Як побудувати параболу? Що таке парабола? Як розв'язуються квадратні рівняння? Функції та графіки Властивості функції ax2 bx c.
Конспект уроку з алгебри для 8 класу середньої загальноосвітньої школи
Тема уроку: Функція
Мета уроку:
Освітня: визначити поняття квадратичної функції виду (порівняти графіки функцій та ), показати формулу знаходження координат вершини параболи (навчити застосовувати цю формулу на практиці); сформувати вміння визначення властивостей квадратичної функції за графіком (знаходження осі симетрії, координат вершини параболи, координат точок перетину графіка з осями координат).
Розвиваюча: розвиток математичної мови, вміння правильно, послідовно та раціонально викладати свої думки; розвиток навички правильного запису математичного тексту за допомогою символів та позначень; розвиток аналітичного мислення; розвиток пізнавальної діяльності учнів через уміння аналізувати, систематизувати та узагальнювати матеріал.
Виховна: виховання самостійності, вміння вислухати інших, формування акуратності та уваги у письмовій математичній мові.
Тип уроку: Вивчення нового матеріалу.
Методи навчання:
узагальнено-репродуктивний, індуктивно-евристичний.
Вимоги до знань та вмінь учнів
знати, що таке квадратична функція виду, формулу знаходження координат вершини параболи; вміти знаходити координати вершини параболи, координати точок перетину графіка функції з осями координат, за графіком функції визначати властивості квадратичної функції.
Обладнання:
План уроку
Організаційний момент (1-2 хв)
Актуалізація знань (10 хв)
Викладення нового матеріалу (15 хв)
Закріплення нового матеріалу (12 хв)
Підбиття підсумків (3 хв)
Завдання додому (2 хв)
Хід уроку
Організаційний момент
Привітання, перевірка відсутніх, збирання зошитів.
Актуалізація знань
Вчитель: На сьогоднішньому уроці ми вивчимо нову тему: "Функція". Але спочатку повторимо раніше вивчений матеріал.
Фронтальне опитування:
Що називається квадратичною функцією? (Функція , де задані дійсні числа, , дійсна змінна, називається квадратичною функцією.)
Що є графіком квадратичної функції? (Графіком квадратичної функції є парабола.)
Що таке нулі квадратичної функції? (Нулі квадратичної функції – значення , у яких вона перетворюється на нуль.)
Перерахуйте властивості функції. (Значення функції позитивні при і дорівнює нулю при ; графік функції симетричний щодо ос ординат; при функція зростає, при - зменшується.)
Перерахуйте властивості функції. (Якщо , то функція набуває позитивних значень при , якщо , то функція набуває негативних значень при , значення функції дорівнює 0 тільки; парабола симетрична щодо осі ординат; якщо , то функція зростає при і убуває при , якщо , то функція зростає при , спадає – при .)
Викладення нового матеріалу
Вчитель: Приступимо до вивчення нового матеріалу. Відкрийте зошити, запишіть число та тему уроку. Зверніть увагу на дошку.
Запис на дошці: Число.
Функція.
Вчитель: На дошці ви бачите два графіки функцій. Перший графік, а другий. Спробуймо порівняти їх.
Властивості функції ви знаєте. З їхньої основі, і порівнюючи наші графіки, можна назвати властивості функції .
Отже, як ви думаєте, від чого залежатиме напрямок гілок параболи?
Учні: Напрямок гілок обох парабол залежатиме від коефіцієнта .
Вчитель: Цілком вірно. Також можна помітити, що в обох парабол є вісь симетрії. Перший графік функції, що є віссю симетрії?
Учні: У параболи виду віссю симетрії є вісь ординат.
Вчитель: Вірно. А що є віссю симетрії параболи
Учні: Осю симетрії параболи є лінія, яка проходить через вершину параболи, паралельно осі ординат.
Вчитель: Правильно. Отже, віссю симетрії графіка функції називатимемо пряму, що проходить через вершину параболи, паралельну осі ординат.
