримаємо рівняння d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 \u003d 144. 3. Маємо систему Віднімаючи з другого рівняння найперше, отримаємо 2d 1 · d 2 √2 \u003d 80 або d 1 · d 2 \u003d 80 / (2√2) \u003d 20√2 4. S ABCD \u003d 1/2 AС · ВD · sin AОВ \u003d 1/2 · d 1 d 2 sin α \u003d 1/2 · 20√2 · √2 / 2 \u003d 10. Примітка: У цій та в попередній задачі немає потреби, вирішувати повністю систему, передбачаючи те, що в даній задачі для обчислення площі нам потрібно твір діагоналей. Відповідь: 10. Завдання 7. Площа паралелограма дорівнює 96, а його сторони рівні 8 і 15. Знайдіть квадрат меншої діагоналі. Рішення.
1. S ABCD \u003d АВ · А D · sin ВAD. Зробимо підстановку в формулу. Отримаємо 96 \u003d 8 · 15 · sin ВAD. Звідси sin ВAD \u003d 4/5. 2. Знайдемо cos ВАD. sin 2 ВAD + cos 2 ВАD \u003d 1. (4/5) 2 + cos 2 ВАD \u003d 1. cos 2 ВАD \u003d 9/25. За умовою завдання ми знаходимо довжину меншої діагоналі. Діагональ ВD буде меншою, якщо кут ВАD гострий. Тоді cos ВАD \u003d 3/5. 3. З трикутника АВD по теоремі косинусів знайдемо квадрат діагоналі ВD. ВD 2 \u003d АВ 2 + АD 2 - 2 · АВ · ВD · cos ВАD. ВD 2 \u003d 8 2 + 15 2 - 2 · 8 · 15 · 3/5 \u003d 145. Відповідь: 145.
Залишилися питання? Не знаєте, як вирішити геометричну задачу? сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове. Формула для площі паралелограма Площа паралелограма дорівнює добутку його сторони на висоту, опущену на цю сторону. Доведення Якщо паралелограм - прямокутник, то рівність виконано по теоремі про площу прямокутника. Далі вважаємо, що кути паралелограма перестав прямі. Нехай в параллелограмме $ ABCD $ кут $ \\ angle BAD $ гострий і $ AD\u003e AB $. Інакше перейменуємо вершини. Тоді висота $ BH $ з вершини $ B $ на пряму $ AD $ падає на бік $ AD $, так як катет $ AH $ коротше гіпотенузи $ AB $, а $ AB< AD$. Основание $K$ высоты $CK$ из точки $C$ на прямую $AB$ лежит на продолжении отрезка $AD$ за точку $D$, так как угол $\angle BAD$ острый, а значит $\angle CDA$ тупой. Вследствие параллельности прямых $BA$ и $CD$ $\angle BAH = \angle CDK$. В параллелограмме противоположные стороны равны, следовательно, по стороне и двум углам, треугольники $\triangle ABH = \triangle DCK$ равны. Порівняємо площа паралелограма $ ABCD $ і площа прямокутника $ HBCK $. Площа паралелограма більше на площу $ \\ triangle ABH $, але менше на на площу $ \\ triangle DCK $. Так як ці трикутники рівні, то і їх площі рівні. Значить, площа паралелограма дорівнює площі прямокутника зі сторонами довжиною в сторону і висоту паралелограма. Формула для площі паралелограма через сторони і синус Площа паралелограма дорівнює добутку сусідніх сторін на синус кута між ними. Доведення Висота паралелограма $ ABCD $, опущена на сторону $ AB $ дорівнює добутку відрізка $ BC $ на синус кута $ \\ angle ABC $. Залишилося застосувати попереднє твердження. Формула для площі паралелограма через діагоналі Площа паралелограма дорівнює половині твори діагоналей на синус кута між ними. Доведення Нехай діагоналі паралелограма $ ABCD $ перетинаються в точці $ O $ під кутом $ \\ alpha $. Тоді $ AO \u003d OC $ і $ BO \u003d OD $ по властивості паралелограма. Синуси кутів, в сумі дають $ 180 ^ \\ circ $ рівні, $ \\ angle AOB \u003d \\ angle COD \u003d 180 ^ \\ circ - \\ angle BOC \u003d 180 ^ \\ circ - \\ angle AOD $. Значить, синуси кутів при перетині діагоналей рівні $ \\ sin \\ alpha $. $ S_ (ABCD) \u003d S _ (\\ triangle AOB) + S _ (\\ triangle BOC) + S _ (\\ triangle COD) + S _ (\\ triangle AOD) $ по аксіомі вимірювання площі. Застосовуємо формулу площі трикутника $ S_ (ABC) \u003d \\ dfrac (1) (2) \\ cdot AB \\ cdot BC \\ sin \\ angle ABC $ для цих трикутників і кутів при перетині діагоналей. Сторони кожного рівні половин діагоналей, синуси є рівними. Отже, площі всіх чотирьох трикутників рівні $ S \u003d \\ dfrac (1) (2) \\ cdot \\ dfrac (AC) (2) \\ cdot \\ dfrac (BD) (2) \\ cdot \\ sin \\ alpha \u003d \\ dfrac (AC \\ Підсумовуючи все вищесказане, отримуємо $ S_ (ABCD) \u003d 4S \u003d 4 \\ cdot \\ dfrac (AC \\ cdot BD) (8) \\ sin \\ alpha \u003d \\ dfrac (AC \\ cdot BD \\ cdot \\ sin \\ alpha) (2) $
(
(Так як в прямокутному трикутнику катет, який лежить проти кута в 30 о, дорівнює половині гіпотенузи).
способами його площа.
(D 1 + d 2 \u003d 140.
(D 1 2 + d 2 2 - d 1 · d 2 √2 \u003d 64,
(D 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 \u003d 144.
Щоб отримати допомогу репетитора - зареєструйтеся.
Перший урок - безкоштовно!
