Графіки функцій. Арксинус, арккосинус - властивості, графіки, формули Графік функції arcsin x 2

Завдання, пов'язані з зворотними тригонометричними функціями, часто пропонуються на шкільних випускних іспитах і на вступних іспитах в деяких ВНЗ. Докладне вивчення цієї теми може бути досягнуто тільки на факультативних заняттях або на елективних курсах. Пропонований курс покликаний якомога повніше розвинути здібності кожного учня, підвищити його математичну підготовку.

Курс розрахований на 10 годин:

1.Функция arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x (4 год.).

2.Операціі над оберненими тригонометричними функціями (4 год.).

3.Обратние тригонометричні операції над тригонометричними функціями (2 ч.).

Урок 1 (2 год.) Тема: Функції y \u003d arcsin x, y \u003d arccos x, y \u003d arctg x, y \u003d arcctg x.

Мета: повне висвітлення даного питання.

1.Функция y \u003d arcsin х.

а) Для функції y \u003d sin x на відрізку існує зворотна (однозначна) функція, яку домовилися називати арксинуса і позначати так: y \u003d arcsin x. Графік зворотного функції симетричний з графіком основної функції щодо бісектриси I - III координатних кутів.

Властивості функції y \u003d arcsin x.

1) Область визначення: відрізок [-1; 1];

2) Область зміни: відрізок;

3) Функція y \u003d arcsin x непарна: arcsin (-x) \u003d - arcsin x;

4) Функція y \u003d arcsin x монотонно зростає;

5) Графік перетинає осі Ох, Оу на початку координат.

Приклад 1. Знайти a \u003d arcsin. Даний приклад докладно можна сформулювати так: знайти такий аргумент a, що лежить в межах від до, синус якого дорівнює.

Рішення. Існує безліч аргументів, синус яких дорівнює, наприклад: і т.д. Але нас цікавить тільки той аргумент, який знаходиться на відрізку. Таким аргументом буде. Отже,.

Приклад 2. Знайти .Рішення. Міркуючи так само, як і в прикладі 1, отримаємо .

б) усні вправи. Знайти: arcsin 1, arcsin (-1), arcsin, arcsin (), arcsin, arcsin (), arcsin, arcsin (), arcsin 0. Зразок відповіді: , Тому що . Чи мають сенс виразу:; arcsin 1,5; ?

в) Розмістіть в порядку зростання: arcsin, arcsin (-0,3), arcsin 0,9.

II. Функції y \u003d arccos x, y \u003d arctg x, y \u003d arcctg x (аналогічно).

Урок 2 (2 год) Тема: Зворотні тригонометричні функції, їх графіки.

Мета: на даному уроці необхідно відпрацювати навички у визначенні значень тригонометричних функцій, В побудові графіків зворотних тригонометричних функцій з використанням Д (у), Е (у) і необхідних перетворень.

На даному уроці виконати вправи, що включають знаходження області визначення, області значення функцій типу: y \u003d arcsin, y \u003d arccos (x-2), y \u003d arctg (tg x), y \u003d arccos.

Слід побудувати графіки функцій: а) y \u003d arcsin 2x; б) y \u003d 2 arcsin 2x; в) y \u003d arcsin;

г) y \u003d arcsin; д) y \u003d arcsin; е) y \u003d arcsin; ж) y \u003d | arcsin | .

Приклад.Побудуємо графік y \u003d arccos

У домашнє завдання можна включити наступні вправи: побудувати графіки функцій: y \u003d arccos, y \u003d 2 arcctg x, y \u003d arccos | x | .

Графіки зворотних функцій

Урок № 3 (2 год.) Тема:

Операції над оберненими тригонометричними функціями.

Мета: розширити математичні пізнання (це важливо для вступників на спеціальності з підвищеними вимогами до математичної підготовки) шляхом введення основних співвідношень для зворотних тригонометричних функцій.

Матеріал для уроку.

Деякі найпростіші тригонометричні операції над оберненими тригонометричними функціями: sin (arcsin x) \u003d x, i xi? 1; cos (arсcos x) \u003d x, i xi? 1; tg (arctg x) \u003d x, x I R; ctg (Arcctg x) \u003d x, x I R.

Вправи.

а) tg (1,5 + arctg 5) \u003d - ctg (arctg 5) \u003d .

ctg (arctg x) \u003d; tg (arcctg x) \u003d.

б) cos (+ arcsin 0,6) \u003d - cos (arcsin 0,6). Нехай arcsin 0,6 \u003d a, sin a \u003d 0,6;

cos (arcsin x) \u003d; sin (arccos x) \u003d.

Зауваження: беремо перед коренем знак "+" тому, що a \u003d arcsin x задовольняє.

в) sin (1,5 + arcsin) .Відповідь:;

г) ctg (+ arctg 3) .Відповідь:;

д) tg (- arcctg 4) .Відповідь:.

е) cos (0,5 + arccos). Відповідь:.

обчислити:

a) sin (2 arctg 5).

Нехай arctg 5 \u003d a, тоді sin 2 a \u003d або sin (2 arctg 5) \u003d ;

б) cos (+ 2 arcsin 0,8) .Відповідь: 0,28.

в) arctg + arctg.

Нехай a \u003d arctg, b \u003d arctg,

тоді tg (a + b) \u003d .

г) sin (arcsin + arcsin).

д) Довести, що для всіх x I [-1; 1] вірно arcsin x + arccos x \u003d.

Доведення:

arcsin x \u003d - arccos x

sin (arcsin x) \u003d sin (- arccos x)

x \u003d cos (arccos x)

Для самостійного рішення:sin (arccos), cos (arcsin), cos (arcsin ()), sin (arctg (- 3)), tg (arccos), ctg (arccos).

Для домашнього рішення: 1) sin (arcsin 0,6 + arctg 0); 2) arcsin + arcsin; 3) ctg (- arccos 0,6); 4) cos (2 arcctg 5); 5) sin (1,5 - arcsin 0,8); 6) arctg 0,5 - arctg 3.

Урок № 4 (2 год.) Тема: Операції над оберненими тригонометричними функціями.

Мета: на даному уроці показати використання співвідношень в перетворенні більш складних виразів.

Матеріал для уроку.

УСНО:

а) sin (arccos 0,6), cos (arcsin 0,8);

б) tg (arcсtg 5), ctg (arctg 5);

в) sin (arctg -3), cos (arcсtg ());

г) tg (arccos), ctg (arccos ()).

ПИСЬМОВО:

1) cos (arcsin + arcsin + arcsin).

2) cos (arctg 5-arccos 0,8) \u003d cos (arctg 5) cos (arccos 0,8) + sin (arctg 5) sin (arccos 0,8) \u003d

3) tg (- arcsin 0,6) \u003d - tg (arcsin 0,6) \u003d

4)

Самостійна робота допоможе виявити рівень засвоєння матеріалу

1) tg (arctg 2 - arctg) 2) cos (- arctg2) 3) arcsin + arccos	1) cos (arcsin + arcsin) 2) sin (1,5 - arctg 3) 3) arcctg3 - arctg 2

Для домашнього завдання можна запропонувати:

1) ctg (arctg + arctg + arctg); 2) sin 2 (arctg 2 - arcctg ()); 3) sin (2 arctg + tg (arcsin)); 4) sin (2 arctg); 5) tg ((arcsin))

Урок № 5 (2 год) Тема: Зворотні тригонометричні операції над тригонометричними функціями.

Мета: сформувати уявлення учнів про зворотні тригонометричних операціях над тригонометричними функціями, основну увагу приділити підвищенню свідомості досліджуваної теорії.

Під час вивчення цієї теми передбачається обмеження обсягу теоретичного матеріалу, що підлягає запам'ятовуванню.

Матеріал для уроку:

Вивчення нового матеріалу можна почати з дослідження функції y \u003d arcsin (sin x) і побудови її графіка.

3. Кожному x I R ставиться у відповідність y I, тобто<= y <= такое, что sin y = sin x.

4. Функція непарна: sin (-x) \u003d - sin x; arcsin (sin (-x)) \u003d - arcsin (sin x).

6. Графік y \u003d arcsin (sin x) на:

a) 0<= x <= имеем y = arcsin(sin x) = x, ибо sin y = sin x и <= y <= .

б)<= x <= получим y = arcsin (sin x) = arcsin ( - x) = - x, ибо

sin y \u003d sin (- x) \u003d sinx, 0<= - x <= .

Отже,

Побудувавши y \u003d arcsin (sin x) на, продовжимо симетрично відносно початку координат на [-; 0], враховуючи непарність цієї функції. Використовуючи періодичність, продовжимо на всю числову вісь.

