Karmaşık sayıların trigonometrik ve üstel biçimleri. Karmaşık sayıların trigonometrik formu Karmaşık bir sayıyı trigonometrik forma dönüştürme

Ders

Karmaşık bir sayının trigonometrik formu

Planı

1. Karmaşık sayıların geometrik gösterimi.

2. Karmaşık sayıların trigonometrik gösterimi.

3. Trigonometrik biçimde karmaşık sayılara ilişkin eylemler.

Karmaşık sayıların geometrik gösterimi.

a) Karmaşık sayılar, aşağıdaki kurala göre bir düzlem üzerindeki noktalarla temsil edilir: A + bi = M ( A ; B ) (Şekil 1).

Şekil 1

b) Karmaşık bir sayı, o noktadan başlayan bir vektörle temsil edilebilir.HAKKINDA ve belirli bir noktada son (Şekil 2).

Şekil 2

Örnek 7. Karmaşık sayıları temsil eden noktaları oluşturun:1; - Ben ; - 1 + Ben ; 2 – 3 Ben (Şekil 3).

Şekil 3

Karmaşık sayıların trigonometrik gösterimi.

Karmaşık sayız = A + bi yarıçap vektörü kullanılarak belirtilebilir koordinatlarla( A ; B ) (Şekil 4).

Şekil 4

Tanım . Vektör uzunluğu , tasvir karmaşık sayı z , bu sayının modülü olarak adlandırılır ve gösterilir veyaR .

Herhangi bir karmaşık sayı içinz onun modülüR = | z | formül tarafından benzersiz bir şekilde belirlenir .

Tanım . Gerçek eksenin pozitif yönü ile vektör arasındaki açının büyüklüğü Karmaşık bir sayıyı temsil eden bu karmaşık sayının argümanı olarak adlandırılır ve gösterilirA rg z veyaφ .

Karmaşık Sayı Argümanız = 0 tanımlanmadı. Karmaşık Sayı Argümanız≠ 0 – çok değerli bir miktardır ve bir dönem içinde belirlenir2πk (k = 0; - 1; 1; - 2; 2; …): Argüman z = tartışma z + 2πk , Neredetartışma z – aralıkta yer alan argümanın ana değeri(-π; π] yani-π < tartışma z ≤ π (bazen aralığa ait bir değer argümanın ana değeri olarak alınır .

Bu formül ne zamanR =1 genellikle Moivre formülü olarak adlandırılır:

(çünkü φ + i günah φ) N = cos (nφ) + i sin (nφ), n  N .

Örnek 11: Hesapla(1 + Ben ) 100 .

Karmaşık bir sayı yazalım1 + Ben trigonometrik formda.

a = 1, b = 1 .

çünkü φ = , günah φ = , φ = .

(1+i) 100 = [ (çünkü +günah işliyorum )] 100 = ( ) 100 (çünkü 100 + günahım ·100) = = 2 50 (cos 25π + i sin 25π) = 2 50 (çünkü π + i günah π) = - 2 50 .

4) Ekstraksiyon karekök karmaşık bir sayıdan.

Karmaşık bir sayının karekökünü alırkenA + bi iki durumumuz var:

EğerB >o , O ;

2.3. Karmaşık sayıların trigonometrik formu

Vektörün karmaşık düzlemde sayı ile belirtilmesine izin verin.

Pozitif yarı eksen Ox ile vektör arasındaki açıyı φ ile gösterelim (φ açısı saat yönünün tersine ölçülürse pozitif, aksi takdirde negatif olarak kabul edilir).

Vektörün uzunluğunu r ile gösterelim. Daha sonra . Biz de belirtiyoruz

Sıfırdan farklı bir karmaşık sayının z formunda yazılması

z karmaşık sayısının trigonometrik formu denir. r sayısına karmaşık sayı z'nin modülü denir ve φ sayısına bu karmaşık sayının argümanı denir ve Arg z ile gösterilir.

Karmaşık bir sayı yazmanın trigonometrik biçimi - (Euler formülü) - karmaşık bir sayı yazmanın üstel biçimi:

Z karmaşık sayısının sonsuz sayıda argümanı vardır: φ0, z sayısının herhangi bir argümanı ise, o zaman diğerlerinin tümü aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir:

Karmaşık bir sayı için argüman ve trigonometrik form tanımlanmamıştır.

Dolayısıyla sıfırdan farklı bir karmaşık sayının argümanı denklem sisteminin herhangi bir çözümüdür:

(3)

Eşitsizlikleri karşılayan bir z karmaşık sayısının argümanının φ değerine ana değer denir ve arg z ile gösterilir.

Arg z ve arg z argümanları şu şekilde ilişkilidir:

, (4)

Formül (5), sistem (3)'ün bir sonucudur, bu nedenle karmaşık bir sayının tüm bağımsız değişkenleri eşitliği (5) karşılar, ancak denklem (5)'in tüm φ çözümleri, z sayısının bağımsız değişkenleri değildir.

Sıfır olmayan bir karmaşık sayının argümanının ana değeri aşağıdaki formüllere göre bulunur:

Trigonometrik formda karmaşık sayıları çarpma ve bölme formülleri aşağıdaki gibidir:

. (7)

Karmaşık bir sayıyı doğal kuvvete yükseltirken Moivre formülü kullanılır:

Karmaşık bir sayının kökü çıkarılırken aşağıdaki formül kullanılır:

, (9)

burada k=0, 1, 2, …, n-1.

Problem 54. Nerede olduğunu hesaplayın.

Bu ifadenin çözümünü karmaşık bir sayının üstel biçiminde yazalım: .

Eğer öyleyse.

Daha sonra , . Bu nedenle o zaman Ve , Nerede .

Cevap: , adresinde.

Problem 55. Karmaşık sayıları trigonometrik biçimde yazın:

A) ; B) ; V) ; G) ; D) ; e) ; Ve) .

Karmaşık sayının trigonometrik formu olduğuna göre:

a) Karmaşık bir sayıda: .

,

Bu yüzden

B) , Nerede ,

G) , Nerede ,

e) .

Ve) , A , O .

Bu yüzden

Cevap: ; 4; ; ; ; ; .

Problem 56. Karmaşık bir sayının trigonometrik formunu bulun

.

İzin vermek .

Daha sonra , , .

O zamandan beri ve , , sonra , ve

Bu nedenle, bu nedenle

Cevap: , Nerede .

Sorun 57. Karmaşık bir sayının trigonometrik formunu kullanarak aşağıdaki eylemleri gerçekleştirin: .

Sayıları hayal edelim ve trigonometrik formda.

1) , nerede Daha sonra

Ana argümanın değerini bulun:

Değerleri yerine koyalım ve ifadeye şunu elde edelim:

2) , nerede o zaman

Daha sonra

3) Bölümü bulalım

k=0, 1, 2 varsayarsak istenen kökün üç farklı değerini elde ederiz:

Eğer öyleyse

eğer öyleyse

eğer öyleyse .

Cevap: :

:

: .

Problem 58. , , , farklı karmaşık sayılar olsun ve . Bunu kanıtla

a) sayı gerçek bir pozitif sayıdır;

b) eşitlik geçerlidir:

a) Bu karmaşık sayıları trigonometrik formda temsil edelim:

Çünkü .

Bunu varsayalım. Daha sonra

.

Sinüs işaretleri aralıktaki sayıları içerdiğinden son ifade pozitif bir sayıdır.

sayıdan beri gerçek ve olumlu. Aslında, eğer a ve b karmaşık sayılarsa ve gerçel ve sıfırdan büyükse, o zaman .

Ayrıca,

dolayısıyla gerekli eşitlik kanıtlanmıştır.

Problem 59. Sayıyı cebirsel formda yazın .

Sayıyı trigonometrik biçimde gösterelim ve cebirsel biçimini bulalım. Sahibiz . İçin sistemi alıyoruz:

Bu eşitliği ifade eder: .

Moivre formülünü uygularsak: ,

aldık

Trigonometrik form bulundu verilen numara.

Şimdi bu sayıyı cebirsel biçimde yazalım:

.

Cevap: .

Problem 60. Toplamı bulun , ,

Miktarı dikkate alalım

Moivre formülünü uygulayarak şunu buluruz:

Bu toplam n terimin toplamıdır geometrik ilerleme payda ile ve ilk üye .

Böyle bir ilerlemenin terimlerinin toplamına ilişkin formülü uyguladığımızda, şunu elde ederiz:

Son ifadedeki sanal kısmı ayırarak şunu buluruz:

Gerçek kısmı izole ederek aşağıdaki formülü de elde ederiz: , , .

Problem 61. Toplamı bulun:

A) ; B) .

Newton'un üstel alma formülüne göre,

Moivre formülünü kullanarak şunları buluyoruz:

için elde edilen ifadelerin gerçek ve sanal kısımlarını eşitlersek, şunu elde ederiz:

Ve .

Bu formüller kompakt biçimde aşağıdaki gibi yazılabilir:

,

a sayısının tamsayı kısmı nerede.

Sorun 62. Tümünü bulun, bunun için .

O zamandan beri , ardından formülü kullanarak

, Kökleri çıkarmak için şunu elde ederiz: ,

Buradan, , ,

, .

Sayılara karşılık gelen noktalar, merkezi (0;0) noktasında olacak şekilde 2 yarıçaplı bir daire içine yazılan bir karenin köşelerinde bulunur (Şekil 30).

Cevap: , ,

, .

Problem 63. Denklemi çözün , .

Koşullara göre; dolayısıyla bu denklemin kökü yoktur ve dolayısıyla denkleme eşdeğerdir.

Z sayısının belirli bir denklemin kökü olabilmesi için sayının n'inci kök 1 numaradan dereceler.

Buradan orijinal denklemin eşitliklerden belirlenen kökleri olduğu sonucuna varıyoruz.

,

Böylece,

,

yani. ,

Cevap: .

Problem 64. Karmaşık sayılar kümesindeki denklemi çözün.

Sayı bu denklemin kökü olmadığından, bu denklem için denkleme eşdeğerdir.

Yani denklem.

Bu denklemin tüm kökleri aşağıdaki formülden elde edilir (bkz. problem 62):

; ; ; ; .

Problem 65. Karmaşık düzlemde eşitsizlikleri sağlayan bir dizi nokta çizin: . (45.sorunu çözmenin 2. yolu)

İzin vermek .

Aynı modüllere sahip karmaşık sayılar, orijin merkezli bir daire üzerinde bulunan düzlemdeki noktalara karşılık gelir, dolayısıyla eşitsizlik orijin ve yarıçapta ortak bir merkeze sahip dairelerle sınırlanan açık bir halkanın tüm noktalarını karşılayın ve (Şekil 31). Karmaşık düzlemin bir noktasının w0 sayısına karşılık geldiğini varsayalım. Sayı , w0 modülünden birkaç kat daha küçük bir modüle ve w0 argümanından daha büyük bir argümana sahiptir. Geometrik açıdan bakıldığında, w1'e karşılık gelen nokta, orijinde bir merkeze ve bir katsayıya sahip bir homojenliğin yanı sıra, orijine göre saat yönünün tersine bir açıyla bir dönüş kullanılarak elde edilebilir. Bu iki dönüşümün halkanın noktalarına uygulanması sonucunda (Şekil 31), halka aynı merkezli ve yarıçapları 1 ve 2 olan dairelerle sınırlanan bir halkaya dönüşecektir (Şekil 32).

Dönüşüm bir vektöre paralel transfer kullanılarak uygulanır. Merkezi noktadaki halkayı belirtilen vektöre aktararak, merkezi noktada olan aynı boyutta bir halka elde ederiz (Şekil 22).

Bir düzlemin geometrik dönüşümleri fikrini kullanan önerilen yöntemin tanımlanması muhtemelen daha az uygundur, ancak çok zarif ve etkilidir.

Sorun 66. Eğer bulun .

O halde ve . İlk eşitlik şu şekilde olacaktır: . İki karmaşık sayının eşitliği koşulundan , 'yi elde ederiz. Böylece, .

Z sayısını trigonometrik formda yazalım:

, Nerede , . Moivre formülüne göre buluyoruz.

Cevap: – 64.

Problem 67. Karmaşık bir sayı için, ve gibi tüm karmaşık sayıları bulun. .

Sayıyı trigonometrik formda temsil edelim:

. Buradan, . Aldığımız sayı için veya'ya eşit olabilir.

İlk durumda , ikincisinde

.

Cevap: , .

Problem 68. Öyle sayıların toplamını bulun ki . Lütfen bu numaralardan birini belirtin.

Sorunun formülasyonundan, denklemin köklerinin toplamının, köklerin kendileri hesaplanmadan bulunabileceğinin anlaşılabileceğine dikkat edin. Aslında denklemin köklerinin toplamı zıt işaretle alınan katsayısıdır (genelleştirilmiş Vieta teoremi), yani

Öğrenciler, okul dokümantasyonu, bu kavrama hakim olma dereceleri hakkında sonuçlar çıkarırlar. Matematiksel düşünmenin özelliklerinin ve karmaşık sayı kavramının oluşum sürecinin incelenmesini özetler. Yöntemlerin açıklaması. Teşhis: Aşama I. Görüşme 10. sınıfta cebir ve geometri dersi veren bir matematik öğretmeniyle gerçekleştirilmiştir. Konuşma, başlangıcından bu yana bir süre geçtikten sonra gerçekleşti...

Kişinin kendi davranışının değerlendirmesini de içeren Rezonans" (!). 4. Kişinin durumu (şüpheler) anlayışının eleştirel değerlendirmesi. 5. Son olarak önerilerin kullanılması hukuk psikolojisi(bir avukat tarafından muhasebe psikolojik yönler gerçekleştirilen mesleki eylemler - mesleki ve psikolojik hazırlık). Şimdi hukuki olguların psikolojik analizini ele alalım. ...

Trigonometrik ikame matematiği ve geliştirilen öğretim metodolojisinin etkinliğinin test edilmesi. Çalışma aşamaları: 1. İleri matematik sınıflarındaki öğrencilerle “Cebirsel problemlerin çözümü için trigonometrik ikamelerin uygulanması” konusunda isteğe bağlı bir dersin geliştirilmesi. 2. Geliştirilen seçmeli dersin yürütülmesi. 3. Tanı testinin yapılması...

Bilişsel görevler yalnızca mevcut öğretim yardımcılarını tamamlamayı amaçlamaktadır ve tüm geleneksel araç ve unsurlarla uygun bir kombinasyon halinde olmalıdır. eğitim süreci. Fark eğitim görevleriöğretmenlikte beşeri bilimler kesin olarak, matematiksel problemlerden sadece tarihsel problemlerde, çözümlerini zorlaştıran hiçbir formül, katı algoritma vb. yoktur. ...

Bir noktanın düzlem üzerindeki konumunu belirlemek için kutupsal koordinatları kullanabilirsiniz. [g, (r), Nerede G noktanın orijinden uzaklığıdır ve (P- yarıçapı yapan açı - bu noktanın eksenin pozitif yönü ile vektörü Ah. Açı değişiminin pozitif yönü (P Dikkate alınan yön saat yönünün tersidir. Kartezyen ve kutupsal koordinatlar arasındaki bağlantıdan yararlanarak: x = g cos ort,y = g sin (p,

karmaşık bir sayı yazmanın trigonometrik formunu elde ederiz

z - r(sin (p + i günah

Nerede G

Xi + y2, (p, karmaşık bir sayının bağımsız değişkenidir;

ben X . ey y

formüller çünkü(p --, sin^9 ​​​​= - veya bunun nedeniyle tg(p --, (p-arktg

Değerleri seçerken şunu unutmayın Çar son denklemden işaretleri dikkate almak gerekir x ve y.

Örnek 47. Trigonometrik formda karmaşık bir sayı yazın 2 = -1 + l/Z / .

Çözüm. Karmaşık bir sayının modülünü ve argümanını bulalım:

= yj 1 + 3 = 2 . Köşe Çar ilişkilerden buluyoruz çünkü(p = -, günah(p = - . Daha sonra

aldık çünkü(p = -,suup

u/zg~

• - -. Açıkça z = -1 + V3-/ noktasının yeri
• 2 İle 3

ikinci çeyrekte: (P= 120°

Değiştirme

2 bin.. çünkü--h; günah

formül (1)'de bulunan 27Г L

Yorum. Karmaşık bir sayının argümanı benzersiz bir şekilde tanımlanmamıştır, ancak katı olan bir terime kadardır. 2s. Sonra aracılığıyla sp^g belirtmek

içinde yer alan bağımsız değişken değeri (s 0 %2 Daha sonra

A)^r = + 2kk.

Ünlü Euler formülünü kullanma e, karmaşık bir sayının üstel yazma biçimini elde ederiz.

Sahibiz r = g(co^(p + i?,p(p)=ge,

Karmaşık sayılarla ilgili işlemler

• 1. İki karmaşık sayının toplamı r, = X] + y x/ ve g2 - x 2 +y 2 / r formülüne göre belirlenir! +2 2 = (x, +^2) + (^1 + ^2)' r
• 2. Karmaşık sayılarda çıkarma işlemi, toplama işleminin tersi olarak tanımlanır. Karmaşık sayı g = g x - g 2, Eğer g 2 + g = gx,

karmaşık sayılar 2'nin farkıdır ve g 2. O zaman r = (x, - x 2) + (y, - en 2) /.

• 3. İki karmaşık sayının çarpımı g x= x, +y, -z ve 2 2 = x 2+ U2‘ r formülle belirlenir
• *1*2 =(* +U"0(X2+ T2 -0= X 1 X 2 Y 1 2 -1 +x Y2 " * + sen1 sen2 " ^ =

= (хх 2 ~УУ 2)+(Х У2 + Х 2У)-"-

özellikle, y-y= (x + y-y)(x-y /)= x 2 + y 2.

Üstel ve trigonometrik formlarda karmaşık sayıları çarpmak için formüller elde edebilirsiniz. Sahibiz:

• 1^2 - G x e 1 = )G 2 e > = G]G 2 cOs((P + ort 2) + isin
• 4. Karmaşık sayıların bölünmesi ters işlem olarak tanımlanır

çarpma, yani sayı G-- r bölümünün bölümü denir! g 2'de,

Eğer g x -1 2 ? 2 . Daha sonra

X + Ti _ (*і + İÜ 2 ~ 1 U2 ) x 2 + ІУ2 ( 2 + ^У 2)( 2 ~ 1 У 2)

x,x 2 + /y,x 2 - ix x y 2 - i 2 y x y 2 (x x x 2 + y x y 2)+ /(- x,y 2 + X 2 Y])

2 2 x 2 + Y 2

1 e

ben(rg)

• - 1U ve "(1 Fg) - I.сОї((Р -ср 1)+ І- (P-,)] >2 >2
• 5. Karmaşık bir sayının pozitif tamsayı kuvvetine yükseltilmesi, sayının üstel veya trigonometrik formlarda yazılması durumunda en iyi şekilde yapılır.

Gerçekten eğer g = ge 1 o zaman

=(ge,) = g p e t = G"(co8 psr+it gkr).

Formül g" =r n(cosn(p+, n(p)'dir) Moivre formülü denir.

6. Kök çıkarma P- Karmaşık bir sayının kuvveti, bir kuvvete yükseltme işleminin ters işlemi olarak tanımlanır. p, p- 1,2,3,... yani. karmaşık sayı = y[g kök denir P- karmaşık bir sayının inci kuvveti

eğer G = g x. Bu tanımdan şu sonuç çıkıyor g-g", A g x= l/g. (r-psr x, A sr^-sr/p Moivre'nin = r/*+ sayısı için yazdığı formülden çıkan sonuç іьіпп(р).

Yukarıda belirtildiği gibi, karmaşık bir sayının argümanı benzersiz bir şekilde tanımlanmamıştır, ancak 2'nin katı olan bir terime kadardır. Ve. Bu yüzden = (p + 2pk ve r sayısının argümanı, aşağıdakilere bağlı olarak İle, hadi belirtelim (r k ve boo

formülü kullanarak hesaplarım (r k= - + . Orada olduğu açık N com-

karmaşık sayılar, N-'inci kuvveti 2 sayısına eşittir. Bu sayıların bir tanesi vardır.

ve aynı modül eşit y[g, ve bu sayıların argümanları şu şekilde elde edilir: İle = 0, 1, P - 1. Böylece trigonometrik formda kök i. derece formülle hesaplanır:

(p + 2kp . . Çar + 2kp

, İle = 0, 1, 77-1,

.(p+2ktg

ve üstel biçimde - formüle göre l[g - y[ge p

Örnek 48. Cebirsel formda karmaşık sayılar üzerinde işlemler gerçekleştirin:

a) (1-/H/2) 3 (3 + /)

• (1 - /l/2) 3 (z + /) = (1 - zl/2/ + 6/ 2 - 2 l/2 / ? 3)(3 + /) =
• (1 - Zl/2/ - 6 + 2l/2/DZ + /)=(- 5 - l/2/DZ + /) =

15-Zl/2/-5/-l/2/ 2 = -15 - Zl/2/-5/+ l/2 = (-15 +l/2)-(5 +Zl/2)/;

Örnek 49. r = Uz - / sayısını beşinci kuvvetine yükseltin.

Çözüm. R sayısını yazmanın trigonometrik formunu elde ederiz.

G = l/3 + 1 =2, C08 (p --, 5ІІ7 (P =

• (1 - 2/X2 + /)
• (z-,)

O - 2.-X2 + o

• 12+ 4/-9/
• 2 +і - 4/ - 2/ 2 2 - 3/ + 2 4 - 3/ 3 + і
• (z-O" (z-O

Z/ 2 12-51 + 3 15 - 5/

• (3-i) ’з+/
• 9 + 1 z_±.
• 5 2 1 "

Buradan O--, A g = 2

Moivre'yi alıyoruz: ben -2

/ ^ _ 7G, . ?G

• -SS-- ІБІП -

• --B / -

= -(l/w + g)= -2 .

Örnek 50: Tüm değerleri bulun

Çözüm, r = 2, a Çar denklemden buluyoruz sob(p = -,zt--.

Bu 1 - /d/z noktası dördüncü çeyrekte yer alır, yani. f =--. Daha sonra

• 1 - 2
• ( ( UG L

İfadeden kök değerleri buluyoruz

V1 - /l/z = l/2

• ---+ 2А:/г ---ь 2 kk
• 3 . . 3

S08--1- ve 81P-

Şu tarihte: İle - 0 elimizde 2 0 = l/2

2 sayısının kök değerlerini ekranda sayıyı temsil ederek bulabilirsiniz.

-* İLE/ 3 + 2 cl

Şu tarihte: İle= 1 başka bir kök değerimiz var:

• 7G. 7G_
• ---ь27г ---ь2;г
• 3. . H

7G . . 7G L-С05- + 181П - 6 6

• --N-

yani? - 7G + /5SH - I"

l/3__t_

Telny formu. Çünkü r= 2, bir Çar= , o zaman g = 2e 3 , a y[g = y/2e 2

Cebirsel formda yazılmış karmaşık sayılarla ilgili işlemler

Karmaşık sayının cebirsel formu z =(A,B).formun cebirsel ifadesi olarak adlandırılır

z = A + bi.

Karmaşık sayılarda aritmetik işlemler z 1 = bir 1 + b 1 Ben Ve z 2 = bir 2 + b 2 Ben Cebirsel formda yazılan işlemler aşağıdaki gibi gerçekleştirilir.

1. Karmaşık sayıların toplamı (farkı)

z 1 ±z 2 = (A 1 ± bir 2) + (B 1 ±b 2)∙i,

onlar. toplama (çıkarma), benzer terimlerin azaltılmasıyla polinomların eklenmesi kuralına göre gerçekleştirilir.

2. Karmaşık sayıların çarpımı

z 1 ∙z 2 = (A 1 ∙a 2 -B 1 ∙b 2) + (A 1 ∙b 2 + bir 2 ∙b 1)∙i,

onlar. çarpma işlemi, polinomların çarpılmasına ilişkin genel kurala göre gerçekleştirilir, şu husus dikkate alınır: Ben 2 = 1.

3. İki karmaşık sayının bölünmesi aşağıdaki kurala göre gerçekleştirilir:

, (z 2 ≠ 0),

onlar. Bölme işlemi, bölünen ve bölenin, bölenin eşlenik sayısıyla çarpılmasıyla gerçekleştirilir.

Karmaşık sayıların üssü şu şekilde tanımlanır:

Bunu göstermek kolaydır

Örnekler.

1. Karmaşık sayıların toplamını bulun z 1 = 2 – Ben Ve z 2 = – 4 + 3Ben.

z 1 +z 2 = (2 + (–1)∙i)+ (–4 + 3Ben) = (2 + (–4)) + ((–1) + 3) Ben = –2+2Ben.

2. Karmaşık sayıların çarpımını bulun z 1 = 2 – 3Ben Ve z 2 = –4 + 5Ben.

= (2 – 3Ben) ∙ (–4 + 5Ben) = 2 ∙(–4) + (-4) ∙(–3Ben)+ 2∙5Ben– 3ben∙ 5ben = 7+22Ben.

3. Bölümü bulun z bölümden z 1 = 3 – 2na z 2 = 3 – Ben.

z = .

4. Denklemi çözün: , X Ve sen Î R.

(2x+y) + (x+y)ben = 2 + 3Ben.

Karmaşık sayıların eşitliği nedeniyle elimizde:

Neresi x =–1 , sen= 4.

5. Hesaplayın: Ben 2 ,Ben 3 ,Ben 4 ,Ben 5 ,Ben 6 ,Ben -1 , Ben -2 .

6. Eğer hesaplayın.

.

7. Bir sayının tersini hesaplayın z=3-Ben.

Trigonometrik formda karmaşık sayılar

Karmaşık düzlem Kartezyen koordinatlara sahip bir düzlem denir ( x, y), eğer koordinatları olan her nokta ( a, b) karmaşık bir sayıyla ilişkilidir z = a + bi. Bu durumda apsis ekseni denir. gerçek eksen ve koordinat ekseni hayali. O zaman her karmaşık sayı a+bi geometrik olarak bir düzlemde nokta olarak gösterilir bir (a, b) veya vektör.

Bu nedenle noktanın konumu A(ve dolayısıyla karmaşık bir sayı z) vektörün uzunluğuna göre belirtilebilir | | = R ve açı J, vektörün oluşturduğu | | gerçek eksenin pozitif yönü ile. Vektörün uzunluğu denir karmaşık bir sayının modülü ve | ile gösterilir z |=r ve açı J isminde karmaşık sayı argümanı ve belirlenmiş j = argz.

Şu açıktır ki | z| ³ 0 ve | z | = 0 Û z = 0.

Şek. 2 şu açıktır.

Karmaşık bir sayının argümanı belirsiz bir şekilde belirlenir, ancak 2 doğrulukla pk, kÎ Z.

Şek. 2 şu da açıktır ki eğer z=a+bi Ve j=argz, O

çünkü j = günah j = tg j = .

Eğer zÎR Ve z> 0, o zaman arg z = 0 +2pk;

Eğer z ОR Ve z< 0, o zaman arg z = p + 2pk;

Eğer z = 0,arg z tanımlanmadı.

Argümanın ana değeri 0 aralığında belirlenir £ argz£2 P,

veya -P£ arg z £ p.

Örnekler:

1. Karmaşık sayıların modülünü bulun z 1 = 4 – 3Ben Ve z 2 = –2–2Ben.

2. Karmaşık düzlemde koşullarla tanımlanan alanları tanımlayın:

1) | z | = 5; 2) | z| £6; 3) | z – (2+Ben) | £3; 4) £6 | z – Ben| £7.

Çözümler ve cevaplar:

1) | z| = 5 Û Û - yarıçapı 5 ve orijinde merkezi olan bir dairenin denklemi.

2) Merkezi orijinde olan, yarıçapı 6 olan bir daire.

3) Merkezi nokta olan 3 yarıçaplı daire z0 = 2 + Ben.

4) Merkezi bir noktada olan, yarıçapı 6 ve 7 olan dairelerle sınırlanmış bir halka z 0 = Ben.

3. Sayıların modülünü ve argümanını bulun: 1) ; 2).

1) ; A = 1, B = Þ ,

Ş j 1 = .

2) z 2 = –2 – 2Ben; bir =–2, b =-2 Ş ,

.

İpucu: Ana argümanı belirlerken karmaşık düzlemi kullanın.

Böylece: z 1 = .

2) , R 2 = 1, j 2 = , .

3) , R 3 = 1, j3 = , .

4) , R 4 = 1, j4 = , .

3.1. Kutupsal koordinatlar

Genellikle uçakta kullanılır kutupsal koordinat sistemi . Bir O noktası verilirse tanımlanır. kutup ve kutuptan çıkan ışın (bizim için bu eksendir) Öküz) – kutup ekseni. M noktasının konumu iki sayıyla sabitlenir: yarıçap (veya yarıçap vektörü) ve kutup ekseni ile vektör arasındaki açı φ.φ açısına denir kutup açısı; radyan cinsinden ölçülür ve kutup ekseninden saat yönünün tersine sayılır.

Nokta konumu kutup sistemi koordinatlar sıralı bir sayı çifti (r; φ) ile verilir. Kutupta r = 0, ve φ tanımlı değildir. Diğer tüm noktalar için r > 0, ve φ, 2π'nin katı olan bir terime kadar tanımlanır. Bu durumda, (r; φ) ve (r 1 ; φ 1) sayı çiftleri, eğer .

Dikdörtgen koordinat sistemi için xOy Bir noktanın Kartezyen koordinatları kolaylıkla ifade edilebilir. kutupsal koordinatlar aşağıdaki gibi:

3.2. Karmaşık sayıların geometrik yorumu

Düzlemde Kartezyen dikdörtgen koordinat sistemini düşünelim xOy.

Herhangi bir z=(a, b) karmaşık sayısı, koordinatları () olan düzlemdeki bir noktayla ilişkilidir. x, y), Nerede koordinat x = a, yani karmaşık sayının gerçek kısmı, y = bi koordinatı sanal kısmıdır.

Noktaları karmaşık sayılar olan bir düzlem karmaşık bir düzlemdir.

Şekilde bir karmaşık sayı z = (a, b) bir noktaya karşılık gelir M(x, y).

Egzersiz yapmak.Koordinat düzleminde karmaşık sayılar çizin:

3.3. Karmaşık bir sayının trigonometrik formu

Düzlemdeki karmaşık bir sayı bir noktanın koordinatlarına sahiptir M(x;y). Bu durumda:

Karmaşık sayı yazma - karmaşık bir sayının trigonometrik formu.

r sayısına denir modül karmaşık sayı z ve belirlenir. Modül – negatif değil gerçek sayı. İçin .

Modül ancak ve ancak şu durumda sıfırdır: z = 0, yani a = b = 0.

φ sayısına denir argüman z ve belirlenmiş. Z argümanı, kutupsal koordinat sistemindeki kutup açısı gibi, yani 2π'nin katı olan bir terime kadar belirsiz bir şekilde tanımlanır.

O zaman şunu kabul ederiz: , burada φ – en küçük değer argüman. Açıkça görülüyor ki

.

Konuyu daha derinlemesine incelerken, yardımcı bir argüman olan φ* eklenir;

Örnek 1. Karmaşık bir sayının trigonometrik formunu bulun.

Çözüm. 1) modülü göz önünde bulundurun: ;

2) φ'yi aramak: ;

3) trigonometrik form:

Örnek 2. Karmaşık bir sayının cebirsel formunu bulun .

Burada değerleri değiştirmek yeterlidir trigonometrik fonksiyonlar ve ifadeyi dönüştürün:

Örnek 3. Karmaşık bir sayının modülünü ve bağımsız değişkenini bulun;

1) ;

2) ; φ – 4 çeyrekte:

3.4. Trigonometrik formda karmaşık sayılarla işlemler

· Toplama ve çıkarma Cebirsel formdaki karmaşık sayılarla yapmak daha uygundur:

· Çarpma- basit yardımıyla trigonometrik dönüşümler bu gösterilebilir Çarpma sırasında sayıların modülleri çarpılır ve bağımsız değişkenler eklenir: ;