Kesir, formülasyon, kanıtı, uygulama örnekleri ana özelliği. Fraci'nin ana özelliği: ifadeler, kanıtı, uygulamanın kesirinin ana özelliği olarak örnekleri

Bu makalede, fraksiyonun ana mülkünün ne olduğunu analiz edeceğiz, formüle ediyoruz, kanıt ve görsel bir örneği veriyoruz. Ardından, fraksiyonları azaltmak için eylemler yaparken, fraksiyonun ana mülkünün nasıl uygulanacağını ve fraksiyonları yeni bir paydaya getirmeyi düşünüyoruz.

Tüm sıradan kesirlerin, fraksiyonun ana mülkiyetini aradığımız önemli bir mülke sahiptir ve aşağıdaki gibi geliyor:

Tanım 1.

Bir fraksiyonun sayısal ve paynatoru bir ve aynı doğal sayıya çarpılır veya bölünürse, olay, belirtilen olana eşit bir kesir ile sonuçlanır.

Fraksiyonun temel özelliğini eşitlik biçiminde hayal edin. Doğal sayılar için A, B ve M, eşitlik adil olacaktır:

a · m b · m \u003d a b ve A: M B: m \u003d a b

Kesirin ana özelliklerinin kanıtını düşünün. Doğal sayıları ve doğal sayıların bölümlerinin özelliklerini çoğaltmanın özelliklerine dayanarak, eşitliği yazıyoruz: (A · M) · B \u003d (B · M) · A ve (A: m) · b \u003d (b : M) · a. Böylece, kesirler a · m b · m ve A B, ayrıca A: M B: M ve A B, fraksiyonların eşitliği tanımına eşittir.

Fraksiyonun ana özelliğini grafiksel olarak gösteren bir örneği analiz edeceğiz.

Örnek 1.

Diyelim ki 9 "büyük" bölümlere ayrılmış bir kare var. Her "büyük" kare, 4 daha küçük boyuta bölünmüştür. Belirtilen karenin 4 · 9 \u003d 36 "küçük" karelere bölündüğünü söylemek mümkündür. 5 "büyük" karelerin rengini vurguluyoruz. Aynı zamanda, 4 · 5 \u003d 20 "küçük" kareler olacak. Eylemlerimizi gösteren çizimi gösterelim:

Boyalı kısım 5 9 kaynak figürü veya 20 36'dır, bu da aynıdır. Böylece, 5 9 ve 20 36 fraksiyonlar eşittir: 5 9 \u003d 20 36 veya 20 36 = 5 9 .

Bu eşitlik, ayrıca eşitlik 20 \u003d 4 · 5, 36 \u003d 4 · 9, 20: 4 \u003d 5 ve 36: 4 \u003d 9, sonuçlanmayı mümkün kılar. 5 9 \u003d 5 · 4 9 · 4 ve 20 36 \u003d 20 · 4 36 · 4.

Teoriyi pekiştirmek için, örneğin çözümünü analiz edeceğiz.

Örnek 2.

Sıradan bir fraksiyonun sayısının ve payderinin 47 ile çarpıldığı, daha sonra bu numberatör ve payda 3'e bölündüğü belirtilmiştir. Bu eylemlerin bir sonucu olarak verilen fraksiyon mu?

Karar

Fraksiyonun ana mülkiyetine dayanarak, numeratörün çarpımının ve verilen fraksiyonun 47'sinde (47) cinsinin paylaştırılmasının kaynağa eşit bir fraksiyona neden olacağını söyleyebiliriz. Aynı şeyi tartışabiliriz, daha fazla bölünme üretebiliriz. Sonuçta, belirtilenlere eşit bir kesir alacağız.

Cevap: Evet, ortaya çıkan kesir, ilk olana eşit olacaktır.

Kesirin ana özelliklerinin uygulanması

Ana özellik, fraksiyonu yeni bir paydaya ve fraksiyonların azaltılmasıyla birlikte getirilmesi gerektiğinde uygulanır.

Kesirleri yeni bir paydaya getirmek, belirli bir fraksiyonun kendisine eşit, ancak büyük bir sayısal ve küçük düşürücü ile değiştirilmesinin etkisidir. Yeni bir paydaşaya bir kesir getirmek için, fraksiyonun sayısal ve payını gerekli doğal sayıya çarpmanız gerekir. Sıradan kesirlere sahip eylemler, yeni bir paydaşa kesir getirmek için bir yol olmadan imkansız olurdu.

Tanım 2.