А вершина параболи – це точка з координатами. Вони визначаються за такою формулою:
Запишіть формулу в зошит та обведіть у рамочку.
Запис на дошці та у зошитах
Координати вершини параболи.
Вчитель: Тепер, щоб було зрозуміліше, розглянемо приклад.
Приклад 1: Знайдіть координати вершини параболи 
.
Рішення: За формулою
Вчитель: Як ми вже зазначили, вісь симетрії проходить через вершину параболи. Подивіться на дошку. Накресліть цей малюнок у зошиті.
Запис на дошці та у зошитах:
Вчитель: На кресленні: - рівняння осі симетрії параболи з вершиною в точці, де абсцис вершини параболи.
Розглянемо приклад.
Приклад 2: За графіком функції визначте рівняння осі симетрії параболи.
Рівняння осі симетрії має вигляд: , отже, рівняння осі симетрії даної параболи.
Відповідь: - Рівняння осі симетрії.
Закріплення нового матеріалу
Вчитель: На дошці записані завдання, які потрібно вирішити у класі.
Запис на дошці: № 609(3), 612(1), 613(3)
Вчитель: Але спочатку розв'яжемо приклад не з підручника. Вирішуватимемо біля дошки.
Приклад 1: Знайти координати вершини параболи
Рішення: За формулою
Відповідь: координати вершини параболи.
Приклад 2: Знайти координати точок перетину параболи 
з осями координат.
Рішення: 1) З віссю:
Тобто. 
За теоремою Вієта:
Точки перетину з віссю абсцис (1; 0) та (2; 0).
Розглянемо вираз виду ах 2 + вх + с, де а, в, с - дійсні числа, а на відміну від нуля. Цей математичний вираз відомий як квадратний тричлен.
Нагадаємо, що ах 2 – це старший член цього квадратного тричлена, а – його старший коефіцієнт.
Але не завжди у квадратного тричлена присутні всі три доданки. Візьмемо наприклад вираз 3х 2 + 2х, де а=3, в=2, с=0.
Перейдемо до квадратичної функції у = ах 2 + вх + с, де а, в, з будь-які довільні числа. Ця функція є квадратичною, оскільки містить член другого ступеня, тобто x у квадраті.
Досить легко побудувати графік квадратичної функції, наприклад, можна скористатися методом виділення повного квадрата.
Розглянемо приклад побудови графіка функції рівно -3х 2 - 6х + 1.
Для цього перше, що згадаємо, схему виділення повного квадрата в тричлен -3х 2 - 6х + 1.
Винесемо -3 у перших двох доданків за дужки. Маємо -3 помножити на суму х квадрат плюс 2х і додати 1. Додавши та відібравши одиницю в дужках, отримуємо формулу квадрата суми, яку можна згорнути. Отримаємо -3 помножити на суму (х+1) у квадраті мінус 1 додати 1. Розкриваючи дужки та наводячи подібні доданки, виходить вираз: -3 помножене на квадрат суми (х+1) додати 4.
Побудуємо графік отриманої функції, перейшовши до допоміжної системи координат із початком у точці з координатами (-1; 4).
На малюнку з відео ця система позначена пунктирними лініями. Прив'яжемо функцію у -3х 2 до побудованої системі координат. Для зручності візьмемо контрольні точки. Наприклад, (0; 0), (1; -3), (-1; -3), (2; -12), (-2; -12). При цьому відкладемо їх у побудованій системі координат. Отримана при побудові парабола є необхідним графіком. На малюнку це червона парабола.
Застосовуючи метод виділення повного квадрата, маємо квадратичну функцію виду: у = а*(х+1) 2 + m.
