Графік функції у 4x2. Функції

Урок на тему: "Графік та властивості функції $y=x^3$. Приклади побудови графіків"

Додаткові матеріали
Шановні користувачі, не забувайте залишати свої коментарі, відгуки, побажання. Усі матеріали перевірені антивірусною програмою.

Навчальні посібники та тренажери в інтернет-магазині "Інтеграл" для 7 класу
Електронний навчальний посібник для 7 класу "Алгебра за 10 хвилин"
Освітній комплекс 1С "Алгебра, 7-9 класи"

Властивості функції $y=x^3$

Давайте опишемо властивості цієї функції:

1. x – незалежна змінна, y – залежна змінна.

2. Область визначення: очевидно, що з будь-якого значення аргументу (x) можна визначити значення функції (y). Відповідно, область визначення цієї функції – вся числова пряма.

3. Область значень: може бути будь-яким. Відповідно область значень – також вся числова пряма.

4. Якщо x=0, то й y=0.

Графік функції $y=x^3$

1. Складемо таблицю значень:

2. Для позитивних значень x графік функції $ y = x ^ 3 $ дуже схожий на параболу, гілки якої більш "притиснуті" до осі OY.

3. Оскільки негативних значень x функція $y=x^3$ має протилежні значення, то графік функції симетричний щодо початку координат.

Тепер відзначимо точки на координатній площині та побудуємо графік (див. рис. 1).

Ця крива називається кубічною параболою.

приклади

I. На невеликому кораблі повністю закінчилася прісна вода. Необхідно привезти достатню кількість води із міста. Вода замовляється заздалегідь і оплачується за повний куб, навіть якщо залити трохи менше. Скільки кубів треба замовити, щоб не переплачувати за зайвий куб і повністю заповнити цистерну? Відомо, що цистерна має однакові довжину, ширину і висоту, які дорівнюють 1,5 м. Розв'яжемо це завдання, не виконуючи обчислень.

Рішення:

1. Побудуємо графік функції $ y = x ^ 3 $.
2. Знайдемо точку А, координата x, яка дорівнює 1,5. Ми бачимо, що координата функції знаходиться між значеннями 3 та 4 (див. рис. 2). Значить треба замовити 4 куби.

Побудова графіків онлайн дуже корисний спосібграфічно відобразити те, що не в змозі передати словами.

Інформація - це майбутнє електронного маркетингу, при цьому правильно подані зорові образи є потужним інструментом для залучення цільової аудиторії.

Тут на допомогу приходить інфографіка, що дозволяє у простій і виразній формі подавати різноманітні інформацію.

Однак побудова інфографічних зображень потребує певного аналітичного мислення та багатства фантазії.

Поспішаємо вас порадувати - в інтернеті достатньо ресурсів, що надають побудову графіків онлайн.

Yotx.ru

Чудовий російськомовний сервіс, що здійснює побудову графіків онлайн за точками (за значеннями) та графіків функцій (звичайних та параметричних).

Цей сайт має інтуїтивно зрозумілий інтерфейс і легкий у використанні. Не вимагає реєстрації, що суттєво заощаджує час користувача.

Дозволяє швидко зберігати готові графіки на комп'ютері, а також генерує код розміщення на блозі або сайті.

На Yotx.ru є підручник та приклади графіків, які були створені користувачами.

Можливо, для людей, які поглиблено вивчають математику чи фізику, цього сервісу буде мало (наприклад, не можна побудувати графік у полярних координатах, тому що на сервісі немає логарифмічної шкали), але для виконання найпростіших лабораторних робіт цілком достатньо.

Перевагою сервісу є те, що він не змушує як багато інших програм шукати отриманий результат по всій двомірній площині.

Розмір графіка та інтервали по осях координат автоматично генеруються так, щоб графік виявився зручним для перегляду.

Одночасно на одній площині можна побудувати кілька графіків.

Додатково на сайті можна використовувати калькулятор матриць, за допомогою якого легко робити різні дії та перетворення.

ChartGo

Англомовний сервіс для розробки багатофункціональних та різнокольорових гістограм, лінійних графіків, кругових діаграм.

Для навчання користувачам надається докладний посібник та деморолики.

ChartGo буде корисний для тих, хто потребує регулярно. Серед подібних ресурсів відрізняється простотою Create a graph online quickly.

Побудова графіків онлайн здійснюється за таблицею.

На початку роботи необхідно вибрати один з різновидів діаграм.

Додаток забезпечує користувачам ряд простих варіантів настроювання побудови графіків різних функцій у двовимірних та тривимірних координатах.

Можна вибрати один з різновидів діаграм і перемикатися між 2D та 3D.

Налаштування розміру забезпечують максимальний контроль між вертикальною та горизонтальною орієнтацією.

Користувачі можуть налаштовувати свої діаграми з унікальною назвою, а також надавати назви для X і Y елементів.

Для побудови графіків онлайн xyz у розділі «Example» є безліч макетів, які можна змінювати на свій розсуд.

Зверніть увагу!У ChartGo в одній прямокутній системі може бути побудовано безліч графіків. При цьому кожен графік складено за допомогою точок та ліній. Функції дійсного змінного (аналітичні) задаються користувачем у параметричному вигляді.

Розроблено і додатковий функціонал, який включає моніторинг та виведення координат на площині або у тривимірній системі, імпорт та експорт числових даних у певних форматах.

Програма має гнучко настроюваний інтерфейс.

Після створення діаграми користувач може скористатися функцією друку результату та збереження графіка у вигляді статичного малюнка.

OnlineCharts.ru

Ще один чудовий додаток для ефектного представлення інформації ви можете знайти на сайті OnlineCharts.ru, де можна побудувати графік функції онлайн безкоштовно.

Сервіс здатний працювати з безліччю видів діаграм, включаючи лінійні, пухирцеві, кругові, стовпчасті та радіальні.

Система має дуже простий і наочний інтерфейс. Усі доступні функції розділені вкладками у вигляді горизонтального меню.

Щоб розпочати роботу, необхідно вибрати тип діаграми, яку ви хочете побудувати.

Після цього можна налаштувати деякі додаткові параметри зовнішнього вигляду залежно від вибраного типу графіка.

У вкладці «Додати дані» користувачеві пропонується задати кількість рядків і, якщо необхідно, кількість груп.

Можна також визначити колір.

Зверніть увагу!Вкладка «Підписи та шрифти» пропонує встановити властивості підписів (чи потрібно їх виводити взагалі, якщо так, то яким кольором і розміром шрифту). Також надається можливість вибору типу шрифту та його розміру для основного тексту діаграми.

Все дуже просто.

Aiportal.ru

Найпростіший і найменш функціональний з усіх представлених тут онлайн-сервісів. Створити тривимірний графік онлайн на цьому сайті не вдасться.

Він призначений для побудови графіків складних функцій у системі координат на певному інтервалі значень.

Для зручності користувачів сервіс надає довідкові дані щодо синтаксису різних математичних операцій, а також за переліком підтримуваних функцій та константних значень.

Усі необхідні для складання графіка дані вводяться у вікно "Функції". Одночасно однією площині користувач може побудувати кілька графіків.

Тому дозволяється вносити кілька функцій поспіль, але після кожної функції необхідно вставляти крапку з комою. Також задається і область побудови.

Передбачено можливість побудови графіків онлайн за таблицею чи без неї. Підтримується кольорова легенда.

Незважаючи на небагатий функціонал, все ж таки це онлайн-сервіс, тому вам не доведеться довго шукати, скачувати і встановлювати якесь програмне забезпечення.

Для побудови графіка достатньо лише мати з будь-якого пристрою: ПК, ноутбука, планшета або смартфона.

Побудова графіка функції онлайн

ТОП-4 кращих сервісу для побудови графіків онлайн

Вивчення властивостей функцій та його графіків займає значне місце як і шкільної математики, і у наступних курсах. Причому не тільки в курсах математичного та функціонального аналізу, і навіть не лише в інших розділах вищої математики, а й у більшості вузько професійних предметів. Наприклад, в економіці - функції корисності, витрат, функції попиту, пропозиції та споживання..., у радіотехніці - функції управління та функції відгуку, у статистиці - функції розподілу... Щоб полегшити подальше вивчення спеціальних функцій, потрібно навчитися вільно оперувати графіками елементарних функцій. Для цього після вивчення наступної таблиці рекомендую пройти за посиланням "Перетворення графіків функцій".

У шкільному курсі математики вивчаються наступні
елементарні функції.

Назва функції	Формула функції	Графік функції	Назва графіка	Коментар
Лінійна	y = kx		Пряма	Найпростіший окремий випадок лінійної залежності - пряма пропорційність у = kx, де k≠ 0 – коефіцієнт пропорційності. На малюнку приклад для k= 1, тобто. фактично наведений графік ілюструє функціональну залежність, яка задає рівність значення функції значення аргументу.
Лінійна	y = kx + b		Пряма	Загальний випадок лінійної залежності: коефіцієнти kі b- Будь-які дійсні числа. Тут k = 0.5, b = -1.
Квадратична	y = x 2		Парабола	Найпростіший випадок квадратичної залежності – симетрична парабола з вершиною на початку координат.
Квадратична	y = ax 2 + bx + c		Парабола	Загальний випадок квадратичної залежності: коефіцієнт a- довільне дійсне число не дорівнює нулю ( aналежить R, a ≠ 0), b, c- будь-які дійсні числа.
Ступінь	y = x 3		Кубічна парабола	Найпростіший випадок для цілого непарного ступеня. Випадки з коефіцієнтами вивчаються у розділі "Рух графіків функцій".
Ступінь	y = x 1/2		Графік функції y = √x	Найпростіший випадок для дробового ступеня ( x 1/2 = √x). Випадки з коефіцієнтами вивчаються у розділі "Рух графіків функцій".
Ступінь	y = k/x		Гіперболу	Найпростіший випадок для цілого негативного ступеня ( 1/x = x-1) - обернено-пропорційна залежність. Тут k = 1.
Показова	y = e x		експонента	Експоненційною залежністю називають показову функцію для основи e- ірраціонального числа приблизно рівного 2,7182818284590...
Показова	y = a x		Графік показової функції	a> 0 та a a. Тут приклад для y = 2 x (a = 2 > 1).
Показова	y = a x		Графік показової функції	Показова функціявизначено для a> 0 та a≠ 1. Графіки функції суттєво залежать від значення параметра a. Тут приклад для y = 0,5 x (a = 1/2 < 1).
Логарифмічна	y= ln x			Графік логарифмічної функції для основи e(натурального логарифму) іноді називають логарифмікою.
Логарифмічна	y= log a x		Графік логарифмічної функції	Логарифми визначені для a> 0 та a≠ 1. Графіки функції суттєво залежать від значення параметра a. Тут приклад для y= log 2 x (a = 2 > 1).
Логарифмічна	y = log a x		Графік логарифмічної функції	Логарифми визначені для a> 0 та a≠ 1. Графіки функції суттєво залежать від значення параметра a. Тут приклад для y= log 0,5 x (a = 1/2 < 1).
Сінус	y= sin x		Синусоїда	Тригонометрична функціясинус. Випадки з коефіцієнтами вивчаються у розділі "Рух графіків функцій".
Косінус	y= cos x		Косинусоїда	Тригонометрична функція косинус. Випадки з коефіцієнтами вивчаються у розділі "Рух графіків функцій".
Тангенс	y= tg x		Тангенсоїда	Тригонометрична функція тангенс. Випадки з коефіцієнтами вивчаються у розділі "Рух графіків функцій".
Котангенс	y= stg x		Котангенсоїда	Тригонометрична функція котангенсу. Випадки з коефіцієнтами вивчаються у розділі "Рух графіків функцій".

Зворотні тригонометричні функції.

Назва функції	Формула функції	Графік функції	Назва графіка

У золоте століття інформаційних технологій мало хто купуватиме міліметрівку і витрачатиме годинник для малювання функції або довільного набору даних, та й навіщо займатися такою нудотною роботою, коли можна побудувати графік функції онлайн. Крім того, підрахувати мільйони значень виразу для правильного відображення практично нереально і складно, та й попри всі зусилля вийде ламана лінія, а не крива. Тому комп'ютер у цьому випадку - незамінний помічник.

Що таке графік функцій

Функція – це правило, яким кожному елементу однієї множини ставиться у відповідність деякий елемент іншого множини, наприклад, вираз y = 2x + 1 встановлює зв'язок між множинами всіх значень x і всіх значень y, отже, це функція. Відповідно, графіком функції буде називатися безліч точок, координати яких задовольняють заданий вираз.

На малюнку ми бачимо графік функції y = x. Це пряма і кожна її точка має свої координати на осі. Xі на осі Y. Виходячи з визначення, якщо ми підставимо координату Xдеякої точки в дане рівняння, то отримаємо координату цієї точки на осі Y.

Сервіси для побудови графіків функцій онлайн

Розглянемо кілька популярних і кращих сервісів, що дозволяють швидко накреслити графік функції.

Відкриває список найпростіший сервіс, що дозволяє побудувати графік функції рівняння онлайн. Umath містить лише необхідні інструменти, такі як масштабування, пересування координатною площиною та перегляд координати точки на яку вказує миша.

Інструкція:

1. Введіть ваше рівняння у поле після знака «=».
2. Натисніть кнопку "Побудувати графік".

Як бачите все гранично просто та доступно, синтаксис написання складних математичних функцій: з модулем, тригонометричних, показових – наведено прямо під графіком. Також при необхідності можна задати рівняння параметричним методом або будувати графіки полярної системикоординат.

У Yotx є всі функції попереднього сервісу, але він містить такі цікаві нововведення як створення інтервалу відображення функції, можливість будувати графік за табличними даними, а також виводити таблицю з цілими рішеннями.

Інструкція:

1. Виберіть потрібний спосіб завдання графіка.
2. Введіть рівняння.
3. Встановіть інтервал.
4. Натисніть кнопку «Побудувати».

Для тих, кому ліньки розбиратися, як записати ті чи інші функції, на цій позиції представлений сервіс з можливістю вибирати зі списку потрібну одним клацанням миші.

Інструкція:

1. Знайдіть у списку необхідну вам функцію.
2. Клацніть на неї лівою кнопкою миші
3. За потреби введіть коефіцієнти у поле "Функція:".
4. Натисніть кнопку «Побудувати».

У плані візуалізації можна змінювати колір графіка, а також приховувати його або зовсім видаляти.

Desmos безумовно - найнавороченіший сервіс для побудови рівнянь онлайн. Пересуваючи курсор із затиснутою лівою кнопкою миші за графіком можна докладно переглянути всі рішення рівняння з точністю до 0,001. Вбудована клавіатура дозволяє швидко писати ступеня та дроби. Найважливішим плюсом є можливість записувати рівняння у будь-якому стані, не наводячи до вигляду: y = f(x).

Інструкція:

1. У лівому стовпці клацніть правою кнопкою миші по вільному рядку.
2. У нижньому лівому куті натисніть значок клавіатури.
3. На панелі наберіть потрібне рівняння (для написання назв функцій перейдіть в розділ «ABC»).
4. Графік будується у часі.

Візуалізація просто ідеальна, адаптивна, видно, що над програмою працювали дизайнери. З плюсів можна відзначити велику різноманітність можливостей, для освоєння яких можна подивитися приклади в меню у верхньому лівому кутку.

Сайтів для побудови графіків функцій безліч, проте кожен вільний вибирати для себе виходячи з необхідного функціоналу та особистих уподобань. Список кращих був сформований так, щоб задовольнити вимоги будь-якого математика від малого до великого. Успіхів вам у осягненні «цариці наук»!