Logaritmik türevi kullanarak türevleri hesaplayın. Karmaşık türevler

Kompleks türevler. Logaritmik türev.
Bir üstel fonksiyonun türevi

Farklılaştırma tekniğimizi geliştirmeye devam ediyoruz. Bu derste ele aldığımız materyali pekiştireceğiz, daha karmaşık türevlere bakacağız ve ayrıca özellikle logaritmik türev olmak üzere türev bulma konusunda yeni teknikler ve püf noktaları hakkında bilgi sahibi olacağız.

Hazırlık düzeyi düşük olan okuyucular makaleye başvurmalıdır. Türevi nasıl bulunur? Çözüm örnekleri Bu da becerilerinizi neredeyse sıfırdan geliştirmenize olanak tanır. Daha sonra sayfayı dikkatlice incelemeniz gerekiyor Karmaşık bir fonksiyonun türevi anla ve çöz Tüm verdiğim örnekler. Bu ders mantıksal olarak arka arkaya üçüncü derstir ve bu konuda uzmanlaştıktan sonra oldukça karmaşık işlevleri güvenle ayırt edeceksiniz. “Başka nerede?” pozisyonunu almak istenmez. Bu kadar yeter!”, çünkü tüm örnekler ve çözümler gerçek testlerden alınmıştır ve pratikte sıklıkla karşılaşılmaktadır.

Tekrarlarla başlayalım. sınıfta Karmaşık bir fonksiyonun türevi Ayrıntılı yorumlarla birlikte birkaç örneğe baktık. Diferansiyel hesabı ve matematiksel analizin diğer dallarını incelerken, çok sık türev almanız gerekecektir ve örnekleri çok ayrıntılı bir şekilde açıklamak her zaman uygun değildir (ve her zaman gerekli değildir). Bu nedenle sözlü olarak türev bulma alıştırması yapacağız. Bunun için en uygun "adaylar" en basit karmaşık fonksiyonların türevleridir, örneğin:

Karmaşık fonksiyonların farklılaşması kuralına göre :

Gelecekte diğer matan konularını incelerken, çoğu zaman bu kadar ayrıntılı bir kayıt gerekli değildir; öğrencinin bu tür türevleri otomatik pilotta nasıl bulacağını bildiği varsayılır. Farz edelim ki sabah saat 3’te telefon çaldı ve hoş bir ses şöyle sordu: “İki X’in tanjantının türevi nedir?” Bunu neredeyse anında ve kibar bir yanıt takip etmelidir: .

İlk örnek hemen bağımsız bir çözüme yönelik olacaktır.

Örnek 1

Aşağıdaki türevleri tek bir işlemle sözlü olarak bulun, örneğin: . Görevi tamamlamak için yalnızca kullanmanız gerekir temel fonksiyonların türevleri tablosu(henüz hatırlamadıysanız). Herhangi bir zorlukla karşılaşırsanız dersi tekrar okumanızı tavsiye ederim Karmaşık bir fonksiyonun türevi.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Cevaplar dersin sonunda

Karmaşık türevler

Ön topçu hazırlığından sonra, 3-4-5 işlevin iç içe geçtiği örnekler daha az korkutucu olacaktır. Aşağıdaki iki örnek bazılarına karmaşık görünebilir, ancak eğer bunları anlarsanız (birisi acı çekecektir), o zaman diferansiyel hesaptaki hemen hemen her şey bir çocuğun şakası gibi görünecektir.

Örnek 2

Bir fonksiyonun türevini bulun

Daha önce belirtildiği gibi, karmaşık bir fonksiyonun türevini bulurken her şeyden önce gereklidir Sağ Yatırımlarınızı ANLAYIN. Şüphe duyduğunuz durumlarda size faydalı bir tekniği hatırlatırım: Örneğin “x”in deneysel değerini alırız ve bu değeri (zihinsel olarak veya taslakta) “korkunç ifade”ye koymaya çalışırız.

1) Öncelikle ifadeyi hesaplamamız gerekiyor, bu da toplamın en derin gömülü olduğu anlamına gelir.

2) O zaman logaritmayı hesaplamanız gerekir:

4) Daha sonra kosinüsün küpünü alın:

5) Beşinci adımda fark:

6) Ve son olarak en dıştaki fonksiyon kareköktür:

Karmaşık bir fonksiyonun türevini almak için formül en dıştaki fonksiyondan en içteki fonksiyona doğru ters sırada uygulanır. Biz karar veriyoruz:

Hiçbir hata yok gibi görünüyor...

(1) Karekökün türevini alın.

(2) Kuralı kullanarak farkın türevini alırız

(3) Bir üçlünün türevi sıfırdır. İkinci terimde derecenin (küp) türevini alıyoruz.

(4) Kosinüsün türevini alın.

(5) Logaritmanın türevini alın.

(6) Ve son olarak en derine yerleştirmenin türevini alıyoruz.

Çok zor görünebilir ama bu en acımasız örnek değil. Örneğin Kuznetsov'un koleksiyonunu ele alalım; analiz edilen türevin tüm güzelliğini ve sadeliğini takdir edeceksiniz. Bir öğrencinin karmaşık bir fonksiyonun türevini nasıl bulacağını anlayıp anlamadığını kontrol etmek için sınavda benzer bir şey vermeyi sevdiklerini fark ettim.

Aşağıdaki örnek kendi başınıza çözmeniz içindir.

Örnek 3

Bir fonksiyonun türevini bulun

İpucu: Öncelikle doğrusallık kurallarını ve ürün farklılaştırma kuralını uyguluyoruz

Dersin sonunda tam çözüm ve cevap.

Daha küçük ve daha güzel bir şeye geçmenin zamanı geldi.
Bir örnekte iki değil üç fonksiyonun çarpımını göstermek alışılmadık bir durum değildir. Üç faktörün çarpımının türevi nasıl bulunur?

Örnek 4

Bir fonksiyonun türevini bulun

Öncelikle bakalım, üç fonksiyonun çarpımını iki fonksiyonun çarpımına dönüştürmek mümkün müdür? Örneğin çarpımda iki polinom varsa parantezleri açabiliriz. Ancak söz konusu örnekte tüm işlevler farklıdır: derece, üs ve logaritma.

Bu gibi durumlarda gerekli sıraylaürün farklılaştırma kuralını uygulayın iki kere

İşin püf noktası, "y" ile iki fonksiyonun çarpımını belirtmemizdir: ve "ve" ile logaritmayı belirtmemizdir: . Bu neden yapılabilir? Bu mümkün mü – bu iki faktörün bir ürünü değil ve kural işe yaramıyor mu?! Karmaşık bir şey yok:

Şimdi kuralı ikinci kez uygulamaya devam ediyor parantez içine almak için:

Ayrıca bükülebilir ve parantezlerin dışına bir şeyler çıkarabilirsiniz, ancak bu durumda cevabı tam olarak bu formda bırakmak daha iyidir - kontrol edilmesi daha kolay olacaktır.

Ele alınan örnek ikinci şekilde çözülebilir:

Her iki çözüm de kesinlikle eşdeğerdir.

Örnek 5

Bir fonksiyonun türevini bulun

Bu, bağımsız bir çözüme bir örnektir; örnekte birinci yöntem kullanılarak çözülür.

Kesirlerle benzer örneklere bakalım.

Örnek 6

Bir fonksiyonun türevini bulun

Buraya gidebileceğiniz birkaç yol var:

Veya bunun gibi:

Ancak öncelikle bölümün türev alma kuralını kullanırsak çözüm daha kısa bir şekilde yazılacaktır. , payın tamamını alarak:

Prensip olarak örnek çözülmüştür ve olduğu gibi bırakılırsa hata olmayacaktır. Ancak zamanınız varsa, cevabın basitleştirilip basitleştirilemeyeceğini görmek için her zaman taslağı kontrol etmeniz önerilir. Payın ifadesini ortak bir paydaya indirgeyelim ve hadi üç katlı kesirden kurtulalım:

Ek basitleştirmelerin dezavantajı, türevi bulurken değil, sıradan okul dönüşümleri sırasında hata yapma riskinin olmasıdır. Öte yandan öğretmenler sıklıkla ödevi reddediyor ve türevi “akla getirmesini” istiyorlar.

Kendi başınıza çözebileceğiniz daha basit bir örnek:

Örnek 7

Bir fonksiyonun türevini bulun

Türevi bulma yöntemlerinde ustalaşmaya devam ediyoruz ve şimdi türev için "korkunç" bir logaritmanın önerildiği tipik bir durumu ele alacağız.

Örnek 8

Bir fonksiyonun türevini bulun

Burada karmaşık bir fonksiyonun türevini alma kuralını kullanarak uzun bir yol kat edebilirsiniz:

Ancak ilk adım sizi hemen umutsuzluğa sürükler - hoş olmayan türevi kesirli bir kuvvetten ve sonra da bir kesirden almanız gerekir.

Bu yüzden önce"Gelişmiş" bir logaritmanın türevinin nasıl alınacağı, ilk olarak iyi bilinen okul özellikleri kullanılarak basitleştirilmiştir:

! Elinizde bir alıştırma defteriniz varsa, bu formülleri doğrudan oraya kopyalayın. Not defteriniz yoksa bunları bir kağıda kopyalayın çünkü dersin geri kalan örnekleri bu formüller etrafında şekillenecektir.

Çözümün kendisi şöyle yazılabilir:

Fonksiyonu dönüştürelim:

Türevi bulma:

Fonksiyonun önceden dönüştürülmesi çözümü büyük ölçüde basitleştirdi. Bu nedenle, türev için benzer bir logaritma önerildiğinde, her zaman onu "parçalamak" tavsiye edilir.

Şimdi kendi başınıza çözebileceğiniz birkaç basit örnek:

Örnek 9

Bir fonksiyonun türevini bulun

Örnek 10

Bir fonksiyonun türevini bulun

Tüm dönüşümler ve cevaplar dersin sonundadır.

Logaritmik türev

Logaritmanın türevi bu kadar tatlı müzikse, o zaman şu soru ortaya çıkıyor: Bazı durumlarda logaritmayı yapay olarak düzenlemek mümkün mü? Olabilmek! Ve hatta gerekli.

Örnek 11

Bir fonksiyonun türevini bulun

Yakın zamanda benzer örneklere baktık. Ne yapalım? Bölümün farklılaşma kuralını ve ardından çarpımın farklılaşma kuralını sırayla uygulayabilirsiniz. Bu yöntemin dezavantajı, hiç uğraşmak istemeyeceğiniz devasa bir üç katlı kesirle karşı karşıya kalmanızdır.

Ancak teoride ve pratikte logaritmik türev diye harika bir şey var. Logaritmalar her iki tarafa "asılarak" yapay olarak düzenlenebilir:

Not : Çünkü bir fonksiyon negatif değerler alabilir, o zaman genel olarak konuşursak modülleri kullanmanız gerekir: farklılaşmanın bir sonucu olarak ortadan kaybolacaktır. Bununla birlikte, varsayılan olarak dikkate alınan mevcut tasarım da kabul edilebilir. karmaşık anlamlar. Ancak eğer çok titizse, o zaman her iki durumda da bir çekince yapılmalıdır..

Şimdi sağ tarafın logaritmasını mümkün olduğunca “parçalamanız” gerekiyor (formüller gözünüzün önünde mi?). Bu süreci çok detaylı bir şekilde anlatacağım:

Farklılaştırmayla başlayalım.
Her iki bölümü de ana başlık altında sonlandırıyoruz:

Sağ tarafın türevi oldukça basittir; bu konuda yorum yapmayacağım, çünkü bu metni okuyorsanız, bunu kendinizden emin bir şekilde yapabilmeniz gerekir.

Peki sol taraf?

Sol tarafta elimizde karmaşık fonksiyon. “Neden logaritmanın altında bir tane “Y” harfi var?” sorusunu öngörüyorum.

Gerçek şu ki, bu "tek harfli oyun" - KENDİSİ BİR FONKSİYONDUR(çok açık değilse örtülü olarak belirtilen bir fonksiyonun türevi makalesine bakın). Bu nedenle logaritma bir dış fonksiyondur ve “y” bir iç fonksiyondur. Ve karmaşık bir fonksiyonun türevini almak için kuralı kullanıyoruz :

Sol tarafta sanki sihirli bir şekilde bir türevimiz var. Daha sonra orantı kuralına göre “y”yi sol taraftaki paydadan sağ tarafın üstüne aktarıyoruz:

Şimdi farklılaşma sırasında nasıl bir “oyuncu” işlevinden bahsettiğimizi hatırlayalım. Şimdi duruma bakalım:

Son cevap:

Örnek 12

Bir fonksiyonun türevini bulun

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. Bu türden bir örneğin örnek tasarımı dersin sonunda yer almaktadır.

Logaritmik türevi kullanarak 4-7 numaralı örneklerden herhangi birini çözmek mümkündü, başka bir şey de oradaki fonksiyonların daha basit olmasıdır ve belki de logaritmik türevin kullanımı pek haklı değildir.

Bir üstel fonksiyonun türevi

Bu fonksiyonu henüz değerlendirmedik. Bir üstel fonksiyon fonksiyonu, bunun için bir fonksiyondur. hem derece hem de taban “x”e bağlıdır. Herhangi bir ders kitabında veya derste size verilecek klasik bir örnek:

Bir üstel fonksiyonun türevi nasıl bulunur?

Az önce tartışılan tekniğin (logaritmik türev) kullanılması gereklidir. Her iki tarafa da logaritma asıyoruz:

Kural olarak, sağ tarafta derece logaritmanın altından çıkarılır:

Sonuç olarak, sağ tarafta standart formüle göre farklılaştırılacak iki fonksiyonun çarpımı var. .

Türevi buluyoruz; bunu yapmak için her iki parçayı da konturların altına alıyoruz:

Diğer eylemler basittir:

Nihayet:

Herhangi bir dönüşüm tamamen açık değilse, lütfen Örnek 11'in açıklamalarını dikkatlice tekrar okuyun.

Pratik görevlerde kuvvet-üstel fonksiyonu her zaman tartışılan ders örneğinden daha karmaşık olacaktır.

Örnek 13

Bir fonksiyonun türevini bulun

Logaritmik türevi kullanıyoruz.

Sağ tarafta bir sabitimiz ve iki faktörün çarpımı var - “x” ve “logaritmanın logaritması x” (başka bir logaritma logaritmanın altına yerleştirilmiştir). Hatırladığımız gibi, türev alırken, yolunuza çıkmaması için sabiti hemen türev işaretinin dışına taşımak daha iyidir; ve elbette tanıdık kuralı uyguluyoruz :

Logaritmik türev kullanılarak türevlerin hesaplanmasına ilişkin örnekler verilmiştir.

İçerik

Ayrıca bakınız: Doğal logaritmanın özellikleri

Çözüm yöntemi

İzin vermek
(1)
x değişkeninin türevlenebilir bir fonksiyonudur.

İlk olarak, bunu y'nin pozitif değerler aldığı x değerleri kümesi üzerinde ele alacağız: .
,
Aşağıda elde edilen tüm sonuçların negatif değerler için de geçerli olduğunu göstereceğiz.
.
Bazı durumlarda, (1) fonksiyonunun türevini bulmak için, bunun önceden logaritmasını yapmak uygundur.
(2) .

ve sonra türevi hesaplayın. Daha sonra karmaşık bir fonksiyonun türev alma kuralına göre,
.

Buradan Bir fonksiyonun logaritmasının türevine logaritmik türev denir: y = fonksiyonunun logaritmik türevi f(x).

bu fonksiyonun doğal logaritmasının türevidir:

(ln f(x))'
.
Bazı durumlarda, (1) fonksiyonunun türevini bulmak için, bunun önceden logaritmasını yapmak uygundur.
(3) .
Negatif y değerleri durumu

Şimdi bir değişkenin hem pozitif hem de negatif değerler alabildiği durumu düşünün. Bu durumda modülün logaritmasını alın ve türevini bulun:
.
Yani logaritmik türevi hesaplamanın biçimsel sonucu, modülü alıp almadığımıza bağlı değildir. Bu nedenle logaritmik türevi hesaplarken fonksiyonun hangi işarete sahip olduğu konusunda endişelenmemize gerek yok.

Bu durum karmaşık sayılar kullanılarak açıklığa kavuşturulabilir. X'in bazı değerleri için negatif olalım: .
.
Yalnızca gerçek sayıları dikkate alırsak fonksiyon tanımsızdır. Ancak karmaşık sayıları dikkate alırsak aşağıdakileri elde ederiz:
.
Yani, fonksiyonlar ve karmaşık bir sabite göre farklılık gösterir:
.

Bir sabitin türevi sıfır olduğuna göre,

Logaritmik türevin özelliği Böyle bir değerlendirmeden şu sonuç çıkıyor :
.
Fonksiyonu rastgele bir sabitle çarparsanız logaritmik türev değişmeyecektir. Gerçekten de, kullanarak logaritmanın özellikleri , formüller türev toplamı Ve bir sabitin türevi

.

, sahibiz:

Logaritmik türevin uygulanması

Orijinal fonksiyonun kuvvetlerin veya üstel fonksiyonların çarpımından oluştuğu durumlarda logaritmik türevi kullanmak uygundur. Bu durumda logaritma işlemi, fonksiyonların çarpımını toplamlarına dönüştürür. Bu türevin hesaplanmasını kolaylaştırır.

Örnek 1
.

Fonksiyonun türevini bulun:
.

Orijinal fonksiyonun logaritmasını alalım:
x değişkenine göre türev alalım.
.
Türev tablosunda şunları buluyoruz:
;
;
;
;
Karmaşık fonksiyonların türev alma kuralını uyguluyoruz. .
(A1.1)

.

Şununla çarpın:
.
Logaritmik türevi bulduk:
.

Buradan orijinal fonksiyonun türevini buluyoruz:

Not
.
Yalnızca gerçek sayıları kullanmak istiyorsak orijinal fonksiyonun modülünün logaritmasını almalıyız:
;
.
Daha sonra

Ve (A1.1) formülünü elde ettik. Bu nedenle sonuç değişmedi.

Örnek 2
.

Logaritmik türevi kullanarak fonksiyonun türevini bulun
Logaritma alalım: .
(A2.1)
;
;

;
;
;
.

x değişkenine göre türev alın:
.
Şununla çarpın:
.

Buradan logaritmik türevi elde ederiz:
.

Buradan orijinal fonksiyonun türevini buluyoruz:

Orijinal fonksiyonun türevi:
.
Burada orijinal fonksiyon negatif değildir: .

'da tanımlanır.
,
Argümanın negatif değerleri için logaritmanın tanımlanabileceğini varsaymazsak formül (A2.1) şu şekilde yazılmalıdır:

O zamandan beri

Ve
.

bu nihai sonucu etkilemeyecektir.
Örnek 3 .

Türevi bulun
;
;
;
Logaritmik türevi kullanarak farklılaşmayı gerçekleştiriyoruz. Aşağıdakileri dikkate alarak bir logaritma alalım: .

(A3.1)

.

Buradan orijinal fonksiyonun türevini buluyoruz:

Argümanın negatif değerleri için logaritmanın tanımlanabileceği varsayımı olmadan hesaplamaları yapalım. Bunu yapmak için orijinal fonksiyonun modülünün logaritmasını alın:
.
O halde (A3.1) yerine şunu elde ederiz:
;

.
(A3.2) ile karşılaştırıldığında sonucun değişmediğini görüyoruz.

Ayrıca bakınız:

Doğal logaritmanın ve a tabanına göre logaritmanın türevinin formüllerinin ispatı ve türetilmesi. ln 2x, ln 3x ve ln nx'in türevlerinin hesaplanmasına örnekler. Matematiksel tümevarım yöntemini kullanarak n'inci dereceden logaritmanın türevinin formülünün kanıtı.

İçerik

Ayrıca bakınız: Logaritma - özellikler, formüller, grafik
Doğal logaritma - özellikler, formüller, grafik

Doğal logaritmanın türevleri ve logaritmanın bir tabanına göre formüllerinin türetilmesi

X'in doğal logaritmasının türevi, birin x'e bölünmesine eşittir:
(1) (ln x)' =.

Logaritmanın a tabanına göre türevi, birin x değişkenine bölünmesiyle a'nın doğal logaritmasının çarpımına eşittir:
(2) (log a x)' =.

Kanıt

Bire eşit olmayan pozitif bir sayı olsun. Tabanın logaritması olan x değişkenine bağlı bir fonksiyon düşünün:
.
Bu fonksiyon adresinde tanımlanmıştır.
(3) .

x değişkenine göre türevini bulalım.
Tanım gereği türev aşağıdaki limittir: Bu ifadeyi bilinen matematiksel özelliklere ve kurallara indirgeyecek şekilde dönüştürelim. Bunu yapmak için aşağıdaki gerçekleri bilmemiz gerekir:
(4) ;
(5) ;
(6) ;
A) Logaritmanın özellikleri. Aşağıdaki formüllere ihtiyacımız olacak:
(7) .
B)
Logaritmanın sürekliliği ve sürekli bir fonksiyon için limitlerin özelliği: Burada limiti olan bir fonksiyon var ve bu limit pozitif.
(8) .

İÇİNDE)
.
İkinci dikkat çekici sınırın anlamı:

.

Bu gerçekleri sınırlarımıza uygulayalım. İlk önce cebirsel ifadeyi dönüştürüyoruz
.

Bunu yapmak için (4) ve (5) özelliklerini uyguluyoruz.
.
Özelliği (7) ve ikinci dikkate değer limiti (8) kullanalım: Ve son olarak (6) özelliğini uyguluyoruz: Tabana göre logaritma e isminde
.
doğal logaritma
.

. Aşağıdaki şekilde belirlenmiştir:

Daha sonra ;

Böylece logaritmanın türevi için formül (2)'yi elde ettik.
.
Doğal logaritmanın türevi
(1) .

Logaritmanın a tabanına türevinin formülünü bir kez daha yazıyoruz:
.

Diferansiyel işaretinden sabiti çıkarırsanız, logaritmanın tabana göre türevi formül (1)'den bulunabilir:
.

Logaritmanın türevini kanıtlamanın diğer yolları

Burada üstel sayının türevinin formülünü bildiğimizi varsayıyoruz:
(9) .
Logaritmanın üstel sayının ters fonksiyonu olduğu göz önüne alındığında, doğal logaritmanın türevinin formülünü türetebiliriz.

Doğal logaritmanın türevinin formülünü kanıtlayalım, ters fonksiyonun türevinin formülünü uygulamak:
.
Bizim durumumuzda.
.
Doğal logaritmanın ters fonksiyonu üsteldir:
.
Türevi formül (9) ile belirlenir. Değişkenler herhangi bir harfle belirtilebilir. Formül (9)'da x değişkenini y ile değiştirin:
.
Yalnızca gerçek sayıları kullanmak istiyorsak orijinal fonksiyonun modülünün logaritmasını almalıyız:
.
O zamandan beri

Formül kanıtlanmıştır. Şimdi doğal logaritmanın türevinin formülünü kullanarak kanıtlıyoruz: karmaşık fonksiyonların türevini alma kuralları
.
. ve fonksiyonları birbirinin tersi olduğuna göre,
(10) .
Bu denklemin x değişkenine göre türevini alalım:
.
x'in türevi bire eşittir:
.
Karmaşık fonksiyonların türev alma kuralını uyguluyoruz:
.
Bazı durumlarda, (1) fonksiyonunun türevini bulmak için, bunun önceden logaritmasını yapmak uygundur.
.

Burada . (10)'da yerine koyalım:

Örnek Türevlerini bulun 2x'te, türev toplamı 3x'te.

lnx Orijinal işlevler benzer bir biçime sahiptir. Bu nedenle fonksiyonun türevini bulacağız y = log nx . Daha sonra n = 2 ve n = 3'ü yerine koyarız. Ve böylece türevleri için formüller elde ederiz. 2x'te 2x'te, .

Ve
Orijinal işlevler benzer bir biçime sahiptir. Bu nedenle fonksiyonun türevini bulacağız .
Yani fonksiyonun türevini arıyoruz
1) Bu fonksiyonu iki fonksiyondan oluşan karmaşık bir fonksiyon olarak düşünelim:
2) Değişkene bağlı işlevler: ;
Değişkene bağlı işlevler: .
.

Daha sonra orijinal fonksiyon aşağıdaki fonksiyonlardan oluşur:
.
Fonksiyonun x değişkenine göre türevini bulalım:
.
Fonksiyonun değişkene göre türevini bulalım:
.
Karmaşık bir fonksiyonun türevinin formülünü uyguluyoruz.

İşte ayarladık.
(11) .
Böylece şunu bulduk:
.
Türevin n'ye bağlı olmadığını görüyoruz.
.

; ; .

Orijinal fonksiyonu çarpımın logaritması formülünü kullanarak dönüştürürsek bu sonuç oldukça doğaldır:

- bu bir sabittir. Türevi sıfırdır. O zaman toplamın farklılaşma kuralına göre şunu elde ederiz:
(12) .

Modül x logaritmasının türevi
.
Başka bir önemli fonksiyonun türevini bulalım: x modülünün doğal logaritması:
.

Olayı ele alalım.
,
Daha sonra fonksiyon şöyle görünür:
Türevi formül (1) ile belirlenir:
.
Yalnızca gerçek sayıları kullanmak istiyorsak orijinal fonksiyonun modülünün logaritmasını almalıyız:
.

Şimdi olayı ele alalım.
.

Daha sonra fonksiyon şöyle görünür:
.

Nerede .

Ancak yukarıdaki örnekte bu fonksiyonun türevini de bulduk. N'ye bağlı değildir ve eşittir
.
Birinci dereceden türevini bulduk:
(13) .

İkinci dereceden türevi bulalım:
.
Üçüncü dereceden türevi bulalım:
.
Dördüncü dereceden türevi bulalım:
.

N'inci dereceden türevin şu şekilde olduğunu fark edebilirsiniz:
(14) .
Bunu matematiksel tümevarımla kanıtlayalım.

Kanıt

n = 1 değerini formül (14)'te yerine koyalım:
.
'den beri, o zaman n = 1 , formül (14) geçerlidir.

Formül (14)'ün n = k için karşılandığını varsayalım. + 1 .

Bunun, formülün n = k için geçerli olduğunu ima ettiğini kanıtlayalım.
.
(A2.1)

.
Aslında, n = k için elimizde:
.
Böylece şunu elde ettik: 1 Bu formül n = k + için formül (14) ile örtüşmektedir. 1 .

.

Dolayısıyla formül (14)'ün n = k için geçerli olduğu varsayımından, formül (14)'ün n = k + için geçerli olduğu sonucu çıkar.

Bu nedenle, n'inci dereceden türev için formül (14) herhangi bir n için geçerlidir.
.
Logaritmanın daha yüksek mertebeden türevleri
.

Ayrıca bakınız:

Bir logaritmanın a tabanına göre n'inci dereceden türevini bulmak için bunu doğal logaritma cinsinden ifade etmeniz gerekir:

Formül (14)'ü uygulayarak n'inci türevi buluruz:

Üstel kuvvet fonksiyonlarının veya kullanışsız kesirli ifadelerin türevini alırken logaritmik türevi kullanmak uygundur. Bu yazımızda detaylı çözümlerle uygulama örneklerine bakacağız.

Daha ileri sunum, türev tablosunu, türev kurallarını ve karmaşık bir fonksiyonun türevine ilişkin formül bilgisini kullanma yeteneğini varsayar.

Logaritmik türev formülünün türetilmesi.

Öncelikle logaritmaları e tabanına alıyoruz, logaritmanın özelliklerini kullanarak fonksiyonun biçimini basitleştiriyoruz ve ardından örtülü olarak belirtilen fonksiyonun türevini buluyoruz:

Örneğin, üstel bir kuvvet fonksiyonu olan x üzeri kuvvet fonksiyonunun türevini bulalım. .

Logaritma almak şunu verir. Logaritmanın özelliklerine göre. Eşitliğin her iki tarafının farklılaştırılması şu sonuca yol açar:

Cevap:

Bir fonksiyonun türevini bulun .

Aynı örnek logaritmik türev kullanılmadan da çözülebilir. Bazı dönüşümler gerçekleştirebilir ve üstel bir kuvvet fonksiyonunun türevini almaktan karmaşık bir fonksiyonun türevini bulmaya geçebilirsiniz:

Örnek. Çözüm. Bu örnekte fonksiyon

Önce onu bulalım. Dönüşümlerde logaritmanın özelliklerini kullanacağız (bir kesrin logaritması logaritmanın farkına eşittir ve bir ürünün logaritması logaritmanın toplamına eşittir ve logaritma işareti altındaki ifadenin derecesi şu şekilde olabilir: logaritmanın önünde bir katsayı olarak alınır):

Bu dönüşümler bizi oldukça basit bir ifadeye götürdü ve bunun türevini bulmak kolay:

Elde edilen sonucu logaritmik türevin formülüne koyarız ve cevabı alırız:

Materyali pekiştirmek için ayrıntılı açıklamalar yapmadan birkaç örnek daha vereceğiz.

Cevap:

Üstel bir güç fonksiyonunun türevini bulun

Sınava daha çok zaman olduğunu mu düşünüyorsunuz? Bu bir ay mı? İki? Yıl? Uygulama, bir öğrencinin sınava önceden hazırlanmaya başlaması durumunda sınavla en iyi şekilde başa çıkabileceğini göstermektedir. Birleşik Devlet Sınavında okul çocuklarının ve gelecekteki başvuru sahiplerinin en yüksek puanlara ulaşmalarının önünde duran birçok zor görev vardır. Bu engelleri aşmayı öğrenmeniz gerekiyor, üstelik bunu yapmak hiç de zor değil. Biletlerden çeşitli görevlerle çalışmanın ilkesini anlamalısınız. O zaman yenileriyle hiçbir sorun olmayacak.

Logaritmalar ilk bakışta inanılmaz derecede karmaşık görünebilir ancak ayrıntılı bir analizle durum çok daha basit hale gelir. Birleşik Devlet Sınavını en yüksek puanla geçmek istiyorsanız söz konusu kavramı anlamalısınız ki bu makalede yapmayı önerdiğimiz şey de budur.

Öncelikle bu tanımları ayıralım. Logaritma (log) nedir? Bu, belirtilen sayıyı elde etmek için tabanın yükseltilmesi gereken gücün bir göstergesidir. Açık değilse basit bir örneğe bakalım.

Bu durumda 4 sayısını elde etmek için alttaki tabanın ikinci kuvvetine yükseltilmesi gerekir.

Şimdi ikinci kavrama bakalım. Bir fonksiyonun herhangi bir biçimde türevi, bir fonksiyonda belirli bir noktada meydana gelen değişimi karakterize eden bir kavramdır. Ancak bu bir okul müfredatıdır ve bireysel olarak bu kavramlarla ilgili sorun yaşıyorsanız konuyu tekrarlamakta fayda var.

Logaritmanın türevi

Bu konuyla ilgili Birleşik Devlet Sınavı ödevlerinde örnek olarak birkaç görev verebilirsiniz. Başlangıç ​​olarak en basit logaritmik türevle başlayalım. Aşağıdaki fonksiyonun türevini bulmak gerekir.

Bir sonraki türevi bulmamız gerekiyor

Özel bir formül var.

Bu durumda x=u, log3x=v. Fonksiyonumuzdaki değerleri formülde yerine koyarız.

X'in türevi bire eşit olacaktır. Logaritma biraz daha zordur. Ancak değerleri basitçe yerine koyarsanız prensibi anlayacaksınız. lg x'in türevinin ondalık logaritmanın türevi olduğunu ve ln x'in türevinin doğal logaritmanın (e'ye dayalı) türevi olduğunu hatırlayın.

Şimdi ortaya çıkan değerleri formüle yerleştirmeniz yeterli. Kendiniz deneyin, ardından cevabı kontrol edeceğiz.

Bazıları için burada sorun ne olabilir? Doğal logaritma kavramını tanıttık. Bunun hakkında konuşalım ve aynı zamanda onunla ilgili sorunların nasıl çözüleceğini de çözelim. Özellikle çalışma prensibini anladığınızda karmaşık bir şey görmezsiniz. Matematikte sıklıkla kullanıldığı için (daha çok yüksek öğretim kurumlarında) buna alışmalısınız.

Doğal logaritmanın türevi

Özünde, e tabanına göre logaritmanın türevidir (bu, yaklaşık 2,7 olan irrasyonel bir sayıdır). Aslında ln çok basittir ve bu nedenle genel olarak matematikte sıklıkla kullanılır. Aslında sorunu onunla çözmek de sorun olmayacak. Doğal logaritmanın e tabanına göre türevinin birin x'e bölünmesine eşit olacağını hatırlamakta fayda var. Aşağıdaki örneğin çözümü en açıklayıcı olacaktır.

Bunu iki basit fonksiyondan oluşan karmaşık bir fonksiyon olarak düşünelim.

Dönüştürmeniz yeterli

u'nun x'e göre türevini arıyoruz

İkinciyle devam edelim

Karmaşık bir fonksiyonun türevini u=nx yerine koyarak çözme yöntemini kullanıyoruz.

Sonunda ne oldu?

Şimdi bu örnekte n'nin ne anlama geldiğini hatırlayalım. Bu, doğal logaritmada x'in önünde bulunabilecek herhangi bir sayıdır. Cevabın ona bağlı olmadığını anlamanız önemlidir. İstediğinizi değiştirin, cevap yine 1/x olacaktır.

Gördüğünüz gibi burada karmaşık bir şey yok; sadece bu konudaki sorunları hızlı ve etkili bir şekilde çözme ilkesini anlamanız gerekiyor. Artık teoriyi biliyorsunuz, tek yapmanız gereken onu uygulamaya koymak. Çözüm ilkelerini uzun süre hatırlamak için problem çözme alıştırmaları yapın. Okuldan mezun olduktan sonra bu bilgiye ihtiyacınız olmayabilir, ancak sınavda her zamankinden daha alakalı olacaktır. Size iyi şanslar!