Hipotenüse indirilen bir dik üçgenin yüksekliği eşittir. Sağ üçgen

Sağ üçgen - bu, açılardan birinin düz, yani 90 dereceye eşit olduğu bir üçgendir.

• Dik açının karşısındaki kenara hipotenüs adı verilir (şekilde gösterilen şekilde) C veya AB)
• Dik açıya bitişik olan tarafa bacak denir. Her dik üçgenin iki bacağı vardır (şekilde bunlar şu şekilde gösterilmiştir: A ve b veya AC ve BC)

Dik üçgenin formülleri ve özellikleri

Formül tanımları:

(yukarıdaki resme bakın)

a, b- bir dik üçgenin bacakları

C- hipotenüs

α, β - bir üçgenin dar açıları

S- kare

H- üstten yükseklik düşürüldü dik açı hipotenüse

anne A karşı köşeden ( α )

m b- orta refüj yana çekilmiş B karşı köşeden ( β )

m c- orta refüj yana çekilmiş C karşı köşeden ( γ )

İÇİNDE dik üçgen bacaklardan herhangi biri hipotenüsten küçükse(Formül 1 ve 2). Bu özellik Pisagor teoreminin bir sonucudur.

Herhangi bir akut açının kosinüsü birden az (Formül 3 ve 4). Bu özellik öncekinin devamıdır. Bacakların herhangi biri hipotenüsten küçük olduğundan, bacağın hipotenüse oranı her zaman birden küçüktür.

Hipotenüsün karesi toplamına eşit bacakların kareleri (Pisagor teoremi). (Formül 5). Bu özellik problem çözerken sürekli olarak kullanılır.

Dik üçgenin alanı bacakların çarpımının yarısına eşit (Formül 6)

Kare medyanların toplamı bacaklara eşittir, ortancanın hipotenüsün beş karesine ve hipotenüsün beş karesinin dörde bölünmesine eşittir (Formül 7). Yukarıdakilere ek olarak, 5 formül daha bu nedenle medyanın özelliklerini daha ayrıntılı olarak anlatan “Dik Üçgenin Medyanı” dersini de okumanız önerilir.

Yükseklik Bir dik üçgenin uzunluğu, bacakların çarpımının hipotenüse bölünmesine eşittir (Formül 8)

Bacakların kareleri, hipotenüse indirilen yüksekliğin karesiyle ters orantılıdır (Formül 9). Bu özdeşlik aynı zamanda Pisagor teoreminin sonuçlarından biridir.

Hipotenüs uzunluğuçevrelenen dairenin çapına (iki yarıçap) eşittir (Formül 10). Bir dik üçgenin hipotenüsü çevrel çemberin çapıdır. Bu özellik genellikle problem çözmede kullanılır.

Yazılı yarıçap V dik üçgen daire Bu üçgenin bacaklarının toplamından hipotenüsün uzunluğunun çıkarılmasıyla elde edilen ifadenin yarısı kadar bulunabilir. Veya bacakların çarpımının belirli bir üçgenin tüm kenarlarının (çevresinin) toplamına bölünmesiyle elde edilir. (Formül 11)
Açının sinüsü tam tersiyle ilişki bu açı Bacaktan hipotenüse(sinüs tanımı gereği). (Formül 12). Bu özellik problem çözerken kullanılır. Kenarların boyutlarını bilerek oluşturdukları açıyı bulabilirsiniz.

Bir dik üçgende A açısının (α, alfa) kosinüsü şuna eşit olacaktır: davranış bitişik bu açı Bacaktan hipotenüse(sinüs tanımı gereği). (Formül 13)

Aslında her şey o kadar da korkutucu değil. Elbette yazıda sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantın “gerçek” tanımına da bakmak gerekir. Ama gerçekten istemiyorum, değil mi? Sevinebiliriz: Bir dik üçgenle ilgili problemleri çözmek için aşağıdaki basit şeyleri doldurmanız yeterlidir:

Peki ya açı? Köşenin karşısında bir bacak var mı, yani karşıt (bir açı için) bacak var mı? Elbette var! Bu bir bacak!

Peki ya açı? Dikkatlice bakın. Hangi bacak köşeye bitişik? Tabii ki bacak. Bu, bacağın bitişik olduğu açı için ve

Şimdi dikkat edin! Bakın elimizde ne var:

Ne kadar havalı olduğunu görün:

Şimdi teğet ve kotanjanta geçelim.

Şimdi bunu kelimelerle nasıl yazabilirim? Açıya göre bacak nedir? Elbette karşısında - köşenin karşısında "yalan söylüyor". Peki ya bacak? Köşeye bitişik. Peki elimizde ne var?

Pay ve paydanın nasıl yer değiştirdiğini gördünüz mü?

Ve şimdi yine köşeleri değiştirdik ve bir takas yaptık:

Sürdürmek

Öğrendiğimiz her şeyi kısaca yazalım.

Pisagor teoremi:

Dik üçgenlerle ilgili ana teorem Pisagor teoremidir.

Pisagor teoremi

Bu arada, bacakların ve hipotenüsün ne olduğunu iyi hatırlıyor musun? Çok iyi değilse resme bakın - bilginizi tazeleyin

Pisagor teoremini zaten birçok kez kullanmış olmanız oldukça muhtemeldir, ancak böyle bir teoremin neden doğru olduğunu hiç merak ettiniz mi? Bunu nasıl kanıtlayabilirim? Antik Yunanlılar gibi yapalım. Kenarı olan bir kare çizelim.

Kenarlarını ne kadar akıllıca uzunluk parçalarına ayırdığımızı görün ve!

Şimdi işaretli noktaları birleştirelim

Ancak burada başka bir şeye dikkat çektik, ancak siz çizime bakıyorsunuz ve bunun neden böyle olduğunu düşünüyorsunuz.

Büyük karenin alanı nedir?

Sağ, .

Daha küçük bir alana ne dersiniz?

Kesinlikle, .

Dört köşenin toplam alanı kalır. Bunları ikişer ikişer alıp hipotenüsleriyle birbirlerine yasladığımızı hayal edin.

Ne oldu? İki dikdörtgen. Bu, “kesiklerin” alanının eşit olduğu anlamına gelir.

Şimdi hepsini bir araya getirelim.

Haydi dönüştürelim:

Böylece Pisagor'u ziyaret ettik; onun teoremini eski bir yöntemle kanıtladık.

Dik üçgen ve trigonometri

Bir dik üçgen için aşağıdaki ilişkiler geçerlidir:

Sinüs dar açı orana eşit hipotenüsün karşı tarafı

Dar bir açının kosinüsü şu orana eşittir: bitişik bacak hipotenüse.

Bir dar açının tanjantı karşı kenarın komşu kenara oranına eşittir.

Bir dar açının kotanjantı, komşu kenarın karşı kenara oranına eşittir.

Ve bir kez daha tüm bunlar bir tablet biçiminde:

Çok uygun!

Dik üçgenlerin eşitliğinin işaretleri

I. İki tarafta

II. Bacak ve hipotenüse göre

III. Hipotenüs ve dar açıya göre

IV. Bacak boyunca ve dar açı

A)

B)

Dikkat! Burada bacakların “uygun” olması çok önemlidir. Örneğin, eğer şu şekilde giderse:

O halde ÜÇGENLER EŞİT DEĞİLDİR aynı dar açıya sahip olmalarına rağmen.

Bu gerekli her iki üçgende de bacak bitişikti veya her ikisinde de zıttı.

Dik üçgenlerin eşitlik işaretlerinin, üçgenlerin eşitlik işaretlerinden ne kadar farklı olduğunu fark ettiniz mi?

Konuya bakın ve “sıradan” üçgenlerin eşitliği için elemanlarından üçünün eşit olması gerektiğine dikkat edin: iki kenar ve aralarındaki açı, iki açı ve aralarındaki kenar veya üç kenar.

Ancak dik üçgenlerin eşitliği için yalnızca karşılık gelen iki öğe yeterlidir. Harika, değil mi?

Dik üçgenlerin benzerlik işaretleri ile durum yaklaşık olarak aynıdır.

Dik üçgenlerin benzerlik belirtileri

I. Dar bir açı boyunca

II. İki tarafta

III. Bacak ve hipotenüse göre

Dik üçgende medyan

Bu neden böyle?

Dik üçgen yerine tam bir dikdörtgen düşünün.

Bir köşegen çizelim ve bir nokta düşünelim; köşegenlerin kesişme noktası. Dikdörtgenin köşegenleri hakkında ne biliniyor?

Peki bundan ne sonuç çıkıyor?

Böylece ortaya çıktı

1. - medyan:

Bu gerçeği unutmayın! Çok yardımcı oluyor!

Daha da şaşırtıcı olan ise bunun tam tersinin de geçerli olmasıdır.

Hipotenüse çizilen medyanın hipotenüsün yarısına eşit olmasından ne gibi bir fayda elde edilebilir? Hadi resme bakalım

Dikkatlice bakın. Elimizde: , yani noktadan üçgenin üç köşesine olan mesafelerin eşit olduğu ortaya çıktı. Ancak üçgende üçgenin üç köşesine de mesafeleri eşit olan tek bir nokta vardır ve bu da ÇEMBERİN MERKEZİdir. Peki ne oldu?

Şu "ayrıca..." ile başlayalım.

Şimdi ve'ye bakalım.

Ancak benzer üçgenlerin tüm açıları eşittir!

Aynı şey hakkında da söylenebilir ve

Şimdi birlikte çizelim:

Bu “üçlü” benzerlikten ne gibi faydalar elde edilebilir?

Mesela - Dik üçgenin yüksekliği için iki formül.

İlgili tarafların ilişkilerini yazalım:

Yüksekliği bulmak için orantıyı çözeriz ve şunu elde ederiz: ilk formül "Dik üçgende yükseklik":

Artık bu bilgiyi uygulayarak ve başkalarıyla birleştirerek, dik üçgenle ilgili her türlü sorunu çözeceksiniz!

O halde benzerliği uygulayalım: .

Şimdi ne olacak?

Yine orantıyı çözüyoruz ve ikinci formülü elde ediyoruz:

Bu formüllerin ikisini de çok iyi hatırlamanız ve size hangisi daha uygunsa onu kullanmanız gerekiyor.

Tekrar yazalım

Pisagor teoremi:

Bir dik üçgende hipotenüsün karesi, dik kenarların karelerinin toplamına eşittir: .

Dik üçgenlerin eşitliğinin işaretleri:

• iki tarafta:
• bacak ve hipotenüse göre: veya
• bacak boyunca ve bitişik dar açı boyunca: veya
• bacak boyunca ve karşıt dar açıda: veya
• hipotenüs ve dar açıya göre: veya.

Dik üçgenlerin benzerlik işaretleri:

• bir akut köşe: veya
• iki bacağın orantılılığından:
• bacağın ve hipotenüsün orantılılığından: veya.

Bir dik üçgende sinüs, kosinüs, teğet, kotanjant

• Bir dik üçgenin dar açısının sinüsü, karşı tarafın hipotenüse oranıdır:
• Bir dik üçgenin dar açısının kosinüsü, bitişik kenarın hipotenüse oranıdır:
• Bir dik üçgenin dar açısının tanjantı, karşı tarafın bitişik kenara oranıdır:
• Bir dik üçgenin dar açısının kotanjantı, komşu kenarın karşı kenara oranıdır: .

Bir dik üçgenin yüksekliği: veya.

Bir dik üçgende dik açının tepe noktasından çizilen kenarortay hipotenüsün yarısına eşittir: .

Dik üçgenin alanı:

• bacaklar aracılığıyla:

(ABC) ve şekilde sunulan özellikleri. Bir dik üçgenin hipotenüsü vardır - dik açının karşısında yer alan taraf.

İpucu 1: Dik üçgenin yüksekliğini nasıl bulabilirim?

Dik açı oluşturan kenarlara bacak denir. Resimde yanlar görünüyor AD, DC ve BD, DC- bacaklar ve yanlar klima Ve kuzeydoğu- hipotenüs.

Teorem 1. Açısı 30° olan bir dik üçgende, bu açının karşısındaki kenar hipotenüsün yarısını kıracaktır.

hC

AB- hipotenüs;

Reklam Ve DВ

Üçgen
Bir teorem var:
yorum sistemi CACKLe

Çözüm: 1) Herhangi bir dikdörtgenin köşegenleri eşittir Doğru 2) Bir üçgenin bir dar açısı varsa bu üçgen dardır. Doğru değil. Üçgen türleri. Bir üçgenin üç açısı da dar ise, yani 90°'den küçükse, dar üçgen olarak adlandırılır. 3) Nokta, üzerinde bulunuyorsa.

Veya başka bir girişte,

Pisagor teoremine göre

Dik üçgenin yüksekliğinin formülü nedir?

Bir dik üçgenin yüksekliği

Hipotenüse çizilen bir dik üçgenin yüksekliği, problem tanımındaki verilere bağlı olarak şu veya bu şekilde bulunabilir.

Veya başka bir girişte,

BK ve KC, bacakların hipotenüse (yüksekliğin hipotenüsü böldüğü bölümler) izdüşümleridir.

Hipotenüse olan yükseklik, dik üçgenin alanı aracılığıyla bulunabilir. Bir üçgenin alanını bulmak için formülü uygularsak

(bir kenarın çarpımının yarısı ile bu kenara çizilen yüksekliğin yarısı) hipotenüse ve hipotenüse çizilen yüksekliğe göre şunu elde ederiz:

Buradan yüksekliği üçgenin alanının iki katının hipotenüs uzunluğuna oranı olarak bulabiliriz:

Dik üçgenin alanı bacakların çarpımının yarısına eşit olduğundan:

Yani hipotenüse çizilen yüksekliğin uzunluğu, bacakların çarpımının hipotenüse oranına eşittir. Bacakların uzunluklarını a ve b ile, hipotenüs uzunluğunu ise c ile gösterirsek, formül şu şekilde yeniden yazılabilir:

Bir dik üçgenin çevrel çemberinin yarıçapı hipotenüsün yarısına eşit olduğundan, yüksekliğin uzunluğu çevrel çemberin bacakları ve yarıçapı cinsinden ifade edilebilir:

Hipotenüse çizilen yükseklik iki dik üçgen daha oluşturduğundan uzunluğu dik üçgendeki ilişkilerden bulunabilir.

ABK dik üçgeninden

ACK dik üçgeninden

Bir dik üçgenin yüksekliğinin uzunluğu bacakların uzunlukları cinsinden ifade edilebilir. Çünkü

Pisagor teoremine göre

Denklemin her iki tarafının karesini alırsak:

Bir dik üçgenin yüksekliğini bacaklarıyla ilişkilendirmek için başka bir formül elde edebilirsiniz:

Dik üçgenin yüksekliğinin formülü nedir?

Sağ üçgen. Ortalama seviye.

Gücünüzü test etmek ve Birleşik Devlet Sınavına veya Birleşik Devlet Sınavına ne kadar hazır olduğunuzun sonucunu öğrenmek ister misiniz?

Dik üçgenlerle ilgili ana teorem Pisagor teoremidir.

Pisagor teoremi

Bu arada, bacakların ve hipotenüsün ne olduğunu iyi hatırlıyor musun? Çok iyi değilse resme bakın - bilginizi tazeleyin

Pisagor teoremini zaten birçok kez kullanmış olmanız oldukça muhtemeldir, ancak böyle bir teoremin neden doğru olduğunu hiç merak ettiniz mi? Bunu nasıl kanıtlayabilirim? Antik Yunanlılar gibi yapalım. Kenarı olan bir kare çizelim.

Kenarlarını ne kadar akıllıca uzunluk parçalarına ayırdığımızı görün ve!

Şimdi işaretli noktaları birleştirelim

Ancak burada başka bir şeye dikkat çektik, ancak siz çizime bakıyorsunuz ve bunun neden böyle olduğunu düşünüyorsunuz.

Büyük karenin alanı nedir? Sağ, . Daha küçük bir alana ne dersiniz? Kesinlikle, . Dört köşenin toplam alanı kalır. Bunları ikişer ikişer alıp hipotenüsleriyle birbirlerine yasladığımızı hayal edin. Ne oldu? İki dikdörtgen. Bu, "kesiklerin" alanının eşit olduğu anlamına gelir.

Şimdi hepsini bir araya getirelim.

Böylece Pisagor'u ziyaret ettik; onun teoremini eski bir yöntemle kanıtladık.

Dik üçgen ve trigonometri

Bir dik üçgen için aşağıdaki ilişkiler geçerlidir:

Bir dar açının sinüsü karşı kenarın hipotenüse oranına eşittir

Bir dar açının kosinüsü, komşu kenarın hipotenüse oranına eşittir.

Bir dar açının tanjantı karşı kenarın komşu kenara oranına eşittir.

Bir dar açının kotanjantı, komşu kenarın karşı kenara oranına eşittir.

Ve bir kez daha tüm bunlar bir tablet biçiminde:

Çok kullanışlı bir şeyi fark ettiniz mi? Tabelaya dikkatlice bakın.

Çok uygun!

Dik üçgenlerin eşitliğinin işaretleri

II. Bacak ve hipotenüse göre

III. Hipotenüs ve dar açıya göre

IV. Bacak boyunca ve dar açı

Dikkat! Burada bacakların “uygun” olması çok önemlidir. Örneğin, eğer şu şekilde giderse:

O halde ÜÇGENLER EŞİT DEĞİLDİR aynı dar açıya sahip olmalarına rağmen.

Bu gerekli Her iki üçgende de bacak bitişikti veya her ikisinde de zıttı.

Dik üçgenlerin eşitlik işaretlerinin, üçgenlerin eşitlik işaretlerinden ne kadar farklı olduğunu fark ettiniz mi? “Üçgen” konusuna bir göz atın ve “sıradan” üçgenlerin eşitliği için elemanlarından üçünün eşit olması gerektiğine dikkat edin: iki kenar ve aralarındaki açı, iki açı ve aralarındaki kenar veya üç taraflar. Ancak dik üçgenlerin eşitliği için yalnızca karşılık gelen iki öğe yeterlidir. Harika, değil mi?

Dik üçgenlerin benzerlik işaretleri ile durum yaklaşık olarak aynıdır.

Dik üçgenlerin benzerlik belirtileri

III. Bacak ve hipotenüse göre

Dik üçgende medyan

Dik üçgen yerine tam bir dikdörtgen düşünün.

Bir köşegen çizelim ve köşegenlerin kesiştiği noktayı düşünelim. Dikdörtgenin köşegenleri hakkında ne biliniyor?

Köşegenlerin kesişme noktası ikiye bölünür. Köşegenler eşittir.

Peki bundan ne sonuç çıkıyor?

Böylece ortaya çıktı

Bu gerçeği unutmayın! Çok yardımcı oluyor!

Daha da şaşırtıcı olan ise bunun tam tersinin de geçerli olmasıdır.

Hipotenüse çizilen medyanın hipotenüsün yarısına eşit olmasından ne gibi bir fayda elde edilebilir? Hadi resme bakalım

Dikkatlice bakın. Elimizde: , yani noktadan üçgenin üç köşesine olan mesafelerin eşit olduğu ortaya çıktı. Ancak üçgende üçgenin üç köşesine de mesafeleri eşit olan tek bir nokta vardır ve bu da ÇEMBERİN MERKEZİdir. Peki ne oldu?

Şu "ayrıca" ile başlayalım. "

Ancak benzer üçgenlerin tüm açıları eşittir!

Aynı şey hakkında da söylenebilir ve

Şimdi birlikte çizelim:

Aynı keskin açılara sahipler!

Bu “üçlü” benzerlikten ne gibi faydalar elde edilebilir?

Mesela - Dik üçgenin yüksekliği için iki formül.

İlgili tarafların ilişkilerini yazalım:

Yüksekliği bulmak için orantıyı çözeriz ve şunu elde ederiz: İlk formül "Dik üçgende yükseklik":

İkincisini nasıl alabilirim?

Şimdi üçgenlerin benzerliğini uygulayalım.

O halde benzerliği uygulayalım: .

Şimdi ne olacak?

Yine orantıyı çözüyoruz ve ikinci formülü elde ediyoruz "Dik üçgende yükseklik":

Bu formüllerin ikisini de çok iyi hatırlamanız ve size hangisi daha uygunsa onu kullanmanız gerekiyor. Tekrar yazalım

Artık bu bilgiyi uygulayarak ve başkalarıyla birleştirerek, dik üçgenle ilgili her türlü sorunu çözeceksiniz!

Yorumlar

Kaynak sayfaya dofollow bağlantısı olması durumunda materyallerin onaysız dağıtımına izin verilir.

Gizlilik Politikası

Gizliliğinizin korunması bizim için önemlidir. Bu nedenle bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik uygulamalarımızı inceleyin ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.

Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması

Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya onunla iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.

Bizimle iletişime geçtiğinizde istediğiniz zaman kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.

Aşağıda toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.

Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:

Siteye bir başvuru gönderdiğinizde adınız, telefon numaranız, e-posta adresiniz vb. dahil olmak üzere çeşitli bilgiler toplayabiliriz.

Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:

Tarafımızdan toplandı kişisel bilgiler sizinle iletişim kurmamıza ve benzersiz teklifler, promosyonlar, diğer etkinlikler ve yaklaşan etkinlikler hakkında sizi bilgilendirmemize olanak tanır. Zaman zaman kişisel bilgilerinizi önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kullanabiliriz. Kişisel bilgileri, sunduğumuz hizmetleri geliştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili tavsiyeler sunmak amacıyla denetimler, veri analizi ve çeşitli araştırmalar yapmak gibi şirket içi amaçlarla da kullanabiliriz.

Bir dik üçgenin hipotenüse düşen yüksekliğinin özelliği

Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir promosyona katılırsanız, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.

Bilgilerin üçüncü şahıslara açıklanması

Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara açıklamıyoruz.

Gerekirse - yasaya, adli prosedüre uygun olarak, yasal işlemlerde ve/veya kamunun talepleri veya Rusya Federasyonu topraklarındaki hükümet yetkililerinin talepleri temelinde - kişisel bilgilerinizi ifşa etmek. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu önemi amaçları açısından gerekli veya uygun olduğunu tespit edersek, hakkınızdaki bilgileri de açıklayabiliriz. Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda topladığımız kişisel bilgileri ilgili halef üçüncü tarafa aktarabiliriz.