Графік параболи у = ах 2 + bx + c легко отримати з параболи у = ах 2 паралельним перенесенням. Це підтверджено теоремою, яку можна довести, виділивши повний квадрат двочлена. Вираз ах 2 + bx + c після послідовних перетворень перетворюється на вираз виду: а * (х + l) 2 + m. Накреслимо графік. Виконаємо паралельне переміщення параболи у = ах 2 суміщаючи вершину з точкою з координатами (-l; m). Важливо, що х= -l, отже -b/2а. Значить ця пряма є віссю параболи ах 2 + bx + c, її вершина знаходиться в точці з абсцисою х нульове і мінус в, поділене на 2а, а ордината обчислюється за громіздкою формулою 4ас - b 2 /. Але цю формулу не обов'язково запам'ятовувати. Оскільки підставивши значення абсциси у функцію, отримаємо ординату.
Для визначення рівняння осі, напряму її гілок та координат вершини параболи розглянемо наступний приклад.
Візьмемо функцію у = -3х2 - 6х + 1. Склавши рівняння осі параболи, маємо, що х = -1. І це значення є координатою х вершини параболи. Залишилося знайти лише ординату. Підставивши значення -1 у функцію, отримаємо 4. Вершина параболи знаходиться у точці (-1; 4).
Графік функції у = -3х2 - 6х + 1 отриманий при паралельному перенесенні графіка функції у = -3х2, отже, і веде себе аналогічно. Старший коефіцієнт негативний, тому гілки спрямовані вниз.
Ми бачимо, що для будь-якої функції виду y = ах 2 + bx + c найлегшим є останнє питання, тобто напрямок гілок параболи. Якщо коефіцієнт позитивний, то гілки - вгору, а якщо негативний, то - вниз.
Наступним за складністю йде перше питання, бо потребує додаткових обчислень.
І найскладніший другий, оскільки, крім обчислень, ще необхідні знання формул, якими перебувають х нульове і в нульове.
Побудуємо графік функції у = 2х2 – х + 1.
Визначаємо відразу - графіком є парабола, гілки спрямовані вгору, оскільки старший коефіцієнт дорівнює 2, але це позитивне число. За формулою знаходимо абсцис х нульове, вона дорівнює 1,5. Для знаходження ординати пригадаємо, що у нульове і функції від 1,5, при обчисленні отримаємо -3,5.
Вершина – (1,5;-3,5). Вісь - х = 1,5. Візьмемо точки х=0 та х=3. у=1. Зазначимо ці точки. За трьома відомими точками будуємо шуканий графік.
Для побудови графіка функції ах 2 + bx + c необхідно:
Знайти координати вершини параболи та відзначити їх на малюнку, потім провести вісь параболи;
На осі ох взяти дві симетричні відносно осі, параболи точки, знайти значення функції в цих точках і відзначити їх на координатній площині;
Через три точки побудувати параболу, за необхідності можна взяти ще кілька точок та будувати графік за ними.
У наступному прикладі ми навчимося знаходити найбільше та найменше значення функції -2х 2 + 8х - 5 на відрізку.
По алгоритму: а=-2, в=8, отже х нульове дорівнює 2, а нульове - 3, (2;3) - вершина параболи, а х=2 є віссю.
Візьмемо значення х=0 та х=4 і знайдемо ординати цих точок. Це -5. Будуємо параболу і визначаємо, що найменше значенняфункції -5 при х = 0, а найбільше 3 при х = 2.
Вивчення властивостей функцій та його графіків займає значне місце як і шкільної математики, і у наступних курсах. Причому не тільки в курсах математичного та функціонального аналізу, і навіть не лише в інших розділах вищої математики, а й у більшості вузько професійних предметів. Наприклад, в економіці - функції корисності, витрат, функції попиту, пропозиції та споживання..., у радіотехніці - функції управління та функції відгуку, у статистиці - функції розподілу... Щоб полегшити подальше вивчення спеціальних функцій, потрібно навчитися вільно оперувати графіками елементарних функцій. Для цього після вивчення наступної таблиці рекомендую пройти за посиланням "Перетворення графіків функцій".