Kesirlerin azaltılması - Verilen yeni bir kesire geçiş, ancak daha küçük bir rakam ve paydadır. Fraksiyonu kısaltmak için, fraksiyonun rakamını ve payını aranacak aynı doğal sayıya bölmeniz gerekir. ortak bölücü.

Böyle bir ortak bölücü olmadığında, ilk fraksiyonun göze çarpmayan veya azaltmaya tabi olmadığını öne sürüyorlar. Özellikle, en büyük yaygın bölenlerin yardımı ile fraksiyonun azaltılması, anlaşılmaz bir zihinin bir kısmına yol açacaktır.

Metinde bir hata görürseniz, lütfen seçin ve Ctrl + Enter tuşuna basın.

Kesir - Matematikte bir sayının temsili şekli. Kesirli özellik, bölümün çalışmasını gösterir. Sayısal Fraci bölünebilir ve payda - bölücü. Örneğin, numeratörün fraksiyonu 5 numaradır ve payda 7'dir.

Sağ Korominatör modülünden daha büyük bir numeratör modülüne sahip bir fraksiyon denir. Kesir doğruysa, modülü her zaman 1'den azdır. Diğer tüm fraksiyonlar yanlış.

Kesir denir karışıkBir tamsayı ve kesir olarak kaydedilirse. Bu, bu sayının ve kesirlerin tutarı ile aynıdır:

FRACI'nin ana özelliği

Fraksiyonun numeratörü ve mezhepeti aynı sayı ile çarpılırsa, fraksiyonun değeri değişmez, yani,

Ortak bir payda kesirleri getirmek

Ortak bir payda iki fraksiyonu getirmek için ihtiyacınız var:

1. İlk fraksiyonun sayısının ikincisinin paydaşına çarpın
2. İkinci fraksiyonun numseratörü payda çarpma
3. Her iki fraksiyonun da panelleri işlerini değiştiriyor

Kesirlerle yapılan eylemler

İlave. İki fraksiyonu katlamak için ihtiyacınız var

1. Hem kesirlerin katlanmış yeni sayıları ve paydası değişmeden bırakıldı

Misal:

Çıkarma. Bir fraksiyonu diğerinden çıkarmak için, ihtiyacınız var

1. Ortak bir paydaya kesmek
2. İkinci ilk kesir sayısının numseratöründen çıkarın ve payda değişmeden bırakılır.

Misal:

Çarpma işlemi. Bir fraksiyonu diğerine çarpmak için, sayısallarını ve paydaşlarını çarpın.

Birinin hisseleri ve formda görünür \\ Frac (a) (b).

Fraksiyon fraksiyonu (a) - Kesirin üstündeki sayı ve birimin bölündüğü hisse sayısını gösteren.

Fraksiyonların Dann (B) - Kesişin özelliğinin altındaki sayı ve kaç kesirin bir birim paylaştığını gösteriyor.

Gösteri gizle

FRACI'nin ana özelliği

Eğer reklam \u003d BC ise, sonra iki fraksiyon \\ Frac (a) (b)ve \\ Frac (c) (d) eşit olarak kabul edilir. Örneğin, kesirler eşit olacaktır \\ Frac35ve \\ Frac (9) (15)3 \\ CDOT 15 \u003d 15 \\ CDOT 9'dan beri, \\ Frac (12) (7)ve \\ Frac (24) (14)12 \\ CDOT 14 \u003d 7 \\ CDOT 24'ten beri.

Eşit fraksiyonların tanımından, fraksiyonların eşit olacağını takip eder. \\ Frac (a) (b)ve \\ Frac (am) (BM)A (BM) \u003d B (AM) olduğundan, doğal sayıları etkisiz hale getirme özelliklerinin birleştirilmesi ve hareketli özelliklerinin kullanımının görsel bir örneğidir.

Yani \\ Frac (a) (b) \u003d \\ frac (AM) (BM) - benziyor fRACI'nin ana özelliği.

Başka bir deyişle, buna eşit bir fraksiyon elde edeceğiz, ilk fraksiyonun sayısal ve payını aynı doğal sayıyla çarpıyor veya ayrılacağız.

Kesirlerin azaltılması - Bu, orijinale yeni bir fraksiyonun elde edildiği, ancak daha küçük bir sayısal ve paydaya sahip olan fraksiyonu değiştirme işlemidir.

Kesirin azaltılması, fraksiyonun ana özelliğine dayanarak yapılır.

Örneğin, \\ Frac (45) (60) \u003d \\ Frac (15) (20)(Numarator ve paydası 3 numaraya bölünür); Elde edilen fraksiyon tekrar indirgenebilir, bu \\ Frac (15) (20) \u003d \\ frac 34.

