Bir noktadan düzleme olan mesafeyi bulma konusunda matematikte birleşik durum sınavının c2 problemleri. Bir nokta ile düzlem arasındaki, bir çizgi ile düzlem arasındaki, düzlemler ile kesişen çizgiler arasındaki mesafeyi belirleme Bir noktadan en kısa mesafeyi bulma

1. Uzaydaki düzlem 3x-4y+2z+5=0 denklemiyle verilmiştir, ondan M(3;-2;6) noktasına olan mesafeyi bulun.
   

   Verilen:

   $$ x_0 = 3, \quad y_0 = -2, \quad z_0 = 6 $$

   $$ A = 3, \quad B = -4, \quad C = 2, \quad D = 5 $$

   Çözüm:

   Sorunu çözmek için, bir noktadan bir düzleme olan mesafeyi bulmak için, bu noktadan düzleme çizilen dikin uzunluğuna eşit olan formülü kullanıyoruz:

   $$ p = (| A \cdot x_0 + B \cdot y_0 + C \cdot z_0 + D|) \over \sqrt((A^2 + B^2 + C^2)) $$

   burada A, B, C, D düzlem denkleminin katsayılarıdır ve x0, y0, z0 noktanın koordinatlarıdır.

   Bir değişiklik yapalım:

   $$ \frac(|3 \cdot 3 + (-4) \cdot (-2)+2 \cdot 6 + 5 |)( \sqrt((3^2 + (-4)^2 + 2^2) )) ) = \frac(|9+8+12+5|)(\sqrt((9+16+4))) =6.314$$ (doğrusal birimler)

   Cevap:
2. Kenar uzunluğu 1 cm olan bir ABCDA1B1C1D1 küpü verildiğinde, A1 noktasından B, D ve C1 noktalarıyla tanımlanan düzleme olan mesafeyi hesaplayın.
   

   Çözüm:

   Sorunu çözmek için koordinat yöntemini uyguluyoruz. Koordinat sisteminin orijini A noktasına yerleştirelim. X ekseni AD kenarıyla, y ekseni AB kenarıyla, z ekseni AA1 kenarıyla uyumludur.

   Daha sonra A1 noktasının (0;0;1), B (0; 1; 0), D (1; 0; 0), C1(1; 1; 1) noktalarının koordinatları. Her noktanın koordinatlarını A·x+B·y+C·z+D=0 düzleminin genel denklemine yerleştirerek, üç denklemden oluşan bir sistem elde ederiz; bunu çözerek denklemin katsayılarını ve denklemini buluruz. düzlem x+y-z-1=0.

   $$ p = \frac( |A \cdot x_0 + B \cdot y_0 + C \cdot z_0 + D| )( \sqrt((A^2 + B^2 + C^2)) ) $$, hadi yapalım ikame:

   $$ p = \frac( |1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 - 1 \cdot 1 - 1| )( \sqrt((1+1+1)) ) = 1,155 cm$$

   Cevap:

   $$ R = 1,155 cm $$

3. M (2;4;-7) noktasının XOY düzlemine olan mesafesini bulun.
   

   Çözüm:

   XOY düzleminin denklemi özel durum denklemi z=0'dır. Formülü uygulayalım:

   $$ p = \frac( | A \cdot x_0 + B \cdot y_0 + C \cdot z_0 + D| )( (A^2 + B^2 + C^2)) ) $$ , burada A=0, B =0, C=1, D=0, x0=2, y0=4, z0=-7.

   Bir değişiklik yapalım:

   $$ p = \frac( |0 \cdot 2 + 0 \cdot 4 + 1 \cdot (-7)) + 0| )( \sqrt((0^2 + 0^2 + 1^2)) ) = 7$$

   Cevap:
4. Düzlem, A1 (0;2;1), B1(2;6;1), C1(4;0;-1) dikdörtgen sistemindeki koordinatlara sahip üç noktadan oluşan bir referans noktasıyla belirlenir. M (5;-3;10) koordinatlarına sahip noktanın ondan ne kadar uzakta bulunduğunu belirleyin.
   