| Назва функції | Формула функції | Графік функції | Назва графіка | Коментар |
|---|---|---|---|---|
| Лінійна | y = kx | Пряма | Найпростіший окремий випадок лінійної залежності - пряма пропорційність у = kx, де k≠ 0 – коефіцієнт пропорційності. На малюнку приклад для k= 1, тобто. Фактично наведений графік ілюструє функціональну залежність, яка задає рівність значення функції значення аргументу. | |
| Лінійна | y = kx + b |  |
Пряма | Загальний випадок лінійної залежності: коефіцієнти kі b- будь-які дійсні числа. Тут k = 0.5, b = -1. |
| Квадратична | y = x 2 |  |
Парабола | Найпростіший випадок квадратичної залежності – симетрична парабола з вершиною на початку координат. |
| Квадратична | y = ax 2 + bx + c |  |
Парабола | Загальний випадок квадратичної залежності: коефіцієнт a- довільне дійсне число не дорівнює нулю ( aналежить R, a ≠ 0), b, c- будь-які дійсні числа. |
| Ступінна | y = x 3 |  |
Кубічна парабола | Найпростіший випадок для цілого непарного ступеня. Випадки з коефіцієнтами вивчаються у розділі "Рух графіків функцій". |
| Ступінна | y = x 1/2 |  |
Графік функції y = √x |
Найпростіший випадок для дробового ступеня ( x 1/2 = √x). Випадки з коефіцієнтами вивчаються у розділі "Рух графіків функцій". |
| Ступінна | y = k/x |  |
Гіперболу | Найпростіший випадок для цілого негативного ступеня ( 1/x = x-1) - обернено-пропорційна залежність. Тут k = 1. |
| Показова | y = e x |  |
Експонента | Експонентною залежністю називають показову функцію для основи e- ірраціонального числа приблизно рівного 2,7182818284590. |
| Показова | y = a x |  |
Графік показової функції | a> 0 та a a. Тут приклад для y = 2 x (a = 2 > 1). |
| Показова | y = a x |  |
Графік показової функції | Показова функціявизначена для a> 0 та a≠ 1. Графіки функції суттєво залежать від значення параметра a. Тут приклад для y = 0,5 x (a = 1/2 < 1). |
| Логарифмічна | y= ln x |  |
Графік логарифмічної функції для основи e(натурального логарифму) іноді називають логарифмікою. | |
| Логарифмічна | y= log a x |  |
Графік логарифмічної функції | Логарифми визначені для a> 0 та a≠ 1. Графіки функції суттєво залежать від значення параметра a. Тут приклад для y= log 2 x (a = 2 > 1). |
| Логарифмічна | y = log a x |  |
Графік логарифмічної функції | Логарифми визначені для a> 0 та a≠ 1. Графіки функції суттєво залежать від значення параметра a. Тут приклад для y= log 0,5 x (a = 1/2 < 1). |
| Сінус | y= sin x |  |
Синусоїда | Тригонометрична функціясинус. Випадки з коефіцієнтами вивчаються у розділі "Рух графіків функцій". |
| Косинус | y= cos x |  |
Косинусоїда | Тригонометрична функція косинус. Випадки з коефіцієнтами вивчаються у розділі "Рух графіків функцій". |
| Тангенс | y= tg x |  |
Тангенсоїда | Тригонометрична функція тангенсу. Випадки з коефіцієнтами вивчаються у розділі "Рух графіків функцій". |
| Котангенс | y= stg x |  |
Котангенсоіда | Тригонометрична функція котангенсу. Випадки з коефіцієнтами вивчаються у розділі "Рух графіків функцій". |
| Назва функції | Формула функції | Графік функції | Назва графіка |
|---|
Завдання на характеристики і графіки квадратичної функції викликають, як показує практика, серйозні труднощі. Це досить дивно, бо квадратичну функцію проходять у 8 класі, а потім усю першу чверть 9-го класу "вимучують" властивості параболи та будують її графіки для різних параметрів.
Це з тим, що змушуючи учнів будувати параболи, мало приділяють часу на " читання " графіків, тобто практикують осмислення інформації, отриманої з картинки. Мабуть, передбачається, що, побудувавши два десятка графіків, кмітливий школяр сам виявить і сформулює зв'язок коефіцієнтів у формулі та зовнішній вигляд графіка. Насправді так не виходить. Для такого узагальнення необхідний серйозний досвід математичних міні досліджень, яким більшість дев'ятикласників, звичайно, не має. А тим часом, у ДПА пропонують саме за графіком визначити знаки коефіцієнтів.
Не вимагатимемо від школярів неможливого і просто запропонуємо один із алгоритмів вирішення подібних завдань.
Отже, функція виду y = ax 2 + bx + cназивається квадратичною, графіком її є парабола. Як випливає з назви, головним доданком є ax 2. Тобто ане повинно дорівнювати нулю, інші коефіцієнти ( bі з) нулю дорівнювати можуть.
Подивимося, як впливають зовнішній вигляд параболи знаки її коефіцієнтів.
Найпростіша залежність для коефіцієнта а. Більшість школярів впевнено відповідає: а> 0, то гілки параболи спрямовані вгору, і якщо а < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой а > 0.
y = 0,5x2 - 3x+1
В даному випадку а = 0,5
А тепер для а < 0:
y = - 0,5x2 - 3x + 1
В даному випадку а = - 0,5
Вплив коефіцієнта зтакож досить легко простежити. Уявімо, що ми хочемо знайти значення функції у точці х= 0. Підставимо нуль у формулу:
y = a 0 2 + b 0 + c = c. Виходить що у = с. Тобто з- це ордината точки перетину параболи з віссю. Як правило, цю точку легко знайти на графіку. І визначити вище за нуль вона лежить або нижче. Тобто з> 0 або з < 0.
з > 0:
y = x 2 + 4x + 3
з < 0
y = x 2 + 4x - 3
Відповідно, якщо з= 0, то парабола обов'язково проходитиме через початок координат:
y = x 2 + 4x
Складніше з параметром b. Точка, за якою ми його знаходитимемо, залежить не тільки від bале й від а. Це вершина параболи. Її абсцисса (координата з осі х) знаходиться за формулою х у = - b/(2а). Таким чином, b = - 2ах. Тобто, діємо наступним чином: на графіку знаходимо вершину параболи, визначаємо знак її абсциси, тобто дивимося правіше за нуль ( х в> 0) або лівіше ( х в < 0) она лежит.
Проте, це не все. Потрібно ще звернути увагу на знак коефіцієнта а. Тобто подивитися, куди спрямовані гілки параболи. І лише після цього за формулою b = - 2ахвизначити знак b.
Розглянемо приклад:
Гілки спрямовані вгору, отже а> 0, парабола перетинає вісь унижче за нуль, значить з < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, х в> 0. Значить b = - 2ах = -++ = -. b < 0. Окончательно имеем: а > 0, b < 0, з < 0.
Урок: як побудувати параболу чи квадратичну функцію?
ТЕОРЕТИЧНА ЧАСТИНА
Парабола — це графік функції, описаний формулою ax 2 +bx+c=0.
Щоб побудувати параболу потрібно слідувати простому алгоритму дій:
1) Формула параболи y=ax 2 +bx+c,
якщо а>0то гілки параболи направлені вгору,
а то гілки параболи спрямовані вниз.
Вільний член cця точка перетинається параболи з віссю OY;
2) , її знаходять за формулою x=(-b)/2a, знайдений x підставляємо в рівняння параболи та знаходимо y;
3)Нулі функціїабо інакше точки перетину параболи з віссю OX вони ще називаються корінням рівняння. Щоб знайти коріння, ми рівняння прирівнюємо до 0 ax 2 +bx+c=0;
Види рівнянь:
a) Повне квадратне рівняння має вигляд ax 2 +bx+c=0і вирішується з дискримінанту;
b) Неповне квадратне рівняння виду ax 2 +bx = 0.Щоб його вирішити потрібно винести за дужки, потім кожен множник прирівняти до 0:
ax 2 +bx=0,
х(ax+b)=0,
х=0 та ax+b=0;
c) Неповне квадратне рівняння виду ax 2 +c=0.Щоб його вирішити, потрібно невідомі перенести в один бік, а відомі в інший. x =±√(c/a);
4) Знайти кілька додаткових точок для побудови функції.