Kişisel bilgilerin korunması

Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişime, ifşa edilmeye, değiştirilmeye ve imhaya karşı korumak için idari, teknik ve fiziksel önlemler alıyoruz.

Şirket düzeyinde gizliliğinize saygı duymak

Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için gizlilik ve güvenlik standartlarını çalışanlarımıza aktarıyor ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.

Mesaj için teşekkürler!

Yorumunuz kabul edildi ve denetlendikten sonra bu sayfada yayınlanacak.

Kesimin altında neyin saklı olduğunu öğrenmek ve Birleşik Devlet Sınavı ve Birleşik Devlet Sınavına hazırlanmaya ilişkin özel materyaller almak ister misiniz? E-postanızı bırakın

Dik üçgenin özellikleri

Bir dik üçgen düşünün (ABC) ve şekilde sunulan özellikleri. Bir dik üçgenin hipotenüsü vardır - dik açının karşısında yer alan taraf. Dik açı oluşturan kenarlara bacak denir. Resimde yanlar görünüyor AD, DC ve BD, DC- bacaklar ve yanlar klima Ve kuzeydoğu- hipotenüs.

Dik üçgenin eşitlik işaretleri:

Teorem 1. Bir dik üçgenin hipotenüsü ve kenarı başka bir üçgenin hipotenüsüne ve kenarına benzerse, bu üçgenler eştir.

Teorem 2. Bir dik üçgenin iki bacağı başka bir üçgenin iki bacağına eşitse bu üçgenler eştir.

Teorem 3. Bir dik üçgenin hipotenüsü ve dar açısı başka bir üçgenin hipotenüsüne ve dar açısına benzerse, bu üçgenler eştir.

Teorem 4. Bir dik üçgenin bir bacağı ve bitişik (karşı) dar açısı, başka bir üçgenin bir bacağına ve bitişik (karşı) dar açısına eşitse, bu tür üçgenler uyumludur.

30° açının karşısındaki bacağın özellikleri:

Teorem 1.

Dik üçgende yükseklik

Açısı 30° olan bir dik üçgende bu açının karşısındaki kenar hipotenüsün yarısını kıracaktır.

Teorem 2. Bir dik üçgende dik kenar hipotenüsün yarısına eşitse, karşısındaki açı 30° olur.

Yükseklik, dik açının tepesinden hipotenüse çizilirse, böyle bir üçgen, gidene benzer ve birbirine benzer iki küçük üçgene bölünür. Bundan aşağıdaki sonuçlar çıkar:

1. Yükseklik, hipotenüsün iki bölümünün geometrik ortalamasıdır (orantılı ortalama).
2. Üçgenin her bir ayağı hipotenüs ve komşu bölümlerle orantılı ortalamadır.

Dik üçgende bacaklar yükseklik görevi görür. Diklik merkezi üçgenin yüksekliklerinin kesiştiği noktadır. Şeklin dik açısının tepe noktasına denk gelir.

hC- üçgenin dik açısından çıkan yükseklik;

AB- hipotenüs;

Reklam Ve DВ- hipotenüsün yüksekliğe bölünmesiyle ortaya çıkan bölümler.

"Geometri" disiplinine ilişkin bilgileri görüntülemeye geri dönün

Üçgen- Bu geometrik şekil Aynı düz çizgi üzerinde olmayan üç nokta (köşe) ve bu noktaları birbirine bağlayan üç parçadan oluşan. Dik üçgen, açılarından biri 90° (dik açı) olan bir üçgendir.
Bir teorem var: Bir dik üçgenin dar açılarının toplamı 90°'dir.
yorum sistemi CACKLe

Anahtar kelimeler:üçgen, dik açı, kenar, hipotenüs, Pisagor teoremi, daire

Üçgen denir dikdörtgen eğer dik bir açısı varsa.
Bir dik üçgenin birbirine dik iki kenarı vardır. bacaklar; üçüncü tarafına denir hipotenüs.

• Dik ve eğik çizgilerin özelliklerine göre hipotenüs bacakların her birinden daha uzundur (ancak toplamlarından daha küçüktür).
• Bir dik üçgenin iki dar açısının toplamı bir dik açıya eşittir.
• Bir dik üçgenin iki yüksekliği bacaklarıyla çakışmaktadır. Bu nedenle dikkat çeken dört noktadan biri üçgenin dik açısının köşelerine düşer.
• Bir dik üçgenin çevrel merkezi hipotenüsün ortasında yer alır.
• Dik açının köşesinden hipotenüse çizilen bir dik üçgenin ortancası, bu üçgenin çevrelediği dairenin yarıçapıdır.

Rastgele bir ABC dik üçgeni düşünün ve dik açısının C köşesinden CD = hc yüksekliğini çizin.

Verilen üçgeni iki dik üçgene (ACD ve BCD) bölecektir; bu üçgenlerin her birinin ABC üçgeniyle ortak bir dar açısı vardır ve bu nedenle ABC üçgenine benzer.

ABC, ACD ve BCD üçgenlerinin üçü de birbirine benzer.

Üçgenlerin benzerliğinden aşağıdaki ilişkiler belirlenir:

• $$h = \sqrt(a_(c) \cdot b_(c)) = \frac(a \cdot b)(c)$$;
• c = ac + bc;
• $$a = \sqrt(a_(c) \cdot c), b = \sqrt(b_(c) \cdot c)$$;
• $$(\frac(a)(b))^(2)= \frac(a_(c))(b_(c))$$.