Dengesiz kesir - Gibi kesir \\ Frac 34.Numarator ve payderinin karşılıklı olarak basit sayılar olduğu yerler. Fraksiyonun kesilmesinin ana amacı, bir kesir dağılımı yapmaktır.

Ortak bir payda kesirleri getirmek

Örnek olarak iki fraksiyonu alın: \\ Frac (2) (3)ve \\ Frac (5) (8) farklı paydalar 3 ve 8 ile. Bu fraksiyonları ortak bir paydaya getirmek için ve ilk olarak sayısal ve paydayı değiştirin. \\ Frac (2) (3)8'de. Aşağıdaki sonucu alıyoruz: \\ Frac (2 \\ CDOT 8) (3 \\ CDOT 8) \u003d \\ Frac (16) (24). Sonra sayısal ve paydayı çoğaltmak \\ Frac (5) (8)3 ile. Sonuna giriyoruz: \\ Frac (5 \\ CDOT 3) (8 \\ CDOT 3) \u003d \\ Frac (15) (24). Böylece, ilk fraksiyonlar toplam paydaya 24'e verilir.

Sıradan kesirlerde aritmetik eylemler

Sıradan kesirlerin eklenmesi

a) Aynı paydaşlarla, ilk fraksiyonun numseratörü, ikinci fraksiyonun nizer ile katlanır ve paydayı aynı şekilde bırakır. Örnekte görülebileceği gibi:

\\ Frac (a) (b) + \\ frac (c) (b) \u003d \\ frac (a + c) (b);

b) Farklı paydaşlarla, fraksiyonlar ilk önce ortak bir paydaya yol açar ve ardından Kural A'ya göre sayıların eklenmesini gerçekleştirir):

\\ Frac (7) (3) + \\ frac (1) (4) \u003d \\ frac (7 \\ cdot 4) (3) + \\ frac (1 \\ cdot 3) (4) \u003d \\ frac (28) (12) + \\ Frac (3) (12) \u003d \\ frac (31) (12).

Sıradan kesirlerin çıkarılması

a) Aynı paylayıcıları ilk fraksiyonun numseratöründen, ikinci fraksiyonun numseratörü, paydayı aynı şekilde bırakarak çıkarılır:

\\ Frac (a) (b) - \\ frac (c) (b) \u003d \\ frac (a-c) (b);

b) Kesirlerin mezhepatçıları farklı ise, önce fraksiyonlar ortak bir paydaşa yol açar ve ardından A'nın paragrafındaki gibi işlemleri tekrar eder).

Sıradan Kesirlerin Çarpılması

Kesirlerin çarpılması aşağıdaki kurallara uygundur:

\\ Frac (a) (b) \\ cdot \\ frac (c) (d) \u003d \\ frac (a \\ cdot c) (B \\ CDOT D),

yani, ayrı olarak rakamlar ve mezhepler.

Örneğin:

\\ Frac (3) (5) \\ CDOT \\ Frac (4) (8) \u003d \\ Frac (3 \\ CDOT 4) (5 \\ CDOT 8) \u003d \\ Frac (12) (40).

Sıradan kesirlerin bölünmesi

Bölünme kesirleri aşağıdaki şekilde üretir:

\\ Frac (a) (b): \\ frac (c) (d) \u003d \\ frac (reklam) (BC),

bu bir kesir \\ Frac (a) (b) kesir ile çarpılır \\ Frac (d) (c).

Misal: \\ Frac (7) (2): \\ Frac (1) (8) \u003d \\ Frac (7) (2) \\ CDOT \\ Frac (8) (1) \u003d \\ Frac (7 \\ CDOT 8) (2 \\ CDOT 1 ) \u003d \\ Frac (56) (2).

Karşılıklı ters sayılar

Ab \u003d 1 ise, B sayısı karşılığında A numarası için.

Örnek: 9 numaralı tersi için \\ Frac (1) (9), gibi 9 \\ CDOT \\ Frac (1) (9) \u003d 15 numara için - \\ Frac (1) (5), gibi 5 \\ CDOT \\ Frac (1) (5) \u003d 1.

Ondalık kesirler

Ondalık kesir Öyle 10, 1000, 10 \\, 000, ..., 10 ^ n olan doğru kesir denir.

Örneğin: \\ Frac (6) (10) \u003d 0.6; \\ enspace \\ frac (44) (1000) \u003d 0.044.

Aynı şekilde, bir payda 10 ^ n veya karışık sayılarla yanlış yazılmıştır.

Örneğin: 5 \\ frac (1) (10) \u003d 5.1; \\ enspace \\ frac (763) (100) \u003d 7 \\ frac (63) (100) \u003d 7.63.

Ondalık bir fraksiyon biçiminde, bazı 10 numaralı bir bölündürücüye olan bir payda olan herhangi bir nazik fraksiyon temsil edilir.

Örnek: 5 - 100 numarayı bölücü, yani kesir \\ Frac (1) (5) \u003d \\ frac (1 \\ cdot 20) (5 \\ cdot 20) \u003d \\ frac (20) (100) \u003d 0.2.

Ondalık kesirlerin aritmetik eylemleri

Ondalık kesirlerin eklenmesi

İki ondalık fraksiyon eklemek için, bunları birbirlerinin aynı boşalması ve virgüllerin genişletilmesi ve ardından fraksiyonların fraksiyonunu sıradan sayılar olarak konumlandırmak gerekir.

Çıkarma Ondalık Keserleri

Ekle benzer şekilde yapıldı.

Ondalık kesirlerin çarpılması

Ondalık sayıları çarptıktan sonra, virgüllere (doğal sayılar olarak) dikkat etmemek için belirtilen sayıları çarpmak yeterlidir ve virgülün sağdaki ortaya çıkan cevabında, noktalı virgüllerden sonra olduğu gibi birçok rakam ayrılır. Her iki faktörde de toplamda.

1.3 başına 2.7'lik bir çarpma yapalım. 27 \\ CDOT 13 \u003d 351 var. Noktalı virgülün doğru iki hanesini ayırıyoruz (birinci ve ikinci sayıda - virgülden sonra bir rakam; 1 + 1 \u003d 2). Sonuç olarak, 2.7 \\ CDOT 1,3 \u003d 3.51 alırız.

Elde edilen sonuçta, virgülleri ayırmak için gerekenden daha az sayı var, daha sonra eksik sıfırlar öne yazılır, örneğin:

10, 100, 1000 ile çarpma için, virgülün 1, 2, 3 haneyi sağa aktarmak için ondalık fraksiyonun sağda (gerekirse, belirli sayıda sıfır sağa bağlanır).

Örneğin: 1.47 \\ CDOT 10 \\, 000 \u003d 14,700.

Ondalık fraksiyonların bölünmesi

Ondalık fraksiyonun doğal bir numara üzerindeki bölünmesi, doğal bir sayının doğal bir sayısının bölünmesi olarak da üretilir. Özelteki virgül, bütün parçanın bölünmesinden sonra yerleştirilir.

Eğer bölünebilir daha az bölünmenin bir parçası ise, örneğin de sıfır olduğu ortaya çıkıyorsa, örneğin:

Ondalık fraksiyonun bölümünü ondalık basamağını düşünün. 1.12'ye göre 2.576'yı bölmek için gerekli olmasına izin verin. Her şeyden önce, Akıllıca DiviDimit ve Kesirlerin bölünmesi 100, yani, virgülle Delima'ya ve bölüncüye bir virgülle (iki örnekte bu örnekte) bölümündeki pek çok işarete aktaracağız. Daha sonra kesirin (257.6) bölümünü (257.6) doğal sayıya uygulamak için gereklidir, yani görevin dikkate alındığı davaya indirilir:

Bir numarayı diğerine bölünürken nihai ondalık fraksiyonun her zaman elde edilememesidir. Sonuç olarak, sonsuz bir ondalık kesir elde edilir. Bu gibi durumlarda, sıradan kesirlere transferler.

2.8: 0.09 \u003d \\ Frac (28) (10): \\ Frac (9) (100) \u003d \\ Frac (28 \\ CDOT 100) (10 \\ CDOT 9) \u003d \\ Frac (280) (9) \u003d 31 \\ frac ( 1) (9).

Bu konu, fraksiyonların temel özelliklerinde yeterince önemlidir, tüm diğer matematik ve cebir dayanmaktadır. Kesirlerin dikkate alınması, önemine rağmen, çok basit.

Anlamak kesirlerin ana özellikleri Bir daire düşünün.

Daire üzerinde 4 parçanın veya sekizden boyanmış olduğu görülebilir. Elde edilen kesirleri yazıyoruz \\ (\\ frac (4) (8) \\)

Bir sonraki dairede, iki olası iki parçanın boyandığı görülebilir. Kesirini yazıyoruz \\ (\\ frac (1) (2) \\)

Yakından bakarsanız, ilk durumda, ikinci durumda, yarım daireye sahibiz, böylece elde edilen fraksiyonlar \\ (\\ frac (4) (8) \u003d \\ frac (1) (2) (2) ) \\), bu, aynı sayıdır.

Matematiksel olarak nasıl kanıtlanır? Çok basit, çarpım tablosunu ve çarpıcılardaki ilk fraksiyonu hatırlayın.

\\ (\\ Frac (4) (8) \u003d \\ frac (1 \\ CDOT \\ Renk (kırmızı) (4)) (2 \\ CDOT \\ Renk (kırmızı) (4)) \u003d \\ Frac (1) (2) \\ CDOT \\ Renk (kırmızı) (kırmızı) (\\ frac (4) (4)) \u003d \\ frac (1) (2) \\ CDOT \\ Renk (kırmızı) (1) \u003d \\ Frac (1) (2) \\)

Biz ne yaptık? Çarpıcılar \\ (\\ Frac (1 \\ CDOT \\ Color (kırmızı) (4)) (2 \\ CDOT \\ Color (Red) (4)) \\) için bir sayısal ve paydayı imzaladı ve sonra kesirleri böldüz \\ (\\ frac ( 1) (2) \\ CDOT \\ Renk (kırmızı) (\\ frac (4) (4)) \\). Dört dörde ayrılmıştır Bu 1'dir ve ünite herhangi bir numaraya çarpar. Örnekte ne yaptıklarımız kesirleri azaltma.

Başka bir örnek görelim ve kesiri azaltalım.

\\ (\\ Frac (6) (10) \u003d \\ frac (3 \\ CDOT \\ Renk (kırmızı) (2)) (5 \u200b\u200b\\ CDOT \\ Renk (kırmızı) (2)) \u003d \\ Frac (3) (5) \\ CDOT \\ Renk (kırmızı) (kırmızı) (\\ frac (2) (2)) \u003d \\ frac (3) (5) \\ CDOT \\ Renk (kırmızı) (1) \u003d \\ Frac (3) (5) \\)

Yine, sayısal ve paydayı çarpanlar için ve sayılar için aynı sayıda boyadık ve sayılardaki aynı sayı gösterdik. Yani, ikiye ayrılmış ikiye bölünmüş bir birim verdi ve birim herhangi bir sayı ile çarpılan aynı numarayı verir.

Fraksiyonun ana özelliği.

Dolayısıyla FRACI'nin ana özelliği:

Numarator ve FRACI'nin paylaştırıcısı aynı numarayı (sıfır hariç) çarpınsa, kesir değişmez.

\\ (\\ Bf \\ frac (a) (b) \u003d \\ frac (a \\ cdot n) (B \\ CDOT N) \\)

Numarayı aynı anda paylaşmak için sayısal ve paydayı da uçabilirsiniz.
Bir örnek düşünün:

\\ (\\ Frac (6) (8) \u003d \\ frac (6 \\ div \\ renk (kırmızı) (2)) (8 \\ div \\ rengi (kırmızı) (2)) \u003d \\ frac (3) (4) \\)

Sayısal ve DENOMOTE DENOTER, numarayı (sıfır hariç) paylaşacaksa, kesirin boyutu değişmez.

\\ (\\ Bf \\ frac (a) (b) \u003d \\ frac (a \\ div n) (B \\ div n) \\)

Numaralarda ve cinsyantlarda olan fraksiyonlar, ortak sıradan bölücüler denir sosyal dolandırıcılık.

Azaltılmış kesir örneği: \\ (\\ Frac (2) (4), \\ Frac (6) (10), \\ Frac (9) (15), \\ Frac (10) (5), ... \\)

Ayrıca birde şu var dengesiz kesirler.

Dengesiz kesir - Bu, ortak sıradan bölenlerin sayısının ve paydaşları olmadığı bir kesirdir.

Göze çarpmayan bir kesir örneği: \\ (\\ Frac (1) (2), \\ Frac (3) (5), \\ Frac (5) (7), \\ Frac (13) (5), ... \\)

Herhangi bir sayı bir kesir olarak temsil edilebilir, çünkü herhangi bir sayı bir bölünmüştür, Örneğin:

\\ (7 \u003d \\ frac (7) (1) \\)

Konuya sorular:
Sence kimsenin kısalabileceği ya da olmadığını düşünüyorsun?
Cevap: Hayır, azaltılmış kesirler ve yorumlanamaz kesirler vardır.

Eşitliğin doğru olup olmadığını kontrol edin: \\ (\\ frac (7) (11) \u003d \\ frac (14) (22) \\)?
Cevap: Kaydırma kesri \\ (\\ Frac (14) (22) \u003d \\ frac (7 \\ cdot 2) (11 \\ cdot 2) \u003d \\ frac (7) (11) \\)Evet, haklı.

Örnek numara 1:
a) Korominator 15 ile fraksiyonu fraksiyona eşit bul \\ (\\ Frac (2) (3) \\).
b) Numarator 8 ile fraksiyona eşit bir kesir bulun \\ (\\ Frac (1) (5) \\).

Karar:
a) Korominatordaki 15 numaraya ihtiyacımız var. Şimdi mezhepçi numarası 3. Sayı 3 numarayı 15 numarayı çarpmak için hangi numaraya ihtiyaç duyar? Çarpma tablosu 3⋅5'i hatırlayın. Kesirlerin ve Çarpma ve Numarator ve Payın Ana Mülkiyetinden yararlanmamız gerekiyor. \\ (\\ Frac (2) (3) \\)5 ile.

\\ (\\ Frac (2) (3) \u003d \\ frac (2 \\ cdot 5) (3 \\ cdot 5) \u003d \\ frac (10) (15) \\)

b) Numarator 8'de 8 numaraya ihtiyacımız var. Şimdi numberatörlerde numaralar var. 1. 8 numarayı 8 almak için 1 numarayı çarpmanız gerekir mi? Tabii ki, 1⋅8. Kesirlerin ve Çarpma ve Numarator ve Payın Ana Mülkiyetinden yararlanmamız gerekiyor. \\ (\\ Frac (1) (5) \\) 8'de biz alacağız:

\\ (\\ Frac (1) (5) \u003d \\ frac (1 \\ CDOT 8) (5 \\ CDOT 8) \u003d \\ Frac (8) (40) \\)

Örnek numara:
Göze çarpmayan bir kesir bulun, kesire eşit: a) \\ (\\ Frac (16) (36) \\),b) \\ (\\ Frac (10) (25) \\).

Karar:
fakat) \\ (\\ Frac (16) (36) \u003d \\ frac (4 \\ cdot 4) (9 \\ cdot 4) \u003d \\ frac (4) (9) \\)

b) \\ (\\ Frac (10) (25) \u003d \\ frac (2 \\ cdot 5) (5 \\ cdot 5) \u003d \\ frac (2) (5) \\)

Örnek numarası 3:
Numarayı bir kesir biçiminde yazın: a) 13 b) 123

Karar:
fakat) \\ (13 \u003d \\ frac (13) (1) \\)

b) \\ (123 \u003d \\ frac (123) (1) \\)

Kursundan okul programının cebiri özel olarak ilerlemeye devam eder. Bu yazıda, özel rasyonel ifadeleri ayrıntılı olarak inceleyeceğiz - rasyonel kesirlerve aynı zamanda özdeş özellikleri olanı analiz edeceğiz. rasyonel fraksiyonların dönüşümü yer almak.

Hemen, bazı ders kitaplarında onları aşağıda tanımlayacağımız anlamında rasyonel fraksiyonların cebirsel kesir denir. Yani, bu makalede rasyonel ve cebirsel fraksiyonlar altında aynı şeyi anlayacağız.

Tanım ve örneklerle başlayalım. Daha sonra, yeni bir paydaşaya rasyonel bir kesir ve kesir üyelerindeki işaretlerin değişimi hakkında konuşalım. Bundan sonra, frenlerin nasıl azaldığını analiz edeceğiz. Son olarak, rasyonel bir fraksiyonun çeşitli fraksiyonların toplamında temsil edilmesine odaklanacağız. Tüm bilgiler, çözümlerin ayrıntılı açıklamalarına sahip örneklerle birlikte verilecektir.

Gezinme sayfası.

Rasyonel fraksiyonların tanımı ve örnekleri

Rasyonel fraratörler 8. sınıftaki cebir derslerinde incelenmiştir. 8 sınıf için Cebir'in ders kitabında verilen rasyonel kesir tanımını kullanacağız. N. Makarychev, vb.

Bu tanımda, rasyonel fraksiyonun sayısındaki polinomların ve payderindeki polinomların standart formun polinomları olması veya olmadığı belirtilmez. Bu nedenle, rasyonel fraksiyonların kayıtlarında standart türlerin hem polinomlarının hem de standart olmadığını varsayıyoruz.

Birkaç tane veriyoruz rasyonel kesirlerin örnekleri. Böylece, x / 8 ve - Rasyonel kesirler. Ve frace Ve rasyonel fraksiyonun seslendirilmiş tanımı için uygun değildir, çünkü bunlardan birincilerinde numberatörde bir polinom değildir, ancak ikincisinde ve numberatörde ve payda ve payda polinom olmayan ifadelerdir.

Rasyonel kesirlerin sayısının ve paydaşının dönüşümü

Herhangi bir fraksiyonun rakam ve paydası kendi kendine yeterli matematiksel ifadelerdir, rasyonel fraksiyonlar durumunda, bunlar polinomlardır, belirli durumlarda - boş ve sayılardır. Bu nedenle, herhangi bir ifadede olduğu gibi, rasyonel fraksiyonun bir numarası ve paydası ile aynı dönüşümler gerçekleştirilebilir. Başka bir deyişle, rasyonel kesir numeratöründeki ekspresyon, aynı şekilde aynı ve aynı zamanda payda eşit bir ifade ile değiştirilebilir.

Rasyonel fraksiyonun numeratöründe ve paydaşında, aynı dönüşümler yapılabilir. Örneğin, numeratörde bir gruplama ve benzer terimler getirebilir ve payda - payda - birkaç sayının ürünü bir değerle değiştirebilirsiniz. Ve rasyonel fraksiyonun rakam ve paydörü polinomlar olduğundan, onlarla birlikte, dönüşümün polinomlarının ve karakteristiklerini, örneğin bir parça şeklinde standart bir form veya temsil getirebilir.

Netlik için, çeşitli örneklere çözümler düşünün.

Misal.

Rasyonel kesir dönüştürmek Böylece, polinom, sayısındaki standart türlerin bir polinomudur ve payda - polinomların ürünüdür.

Karar.

Yeni bir paydaşaya rasyonel fraksiyonların oluşturulması esas olarak rasyonel fraksiyonları eklerken ve çıkarılırken kullanılır.

Kesir öncesi işaretler, yanı sıra sayısal ve paydaşında

Fraksiyonun ana özelliği, kesir üyelerinden işaretleri değiştirmek için kullanılabilir. Aslında, sayısının çarpımı ve -1'deki rasyonel fraksiyonun paylaştırıcısı, işaretlerinin değişmesine de eşdeğerdir ve sonuç, buna öz olarak eşit bir kesirdir. Rasyonel kesirlerle çalışırken bu dönüşümle iletişim kurmak genellikle gereklidir.

Böylece, fraksiyonun numeratörü ve paydaşındaki işaretleri eşzamanlı olarak değiştirirseniz, orijinal olana eşit fraksiyonu ortaya çıkarır. Bu açıklamadan eşitlik sorumludur.

Bir örnek verelim. Rasyonel fraksiyon, sayısının değiştirilmiş belirtileri ve türlerin paydası ile birlikte fraksiyona eşit olarak eşit olarak değiştirilebilir.

Kesirlerle, işaretin numeratörde veya payda değiştiğinde aynı bir dönüşüm daha gerçekleştirilebilir. Uygun kuralı seslendirelim. Kesir işaretini numara veya paydayı sayısıyla birlikte değiştirirseniz, kaynağa özdeş eşittir, kesime çıkacaktır. Kaydedilen ifade eşitliğe ve.

Bu eşitliği kanıtlamak zor değil. Kanıt, sayıların çarpma özelliklerine dayanır. Birincisini kanıtlıyoruz :. Benzer dönüşümlerin yardımı ile eşitlik kanıtlanmıştır.

Örneğin, fraksiyon ifadesi ile değiştirilebilir veya.

Bu paragrafın sonuçlarında, iki faydalı eşitlik veriyoruz. Yani, yalnızca numberatördeki işareti veya yalnızca payda tarafından değiştirirseniz, kesir işaretini değiştirir. Örneğin, ve .

Kesirlerin üyelerinde işaretini değiştirmenize izin veren dönüşümler, sıklıkla kesirli rasyonel ifadeleri dönüştürürken uygulanır.

Rasyonel fraksiyonları azaltmak

Rasyonel fraksiyonların isminin azaltılması olan rasyonel fraksiyonların aşağıdaki dönüşümünün kalbinde, ayrıca fraksiyonun ana özelliğidir. Bu dönüşüm, A, B ve C'nin bazı polinomlar ve B ve C - sıfır olmayanların eşitliğine karşılık gelir.

Verilen eşitlikten, rasyonel fraksiyonun azaltılmasının, numberatördeki ve paydadaki toplam faktörün atılmasını içerdiği açıklanmaktadır.

Misal.

Rasyonel fraksiyonu azaltın.

Karar.

Genel bir çarpan 2 görünür, üzerinde bir azalma gerçekleştireceğiz (kaydederken, azaltılmış genel faktörler, çapraz geçmek için uygun). Sahip olmak . X 2 \u003d x · x ve y7 \u003d y3 · y4'ten beri (Gerektiğine bakın), X'in, Y3 gibi sonuçta ortaya çıkan fraksiyonun sayısının ve payderinin ortak bir çarpanı olduğu açıktır. Bu faktörleri azaltacağız: . Bu azaltılmış azalma.

Yukarıda, rasyonel kesirini tutarlı bir şekilde azalttık. Ve bir adımda azaltmayı azaltmak mümkündü, fraksiyonu 2 · x · y3 ile indirgemektedir. Bu durumda, çözüm şöyle görünür: .

Cevap:

.

Rasyonel fraksiyonlarda bir azalma ile, asıl sorun, sayısalın toplam çarpanının ve payderinin her zaman görünmemesidir. Dahası, her zaman mevcut değildir. Ortak bir faktör bulmak için veya çarpıcılar üzerinde ayrışacak rasyonel fraksiyonun bir numarası ve payetörü için gerekli olmadığından emin olun. Yaygın bir faktör yoksa, ilk rasyonel fraksiyonun azaltılması gerekmez, aksi takdirde bir azalma var.

Rasyonel fraksiyonların azaltılması sürecinde, çeşitli nüanslar oluşabilir. Örneklerdeki ve ayrıntılardaki ana incelikler, cebirsel fraksiyonları azaltarak makalede sökülmüştür.

Rasyonel fraksiyonların azaltılmasıyla ilgili konuşmayı tamamlamak, bu dönüşümün aynı olduğunu ve davranışlarındaki ana karmaşıklığın, sayısal ve paydadaki polinomları ayrıştırmak olduğuna dikkat ediyoruz.

Rasyonel fraksiyonun fraksiyon miktarı biçiminde gösterimi

Oldukça spesifik, ancak bazı durumlarda çok faydalı olan, çeşitli fraksiyonların toplamı olarak temsil edilmesinden veya tüm ifadenin ve kesirin toplamını oluşturan rasyonel bir fraksiyonu dönüştürmek ortaya çıkıyor.

Rasyonel fraksiyon, birkaç üniversitenin toplamı olan bir polinom olan sayısındaki rasyonel fraksiyon, numeratörlerin uygun olanlarda aynı paydaşlara sahip fraksiyonların miktarı olarak yazılabilir. Örneğin, . Böyle bir başvuru, aynı payda cebirsel fraksiyonları ekleme ve çıkarma kuralıyla açıklanmaktadır.

Genel olarak, herhangi bir rasyonel fraksiyon, çeşitli şekillerde farklı şekillerde bir fraksiyon olarak gösterilebilir. Örneğin, kesir A / B, iki fraksiyonun toplamı olarak temsil edilebilir - keyfi fraksiyonlar C / D ve fraksiyonu, eşit fark Kesir A / B ve C / D. Bu ifade, eşitlik olduğu için adil. . Örneğin, rasyonel bir fraksiyon, çeşitli şekillerde bir fraksiyon toplamı olarak gösterilebilir: Tüm ifadenin toplamı ve fraksiyonun formundaki ilk fraksiyonu hayal edin. Numarator'u paylayıcıya bölenden sonra eşitlik alacağız . N3 +4 ekspresyonunun değeri, herhangi bir N3 +4 için bir tamsayıdır. Ve kesir değeri bir tamsayıdır ve sadece paydası 1, -1, 3 veya -3 ise. Bu değerler sırasıyla n \u003d 3, n \u003d 1, n \u003d 5 ve n \u003d -1'e karşılık gelir.

Cevap:

−1 , 1 , 3 , 5 .

Bibliyografya.

• Cebir: Çalışmalar. 8 cl için. Genel Eğitim. kurumlar / [yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorov]; Ed. S. A. TELIKOVSKY. - 16. ed. - M.: Aydınlanma, 2008. - 271 p. : Il. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A. G. Cebir. 7. sınıf. 2 çay kaşığı. 1. Genel Eğitim Kurumları / A. Mordkovich öğrencileri için öğretici. - 13. ed., Yasası. - M.: Mnemozina, 2009. - 160 p.: Il. İsbn 978-5-346-01198-9.
• Mordkovich A. G. Cebir. 8. sınıf. 2 çay kaşığı. 1. Genel Eğitim Kurumları / A. Mordkovich öğrencileri için öğretici. - 11. ed., Ched. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 p.: Il. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematik (teknik okullardaki başvuru sahipleri için avantaj): Çalışmalar. yarar. - m.; Daha yüksek. SHK., 1984.-351 p., Il.