ПРАКТИЧНА ЧАСТИНА
І так тепер на прикладі розберемо все за діями:
Приклад №1:
y=x 2 +4x+3
c=3 означає парабола перетинає OY у точці х=0 у=3. Гілки параболи дивляться нагору оскільки а=1 1>0.
a=1 b=4 c=3 x=(-b)/2a=(-4)/(2*1)=-2 y= (-2) 2 +4*(-2)+3=4- 8+3=-1 вершина знаходиться у точці (-2;-1)
Знайдемо коріння рівняння x2+4x+3=0
За дискримінантом знаходимо коріння
a=1 b=4 c=3
D=b 2 -4ac=16-12=4
x=(-b±√(D))/2a
x 1 =(-4+2)/2=-1
x 2 =(-4-2)/2=-3
Візьмемо кілька довільних точок, що знаходяться поруч із вершиною х=-2
х -4 -3 -1 0
у 3 0 0 3
Підставляємо замість х рівняння y=x 2 +4x+3 значення
y=(-4) 2 +4*(-4)+3=16-16+3=3
y=(-3) 2 +4*(-3)+3=9-12+3=0
y=(-1) 2 +4*(-1)+3=1-4+3=0
y=(0) 2 +4*(0)+3=0-0+3=3
Видно за значеннями функції, що парабола симетрична щодо прямої х=-2
Приклад №2:
y=-x 2 +4x
c=0 означає парабола перетинає OY у точці х=0 у=0. Гілки параболи дивляться вниз так як а=-1 -1 Знайдемо коріння рівняння -x2+4x=0
Неповне квадратне рівняння виду ax2+bx=0. Щоб його вирішити потрібно винести за дужки, потім кожен множник прирівняти до 0.
х(-x+4)=0, х=0 та x=4.
Візьмемо кілька довільних точок, що знаходяться поруч із вершиною х=2
х 0 1 3 4
у 0 3 3 0
Підставляємо замість х рівняння y=-x 2 +4x значення
y=0 2 +4*0=0
y=-(1) 2 +4*1=-1+4=3
y=-(3) 2 +4*3=-9+13=3
y=-(4) 2 +4*4=-16+16=0
Видно за значеннями функції, що парабола симетрична щодо прямої х = 2
Приклад №3
y=x 2 -4
c=4 означає парабола перетинає OY у точці х=0 у=4. Гілки параболи дивляться нагору оскільки а=1 1>0.
a=1 b=0 c=-4 x=(-b)/2a=0/(2*(1))=0 y=(0) 2 -4=-4 вершина знаходиться в точці (0;-4 )
Знайдемо коріння рівняння х 2 -4=0
Неповне квадратне рівняння виду ax2+c=0. Щоб його вирішити, потрібно невідомі перенести в один бік, а відомі в інший. x =±√(c/a)
x 2 = 4
x 1 =2
x 2 =-2
Візьмемо кілька довільних точок, що знаходяться поруч із вершиною х=0
х -2 -1 1 2
у 0 -3 -3 0
Підставляємо замість х рівняння y= x 2 -4 значення
y=(-2) 2 -4=4-4=0
y=(-1) 2 -4=1-4=-3
y=1 2 -4=1-4=-3
y=2 2 -4=4-4=0
Видно за значеннями функції, що парабола симетрична щодо прямої х = 0
Підписуйтесь на канал на YOUTUBE, щоб бути в курсі всіх новинок та готується з нами до іспитів.