Потім записати деякі співвідношення: arcsin (sin a) \u003d a, якщо<= a <= ; arccos (cos a ) \u003d A, якщо 0<= a <= ; arctg (tg a) \u003d a, якщо< a < ; arcctg (ctg a) = a , если 0 < a < .

І виконати наступні вправи: a) arccos (sin 2) .Відповідь: 2 -; б) arcsin (cos 0,6) .Відповідь: - 0,1; в) arctg (tg 2) .Відповідь: 2 -;

г) arcctg (tg 0,6) .Відповідь: 0,9; д) arccos (cos (- 2)). Відповідь: 2 -; е) аrcsin (sin (- 0,6)). Відповідь: - 0,6; ж) аrctg (tg 2) \u003d arctg (tg (2 -)). Відповідь: 2 -; з) аrcctg (tg 0,6). Відповідь: - 0,6; - arctg x; д) arccos + arccos

ГРАФІКИ ФУНКЦІЙ

функція синус

- безліч Rвсіх дійсних чисел.

Безліч значень функції - відрізок [-1; 1], тобто синус функція - обмежена.

Функція непарна: sin (-x) \u003d - sin x для всіх х ∈ R.

функція періодична

sin (x + 2π · k) \u003d sin x, де k ∈ Z для всіх х ∈ R.

sin x \u003d 0 при x \u003d π · k, k ∈ Z.

sin x\u003e 0 (Позитивна) для всіх x ∈ (2π · k, π + 2π · k), k ∈ Z.

sin x< 0 (Негативна) для всіх x ∈ (π + 2π · k, 2π + 2π · k), k ∈ Z.

функція косинус

Область визначення функції- безліч Rвсіх дійсних чисел.

Безліч значень функції - відрізок [-1; 1], тобто косинус функція - обмежена.

Функція парна: cos (-x) \u003d cos x для всіх х ∈ R.

функція періодична з найменшим позитивним періодом 2π:

cos (x + 2π · k) \u003d Cos x, де k ∈ Z для всіх х ∈ R.

cos x \u003d 0при
cos x\u003e 0 для всіх
cos x< 0 для всіх
функція зростає від -1 до 1 на проміжках:
функція убуває від -1 до 1 на проміжках:
Найбільше значення функції sin x \u003d 1 в точках:
Найменше значення функції sin x \u003d -1 в точках:

функція тангенс

Безліч значень функції - вся числова пряма, тобто тангенс - функція необмежена.

Функція непарна: tg (-x) \u003d - tg x
Графік функції симетричний щодо осі OY.

функція періодична з найменшим позитивним періодом π, тобто tg (x + π · k) \u003d Tg x, k ∈ Z для всіх х з області визначення.

функція котангенс

Безліч значень функції - вся числова пряма, тобто котангенс - функція необмежена.

Функція непарна: ctg (-x) \u003d - ctg x для всіх х з області визначення.
Графік функції симетричний щодо осі OY.

функція періодична з найменшим позитивним періодом π, тобто ctg (x + π · k) \u003d Ctg x, k ∈ Z для всіх х з області визначення.

функція арксинус

Область визначення функції- відрізок [-1; 1]

Безліч значень функції - відрізок -π / 2 arcsin x π / 2, тобто арксинус - функція обмежена.

Функція непарна: arcsin (-x) \u003d - arcsin x для всіх х ∈ R.
Графік функції симетричний відносно початку координат.

На всій області визначення.

функція арккосинус

Область визначення функції- відрізок [-1; 1]

Безліч значень функції - відрізок 0 arccos x π, тобто арккосинус - функція обмежена.

Функція є зростаючою на всій області визначення.

функція арктангенс

Область визначення функції- безліч Rвсіх дійсних чисел.

Безліч значень функції - відрізок 0 π, тобто арктангенс - функція обмежена.

Функція непарна: arctg (-x) \u003d - arctg x для всіх х ∈ R.
Графік функції симетричний відносно початку координат.

Функція є зростаючою на всій області визначення.

функція арккотангенс

Область визначення функції- безліч Rвсіх дійсних чисел.

Безліч значень функції - відрізок 0 π, тобто арккотангенс - функція обмежена.

Функція не є ні парною, ні непарною.
Графік функції несиметричний ні щодо початку координат, ні щодо осі Оy.

Функція є спадною на всій області визначення.