   Çözüm:

   Bir noktadan düzleme olan mesafeyi belirlemek için aşağıdaki formülü kullanırız:

   $$ p= \frac( |A \cdot x_0 + B \cdot y_0 + C \cdot z_0 + D| )( sqrt( (A^2 + B^2 + C^2) ) ) $$

   Bunu kullanmak için A1, B1 ve C1 noktaları tarafından tanımlanan düzlemin denklemini türetmeniz gerekir. Bu denklemin genel formu A·x+B·y+C·z+D=0'dır. Düzlem denklemini türetme yöntemlerinden birini (noktaların koordinatları veya bir determinant içeren bir denklem sistemi) kullanarak düzlem denklemini buluruz ve $$2x-y+5z-3=0$$ elde ederiz.

   Denklemin elde edilen katsayılarını ve noktanın koordinatlarını formülde yerine koyalım:

   $$ p = \frac( |A \cdot x_0 + B \cdot y_0 + C \cdot z_0 + D| )( \sqrt( (A^2 + B^2 + C^2) ) ) = \frac( | 2 \cdot 5 - (-3) + 5 \cdot 10 - 3|)( \sqrt( (2^2 + (-1)^2 + 5^2) ) ) = 10,95 $$

   Cevap:
5. 4x-6y-4z+7=0 düzleminden O noktasının koordinat sisteminin orijinine olan mesafeyi bulun.
   

   Verilen:

   $$ x_0 = 0, \quad y_0 = 0, \quad z_0 = 0 $$

   $$ A = 4, \quad B = -6, \quad C = -4, \quad D = 7 $$

   Çözüm:

   Koordinat sisteminin orijininin koordinatları O(0;0;0)'dur. Formülü kullanalım:

   $$ p= \frac( |A \cdot x_0 + B \cdot y_0 + C \cdot z_0 + D| )( sqrt( (A^2 + B^2 + C^2) ) ) $$ Uçak için $$4 x-6y-4z+7=0$$,

   $$ A=4, $$
   $$ B=-6, $$
   $$ C=-4, $$
   $$D=7. $$

   Değerleri yerine koyalım:

   $$ p = \frac( |A \cdot x_0 + B \cdot y_0 + C \cdot z_0 + D| )( \sqrt( (A^2 + B^2 + C^2) ) ) = \frac( | 4 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - 4 \cdot 0 + 7|)( \sqrt( (4^2 + (-6)^2 + (-4)^2) ) ) = 0,85 $$

   Cevap:

Bu makale bir noktadan bir düzleme olan mesafenin belirlenmesinden bahsediyor. Üç boyutlu uzayda belirli bir noktaya olan mesafeyi bulmamızı sağlayacak koordinat yöntemini kullanarak bunu analiz edelim. Bunu güçlendirmek için çeşitli görev örneklerine bakalım.

Bir noktadan bir düzleme olan mesafe, bir noktadan bir noktaya bilinen mesafe kullanılarak bulunur; bunlardan biri verilir, diğeri ise belirli bir düzleme izdüşümdür.

Uzayda χ düzlemli bir M1 noktası belirtildiğinde, bu noktadan düzleme dik bir düz çizgi çizilebilir. H 1 bunların ortak kesişme noktasıdır. Bundan, M 1 H 1 parçasının, M 1 noktasından χ düzlemine çizilen bir dik olduğunu, burada H 1 noktasının dikmenin tabanı olduğunu elde ederiz.

Tanım 1

Belirli bir noktadan belirli bir noktaya çizilen dikmenin tabanına olan mesafeyi adlandırın Verilen uçak.

Tanım farklı formülasyonlarla yazılabilir.

Tanım 2

Noktadan düzleme uzaklık belirli bir noktadan belirli bir düzleme çizilen dikmenin uzunluğudur.

