Ev Coğrafya Karmaşık bir fonksiyonun ikinci kuvvete göre türevi. Bir fonksiyonun türevi

Karmaşık bir fonksiyonun ikinci kuvvete göre türevi. Bir fonksiyonun türevi

Buraya geldiğinizden beri muhtemelen bu formülü ders kitabında zaten görmüşsünüzdür.

ve şöyle bir yüz yapın:

Dostum, endişelenme! Aslında her şey çok çirkin. Kesinlikle her şeyi anlayacaksınız. Sadece bir istek - makaleyi okuyun zamanını ayır, her adımı anlamaya çalışın. Olabildiğince basit ve net yazdım ama yine de fikri anlamanız gerekiyor. Ve makaledeki görevleri çözdüğünüzden emin olun.

Karmaşık fonksiyon nedir?

Başka bir daireye taşındığınızı ve bu nedenle eşyaları büyük kutulara paketlediğinizi hayal edin. Okul yazı malzemeleri gibi bazı küçük eşyaları toplamanız gerektiğini varsayalım. Onları büyük bir kutuya atarsanız, diğer şeylerin arasında kaybolurlar. Bunu önlemek için, önce bunları örneğin bir torbaya koyarsınız, sonra onu büyük bir kutuya koyarsınız ve ardından mühürlersiniz. Bu “karmaşık” süreç aşağıdaki şemada gösterilmektedir:

Görünüşe göre matematiğin bununla ne ilgisi var? Evet, karmaşık bir fonksiyonun TAMAMEN AYNI şekilde oluşmasına rağmen! Sadece defterleri ve kalemleri değil, \(x\) “paketliyoruz”, ancak “paketler” ve “kutular” farklı.

Örneğin, x'i alıp onu bir fonksiyona "paketleyelim":

Sonuç olarak, elbette \(\cos⁡x\) elde ederiz. Bu bizim “şey çantamız”. Şimdi onu bir "kutuya" koyalım - örneğin kübik bir fonksiyona paketleyelim.

Sonunda ne olacak? Evet, doğru, "bir kutuda bir torba eşya" olacak, yani "kosinüs X küp".

Ortaya çıkan tasarım karmaşık bir fonksiyondur. Basit olandan şu bakımdan farklıdır: Bir X'e arka arkaya BİRÇOK "etki" (paket) uygulanır ve "işlevden işleve" - "ambalaj içinde ambalaj" ortaya çıkıyor.

Okul kursunda bu “paketlerin” çok az türü vardır, yalnızca dört tanesi:

Şimdi X'i önce 7 tabanına sahip bir üstel fonksiyona, sonra da bir trigonometrik fonksiyona "paketleyelim". Şunu elde ederiz:

\(x → 7^x → tg⁡(7^x)\)

Şimdi x'i iki kez trigonometrik fonksiyonlara "paketleyelim", önce içeri, sonra içeri:

\(x → sin⁡x → cotg⁡ (sin⁡x)\)

Basit, değil mi?

Şimdi fonksiyonları kendiniz yazın; burada x:
- önce bir kosinüse, ardından \(3\) tabanıyla üstel bir fonksiyona "paketlenir";
- önce beşinci kuvvete, sonra da teğete;
- ilk olarak \(4\) tabanının logaritmasına göre , sonra kuvvet \(-2\).

Makalenin sonunda bu görevin cevaplarını bulun.

X'i iki değil üç kez “paketleyebilir miyiz”? Evet, sorun değil! Ve dört, beş ve yirmi beş kere. Örneğin burada x'in \(4\) kez "paketlendiği" bir fonksiyon var:

\(y=5^(\log_2⁡(\sin⁡(x^4))))\)

Ancak bu tür formüller okul uygulamalarında bulunamayacaktır (öğrenciler daha şanslıdır, onlarınki ise daha karmaşık olabilir☺).

Karmaşık bir işlevi "paketten çıkarmak"

Önceki fonksiyona tekrar bakın. “Paketleme” sırasını çözebilir misiniz? X'in ilk önce neye doldurulduğu, sonra ne olduğu vb. sonuna kadar devam eder. Yani hangi fonksiyon hangisinin içinde yer alıyor? Bir parça kağıt alın ve ne düşündüğünüzü yazın. Bunu yukarıda yazdığımız gibi oklu bir zincirle veya başka bir şekilde yapabilirsiniz.

Şimdi doğru cevap şu: önce x, \(4\)'üncü kuvvete "paketlendi", sonra sonuç sinüse paketlendi, o da \(2\) tabanına göre logaritmaya yerleştirildi. ve sonunda tüm bu yapı beşli güçlere itildi.

Yani diziyi TERS SİPARİŞTE geri sarmanız gerekir. Ve işte bunu nasıl daha kolay yapabileceğinize dair bir ipucu: hemen X'e bakın - ondan dans etmelisiniz. Birkaç örneğe bakalım.

Örneğin, şu fonksiyon şöyledir: \(y=tg⁡(\log_2⁡x)\). X'e bakıyoruz - önce ona ne olacak? Ondan alınmıştır. Ve daha sonra? Sonucun tanjantı alınır. Sıra aynı olacaktır:

\(x → \log_2⁡x → tg⁡(\log_2⁡x)\)

Başka bir örnek: \(y=\cos⁡((x^3))\). Analiz edelim - önce X'in küpünü aldık, sonra sonucun kosinüsünü aldık. Bu, dizinin şöyle olacağı anlamına gelir: \(x → x^3 → \cos⁡((x^3))\). Dikkat edin, işlev ilkine (resimlerin olduğu yer) benziyor. Ancak bu tamamen farklı bir fonksiyondur: burada küpün içinde x var (yani, \(\cos⁡((x·x·x))))\) ve küpün içinde kosinüs \(x\) ( yani, \(\cos⁡ x·\cos⁡x·\cos⁡x\)). Bu fark farklı "paketleme" dizilerinden kaynaklanmaktadır.

Son örnek (ile önemli bilgi içinde): \(y=\sin⁡((2x+5))\). Burada ilk önce x ile aritmetik işlemler yaptığımız, ardından sonucun sinüsünü aldığımız açıktır: \(x → 2x+5 → \sin⁡((2x+5))\). Ve bu önemli nokta: Aritmetik işlemler kendi başlarına fonksiyon olmamasına rağmen burada aynı zamanda bir “paketleme” yöntemi olarak da hareket ederler. Gelin bu inceliği biraz daha derinlemesine inceleyelim.

Yukarıda söylediğim gibi, basit işlevlerde x bir kez, karmaşık işlevlerde ise iki veya daha fazla "paketlenir". Üstelik herhangi bir kombinasyon basit işlevler(yani bunların toplamı, farkı, çarpması veya bölünmesi) de basit bir fonksiyondur. Örneğin, \(x^7\) basit bir fonksiyondur ve \(ctg x\) de öyle. Bu, tüm kombinasyonlarının basit işlevler olduğu anlamına gelir:

\(x^7+ ctg x\) - basit,
\(x^7· cot x\) – basit,
\(\frac(x^7)(ctg x)\) – basit, vb.

Ancak böyle bir kombinasyona bir fonksiyon daha uygulanırsa iki “paket” olacağından karmaşık bir fonksiyon haline gelecektir. Diyagrama bakınız:

Tamam, şimdi devam et. “Sarma” fonksiyonlarının sırasını yazın:
\(y=cos(⁡(sin⁡x))\)
\(y=5^(x^7)\)
\(y=arctg⁡(11^x)\)
\(y=log_2⁡(1+x)\)
Cevaplar yine yazının sonunda.

İç ve dış işlevler

Neden işlev yerleştirmeyi anlamamız gerekiyor? Bu bize ne sağlıyor? Gerçek şu ki, böyle bir analiz olmadan yukarıda tartışılan fonksiyonların türevlerini güvenilir bir şekilde bulamayız.

Devam etmek için iki kavrama daha ihtiyacımız olacak: iç ve dış işlevler. Bu çok basit bir şey, üstelik bunları yukarıda zaten analiz etmiştik: En baştaki benzetmemizi hatırlarsak, o zaman iç fonksiyon bir "paket", dış fonksiyon ise bir "kutu" dur. Onlar. X'in ilk olarak "sarıldığı" şey bir iç fonksiyondur ve dahili fonksiyonun "sarıldığı" şey zaten haricidir. Neden olduğu açık - dışarıda, bu da dış anlamına geliyor.

Bu örnekte: \(y=tg⁡(log_2⁡x)\), \(\log_2⁡x\) işlevi dahilidir ve
- harici.

Ve bunda: \(y=\cos⁡((x^3+2x+1))\), \(x^3+2x+1\) dahilidir ve
- harici.

Karmaşık fonksiyonların analizine ilişkin son uygulamayı tamamlayın ve sonunda hepimizin başladığı noktaya geçelim; karmaşık fonksiyonların türevlerini bulacağız:

Tablodaki boşlukları doldurun:

Karmaşık bir fonksiyonun türevi

Bravo bize, nihayet bu konunun "patronuna" ulaştık - aslında bir türev karmaşık fonksiyon ve özellikle de makalenin başındaki o çok korkunç formüle.☺

\((f(g(x)))"=f"(g(x))\cdot g"(x)\)

Bu formül şu şekilde okunur:

Karmaşık bir fonksiyonun türevi, dış fonksiyonun sabit bir iç fonksiyona göre türevi ile iç fonksiyonun türevinin çarpımına eşittir.

Ve ne olduğunu anlamak için hemen "kelime kelime" ayrıştırma şemasına bakın:

“Türev” ve “ürün” tabirlerinin sıkıntı yaratmamasını diliyorum. “Karmaşık fonksiyon” - bunu zaten çözdük. İşin püf noktası "bir dış fonksiyonun sabit bir iç fonksiyona göre türevi"dir. Nedir?

Cevap: Bu, yalnızca dış fonksiyonun değiştiği ve iç fonksiyonun aynı kaldığı bir dış fonksiyonun olağan türevidir. Hala net değil mi? Tamam, bir örnek kullanalım.

Bir \(y=\sin⁡(x^3)\) fonksiyonumuz olsun. Buradaki iç fonksiyonun \(x^3\) olduğu ve dış fonksiyonun olduğu açıktır.
. Şimdi dış kısmın sabit iç bölgeye göre türevini bulalım.

Bu dersimizde nasıl bulacağımızı öğreneceğiz. karmaşık bir fonksiyonun türevi. Ders dersin mantıksal bir devamıdır Türevi nasıl bulunur? En basit türevleri incelediğimiz ve ayrıca türev alma kuralları ve türev bulmanın bazı teknik teknikleri hakkında bilgi edindiğimiz bir ders. Bu nedenle, fonksiyonların türevleri konusunda pek iyi değilseniz veya bu makaledeki bazı noktalar tam olarak anlaşılamadıysa, önce yukarıdaki dersi okuyun. Lütfen ciddi bir ruh hali içine girin - materyal basit değil, ama yine de onu basit ve net bir şekilde sunmaya çalışacağım.

Uygulamada, karmaşık bir fonksiyonun türeviyle çok sık uğraşmanız gerekir, hatta diyebilirim ki, size türevleri bulma görevi verildiğinde hemen hemen her zaman.

Karmaşık bir fonksiyonun türevini almak için kuraldaki (No. 5) tabloya bakıyoruz:

Hadi çözelim. Öncelikle girişe dikkat edelim. Burada iki fonksiyonumuz var - ve mecazi anlamda konuşursak, fonksiyon fonksiyonun içinde yuvalanmıştır. Bu türdeki bir fonksiyona (bir fonksiyon diğerinin içine yerleştirildiğinde) karmaşık fonksiyon denir.

Fonksiyonu çağıracağım harici fonksiyon ve fonksiyon – dahili (veya iç içe geçmiş) fonksiyon.

! Bu tanımlar teorik değildir ve ödevlerin nihai tasarımında yer almamalıdır. Sadece materyali anlamanızı kolaylaştırmak için “dış işlev”, “iç işlev” gibi resmi olmayan ifadeler kullanıyorum.

Durumu açıklığa kavuşturmak için şunları göz önünde bulundurun:

Örnek 1

Bir fonksiyonun türevini bulun

Sinüs altında sadece "X" harfi değil, ifadenin tamamı var, dolayısıyla türevi tablodan hemen bulmak işe yaramayacak. Ayrıca ilk dört kuralın burada uygulanmasının imkansız olduğunu da fark ettik, bir fark var gibi görünüyor, ancak gerçek şu ki sinüs "parçalara ayrılamaz":

İÇİNDE bu örnekte Açıklamalarımdan, bir fonksiyonun karmaşık bir fonksiyon olduğu ve polinomun bir iç fonksiyon (gömme) ve bir dış fonksiyon olduğu zaten sezgisel olarak açıktır.

İlk adım Karmaşık bir fonksiyonun türevini bulurken yapmanız gereken şey Hangi fonksiyonun dahili, hangisinin harici olduğunu anlayın.

Durumunda basit örnekler Sinüs altına bir polinomun gömülü olduğu açık görünüyor. Peki ya her şey açık değilse? Hangi fonksiyonun harici, hangisinin dahili olduğunu doğru bir şekilde nasıl belirleyebilirim? Bunu yapmak için zihinsel olarak veya taslak halinde yapılabilecek aşağıdaki tekniği kullanmanızı öneririm.

İfadesinin değerini hesaplamak için bir hesap makinesi kullanmamız gerektiğini hayal edelim (bir yerine herhangi bir sayı olabilir).

İlk önce neyi hesaplayacağız? Öncelikle aşağıdaki eylemi gerçekleştirmeniz gerekecek: bu nedenle polinom bir iç fonksiyon olacaktır:

ikinci olarak bulunması gerekecek, dolayısıyla sinüs – harici bir fonksiyon olacak:

Bizden sonra HEPSİ SATILDIİç ve dış fonksiyonlarda, karmaşık fonksiyonların farklılaşması kuralını uygulamanın zamanı geldi.

Karar vermeye başlayalım. Sınıftan Türevi nasıl bulunur? herhangi bir türevin çözümünün tasarımının her zaman böyle başladığını hatırlıyoruz - ifadeyi parantez içine alıyoruz ve sağ üst köşeye bir çizgi koyuyoruz:

Başta Dış fonksiyonun (sinüs) türevini bulun, türev tablosuna bakın temel işlevler ve bunu fark ediyoruz. Tüm tablo formülleri, “x”in karmaşık bir ifadeyle değiştirilmesi durumunda da geçerlidir, bu durumda:

Lütfen iç fonksiyonun değişmedi, dokunmuyoruz.

Peki, oldukça açık ki

Formülün uygulanmasının nihai sonucu şöyle görünür:

Sabit faktör genellikle ifadenin başına yerleştirilir:

Herhangi bir yanlış anlaşılma varsa çözümü bir kağıda yazıp açıklamaları tekrar okuyun.

Örnek 2

Bir fonksiyonun türevini bulun

Örnek 3

Bir fonksiyonun türevini bulun

Her zaman olduğu gibi şunu yazıyoruz:

Nerede harici bir fonksiyona sahip olduğumuzu ve nerede dahili bir fonksiyona sahip olduğumuzu bulalım. Bunu yapmak için (zihinsel olarak veya taslak halinde) ifadenin değerini hesaplamaya çalışırız. İlk önce ne yapmalısınız? Her şeyden önce, tabanın neye eşit olduğunu hesaplamanız gerekir: bu nedenle polinom bir iç fonksiyondur:

Ve ancak o zaman üs alma işlemi gerçekleştirilir, bu nedenle, güç fonksiyonu harici bir fonksiyondur:

Formüle göre öncelikle dış fonksiyonun türevini, bu durumda derecesini bulmanız gerekir. Gerekli formülü tabloda arıyoruz: . Bir kez daha tekrarlıyoruz: herhangi bir tablo formülü yalnızca “X” için değil aynı zamanda karmaşık bir ifade için de geçerlidir. Dolayısıyla, karmaşık bir fonksiyonun türevini alma kuralını uygulamanın sonucu aşağıdaki gibidir:

Dış fonksiyonun türevini aldığımızda iç fonksiyonumuzun değişmediğini bir kez daha vurguluyorum:

Şimdi geriye kalan tek şey iç fonksiyonun çok basit bir türevini bulmak ve sonucu biraz değiştirmek:

Örnek 4

Bir fonksiyonun türevini bulun

Bu bir örnektir bağımsız karar(Dersin sonunda cevap verin).

Karmaşık bir fonksiyonun türevine ilişkin anlayışınızı pekiştirmek için yorumsuz bir örnek vereceğim, kendi başınıza anlamaya çalışın, dış fonksiyonun nerede ve iç fonksiyonun nerede olduğunu, görevlerin neden bu şekilde çözüldüğünü düşünün.

Örnek 5

a) Fonksiyonun türevini bulun

b) Fonksiyonun türevini bulun

Örnek 6

Bir fonksiyonun türevini bulun

Burada bir kökümüz var ve kökü farklılaştırabilmek için onun bir güç olarak temsil edilmesi gerekiyor. Böylece öncelikle fonksiyonu türev almaya uygun forma getiriyoruz:

Fonksiyonu analiz ettiğimizde, üç terimin toplamının bir iç fonksiyon olduğu, bir güce yükselmenin ise bir dış fonksiyon olduğu sonucuna varıyoruz. Karmaşık fonksiyonların türev alma kuralını uyguluyoruz:

Dereceyi yine bir radikal (kök) olarak temsil ediyoruz ve iç fonksiyonun türevi için toplamın türevini almak için basit bir kural uyguluyoruz:

Hazır. Ayrıca ifadeyi parantez içinde ortak bir paydaya indirgeyebilir ve her şeyi bir kesir olarak yazabilirsiniz. Elbette güzel, ancak hantal uzun türevler elde ettiğinizde bunu yapmamak daha iyidir (kafanın karışması, gereksiz bir hata yapılması kolaydır ve öğretmenin kontrol etmesi sakıncalı olacaktır).

Örnek 7

Bir fonksiyonun türevini bulun

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir (cevap dersin sonunda verilecektir).

Bazen karmaşık bir fonksiyonun türevini alma kuralı yerine bir bölümün türevini alma kuralını kullanabileceğinizi belirtmek ilginçtir. , ancak böyle bir çözüm komik bir sapkınlık gibi görünecektir. İşte tipik bir örnek:

Örnek 8

Bir fonksiyonun türevini bulun

Burada bölümün farklılaşma kuralını kullanabilirsiniz ancak karmaşık bir fonksiyonun türev alma kuralı yoluyla türevini bulmak çok daha karlı:

Fonksiyonu türev için hazırlıyoruz - eksiyi türev işaretinden çıkarıyoruz ve kosinüsü paya yükseltiyoruz:

Kosinüs bir iç fonksiyondur, üstel ise harici bir fonksiyondur.
Kuralımızı kullanalım:

Dahili fonksiyonun türevini buluyoruz ve kosinüsü tekrar sıfırlıyoruz:

Hazır. Ele alınan örnekte işaretlerin karıştırılmaması önemlidir. Bu arada kuralı kullanarak çözmeye çalışın , yanıtların eşleşmesi gerekir.

Örnek 9

Bir fonksiyonun türevini bulun

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir (cevap dersin sonunda verilecektir).

Şu ana kadar karmaşık bir fonksiyonda yalnızca bir yuvalamanın olduğu durumlara baktık. Pratik görevlerde, iç içe geçmiş bebekler gibi, 3 veya hatta 4-5 fonksiyonun aynı anda iç içe geçtiği türevleri sıklıkla bulabilirsiniz.

Örnek 10

Bir fonksiyonun türevini bulun

Bu fonksiyonun eklerini anlayalım. Deneysel değeri kullanarak ifadeyi hesaplamaya çalışalım. Hesap makinesine nasıl güvenebiliriz?

İlk önce bulmanız gerekir; bu, ark sinüsünün en derin gömme olduğu anlamına gelir:

Bu birin ark sinüsünün karesi alınmalıdır:

Ve son olarak yedinin bir kuvvetini alıyoruz:

Yani bu örnekte üç tane var farklı işlevler ve en içteki fonksiyon ark sinüs ve en dıştaki fonksiyon üstel fonksiyon olmak üzere iki yerleştirme.

Karar vermeye başlayalım

Kurala göre öncelikle dış fonksiyonun türevini almanız gerekir. Türev tablosuna bakıyoruz ve türevi buluyoruz üstel fonksiyon: Tek farkımız “X” yerine elimizde karmaşık ifade bu formülün geçerliliğini ortadan kaldırmaz. Dolayısıyla, karmaşık bir fonksiyonun türevini alma kuralını uygulamanın sonucu aşağıdaki gibidir:

Vuruş altında yine karmaşık bir işlevimiz var! Ama zaten daha basit. İç fonksiyonun ark sinüs, dış fonksiyonun ise derece olduğunu doğrulamak kolaydır. Karmaşık bir fonksiyonun türevini alma kuralına göre, önce kuvvetin türevini almanız gerekir.

Karmaşık bir fonksiyonun türevi formülünü kullanarak türevlerin hesaplanmasına ilişkin örnekler verilmiştir.

İçerik

Ayrıca bakınız: Karmaşık bir fonksiyonun türevinin formülünün kanıtı

Temel formüller

Burada aşağıdaki fonksiyonların türevlerinin hesaplanmasına ilişkin örnekler veriyoruz:
; ; ; ; .

Bir fonksiyon aşağıdaki biçimde karmaşık bir fonksiyon olarak temsil edilebiliyorsa:
,
daha sonra türevi aşağıdaki formülle belirlenir:
.
Aşağıdaki örneklerde bu formülü şu şekilde yazacağız:
.
Nerede .
Burada türev işaretinin altında bulunan indisler veya , türevin alındığı değişkenleri belirtir.

Genellikle türev tablolarında x değişkeninden fonksiyonların türevleri verilir.

Ancak x formal bir parametredir. X değişkeni başka bir değişkenle değiştirilebilir. Bu nedenle, bir fonksiyonu bir değişkenden ayırırken, türevler tablosunda x değişkenini u değişkenine değiştiririz.

Basit örnekler

Örnek 1
.

Karmaşık bir fonksiyonun türevini bulun
.
Verilen fonksiyonu eşdeğer biçimde yazalım:
;
.

Türev tablosunda şunları buluyoruz:
.
Karmaşık bir fonksiyonun türevinin formülüne göre elimizde:

Burada .

Örnek 2
.

Türevi bulun
.

.
Karmaşık bir fonksiyonun türevinin formülüne göre elimizde:

Sabit 5'i türev işaretinden ve bulduğumuz türev tablosundan alıyoruz:

Örnek 3
.

Türevi bulun -1 Bir sabit çıkarıyoruz
;
Türevin işareti için ve türev tablosundan şunu buluruz:
.

Türev tablosundan şunları buluyoruz:
.
Karmaşık bir fonksiyonun türevinin formülüne göre elimizde:

Karmaşık bir fonksiyonun türevi için formülü uyguluyoruz:

Daha karmaşık örnekler Daha fazla karmaşık örnekler karmaşık bir fonksiyonun türevini alma kuralını birkaç kez uygularız. Bu durumda türevi sondan hesaplıyoruz. Yani, fonksiyonu bileşen parçalarına ayırırız ve en basit parçaların türevlerini kullanarak buluruz. türev tablosu . Biz de kullanıyoruz, ürünler ve kesirler. Daha sonra yerine koymalar yapıp karmaşık bir fonksiyonun türevinin formülünü uyguluyoruz.

Örnek 4

Örnek 3
.

Formülün en basit kısmını seçip türevini bulalım. .

.
Burada notasyonu kullandık
.

Elde edilen sonuçları kullanarak orijinal fonksiyonun bir sonraki kısmının türevini buluyoruz. Toplamın türevini almak için kuralı uyguluyoruz:
.

Bir kez daha karmaşık fonksiyonların türev alma kuralını uyguluyoruz.

.
Karmaşık bir fonksiyonun türevinin formülüne göre elimizde:

Örnek 5

Fonksiyonun türevini bulun
.

Formülün en basit kısmını seçip türev tablosundan türevini bulalım. .

Karmaşık fonksiyonların türev alma kuralını uyguluyoruz.
.
Burada
.

Elde edilen sonuçları kullanarak bir sonraki kısmı ayırt edelim.
.
Burada
.

Bir sonraki kısmı farklılaştıralım.

.
Burada
.

Şimdi istenilen fonksiyonun türevini buluyoruz.

.
Burada
.

Ayrıca bakınız:

Türevi bulma işlemine farklılaşma denir.

Türevi, argümanın artışına oranının limiti olarak tanımlayarak en basit (ve çok basit olmayan) fonksiyonların türevlerini bulma problemlerinin çözülmesinin bir sonucu olarak, bir türev tablosu ve kesin olarak tanımlanmış farklılaşma kuralları ortaya çıktı. . Türev bulma alanında ilk çalışmalar yapanlar Isaac Newton (1643-1727) ve Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) olmuştur.

Bu nedenle günümüzde herhangi bir fonksiyonun türevini bulmak için yukarıda belirtilen fonksiyonun artımının argümanın artımına oranının limitini hesaplamanıza gerek yoktur, yalnızca tabloyu kullanmanız gerekir. türevler ve türev alma kuralları. Aşağıdaki algoritma türevi bulmak için uygundur.

Türevi bulmak için, asal işaretin altında bir ifadeye ihtiyacınız var basit işlevleri bileşenlere ayırın ve hangi eylemlerin gerçekleştirileceğini belirleyin (çarpım, toplam, bölüm) bu işlevler birbiriyle ilişkilidir. Daha sonra, türev tablosunda temel fonksiyonların türevlerini ve türev kurallarında ürünün, toplamın ve bölümün türevlerinin formüllerini buluyoruz. Türev tablosu ve türev kuralları ilk iki örnekten sonra verilmiştir.

Örnek 1. Bir fonksiyonun türevini bulun

Çözüm. Türev alma kurallarından, bir fonksiyon toplamının türevinin, fonksiyonların türevlerinin toplamı olduğunu öğreniyoruz;

Türev tablosundan “X” türevinin bire, sinüs türevinin kosinüse eşit olduğunu öğreniyoruz. Bu değerleri türevlerin toplamına koyarız ve problemin koşulunun gerektirdiği türevi buluruz:

Örnek 2. Bir fonksiyonun türevini bulun

Çözüm. İkinci terimin sabit bir faktöre sahip olduğu bir toplamın türevi olarak türev alırız; bu, türev işaretinden çıkarılabilir:

Bir şeyin nereden geldiğine dair hâlâ sorular ortaya çıkıyorsa, bunlar genellikle türev tablosuna ve türev almanın en basit kurallarına aşina olduktan sonra açıklığa kavuşturulur. Şu anda onlara doğru ilerliyoruz.

Basit fonksiyonların türevleri tablosu

1. Bir sabitin (sayı) türevi. İşlev ifadesindeki herhangi bir sayı (1, 2, 5, 200...). Her zaman sıfıra eşittir. Bunu hatırlamak çok önemlidir, çünkü çok sık ihtiyaç duyulur.
2. Bağımsız değişkenin türevi. Çoğu zaman "X". Her zaman bire eşittir. Bunu uzun süre hatırlamak da önemlidir
3. Derecenin türevi. Problem çözerken karekök olmayanları kuvvetlere dönüştürmeniz gerekir.
4. Bir değişkenin -1 kuvvetine göre türevi
5. Türev karekök
6. Sinüs türevi
7. Kosinüsün türevi
8. Teğetin türevi
9. Kotanjantın Türevi
10. Arsinüsün türevi
11. Ark kosinüsün türevi
12. Arktanjantın türevi
13. Ark kotanjantının türevi
14. Doğal logaritmanın türevi
15. Logaritmik bir fonksiyonun türevi
16. Üssün türevi
17. Üstel bir fonksiyonun türevi

Farklılaşma kuralları

1. Bir toplamın veya farkın türevi
2. Ürünün türevi
2a. Bir ifadenin sabit bir faktörle çarpılmasının türevi
3. Bölümün türevi
4. Karmaşık bir fonksiyonun türevi

Kural 1.Eğer işlevler

Bir noktada türevlenebilirse fonksiyonlar aynı noktada türevlenebilirdir

onlar. cebirsel fonksiyon toplamının türevi, bu fonksiyonların türevlerinin cebirsel toplamına eşittir.

Sonuçlar. İki türevlenebilir fonksiyonun farkı sabit bir terim ise türevleri eşittir, yani

Kural 2.Eğer işlevler

Bir noktada türevlenebilirse çarpımları aynı noktada türevlenebilirdir

onlar. İki fonksiyonun çarpımının türevi, bu fonksiyonların her birinin çarpımları ile diğerinin türevinin toplamına eşittir.

Sonuç 1. Sabit faktör türevin işaretinden çıkarılabilir:

Sonuç 2. Çeşitli türevlenebilir fonksiyonların çarpımının türevi, her faktörün ve diğerlerinin türevinin çarpımlarının toplamına eşittir.

Örneğin üç çarpan için:

Kural 3.Eğer işlevler

bir noktada farklılaşabilir Ve , o zaman bu noktada onların bölümü de türevlenebiliru/v ve

onlar. iki fonksiyonun bölümünün türevi, pay, paydanın çarpımları ile payın türevi ile pay ve paydanın türevi arasındaki fark olan bir kesire eşittir ve payda, karesidir. eski pay.

Diğer sayfalardaki şeyleri nerede arayabiliriz?

Gerçek problemlerde bir çarpımın ve bölümün türevini bulurken her zaman birkaç türev alma kuralını aynı anda uygulamak gerekir, bu nedenle daha fazla örnek bu türevler için - makalede"Çarpının türevi ve fonksiyonların bölümü".

Yorum. Bir sabiti (yani bir sayıyı) toplamdaki bir terim ve sabit bir faktör olarak karıştırmamalısınız! Bir terim olması durumunda türevi sıfıra eşit olur ve sabit bir faktör olması durumunda türevlerin işareti dışına çıkarılır. Bu tipik hata, üzerinde meydana gelen başlangıç aşaması Türevleri inceliyorlar, ancak birkaç bir ve iki parçalı örnekleri çözdükçe, ortalama bir öğrenci artık bu hatayı yapmıyor.

Ve eğer bir ürünü veya bölümü farklılaştırırken bir teriminiz varsa sen"v, hangisinde sen- bir sayı, örneğin 2 veya 5, yani bir sabit, o zaman bu sayının türevi sıfıra eşit olacaktır ve dolayısıyla tüm terim sıfıra eşit olacaktır (bu durum örnek 10'da tartışılmıştır).

Diğer bir yaygın hata, karmaşık bir fonksiyonun türevini basit bir fonksiyonun türevi olarak mekanik olarak çözmektir. Bu yüzden karmaşık bir fonksiyonun türevi ayrı bir makale ayrılmıştır. Ama önce basit fonksiyonların türevlerini bulmayı öğreneceğiz.

Yol boyunca ifadeleri dönüştürmeden yapamazsınız. Bunu yapmak için kılavuzu yeni pencerelerde açmanız gerekebilir. Güçleri ve kökleri olan eylemler Ve Kesirlerle işlemler .

Kesirlerin kuvvetleri ve kökleri olan türevlerine çözüm arıyorsanız, yani fonksiyon şöyle göründüğünde , ardından “Kesirlerin toplamlarının kuvvetleri ve kökleri olan türevi” dersini takip edin.

gibi bir göreviniz varsa , daha sonra “Basit trigonometrik fonksiyonların türevleri” dersini alacaksınız.

Adım adım örnekler - türev nasıl bulunur

Örnek 3. Bir fonksiyonun türevini bulun

Çözüm. Fonksiyon ifadesinin bölümlerini tanımlarız: ifadenin tamamı bir çarpımı temsil eder ve faktörleri toplamlardır; ikincisinde terimlerden biri sabit bir faktör içerir. Çarpım farklılaşma kuralını uyguluyoruz: iki fonksiyonun çarpımının türevi, bu fonksiyonların her birinin çarpımlarının diğerinin türevine göre toplamına eşittir:

Daha sonra, toplam farklılaşma kuralını uyguluyoruz: cebirsel fonksiyon toplamının türevi, bu fonksiyonların türevlerinin cebirsel toplamına eşittir. Bizim durumumuzda, her toplamın ikinci teriminde bir eksi işareti vardır. Her toplamda hem türevi bire eşit olan bağımsız bir değişken hem de türevi sıfıra eşit olan bir sabit (sayı) görüyoruz. Yani “X” bire, eksi 5 ise sıfıra dönüşüyor. İkinci ifadede "x" 2 ile çarpıldığından ikiyi "x"in türeviyle aynı birim ile çarpıyoruz. Aşağıdaki türev değerlerini elde ederiz:

Bulunan türevleri çarpımların toplamına koyarız ve problemin koşulunun gerektirdiği tüm fonksiyonun türevini elde ederiz:

Ve türev probleminin çözümünü adresinde kontrol edebilirsiniz.

Örnek 4. Bir fonksiyonun türevini bulun

Çözüm. Bölümün türevini bulmamız gerekiyor. Bölümün türevini almak için formülü uyguluyoruz: iki fonksiyonun bölümünün türevi, payı paydanın çarpımları ile payın türevi ile pay ve payın türevi arasındaki fark olan bir kesire eşittir. payda ve payda önceki payın karesidir. Şunu elde ederiz:

Örnek 2'de paydaki faktörlerin türevini zaten bulmuştuk. Mevcut örnekte payda ikinci faktör olan çarpımın eksi işaretiyle alındığını da unutmayalım:

Bir fonksiyonun türevini bulmanız gereken, sürekli bir kök ve kuvvet yığınının bulunduğu sorunlara çözüm arıyorsanız, örneğin, , o zaman sınıfa hoş geldiniz "Kuvvetleri ve kökleri olan kesirlerin toplamlarının türevi" .

Sinüs, kosinüs, teğet ve diğerlerinin türevleri hakkında daha fazla bilgi edinmek istiyorsanız trigonometrik fonksiyonlar, yani fonksiyon şöyle göründüğünde o zaman sana bir ders "Basit trigonometrik fonksiyonların türevleri" .

Örnek 5. Bir fonksiyonun türevini bulun

Çözüm. Bu fonksiyonda, türev tablosunda türevine aşina olduğumuz, faktörlerinden biri bağımsız değişkenin karekökü olan bir çarpım görüyoruz. Çarpımı ve karekök türevinin tablo değerini farklılaştırma kuralını kullanarak şunu elde ederiz:

Türev probleminin çözümünü şuradan kontrol edebilirsiniz: çevrimiçi türev hesaplayıcı .

Örnek 6. Bir fonksiyonun türevini bulun

Çözüm. Bu fonksiyonda, payı bağımsız değişkenin karekökü olan bir bölüm görüyoruz. Örnek 4'te tekrarladığımız ve uyguladığımız bölümlerin farklılaşma kuralını ve karekök türevinin tablolaştırılmış değerini kullanarak şunu elde ederiz:

Paydaki kesirden kurtulmak için pay ve paydayı ile çarpın.

Fonksiyonlar karmaşık tip“Karmaşık fonksiyon” terimini kullanmak tamamen doğru değildir. Örneğin, çok etkileyici görünüyor, ancak bu işlev, aksine, karmaşık değil.

Bu makalede karmaşık fonksiyon kavramını anlayacağız, onu temel fonksiyonların parçası olarak nasıl tanımlayacağımızı öğreneceğiz, türevini bulmak için bir formül vereceğiz ve tipik örneklerin çözümünü ayrıntılı olarak ele alacağız.

Örnekleri çözerken sürekli olarak türev tablosunu ve türev kurallarını kullanacağız, bu yüzden bunları gözünüzün önünde bulundurun.

Karmaşık fonksiyon argümanı aynı zamanda bir fonksiyon olan bir fonksiyondur.

Bizim açımızdan bu tanım en anlaşılır olanıdır. Geleneksel olarak f(g(x)) olarak gösterilebilir. Yani, g(x), f(g(x)) fonksiyonunun bir argümanı gibidir.

Örneğin, f arktanjant fonksiyon ve g(x) = lnx doğal logaritma fonksiyonu olsun, o zaman karmaşık fonksiyon f(g(x)) arktan(lnx) olur. Başka bir örnek: f, dördüncü kuvvete yükseltme fonksiyonudur ve - tüm rasyonel fonksiyon(bak) o zaman .

Buna karşılık g(x) de karmaşık bir fonksiyon olabilir. Örneğin, . Geleneksel olarak böyle bir ifade şu şekilde gösterilebilir: . Burada f sinüs fonksiyonudur, karekök fonksiyonudur, - kesirli rasyonel fonksiyon. Fonksiyonların iç içe geçme derecesinin herhangi bir sonlu olabileceğini varsaymak mantıklıdır. doğal sayı.

Sıklıkla karmaşık bir işlevi duyabilirsiniz. fonksiyonların bileşimi.

Karmaşık bir fonksiyonun türevini bulma formülü.

Örnek.

Karmaşık bir fonksiyonun türevini bulun.

Çözüm.

Bu örnekte f kare alma fonksiyonudur ve g(x) = 2x+1 – doğrusal fonksiyon.

Karmaşık fonksiyon türevi formülünü kullanan ayrıntılı çözüm aşağıda verilmiştir:

Önce orijinal fonksiyonun formunu sadeleştirerek bu türevi bulalım.

Buradan,

Gördüğünüz gibi sonuçlar aynı.

Hangi fonksiyonun f, hangisinin g(x) olduğunu karıştırmamaya çalışın.

Dikkatinizi çekmek için bunu bir örnekle açıklayalım.

Örnek.

Karmaşık fonksiyonların türevlerini bulun ve .

Çözüm.

İlk durumda, f kare alma fonksiyonudur ve g(x) sinüs fonksiyonudur, yani
.

İkinci durumda f bir sinüs fonksiyonudur ve bir kuvvet fonksiyonudur. Bu nedenle, karmaşık bir fonksiyonun çarpımı formülüyle elimizde

Bir fonksiyonun türev formülü şu şekildedir:

Örnek.

Farklılaştırma işlevi .

Çözüm.

Bu örnekte karmaşık fonksiyon geleneksel olarak şu şekilde yazılabilir: burada sırasıyla sinüs fonksiyonu, üçüncü kuvvet fonksiyonu, e tabanı logaritma fonksiyonu, arktanjant fonksiyonu ve doğrusal fonksiyon bulunmaktadır.

Karmaşık bir fonksiyonun türevi formülüne göre

Şimdi buluyoruz

Elde edilen ara sonuçları bir araya getirelim:

Korkutucu bir şey yok, iç içe geçmiş bebekler gibi karmaşık işlevleri analiz edin.

Tek bir şey olmasa bile bu makalenin sonu olabilir...

Türev kurallarının ve türev tablosunun ne zaman uygulanacağını ve karmaşık bir fonksiyonun türevi formülünün ne zaman uygulanacağını açıkça anlamanız önerilir..

ŞİMDİ ÇOK DİKKATLİ OLUN. Karmaşık fonksiyonlar ile karmaşık fonksiyonlar arasındaki farklardan bahsedeceğiz. Türev bulmadaki başarınız bu farkı ne kadar gördüğünüze bağlı olacaktır.

Basit örneklerle başlayalım. İşlev karmaşık olarak kabul edilebilir: g(x) = tanx , . Bu nedenle karmaşık bir fonksiyonun türevine ilişkin formülü hemen uygulayabilirsiniz.

Ve işte fonksiyon Artık karmaşık olarak adlandırılamaz.

Bu fonksiyon 3tgx ve 1 olmak üzere üç fonksiyonun toplamıdır. - karmaşık bir fonksiyon olmasına rağmen: - bir kuvvet fonksiyonu (ikinci dereceden parabol) ve f bir teğet fonksiyondur. Bu nedenle öncelikle toplam farklılaşma formülünü uyguluyoruz:

Geriye karmaşık fonksiyonun türevini bulmak kalıyor:

Bu yüzden .

Ana fikri anladığınızı umuyoruz.

Daha geniş bakarsak, karmaşık tipteki fonksiyonların karmaşık fonksiyonların parçası olabileceği ve karmaşık fonksiyonların karmaşık tipteki fonksiyonların bileşenleri olabileceği tartışılabilir.

Örnek olarak şuna bakalım bileşenler işlev .

İlk önce, bu şu şekilde temsil edilebilecek karmaşık bir fonksiyondur; burada f, 3 tabanlı logaritma fonksiyonudur ve g(x) iki fonksiyonun toplamıdır Ve . Yani, .

ikinci olarak, h(x) fonksiyonunu ele alalım. ile bir ilişkiyi temsil eder. .

Bu iki fonksiyonun toplamıdır ve , Nerede - sayısal katsayısı 3 olan karmaşık bir fonksiyon. - küp fonksiyonu, - kosinüs fonksiyonu, - doğrusal fonksiyon.