Визначення та позначення

Арксинус (y \u003d arcsin x) - це функція, обернена до синусу (x \u003d sin y -1 ≤ x ≤ 1 і безліч значень -π / 2 ≤ y ≤ π / 2.
sin (arcsin x) \u003d x ;
arcsin (sin x) \u003d x .

Арксинус іноді позначають так:
.

Графік функції арксинус

Графік функції y \u003d arcsin x

Графік арксинуса виходить з графіка синуса, якщо поміняти місцями осі абсцис і ординат. Щоб усунути багатозначність, область значень обмежують інтервалом, на якому функція монотонна. Таке визначення називають головним значенням арксинуса.

Арккосинус, arccos

Визначення та позначення

Арккосинус (y \u003d arccos x) - це функція, обернена до косинусу (x \u003d cos y). Він має область визначення -1 ≤ x ≤ 1 і безліч значень 0 ≤ y ≤ π.
cos (arccos x) \u003d x ;
arccos (cos x) \u003d x .

Арккосинус іноді позначають так:
.

Графік функції арккосинус

Графік функції y \u003d arccos x

Графік арккосинуса виходить з графіка косинуса, якщо поміняти місцями осі абсцис і ординат. Щоб усунути багатозначність, область значень обмежують інтервалом, на якому функція монотонна. Таке визначення називають головним значенням арккосинуса.

парність

Функція арксинус є непарною:
arcsin (- x) \u003d arcsin (-sin arcsin x) \u003d arcsin (sin (-arcsin x)) \u003d - arcsin x

Функція арккосинус не є парній або непарній:
arccos (- x) \u003d arccos (-cos arccos x) \u003d arccos (cos (π-arccos x)) \u003d π - arccos x ≠ ± arccos x

Властивості - екстремуми, зростання, спадання

Функції арксинус і арккосинус безперервні на своїй області визначення (див. Доказ безперервності). Основні властивості арксинуса і арккосинуса представлені в таблиці.

	y \u003d arcsin x	y \u003d arccos x
Область визначення і безперервність	- 1 ≤ x ≤ 1	- 1 ≤ x ≤ 1
область значень
Зростання, спадання	монотонно зростає	монотонно убуває
максимуми
мінімуми
Нулі, y \u003d 0	x \u003d 0	x \u003d 1
Точки перетину з віссю ординат, x \u003d 0	y \u003d 0	y \u003d π / 2

Таблиця арксинуса і арккосинуса

В даній таблиці представлені значення арксинуса і арккосинуса, в градусах і радіанах, при деяких значеннях аргументу.

x	arcsin x		arccos x
	град.	радий.	град.	радий.
- 1	- 90 °	-	180 °	π
-	- 60 °	-	150 °
-	- 45 °	-	135 °
-	- 30 °	-	120 °
0	0°	0	90 °
	30 °		60 °
	45 °		45 °
	60 °		30 °
1	90 °		0°	0

≈ 0,7071067811865476
≈ 0,8660254037844386

формули

Див. також: Висновок формул зворотних тригонометричних функцій

Формули суми і різниці

при або

при і

при і

при або

при і

при і

при

при

при

при

Вирази через логарифм, комплексні числа

Див. також: висновок формул

Вирази через гіперболічні функції

похідні

;
.
Див. Висновок похідних арксинуса і арккосинуса\u003e\u003e\u003e

Похідні вищих порядків:
,
де - многочлен ступеня. Він визначається за формулами:
;
;
.

Див. Висновок похідних вищих порядків арксинуса і арккосинуса\u003e\u003e\u003e

інтеграли

Робимо підстановку x \u003d sin t. Інтегруємо частинами, враховуючи що -π / 2 ≤ t ≤ π / 2, cos t ≥ 0:
.

Висловимо арккосинус через арксинус:
.

Розкладання в ряд

При | x |< 1 має місце наступне розкладання:
;
.

Зворотні функції

Зворотними до арксинуса і арккосинуса є синус і косинус, відповідно.

Наступні формули справедливі на всій області визначення:
sin (arcsin x) \u003d x
cos (arccos x) \u003d x .

Наступні формули справедливі тільки на безлічі значень арксинуса і арккосинуса:
arcsin (sin x) \u003d x при
arccos (cos x) \u003d x при.

Використана література:
І.М. Бронштейн, К.А. Семендяев, Довідник з математики для інженерів і учнів втузів, «Лань», 2009.

Див. також: