ana Fizik Yaratıcı iş "Bir tepe formülünün uygulanması". Geometri

Yaratıcı iş "Bir tepe formülünün uygulanması". Geometri

Formül seçmek

1. Giriş

2. Tepe formülü. Kanıt I.

İs3.

İspat sh.

3. Görevler.

4. Çokgen alanın formülü, köşelerin koordinatları boyunca.

5. Görevler.

6. Edebiyat

Tepe formülü.

1. Giriş.

Hikayede bilgelik çekiyoruz,

Şiir'de - zekâ,

matematikte - İçgörü.

F. domuz pastırması

Arsa, normal damalı kağıt parçası üzerinde açılacaktır.

Hücrelerin kenarlarında yürüyen çizgiler bir ızgara oluşturur ve hücrelerin köşeleri bu ızgaranın düğümleridir. Düğümlerindeki köşelerde bir çokgen çizeriz ve alanını buluruz.

Bunu farklı şekillerde arayabilirsiniz. Örneğin, oldukça basit rakamlar üzerinde bir çokgen kesebilirsiniz, alanları bulun ve katlayın.

Ama burada çok fazla sorun bekliyoruz. Şekil kolayca dikdörtgenler, yamuk ve üçgenlere ayrılır ve alanı çaba sarf edilmeden hesaplanır.

Poligon yeterince basit görünse de, alanını hesaplamak için oldukça zor olmalı. Ve eğer bir poligon daha tuhaf görünüyorsa? Üzümlerin ızgara düğümlerinde bulunduğu, köşelerin, ızgara düğümlerinde yer alan çok basitleştirilebileceği, çok basitleştirilebilecek bir formül olduğu ortaya çıktığını ortaya koymaktadır: . Bu harika ve basit formül, tepe formülü denir.

2. Tepe formülü.

Poligonun üstleri (mutlaka dışbükey değil), tamsayı kafesin düğümlerinde bulunur. İçinde, ızgara düğümlerinde ve düğümlerin sınırında yatıyor. Alanının + 'e eşit olduğunu kanıtlıyoruz - 1 (en yüksek formül).

Kanıt I.

Köşeleri bir tamsayı ızgarasının düğümlerindeki, yani tamsayı koordinatlarına sahip olan bir çokgen düşünün.

Poligon, içeride ya da yanlarda düğümler içermeyen ızgara düğümlerinde köşeleri olan üçgenleri kıracaktır.

Belirtir:

n. - Poligonun partilerinin sayısı,

m. - Izgara düğümlerdeki köşeleri olan üçgenlerin sayısı, içinde veya yanlarında düğümler içermeyen,

B - Poligon içindeki düğüm sayısı,

M, köşeler de dahil olmak üzere, yandaki düğümlerin sayısıdır.

Tüm bu üçgenlerin alanı aynı ve eşittir.

Sonuç olarak, poligon alanı eşittir
.

180 0 m. .

Şimdi bu miktarı başka bir şekilde bulun.

Herhangi bir iç düğümde bir köşe ile açıların toplamı 360 0'dır.

Sonra tüm iç düğümlerde köşeleri olan açıların toplamı 360 0 V'dir.

Kenarlardaki düğümlerde toplam açıların toplamı, ancak köşelerde değil 180 0 (G - n.).

Poligonun üst kısımındaki açıların toplamı 180 0 ( n. – 2) .

Tüm üçgenlerin açının toplam tutarı eşittir 360 0 + 180 0 (G - n.) + 180 0 (n. – 2).

Böylece, 180 0 m. \u003d 360 0 + 180 0 (G - n.) + 180 0 (n. – 2),

180 0 m. \u003d 360 0 + 180 0 G - 180 0 n. + 180 0 n. - 180 0 · 2,

180 0 m. \u003d 360 0 + 180 0 G - 360 0,

\u003d B +. – 1 ,

bir poligon s alanı için bir ifade alıyorum:

S.\u003d B +. – 1 ,

tepe formülü olarak bilinir.

Şekil: B \u003d 24, G \u003d 9, bu nedenle,S. = 24 + – 1 = 27,5.

İlk poligonun bölgesini zirve formüle göre bulun:

B \u003d 28 (yeşil noktalar);

G \u003d 20 (mavi noktalar).

S \u003d aldık
\u003d 37 m² M.

İs3.

Her poligon m, f (m) sayısına göre bir tamsayı kafesin düğümlerinde köşelerde
Toplamın tüm ızgara düğümlerinde m'ye ait tüm ızgara düğümlerinde yapıldığı yerde Aşağıdaki gibi belirlenir: =
Çokgenin iç noktası için, =
üstten başka bir sınır noktası için ve - Bu düğüm bir köşe ise üstte açı. F (m) \u003d olduğunu görmek kolaydır
+
\u003d B +. - 1. F (m) numarasının Polygon M'nin alanına eşit olduğunu doğrulamak için kalır.

Poligon m, ızgara düğümlerdeki köşelerde M1 ve m2 çokgenler halinde kesilmesine izin verin. Daha sonra f (m) \u003d f (m 1) + f (m2), çünkü her düğüm için açılar katlanır. Bu nedenle, pik formülü, M, M1 ve M2 çokgenlerden ikisi için doğru ise, üçüncü için doğrudur.

M, yanlarla bir dikdörtgen ise p. ve s.kafes çizgileri boyunca yönlendirildi

f (m) \u003d (p - 1) (q - 1) +
\u003d PQ.

Bu durumda, en yüksek formül geçerlidir. Üçgenler M1 ve M 2'de bir dikdörtgen m'yi keserek ve f (m) \u003d f (m 1) + f (m2) ve f (m 1) \u003d f (m2) 'nın gerçeğini kullanarak keserek, kolaydır. Kafes hatları boyunca yönlendirilen gümrüklü herhangi bir dikdörtgen üçgen için zirve formülünün adilliğini kanıtlamak. Böyle bir üçgeni dikdörtgenden keserim, herhangi bir üçgen alabilirsiniz.

Tepe formülünün kanıtını tamamlamak için, herhangi bir çokgenin kesişmeyen köşegenlerle üçgenlere kesilebileceğini fark etmek için kalır.

İspat sh.

Şekil alanı ile bu şekilde düşen düğüm sayısı arasındaki ilişki, bir dikdörtgen durumunda özellikle açıkça görülebilir.

İzin vermek Abcd. - Kılavuz çizgileri boyunca yürürken düğümlerde ve yanlarda köşeli dikdörtgen.

Belirtmek İÇİNDEdikdörtgenin içinde yatan düğüm sayısı ve G. - sınırındaki düğüm sayısı. Grid'i hücrenin zemine sağa ve barınağa doğru hareket ettirin.

Sonra dikdörtgenin alanı, düğümler arasında aşağıdaki gibi "dağıtabilir": her biri İÇİNDEdüğümler, her biri yerinden edilmiş ızgaranın tüm bir hücresini "kontrol eder" G. - 4 Sınır yanmayan düğüm - hücrenin yarısı ve açısal noktaların her biri hücrenin dörtte biridir. Bu nedenle, dikdörtgenin alanı eşittir

Öyleyse, ızgara çizgilerindeki düğümlerde ve taraflardaki köşeli dikdörtgenler için formülü kurduk

Bu formülün sadece dikdörtgenler için değil, aynı zamanda ızgara düğümlerinde köşeleri olan keyfi çokgenler için de doğru olduğunu kanıtlıyoruz.

Belirtmek S. m. poligon alanıM. düğümlerdeki köşelerde veP m. - büyüklük
neredeİÇİNDE m. - İçindeki düğüm sayısıM, fakat G. m. - sınırdaki düğüm sayısı. Sonra en yüksek formül olarak yazılabilir
.

Formülün kanıtı birkaç adım atmak için.

Aşama 1.

Bir çokgen iseM. ağın düğümlerindeki köşelerde 2 çokgen içine kesilmişM. 1 ve M. 2 , ayrıca sadece ızgara düğümlerinde üstleri olan, sonra
. Çokgen olsunM. çokgenler halinde kesmekM. 1 ve M. 2 Düğüm segmentindeki köşelerdeAv. Tüm düğümler, kesime düşenler hariçAb formülün sol ve sağına aynı katkıyı verin. AV segmentinde yatan düğümleri düşünün.

Böyle bir düğüm A ile içinde (örneğin, C) arasında yatıyorsa, daha sonra bir çokgen içinM. iç ve çokgenler içinM. 1 ve M. 2 - sınır. Öyleyse katkısıP m. 1'e eşit ve ifadelerin her birinde
ve
- 0.5, yani, bu düğümün katkılarıP m. ve
eşit.

A ve V düğümlerini düşünün. M.ve için M. 1 , M. 2 .

Bu nedenle, bu düğümlerin her birinin katkısıP m. 0.5'e eşittir ve
- birlik. Öyleyse, A ve B düğümlerinin toplam katkısıP m. 1'e eşit, bu, katkılarından 1 daha azdır.
. Fakat
, fakat .

Tüm düğümlerin genel "katkısından" dan P m. Çıkarılan 1 ve
2'yi kaldırın ve bu, A ve V düğümlerinin katkılarındaki farkı telafi eder.

Yani,
.

Adım 2.

Bir çokgen ise M.ağın düğümlerindeki köşelerde iki çokgen içine kesilmiş M. 1 ve M. 2 (ayrıca düğümlerdeki köşelerde) ve formül iki çokgenlerin bazıları için geçerlidir. M, M. 1 , M. 2 , sonra üçüncü çokgen için geçerlidir.

Örneğin, bunun için doğruM. 1 ve M. 2 , yani
. Sonra (ilk adımda), ama üzerinde İlk adım) Son ifade eşittirP m. , ve eşitlik
Ve bir tepe formülü var.

Aşama 3.

Izgara düğümlerinde ve ızgara çizgilerinde yatan müşterilerdeki köşeli dikdörtgen üçgen için tepe formülünü kanıtlıyoruz.

Üçgen ABC Dikdörtgen atmak Abcd. .

Dikdörtgenler için, tepe formülü doğrudur: S. Abcd. \u003d P. Abcd. . İlk adıma göre P Abcd. \u003d P. ABC + P. ACD. , P ABC \u003d P. ACD. , böylece P Abcd. \u003d 2p. ABC . Fakat S. Abcd. = 2 S. ABC . bu nedenle S. ABC \u003d P. ABC .

Adım 4.

Tepe formülü, ızgara düğümlerinde köşeleri olan keyfi bir üçgen için doğrudur.

Çizimi göz önünde bulundurarak, anlamak kolaydır: Böyle bir üçgen, ızgara çizgileri boyunca, birkaç dikdörtgen ve dikdörtgen üçgenlerle birlikte, bazı dikdörtgenlerden bir miktar dikdörtgenden, bir miktar dikdörtgen ve ızgara hatlarında gümrüklü dikdörtgen üçgenleri elde edilebilir. Ve tepe formülü dikdörtgenler ve dikdörtgen üçgenler için doğru olduğundan, orijinal üçgen için doğrudur.

Bir çokgen, ızgara düğümlerinde köşeleri olan üçgenlere kesilebileceğini kanıtladık, daha sonra tepe formülü bunun için doğrudur.

3. Görevler.

Rakamların karelerini bulun:

1
.

B \u003d 9.

R \u003d 4.

B \u003d 9.

R \u003d 5.

Hibadullina g.i. (Nurlat, Maou School No. 1)

1. Boynyovich E.A., Dorofeyev G.V., Suvorova S.B. ve diğerleri. Matematik. Aritmetik. Geometri. 5. Sınıf: Eğitim. Genel eğitim için. adj ile organizasyonlar. bir elektronda. Taşıyıcı -3-e ed. - M.: Aydınlanma, 2014. - 223, s. : Il. - (küreler).

2. Boynyovich E.A., Kuznetsova L.V., Minaeva S.S. ve diğerleri. Matematik. Aritmetik. Geometri. 6. Sınıf: Eğitim. Genel eğitim için. organizasyonlar. 5. ed. - M.: Aydınlanma, 2016. - 240 s.: Il. - (küreler).

3. Vasiliev n.b. Zirvenin formülü // Kvant. - 1974. - №2. - S. 39-43.

4. ROSETS V.V. Planimetri için görevler. 5. ed., Hareket. ve Ekle. - m.: 2006. - 640 s.

5. YASHCHENKO I.V. Oge. Matematik: Tipik Sınavlar: O-39 36 Seçenekler - M.: Yayınevi "Milli Eğitim", 2017. - 240 p. - (Oge. Fipix - okul).

6. Oge'yi dekore ediyorum: Matematik. Öğretim sistemi Dmitry Gushchina. Oge-2017: Görevler, Cevaplar, Çözümler [Elektronik Kaynak]. - Erişim modu: https://oge.sdamgia.ru/test?id\u003d6846966 (Temyiz Tarihi 04/02/2017).

Ben 6. sınıf öğrencisiyim. Geçen yıldan bu yana geometriyi incelemeye başladı, çünkü okulda ders kitabında "matematiği. Aritmetik. Geometrisi "e.a. tarafından düzenlendi. Binaovich, L.V. Kuznetsova, S.S. Minaeva ve diğerleri.

"Şekillerin Meydanı" nın temaları, "formüllerin derlenmesi" en büyük ilgi çekildi. Aynı rakamların alanının çeşitli şekillerde bulunabileceğini fark ettim. Günlük yaşamda, genellikle bölgeyi bulma görevleriyle karşılaşırız. Örneğin, boyamak zorunda kalan zemin alanını bulun. Merakla, çünkü tamir için gerekli sayıda duvar kağıdını satın almak için, odanın boyutunu bilmeniz gerekir. Kare duvarlar. Karenin karesinin hesaplanması, dikdörtgen ve dikdörtgen üçgen bana zorluk çekmiyordu.

Bu konuyla ilgilenen, internette ek bir malzeme aramaya başladım. Aramanın bir sonucu olarak, peak formülüne rastladım, damalı kağıda çizilen çokgen alanın hesaplanması için bir formüldür. Bu formül için alanın hesaplanması bana herhangi bir öğrenciye mevcut görünüyordu. Bu yüzden araştırma çalışmaları yapmaya karar verdim.

Konunun alaka düzeyi. Bu konu, geometri kursu çalışmasının takviyesi ve derinleşmesidir.

Bu konunun incelenmesi, Olimpiyatlar ve sınavlara daha iyi hazırlanmasına yardımcı olacaktır.

İşin amacı:

1. Zirvenin formülüyle tanışın.

2. Pik formülü kullanarak geometrik problemlerin kararları yöntemlerini gönderin.

3. Teorik ve pratik malzemeleri sistematikleştirmek ve özetlemek.

Araştırma Görevleri:

1. Görevleri çözerken formülü uygulaymanın etkinliğini ve fizibilitesini kontrol edin.

2. Farklı karmaşıklık görevlerinde bir tepe formülü uygulamayı öğrenin.

3. Tepe formülü ve geleneksel şekilde çözülen görevleri karşılaştırın.

Ana bölüm

Tarihsel referans

Georg Alexander Zirvesi - Yılın 10 Ağustos'unda doğmuş olan Avusturya Matematik. Üstün yetenekli bir çocuktu, babası öğretildi, özel bir kurum tarafından yönetildi. 16'da Georg okuldan mezun oldu ve Viyana Üniversitesi'ne girdi. 20 yaşındayken fizik ve matematik öğretme hakkını aldı. Dünya çapında şöhret, çokgenlerin kafesinin alanını belirlemek için bir formül getirdi. 1899'daki makaleye formülünü yayınladı. Polonya bilim adamı Hugo Steinhuz, 1969 yılında matematiksel çekimlerin yayınlanmasına dahil edildiğinde popüler oldu.

Georg Peak, Viyana Üniversitesi'nde eğitildi ve adayını 1880'de savundu. Doktora derecesi aldıktan sonra, Prag'daki Sher Ferdinanand Üniversitesi Ernest Mach'e asistan olarak atandı. Ayrıca öğretmen oldu. Prag'da 1927'de istifasına gitti ve daha sonra Viyana'ya geri döndü.

Zirve, 1911'de Matematiksel Fizik Bölümü Profesörü tarafından Einstein'ı atanan Prag Üniversitesi Komitesi tarafından başladı.

Çek Cumhuriyeti ve Sanat Akademisi üyesi seçildi, ancak Nazis Prag'ı yakaladıktan sonra dışlandı.

Naziler, 12 Mart 1938'de Avusturya'ya girdiğinde, Prag'a döndü. 1939'da Naziler, Çekoslovakya'yı istila etti. 13 Temmuz 1942'de, zirvenin, Naziler tarafından 82 yaşındayken iki hafta sonra öldüğü Ulusal Çek Cumhuriyeti'ndeki Teresyienstadt kampına sürüldü.

Araştırma ve Kanıt

Araştırmamı soruyu bulmakla başladım: Meydanı hangi rakamları bulabilirim? Çeşitli üçgenlerin ve dörtgenlerin alanını hesaplamak için bir formül oluşturun. Fakat yaklaşık beş-, altı ve genel olarak çokgenlerle?

Çeşitli sitelerdeki çalışma sırasında, beş, altı- ve diğer çokgenlerin alanını hesaplamak için görevlere çözümler gördüm. Tepe formülü olarak adlandırılan bu görevleri çözmenizi sağlayan bir formül. Buna benziyor: S \u003d B + g / 2-1, poligonun içinde yatan düğümlerin sayısında G, g, çokgen sınırında yatan düğüm sayısıdır. Bu formülün özeti, sadece damalı kağıda çizilen çokgenler için kullanılabileceğidir.

Böyle bir çokgen, içeride ya da yanlarda düğümler içermeyen ızgara düğümlerinde üstleri olan üçgenlere ayrılması kolaydır. Tüm bu üçgenlerin alanının aynı ve sonuç olarak aynı olduğu ve sonuç olarak, çokgen alanının T Numarlarının yarısına eşit olduğu gösterilebilir.

Bu numarayı bulmak için, çokgenin taraflarının sayısı, içindeki düğüm sayısı aracılığıyla, g sayesinde, köşeler de dahil olmak üzere yandaki düğüm sayısıdır. Tüm üçgenlerin açının toplamı 180 ° 'dir. T.

Şimdi miktarı başka bir şekilde bulacağız.

Herhangi bir iç düğümde bir köşe ile açıların toplamı 2.180 °, yani. Köşelerin toplam tutarı 360 °. İÇİNDE; Yandaki düğümlerde toplam açıların toplamı, fakat (G - N) 180 ° 'ye eşit olan köşelerde değil ve poligonun üst kısımındaki açıların toplamı (M - 2) 180 °' ye eşit olacaktır. Böylece, t \u003d 2.180 °. B + (Bay) 180 ° + (n-2) 180 °. Parantezleri açarak ve 360 \u200b\u200b° bölünerek, bir tepe formülü olarak bilinen bir çokgen alan için bir formül elde ediyoruz.

Pratik bölüm

Bu formül, Oge-2017 koleksiyonundan görevleri kontrol etmeye karar verdi. Üçgenin, quaddanganın ve pentagonun alanını hesaplama görevini aldı. Cevapları karşılaştırmaya, iki şekilde çözmeye karar vermeye karar verdim: 1) Reklamları dikdörtgene ve elde edilen dikdörtgen alanından sağladım, dikdörtgen üçgenlerin alanı düşüldü; 2) Tepe formülü uyguladı.

S \u003d 18-1.5-4.5 \u003d 12 ve s \u003d 7 + 12/2-1 \u003d 12.

S \u003d 24-9-3 \u003d 12 ve s \u003d 7 + 12/2-1 \u003d 12.

S \u003d 77-7.5-12-4.5-4 \u003d 49 ve s \u003d 43 + 14 / 2-1 \u003d 49.

Elde edilenin karşılaştırılması, her iki formülün de aynı cevabı verdiği sonucuna varın. Hesaplamalar daha az olduğu için, zirvenin formülündeki figürün alanını bulun, çünkü hesaplamalar daha azdı. Hesaplamalarda çözme ve zamandan tasarruf süresi, Oge teslim edildiğinde gelecekte benim için yararlı olacaktır.

Pik formülü kullanma olasılığını daha karmaşık figürlerde kontrol etmeye itti.

S \u003d 0 + 4/2 -1 \u003d 1

S \u003d 5 + 11 / 2-1 \u003d 9.5

S \u003d 4 + 16 / 2-1 \u003d 1

Sonuç

Tepe formülü, anlayışı ve kullanımı kolaydır. İlk olarak, dikkate alınması, 2'ye bölün, katlayın ve düşmesi yeterlidir. İkincisi, çok zaman harcamadan bir alan ve karmaşık bir rakam bulabilirsiniz. Üçüncüsü, bu formül herhangi bir çokgen için çalışır.

Dezavantaj, tepe formülünün sadece damalı kağıda çizilen şekiller için uygulanabilir olması ve köşelerin hücrelerin düğümleri üzerinde uzanmasıdır.

Final sınavlarını teslim ederken, rakamların alanını hesaplamak için görevler zorluklara neden olmayacağından eminim. Ne de olsa, zirve formülüne zaten aşinayım.

Bibliyografik Referans

Gabbazov N.N. Peak Formula // Bilimde Başlayın. - 2017. - № 6-1. - s. 130-132;
URL: http://science-start.ru/ru/article/view?id\u003d908 (Kullanım tarihi: 03/05/2020).

İşin metni görüntü ve formül olmadan yerleştirilir.
Çalışmanın tam sürümü, PDF formatındaki "İş Dosyaları" sekmesinde mevcuttur.

Giriş

Ben, öğrenci 6. sınıf. Geçen yıldan bu yana geometriyi incelemeye başladı, çünkü okulda ders kitabında "matematiği. Aritmetik. Geometrisi "e.a. tarafından düzenlendi. Binaovich, L.V. Kuznetsova, S.S. Minaeva ve diğerleri.

Konunun alaka düzeyi:

Bu konu, geometri kursu çalışmasının takviyesi ve derinleşmesidir.

Bu konunun incelenmesi, Olimpiyatlar ve sınavlara daha iyi hazırlanmasına yardımcı olacaktır.

İşin amacı:

Zirvenin formülü ile tanışın.

Tepe formülünü kullanarak geometrik görevlerin tekniklerini gönderin.

Teorik ve pratik malzemeleri sistematikleştirmek ve özetler.

Araştırma Görevleri:

Görevleri çözerken formülü kullanmanın etkinliğini ve fizibilitesini kontrol edin.

Farklı karmaşıklık görevlerinde bir tepe formülü uygulamayı öğrenin.

Tepe formülü ve geleneksel şekilde çözülen görevleri karşılaştırın.

Ana bölüm

1.1. Tarihsel referans

Georg Alexander Zirvesi - Avusturya Mathematician, 10 Ağustos 1859'da doğdu. Üstün yetenekli bir çocuktu, babası öğretildi, özel bir kurum tarafından yönetildi. 16'da Georg okuldan mezun oldu ve Viyana Üniversitesi'ne girdi. 20 yaşındayken fizik ve matematik öğretme hakkını aldı. Dünya çapında şöhret, çokgenlerin kafesinin alanını belirlemek için bir formül getirdi. 1899'daki makaleye formülünü yayınladı. Polonya bilim adamı Hugo Steinhuz, 1969 yılında matematiksel çekimlerin yayınlanmasına dahil edildiğinde popüler oldu.

Zirve, 1911'de Matematiksel Fizik Bölümü Profesörü tarafından Einstein'ı atanan Prag Üniversitesi Komitesi tarafından başladı.

Çek Cumhuriyeti ve Sanat Akademisi üyesi seçildi, ancak Nazis Prag'ı yakaladıktan sonra dışlandı.

1.2. Araştırma ve Kanıt

Çeşitli sitelerdeki çalışma sırasında, beş, altı- ve diğer çokgenlerin alanını hesaplamak için görevlere çözümler gördüm. Tepe formülü olarak adlandırılan bu görevleri çözmenizi sağlayan bir formül. Buna benziyor: S \u003d B + g / 2-1nerede İÇİNDE - Çokgen içinde yatan düğüm sayısı, G.- Poligon sınırında yatan düğüm sayısı. Bu formülün özeti, sadece damalı kağıda çizilen çokgenler için kullanılabileceğidir.

Böyle bir çokgen, içeride ya da yanlarda düğümler içermeyen ızgara düğümlerinde üstleri olan üçgenlere ayrılması kolaydır. Tüm bu üçgenlerin alanının aynı ve sonuç olarak aynı olduğu ve sonuç olarak, çokgen alanının sayısının yarısına eşit olduğu gösterilebileceği gösterilebilir. T.

Bu numarayı bulmak için, çokgenin taraflarının sayısını n ile belirtir. İÇİNDE- İçindeki düğüm sayısı, G.- Köşeler dahil, yanlarda düğüm sayısı. Tüm üçgenlerin açının toplamı 180 ° 'dir. T.

Şimdi miktarı başka bir şekilde bulacağız.

Herhangi bir iç düğümde bir köşe ile açıların toplamı 2.180 °, yani. Köşelerin toplam tutarı 360 °. İÇİNDE;kenarlardaki düğümlerde toplam açıların toplamı, ancak köşelerde değil ( Gn n) 180° ve poligonun üst kısımındaki köşelerin toplamı ( G- 2) 180°. Böylece, T \u003d.2.180 °. B + (Bay) 180° + (n -2)180 °. Parantezleri açarak ve 360 \u200b\u200b° bölünerek, bir tepe formülü olarak bilinen bir çokgen alan için bir formül elde ediyoruz.

2. Pratik Bölüm

S \u003d 18-1.5-4.5 \u003d 12 ve S \u003d 7 + 12 / 2-1 \u003d 12

S \u003d 24-9-3 \u003d 12 ve S \u003d 7 + 12 / 2-1 \u003d 12

S \u003d 77-7.5-12-4.5-4 \u003d 49 ve s \u003d 43 + 14 / 2-1 \u003d 49

Pik formülü kullanma olasılığını daha karmaşık figürlerde kontrol etmeye itti.

S \u003d 0 + 4/2 -1 \u003d 1

S \u003d 5 + 11 / 2-1 \u003d 9.5

S \u003d 4 + 16 / 2-1 \u003d 1

Sonuç

Dezavantaj, tepe formülünün sadece damalı kağıda çizilen şekiller için uygulanabilir olması ve köşelerin hücrelerin düğümleri üzerinde uzanmasıdır.

Final sınavlarını teslim ederken, rakamların alanını hesaplamak için görevler zorluklara neden olmayacağından eminim. Ne de olsa, zirve formülüne zaten aşinayım.

Bibliyografi

Binaovich E.A., Dorofeyev G.V., Suvorova S.B. ve diğerleri. Matematik. Aritmetik. Geometri. 5. Sınıf: Eğitim. Genel eğitim için. adj ile organizasyonlar. bir elektronda. Carrier -3-e Ed.-m.: Aydınlanma, 2014.- 223, s. : Il. - (küreler).

Baynovich E.A., KUZNETSOVA L.V., Minaeva S.S. ve diğerleri. Matematik. Aritmetik. Geometri. 6. Sınıf: Eğitim. Genel eğitim için. Kuruluşlar - 5th Ed.-M.: Aydınlanma, 2016.-240C. : IL.- (Küreler).

Vasilyev n.b. Zirvenin formülü çevresinde. //Kvant.- 1974.-№2. -C.39-43

ROSETS V.V. Planimetri için görevler. / 5- Ed., Yasası. Ve Ekle. - m.: 2006.-640С.

İ.v. Yashchenko. Matematik: Tipik Sınav Seçenekleri: O-39 36 Seçenekler - m.: Yayınevi "Milli Eğitim", 2017. -240 s. - (Oge. Phi-School).

"Ben oge çözdüm": matematik. Öğretim sistemi Dmitry Gushchina. Oge-2017: Görevler, Cevaplar, Çözümler [Elektronik Kaynak]. Erişim modu: https://oge.sdamgia.ru/test?id\u003d6846966 (Temyiz Tarihi 04/02/2017)

Damalı kağıda biraz çokgen çizin. Örneğin, Şekil 1'de gösterildiği gibi.

Alanını hesaplamaya çalışalım. Nasıl yapılır? Muhtemelen onu kırmak en kolay dikdörtgen üçgenler Elde edilen sonuçları hesaplamak ve katlamak için zaten kolay olan dikdörtgenler. Benim tarafından kullanılan basit, ama çok hantal, ek olarak, herhangi bir çokgen için uygun değildir.

Bir nondeneraterat basit bir tamsayı poligonu (yani, bağlı), herhangi bir iki nokta sürekli bir eğri ile bağlanabilir, tamamen bulunur ve tüm köşelerinin tümü tüm koordinatlara sahiptir, sınırı kendi kendine kesişmeden kesilmiş bir tutarlıdır, ve sıfır olmayan bir bölgeye sahiptir). Böyle bir çokgen alanını hesaplamak için aşağıdaki teoremi kullanabilirsiniz:

Tepe teoremi. LET - Poligon içindeki tamsayı noktalarının sayısı - sınırındaki tamsayı noktalarının sayısı - alanı. Sonra geçerli formül seçmek:

Misal. Şekil 1'deki bir çokgen için (sarı noktalar), (mavi noktalar, köşeleri unutmayın!), Bu nedenle kare birimler.

Tepe teoreminin kanıtı. İlk olarak, en yüksek formülün tek bir kare için geçerli olduğunu unutmayın. Gerçekten de, bu durumda biz var ve

Kafes hatlarında yatan kenarlarla bir dikdörtgen düşünün. Kenarlarının uzunluğunun eşit olmasına izin verin. Bu durumda, en yüksek formüle göre,

Şimdi koordinat eksenlerinde yatan müşterilerle dikdörtgen bir üçgen düşünüyoruz. Böyle bir üçgen, taraflardaki bir dikdörtgenden elde edilir ve önceki davada dikkate alınarak, köşegen üzerinde kesilir. Köşegenlerin tamsayı noktalarını yalan söyleyin. Öyleyse bu durum için ve bunu aldık

Şimdi keyfi bir üçgen düşünün. Dikdörtgenden ve muhtemelen bir dikdörtgenden birkaç dikdörtgen dikdörtgen kesilerek elde edilebilir (bkz. Şekil 2 ve 3). Hem bir dikdörtgen için hem de tepe formülünün dikdörtgen bir üçgeni için, keyfi bir üçgen için de geçerli olacağını sağlıyoruz.

Son adımı yapmak için kalır: Üçgenlerden çokgenlere gidin. Herhangi bir poligon üçgenlere ayrılabilir (örneğin, köşegenler). Bu nedenle, herhangi bir üçgen arzu edildiğinde, keyfi bir çokgene herhangi bir üçgen eklenirken, tepe formülünün doğru olduğunu kanıtlamak gerekir.

Poligon ve üçgenin ortak bir tarafı olsun. Tepe formülü için, eklemeden elde edilen bir çokgen için doğru olacağını kanıtlayacağını varsayalım. Genel tarafı olduğundan, o zaman tüm tamsayı noktalarının bu tarafta yatan, iki köşe hariç, yeni çokgenin iç noktaları haline gelir. Vertices sınır noktaları olacak. Ortak noktaların sayısını belirtir ve

Yeni poligonun iç tamsayı noktalarının sayısı,

Yeni poligonun sınır noktaları sayısı.

Bu eşitliklerden aldığımız

Teorem'in ayrı olarak doğru olduğunu öne sürdüğümüz için,

Böylece, tepe formülü kanıtlanmıştır.

Bu formül, 1899'da Avusturya Matematik Tepesi Georg Alexandrov (1859 - 1943) tarafından açıldı. Bu formüle ek olarak, Georg Peak, Peak Theorem'i açtı, zirve - Julia, Peak - Nevalin, Schwartz - Zirvenin eşitsizliğini kanıtladı. İÇİNDE Ek 1. Pik formülü uygulamak için benim tarafımdan düşünülen standart olmayan görevleri görebilirsiniz.

Formül seçmek

Sazhina Valery Andreevna, Öğrenci 9 Class Maou "Sosh№11" G UST-Ilimsk Irkutsk Bölgesi

Önder: Gubar Oksana Mikhailovna, Matematik öğretmeni en yüksek nitelikli kategori "Sosh№11" Bay Ust-Ilimsk Irkutsk Bölgesi

2016 yılı

Giriş

"Poligon Meydanı" nın geometrisinin konusunu incelirken, öğrenmeye karar verdim: derslerde okuduğumuzdan başka kareler bulmanın bir yolu var mı?

Bu şekilde, bir tepe formülü var. L. V. Gorina'da "Kendi eğitimi bulmak için malzemeler" bu formülü açıkladı: "Tepe formülüne giriş, özellikle kullanımın ve GIA'nın tesliminin arifesinde özellikle ilgilidir. Bu formülle, sınavlarda sunulan büyük bir görev sınıfını kolayca çözebilirsiniz - bunlar damalı kağıda gösterilen çokgen alanını bulmak için görevlerdir. Küçük tepe formülü, bu tür görevleri çözmek için gerekli bir bütün formül setinin yerini alır. Zirvenin formülü "herkes için bir ..."! ".

Sınavın materyallerinde, arazi arazilerinin pratik içeriği ile görevlerle tanıştım. Bu formülün okul alanının bölgesini, kentin mahallelerinin, bölgeyi bulmak için uygun olup olmadığını kontrol etmeye karar verdim. Yanı sıra kullanımı, problemleri çözmek için rasyoneldir.

Çalışmanın amacı: Tepe formülü.

Araştırma Konusu: Görevleri çözerken zirve formülünün rasyonelliği uygulaması.

Çalışmanın amacı, damalı kağıda gösterilen şekil alanlarını bulmak için görevleri çözerken, en yüksek formülü kullanmanın rasyonelliğini sağlamaktır.

Araştırma yöntemleri: Modelleme, karşılaştırma, genelleme, analojiler, edebi ve internet kaynaklarının incelenmesi, bilginin analizi ve sınıflandırılması.

Gerekli literatürü alın, elde edilen bilgileri analiz edin ve sistematikleştirin;

Hücresel kağıda sorunları çözmek için çeşitli yöntem ve teknikleri göz önünde bulundurun;

Tepe formülünü kullanmanın rasyonelliğinden deneysel olarak kontrol edin;

Bu formülün kullanımını düşünün.

Hipotez: Çokgen alanını bulmak için tepe formülünü uyguluyorsanız, bölgenin alanını bulabilirsiniz ve damalı kağıttaki görevlerin çözümü daha rasyonel olacaktır.

Ana bölüm

Teorik bölüm

Çizim ve çizmeyi tercih ettiğimiz damalı kağıt (daha kesin olarak - düğümleri), uçaktaki nokta kafesinin en önemli örneklerinden biridir. Zaten bu basit kafes K. Gaussion'a, içindeki tamsayı koordinatlarındaki nokta sayısıyla daire alanını karşılaştırmak için başlangıç \u200b\u200bnoktasına göre Gauss'a hizmet etti. Uçaktaki rakamlarla ilgili bazı basit geometrik ifadelerin, aritmetik çalışmalarda derin sonuçları vardır, 1896'da Minkowski şehri tarafından açıkça fark edildi, ilk kez teorik ve sayısal problemleri göz önünde bulundurulardı.

Damalı kağıda biraz çokgen çizin (Ek 1, Şekil 1). Alanını hesaplamaya çalışalım. Nasıl yapılır? Muhtemelen, elde edilen alanları hesaplamak ve katlamak kolay olan dikdörtgen üçgenler ve bir trapezium üzerinde kırmanın en kolay yolu.

Kullanılan yöntem basit, ancak çok hantal, ek olarak, herhangi bir çokgen için uygun değildir. Böylece bir sonraki poligon, önceki durumda yaptığımız gibi dikdörtgen üçgenlere bölünemez (Ek 2, Şekil 2). Örneğin, bize ihtiyaç duyduğumuz, yani, açıklanan metodu hesaplayabileceğimizi, ardından ortaya çıkan alanın sayısından elde edebileceğimiz "iyi" olarak ekleyebilirsiniz. bölüm eklendi.

Bununla birlikte, kare ızgaranın düğümleriyle bu gibi çokgenlerin alanını hesaplamanızı sağlayan çok basit bir formül olduğu ortaya çıktı.

Bu formül, zirvenin yayınlandıktan sonra bir süre farkedilmeden kaldı, ancak 1949'da Hugo Stengaus'un Polonya matematikçisi, teoremini ünlü "matematiksel kaleydoskopu" da dahil etti. Bu zamandan beri, tepe teoremi yaygın olarak bilinmektedir. Almanya'da, en yüksek formül okul ders kitaplarına dahildir.

Kombinatoryal geometrisinin klasik bir sonucudur ve sayıların geometrisidir.

Zirvenin formülünün kanıtı

Absd, ızgara çizgileri boyunca çalışan düğümlerde ve taraflardaki köşeli dikdörtgen olsun (Ek 3, Şekil 3).

B tarafından belirtir - Dikdörtgenin içinde yatan düğüm sayısı ve G ile sınırındaki düğüm sayısıdır. Izgarayı kutuplara sağa ve barınağa hareket ettirin

aşağı. Daha sonra, dikdörtgenin alanı, düğümler arasında aşağıdaki gibi "dağılmış" olabilir: her bir düğümün, yerinden edilmiş kılavuzun tüm hücresini ve her bir düğümün hücresini kontrol eder - 4 Sınır açısal olmayan düğüm - yarısı Hücre ve açısal noktaların her biri bir çeyrek hücredir. Bu nedenle, dikdörtgenin alanı eşittir

S. \u003d B +. + 4 · \u003d B +. - 1 .

Öyleyse, ızgara çizgilerindeki düğümlerde ve taraflardaki köşeli dikdörtgenler için, S \u003d B + - 1 formülünü ayarladık. . Bu bir tepe formülü.

Bu formülün sadece dikdörtgenler için değil, aynı zamanda ızgara düğümlerinde köşeleri olan keyfi çokgenler için de geçerlidir.

Pratik bölüm

Rakamların alanını geometrik bir yöntemle bulma ve en yüksek formül

Teak formülünün, kabul edilen tüm örnekler için doğru olduğundan emin olmaya karar verdim.

Bir çokgen, ızgara düğümlerinde köşeleri olan üçgenlere kesilebilse, o zaman en yüksek formül için doğrudur.

1 cm1 cm hücreli hücresel kağıda bazı zorluklara baktım ve harcadım karşılaştırmalı analiz Görevleri çözerek (Tablo # 1).

Tablo # 1 Görevleri çeşitli şekillerde çözme.

Resim

Geometri formülüne göre

En yüksek formül ile

Görev numarası 1

S \u003d S. vb - (2s. 1 + 2s. 2 )

S. vb =4*5=20 santimetre 2

S. 1 =(2*1)/2=1 santimetre 2

S. 2 =(2*4)/2=4 santimetre 2

S \u003d 20- (2 * 1 + 2 * 4) \u003d 10santimetre 2

Cevap :10 santimetre ².

B \u003d 8, r \u003d 6

S. \u003d 8 + 6/2 - 1 \u003d 10 (cm²)

Cevap: 10 cm².

Görev numarası 2.

a \u003d 2, H \u003d 4

S \u003d A * H \u003d 2 * 4 \u003d 8santimetre 2

Cevap : 8 santimetre ².

B \u003d 6, r \u003d 6

S. \u003d 6 + 6/2 - 1 \u003d 8 (cm²)

Cevap: 8 cm².

Görev numarası 3.

S \u003d S. KV. - (S. 1 + 2s. 2 )

S. KV. =4 2 =16 santimetre 2

S. 1 \u003d (3 * 3) / 2 \u003d 4.5 cm 2

S. 2 \u003d (1 * 4) / 2 \u003d 2cm 2

S.\u003d 16- (4.5 + 2 * 2) \u003d 7.5 cm 2

B \u003d 6, g \u003d 5

S. \u003d 6 + 5/2 - 1 \u003d 7.5 (cm²)

Cevap: 7.5 cm².

Görev numarası 4.

S \u003d S. vb - (S. 1 + S. 2+ S. 3 )

S. vb =4 * 3=12 santimetre 2

S. 1 =(3*1)/2=1,5 santimetre 2

S. 2 =(1*2)/2=1 santimetre 2

S. 3 =(1+3)*1/2=2 santimetre 2

S \u003d 12- (1.5 + 1 + 2) \u003d 7.5santimetre 2

B \u003d 5, g \u003d 7

S. \u003d 5 + 7/2 - 1 \u003d 7.5 (cm²)

Cevap: 7.5 cm².

Görev numarası 5.

S \u003d S. vb - (S. 1 + S. 2+ S. 3 )

S. vb =6 * 5=30 santimetre 2

S. 1 =(2*5)/2=5 santimetre 2

S. 2 =(1*6)/2=3 santimetre 2

S. 3 =(4*4)/2=8 santimetre 2

S \u003d 30- (5 + 3 + 8) \u003d 14santimetre 2

Cevap: 14 cm²

B \u003d 12, g \u003d 6

S. \u003d 12 + 6/2 - 1 \u003d 14 (cm²)

Cevap: 14 cm²

Bir görev №6.

S. Tr \u003d (4 + 9) / 2 * 3 \u003d 19.5 cm 2

Cevap: 19.5 cm 2

B \u003d 12, g \u003d 17

S. \u003d 12 + 17/2 - 1 \u003d 19.5 (cm²)

Cevap: 19.5 cm 2

Bir görev №7. 1 cm - 200 m ölçeğinde bir kare örgü 1 × 1 (cm) olan planda tasvir edilen orman masifinin (m² cinsinden) bulun

S \u003d S. 1 + S. 2+ S. 3

S. 1 =(800*200)/2=80000 m. 2

S. 2 =(200*600)/2=60000 m. 2

S. 3 =(800+600)/2*400=

280000 m. 2

S \u003d.80000+60000+240000=

420000m 2.

Cevap: 420.000 m²

B \u003d 8, g \u003d 7. S. \u003d 8 + 7/2 - 1 \u003d 10.5 (cm²)

1 cm² - 200² m²; S. \u003d 40000 · 10.5 \u003d 420 000 (m²)

Cevap: 420.000 m²

Görev numarası 8. . Ölçekte bir kare hasır 1 × 1 (cm) ile planın gösterdiği alan alanını (m² cinsinden) bulun

1 cm - 200 m.

S.= S. KV -2 ( S. TR +. S. merdiven)

S. KV \u003d 800 * 800 \u003d 640000 m 2

S. Tr \u003d (200 * 600) / 2 \u003d 60000m 2

S. TRAP \u003d (200 + 800) / 2 * 200 \u003d

100000m 2.

S.=640000-2(60000+10000)=

320000 m 2.

Cevap: 320.000 m²

Karar. Bulmak S. Damalı kağıda TEPH formülüyle gösterilen kuadricinin alanı:S. \u003d B + - 1

B \u003d 7, g \u003d 4. S. \u003d 7 + 4/2 - 1 \u003d 8 (cm²)

1 cm² - 200² m²; S. \u003d 40000 · 8 \u003d 320 000 (m²)

Cevap: 320.000 m²

Görev Numarası 9. . Kare bulmakS. sektörler, kare hücreleri 1'e eşit sayma, cevap olarak, belirtin .

Sektör, dairenin dördüncü kısmıdır ve bu nedenle, alanı dairenin dördüncü bir alanına eşittir. Daire alanı π'a eşittirR. 2 nerede R. - daire yarıçapı. Bizim durumumuzdaR. =√5 Ve bu nedenle bölgeS. sektörler 5π / 4'tür. DanS./ π \u003d 1.25.

Cevap. 1.25.

R \u003d 5, b \u003d 2, S. \u003d B + g / 2 - 1 \u003d 2 + 5/2 - 1 \u003d 3.5, ≈ 1,11

Cevap. 1,11.

Görev numarası 10. Kare bulmak S. yüzükler, kare hücreleri 1'e eşit sayma, cevap olarak, belirtin .

Yüzük alanı, dış ve iç çevrelerin alanındaki farkına eşittir. YarıçapR. dış daire eşit

2, yarıçap r. İç daire 2'dir. Sonuç olarak, yüzük alanı 4'tür. Ve bu nedenle, . Cevap: 4.

R \u003d 8, b \u003d 8, S. \u003d B + g / 2 - 1 \u003d 8 + 8/2 - 1 \u003d 11, ≈ 3,5

Cevap: 3.5

Sonuçlar: Görülen görevler, matematikte sınavın materyallerini ölçmek için seçeneklerden gelen göreve benzerdir (Görevler No. 5.6),

Sözlü olarak kabul edilen görev kararlarından, bazılarının, 2.6 sayılı Görevler gibi, geometrik formülleri uygulayarak daha kolay olduğunu gördüm, çünkü yükseklik ve taban, Şekilde tanımlanabilir. Ancak görevlerin çoğu, figürün daha basit bir şekilde bölünmesini (Görev numarası 7) veya bir dikdörtgene (Görevler No. 14,5), bir kareyi (3,8 sayılı Görevler).

9 ve No. 10 sayılı problemleri çözmekten, çokgen olmayan rakamlar için bir tepe formülünün kullanımının yaklaşık bir sonuç verdiğini gördüm.

Tepe formülünün uygulanmasının rasyonelliğini test etmek için, harcanan zaman için bir çalışma yaptım (Ek 4, Tablo No. 2).

Sonuç: Tablo ve diyagramdan (Ek 4, Grafik 1) Zirvenin formülüyle ilgili sorunları çözerken, zaman çok daha az harcanması görülebilir.

Mekansal formların alanını bulmak

Bu formülün mekansal formlara uygulanabilirliğini kontrol edin (Ek 5, Şekil 4).

Dikdörtgen paralellemenin tam yüzeyinin, kare hücrelerin kenarını 1'e eşit alanını bulun.

Bu bir formül eksikliğidir.

Bölgenin alanını bulmak için tepe formülünün uygulanması

Uygulamalı içerikli görevleri çözme (görev sayısı 7.8; Tablo No. 1), bu yöntemi, Irkutsk bölgesi, Ust-Ilimsk şehrinin mahalleleri, okul bölgemizin alanını bulmak için uygulamaya karar verdim.

"Arazi Arsa'nın Sınırlarının Projesi Projesi, Mausosh№11 G. Nast-Ilimsk" (Ek 6), okul bölgemizin alanını buldum ve arazi komplo sınırları ile karşılaştırıldığında (Ek 9 , Tablo 3).

Ust-Ilimsk'in doğru bankasını (Ek 7) olarak kabul ettim, Microdistricon bölgesini hesapladım ve Irkutsk bölgesinin "ust-ilimsk" deki verilerle karşılaştırıldığında ". Tabloda sunulan sonuçlar (Ek 9, Tablo 4).

IRKUTSK Bölgesi haritasını (Ek 7) olarak değerlendirdik, bölgedeki bölgeyi buldum ve Vikipedi'den verilerle karşılaştırıldığında. Tabloda sunulan sonuçlar (Ek 9, Tablo 5).

Sonuçları analiz ettikten sonra, sonuca vardım: Zirve formülüne göre, bu alanlar çok daha kolay bulunabilir, ancak sonuçlar yaklaşık.

Yapılan çalışmalardan, okul bölgesini bulduğumda aldığım en doğru önem (Ek 10, Grafik 2). Irkutsk bölgesinin karesi olduğunda sonuçlarda daha büyük bir tutarsızlık (Ek 10, Grafik 3). Bu gerçeğe bağlıdır. Bölgenin tüm sınırları çokgenler için taraflardır ve köşeler düğüm noktaları değildir.

Sonuç

Çalışmalarımın bir sonucu olarak, damalı kağıttaki sorunları çözme konusunda bilgimi genişlettim, çalışma altındaki görevlerin sınıflandırılmasını belirledi.

İşi gerçekleştirirken, damalı kağıda gösterilen çokgenler alanını iki şekilde bulmak için çözüldü: Geometrik ve Peak Formula kullanılarak.

Harcanan zamanı belirlemek için çözümlerin ve deneylerin analizi, formülün uygulamasının çokgen alanını, daha rasyonel olarak bulma görevini çözmeyi mümkün kıldığını göstermiştir. Bu, matematiğin sınavına zaman kazandırır.

Damalı kağıda tasviye edilen çeşitli şekillerin alanını bulmak, dairesel sektörün alanını hesaplamak için bir tepe formülünün kullanımının ve halkanın yaklaşık bir sonucu verdiği için pratik olmadığı sonucuna varmayı mümkün kılmıştır. Tepe formülü, uzaydaki problemleri çözmek için geçerli değildir.

Ayrıca işte, çeşitli bölgelerin en yüksek formülle buldukları yerlerde bulundu. Sonuçlandırılabilir: Çeşitli bölgelerin alanı bulmak için formülün kullanılması mümkündür, ancak sonuçlar yaklaşıkdır.

Benim tarafımdan aday olan hipotez onaylandı.

Bana ilgi duyan konunun oldukça çoklu olduğu sonucuna vardım, damalı kağıttaki görevler çeşitlidir, kararlarının yöntem ve teknikleri de çeşitlidir. Bu nedenle, bu yönde çalışmaya devam etmeye karar verdim.

Edebiyat

Volkov S.d .. Toprak arsa, 2008, s. on altı.

Gorina L.V., Matematik. Hepsi öğretmen için, M: Bilim, 2013 g. 3, s. 28.

Prokopieva v.p., Petrov A.G., Ust-Ilimsk şehrinin genel planı, Irkutsk bölgesi, Gosstroy Rusya, 2004. ile. 65.

Riss E. A., Zharkovskaya N. M., Damalı kağıtların geometrisi. Tepe formülü. - Moskova, 2009, № 17, s. 24-25.

Smirnova I. M.,. Smirnov V. A, hücresel kağıda geometri. - Moskova, Saf Havuzlar, 2009, s. 120.

Smirnova I. M., Smirnov V. A., pratik içeriğe sahip geometrik görevler. - Moskova, Saf Havuzlar, 2010, s. 150.

Açık Banka Görevlerinin Amaçları Matematik Fipi, 2015.

Ust-ilimsk şehir haritası.

Irkutsk bölgesi haritası.

Vikipedi.

Yaratıcı iş "Bir tepe formülünün uygulanması". Geometri

Bibliyografik Referans

Giriş

Ana bölüm

Teorik bölüm

Zirvenin formülünün kanıtı

Pratik bölüm

Rakamların alanını geometrik bir yöntemle bulma ve en yüksek formül

Mekansal formların alanını bulmak

Bölgenin alanını bulmak için tepe formülünün uygulanması

Sonuç

Edebiyat

Diğer makaleler öneriyoruz

Bir çarpıştırıcı nedir ve neden gerekli?

Astronotlar için tuvaletler nasıl düzenlenir?