Pisagor teoremi Bir dik üçgenin kenarları arasındaki ilişkiyi kuran Öklid geometrisinin temel teoremlerinden biri.

Geometrik formülasyon. Bir dik üçgende hipotenüs üzerine kurulan karenin alanı, bacaklar üzerine kurulan karelerin alanlarının toplamına eşittir.

Cebirsel formülasyon. Bir dik üçgende hipotenüsün karesi dik kenarların karelerinin toplamına eşittir.
Yani, üçgenin hipotenüsünün uzunluğunu c ile ve bacaklarının uzunluklarını a ve b ile gösteririz:
a2 + b2 = c2

Converse Pisagor teoremi.

Bir dik üçgenin yüksekliği

Herhangi bir pozitif sayı üçlüsü için a, b ve c öyle ki
a2 + b2 = c2,
Bacakları a ve b, hipotenüsü c olan bir dik üçgen vardır.

Dik üçgenlerin eşitliğinin işaretleri:

• bacak ve hipotenüs boyunca;
• iki ayak üzerinde;
• bacak ve dar açı boyunca;
• hipotenüs ve dar açı boyunca.

Ayrıca bakınız:
Üçgenin alanı, İkizkenar üçgen, Eşkenar üçgen

Geometri. 8 Sınıf. Test 4. Seçenek 1 .

Reklam : CD = CD : B.D. Dolayısıyla CD2 = AD ∙ B.D. Şöyle diyorlar:

Reklam : AC = AC : AB. Dolayısıyla AC2 = AB ∙ MS. Şöyle diyorlar:

BD : MÖ = MÖ : AB. Dolayısıyla BC2 = AB ∙ B.D.

Sorunları çözün:

1.

A) 70cm; B) 55cm; C) 65cm; D) 45cm; E) 53 cm.

2. Hipotenüse çizilen dik üçgenin yüksekliği hipotenüsü 9 ve 36 numaralı parçalara ayırır.

Bu yüksekliğin uzunluğunu belirleyin.

A) 22,5; B) 19; C) 9; D) 12; E) 18.

4.

A) 30,25; B) 24,5; C) 18,45; D) 32; E) 32,25.

5.

A) 25; B) 24; C) 27; D) 26; E) 21.

6.

A) 8; B) 7; C) 6; D) 5; E) 4.

7.

8. Bir dik üçgenin bacağı 30'dur.

Dik üçgende yükseklik nasıl bulunur?

Bu üçgenin çevrelediği dairenin yarıçapı 17 ise, dik açının tepe noktasından hipotenüse kadar olan mesafeyi bulun.

A) 17; B) 16; C) 15; D) 14; E) 12.

10.

A) 15; B) 18; C) 20; D) 16; E) 12.

A) 80; B) 72; C) 64; D) 81; E) 75.

12.

A) 7,5; B) 8; C) 6,25; D) 8,5; E) 7.

Cevapları kontrol edin!

G8.04.1. Dik üçgende orantılı bölümler

Geometri. 8 Sınıf. Test 4. Seçenek 1 .

Δ ABC ∠ACV = 90°'de. AC ve BC bacakları, AB hipotenüsü.

CD, hipotenüse çizilen üçgenin yüksekliğidir.

AC bacağının hipotenüse AD projeksiyonu,

BC bacağının hipotenüse BD izdüşümü.

Yükseklik CD, ABC üçgenini kendisine benzer (ve birbirine) iki üçgene böler: Δ ADC ve Δ CDB.

Benzer Δ ADC ve Δ CDB'nin kenarlarının orantılılığından şu sonuç çıkar:

Reklam : CD = CD : B.D.

Bir dik üçgenin hipotenüse düşen yüksekliğinin özelliği.

Dolayısıyla CD2 = AD ∙ B.D. Şöyle diyorlar: Hipotenüse çizilen bir dik üçgenin yüksekliği,bacakların hipotenüse izdüşümleri arasındaki ortalama orantısal değerdir.

Δ ADC ve Δ ACB'nin benzerliğinden şu sonuç çıkar:

Reklam : AC = AC : AB. Dolayısıyla AC2 = AB ∙ MS. Şöyle diyorlar: her bacak, tüm hipotenüs ile bu bacağın hipotenüse izdüşümü arasındaki ortalama orantılı değerdir.

Benzer şekilde Δ CDB ve Δ ACB'nin benzerliğinden şu sonuç çıkar:

BD : MÖ = MÖ : AB. Dolayısıyla BC2 = AB ∙ B.D.

Sorunları çözün:

1. Hipotenüsü 25 cm ve 81 cm'lik parçalara bölen dik üçgenin hipotenüse olan yüksekliğini bulun.

A) 70cm; B) 55cm; C) 65cm; D) 45cm; E) 53 cm.

2. Hipotenüse çizilen bir dik üçgenin yüksekliği hipotenüsü 9 ve 36 numaralı parçalara ayırır. Bu yüksekliğin uzunluğunu belirleyin.

A) 22,5; B) 19; C) 9; D) 12; E) 18.

4. Hipotenüse çizilen bir dik üçgenin yüksekliği 22, kenarlardan birinin izdüşümü 16'dır. Diğer bacağın izdüşümünü bulun.

A) 30,25; B) 24,5; C) 18,45; D) 32; E) 32,25.

5. Bir dik üçgenin kenarı 18'dir ve hipotenüse izdüşümü 12'dir. Hipotenüsü bulun.

A) 25; B) 24; C) 27; D) 26; E) 21.

6. Hipotenüs 32'ye eşittir. Hipotenüse izdüşümü 2'ye eşit olan tarafı bulun.

A) 8; B) 7; C) 6; D) 5; E) 4.