M1 noktasından χ düzlemine olan mesafe şu şekilde belirlenir: M1 noktasından χ düzlemine olan mesafe, belirli bir noktadan düzlemdeki herhangi bir noktaya kadar en küçük olacaktır. H 2 noktası χ düzleminde bulunuyorsa ve H 2 noktasına eşit değilse, o zaman şunu elde ederiz: dik üçgen M 2 H 1 H 2 yazın M 2 H 1, M 2 H 2 bacağının bulunduğu dikdörtgen olan – hipotenüs. Bu şu anlama gelir: M 1 H 1< M 1 H 2 . Тогда отрезок М 2 H 1 M1 noktasından χ düzlemine çizilen eğimli kabul edilir. Belirli bir noktadan düzleme çizilen dikmenin, o noktadan belirli düzleme çizilen eğik çizgiden küçük olduğunu biliyoruz. Aşağıdaki şekilde bu duruma bakalım.

Bir noktadan düzleme olan mesafe - teori, örnekler, çözümler

Bir numara var geometrik problemlerÇözümleri noktadan düzleme olan mesafeyi içermelidir. Bunu tanımlamanın farklı yolları olabilir. Çözmek için Pisagor teoremini veya üçgenlerin benzerliğini kullanın. Koşula göre, üç boyutlu uzayın dikdörtgen koordinat sisteminde verilen bir noktadan bir düzleme olan mesafeyi hesaplamak gerektiğinde, koordinat yöntemi ile çözülür. Bu paragrafta bu yöntem anlatılmaktadır.

Sorunun koşullarına göre, üç boyutlu uzayda M 1 (x 1, y 1, z 1) koordinatlarına sahip bir χ düzlemine sahip bir nokta verilmiştir; M 1'den mesafeyi belirlemek gerekir; düzlem χ. Bu sorunun çözümü için çeşitli çözüm yöntemleri kullanılmaktadır.

İlk yol

Bu yöntem, M1 noktasından χ düzlemine dik olanın tabanı olan H1 noktasının koordinatlarını kullanarak bir noktadan bir düzleme olan mesafeyi bulmaya dayanmaktadır. Daha sonra M 1 ile H 1 arasındaki mesafeyi hesaplamanız gerekir.

Sorunu ikinci şekilde çözmek için şunu kullanın: normal denklem verilen uçak.

İkinci yol

Koşul olarak, H1'in, M1 noktasından χ düzlemine indirilen dikin tabanı olduğunu biliyoruz. Daha sonra H 1 noktasının koordinatlarını (x 2, y 2, z 2) belirleriz. M 1'den χ düzlemine gerekli mesafe M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2 formülü ile bulunur, burada M 1 (x 1, y 1, z 1) ve H 1 (x 2, y 2, z 2). Çözmek için H 1 noktasının koordinatlarını bilmeniz gerekir.

H1'in, χ düzleminin, χ düzlemine dik olarak yerleştirilmiş M1 noktasından geçen a çizgisi ile kesişme noktası olduğunu biliyoruz. Belirli bir düzleme dik olarak belirli bir noktadan geçen düz bir çizgi için bir denklem derlemenin gerekli olduğu sonucu çıkar. İşte o zaman H 1 noktasının koordinatlarını belirleyebileceğiz. Doğrunun ve düzlemin kesişme noktasının koordinatlarını hesaplamak gerekir.

M 1 (x 1, y 1, z 1) koordinatlarına sahip bir noktadan χ düzlemine olan mesafeyi bulma algoritması:

Tanım 3

• M 1 noktasından geçen ve aynı zamanda bir düz çizgi a denklemi çizin
• χ düzlemine dik;
• H 1 noktasının nokta olan koordinatlarını (x 2 , y 2 , z 2) bulun ve hesaplayın
• a düz çizgisinin χ düzlemiyle kesişimi;
• M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + z 2 - z 1 2 formülünü kullanarak M 1 ile χ arasındaki mesafeyi hesaplayın.

Üçüncü yol

Belirli bir dikdörtgen koordinat sisteminde O x y z bir χ düzlemi vardır, o zaman cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0 formundaki düzlemin normal bir denklemini elde ederiz. Buradan, M 1 H 1 = cos α x + cos β y + cos formülüyle hesaplanan, χ düzlemine çizilen M 1 (x 1 , y 1 , z 1) noktasıyla M 1 H 1 mesafesinin elde edildiğini elde ederiz. γ z - p . Bu formül teorem sayesinde oluşturulduğu için geçerlidir.

Teorem

M 1 (x 1 , y 1 , z 1) noktası verilmişse üç boyutlu uzay, cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0 formundaki χ düzleminin normal bir denklemine sahip olduğunda, noktadan M 1 H 1 düzlemine olan mesafe M formülünden hesaplanır. 1 H 1 = çünkü α · x + çünkü β · y + çünkü γ · z - p, çünkü x = x 1, y = y 1, z = z 1.

Kanıt

Teoremin kanıtı bir noktadan bir çizgiye olan mesafeyi bulmakla ilgilidir. Bundan, M1'den χ düzlemine olan mesafenin, M1 yarıçap vektörünün sayısal izdüşümü ile orijinden χ düzlemine olan mesafe arasındaki farkın modülü olduğunu elde ederiz. Daha sonra M 1 H 1 = n p n → O M → - p ifadesini elde ederiz. χ düzleminin normal vektörü n → = cos α, cos β, cos γ formuna sahiptir ve uzunluğu bire eşittir, n p n → Ö M → O M → = (x 1, y 1) vektörünün sayısal izdüşümüdür , z 1) n → vektörünün belirlediği yönde.

Hesaplama formülünü uygulayalım skaler vektörler. Daha sonra n → , O M → = n → · n p n → Ö M → = 1 · n p n → Ö M → = n p n → Ö M → biçiminde bir vektör bulmak için bir ifade elde ederiz, çünkü n → = cos α, cos β, cos γ · z ve Ö M → = (x 1 , y 1 , z 1) . Kaydın koordinat biçimi şu şekilde olacaktır: n → , O M → = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1, sonra M 1 H 1 = n p n → O M → - p = cos α · x 1 + çünkü β · y 1 + çünkü γ · z 1 - p . Teorem kanıtlandı.

Buradan M 1 (x 1, y 1, z 1) noktasından χ düzlemine olan mesafenin cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0 yerine konulmasıyla hesaplandığını anlıyoruz. düzlemin normal denkleminin sol tarafında x, y, z koordinatları yerine x 1, y 1 ve z1, M 1 noktasına ilişkin olarak elde edilen değerin mutlak değerini alır.

Koordinatlı bir noktadan belirli bir düzleme olan mesafeyi bulma örneklerine bakalım.

Örnek 1

M 1 (5, - 3, 10) koordinatlı noktadan 2 x - y + 5 z - 3 = 0 düzlemine olan mesafeyi hesaplayın.

Çözüm

Sorunu iki şekilde çözelim.

İlk yöntem a doğrusunun yön vektörünün hesaplanmasıyla başlar. Koşul gereği, verilen 2 x - y + 5 z - 3 = 0 denkleminin genel bir düzlem denklemi olduğu ve n → = (2, - 1, 5)'in verilen düzlemin normal vektörü olduğu elimizdedir. Belirli bir düzleme dik olan bir düz çizginin yön vektörü olarak kullanılır. M 1 (5, - 3, 10) 'den geçen uzaydaki bir çizginin kanonik denklemini 2, - 1, 5 koordinatlarına sahip bir yön vektörüyle yazmak gerekir.

Denklem x - 5 2 = y - (- 3) - 1 = z - 10 5 ⇔ x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5 olacaktır.

Kesişme noktaları belirlenmelidir. Bunu yapmak için, kanonikten kesişen iki çizginin denklemlerine geçmek için denklemleri yavaşça bir sistemde birleştirin. Bu noktayı H 1 olarak alalım. Bunu anlıyoruz

x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5 ⇔ - 1 · (x - 5) = 2 · (y + 3) 5 · (x - 5) = 2 · (z - 10) 5 · ( y + 3) = - 1 · (z - 10) ⇔ ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

Bundan sonra sistemi etkinleştirmeniz gerekir

x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3

Gauss sistemi çözüm kuralına dönelim:

1 2 0 - 1 5 0 - 2 5 2 - 1 5 3 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 - 5 5 5 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 0 6 0 ⇒ ⇒ z = 0 6 = 0, y = - 1 10 10 + 2 z = - 1, x = - 1 - 2 y = 1

Bunu H 1(1, - 1, 0) olarak elde ederiz.

Belirli bir noktadan düzleme olan mesafeyi hesaplıyoruz. M 1 (5, - 3, 10) ve H 1 (1, - 1, 0) noktalarını alıyoruz ve şunu elde ediyoruz:

M 1 H 1 = (1 - 5) 2 + (- 1 - (- 3)) 2 + (0 - 10) 2 = 2 30

İkinci çözüm ise öncelikle verilen 2 x - y + 5 z - 3 = 0 denklemini normal forma getirmektir. Normalleştirme faktörünü belirliyoruz ve 1 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 1 30 elde ediyoruz. Buradan 2 30 · x - 1 30 · y + 5 30 · z - 3 30 = 0 düzleminin denklemini türetiyoruz. Denklemin sol tarafı x = 5, y = - 3, z = 10 değiştirilerek hesaplanır ve M 1 (5, - 3, 10) ile 2 x - y + 5 z - arasındaki mesafeyi almanız gerekir. 3 = 0 modülo. Şu ifadeyi elde ederiz:

M 1 H 1 = 2 30 5 - 1 30 - 3 + 5 30 10 - 3 30 = 60 30 = 2 30

Cevap: 2 30.

χ düzlemi, bir düzlem belirleme yöntemleri bölümündeki yöntemlerden biri ile belirlendiğinde, öncelikle χ düzleminin denklemini elde etmeniz ve herhangi bir yöntemi kullanarak gerekli mesafeyi hesaplamanız gerekir.

Örnek 2

Üç boyutlu uzayda M 1 (5, - 3, 10), A (0, 2, 1), B (2, 6, 1), C (4, 0, - 1) koordinatlarına sahip noktalar belirtilir. M 1'den A B C düzlemine olan mesafeyi hesaplayın.

Çözüm

Öncelikle M 1 (5, - 3, 10), A (0, 2, 1), B (2, 6, 1), C ( koordinatlarına sahip verilen üç noktadan geçen düzlemin denklemini yazmanız gerekir. 4, 0, - 1) .

x - 0 y - 2 z - 1 2 - 0 6 - 2 1 - 1 4 - 0 0 - 2 - 1 - 1 = 0 ⇔ x y - 2 z - 1 2 4 0 4 - 2 - 2 = 0 ⇔ ⇔ - 8 x + 4 y - 20 z + 12 = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0

Sorunun öncekine benzer bir çözümü olduğu sonucu çıkıyor. Bu, M 1 noktasından A B C düzlemine olan mesafenin 2 30 değerine sahip olduğu anlamına gelir.

Cevap: 2 30.

Bir düzlemdeki belirli bir noktadan veya paralel oldukları bir düzleme olan mesafeyi bulmak, M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p formülünü uygulayarak daha uygundur. . Bundan, düzlemlerin normal denklemlerinin birkaç adımda elde edildiğini elde ederiz.

Örnek 3

M 1 (- 3, 2, - 7) koordinatlarına sahip belirli bir noktadan O x y z koordinat düzlemine ve 2 y - 5 = 0 denklemiyle verilen düzleme olan mesafeyi bulun.

Çözüm

O y z koordinat düzlemi x = 0 formundaki bir denkleme karşılık gelir. O y z düzlemi için bu normaldir. Bu nedenle ifadenin sol tarafına x = - 3 değerlerini koymak ve M 1 (- 3, 2, - 7) koordinatlı noktadan düzleme olan mesafenin mutlak değerini almak gerekir. - 3 = 3'e eşit bir değer elde ediyoruz.

Dönüşüm sonrasında 2 y - 5 = 0 düzleminin normal denklemi y - 5 2 = 0 formunu alacaktır. Daha sonra M 1 (- 3, 2, - 7) koordinatlı noktadan 2 y - 5 = 0 düzlemine kadar gerekli mesafeyi bulabilirsiniz. Yerine koyup hesapladığımızda 2 - 5 2 = 5 2 - 2 elde ederiz.

Cevap: M 1'den (- 3, 2, - 7) O y z'ye gerekli mesafe 3 değerine ve 2 y - 5 = 0'a 5 2 - 2 değerine sahiptir.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Gizliliğinizin korunması bizim için önemlidir. Bu nedenle bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik uygulamalarımızı inceleyin ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.

Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması

Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya onunla iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.

Bizimle iletişime geçtiğinizde istediğiniz zaman kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.

Aşağıda toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.

Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:

• Siteye bir başvuru gönderdiğinizde adınız, telefon numaranız, e-posta adresiniz vb. dahil olmak üzere çeşitli bilgiler toplayabiliriz.

Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:

• Tarafımızca toplandı kişisel bilgiler sizinle iletişim kurmamıza ve benzersiz teklifler, promosyonlar, diğer etkinlikler ve yaklaşan etkinlikler hakkında sizi bilgilendirmemize olanak tanır.
• Zaman zaman kişisel bilgilerinizi önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kullanabiliriz.
• Kişisel bilgileri, sunduğumuz hizmetleri geliştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili tavsiyeler sunmak amacıyla denetimler, veri analizi ve çeşitli araştırmalar yapmak gibi şirket içi amaçlarla da kullanabiliriz.
• Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir promosyona katılırsanız, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.

Bilgilerin üçüncü şahıslara açıklanması

Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara açıklamıyoruz.

İstisnalar:

• Gerekirse - yasaya, adli prosedüre uygun olarak, yasal işlemlerde ve/veya kamunun talepleri veya Rusya Federasyonu'ndaki devlet kurumlarının talepleri temelinde - kişisel bilgilerinizi ifşa etmek. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu önemi amaçları açısından gerekli veya uygun olduğunu tespit edersek, hakkınızdaki bilgileri de açıklayabiliriz.
• Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda topladığımız kişisel bilgileri ilgili halef üçüncü tarafa aktarabiliriz.

Kişisel bilgilerin korunması

Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişime, ifşa edilmeye, değiştirilmeye ve imhaya karşı korumak için idari, teknik ve fiziksel önlemler alıyoruz.

Şirket düzeyinde gizliliğinize saygı duymak

Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için gizlilik ve güvenlik standartlarını çalışanlarımıza aktarıyor ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.

Bir noktadan bir düzleme olan mesafeyi bulma - ortak görevÖrneğin, analitik geometrinin çeşitli problemlerini çözerken ortaya çıkan bu problem, kesişen iki düz çizgi arasındaki veya bir düz çizgi ile ona paralel bir düzlem arasındaki mesafeyi bulmaya indirgenebilir.

$β$ düzlemini ve $(x_0;y_0; z_0)$ koordinatlarına sahip, $β$ düzlemine ait olmayan bir $M_0$ noktasını düşünün.

Tanım 1

Bir nokta ile bir düzlem arasındaki en kısa mesafe, $M_0$ noktasından $β$ düzlemine çizilen dikme olacaktır.

Şekil 1. Bir noktadan düzleme olan mesafe. Author24 - öğrenci çalışmalarının çevrimiçi değişimi

Aşağıda koordinat yöntemini kullanarak bir noktadan bir düzleme olan mesafenin nasıl bulunacağını tartışıyoruz.

Uzaydaki bir noktadan bir düzleme olan mesafeyi bulmanın koordinat yöntemi için formülün türetilmesi

$M_0$ noktasından $β$ düzlemini $M_1$ noktasında $(x_1;y_1; z_1)$ koordinatlarıyla kesen bir dikme, yön vektörü $β$ düzleminin normal vektörü olan bir düz çizgi üzerinde yer alır. Bu durumda $n$ birim vektörünün uzunluğu bire eşittir. Buna göre, $β$ noktasından $M_0$ noktasına olan mesafe şöyle olacaktır:

$ρ= |\vec(n) \cdot \vec(M_1M_0)|\left(1\right)$, burada $\vec(M_1M_0)$ $β$ düzleminin normal vektörüdür ve $\vec( n)$, söz konusu düzlemin birim normal vektörüdür.

Düzlemin denkleminin $Ax+ By + Cz + D=0$ genel formunda verilmesi durumunda, düzlemin normal vektörünün koordinatları $\(A;B;C\) denkleminin katsayılarıdır. )$ ve bu durumda birim normal vektör aşağıdaki denklem kullanılarak hesaplanan koordinatlara sahiptir:

$\vec(n)= \frac(\(A;B;C\))(\sqrt(A^2 + B^2 + C^2))\left(2\right)$.

Artık $\vec(M_1M_0)$ normal vektörünün koordinatlarını bulabiliriz:

$\vec(M_0M_1)= \(x_0 – x_1;y_0-y_1;z_0-z_1\)\left(3\right)$.

Ayrıca $D$ katsayısını $β$ düzleminde yer alan bir noktanın koordinatlarını kullanarak da ifade ederiz:

$D= Ax_1+By_1+Cz_1$

$(2)$ eşitliğinden birim normal vektörün koordinatları $β$ düzleminin denkleminde yerine konulabilir, o zaman şunu elde ederiz:

$ρ= \frac(|A(x_0 -x_1) + B(y_0-y_1)+C(z_0-z_1)|)(\sqrt(A^2+B^2+C^2))= \frac( |Ax_0+ By_0 + Cz_0-(Ax_1+By_1+Cz_1)|)(\sqrt(A^2+B^2+C^2)) = \frac(Ax_0+ By_0 + Cz_0 + D)(\sqrt(A^2) +B^2+C^2))\left(4\right)$

Eşitlik $(4)$, uzaydaki bir noktanın bir düzleme olan mesafesini bulmak için kullanılan bir formüldür.

$M_0$ noktasından bir düzleme olan mesafeyi bulmak için genel algoritma

1. Düzlemin denklemi genel formda verilmemişse, öncelikle onu genel forma indirgemek gerekir.
2. Bundan sonra, düzlemin genel denkleminden, belirli bir düzlemin $M_0$ noktasından ve belirli bir düzleme ait bir noktadan geçen normal vektörünü ifade etmek gerekir; bunun için $(3)$ eşitliğini kullanmamız gerekir; .
3. Bir sonraki aşama $(2)$ formülünü kullanarak düzlemin birim normal vektörünün koordinatlarını aramaktır.
4. Son olarak, bir noktadan bir düzleme olan mesafeyi bulmaya başlayabilirsiniz, bu hesaplanarak yapılır. nokta çarpım$\vec(n)$ ve $\vec(M_1M_0)$ vektörleri.

, Yarışma "Ders Sunumu"

Sınıf: 11

Ders için sunum

Geri İleri

Dikkat! Slayt önizlemeleri yalnızca bilgilendirme amaçlıdır ve sunumun tüm özelliklerini temsil etmeyebilir. Bu çalışmayla ilgileniyorsanız, lütfen tam sürümünü indirin.

Hedefler:

• öğrencilerin bilgi ve becerilerinin genelleştirilmesi ve sistemleştirilmesi;
• analiz etme, karşılaştırma, sonuç çıkarma becerilerinin geliştirilmesi.

Teçhizat:

• multimedya projektörü;
• bilgisayar;
• sorunlu metinlerin bulunduğu sayfalar

SINIFIN İLERLEMESİ

I. Organizasyon anı

II. Bilgi güncelleme aşaması(slayt 2)

Bir noktadan düzleme olan mesafenin nasıl belirlendiğini tekrarlıyoruz

III. Ders(3-15 arası slaytlar)

Sınıfta bakacağız çeşitli yollar Bir noktadan bir düzleme olan mesafeyi bulmak.

İlk yöntem: adım adım hesaplamalı

M noktasından α düzlemine olan mesafe:
- M noktasından geçen ve a düzlemine paralel olan, düz bir a çizgisi üzerinde bulunan keyfi bir P noktasından α düzlemine olan mesafeye eşit;
– M noktasından geçen ve α düzlemine paralel olan β düzlemi üzerinde bulunan keyfi bir P noktasından α düzlemine olan mesafeye eşittir.

Aşağıdaki sorunları çözeceğiz:

№1. A...D 1 küpünde, C 1 noktasından AB 1 C düzlemine olan mesafeyi bulun.

O 1 N segmentinin uzunluğunun değerini hesaplamak için kalır.

№2. Tüm kenarları 1'e eşit olan düzenli bir altıgen A...F 1 prizmasında, A noktasından DEA 1 düzlemine olan mesafeyi bulun.

Sonraki yöntem: hacim yöntemi.

ABCM piramidinin hacmi V'ye eşitse, M noktasından ∆ABC'yi içeren α düzlemine olan mesafe ρ(M; α) = ρ(M; ABC) = formülüyle hesaplanır.
Problemleri çözerken, bir rakamın iki farklı şekilde ifade edilen hacimlerinin eşitliğini kullanırız.

Aşağıdaki problemi çözelim:

№3. DABC piramidinin AD kenarı ABC taban düzlemine diktir. Eğer A'dan AB, AC ve AD kenarlarının orta noktalarından geçen düzleme olan mesafeyi bulun.

Sorunları çözerken koordinat yöntemi M noktasından α düzlemine olan mesafe, ρ(M; α) = formülü kullanılarak hesaplanabilir. , burada M(x 0; y 0; z 0) ve düzlem ax + by + cz + d = 0 denklemiyle verilir

Aşağıdaki problemi çözelim:

№4. Birim küp A...D 1'de, A 1 noktasından BDC 1 düzlemine olan mesafeyi bulun.

Başlangıç ​​noktası A noktası olan bir koordinat sistemi tanıtalım; y ekseni AB kenarı boyunca, x ekseni AD kenarı boyunca ve z ekseni AA 1 kenarı boyunca ilerleyecektir. Daha sonra B (0; 1; 0) D (1; 0; 0;) C 1 (1; 1; 1) noktalarının koordinatları
B, D, C 1 noktalarından geçen bir düzlem için denklem oluşturalım.

O halde – dx – dy + dz + d = 0 x + y – z – 1= 0. Dolayısıyla ρ =

Bu tür problemleri çözmek için kullanılabilecek aşağıdaki yöntem: Destek problemlerinin yöntemi.

Bu yöntemin uygulanması, teoremler halinde formüle edilen bilinen referans problemlerinin kullanılmasından oluşur.

Aşağıdaki problemi çözelim:

№5. Birim küp A...D 1'de, D 1 noktasından AB 1 C düzlemine olan mesafeyi bulun.

Başvuruyu değerlendirelim vektör yöntemi.

№6. Birim küp A...D 1'de, A 1 noktasından BDC 1 düzlemine olan mesafeyi bulun.

Bu tür sorunları çözmek için kullanılabilecek çeşitli yöntemlere baktık. Bir yöntemin veya diğerinin seçimi, belirli göreve ve tercihlerinize bağlıdır.

IV. Grup çalışması

Sorunu farklı şekillerde çözmeye çalışın.

№1. A...D 1 küpünün kenarı eşittir. C köşesinden BDC 1 düzlemine olan mesafeyi bulun.

№2. Bir kenarı olan düzgün bir ABCD dörtyüzlüde, A noktasından BDC düzlemine olan mesafeyi bulun.

№3. Tüm kenarları 1'e eşit olan normal bir ABCA 1 B 1 C 1 üçgen prizmasında, A'dan BCA 1 düzlemine olan mesafeyi bulun.

№4. Tüm kenarları 1'e eşit olan düzenli bir dörtgen piramit SABCD'de, A'dan SCD düzlemine olan mesafeyi bulun.

V. Ders özeti, Ev ödevi, refleks