7. Bir dik üçgenin hipotenüsü 45'tir. Hipotenüse izdüşümü 9 olan kenarı bulun.

8. Bir dik üçgenin kenarı 30'dur. Bu üçgenin çevrelediği dairenin yarıçapı 17 ise, dik açının tepe noktasından hipotenüse kadar olan mesafeyi bulun.

A) 17; B) 16; C) 15; D) 14; E) 12.

10. Bir dik üçgenin hipotenüsü 41 ve kenarlarından birinin izdüşümü 16'dır. Dik açının tepe noktasından hipotenüse kadar çizilen yüksekliğin uzunluğunu bulun.

A) 15; B) 18; C) 20; D) 16; E) 12.

A) 80; B) 72; C) 64; D) 81; E) 75.

12. Bacakların hipotenüse izdüşümleri arasındaki fark 15'tir ve dik açının tepe noktasından hipotenüse olan mesafe 4'tür. Çevreleyen dairenin yarıçapını bulun.

A) 7,5; B) 8; C) 6,25; D) 8,5; E) 7.

Üçgenler.

Temel kavramlar.

Üçgen aynı doğru üzerinde yer almayan üç parça ve üç noktadan oluşan şekildir.

Segmentler denir partiler ve noktalar zirveler.

Açıların toplamıüçgen 180°'dir.

Üçgenin yüksekliği.

Üçgen yüksekliği- bu, tepe noktasından karşı tarafa çizilen bir diktir.

Dar bir üçgende yükseklik üçgenin içinde bulunur (Şekil 1).

Bir dik üçgende bacaklar üçgenin yükseklikleridir (Şekil 2).

Geniş açılı bir üçgende yükseklik üçgenin dışına uzanır (Şekil 3).

Bir üçgenin yüksekliğinin özellikleri:

Bir üçgenin ortaortayı.

Bir üçgenin açıortayı- bu, tepe noktasının köşesini ikiye bölen ve tepe noktasını karşı taraftaki bir noktaya bağlayan bir segmenttir (Şekil 5).

Ortayörün özellikleri:

Bir üçgenin medyanı.

Bir üçgenin medyanı- bu, tepe noktasını karşı tarafın ortasına bağlayan bir segmenttir (Şekil 9a).

Medyanın uzunluğu aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir: 2B 2 + 2C 2 - A 2 anne 2 = —————— 4 Nerede anne- orta refüj yana çekilmiş A. Bir dik üçgende hipotenüse çizilen kenarortay hipotenüsün yarısına eşittir: C m c = — 2 Nerede m c- hipotenüse çizilen medyan C(Şekil 9c) Üçgenin kenarortayları bir noktada (üçgenin kütle merkezinde) kesişir ve tepe noktasından itibaren sayılarak 2:1 oranında bu noktaya bölünür. Yani üçgenin tepe noktasından merkeze doğru olan bölümü, merkezden yanlara doğru olan bölümden iki kat daha büyüktür (Şekil 9c). Bir üçgenin üç medyanı onu altı eşit üçgene böler.

Üçgenin orta çizgisi.

Üçgenin orta çizgisi- bu, iki tarafının orta noktalarını birleştiren bir segmenttir (Şek. 10).

Üçgenin orta çizgisi üçüncü kenara paralel ve yarısına eşittir

Bir üçgenin dış açısı.

Dış köşe Bir üçgenin açısı, bitişik olmayan iki iç açının toplamına eşittir (Şekil 11).

Bir üçgenin bir dış açısı, komşu olmayan herhangi bir açıdan daha büyüktür.

Sağ üçgen.

Sağ üçgen dik açılı bir üçgendir (Şek. 12).

Bir dik üçgenin dik açının karşısındaki kenarına denir hipotenüs.

Diğer iki tarafa denir bacaklar.

Dik üçgende orantılı bölümler.

1) Bir dik üçgende dik açıdan çizilen yükseklik üç benzer üçgen oluşturur: ABC, ACH ve HCB (Şekil 14a). Buna göre yüksekliğin oluşturduğu açılar A ve B açılarına eşittir.

Şekil 14a

İkizkenar üçgen.

İkizkenar üçgen iki tarafı eşit olan bir üçgendir (Şek. 13).

Bu eşit kenarlara denir taraflar ve üçüncüsü - temelüçgen.

İÇİNDE ikizkenar üçgen tabandaki açılar eşittir. (Üçgenimizde A açısı açıya eşit C).

Bir ikizkenar üçgende tabana çizilen kenarortay üçgenin hem açıortayı hem de yüksekliğidir.

Eşkenar üçgen.

Eşkenar üçgen, tüm kenarların eşit olduğu bir üçgendir (Şekil 14).

Eşkenar üçgenin özellikleri:

Üçgenlerin dikkat çekici özellikleri.

Üçgenler, bu şekilleri içeren problemleri başarıyla çözmenize yardımcı olacak benzersiz özelliklere sahiptir. Bu özelliklerden bazıları yukarıda özetlenmiştir. Ancak bunları birkaç harika özellik daha ekleyerek tekrarlıyoruz:

1) Açıları 90°, 30° ve 60° olan bir dik üçgende B 30°'lik bir açının karşısında yer alan şuna eşittir: hipotenüsün yarısı. Bir bacakA daha fazla bacakB√3 kez (Şek. 15 A). Örneğin, b kenarı 5 ise hipotenüs C zorunlu olarak 10'a eşittir ve bacak A 5√3'e eşittir. 2) Açıları 90°, 45° ve 45° olan bir dik ikizkenar üçgende hipotenüs kenardan √2 kat daha büyüktür (Şek. 15) B). Örneğin, eğer kenarlar 5 ise hipotenüs 5√2 olur. 3) Üçgenin orta çizgisi paralel kenarın yarısına eşittir (Şek. 15) İle). Örneğin bir üçgenin kenarı 10 ise ona paraleldir. orta hat 5'e eşittir. 4) Bir dik üçgende hipotenüse çizilen kenarortay hipotenüsün yarısına eşittir (Şekil 9c): m c= a/2. 5) Bir üçgenin bir noktada kesişen kenarortayları bu noktaya 2:1 oranında bölünür. Yani, tepe noktasından kenarortayların kesişme noktasına kadar olan bölüm, kenarortayların kesişme noktasından üçgenin kenarına kadar olan bölümün iki katı kadar büyüktür (Şekil 9c). 6) Bir dik üçgende hipotenüsün ortası çevrel çemberin merkezidir (Şek. 15) D).

Üçgenlerin eşitliğinin işaretleri.

Eşitliğin ilk işareti: Bir üçgenin iki kenarı ve aralarındaki açı başka bir üçgenin iki kenarına ve aralarındaki açıya eşitse bu üçgenler eştir.

Eşitliğin ikinci işareti: Bir üçgenin bir kenarı ve ona komşu açılar başka bir üçgenin kenarına ve komşu açılarına eşitse bu üçgenler eştir.

Eşitliğin üçüncü işareti: Bir üçgenin üç kenarı başka bir üçgenin üç kenarına eşitse bu üçgenler eştir.

Üçgen eşitsizliği.

Herhangi bir üçgende her bir kenar diğer iki kenarın toplamından küçüktür.

Pisagor teoremi.

Bir dik üçgende hipotenüsün karesi, dik kenarların karelerinin toplamına eşittir:

C 2 = A 2 + B 2 .

Bir üçgenin alanı.

1) Bir üçgenin alanı, kenarının ve bu kenara çizilen yüksekliğin çarpımının yarısına eşittir:

Ah
S = ——
2

2) Bir üçgenin alanı, herhangi iki tarafının çarpımının yarısına ve aralarındaki açının sinüsüne eşittir:

1
S = — AB · AC · günah A
2

Bir daire etrafında çevrelenmiş bir üçgen.

Tüm kenarlarına değiyorsa, üçgen içine yazılmış bir daireye denir (Şek. 16). A).

Bir daire içine yazılmış bir üçgen.

Bir üçgenin tüm köşeleriyle ona değmesi durumunda bir dairenin içine yazıldığı söylenir (Şekil 17). A).

Bir dik üçgenin dar açısının sinüs, kosinüs, teğet, kotanjantı (Şekil 18).

Sinüs dar açı X zıt Bacaktan hipotenüse.
Şu şekilde ifade edilir: günahX.

Kosinüs dar açı X bir dik üçgenin oranı bitişik Bacaktan hipotenüse.
Aşağıdaki şekilde gösterilir: çünkü X.

Teğet dar açı X- bu, karşı tarafın bitişik tarafa oranıdır.
Aşağıdaki şekilde belirlenmiştir: tgX.

Kotanjant dar açı X- bu, bitişik tarafın karşı tarafa oranıdır.
Aşağıdaki şekilde belirtilmiştir: ctgX.

Tüzük:

Katet, ters açı X, hipotenüs ile günahın çarpımına eşittir X:

b = c günah X

Bacak köşeye bitişik X, hipotenüs ve cos çarpımına eşittir X:

a = cçünkü X

Katet, karşı köşe X, ikinci ayağın tg çarpımına eşittir X:

b = bir tg X

Bacak köşeye bitişik X, ikinci ayağın ctg çarpımına eşittir X:

a = b· ctg X.

Herhangi bir dar açı için X:

günah (90° - X) = çünkü X

çünkü (90° - X) = günah X

Mülkiyet: 1. Herhangi bir dik üçgende, dik açıdan (hipotenüs tarafından) alınan yükseklik, dik üçgeni üç benzer üçgene böler.

Mülkiyet: 2. Hipotenüse indirilen bir dik üçgenin yüksekliği, bacakların hipotenüs üzerindeki çıkıntılarının geometrik ortalamasına (veya yüksekliğin hipotenüsü böldüğü bölümlerin geometrik ortalamasına) eşittir.

Mülkiyet: 3. Bacak, hipotenüsün geometrik ortalamasına ve bu bacağın hipotenüse izdüşümüne eşittir.

Mülkiyet: 4. 30 derecelik bir açının karşısındaki kenar hipotenüsün yarısına eşittir.

Formül 1.

Formül 2., hipotenüs nerede; , bacaklar.

Mülkiyet: 5. Bir dik üçgende hipotenüse çizilen kenarortay bunun yarısına ve çevrelenen dairenin yarıçapına eşittir.

Özellik: 6. Bir dik üçgenin kenarları ve açıları arasındaki ilişki:

44. Kosinüs teoremi. Sonuçlar: paralelkenarın köşegenleri ve kenarları arasındaki ilişki; üçgenin tipinin belirlenmesi; bir üçgenin medyanının uzunluğunu hesaplamak için formül; Bir üçgen açının kosinüsünün hesaplanması.

İşin sonu -

Bu konu şu bölüme aittir:

Sınıf. Temel planimetri üzerine konferans programı

Komşu açıların özelliği.. Bir kenarları ortak olan ve diğer ikisi düz bir çizgi oluşturan iki açının komşu olması tanımı..

Eğer ihtiyacın varsa ek malzeme Bu konuyla ilgili veya aradığınızı bulamadıysanız, çalışma veritabanımızdaki aramayı kullanmanızı öneririz:

Alınan materyalle ne yapacağız:

Bu materyal sizin için yararlı olduysa, onu sosyal ağlardaki sayfanıza kaydedebilirsiniz: